PRAKIRAAN CURAH HUJAN MENGGUNAKAN MODEL SPACE TIME AUTOREGRESIF ORDE DUA (STAR (1;2))

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Sains dan eknologi Nuklir PNBR BAAN Bandung, 4 Juli 3 PRAKIRAAN CURAH HUJAN MENGGUNAKAN MODEL SPACE IME AUOREGRESIF ORDE DUA (SAR (;)) Emah Suryamah, Kankan Parmikanti dan Sugihartini Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl Raya Bandung Sumedang Km Bandung emah_suryamah@yahoo.com ABSRAK PRAKIRAAN CURAH HUJAN MENGGUNAKAN MODEL SPACE IME AUOREGRESIF ORDE DUA (SAR (;)). Model SAR (Space ime Autoregressive) adalah model multivariat time series yang merupakan gabungan dari model Autoregressive (AR) dengan model Spasial. Model SAR(;) adalah suatu model spasial yang melibatkan dua nilai pengamatan sebelumnya di lokasi tersebut dan lokasi-lokasi lain di sekitarnya yang berada dalam satu kelompok (lag spasial satu). ujuan penelitian ini adalah mengkaji penurunan model SAR(;), serta penerapannya pada prakiraan curah hujan. Metode penelitian dalam makalah ini berdasarkan studi kepustakaan (studi literatur) dan studi eksperimental. Penelitian ini dimulai dengan mengkaji model SAR(;), lalu menaksir parameter model dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, kemudian menggunakan hasilnya untuk memperkirakan curah hujan dari dua lokasi di Indonesia Barat Kata kunci: SAR(;), MK, curah hujan ABSRAC SAR (Space ime Autoregressive) model is a model of multivariate time series hich is a combination of Autoregressive (AR) ith Spatial models. SAR (, ) model is a spatial model involving to previously observed values in that location and other locations hich are in one group (the first spatial lag).he purpose of this study of SAR (,) model, as ell as its application to the precipitation forecasts. he research method in this paper is based on literature studies and experimental studies. his study begins by examining the SAR models (, ), and then estimating the parameters model using the least squares method, and then use the results to estimate precipitation from to locations at estern Indonesia. Keyords: SAR (, ), OLS, precipitation. PENDAHULUAN Data yang berkaitan dengan aktu dinamakan data deret aktu dan prosesnya disebut proses deret aktu. Analisis deret aktu (time series) merupakan salah satu dari metode peramalan kuantitatif yang berdasar-kan pada nilai variabel dimasa lalu. Salah satu model yang digunakan pada masalah time series adalah model univariat linear yang disebut dengan Model Autoregresif dan disingkat dengan AR. Model AR ini menyatakan suatu observasi aktu sekarang yang dipengaruhi oleh aktu sebelumnya. (Box and Jenkins 96). Selain data deret aktu terdapat pula data spasial, yaitu data yang diamati berdasarkan lokasi yang berdekatan dan memiliki kemiripan karakteristik sedangkan prosesnya disebut proses spasial. Data deret aktu dan data spasial berkembang menjadi data lokasi aktu (space time). Salah satu model space time yang sering digunakan adalah model SAR (Space ime Autoregresive). Model SAR diperkenalkan oleh Pfeifer Deutsch (980) yang memperlihatkan baha pengamatan di aktu sekarang di lokasi tertentu dipengaruhi oleh pengamatan 568

2 Prosiding Seminar Nasional Sains dan eknologi Nuklir PNBR BAAN Bandung, 4 Juli 3 aktu sebelumnya di lokasi tersebut dan lokasi disekitarnya yang berada dalam satu kelompok. Penelitian mengenai perbandingan matriks bobot model SAR(;) dikembangkan Suryamah (0). Kajian model perlu pengembangan dalam orde spasial maupun aktu, karena itu penulis tertarik mengembangkan model SAR(;) menjadi model SAR(;), yaitu model dengan nilai pengamatam masa mendatang tergantung dari nilai pengamatan dua aktu sebelumnya dan lokasi-lokasi pengamatan berada dalam satu kelompok dengan tingkat perubahan ketergantungan lokasi adalah satu, penaksiran parameter model SAR(;) dilakukan menggunakan Metode Kuadrat erkecil (MK). Hasil kajian model akan digunakan pada data curah hujan dari dua lokasi di Indonesia Barat.. LANDASAN EORI. Model Autoregresif Orde, AR() Model AR() adalah model deret aktu yang nilai pengamatannya dipengaruhi oleh nilai pengamatan dua aktu sebelumnya dan unsur galat. Model AR() dinyatakan sebagai berikut: Z t Z t Z t e t (.) Asumsi galat berdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan( Wei, W.W.S. 994).. Model Vektor Autoregresif Orde Dua... Model Vektor Autoregresif Orde Dua VAR() Bentuk umum dari model time series VAR(), (Wei, W.W.S, 994) t t t Z ΦZ E (.) untuk N = adalah: z t z t e t z t z t e t dengan t =,,..,... Model Vektor Autoregresif Orde, VAR() Model VAR() merupakan pengem-bangan dari model AR(). Jika pada model AR() pengamatan aktu sekarang hanya melibatkan pengaruh dua aktu sebelumnya di satu lokasi, maka pada model VAR() pengamatan sekarang tidak hanya dipengaruhi oleh satu lokasi tapi juga dipengaruhi oleh lokasi lain di sekitarnya. Model VAR() dinyatakan dalam persamaan berikut: t t t t Z Φ Z Φ Z E (.3) dengan Z t, Z t, Z t merupakan matriks yang menyatakan pengamatan untuk setiap aktu t, t, t. Persamaan di atas dapat pula ditulis Φ t) Φ t) E( (( N( )) ) ( NN ) (( N( )) ) ( NN ) (( N( )) ) (( N( )) ) Misalkan terdapat dua lokasi pengamatan, N=, maka model VAR() adalah Φ t) Φ t) E( (( ( )) ) () (( ( )) ) () (( ( )) ) (( ( )) ), t = 3,4,, Model VAR () dengan N= dan =3 menjadi Z (3) 0 0 Z () 0 0 Z () e (3) Z (3) 0 0 Z () 0 0 Z () e (3) Z (4) 0 0 Z (3) 0 0 Z () e (4 ) Z (.) (4) 0 0 (()) Z (()()) (3) 0 0 (()) Z (() ()) () (()) e(4) (()).3 Matriks Bobot Seragam Matriks bobot merupakan matriks bujur sangkar yang memiliki entri-entri berupa bobot lokasi yang bersesuaian. Bobot untuk entri matriks pada model SAR biasanya ditentukan dengan memperhatikan sifat-sifat fisik atau karakteristik misalnya luas ilayah, kepadatan penduduk, batas antara dua lokasi, atau sarana transportasi, dimana setiap bobot tersebut tidak tergantung pada aktu (Ruchjana, 0). Asumsi untuk kajian bobot ini adalah baha bobot suatu lokasi terhadap dirinya sendiri adalah nol. Selanjutnya bobot pada lag spasial dinyatakan oleh W berupa matriks bujur sangkar NxN sebagai berikut: 0 W N 0 N N N 0 569

3 Prosiding Seminar Nasional Sains dan eknologi Nuklir PNBR BAAN Bandung, 4 Juli 3 Salah satu bobot yang sering digunakan adalah bobot seragam. Bobot seragam ditentukan oleh banyaknya lokasi pengamatan lain di sekitar lokasi pengamatan tertentu. Bobot seragam ditentukan sebagai berikut:, jika i dan j merupakan tetangga terdekat N 0, jika lainnya dengan N menyatakan banyaknya tetangga terdekat dari lokasi i pada lag spasial. Sifatsifat matriks bobot seragam diantaranya: 0 N N N, untuk setiap i dan N j i j Diagonal matriks bobot W adalah nol..4. Model Space ime Autoregresif Orde, SAR(;) Model Space ime Autoregressive (SAR) merupakan hasil kombinasi dari model autoregresif (AR) dari Box-Jenkins (976) dengan model spasial Cliff-Ord dalam Ruchjana (0). Persamaan model SAR(;) dapat dinyatakan sebagai berikut: t t t t Z Z WZ E (.4) Z t vektor pengamatan (N x ) dari N lokasi pada aktu t t ) vektor pengamatan (N x ) dari N lokasi pada aktu t- W matriks bobot (N x N) pada lag spasial t aktu pengamatan (,3,,) parameter model pada lag spasial 0 dan lag aktu parameter model pada lag spasial dan iid e N 0, lag aktu dengan t Persamaan untuk dua lokasi dinyatakan sebagai berikut: Z t Z t 0 Z t e t Z t Z t Z t e t 0 x x x x atau dapat diuraikan sebagai berikut: 3. MEODE PENELIIAN Metode penelitian dalam makalah ini berdasarkan studi kepustakaan (studi literatur) dan studi eksperimental. Studi literatur dilakukan dengan mengkaji literatur tentang proses spasial dan model time series, diantaranya model SAR(;), model VAR() dan VAR(). Sedangkan studi eksperimental dilakukan pada data curah hujan pada dua lokasi di Indonesia bagian barat engan penaksiran parameter menggunakan perangkat lunak excel. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah curah hujan dari dua lokasi yaitu Curah Hujan Di Provinsi kepulauan Bangka Belitung dan stasiun pengamatan abing Padang ahun Alur/diagram untuk penelitian yang diusulkan: Mulai dengan menentukan data yang akan diolah, untuk mengolah data tersebut perlu kajian teori proses stokastik; ime series, mulai dari Univariat; model AR(), ACF (fungsi autokorelasi), PACF (fungsi parsial autokorelasi). Untuk menetapkan model AR(), kemudian menentukan Matriks bobot lokasi W, Matriks bobot seragam, selanjutnya; mempelajari model SAR(;), menerapkan model SAR(;) pada penaksiran parameter data curah hujan dari lokasi. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4. Model Space ime Autoregresif, SAR(;) Model Space ime Autoregresif orde dalam lokasi dan orde dalam aktu, SAR(;) menunjukkan nilai pengamatan masa mendatang tergantung dari nilai pengamatan dua aktu sebelumnya di lokasi tersebut dan di lokasi-lokasi lain disekitarnya yang berada dalam satu kelompok dengan tingkat perubahan ketergantungan lokasi adalah satu. Keterkaitan antara dua lokasi pada model SAR(;) dinyatakan oleh matriks bobot W yang entrientrinya berupa bobot antara dua lokasi yang bersesuaian. Persamaan model SAR(;) dinyatakan ) t Zt Zt WZ t WZ t E t (4.) 570

4 Prosiding Seminar Nasional Sains dan eknologi Nuklir PNBR BAAN Bandung, 4 Juli 3 Persamaan (4.) di atas disederhanakan oleh Pfeifer yang menyatakan mengingat kelompok lokasi berada pada lag spasial (dalam satu kelompok lokasi) maka penambahan parameter spasial dan matriks bobot W cukup satu kali yaitu pada lag aktu. Model Pfeifer tersebut adalah: t ) t ) WZ ( t ) E( (4.) t t Z vektor pengamatan (N x ) dari N lokasi pada aktu t t ) vektor pengamatan (N x ) dari N lokasi pada aktu t- Z t vektor pengamatan (N x ) dari N lokasi pada aktu t- W matriks bobot (N x N) pada lag spasial aktu pengamatan (3,4,,) parameter model pada lag spasial 0 dan lag aktu parameter model pada lag spasial 0 dan lag aktu parameter model pada lag spasial dan lag aktu dengan iid e N 0, t Selanjutnya untuk dua lokasi pengamatan, persamaan (4.) dapat dibentuk menjadi Z( Z( t ) Z( Z( t ) e ( e( Z ( t ) Z ( t ) 0 Z( t ) 0 Z( t ) (4.) Persamaan (4.) dapat diuraikan menjadi: Z t Z t Z t Z t e t Z t Z t Z t Z t e t Persamaan (4.) dapat dibentuk menjadi persamaan linear berikut: Y X dengan Y Z t,, dan (4.3) X t ) t ) WZ ( t ) 4. Prosedur Penaksiran Parameter menggunakan Metode Kuadrat erkecil pada Model SAR(;) Penaksiran parameter dengan metode kuadrat terkecil pada prinsipnya adalah untuk meminimumkan jumlah kuadrat galat. Galat model SAR(;) adalah sebagai berikut (Sugihartini,, 0): et Zt Z t Z t WZ t ( 4.4 ) Jumlah kuadrat galat SAR(;) dinyatakan W S e t Z t Z t Z t Z t urunan terhadap,, dan adalah sebagai berikut: S Zt Zt Zt Zt Zt 0 W t ) t ) t ) t ) t ) W t )] t ) S Zt Zt Zt Zt Zt 0 W t ) ˆ ( ) ( ) ˆ Z t Z t t ) t ) ˆ W t )] t ) (4.3) S Zt Zt Zt Zt WZ t 0 W W W W Z t Z t Z t Z t Z t Z t Z t WZ t W Dalam bentuk matriks menjadi: t ) t ) W t ) t ) t ) t ) t )W t ) t ) t ) t ) t ) t )W t ) W t ) t ) ˆ Wt-)t- ) ˆ W t )W t ) ˆ (4.5) Untuk t = 3,4,, maka persamaan (4.5) menjadi 57

5 Prosiding Seminar Nasional Sains dan eknologi Nuklir PNBR BAAN Bandung, 4 Juli 3 t3 t3 t t) t) W t) t) t) t ) t)w t) ˆ ˆ ˆ 3 Atau t) t) t ) t) t)w t) Zt ( ) Zt ( ) Zt ( ) Zt ( ) W( Zt) Zt ( ) Zt ( ) Zt ( ) Zt ( ) Zt ( ) Wt -)t -) t Zt ( )W( Zt) Zt ( )W( Zt) W( Zt)W( Zt) ' W t) t) ˆ Wt -)t -) ˆ W t)w t) ˆ 3 Zt () Zt ( ) Zt () Zt ( ) Zt ()W() Zt X X ' X Z (4.6) dengan, X W Z t Z t Z t dan ' X X matriks non singular., 4.3. Prakiraan Curah Hujan dengan Model SAR(;) Di baah ini disajikan plot data curah hujan pada lokasi dan lokasi. dilakukan penaksiran parameter model SAR(;) menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan softare. Parameterparameter model SAR(;) menunjukkan besarnya pengaruh suatu lokasi terhadap lokasi itu sendiri dan pengaruh suatu lokasi terhadap lokasi-lokasi lain disekitarnya. Model taksiran SAR(;) merupakan model yang dibentuk dengan parameter-parameternya merupakan parameter hasil taksiran SAR(;) dan matriks 0 bobot yang digunakan, yaitu W 0 Model taksiran SAR(;) yang terbentuk adalah Zˆ ( t ) 0.7 Z ( t ) 0.9 Z ( t ) 0.05 Z ( t ) Zˆ ( t ) 0.05 Z ( t ) 0.9 Z ( t ) 0.7 Z ( t ) (4.8) Artinya curah hujan dilokasi satu dipengaruhi oleh lokasi sendiri 0,7 satu aktu sebelumnya - 0,9 dua aktu sebelumnya dan 0,05 satu aktu lokasi lokasi dua, curah hujan dilokasi dua dipengaruhi oleh 0,05 satu aktu sebelumnya dan -0,9 dua aktu sebelumnya dan sebesar 0,7 lokasi dua satu aktu sebelumnya. 5. KESIMPULAN Model SAR(;) adalah sbb: Z t Z t Z t Z t e t Z t Z t Z t Z t e t Gambar 4. Plot Data curah hujan Lokasi dan Lokasi Data curah hujan yang digunakan pada penelitian ini, data curah hujan di kepulauan Bangka Belitung dan Stasiun Pengamatan ebing Padang pada periode tahun Penaksiran Parameter Model SAR(;) Dengan mensubstitusikan nilai-nilai matriks bobot biner ke dalam model SAR(;), dapat Model SAR(;) dapat diterapkan pada berbagai fenomena riil, seperti data curah hujan. Untuk data curah hujan yang digunakan pada penelitian ini, data curah hujan di kepulauan Bangka Belitung dan Stasiun Pengamatan ebing Padang pada periode tahun ,Model SAR(;) yang terbentuk adalah: Zˆ ( t ) 0.7 Z ( t ) 0.9 Z ( t ) 0.05 Z ( t ) Zˆ ( t ) 0.05 Z ( t ) 0.9 Z ( t ) 0.7 Z ( t ) Artinya curah hujan dilokasi satu dipengaruhi oleh lokasi sendiri 0,7 satu aktu sebelumnya - 0,9 dua aktu sebelumnya dan 0,05 satu aktu lokasi lokasi dua, curah hujan dilokasi dua dipengaruhi oleh 0,05 satu aktu sebelumnya dan -0,9 dua aktu sebelumnya dan sebesar 57

6 Prosiding Seminar Nasional Sains dan eknologi Nuklir PNBR BAAN Bandung, 4 Juli 3 0,7 lokasi dua satu aktu sebelumnya. 6. UCAPAN ERIMAKASIH Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:rektor Unpad dan Dekan FMIPA Unpad yang telah memberikan kesempatan kepada Staf Dosen Jurusan Matematika untuk melaksanakan kegiatan penelitian di jurusan dan fakultas MIPA Unpad. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Unpad beserta Pengelola Jurusan Matematika yang telah membantu pendanaan kegiatan penelitian ini. Rekan Peneliti Kelompok Bidang Keahlian Pemodelan Stokastik, serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga kegiatan penelitian ini memberikan manfaat bagi kami sebagai tim peneliti untuk melaksanakan kegiatan penelitian sebagai salah satu tridharma perguruan tinggi, agar dapat mendukung pelaksanaan pendidikan maupun pengabdian kepada masyarakat. 7. DAFAR PUSAKA. WEI, WILLIAM W.S ime Series Analysis, Addison Wesley Publishing Company.Inc BOX, G.E.E.,AND G.M.JENKINS ime Series Analysis, Forecasting and control, Holden-Day,Inc.,SanFransisco.(96). 3. PFEIFER,P.E., Spatial Dynamic Modeling, unpublished Ph.D Dissertation, Georgia Institute of echnologi, Georgia(979). 4. RUCHJANA, B. N. Suatu Model Generalisasi Space-ime Autoregresi dan Penerapannya Pada Produksi Minyak Bumi, Disertasi S-3, IB. (0). 5. SURYAMAH Perbandingan Matriks Bobot Lokasi Model Space ime Autoregresi Orde Satu esis Program Pascasarjana UNPAD (0). 6. SUGIHARINI, Penaksiran Parameter Model Space ime Autoregresif SAR(;) Skripsi Program S Matematika FMIPA UNPAD ( 0). 573