Metode Cochrane-Orcutt untuk Mengatasi Autokorelasi pada Regresi Ordinary Least Squares

Transkripsi

1 Metode Cochrane-Orcutt untuk Mengatasi Autokorelasi pada Regresi Ordinary Least Squares The Cochrane-Orcutt Method for Solution of Autocorrelation in Ordinary Least Squares Regression M. Fathurahman Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman Abstract In ordinary least squares regression modeling, one of the important assumes is uncorrelated among error variables or it have no autocorrelation. If error variables of OLS regression model correlated, then estimator of parameter OLS regression model not best linear unbiased estimator (BLUE) because they have no minimum variance among the other estimators. Consequently, estimating interval and testing of parameter OLS regression model must be wrong and it can not be used for evaluation regression result. The purpose of this research is investigating the Cochrane-Orcutt method for solution of autocorrelation in OLS regression and applied to banking data. The result of research show that, the Cochrane-Orcutt method can be used for solution of autocorrelation in OLS regression and applied to banking data. Keywords: Autocorrelation, Bank, OLS, Regression, the Cochrane-Orcutt method. Pendahuluan Regresi merupakan salah satu teknik analisis data dalam statistika yang dapat menjelaskan dan mengevaluasi hubungan antara suatu variabel respon dengan satu atau lebih variabel predictor serta dapat digunakan untuk memprediksi variabel respon (Kutner, Nachtsheim dan Neter, 2004). Salah satu model regresi yang paling banyak digunakan adalah regresi ordinary least square atau regresi OLS (Montgomery, Jennings dan Kulahci, 2008). Regresi ini banyak digunakan, karena analisis matematis dalam pemodelannya relatif mudah dan banyak paket program komputer (software) statistik yang memberikan kemudahan untuk menganalisisnya. Dalam pemodelan regresi OLS terdapat salah satu asumsi penting yang harus dipenuhi adalah tidak terjadi korelasi diantara variabel error modelnya atau tidak terjadi autokorelasi. Autokorelasi merupakan salah satu pelanggaran terhadap asumsi regresi OLS. Jika terjadi autokorelasi pada model regresi OLS, maka akan mengakibatkan penaksir parameter model regresi yang diperoleh menjadi tidak best linear unbiased estimator (BLUE) karena tidak mempunyai variansi yang minimum diantara penaksir yang lain, sehingga menyebabkan hasil penaksiran interval dan pengujian parameter model regresi OLS menjadi tidak benar dan tidak dapat digunakan untuk evaluasi hasil regresi (Gujarati (2003), Widarjono (2007)). Penelitian ini bertujuan mengkaji metode Cochrane-Orcutt untuk mengatasi autokorelasi pada regresi OLS, khususnya untuk model regresi OLS yang menggunakan satu variabel prediktor dan diaplikasikan pada data perbankan. Regresi OLS Regresi OLS adalah suatu model regresi linier yang menggunakan metode OLS untuk mendapatkan taksiran modelnya. Metode OLS adalah suatu metode penaksiran parameter model regresi yang meminimumkan jumlah kuadrat error. Model regresi OLS dengan satu variabel prediktor dapat ditulis seperti pada persamaan berikut (Kutner, dkk. (2004), Montgomery dkk (2008)):, (1) dengan adalah variabel prediktor pada pengamatan ke-t, adalah variabel respon pada pengamatan ke-t, adalah parameter model dan adalah variabel error pada pengamatan ke-t. Penaksir OLS untuk parameter dan adalah seperti pada persamaan berikut (Sembiring, (2003), Draper dan Smith (1992)). (2) dengan: ( )( ) ( ) (3) Berdasarkan Persamaan (2) dan Persamaan (3) diperoleh taksiran model regresi OLS seperti pada persamaan berikut (Sembiring, 2003). ( ) (4) Autokorelasi Secara harfiah autokorelasi dapat diartikan sebagai adanya hubungan antara anggota observasi satu dengan observasi lain yang berlainan waktu. Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman 33

2 Dalam kaitannya dengan asumsi pada regresi OLS, autokorelasi adalah hubungan antara satu variabel error dengan variabel error yang lain. Autokorelasi seringkali terjadi pada data time series dan dapat juga terjadi pada data cross section tetapi jarang (Widarjono, 2007). Adapun dampak dari adanya autokorelasi pada regresi OLS adalah walaupun estimator OLS masih linier dan tidak bias, tetapi tidak lagi mempunyai variansi yang minimum dan menyebabkan perhitungan standar error tidak bisa dipercaya kebenarannya. Selain itu interval estimasi maupun pengujian hipotesis yang didasarkan pada distribusi t maupun F tidak bisa lagi dipercaya untuk evaluasi hasil regresi. Akibat dari dampak adanya autokorelasi dalam model regresi menyebabkan estimator OLS tidak menghasilkan estimator yang BLUE dan hanya menghasilkan estimator OLS yang LUE (Gujarati (2003), Widarjono, (2007)). Uji Lagrange Multiplier Uji ini merupakan salah satu uji yang dapat digunakan untuk mendeteksi autokorelasi regresi OLS. Uji Lagrange Multiplier diperkenalkan oleh Breusch (1978) dan Godfrey (1978) sehingga uji Lagrange Multiplier disebut juga dengan uji Breusch-Godfrey. Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk mendeteksi autokorelasi pada model regresi OLS menggunakan uji Lagrange Multiplier adalah ((Gujarati (2003), Widarjono (2007)): 1. Melakukan estimasi parameter model regresi OLS berdasarkan Persamaan (1) dan mendapatkan error modelnya. 2. Melakukan identifikasi terhadap error, yaitu mengidentifikasi error mengikuti proses autoregressive (AR), moving average (MA) atau proses campuran AR dan MA (ARMA). 3. Jika diasumsikan error yang diperoleh dari langkah 1 mengikuti proses AR orde p atau AR(p) seperti pada persamaan berikut. (5) 4. Melakukan regresi error dengan semua variabel prediktor dan lag dari error pada persamaan (5). 5. Menghitung nilai koefisien determinasi (R 2 ) berdasarkan model regresi pada Persamaan (5). 6. Jika sampel besar, maka menurut Breusch (1978) dan Godfrey (1978) dapat diperoleh statistik uji dari model regresi pada langkah 4 yang mengikuti distribusi Chi-Square dengan derajat bebas p. Sehingga statistik uji untuk uji Lagrange Multiplier adalah: ( ) (6) dengan: = Chi-Square hitung. n = Besar sampel. p = Banyaknya lag. = Koefisien determinasi. Metode Cochrane-Orcutt Metode Cochrane-Orcutt ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah autokorelasi pada regresi OLS, khususnya bila struktur autokorelasi tidak diketahui (Gujarati (2003), Widarjono (2007)). Andaikan error ( ) pada Persamaan (5) diasumsikan mengikuti proses autoregressive orde 1 atau disingkat AR(1), seperti pada Persamaan (7) berikut (Kutner, dkk. (2004), Montgomery dkk (2008), Widarjono (2007)):, (7) dengan memenuhi asumsi regresi OLS, maka terjadi autokorelasi pada regresi OLS pada Persamaan (1). Untuk mengatasi autokorelasi pada Persamaan (1) yang mempunyai error seperti pada Persamaan (5) menggunakan metode Cochrane-Orcutt adalah diawali dengan menghitung menggunakan nilai estimasi error. Menurut Montgomery dkk (2008) dan Kutner dkk (2004) nilai estimasi untuk dapat dihitung menggunakan persamaan berikut. (8) dengan adalah estimator untuk. Selanjutnya perhitungan dilakukan dengan cara iterasi sampai diperoleh nilai estimasi bagi yang tidak mengandung masalah autokorelasi. Analisis Deret Waktu Analisis deret waktu diperkenalkan pada tahun 1970 oleh George E.P. Box dan Gwilym M. Jenkins. Deret waktu (time series) merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap. Analisis deret waktu adalah salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probabilistik keadaan yang terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan (Aswi dan Sukarna, 2006). Beberapa model deret waktu yang mungkin dihasilkan dari pengidentifikasian data deret waktu dapat berupa model autoregressive (AR), integrated (I) dan moving average (MA) atau kombinasi dari dua komponen model (ARI, IMA, ARMA) atau kombinasi dari tiga komponen model (ARIMA). Berikut ini diberikan bentuk umum dari model AR, MA dan ARMA (Wei, 2006). Bentuk umum model AR orde p, AR(p) adalah seperti pada persamaan berikut. (9) Bentuk umum model MA orde q, MA(q) adalah seperti pada persamaan berikut. (10) Bentuk umum model ARMA(p,q) adalah seperti pada persamaan berikut. (11) Untuk mengetahui suatu deret waktu mengikuti model AR(p), MA(q) dan ARMA(p,q) 34 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

3 dapat digunakan diagram fungsi autokorelasi (FAK) dan diagram fungsi autokorelasi parsial (FAKP). Adapun bentuk FAK dan FAKP suatu deret waktu mengikuti model AR(p), MA(q) dan ARMA(p,q) adalah sebagai berikut (Wei, 2006): 1. Model AR(p) mempunyai bentuk FAK turun secara eksponensial menuju nol dengan bertambahnya k (dies down) dan bentuk FAKP terpotong setelah lag p (cut off after lag p). 2. Model MA(q) mempunyai bentuk FAK cut off after lag p dan bentuk FAKP dies down. 3. Model ARMA(p,q) mempunyai bentuk FAK dies down dan bentuk FAKP juga dies down. Kredit Kredit berasal dari bahasa Latin credere yang artinya percaya. Pengertian kredit menurut Undang Undang Perbankan Nomor 10 Tahun 1998 adalah penyediaan uang atau tagihan yang dapat dipersamakan dengan itu, berdasarkan persetujuan atau kesepakatan pinjam meminjam antara bank dengan pihak lain yang mewajibkan pihak peminjam melunasi utangnya setelah jangka waktu tertentu dengan pemberian bunga. Dalam penyaluran kredit kepada debitur senantiasa ditemui adanya permasalahan kredit sehingga menimbulkan kredit macet, Kredit macet adalah kredit yang setelah jatuh tempo tidak dapat dilunasi oleh debitur sebagaimana mestinya sesuai dengan perjanjian. Kredit macet merupakan bagian dari pengelolaan kredit bank, karena kredit bermasalah itu sendiri merupakan risiko yang dihadapi bisnis perbankan. Hampir semua bank memiliki kredit macet. Bahkan dalam beberapa kasus kredit macet di Indonesia berakhir ke penutupan beberapa bank. Kredit macet bagi dunia perbankan merupakan penyakit berbahaya yang dapat membuat lumpuhnya suatu bank. Non Performing Loan (NPL) merupakan persentase jumlah kredit bermasalah terhadap total kredit yang dikeluarkan bank. Jika suatu bank memiliki tingkat NPL yang tinggi, maka bank tersebut akan menderita kerugian bahkan menjadi bangkrut. Masyarakat akan pindah ke bank yang memiliki kinerja yang lebih baik. Perilaku penawaran kredit perbankan tidak hanya dipengaruhi oleh dana yang tersedia yang bersumber dari dana pihak ketiga (DPK), tetapi juga dipengaruhi oleh persepsi bank terhadap prospek usaha debitur dan kondisi perbankan itu sendiri seperti Loan to Deposit Ratio (LDR). Bank yang memiliki LDR sangat kecil berarti bank tersebut tidak menjalankan fungsi intermediasi dengan baik. ( &sid=4&nav=artikel.detail&id=92&title=bank%20 Sehat). Metode Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data dalam Fathurahman dan Haeruddin (2011) yang disesuaikan dengan variabel-variabel yang digunakan, yaitu LDR sebagai variabel prediktor yang dinotasikan dengan X dan NPL sebagai variabel respon yang dinotasikan Y. Data selengkapnya terdapat pada lampiran. Untuk mengatasi autokorelasi pada model regresi OLS menggunakan metode Cochrane- Orcutt, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Menggunakan metode OLS untuk mendapatkan estimasi model regresi dan nilai estimasi dari error berdasarkan Persamaan (1). 2. Meregresikan error ke-t dengan error ke-(t-1) untuk mendapatkan nilai menggunakan Persamaan (7). 3. Melakukan transformasi terhadap variabel regresi kemudian meregresikannya variabel regresi tersebut seperti persamaan berikut. ( ) ( ) (12) Persamaan (12) dapat ditulis menjadi persamaan berikut. (13) dengan ( ). 4. Sampai langkah ini belum bisa diketahui apakah yang diperoleh, sudah merupakan nilai terbaik atau tidak. Untuk itu dimasukkan nilai ( ) dan yang diperoleh dari Persamaan (13) ke Persamaan (1), sehingga diperoleh nilai error, seperti pada persamaan berikut. (14) 5. Meregresikan Persamaan (14) dan diperoleh persamaan berikut. (15) Nilai merupakan hasil langkah kedua dalam mengestimasi nilai Langkah ini perlu dilanjutkan hingga ketiga dan seterusnya, sampai diperoleh nilai yang kecil, atau sudah bersifat konvergen. Hasil dan Pembahasan Setelah dilakukan estimasi parameter model regresi OLS diperoleh hasil seperti pada tabel berikut. Tabel 2. Hasil estimasi parameter dan uji F Variabel Koefisien F p-value Konstanta 15,384 65,8 0,000 X -0,153 Tabel 3. Hasil estimasi parameter dan uji t Variabel Koef. SE Koef. t p-value Konstanta X 15,384-0,153 1,246 0,019 12,34-8,11 0,000 0,000 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman 35

4 Berdasarkan Tabel 2 dan Tabel 3, diperoleh model regresi OLS yang menyatakan hubungan antara LDR dengan NPL seperti pada persamaan berikut. Y = 15,384 0,153X (16) Interpretasi dari model regresi OLS menurut Persamaan (16) adalah jika LDR bertambah 1%, maka akan menurunkan NPL sebesar 0,153% dan jika LDR dianggap tetap (konstan), maka nilai LDR sebesar 15,384%. Kemudian dari Tabel 2 dan Tabel 3, terlihat bahwa LDR berpengaruh sangat signifikan terhadap NPL. Hal ini ditunjukkan oleh hasil uji F dan uji t masing-masing mempunyai p- value (0,000) kurang dari dari α (0,01 maupun 0,05). Selanjutnya dilakukan pendeteksian autokorelasi pada model regresi OLS Persamaan (10) menggunakan uji Lagrange Multiplier. Sebagai langkah awal dilakukan perhitungan error berdasarkan Persamaan (16) dan melakukan identifikasi terhadap error, yaitu mengidentifikasi error mengikuti proses autoregressive (AR), moving average (MA) atau proses campuran AR dan MA (ARMA). Berdasarkan Gambar 1.a dan Gambar 1.b, terlihat bahwa error mengikuti proses AR(1). Hal ini ditunjukkan oleh bentuk FAK pada Gambar 1.a adalah dies down dan bentuk FAKP pada Gambar 1.b cut off after lag 1 seperti pada Gambar 1 berikut. 1.a 1.b Gambar 1. Bentuk FAK dan FAKP error Karena sudah teridentifikasi error mengikuti proses AR(1), maka dengan menggunakan bantuan software EViews dapat dihitung nilai statistik uji dan p-value untuk uji Lagrange Multiplier seperti pada Tabel 4 berikut. Tabel 4. Hasil pendeteksian autokorelasi Statistik Uji p-value 50,36 0,000 Berdasarkan Tabel 4, terlihat bahwa terjadi autokorelasi dalam model regresi OLS pada Persamaan (16). Hal ini ditunjukkan oleh nilai statistik uji Lagrange Multiplier (50,36) lebih besar dari nilai Chi-Square tabel (5,991) dan p-value (0,000) lebih kecil dari nilai α (0,01 maupun 0,05). Setelah diketahui terjadi autokorelasi dalam model regresi OLS pada Persamaan (13), maka dilakukan penyembuhan atau menghilangkan autokorelasi menggunakan metode Cochrane- Orcutt yang diawali dengan menghitung error berdasarkan Persamaan (16), hasil yang diperoleh seperti pada Lampiran. Kemudian mendapatkan nilai dengan meregresikan error ke-t dengan error ke-(t-1) berdasarkan Persamaan (7) dan diperoleh nilai sebesar 0,876 berdasarkan Persamaan (8). Selanjutnya berdasarkan Persamaan (1), Persamaan (12) dan Persamaan (13) diperoleh hasil estimasi dan pengujian parameter regresi OLS seperti pada Tabel 5 dan Tabel 6 berikut. Tabel 5. Hasil estimasi parameter dan uji F Variabel Koefisien F p-value Konstanta X* 1,513-0,102 6,43 0,014 Tabel 6. Hasil estimasi parameter dan uji t Variabel Koef. SE Koef. t p-value Konstanta 1,513 0,347 4,36 0,000 X* -0,102 0,04-2,54 0,014 SE = Standard Error. Berdasarkan Tabel 5 dan Tabel 6, diperoleh model regresi OLS baru yang menyatakan hubungan antara LDR dengan NPL seperti pada persamaan berikut. Y* = 1,513 0,102X * (17) Interpretasi dari model regresi OLS menurut Persamaan (17) adalah jika LDR bertambah 1%, maka akan menurunkan NPL sebesar 0,102% dan jika LDR dianggap tetap (konstan), maka nilai LDR sebesar 1,513%. Kemudian dari Tabel 5 dan Tabel 6, terlihat bahwa LDR secara signifikan berpengaruh terhadap NPL. Hal ini ditunjukkan oleh hasil uji F dan uji t masing-masing mempunyai p-value (0,014) lebih kecil dari α (5%). Selanjutnya dilakukan pendeteksian autokorelasi dalam model regresi OLS pada Persamaan (17) menggunakan uji Lagrange Multiplier. Hasil yang diperoleh adalah seperti pada tabel berikut. Tabel 7. Hasil pendeteksian autokorelasi Statistik Uji p-value 3,12 0,209 Berdasarkan Tabel 7, terlihat bahwa tidak terjadi autokorelasi dalam model regresi OLS pada Persamaan (17). Hal ini ditunjukkan oleh nilai statistik uji Lagrange Multiplier (3,12) lebih kecil dari nilai Chi-Square tabel (5,991) dan p-value (0,209) lebih besar dari nilai α (0,01maupun 0,05). Kemudian dari Tabel 7 dapat diketahui bahwa nilai sebesar 0,876 merupakan nilai estimasi terbaik bagi karena dapat menghilangkan atau mengatasi autokorelasi dalam model regresi OLS pada Persamaan (16). Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa metode Cochrane-Orcutt dapat mengatasi autokorelasi pada regresi OLS dan aplikasinya pada data perbankan. 36 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

5 Daftar Pustaka Aswi dan Sukarna Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi, Makasar: Andira Publisher. Breusch, T.S Testing for Autocorrelation in Dynamic Linear Models, Australian Economic Paper, Vol. 17. hal Draper, N. dan Smith, H Analisis Regresi Terapan. Edisi Kedua. Terjemahan oleh Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Fathurahman, M. dan Haeruddin. 2011, Pemodelan Regresi Linier untuk Data Deret Waktu, Eksponensial, Vol. 2, No. 2, hal Godfrey, L.G Testing against General Autoregressive and Moving Average Error Model when the Regressors Include Lagged Dependent Variables, Econometrica, Vol. 46. hal Gujarati, N.D Basic Econometrics. Fourth Edition. New York: McGraw-Hill/Irwin. Kutner, M.H., Nachtsheim, C.J, dan J. Neter Applied Linear Regression Models. Fourth Edition. New York: McGraw-Hill/Irwin. Montgomery D.C, Jennings, C.L dan M. Kulahci Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. Hoboken New Jersey: John Wiley and Sons., Inc. Sembiring, R.K Analisis Regresi. Edisi Kedua. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Undang Undang Perbankan Nomor 10 Tahun Wei, W.W.S. (2008). Time Series Analysis: Univariat and Multivariate Methods,Second Edition, Addison Wesley Boston: Pearson Education, Inc. Widarjono, A Ekonometrika: Teori dan Aplikasi untuk Ekonomi dan Bisnis. Edisi Kedua. Yogyakarta: Ekonisia Fakultas Ekonomi Universitas Islam Indonesia. sid=4&nav=artikel.detail&id=92&title=bank% 20Sehat. Diakses: 7 September Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman 37

6 Lampiran Data Hasil Penelitian t X Y e t X Y e t X* Y* e* t X* Y* e* Sumber: Fathurahman dan Haeruddin (2012) diolah. Keterangan: X = LDR. Y = NPL. e = Error. 38 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman