PRINSIP MONOMIALITY DAN FUNGSI EIGEN DARI OPERATOR DIFERENSIAL

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PRINSIP MONOMIALITY DAN FUNGSI EIGEN DARI OPERATOR DIFERENSIAL ADE FITRI, EFENDI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, nte.ndee@gmail.com Abstrak. Let Ap nx) αp nx), where A is the differential operator, α is constant, and polynomial p nx) as the eigenfunction, has nontrivial solution, In this journal, the monomiality principle can be used to determine the eigenfunction of the differential operator. Moreover, some special polynomials are given and some eigenfunctions of differensial operator will be determined. Kata Kunci: The monomiality principle, eigenfunction, Laguerre derivative, Stirling numbers of second kind, special polynomials.. Pendahuluan Polinomial suku banyak) merupakan jumlah dari koefisien dengan variabel x berpangkat bilangan bulat positif, dimana operasi yang berlaku adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pemangkatan dengan bilangan bulat positif. Operator adalah suatu transformasi yang mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain. Banyak jenis operator salah satunya adalah operator diferensial. Operator D d dengan notasi dx, merupakan contoh dari operator diferensial. Jika operator diferensial beroperasi terhadap polinomial menghasilkan polinomial tersebut dikalikan dengan konstanta, maka polinomial itu disebut fungsi eigen eigenfunction) dari operator diferensial. Hal yang dibahas dalam makalah ini adalah menemukan fungsi eigen dari operator diferensial yang bentuk fungsinya adalah polinomial, yaitu dengan mengetahui sifat-sifat dari polinomial setelah beroperasi dengan operator diferensial. Prinsip monomiality mengkaji sifat-sifat dari polinomial sehingga prinsip ini memungkinkan untuk menemukan fungsi eigen dari operator diferensial. 2. Prinsip Monomiality Himpunan polinomial {p n x) n N } disebut himpunan quasimonomial jika terdapat dua buah operator ˆP dan ˆM, yakni operator derivative dan operator multiplication, yang diidentitaskan dengan ˆP pn x)) np n x), dan ˆMp n x)) p x). Kedua aturan ini dinamakan dengan prinsip monomiality [5]. 35

2 36 3. Pembahasan Dari prinsip monomiality dapat diperoleh beberapa sifat berikut ini [5, 6]: a. Operator ˆM ˆP beroperasi terhadap polinomial p n x) ˆM ˆP p n x)) ˆMnp n x)) np n x). b. Polinomial p n x) bisa dikontruksi sebagai berikut : p n x) ˆM n p 0 x). Jika p 0 x), polinomial p n x) dapat dikontruksi menjadi p n x) ˆM n ). 3.. Fungsi Eigen dari Operator Laguerre Derivative Bentuk umum dari Laguerre derivative yaitu D L DxD d dx x d dx ) D + xd2. Untuk setiap n bilangan bulat positif, fungsi eksponensial nlaguerre didefinisikan sebagai berikut [3]: e n x) x k k!). Teorema 3.. [8] Fungsi e ax) adalah fungsi eigen dari operator Laguerre derivative, dimana a adalah bilangan real, atau dapat ditulis sebagai berikut D L e ax) a e ax). Bukti. D L e ax) D + xd 2 ) a k xk k!) 2 D a k xk k!) 2 ) + xd2 ka k xk k!) 2 + k + kk ))a k xk k!) 2 k 2 a k xk k!) 2 a k xk k!) 2 ) kk )a k xk k!) 2

3 37 D L e ax) k 2 a k x k kk )!) 2 a a k x k k )!) 2 a a k a e ax) xk k!) 2 : Bentuk umum dari Laguerre derivative yaitu D L D+xD 2, sehingga diperoleh D 2L DxDxD DxD + x 2 D 2 ) D + 3xD 2 + x 2 D 3, dan D n )L Dx... DxD DxD + x 2 D x n D n ) Sn, )D + Sn, 2)xD Sn, h )x h 2 D h + Sn, h)x h D h Sn, n)x n D n, di mana Sn, ), Sn, 2),..., Sn, h ), Sn, h),..., Sn, n) adalah bilangan Stirling jenis kedua, Sn, k) [8]. Diperoleh juga rumusan sebagai berikut : D nl DxD n )L ) Sn, )D + Sn, ) + 2Sn, 2))xD 2 + Sn, 2) + 3Sn, 3))x 2 D Sn, h ) + hsn, h))x h D h Sn, n ) + nsn, n))x n D n +Sn, n)x n D, karena Sn +, k) Sn, k ) + ksn, k), dengan n, k Z + maka D nl Sn +, )D + Sn +, 2)xD 2 + Sn +, 3)x 2 D Sn +, h)x h D h Sn +, n)x n D n + Sn +, n + )x n D. Teorema 3.2. [6, 8] Fungsi e n ax) adalah fungsi eigen dari operator Laguerre derivative, di mana a adalah bilangan real, atau dapat ditulis sebagai berikut. D nl e n ax) a e n ax).

4 38 Bukti. D nl e n ax) D nl a k x k k!) ) [Sn +, )D + Sn +, 2)xD Sn +, h)x h D h Sn +, n)x n D n + Sn +, n + )x n D ] a k x k k!) ) Sn +, )D a k x k k!) ) + Sn +, 2)xD2 a k x k k!) ) Sn +, h)x h D h a k x k k!) ) Sn +, n)xn D n a k x k k!) ) + Sn +, n + )xn D a k x k k!) ) Sn +, ) ka k xk ) + Sn +, 2) kk )a k xk k!) k!) ) Sn +, h) kk )... k h ))a k xk k!) ) Sn +, n) kk )... k n ))a k xk k!) ) + Sn +, n + ) kk )... k n)a k xk k!) ) [Sn +, )k + Sn +, 2)kk ) Sn +, h) kk )... k h )) Sn +, n)kk )... k n )) + Sn +, n + )kk )... k n)]a k k!) xk ), karena x n n Sn, k)[x] k di mana [x] k xx )x 2)...x k + ), n maka D nl e n ax) k a k xk k!) k a k x k kk )!) a a k x k k )!) a a k x k k!) a e n ax).

5 Fungsi Eigen dari Operator Diferensial Asumsikan a dan n, maka Teorema 3.2 dapat diubah menjadi [6]: x k D L ex) DxD k!) 2 ) x k k!) 2. ˆM meru- Teorema 3.3. [6] Misalkan p k x) adalah himpunan polinomial, ˆP dan pakan operator derivative dan operator multiplication, maka p k x) k!) 2 ) p k x) k!) 2 sedemikian sehingga p k x) adalah fungsi eigen dari operator. k!) 2 Bukti. p k x) k!) 2 ) k!) 2 p k x)) k!) 2 ˆP ˆM ˆP p k x))) k!) 2 ˆP kp k x))) k!) 2 k2 p k x)) k + k + )! )2 p k x) k + k + )k! )2 p k x) p k x) k!) 2 ) k! )2 p k x) p k x) k!) 2 Teorema 3.4. [6] Suatu fungsi eigen p k x) dari operator... ˆM ˆP, k!) sebanyak n + buah operator ˆP, maka berlaku :... ˆM ˆP p k x) k!) ) p k x) k!).

6 40 Bukti.... ˆM ˆP p k x) k!) ) ˆP ˆP ˆP... ˆP n buah ˆM ˆP {}}{ ˆM ˆP... ˆM ˆP p k x) k!) n ) buah ˆM ˆP {}}{ ˆM ˆP... ˆM ˆP n 2) buah ˆM ˆP {}}{ ˆM ˆP... ˆM ˆP k n.p k x) k!) ) )) k.p k x) k!) )) k 2.p k x) k!) k n.k.p k x) k!) k.p k x) k!) k + k + )! ) p k x) k + k + )k! ) p k x) k! ) p k x) p k x) k!) )) 4. Aplikasi pada Polinomial Khusus 4.. Polinomial Hermite Bentuk deret dari polinomial Hermite sebagai berikut : [ n 2 ] H n x) ) k n!2x)n 2k k!n 2k)!. Formula rekursif dari polinom Hermite yaitu H x) 2xH n x) 2nH n x) dan H nx) 2nH n x) maka diperoleh: nh n x) d 2 dx )H nx), H x) 2x d dx )H nx). Jadi diperoleh dua buah operator ˆP d 2 dx dan ˆM 2x d dx sehingga, d 2 dx + 4 2x d dx ) d dx )2.

7 4 Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Hermite, yaitu sebagai berikut n0 H n x) n!) 2 ) [ n 2 ] ) k 2x) n 2k k!n 2k)!n! n0 sehingga H nx) n0 adalah fungsi Eigen dari operator. n!) Polinomial Bessel Bentuk deret dari polinomial Bessel sebagai berikut : n J n x) ) k x 2 )n+2k k!n + k)!. Formula rekursif dari polinom Bessel yaitu J x) + J n x) 2n x J nx) dan J n x) J x) 2J nx) maka diperoleh : J n x) d dx + n x )J nx), Jadi diperoleh dua buah operator ˆP n d dx + n2 x J x) d dx + n x )H nx). dan ˆM d dx + n x sehingga, k 2 d dx )3 + n3 n ) d x 2 dx + k3 k 2)k + ) x 3. Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Bessel, yaitu sebagai berikut J n x) n n!) 2 ) ) k x 2 )n+2k k!n + k)!n!) 2 n0 n0 sehingga J nx) n0 adalah fungsi eigen dari operator. n!) Polinomial Laguerre Bentuk deret dari polinomial Laguerre sebagai berikut : n L n x) ) n k n! k!n k)!) 2 xn k. Formula rekursif dari polinom Laguerre yaitu n + )L x) + nl n x) 2n + x)l n x) dan xl nx) nl n x) nl n x) maka diperoleh : nl n x) n x d dx )L nx), L x) n + x n + Jadi diperoleh dua buah operator ˆP n x d dx dan ˆM x + x d n + dx )L nx). + x d dx sehingga, n + n3 +n 2 n 2 x+x 2 +nx 2 n 2 x+nx 2x 2 ) d dx +2x2 x 3 ) d dx )2 +x 3 d dx )3 ).

8 42 Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Laguerre, yaitu sebagai berikut L n x) n n!) 2 ) ) n k n! k!n k)!) 2 n!) 2 xn k n0 n0 sehingga L nx) n0 adalah fungsi eigen dari operator. n!) Polinomial Legendre Bentuk deret dari polinomial Legendre sebagai berikut : [ n 2 ] P n x) ) k 2n 2k)! 2 n k!n k)!n 2k)! xn 2k. Formula rekursif dari polinomial Legendre yaitu np n x) nx+ x 2 ) d dx )P nx) dan P x) x x2 ) d dx )P nx). Jadi diperoleh dua buah operator ˆP nx + x 2 ) d dx dan ˆM x x2 ) d dx sehingga, n + n3 x 3 4nx 3 + n 2 x + 4nx + n 2 x 4 + n 2 x 2 nx 2 + 9x 4 2x 2 + n + 3) d dx +7x 5 4x 3 + 7x) d dx )2 + x 6 + 3x 4 + 3x 2 ) d dx )3 ). Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Laguerre, yaitu sebagai berikut n0 P n x) n!) 2 ) [ n 2 ] ) k 2n 2k)! 2 n k!n k)!n 2k)!n!) 2 xn 2k n0 sehingga P nx) n0 adalah fungsi eigen dari operator. n!) 2 5. Kesimpulan Prinsip monomiality adalah aturan-aturan dari operator ˆP dan ˆM yang beroperasi terhadap polinomial, yang mana prinsip ini diadopsi dari aturan dari operator ˆD : d dx dan ˆX : x yaitu operator derivative dan operator multiplication, yang beroperasi terhadap monomial, x n, yang berlaku sebagai berikut ˆDx n ) nx n, ˆXx n ) x. Prinsip monomiality dapat digunakan untuk menemukan fungsi eigen dari operator diferensial. Dari beberapa polinomial khusus yaitu polinomial Hermite, polinomial Bessel, polinomial Laguerre dan polinomial Legendre, dapat juga dicari fungsi eigen dari operator diferensial. 6. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada Bapak Admi Nazra, Bapak Efendi, Bapak Ahmad Iqbal Baqi, Bapak Syafruddin dan Bapak Budi Rudianto yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

9 7. Daftar Pustaka Daftar Pustaka [] Anonim Bilangan Stirling jenis kedua Stirling number of the second kind). diakses pada tanggal 4 februari 202 pukul 22.8 WIB [2] Anonim. Tanpa tahun. Derivatif turunan). derivatif-turunan.pdf, diakses pada tanggal 25 januari 203 pukul WIB [3] Anonim. 20. Fisika matematika. fis-mat-repaired-docx, diakses pada tanggal 28 Januari 203 pukul 0.04 WIB [4] Anonim. Tanpa tahun. Fungsi pembangkit generating functions). itb.ac.id/-diskrit/kuliah4baru.ppt, diakses pada tanggal 28 Januari 203 pukul 0.04 WIB [5] Blasiak, Pawel Combinatorics of boson normal ordering and some applications. Concepts of Physics. : [6] Cacao, I. dan P.E. Ricci. 20. Monomiality principle and eigenfunctions of differential operators. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences ) [7] Candel, A Polynomials. diakses pada tanggal 4 Februari 202 pukul WIB [8] Dattoli, G. dan P.E. Ricci Laguerre-type exponentials, and the relevant L-circular and L-hyperbolic functions. Georgian Mathematical Journal. 03) : [9] Kamal, A.A Solved Problem in Modern Physics. Springer, Texas [0] Novianingsih, K. Tanpa tahun. Koefisien binomial. fpmipa/jur.-pend.-matematika/khusnul-novianingsih/koefisien-binomial.pdf, diakses pada tanggal 25 Maret 203 pukul WIB [] Purcell, E.J., D. Varberg dan S.E. Rigdon Kalkulus, Jilid, Edisi 8. Erlangga, Jakarta [2] Purcell, E.J., D. Varberg dan S.E. Rigdon Kalkulus, Jilid 2, Edisi 8. Erlangga, Jakarta [3] Riseborough, P.S. 20. Mathematical methods. mm.pdf, diakses pada tanggal 6 Februari 203 pukul WIB [4] Sherrill, David Eigenfunctions and eigenvalues. notes/quantrev/node4.html, diakses pada tanggal 23 Februari 202 pukul WIB 43