DRAFT ANALISIS STRUKTUR Metode Integrasi Ganda (Double Integration) Suatu struktur balok sedehana yang mengalami lentur seperti pada Gambar

Transkripsi

1 2. Metode Integrasi Ganda (Double Integration) Suatu struktur balok sedehana yang mengalami lentur seperti pada Gambar 2.1, dengan y adalah defleksi pada jarak yang ditinjau x, adalah sudut kelengkungan (curvature angle), dan r adalah jari-jari kelengkungan (curvature radius). Gambar 2.1. Lenturan pada balok sederhana Dari Gambar 2.1, dapat dihitung besarnya dx seperti Pers. 2.1 : (2.1) karena nilai d relatif sangat kecil, maka tg d = d saja, sehingga Pers. 2.1 dapat ditulis ulang menjadi : atau (2.2) Jika dx bergerak kekanan maka besarnya d akan semakin mengecil atau semakin berkurang sehingga didapat persamaan berikut : Lendutan relatif sangat kecil sehingga menjadi : Diketahui bahwa persamaan tegangan adalah : sehingga didapat persamaan : (2.3), sehingga Pers. 2.3 berubah (2.4) (2.5) (2.6) Dr. AZ 1

2 kemudian bentuk akhir persamaannya adalah : (2.7) Jika dilakukan operasi integral dua kali pada Pers. 2.7, akan didapatkan persamaan berikut : reaksi vertikal (2.8) beban merata (2.9) Pers. 2.7 merupakan persamaan deferensial, sehingga untuk menyelesaikannya diperlukan syarat batas sesuai dengan jenis struktur yang ada seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2 dan 2.3. a. Tumpuan jepit Gambar 2.2. Kondisi batas tumputan jepit untuk x = 0, maka y = 0 untuk x = 0, maka b. Tumpuan sendi-roll Gambar 2.3. Kondisi batas tumpuan sendi-roll untuk x = 0 dan x = L, maka y = 0 untuk x = L/2, maka Dr. AZ 2

3 2.1. Balok kantilever dengan beban titik Gambar 2.4. Balok kantilever dengan beban titik Dari Gambar 2.4, besarnya momen pada jarak x adalah : Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam Pers. 2.7, sehingga didapat : Persamaan tersebut diintegralkan terhadap x, sehingga didapat : Dengan meninjau kondisi batas tumpuan, M maks terjadi pada x = L dan pada lokasi tersebut tidak terjadi rotasi, sehingga persamaannya menjadi : Sehingga persamaannya akan menjadi : Persamaan tersebut kemudian diintegralkan kembali terhadap x, sehingga menjadi : Dr. AZ 3

4 Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat C 2 sebagai berikut : Persamaan tersebut menjadi : Pada x = 0 akan terjadi rotasi maksimum sebesar : dan lendutan maksimum : 2.2. Balok kantilever dengan beban merata Gambar 2.5. Balok kantilever dengan beban merata Dr. AZ 4

5 Dari Gambar 2.5, besarnya momen pada jarak x adalah : Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam Pers. 7, sehingga didapat : Persamaan tersebut diintegralkan terhadap x, sehingga didapat : Dengan meninjau kondisi batas tumpuan, M maks terjadi pada x = L dan pada lokasi tersebut tidak terjadi rotasi, sehingga persamaannya menjadi : Sehingga persamaannya akan menjadi : Persamaan tersebut kemudian diintegralkan kembali terhadap x, sehingga menjadi : Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat C 2 sebagai berikut : Persamaan tersebut menjadi : Pada x = 0 akan terjadi rotasi maksimum sebesar : Dr. AZ 5

6 dan lendutan maksimum : 2.3. Balok sederhana dengan beban titik Gambar 2.6. Balok sederhana dengan beban titik Dari Gambar 2.6, besarnya reaksi dukungan dan besarnya momen pada jarak x adalah : dan Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam Pers. 2.7, sehingga didapat : Persamaan tersebut diintegralkan terhadap x, sehingga didapat : Dr. AZ 6

7 Pada x = a, dua persamaan tersebut hasilnya akan sama, dan jika diintegralkan lagi terhadap x akan didapatkan persamaan berikut : Pada x = a, maka nilai C 1 harus sama dengan C 2 (C 1 = C 2 ) dan C 3 = C 4, sehingga persamaannya menjadi : Dengan meninjau kondisi batas tumpuan : untuk x = 0, maka y = 0, sehingga nilai C 3 = C 4 = 0 untuk x = L, maka y = 0, sehingga persamaannya menjadi : karena L a = b, maka persamaan tersebut dapat ditulis : Sehingga setelah C 1 disubtitusi, persamaannya akan menjadi : Pada kasus beban titik terletak di tengah bentang (a = b = L/2), maka rotasi maksimum akan terjadi di x = 0 atau x = L, sehingga diperoleh : ( ) Pada kasus beban titik terletak di tengah bentang (a = b = L/2), maka lendutan maksimum akan terjadi di x = L/2, sehingga diperoleh : ( ) Dr. AZ 7

8 2.4. Balok sederhana dengan beban merata Gambar 2.7. Balok sederhana dengan beban merata Dari Gambar 2.7, besarnya reaksi dukungan dan besarnya momen pada jarak x adalah : Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam Pers. 2.7, sehingga didapat : Persamaan tersebut diintegralkan terhadap x, sehingga didapat : Dengan meninjau kondisi batas tumpuan, M maks terjadi pada x = L/2 dan pada lokasi tersebut tidak terjadi rotasi, sehingga persamaannya menjadi : Sehingga persamaannya akan menjadi : Persamaan tersebut kemudian diintegralkan kembali terhadap x, sehingga menjadi : Dr. AZ 8

9 Pada x = 0, lendutan y = 0, sehingga didapat C 2 sebagai berikut : Persamaan tersebut menjadi : Pada kasus merata terletak penuh di sepanjang bentang, maka rotasi maksimum akan terjadi di x = 0 atau x = L, sehingga diperoleh : Pada kasus beban merata terletak penuh di sepanjang bentang, maka lendutan maksimum akan terjadi di x = L/2, sehingga diperoleh : ( ) Dr. AZ 9