BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 6 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Analisa Perencanaan Proyek Proyek dapat dikatakan sebagai kegiatan terencana dan berurutan yang hanya berlangsung sekali dimana dalam kegiatan tersebut memiliki saat awal dan saat akhir. Proyek adalah serangkaian kegiatan yang berlangsung dalam jangka waktu tertentu dengan alokasi sumber daya yang tersedia dan bertujuan untuk melaksanakan tugas yang telah ditetapkan. Perencanaan sangat penting didalam pelaksanaan proyek. Perencanaan yang tidak sesuai akan mengakibatkan kesulitan di dalam pelaksanaannya. Oleh karena itu, perencanaan proyek harus sesuai dengan batasan yang dimiliki dan tujuan yang ingin dicapai. Fungsi perencanaan proyek yaitu sebagai sarana komunikasi bagi seluruh pihak terkait, dasar dalam pengalokasian sumber daya, dan tolak ukur di dalam pengendalian. Dari uraian diatas dapat dikatakan bahwa manajemen proyek sangat penting diterapkan dalam kasus ini. Manajemen proyek adalah usaha merencanakan, mengorganisir, mengarahkan dan mengkoordinasi serta mengawasi kegiatan dalam proyek sedemikian rupa sehingga sesuai dengan jadwal, waktu, dan anggaran yang telah ditetapkan. Baker (1974) mengatakan bahwa penjadwalan merupakan alokasi dari sumber daya terhadap waktu untuk menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan. Penjadwalan dibutuhkan untuk memproduksi order dengan pengalokasian sumber daya yang tepat seperti urutan pengerjaan part dan kebutuhan material. Dengan pengaturan penjadwalan yang efektif dan efisien dapat memenuhi order tepat waktu

2 7 serta kualitas yang telah ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa pekerjaan harus diproses yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas pemanfaatan setiap sumber daya. Santosa (2009) menjelaskan hubungan waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing). Tahapan-tahapan yang dilakukan pada perencanaan proyek yaitu penerapan tujuan meliputi pelaksanaan proyek yang diinginkan, serta waku, dan biaya performansi yang ditargetkan. Kedua, urutan kerja yang berisi seluruh urutan dan deskripsi pekerjaan-pekerjaan yang perlu dilakukan untuk mencapai tujuan proyek. Ketiga, perancangan organisasi proyek untuk menentukan departemen-departemen yang diperlukan di dalam pelaksanaan proyek. Keempat, jadwal kegiatan berisi waktu pelaksanaan setiap aktivitas, batas selesai dan milestone. Kelima, rencana anggaran dan sumber daya, perencanaan ini berisikan jumlah anggaran dan sumber daya yang dibutuhkan untuk terlaksananya tujuan proyek. Terakhir yaitu ramalan mengenai performansi penyelesaian proyek. Tahap ini berisi performansi yang diharapkan di dalam penyelesaian proyek. Pada sebuah perencanaan proyek digunakan alat-alat bantu sebagai berikut: 1. Work breakdown structure (WBS) Metode ini digunakan untuk mengidentifikasi pekerjaan-pekerjaan yang ada dalam pelaksanaan proyek. 2. Matriks tanggungjawab Matriks ini digunakan untuk menentukan organisasi proyek, personil-personil kunci dan tanggungjawab pekerjaanya. 3. Gantt Chart Peta ini menggambarkan jadwal induk proyek, dan jadwal pekerjaan secara detail.

3 8 4. Jaringan Kerja (Network) Jaringan kerja digunakan untuk memperlihatkan urutan pelaksanaan pekerjaan dari awal hingga akhir. 2.2 Jaringan Kerja Jaringan adalah kerangka dari sistem informasi proyek yang akan digunakan oleh manajer proyek dalam pengambilan keputusan dengan memperhatikan waktu, biaya, dan performansi. Jaringan mudah dimengerti oleh setiap individu karena jaringan berisi tampilan grafis dari aliran dan urutan tiap pekerjaan. Pengembangan jaringan dapat dengan mudah dilakukan. Sebagai contoh jika material untuk suatu kegiatan tertunda, dampak kejadian tersebut dapat dengan cepat ditaksir dan peninjauan kembali terhadap proyek secara utuh. Jaringan kerja adalah suatu alat yang digunakan untuk merencanakan, menjadwalkan, dan mengawasi kemajuan dari suatu proyek. Jaringan dikembangkan dari informasi yang diperoleh dari WBS dan gambar diagram alir dari rencana kerja proyek. Jaringan menggambarkan beberapa hal yaitu kegiatan-kegiatan proyek yang harus dilakukan, urutan kegiatan yang logis, ketergantungan antar kegiatan,waktu kegiatan melalui lintasan kritis. Manfaat jaringan kerja adalah sebagai berikut: 1. Merupakan dasar dalam perhitungan penyelesaian waktu pelaksanaan proyek. 2. Merupakan dasar dalam penjadwalan tenaga kerja dan paralatan. 3. Alat komunikasi antara seluruh manajer dan kelompok. 4. Alat perhitungan waktu apabila terjadi penundaan proyek. 5. Dasar dalam menggambarkan cash flow dari suatu proyek. 6. Alat untuk mengidentifikasi kegiatan yang kritis sehingga tidak terjadi keterlambatan dalam penyelesaian. Jaringan kerja dikembangkan dari WBS. Jaringan kerja merupakan visualisasi diagram alir dari urutan, hubungan-hubungan, dan ketergantungan dari seluruh

4 9 kegiatan-kegiatan yang harus dipenuhi untuk melengkapi proyek. Suatu kegiatan merupakan elemen pada proyek yang menghabiskan waktu. Sebagai contoh, bekerja atau menunggu. Paket pekerjaan dari WBS digunakan untuk membangun kegiatan pada jaringan kerja. Suatu kegiatan dapat meliputi satu atau lebih paket pekerjaan. Kegiatan-kegiaatan ditempatkan sesuai urutannya di dalam penyelesaian proyek. Jaringan dibangun dengan menggunakan node (kotak) dan anak panah (garis). Node menggambarkan suatu kegiatan dan panah menunjukkan keterkaitan dan aliran proyek. 2.3 Analisa Jaringan Kerja Analisa jaringan kerja proyek adalah suatu sistem kontrol proyek yang berisi kegiatan tunggal, kegiatan gabungan, kegiatan paralel, dan lintasan kritis. Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam membangun jaringan kerja yaitu: 1. Kegiatan (Activity) Untuk manajer proyek, suatu kegiatan merupakan elemen dari proyek yang membutuhkan waktu pelaksanaan (duration). Juga didefinisikan sebagai hal yang membutuhkan sejumlah sumber ternaga, equipment, material, biaya dan sebagainya. Kegiatan biasanya terdiri dari satu atau lebih tugas dari suatu paket kerja. Deskripsi dari kegiatan seharusnya menggunakan format kata kerja/kata benda: sebagai contoh, pembuatan fondasi. 2. Kegiatan Memusat (Merge Activity) Beberapa kegiatan yang berbeda lalu dilanjutkan dengan kegiatan yang sama sehingga disebut kegiatan memusat (lebih dari satu kaitan aliran panah). 3. Kegiatan paralel (Parallel Activity) Ini adalah kegiatan yang dikerjakan pada waktu yang bersamaan. 4. Alur (Path) Alur merupakan suatu urutan koneksi, kegiatan yang terkait.

5 10 5. Alur kritis (Critical Path) Ini berarti alur terpanjang yang terdapat pada jaringan. Jika terdapat suatu kegiatan yang tertunda (delay) pada alur, maka proyek juga akan tertunda pada waktu yang sama. 6. Kegiatan (Event) Istilah ini berupa suatu titik dan digunakan ketika sebuah kegiatan diimulai atau selesai. Jadi tidak membutuhkan waktu. 7. Kegiatan memencar (Burst Activity) Kegiatan ini memiliki lebih dari satu kegiatan yang secara bersamaan mengikutinya (lebih dari satu panah yang terkait mengikutinya). Analisa jaringan kerja berguna dalam mengkoordinir semua unsur proyek ke dalam suatu rencana utama (master plan) dengan menerapkan suatu metode kerja untuk melengkapi proyek sehingga diperoleh: 1. Waktu terbaik untuk pelaksanaan kegiatan (best time). 2. Pengurangan / penekanan ongkos/ biaya (least cost). 3. Pengurangan risiko (least risk). 4. Mempelajari alternatif-alternatif yang terdapat di dalam dan di luar proyek. 5. Untuk mendapatkan atau mengembangkan schedule (jadwal yang optimal). 6. Penggunaan sumber-sumber (resources) secara efektif dan efisien. 7. Alat komunikasi antar pemimpim. 8. Pengawasan pembangunan proyek. 9. Memudahkan revisi atau perbaikan terhadap penyimpangan yang terjadi. 2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja Teknik-teknik ini umumnya bertujuan menguraikan dan menentukan hubunganhubungan antara berbagai kegiatan dan berbagai penafsiran waktu yang ada. Waktunya diperlukan untuk setiap kegiatan dalam rencana proyek secara menyeluruh. Untuk perencanaan dan pengendalian proyek dikenal berbagai teknik jaringan kerja tertentu. Sebagai contohnya adalah:

6 11 1. PERT (Program Evaluation and Review Technique) PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu proyek. Teknik ini merupakan suatu metode untuk menentukan jadwal dan anggaran dari sumber-sumber, sehingga suatu pekerjaan tertentu dapat diselesaikan tepat pada waktunya. 2. CPM (Critical Path Method) Metode ini ditemukan oleh perusahaan bahan kimia Amerika yaitu Du Pon Company pada tahun 1958 untuk memecahkan kesulitan-kesulitan proses fabrikasi. Metode ini berbentuk diagram network yang hampir mirip dengan PERT. Perbedaanya adalah dalam penentuan perkiraan waktu. CPM dapat memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk melaksanakan kegiatan dan dapat menentukan prioritas kegiatan yang harus mendapat perhatian dan pengawasan yang cermat, agar kegiatan dapat selesai sesuai dengan rencana. 3. PDM (Preseden Diagram Method) Pada CPM metode yang dipakai adalah Activity on Arrow (AOA) dimana aktifitas dan kegiatan diletakkan pada tanda panah, sedangkan pada PDM Activity on Node (AON) dimana tanda panah hanya menyatakan keterkaitan antar kegiatan. Kegiatan dari peristiwa pada PDM ditulis dalam bentuk node yang berbentuk kotak segi empat, sedang anak panah hanya sebagai petunjuk kegiatan-kegiatan yang bersangkutan. 4. Metode AOA (Activity On Arrow) Untuk membentuk gambar dari rencana jaringan kerja digunakan simbol-simbol, yaitu:

7 12 a. Anak panah = arrow (menyatakan sebuah kegiatan, activity). b. Lingkaran = node (menyatakan sebuah kejadian atau peristiwa, event). c. Anak panah terputus-putus (menyatakan kegiatan semu atau dummy). Dummy terdiri dari dua macam, yaitu: a. Grammatical Dummy diperlukan untuk menghindari kerancuan penyebutan suatu kegiatan apabila terdapat dua atau lebih kegiatan yang berasal dari peristiwa yang sama dan berakhir pula pada peristiwa yang sama. a 1 b 2 1 c 1 b a 2 a 2 b c Gambar 2.1 Grammatical Dummy b. Logical Dummy digunakan untuk memperjelas hubungan antar kegiatan. Misalnya, terdapat hubungan seperti pada gambar ini, hubungan ini dapat diartikan bahwa kegiatan 4 dan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Padahal maksud yang sesungguhnya ialah kegiatan 4 dapat dimulai setelah kegiatan 1 dan 2 selesai, sedangkan kegiatan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Untuk menggambarkan logika ini maka diperlukan dummy yang dapat memperjelas maksud tersebut.

8 Gambar 2.2 Logical Dummy Contoh: Dalam rangka memenuhi permintaan yang semakin meningkat, Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merencanakan untuk memasang instalasi pengolah air (water treatment) baru. Maka terlebih dahulu diidentifikasi kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan. Rincian kegiatan akan diperlihatkan pada tabel di bawah ini. Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan Kegiatan Kegiatan pendahulu A. Perencanaan system - B. Pembuatan saluran air A C. Pembuatan pondasi A D. Pemesanan mesin A E. Pembuatan instalasi listrik C F. Pemasangan pipa B,E G. Pemasangan mesin C,D H. Finishing dan start up F,G Jaringan kerja pada kasus ini dapat digambarkan dengan memperhatikan urutan pekerjaan dan kegiatan yang mendahuluinya.

9 14 B 3 d 1 A C E F H D G d Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolah Air d 1 pada gambar di atas merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan B dan E sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir. Demikian juga d 2 merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan F dan G sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir Elemen Jaringan Kerja Nomor identifikasi kejadian E L Waktu mulai tercepat Waktu selesai terlama Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja Waktu mulai tercepat (ES) untuk masing-masing kegiatan menunjukkan kapan suatu kegiatan paling cepat dapat dilakukan. Waktu selesai terlama (LF) menunjukkan kapan suatu kegiatan paling lama dapat diselesaikan. Dalam melakukan perhitungan penentuan waktu penyelesaian digunakan beberapa terminologi dasar berikut:

10 15 a). E (earliest event occurence time ) Saat tercepat terjadinya suatu peristiwa. b). L (Latest event occurence time) Saat paling lambat yang masih diperbolehkan bagi suatu peristiwa terjadi. c). ES (earliest activity start time) Waktu mulai paling awal suatu kegiatan. Bila waktu mulai dinyatakan dalam jam, maka waktu ini adalah jam paling awal kegiatan dimulai. ES i = max {ES sebelum i + D sebelum i,i d). e). EF (earliest activity finish time) Waktu Selesai paling awal suatu kegiatan. EF pada dasarnya merupakan pasangan dari ES. Karena waktu penyelesaian kegiatan ditandai dengan D i,j, maka EF i,j = ES i + D i,j. EF suatu kegiatan terdahulu = ES kegiatan berikutnya. LS (latest activity start time) Waktu paling lambat kegiatan boleh dimulai tanpa memperlambat proyek secara keseluruhan. LS i,j = LF j D i,j f). LF (latest activity finish time) Waktu paling lama kegiatan diselesaikan tanpa memperlambat penyelesaian proyek. LF j = min{lf sesuda j + D (sebelum j,j ). g). t (activity duration time) Kurun waktu yang diperlukan untuk suatu kegiatan (hari, minggu, bulan). Slack dapat dihitung dengan cara: Slack=EF-LF=ES-LS. Perhitungan ES dan LF ini dapat dilakukan dengan melalui 2 tahap yaitu: 1. Hitungan Maju Dimulai dari Start (initial event) menuju Finish (terminal event) untuk menghitung waktu penyelesaian tercepat suatu kegiatan (EF), waktu tercepat terjadinya kegiatan (ES) dan saat paling cepat dimulainya suatu peristiwa (E).

11 16 2. Hitungan Mundur Dimulai dari Finish menuju Start untuk mengidentifikasi saat paling lambat terjadinya suatu kegiatan (LF), waktu paling lambat terjadinya suatu kegiatan (LS) dan saat paling lambat suatu peristiwa terjadi (L) Identifikasi Kegiatan Kritis Pada CPM terdapat dua buah perkiraan waktu dan biaya untuk setiap kegiatan yang terdapat dalam jaringan. Kedua perkiraan tersebut adalah perkiraan waktu penyelesaian dan biaya yang sifatnya normal (normal estomate) dan perkiraan waktu penyelesaian dan biaya yang sifatnya dipercepat (crash estimate). Dalam menentukan perkiraan waktu penyelesaian akan dikenal istilah jalur kritis, jalur yang memiliki rangkaian-rangkaian kegiatan dengan total jumlah waktu terlama dan waktu penyelesaian proyek yang tercepat. Sehingga dapat dikatakan bahwa jalur kritis berisikan kegiatan-kegiatan kritis dari awal sampai akhir jalur. Waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash dapat dihubungkan sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing). Contoh bagan CPM sederhana. Tentukan jalur kritis dan waktu tercepat 2 1 minggu 3 minggu 1 2 minggu 4 minggu 4 3

12 17 Dapat dilihat bahwa jaringan diatas mempunyai dua jalur, yaitu yang memerlukan 4 minggu, dan yang memerlukan waktu 6 minggu. Dengan demikian waktu tercepat yang diharapkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah 6 minggu. Sedangkan jalur yang membentuk jalur terpanjang ini yaitu disebut sebagai jalur kritis ( Critical Path ). Bisa dikatakan bahwa waktu tercepat yang diharapkan untuk event 4 adalah 6 minggu. Biaya Biaya untuk Waktu Dipercepat B (Titik Dipercepat) Biaya Normal A (Titik Nomal) Waktu Dipercepat Waktu Normal waktu Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada Keadaan Normal dan Dipercepat Slope Biaya = Biaya Dipercepat Biaya Normal Waktu Normal Waktu Dipercepat Sebagai contoh, misalnya kegiatan B memiliki waktu normal selama 3 hari dengan total biaya Rp ,00. Jika kegiatan B dipercepat menjadi 2 hari maka total biaya menjadi Rp ,00. Biaya percepatan perhari kegiatan B dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut: \

13 18 Slope Biaya = = Biaya Dipercepat Biaya Normal Waktu Normal Waktu Dipercepat Rp ,00 Rp , = Rp ,00/ari. 2.5 Nilai Harapan dan Variansi Tiga estimasi waktu kegiatan dalam menyelesaikan permasalahan yang memiliki waktu probabilistik yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling mungkin (m) dan waktu kegiatan pesimis (p). Dua asumsi yang dipakai untuk mengubah o, m dan p menjadi taksiran nilai harapan (t e ) dan variansi (σ 2 ) dari waktu yang dibutuhkan suatu kegiatan yaitu bahwa standar deviasi sama dengan seperenam dari rentang kebutuhan waktu yang mungkin, sehingga untuk variansinya dapat dituliskan menjadi σ 2 = b a 6 sedangkan nilai harapan suatu proyek dapat ditentukan dengan rumus 2 t e = a+b+4m Program Linier Program Linier (Linear Programming) merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika. Asumsi-asumsi yang terkandung dalam formulasi program linier untuk masalah optimasi sebagai model program linier adalah sebagai berikut: a. Propertionality Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas, akan berubah secara proposianal dengan perubahan tingkat kegiatan.

14 19 Misalnya: Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Setiap pertambahan/ pengurangan 1 unit x 1 akan menaikkan/ menurunkan nilai Z dengan c 1, demikian juga untuk yang lain mempunyai sifat yang sama. b. Additivity Asumsi ini menyatakan bahwa nilai fungsi tujuan setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikkan nilai fungsi tujuan Z yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antara satu kegiatan dengan kegiatan lain. Misalnya: Z = 8x x 2 Untuk x 1 = 6 dan x 2 = 8 Z = = 128 Jika x 1 bertambah/ berkurang, penambahan/ pengurangan x 1 dapat langsung ditambahkan/ dikurangkan pada nilai Z, tanpa mempengaruhi bagian Z yang diperoleh dari x 2. c. Disibility Asumsi ini menyatakan bahwa nilai keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pacahan. d. Deterministic ( Certainty) Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linier (a ij, b i, c j ) dapat diperkirakan dengan pasti. Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministic, karena keadaan masa depan jarang diketahui dengan pasti. Untuk mengatasi ketidakpastian parameter, dikembangkan suatu teknik analisis, guna menguji nilai solusi, bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter. Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dibutuhkan lima syarat yang harus dipenuhi yaitu:

15 20 a. Tujuan Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi tujuan ini dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimalkan, atau dampak negatif, kerugiankerugian risiko, biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan. b. Alternatif Perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya. c. Sumber Daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan. d. Perumusan Kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika. e. Keterkaitaan Peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya Fungsi tujuan: Maksimumkan atau minimumkan Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

16 21 Sumber daya yang membatasi: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = atau atau b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = atau atau b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = atau atau b m x 1, x 2,, x n 0 Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimum dan minimumkan: Z = n j =1 c j x j Kendala: n j =1 a ij x j atau Dan x j 0, j = 1,2,, n b i untuk i = 1,2,, m Simbol x 1, x 2,, x n menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c 1, c 2,, c n merupakan konstribusi masingmasing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematikanya. Simbol a 11,, a 1n, a mn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol b 1, b 2,, b n menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir (x 1, x 2,, x n 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan membuat pemodelan lebih mudah dan menarik. Contoh:

17 22 Maks: Z = 170x x 2 Dengan kendala: 15x x x x x x 1, x 2 0 Untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis adalah dengan menetapkan salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari nilai variabel yang lain. 1) 15x 2 = 1050 x 2 = 70 2) 20x x 2 = 1600 x 1 = 0 16x 2 = 1600 x 2 = 100 x 2 = 0 20x 1 = 1600 x 1 = 80 3) 24x x 2 = 2400 x 1 = 0 30x 2 = 2400 x 2 = 80 x 2 = 0 24x 1 = 2400 x 1 = 100

18 x F 80 E A B G 1 60 C D H x 1 Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan Daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala, ditunjukkan oleh area yang diarsir yaitu OABCD pada gambar. Bagian yang di arsir ini disebut daerah fisibel (fisible solution). Untuk mencari titik yang paling menguntungkan adalah dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Untuk menggambarkan garis fungsi tujuan dalam grafik adalah dengan menggambarkan perbandingan nilai x 1 dan x 2. Perbandungan nilai x 1 dan x 2 merupakan perbandingan c 1 dan c 2. Geser grafik fungsi tujuan tersebut kesemua daerah fisibel. Sebagai pedoman bahwa titik fisibel optimal telah ditemukan adalah ditentukan oleh titik singgung garis fungsi tujuan dengan area yang fisibel, yang terjauh dari origin 0 untuk kasus maksimasi sedangkan untuk kasus minimasi adalah yang paling dekat dengan titik original 0.

19 24 Solusi optimum untuk kasus diatas adalah pada titik C (perpotongan antara kendala 2 dan kendala 3). 20x x 2 = x x 2 = x x 2 = x x 2 = x /9 = 1600 x 1 = 400/9 Z=170(400/9)+190(400/90= x 2 = 2400 x 2 = 400/ Beberapa Pengertian dalam Program Linier a. Feasible Solution Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang ada pada persoalan tersebut. b. In Feasible Solution In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi semua kendala dalam masalah tersebut. Contoh: Maks: Z = 10x 1 + 8x 2 Dengan kendala: 8x x x 1 12 x 2 5 x 1, x 2 0 Model di atas dapat ditunjukkan dengan grafik pada gambar 2.6

20 25 x x Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak. c. Optimal Solution Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar dibandingkan titik O, A, B dan C. d. Multiple Optimal Solution Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula : Z = 170x x 2 berubah menjadi Z = 100x x 2, maka akan terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada gambar 2.7.

21 26 x F 80 E A B G 1 60 C D H x 1 Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan. e. Boundary Equation Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan. f. Corner Point Feasible Solution Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A, B, C dan D. g. Corner Point Infeasible Solution Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H. h. No Optimal Solution No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai penyelesaian optimal.

22 27 Hal tersebut disebabkan oleh : 1. Tidak ada feasible solution (lihat gambar 2.6). 2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut: Maks: Z = 10x 1 + 8x 2 Dengan kendala x 1 4 2x 1 10 x 1, x 2 0 Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut: x Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution Pengambilan waktu percepatan (crash) yang optimal dengan pendekatan Program Linier. Jika x i = waktu untuk kejadian i x j x m t ij tc ij τ ij = waktu untuk kejadian j = waktu untuk kejadian pada simpul terakhir (m) = waktu normal untuk aktivitas i j = waktu chrashing aktivitas i j = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas i j karena crashing maksimum

23 28 C ij Cc ij S ij = biaya untuk aktivitas normal i j = untuk aktivitas normal i j dengan crashing = slope biaya untuk aktivitas i j Model umum program linier untuk jaringan ini adalah Min Z = S m τ m. Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa x i = 0. Untuk event berikutnya x j t A τ A + x i x k t B τ B + x j x m t Z τ Z + x m 1 Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan kedalam bentuk program linier. Jika dianggap x m adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas, yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = x m. Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk aktivitas i j sebagai t ij. Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah x j x i t ij. Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum sebagai Min Z = x m. Dengan kendala: x j x i t ij untuk seluruh aktivitas i j x i, x j 0 Diketahui: x i = waktu kejadian pada simpul i x j t ij m = waktu kejadian pada simpul j = waktu aktivitas i j = simpul terakhir dalam jaringan

24 Metode Simpleks Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan (variabelvariabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih. Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabeltabel. Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks C j C 1 C k C n Variabel Harga Basis Basis X B1 X n X m Jawab Basis X B1 C B1 a 11 a 1k a 1n b 1 X Br C Br a r1 a rk a rn b r X Bm C Bm a m1 a mk a mn b m Z j C j = imbalan Z 1 C 1 Z k C k Z n C n C B b Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan

25 30 (artificial variable) pada tiap batasan (constraint) serta member harga nol pada setiap koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut: 1). Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack kedalamnya. 2). Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel buatan (artificial variable) kedalamnya. 3). Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan (artificial variable) kedalamnya. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat M sebagai harga, dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method). Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk umum Min. Z = 7x 1 + 3x 2 Kendala: 4x 1 + 6x x 1 + 5x 2 = 35 8x 1 + 4x 2 32 x 1, x 2 0 Bentuk standar persoalan di atas menjadi: Min. Z = 7x 1 + 3x 2 Kendala: 4x 1 + 6x 2 + s 1 = 36 7x 1 + 5x 2 + A 1 = 35 8x 1 + 4x 2 s 2 + A 2 = 32 x 1, x 2 0 Dengan teknik M persamaan di atas menjadi Min. Z = 7x 1 + 3x 2 + MA 1 + MA 2 Kendala: 4x 1 + 6x 2 + s 1 = 36

26 31 7x 1 + 5x 2 + A 1 = 35 8x 1 + 4x 2 s 2 + A 2 = 32 x 1, x 2, s 1, s 2, A 1, A Nilai A 1 digantikan dari fungsi kendala kedua. A 1 = 35 7x 1 5x 2 MA 1 berubah menjadi M 35 7x 1 5x 2 = 35M 7Mx 1 5Mx 2 2. Nilai A 2 digantikan dari fungsi kendala kedua. A 2 = 32 8x 1 4x 2 + s 2 MA 2 berubah menjadi M 32 8x 1 4x 2 + s 2 = 32M 8Mx 1 4Mx 2 + Ms 2 3. Fungsi tujuan berubah menjadi Min. Z = 7x 1 + 3x M 7Mx 1 5Mx M 8Mx 1 4Mx 2 + Ms 2 = 7 15M x M x 2 + Ms M Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut: Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua c j x j kekiri. Z = 7 15M x M x 2 + Ms M berubah menjadi Z 7 15M x 1 3 9M x 2 Ms 1 = 67M

27 32 Tabel 2.3 Simpleks Awal Basis Z x 1 x 2 s 1 A 1 s 2 A 2 Solusi Z 1 15M-7 9M M 0 67M s A A Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan meningkatkan nilai x 1 dan x 2 pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi telah optimal. Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris. Rasio = Nilai Solusi Koefisien kolom entering Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak memiliki pemecahan. Tabel 2.4 Iterasi 0 Entering Coloumn Basis Z x 1 x 2 s 1 A 1 s 2 A 2 Solusi Rasio Z 1 15M-7 9M M 0 67M - s A A Persamaan pivot Elemen Pivot

28 33 Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot. Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot Karena leaving variablenya A 2 dan entering variablenya x 1, maka gantilah basis A 2 dengan x 1. Persamaan baru = (persamaan lama) (koefisien kolom entering persamaan pivot baru). Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut: Tabel 2.5 Iterasi 1 Basis Z x 1 x 2 s 1 A 1 s 2 A 2 Solusi Rasio Z 1 0 (3M+1)/2 0 0 (7M-7)/8 -(15M-7)/8 7M+28 - s ½ -1/ A / /8-7/8 7 6/5 x ½ 0 0-1/8 1/8 4 9/5 optimal. Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil Tabel 2.6 Iterasi 2 Basis Z x 1 x 2 s 1 A 1 s 2 A 2 Solusi Rasio Z M-1/3-7/6 -M+7/6 77/3 - s /3-11/6 11/6 4/3 25/3 x /3 7/12 7/12 14/3 - x /3-5/12 5/12 5/3 1 Pada iterasi 2 nilai Z telah tercapai kondisi optimal karena nilai pada garis fungsi tujuan tidak ada yang negatif. Diperoleh nilai x 1 = 5 3 ; x 2 = 14 3 ; s 1 = 4 3 dan Z = 77/3

29 LINDO Cara lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dalam program linier adalah dengan menggunakan software. Ada banyak software yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier seperti TORA, LINGO, EXCEL dan banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu software yang sangat mudah digunakan untuk masalah pemrograman linier adalah dengan menggunakan Lindo. Lindo (Linear Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Prinsip kerja utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Model Lindo minimal memiliki 3 syarat: 1. Menentukan fungsi objektif. Ada dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi (MIN). 2. Variabel. Lindo tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula. 3. Batasan (fungsi kendala). Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan. Pada akhir batasan diketik kata END. Setelah formula diketikkan dapat dicari solusinya dengan mimilih perintah solve atau mengklik tombol solve pada toolbar.