RATIO ESTIMATOR, DIFFERENCE ESTIMATOR, & REGRESSION ESTIMATOR

Transkripsi

1 RATIO ESTIMATOR, DIFFERENCE ESTIMATOR, & REGRESSION ESTIMATOR OEH: ADHI KURNIAWAN STAF DIREKTORAT PENGEMBANGAN METODOOGI SENSUS DAN SURVEI BADAN PUSAT STATISTIK RI

2 RATIO ESTIMATOR, DIFFERENCE ESTIMATOR, DAN REGRESSION ESTIMATOR Variabel pedukug (auxiliary variable) merupaka variabel yag mempuyai hubuga (korelasi) yag kuat dega variabel yag diteliti (y) pada suatu survei. Pada tahap estimasi, variabel pedukug (x) dapat diguaka utuk memperkecil ilai varias samplig sehigga aka meigkatka presisi pedugaa parameter. Prosedur ii mesyaratka ilai rata-rata (X ) atau total populasi (X) dari variabel pedukug harus diketahui. Betuk umum dari pedugaa rata-rata dega memafaatka variabel pedukug dirumuska: y c = y + c(x x ) Keteraga: y : estimasi rata-rata karakteristik berdasarka prosedur pearika sampel yag diguaka x : estimasi rata-rata dari variabel pedukug berdasarka prosedur pearika sampel yag diguaka X : ilai rata-rata populasi dari variabel pedukug c : suatu kostata tertetu Estimasi varias samplig utuk y c : v(y c) = v[y + c(x x )] = v(y cx + cx ) = v(y cx ) v(y c) = v(y ) c cov(y, x ) + c v(x ) Dalam hal ii, terdapat beberapa alteratif dalam meetuka ilai c yaitu: 1. Jika c = 0 maka y G = y ----> (rata-rata sederhaa). Jika c = r (r = y x ), maka y R = y + r(x x ) = rx ----> (ratio estimator) 3. Jika c = k (k adalah kostata, tidak tergatug pada sampel), maka y D = y + k(x x ) ----> (differece estimator) 4. Jika c = β (β adalah kostata, koefisie regresi populasi), maka y lr = y + β(x x ) ----> (regressio estimator) 5. Jika c = b (b adalah radom variable, estimator utuk β), maka y lr = y + b(x x ) ----> (regressio estimator) Notasi yag diguaka: y i : ilai karakteristik yag diteliti dari uit sampel ke-i x i : ilai variabel pedukug dari uit sampel ke-i y : total ilai karakteristik yag diteliti dari data sampel y = y i x : total ilai variabel pedukug dari data sampel x = x i Y : total ilai karakteristik yag diteliti utuk populasi N Y = y i X : total ilai variabel pedukug utuk populasi adhikuria@gmail.com 1

3 N X = x i 1. Peduga rasio (ratio estimator) Dari persamaa y c = y + c(x x ), jika ilai c = R = y x, maka aka diperoleh formulasi peduga rasio utuk rata-rata karakteristik, yaitu: y R = y + R (X x ) = y + y x (X x ) = y + y x X y = y x X y R = R X Estimator total Y R = R X Estimasi varias rata-rata: v(y R) = v(y ) R cov(y, x ) + R v(x ) Utuk desai SRS WOR: v(y R) = ( 1) (y i R x i ) Rumus di atas dapat dijabarka mejadi: v(y R) = ( 1) [(y i y ) + (y R x i )] ( 1) [(y i y ) + (y i y )(y R x i ) + (y R x i ) ] ( 1) [(y i y ) + R (y i y )(x x i ) + R (x x i ) ] ( 1) [(y i y ) R (y i y )(x i x ) + R (x i x ) ] [{ 1 1 (y 1 i y ) } R { 1 (y 1 i y )(x i x ) } + { 1 (x i x ) }] () v(y R) = (s y R s yx + R s x ) = Estimasi varias rasio: v(r ) = v(y R) X () (s y R ρs y s x + R s x ) X (s y R s yx + R s x ) adhikuria@gmail.com

4 Estimasi varias total: v(y R) = N v(y R) Soal atiha 1: = N () (s y R s yx + R s x ) Dari data Sesus Terak tahu lalu diperoleh iformasi bahwa jumlah peterak sapi di suatu wilayah sebayak rumah tagga peterak da rata-rata jumlah sapi utuk tiap peterak sebayak 9 ekor. Sebuah sampel acak sederhaa sebayak peterak diambil dari populasi tersebut utuk memperkiraka produksi susu yag dihasilka. Jumlah sapi yag diperoleh dari hasil observasi adalah ekor da rata-rata produksi susu utuk tiap peterak sebayak 300 liter per hari. Iformasi lai yag diperoleh sebagai berikut: s y = 8,8 s x = 1,5 ρ = 0,875 Dega megguaka ratio estimator, a. Perkiraka rata-rata produksi susu per hari yag dihasilka oleh satu ekor sapi beserta stadar error, rse, da 95% Cofidece Iterval-ya! b. Perkiraka rata-rata produksi susu per hari yag dihasilka oleh rumah tagga peterak beserta stadar error, rse, da 95% Cofidece Iterval-ya! c. Perkiraka total produksi susu per hari di wilayah tersebut beserta stadar error, rse, da 95% Cofidece Iterval-ya! d. Iterpretasika hasil yag diperoleh!. Peduga beda (differece estimator) Jika ilai c = k, di maa k adalah suatu ilai kostata yag ditetapka tapa mempertimbagka ilai yag diperoleh dari data sampel, maka aka diperoleh formulasi utuk peduga beda, yaitu: y D = y + k(x x ) Y D = Ny D Estimasi varias: v(y D) = v(y ) k cov(y, x ) + k v(x ) v(y D) = N v(y D) Soal atiha : Sebuah pegamata dilakuka terhadap 100 laha yag ditaami poho cabai merah di suatu desa. Dari hasil pegamata dega eye estimate diperoleh total produksi dari 100 laha tersebut sebayak 1500 kg. Sebuah radom sampel sebayak 10 laha diambil secara SRS WOR da setiap laha terpilih dilakuka pemaea cabai merah da selajutya dilakuka pegukura terhadap berat dari cabai yag dihasilka. Data produksi cabai (kg) dari laha terpilih yag diperoleh dari hasil pegamata (eye estimate) da hasil pegukura sebagai berikut: No Produksi (pegukura) Produksi (pegamata) Perkiraka total produksi cabai merah di desa tersebut dega megguaka differece estimator (k = 1) beserta stadar error, RSE, da 95% cofidece iterval-ya! 3. Peduga regresi (regressio estimator) Betuk umum dari estimasi regresi utuk meduga ilai rata-rata adalah: y lr = y + b(x x ) Dega ubiased samplig variace estimator adalah: v(y lr ) = v(y ) bcov(y, x ) + b v(x ) Estimasi total karakteristik: Y lr = Ny lr = Y lr + b(x X ) v(y lr ) = N v(y lr ) Dari rumus varias di atas, ilai koefisie regresi (b) yag memiimumka varias bisa diperoleh dega mediferesialka v(y lr ) terhadap b da mempersamaka hasilya dega ol, yaitu: d v(y lr ) = 0 d b adhikuria@gmail.com 3

5 d [v(y ) bcov(y, x ) + b v(x )] = 0 d b cov(y, x ) + b v(x ) = 0 cov(y, x ) b = v(x ) Dega substitusi ilai b = cov(y,x ) terhadap v(x ) v(y lr ) aka diperoleh formulasi varias yag lebih sederhaa yaitu: v(y lr ) = v(y ) b cov(x, y ) + b v(x ) cov(y, x ) cov(y, x ) = v(y ) cov(y, x ) + ( ) v(x ) v(x ) v(x ) (cov(y, x )) = v(y ) v(x ) = v(y ) ρ v(x )v(y ) v(x ) v(y lr ) = v(y )(1 ρ ) Beberapa hal yag bisa disimpulka dari rumus varias tsb: Bila regresi liier, da b adalah east Square Estimate bagi, maka y lr presisiya lebih tiggi daripada y D. Bila regresi y dalam x liier sempura sehigga ρ 1, maka v(y lr ) 0. Bila bila y da x tak berkorelasi (ρ = 0), maka y lr = y (peduga regresi sama dega peduga SRS). Jika pearika sampel dilakuka secara SRS WOR v(y lr ) = v(y ) bcov(y, x ) + b v(x ) b = s yx s = (y i y )(x i x ) x (x i x ) () v(y lr ) = (s y bs yx + b s x ) = () (s y bρs y s x + b s x ) s s yx + ( s yx x s ) x [s y s yx (s y s yx s ) x (s y ρ s x s y ) s x (s y ρ s y ) () v(y lr ) = s y (1 ρ ) Keteraga: s y = 1 1 (y i y ) s x = 1 1 (x i x ) s yx = 1 1 (y i y )(x i x ) (y i y )(x i x ) ρ = ( (y i y ) )( (x i x ) ) s x ] Soal atiha 3: Dalam ragka Praktik Kerja apaga, mahasiswa Tigkat 3 STIS melakuka peelitia kodisi kesehata masyarakat di suatu wilayah. Dari hasil pemutakhira (updatig) rumah tagga yag dilakuka secara sesus (complete eumeratio) di blok sesus terpilih diperoleh iformasi bahwa jumlah peduduk yag megalami keluha kesehata selama sebula yag lalu sebayak 48 orag. Dari populasi eligible rumah tagga sebayak 10 rumah tagga yag diperoleh dari hasil pemutakhira, diambil sampel sebayak 10 rumah tagga secara SRS WOR utuk dilakuka pecacaha yag lebih rici. Data yag diperoleh: adhikuria@gmail.com 4

6 No urut ruta sampel Jumlah ART megalami keluha (hasil updatig) Jumlah ART megalami keluha (hasil pecacaha) Dega megguaka peduga regresi (regressio estimator), perkiraka jumlah peduduk yag megalami keluha kesehata selama sebula yag lalu beserta stadar error, rse, da 95% Cofidece Iterval-ya!. Iterpretasika hasil yag diperoleh. Soal atiha 4: Utuk meeliti kodisi pedidika para peyadag cacat, dilakuka suatu survei disabilitas di pulau Jawa. Dari 118 kabupate/kota diambil sampel sebayak 30 kabupate/kota secara SRS WOR, kemudia dilakuka pecacaha ke semua Sekolah uar Biasa (SB) yag ada di kabupate/kota terpilih. Utuk setiap SB yag dikujugi, dilakuka tes terhadap para peyadag cacat yag belajar di sekolah tersebut. Misalka, x i merupaka jumlah guru yag megajar di SB utuk kabupate/kota ke-i, y i merupaka jumlah peyadag cacat yag ilai tesya berada di atas stadar ilai miimal yag ditetapka. Rigkasa data yag diperoleh sebagai berikut: x i = 5, y i = 117, x i y i = 14977, x i = 3005, y i = 7581 Dega regressio estimator, perkiraka total peyadag cacat di pulau Jawa yag ilaiya berada di atas stadar miimal beserta stadar error, RSE, da 95% Cofidece Iterval-ya! Jika pearika sampel secara PPS WR Estimasi total: Y lr(pps) = Y pps + b(x X pps ) v(y lr(pps) ) = v(y pps ) b cov(x pps, Y pps ) + b v(x pps ) = v(y pps )[1 ρ ] Estimasi rata-rata: y lr(pps) = Y lr(pps) N v(y lr(pps) ) = v(y lr(pps) ) N Keteraga: Y pps = 1 y i = 1 p i Zy i Z i X pps = 1 x i = 1 p i Zx i p i = Z i Z Z i Z merupaka ilai dari variabel pedukug yag diguaka sebagai size (dasar peluag) dalam pegambila sampel secara PPS X merupaka variabel pedukug yag diguaka pada tahap estimasi regresi. b = ( y i p i Y pps ) ( x i p i X pps ) ( x i p i X pps ) adhikuria@gmail.com 5

7 ρ = ( y i p i Y pps ) ( x i p i X pps ) ( ( x i p i X pps ) ) ( ( y i p i Y pps ) ) Soal atiha 5: Berdasarka hasil pecacaha Potesi Desa (Podes) 011, jumlah tidak krimialitas di suatu kecamata mecapai 775 kasus. Suatu survei dilakuka di kecamata tersebut pada akhir tahu 01 dega megambil sampel sebayak 1 desa dari 30 desa secara PPS WR dega size jumlah rumah tagga. Jumlah rumah tagga di kecamata tersebut sebayak rumah tagga. Dari setiap desa terpilih diteliti jumlah kasus krimialitas yag terjadi selama tahu 01. No Jumlah ruta Jumlah Krimialitas 011 (Podes) 01 (survei) a. Perkiraka total tidak krimialitas di kecamata tsb tahu 01 dega estimasi PPS beserta stadar error, RSE, da 95% Cofidece iterval-ya! b. Jika jumlah tidak krimialitas tahu 011 dijadika sebagai auxiliarry variable, perkiraka total kasus krimialitas yag terjadi di kecamata tsb pada tahu 01 dega estimasi regresi beserta stadar error, RSE, da 95% Cofidece iterval-ya! c. Hitug relative efficiecy estimasi regresi terhadap estimasi PPS! d. Iterpretasika hasil yag diperoleh Bias dari estimasi regresi Regressio estimator merupaka peduga yag bias karea: β adalah merupaka ilai rasio dari dua buah ilai estimasi cov(y, x )da V(x ) megadug perkalia dua buah ilai estimasi, yaitu bx Estimasi regresi merupaka peduga yag bias kosiste, artiya semaki besar jumlah sampel maka biasya aka semaki kecil. Bias dari estimasi regresi aka berilai ol jika joit distributio dari y da x megikuti distribusi bivariate ormal. Bias dari y lr bisa diapproksimasi dega rumus: B(y lr ) = cov(x, b) Bukti: Terlebih dahulu kita defiisika: y Y x X e =, e 1 =, e = Y X b β β y = Y (1 + e), x = X (1 + e 1 ), b = β(1 + e ) Keteraga: E(e) = E(e 1 ) = E(e ) = 0 Pejabara dari rumus estimasi regresi: y lr = y + b(x x ) = Y (1 + e) + β(1 + e )[X X (1 + e 1 )] = Y + (ey e 1 βx ) e 1 e βx Bias: B(y lr ) = Y E(e) βx E(e 1 ) βx E(e 1 e ) adhikuria@gmail.com 6

8 x X b β = βx E(e 1 e ) = βx E [( ) ( X β )] = E[(x X )(b β)] = cov(x, b) Soal latiha 6: Diketahui populasi hipotetis sebagai berikut: No x i y i Dari populasi di atas diambil sampel sebayak uit secara SRS WOR. Berdasarka all possible sample, hituglah besarya varias, bias, da mea square error (MSE) dari y lr! Catata: y lr = y + b(x x ) Perbadiga Estimasi Regresi dega Estimasi SRS Secara umum, regressio estimator aka selalu lebih efisie daripada estimator rata-rata per uit yag diperoleh dari peghituga sampel acak sederhaa (SRS). Regressio estimator aka mempuyai efisiesi yag sama dega peduga SRS haya jika variabel x da y tidak berkorelasi (ρ = 0). Bukti: v(y lr ) v(y ) = s y (1 ρ ) = (1 ρ ) s y Nilai (1 ρ ) aka selalu lebih kecil atau sama dega 1, sehigga peduga SRS aka sama efisie dega peduga regresi haya jika ρ = 0. Perbadiga Estimasi Regresi dega Estimasi Rasio Secara umum, regressio estimator aka lebih efisie daripada ratio estimator. Regressio estimator aka mempuyai efisiesi yag sama dega ratio estimator haya b = R atau ρ = C x C y. Bukti: v(y lr ) v(y r) = = = = = = s y (1 ρ ) (s y ρr s y s x + R s x ) s y (1 ρ ) s y (1 ρ y x s x + ( y x ) ( s x) s y s y (1 ρ ) (1 ρ C x + ( C x) ) C y C y (1 ρ ) (1 ρ C x + ( C x) + ρ C y C ρ ) y (1 ρ ) (ρ ρ C x + ( C x) + 1 ρ C y C ) y (1 ρ ) (( C x ρ) + (1 ρ C )) y ) adhikuria@gmail.com 7

9 v(y lr ) v(y r) = (1 ρ ) (( C x ρ) + (1 ρ C )) y Persamaa di atas selalu berilai kurag dari atau sama dega 1 sehigga secara umum regresi lebih efisie daripada ratio estimator. Regresi aka sama efisie dega rasio jika v(y lr ) v(y r) = (1 ρ ) = 1 (( C x ρ) + (1 ρ C )) y (1 ρ ) = ( C x ρ) + (1 ρ ) C y ( C x ρ) = 0 C x ρ = 0 ρ = C x C y C y C y Persamaa ρ = C x C y sebagai kodisi di maa ratio sama efisie dega regresi bisa diyataka dalam betuk lai yaitu: ρ = C x C y s yx s x s y = s yx s x = y x b = R s x s y x y Soal atiha 7: s yx = s x y s x s y s y x Sebuah radom sampel sebayak 0 hotel diambil secara SRS WOR dari populasi sebayak 80 hotel di suatu kota. Data yag dikumpulka adalah jumlah kamar da jumlah pegujug hotel tersebut selama sebula yag lalu. Dari hasil pedataa legkap tahu lalu, diketahui rata-rata jumlah kamar hotel di kota tersebut sebayak 64 kamar per hotel. Data yag diperoleh dari survei sebagai berikut: No Jumlah kamar Jumlah pegujug No Jumlah kamar Jumlah pegujug adhikuria@gmail.com 8

10 a. Perkiraka jumlah pegujug hotel di kota tersebut dega peduga sampel acak sederhaa (SRS) beserta stadar error da RSE-ya b. Perkiraka jumlah pegujug hotel di kota tersebut dega peduga rasio beserta stadar error da RSE-ya c. Perkiraka jumlah pegujug hotel di kota tersebut dega peduga regresi beserta stadar error da RSE-ya d. Badigka efisiesi dari ketiga metode tersebut. Estimasi Regresi Pada Desai Stratified Samplig Di dalam desai stratified samplig, populasi sebayak N uit dikelompokka mejadi beberapa strata sehigga setiap strata memuat populasi sebayak N h uit, kemudia dari setiap strata diambil radom sampel sebayak h uit secara idepede. Utuk desai ii, perkiraa ilai rata-rata da total karakteristik y dega megguaka estimasi regresi juga dapat dilakuka. Ada metode yag bisa diguaka yaitu separate regressio estimator da combied regressio estimator. 1. Separate Regressio Estimator Dalam metode ii peghituga estimasi koefisie regresi dilakuka terpisah utuk masig-masig strata. Misalka populasi sebayak N dikelompokka mejadi 3 strata (N 1, N, N 3 ) maka setiap strata aka mempuyai ilai estimasi koefisie regresi yag berbeda. Koefisie regresi ii dihitug dari ilai karakteristik y da x yag berasal dari data sampel pada strata tersebut. Separate regressio estimator aka tepat diguaka jika true regressio coefficiet (β h ) ilaiya bervariasi atarstrata da jumlah sampel utuk setiap strata ( h ) relatif besar. Estimasi koefisie regresi utuk masig-masig strata b h = cov(y h, x h) v(x h) Jika pearika sampel secara SRS maka: h b h = s yx h = (y hi y h)(x hi x h) s xh h (x hi x h) Estimasi rata-rata karakteristik di strata ke-h y lrh = y h + b h (X h x h) Varias strata: v(y lrh ) h (s yh b h s yxh + b h s xh ) h Estimasi rata-rata karakteristik populasi dirumuska: y lrs = W h y lrh Rumus di atas dapat dijabarka mejadi: y lrs = N h Varias : N y lrh v(y lrs ) = W h v(y lrh ) = 1 N [ Y h + b h (X h X h) ] = 1 N Y lrh = = W h ( h ) h (s yh b h s yxh + b h s xh ) Y lrs N adhikuria@gmail.com 9

11 Estimasi total karakteristik populasi Y lrs = Ny lrs = Y lrh Varias : v(y lrs ) = N v(y lrs ) = v(y lrh ) = N h v(y lrh ) = N h ( h ) Soal atiha 8: h (s yh b h s yxh + b h s xh ) Utuk megetahui dampak krisis Eropa 01 terhadap idustri tekstil, diadaka Survei Deteksi Dii Dampak Krisis terhadap Idustri Tekstil da Pegolaha Tekstil (TPT) di salah satu provisi di Idoesia. Populasi idustri TPT di provisi tersebut dikelompokka mejadi strata: Strata 1: Idustri TPT yag berorietasi pasar ekspor Strata : Idustri TPT yag berorietasi pasar domestik. Utuk strata 1 dilakuka pedataa secara sesus karea populasi idustri TPT yag berorietasi pasar ekspor jumlahya kecil, tetapi diperkiraka idustri ii berpotesi terkea dampak yag lebih besar dari adaya krisis. Utuk strata dilakuka survei dega pegambila sampel secara SRS WOR. Data yag diperoleh sebagai berikut: Strata Jumlah Idustri Populasi Nilai Output 011 Tahu 1 3 Nilai Output (juta Rp) a. Dega megguaka metode separate regressio estimator, perkiraka ilai rata-rata da total output tahu 01 beserta stadar error, RSE da 95% Cofidece Iterval-ya. b. Iterpretasika hasil yag diperoleh!. Combied Regressio Estimator Dalam metode ii, estimasi koefisie regresi diperoleh dari ilai karakteristik y da x utuk keseluruha sampel. Metode ii tepat diguaka jika true regressio coefficiet (β h ) diasumsika sama utuk semua strata. Sebelum melakuka peghituga combied regressio coefficiet, terlebih dahulu dihitug ilai estimasi ratarata atau estimasi total karakteristik y da x beserta varias da covariasya berdasarka desai stratified samplig. Jika pearika sampel secara SRS WOR, estimasi rata-rata karakteristik y da x dirumuska: y st = W h y h, x st = W h x h Samplig variace da samplig covariace: v(y st ) = W h ( h) h v(x st) = W h ( h) h s yh s xh adhikuria@gmail.com 10

12 ( h ) cov(y st, x st) = W h h s yxh Estimasi combied regressio coefficiet b c = cov(y st, x st) v(x st) Estimasi rata-rata karakteristik y lrc = y st + b c (X x st) Ubiased samplig variace: v(y lrs ) = W h ( h ) h Estimasi total karakteristik (s yh b c s yxh + b c s xh ) Y lrc = Ny lrc Ubiased samplig variace: v(y lrc ) = N v(y lrc ) Soal atiha 9: Suatu survei stratified radom samplig dilakuka di suatu desa utuk megetahui pegeluara utuk bidag pedidika di desa tersebut. RW diaggap sebagai strata da setiap RW diambil sampel sebayak 8 rumah tagga. Data yag diperoleh: Strata Populasi Ruta Peduduk Variabel Ruta 1 Ruta Ruta 3 Ruta 4 Ruta 5 Ruta 6 Ruta 7 Ruta 8 RW RW Pegeluara (000 rupiah) ART usia sekolah Pegeluara (000 rupiah) ART usia sekolah RW Pegeluara (000 rupiah) ART usia sekolah Jika diketahui proporsi peduduk usia sekolah di desa tersebut sebesar 44%, maka: a. Perkiraka pegeluara rata-rata per rumah tagga di desa tsb beserta stadar error, RSE, da 95%CIya dega metode combied regressio estimator. b. Perkiraka pegeluara total di desa tsb beserta stadar error, RSE, da 95%CI-ya dega metode combied regressio estimator. Perbadiga Separate Regressio Estimator da Combied Regressio Estimator Dalam praktikya, tidak ada atura yag pasti apakah separate atau combied yag lebih baik (lebih akurat) utuk diguaka pada kodisi tertetu. Kosekuesi dari separate regressio estimator adalah biasya aka besar jika jumlah sampel dalam tiap strata kecil, sedagka pegguaa combied regressio estimator aka adhikuria@gmail.com 11

13 meghasilka varias yag besar jika koefisie regresi populasi tiap strata (β h ) berbeda atarstrata. Beberapa pertimbaga dalam pemiliha metode estimasi regresi dalam desai stratified samplig dapat dirici sebagai berikut: Jika garis regresi adalah liear da β h diperkiraka sama utuk semua strata, combied regressio estimator lebih direkomedasika. Jika garis regresi adalah liear (sehigga ilai bias diperkiraka kecil)da β h berbeda atarstrata, separate regressio estimator lebih baik utuk diguaka. Jika garis regresi cederug curviliear (agak melegkug) lebih baik megguaka combied regressio estimator, kecuali jika jumlah sampel di setiap strata besar. Soal atiha 10: Dari all possible sample, badigka mea square error (MSE) dari separate da combied regressio estimator utuk total Y dari populasi di bawah ii jika dilakuka pegambila sampel secara SRS WOR sebayak h =. Utuk setiap metode, hituglah besarya relatif bias terhadap MSE! Strata 1 Strata x 1i y 1i x i y i Bivariate Regressio Estimator Dua atau lebih variabel pedukug dapat dikaji utuk meghasilka estimasi regresi yag lebih efisie. Bivariate Regressio Estimator adalah peduga regresi yag memafaatka dua variabel pedukug utuk memaksimalka ketelitia dari estimasi ilai karakteristik yag diteliti. Misalka y adalah estimasi rata-rata dari variabel y yag diteliti, x k adalah peduga yag tidak bias dari rata-rata populasi X k, da b k adalah koefisie regresi dari y pada x k, di maa k=1,. Formulasi utuk estimasi adalah y BR = w 1 y lr1 + w y lr = y + w 1 b 1 (X 1 x 1) + w b (X x ) Ubiased samplig varias: v(y BR ) = w 1 v(y lr1 ) + w v(y lr ) + w 1 w cov(y lr1, y lr ) = v(y ) + w 1 b 1 v(x 1) + w b v(x ) w 1 b 1 cov(y, x 1) w b cov(y, x ) + w 1 w b 1 b cov(x 1, x ) Dega substitusi w = 1 w 1 dalam rumus varias di atas, kemudia melakuka diferesiasi terhadap w 1 da mempersamaka hasilya dega ol, didapatka peimbag yag aka memiimumka varias, yaitu: v(y lr ) cov(y lr1, y lr ) w 1 = v(y lr1 ) + v(y lr ) cov(y lr1, y lr ) v(y lr1 ) cov(y lr1, y lr ) w = v(y lr1 ) + v(y lr ) cov(y lr1, y lr ) Keteraga: v(y lr1 ) = v(y ) b 1 cov(y, x 1) + b 1 v(x 1) v(y lr ) = v(y ) b cov(y, x ) + b v(x ) cov(y lr1, y lr ) = v(y ) b 1 cov(y, x 1) b cov(y, x ) + b 1 b cov(x 1, x ) adhikuria@gmail.com 1

14 Soal atiha 11: Berikut ii adalah data yag diperoleh dari pearika sampel idustri kerajia rumah tagga kecamata. di suatu No Teaga kerja Iput Output Jika sampel di atas diambil secara SRS WOR dari populasi N=64 idustri da diketahui jumlah teaga kerja idustri kerajia rumah tagga di kecamata tersebut sebayak 64 orag, serta jumlah iput idustri kerajia rumah tagga sebayak 100, maka: a. Perkiraka rata-rata output dega metode regressio estimator berdasarka variabel pedukug jumlah teaga kerja, beserta stadar error, da RSE-ya. b. Perkiraka rata-rata output dega metode regressio estimator berdasarka variabel pedukug jumlah iput, beserta stadar error, da RSE-ya. c. Perkiraka rata-rata output dega metode bivariate regressio estimator berdasarka variabel pedukug jumlah teaga kerja da jumlah iput, beserta stadar error, da RSE-ya. d. Badigka efisiesi dari ketiga metode di atas. Peghituga Estimasi Regresi dega SPSS Betuk lai dari varias regressio estimator: v(y ) s y (1 ρ ) (s y s y ρ ) (s y s s yx y s y s ) x (s y s yx s ) x (s y bs yx ) ( 1) ( (y i y ) b (y i y )(x i x ) ) ( 1) [(y i y ) b(x i x )] ( 1) SSRes Keteraga: Residual = e i = (y i y ) b(x i x ) Sum Of Square Residual = SSRes = [(y i y ) b(x i x )] Cotoh: Sebuah pegamata dilakuka terhadap 100 laha yag ditaami poho cabai merah di suatu desa. Dari hasil pegamata dega eye estimate diperoleh total produksi dari 100 laha tersebut sebayak 1500 kg. Sebuah radom sampel sebayak 10 laha diambil secara SRS WOR da setiap laha terpilih dilakuka pemaea cabai merah da selajutya dilakuka pegukura terhadap berat dari cabai yag dihasilka. Data produksi cabai adhikuria@gmail.com 13

15 (kg) dari laha terpilih yag diperoleh dari hasil pegamata (eye estimate) da hasil pegukura sebagai berikut: No Produksi (pegukura) Produksi (pegamata) Perkiraka rata-rata produksi cabai tiap laha da total produksi cabai merah di desa tersebut dega megguaka regressio estimator beserta stadar error-ya! Peyelesaia dega SPSS: Sytax SPSS REGRESSION /MISSING ISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT Produksi_pegukura /METHOD=ENTER Produksi_pegamata. Output SPSS berdasarka sytax di atas Koefisie korelasi (ρ) SSRes Koefisie regresi (b) y bx adhikuria@gmail.com 14

16 Berdasarka output SPSS tersebut, dapat dihitug estimasi rata-rata da total produksi cabai yaitu: Estimasi rata-rata y lr = y + b(x x ) = y + bx bx = y bx + bx = 4, , = 117,8 v(y lr ) = ( 1) SSRes = 1 0,1 10(10 1) 134,347 = 1,34347 se(y lr ) = 1,15908 Estimasi total Y lr = Ny lr = ,8 = v(y lr ) = N v(y lr ) = 100 1,34347 = ,7 se(y lr ) = 115,908 adhikuria@gmail.com 15