- Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh :

Transkripsi

1 Kuliah 5, 6 MODUL 3 - Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh : Tree dgn vertex (a) Tree dgn vertex (b) Tree dgn 3 vertex (c) Tree dgn 4 vertex (d) Tree dgn 4 vertex (e) Contoh 8 - Contoh aplikasi Tree Misalkan v = { A, B, C, D, E, F, G, H, I } adalah himpunan petinju-petinju yang sudah disusun menurut urutan bertanding merebutkan piala SEA GAMES. x dan y termasuk v akan dihubungkan oleh suatu edge jika x dan y adalah pasangan untuk bertanding, yang menang akan berpasangan dengan berikutnya, sedangkan yang kalah tidak akan bertanding lagi. Misalkan mula-mula A bertanding dengan B dan A menang, kemudian A bertanding dengan C dan A menang, berikutnya A bertanding dengan D dan A menang lagi. Akhirnya A bertanding dengan E dan E yang menang. Selanjutnya E melawan F, E

2 menang, kemudian E melawan G dan E tetap menang, lalu E melawan H yang dimenangkan oleh H. terakhir H harus melawan I. Maka pertandingan tinju ini dapat digambarkan oleh Tree berikut. A B C D A E F G H I B C D F G E I H Contoh 9 - Leaf (pendant vertex, terminal node) Yaitu vertex dalam sebuah Tree dengan degree Satu. Pada contoh 9, A, B, C, D, E, F, G dan I adalah leaf. - Branch (internal node) Adalah vertex dalam sebuah Tree dengan degree lebih dari satu. Pada contoh 9, A, E,dan H adalah branch. - Teorema tentang Tree : menghubungkannya.. Untuk setiap pasang vertex dalam suatu Tree T ada lintasan tunggal yang Jelas ada lintasan yang menghubungkan setiap dua vertex sebab T connected. Sekarang ada dua vertek yang dihubungkan oleh dua lintasan, maka kedua lintasan ini akan membentuk suatu cycle dalam T, ini tidak mungkin sebab T acyclic.. Jia dalam suatu graph G setiap dua vertex hanya ada satu lintasan, maka graph G adalah satu Tree.

3 Adanya lintasan untuk setiap vertex di G menjamin G terhubung. Misalkan G mempunyai satu sirkuit, berarti ada dua vertex a dan b sehingga ada dua lintasan yang menghubungkan a dan b, ini bertentangan dengan hipotesa, maka G tidak mempunyai sirkuit. Jadi G adalah sebuah Tree. 3. Dalam sebuah Tree dengan n vertex dan q edge, berlaku hubungan berikut: n = q +. Dibuktikan dengan induksi matematika. Pernyataan di atas benar untuk n =, sebab n =, Tree Tersebut tidak mempunyai sisi, jadi q = 0, atau n = q +. untuk n =, tree tersebut, Hanya mempunyai satu sisi, jadi q = atau n = q + pula. Andaikan pernyataan benar untuk tree dengan banyaknya vertex kurang dari n. Sekarang misalkan T adalah suatu tree dengan n vertex, dan a adalah suatu edge dalam tree T tersebut. Yang menghubungkan vi dan vj, pandang T a. Karena teorema, maka dengan ini tidak ada lagi lintasan yang menghubungkan antara vi dan vj. Dengan demikian T akan terpisah menjadi dua komponen yang yang juga berupa tree, katakan T dan T. banyaknya vertex dalam T misalkan adalah n dan banyaknya edge q, maka n < n dan berlaku n = q +. Sedangkan banyaknya vertex di T misalkan adalah n dan banyaknya edge dalam T adalah q, maka n < n dan berlaku n = q +. Sehingga n + n = q + q + Sedangkan n = n + n Dan q = q + q + Maka n = q + Jadi pernyataan di atas benar untuk setiap tree. Vi a Vj T T

4 4. setiap graph terhubung dengan n vertex dan n edge adalah sebuah tree. misalkan G adalah sebuah graph terhubung dengan n vertex dan n- edge. Untuk membuktikan G adalah sebuah tree tinggal dibuktikan bahwa G tidak mempunyai sirkuit. Misalkan G mempunyai suatu sirkuit elementer vi, vi,,vim,vi. Pada sirkuit ini terdapat m revtex dan m edge ( m < n ). Jadi masih sisa n m vertex, karena g terhubung, maka paling sedikit masih ada n m edge lagi diluar sirkuit tersebut. Yang berarti bahwa G mempunyai m + (n m) = n vertex dan m + (n m) = n edge, ini bertentangan dengan hipotesa. Jadi G tidak mungkin mempunyai sirkuit. Dpl. G adalah sebuah Tree. 5. graph G adalah suatu tree jika dan hanya jika G adalah terhubung minimal, yang berarti bila suatu edge di G dihilangkan, G akan menjadi tidak terhubung. Jika G suatu tree, maka G terhubung dan tidak mempunyai sirkuit. Misalkan G terhubung tidak minimal, berarti ada edge ei di G sehingga G ei masih terhubung, dpl. Ei berada dalam sebuah. Sirkuit. Bertentangan dengan G adalah sebuah tree, maka G adalah terhubung minimal. Sebaliknya, jika G terhubung minimal maka G tidak mungkin mempunyai sebuah sirkuit, ini berarti bahwa G adalah sebuah tree. terhubung. 6. Suatu graph G dengan n revtex dan n edge dan tedak mempunyai sirkuit adalah Vi e Vj G G Misalkan G adalah suatu graph dengan n revtex dan n edge dan tidak mempunyai sirkuit yang tidak terhubung. Maka G terdiri dari dua komponen atau lebih, misalkan G terdiri dari

5 dua komponen G dan g. Ambil vertex vi di G dan vj di g, buat satu edge e yang menghubungkan vi dan vj. Karena G dan G adalah komponen, jadi di G tidak ada lintasan antara vi dan vj, berarti dengan menambahkan edge e tidak akan membentuk suatu sirkuit di G. dengan demikian G = G e tetap tidak mengandung sirkuit dan terhubung. Jadi G adalah suatu tree dengan n vertex dan (n ) + edge, menurut teorema 3 hal ini tidak mungkin. Maka G harus terhubung. : - Dari keenam teorema di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan dibawah ekivalen. Suatu graph G adalah tree jika G terhubung dan tidak mempunyai sirkuit. edge.. Suatu graph G dengan n vertex adalah tree jika G terhubung dan mempunyai n 3. Suatu graph G dengan n vertex adalah tree jika G mempunyai n edge dan tidak mempunyai sirkuit. 4. Suatu graph G adalah tree jika antara setiap pasang vertex ada tepat satu lintasan di G. 5. Suatu graph G dengan adalah tree jika G terhubung minimal. - Teorema. Dalam suatu tree dengan dua vertex atau lebih, paling sedikit mengandung dua pendant vertex. Misalkan tree T mempunyai n (n > ) vertex, maka T mempuyai n- edge, yang berarti bahwa T mempunyai * ( n ) degree yang dibagikan ke n vertex. Karena tidak ada vertex yang ber-degree 0, maka paling sedikit ada dua pendant vertex (leaf). Tree berarah

6 Suatu graph berarah dikatakan tree bila setelah arahnya diabaikan dia menjadi tree. Rooted Tree Suatu tree di mana satu vertexnya dibedakan dengan vertex lainnya disebut rooted tree, vertex yang dibedakan tersebut disebut akar atau root. Suatu tree berarah dikatakan rooted tree berarah bila ada tepat satu vertex dengan in-degree 0. Vertex dengan in-degree 0 disebut akan atau root, sedangkan vertex dengan out-degree 0 disebut leaf (pendant vertex). Contoh : Pe rmulaan V e0 V e e e9 e3 e6 e7 e4 e 5 e8 V0 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V V e e e3 e e30 e3 e3 V3 V 8 V3 V3 V33 V4 V V5 8 e5 V6 V35 e6 e7 V7 V36 8 V8 e8 e9 V9 V V0 3 V37 V38 V39 8 V40 V V3 V4 V4 V5 V V4 V43 V44 V7 V8 V9 V30 V45 e45 e46 e47 e48 V46 V47 V48 V49 Contoh 0 Misalkan ada suatu barisan bilangan bulat di mana unsur-unsurnya tidak ada yang sama sebagai berikut: 4,, 3, 7, 0,, 8,, 3. Tentukan subbarisan monoton naik yang terpanjang dari barisan tersebut. Persoalan ini dapat dinyatakan dalam bentuk tree, di mana vertex-nya ( kecuali vertex permulaannya ) menyatakan bilangan tertentu dalam barisan tersebut, dan setiap lintasan dari vertex permulaan ke vertext v menyatakan suatu subbarisan monoton naik yang berakhir dengan bilangan yang dinyatakan oleh v. Tree tersebut digambarkan pada contoh 0 di atas.

7 Dari gambar di atas terlihat bahwa subbarisan-subbarisan yang ada adalah : 4, 3 4, 7, 8, subbarisan terpanjang 4, 7, 4, 8,, 3, 7, 8, subbarisan terpanjang, 7,,, 8, sub barisan terpanjang,,,, 3, 8,, 3 7, 8, 7, 0,, 8, sub barisan terpanjang 0,, 0,, 3 0, 8, 0, 0, 3, 8,,, 3 8, 3 Contoh: Jarak antara vertex Jarak antara vertex vi dan vj di dalam suatu graph terhubung adalah panjang terkecil dari lintasan-lintasan yang ada antara vi dan vj. Dinyatakan oleh d(vi, vj)

8 Pada graph contoh- di bawah hendak ditentukn jarak antara vertex v dan v, maka dicari semua lintasan yang ada antara v dan v: Lintasan- : a, e dengan panjang p = Lintasan- : a, c, f dengan panjang p = 3 Lintasan-3 : b, c, e dengan panjang p3 = 3 Lintasan-4 : b, f dengan panjang p4 = Lintasan-5 : b, g, h dengan panjang p5 = 3 Lintasan-6 : b, g, i, j dengan panjang p6 = 4 Jadi d (v, v) = min ( p, p, p3, p4, p5 ) = a e V j V c f h b g i Contoh Anak, Saudara dan Bapak Dalam suatu rooted tree T vertex B disebut anak dari branch A bila ada edge yang menghubungkan A ke B dan A disebut bapak dari B. Dua vertex di T disebut bersaudara bila mereka adalah anak dari vertex yang sama. Descendent dan Ancestor Dalam suatu rooted tree berarah vertex v dikatakan descendant dari vertex v bila ada lintasan dari v ke v,dan v dikatakan ancestor dari v. Contoh : Pada contoh-0 : v, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, dan v0 adalah bersaudara dan semua adalah anak dari v. v, v, v3 dan v4 adalah bersaudara dan semua adalah anak dari v. v5 tidak bersaudara dengan v v46, v3, v dan v adalah descendant dari v v, v, v dan v3, adalah ancestor dari v46.

9 v47 bukan descendant dari v, tapi v47 adalah descendant dari v, tapi v47 adalah descendent dari v. Subtree dari suatu branch sebagai root. Andaikan v adalah suatu branch dalam suatu rooted tree berarah T. suatu sub tree denganroot di v adalah T = (V,E ) sehingga V memuat v dan semua descendent v sedangkan E memuat sisi-sisi pada semua lintasan yang berasal dari v. Contoh : Pada contoh-0, rooted tree berarah T = (V,E), di mana V = v, v,,v49 dan E = e, e,., e48 terdapat subtree-subtree dengan branch tertentu sebagai root sebagai berikut : Subtree T = (V, E) V = v, v, v, v3, v4, v3, v3, v33, v46 E = e0,e, e, e3, e30, e3, e3, e45 Subtree T = (V, E) dengan root v dimana V = v, v3, v3, v46 E = e30, e3, e45 Subtree T3 = (V3, E3) dengan root v3 dimana V3 = v3, v46 E = e45 Subtree dari suatu branch. Subtree dari suatu branch v dalam suatu rooted tree adalah subtree dengan salah satu anak dari v sebagai root. Contoh : Pada contoh-0, subttree dari branch v4 ada 4 buah, masing-masing adalah : T = (V, E) di mana V = V dan E = kosong T = (V, E) di mana V = v, v3, v3, v46 E = e30, e3, e45 T3 = (V3, E3) di mana V3 = V3, V33 E3 = e3 T4 = (V4, E4) di mana V4 = V4 dan

10 E4 = kosong Ordered tree Adalah rooted tree dengan sisi-sisi yang insiden dengan masing-masing cabang diberi label bilangan bulat,,.dst. Contoh : Sentence 3 Subject Verb Object Article Noun phrase Article Noun phrase Adjective noun Adjective noun Sentence Little Girl Wears A Red Dress Contoh- m-ary tree adalah ordered tree dengan yang setiap cabangnya mempunyai paling banyak m anak. Bila setiap cabang mempunyai m anak maka m ary tree tersebut. Disebut reguler m-ary tree. Binary tree Adalah tree dengan banyak vertex lebih dari dua dan mempunyai tepat satu vertex dengan degree sedang yang lain dengan degree atau 3. vertex dengan degree disebut akar dari binary tree tersebut. Jadi binary tree adalah suatu rooted tree, tapi suatu rooted tree bukan suatu binary tree. Contoh

11 (a) Binary tree Contoh-3 (b) Bukan binary tree - Sifat-sifat binary tree. Banyaknya vertex dalam suatu binary tree selalu ganjil Telah diketahui bahwa dalam suatu graph banyaknya vertex dengan degree ganjil adalah genap, sedangkan dalam suatu binary tree setiap vertex ber-degree ganjil kecuali akarnya yang ber-degree, maka bila n adalah banyaknya vertex di binary tree T, akan berlaku n- genap, dengan perkataan lain n adalah ganjil.. Jika p adalah banyaknya leaf dalam suatu binary tree T dengan n vertex maka p = ½ (n + ). Banyaknya vertex di T = n Banyaknya vertex dengan degree di T = p Banyaknya vertex dengan degree di T =, maka : Banyaknya vertex dengan degree 3 di T = n p Jadi banyaknya sisi dari T adalah ½ [ * p + * + 3 * (n-p-)] dan dari teorema sebelumnya diketahui bahwa banyaknya sisi dalam sebuah tree dengan n vertex adalah (n ), maka diperoleh persamaan berikut ½ [ * p + * + 3 * (n-p-)] = n atau p + + 3n 3p 3 = n atau p = ½ ( n + )

12 3. Jika p adalah banyaknya leaf dalam suatu binary tree T dan q adalah banyaknya branch di T maka berlaku p = q +. Sebab banyaknya vertex dengan degree = p banyaknya vertex dengan degree = banyaknya vertex dengan degree 3 = q - Jadi banyaknya vertex di adalah n = p + + (q ) Dari sifat di atas diketahui bahwa p = ½ (n + ) Jadi p = p + + (q ) + atau P = q + - Level Dalam suatu binary tree vi dikatakan mempunyai level li bila vi mempunyai jarak dari root. Akar dari setiap binary tree berlevel 0. Contoh : Salah satu binary tree dengan 3 vertex yang berlevel 4 adalah : Level Level Level 3 Level 4 Pada level 0 ada vertex, Pada level ada vertex, Contoh-4

13 Pada level ada vertex, Pada level 3 ada 4 vertex, dan Pada level 4 ada 4 vertex, 4. Jika banyak vertex suatu binary tree berlevel k adalah n, maka berlaku : n 0 k.... Pada suatu binary tree, berlaku : di level 0, paling banyak ada vertex atau di level, paling banyak ada vertex atau di level, paling banyak ada 4 vertex atau di level k, paling banyak ada Jadi berlaku : N Tinggi dari suatu binary tree k. 0 vertex, vertex, vertex, k vertex. adalah level maksimum max yang ada pada binary tree tersebut. 5. Tinggi minimum dari suatu binary tree dengan n vertex adalah min max [log ( n ) ] di mana [n] adalah bilangan bulat lebih besar atau sama dengan n. 0 n n Dari rumus (x - )( x x x... x ) x, diperoleh : berdasarkan sifat di atas : + + k = ( k -) / ( ) k - n = k > n +, k - maka k + > log (n +), jadi min max = [log ( n + ) ]. 6. Tinggi maksimum dari suatu binary tree dengan n vertex adalah : max max ( n )/

14 Supaya tinggi binary tree dengan n vertex mencapai maksimum, maka banyaknya di setiap level harus minimum, yaitu, maka tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh binary tree dengan 0 vertex adalah : max max ( n )/ Contoh : (a) Binary tree dengan 5 vertex yang mempunyai tinggi minimum. (b) Binary tree dengan vertex yang mempunyai tinggi maksimum level level level level 3 level 4 level 5 Jadi min = [,...] = 3 dan max = ( - ) / = 5 - Prefix codes (a) Contoh 5 (b) Andaikan kita akan menyandikan huruf-huruf sebagai barisan biner sedemikian hingga setiap huruf mempunyai kode yang tunggal. Karena banyaknya huruf ada 6, maka barisan biner dengan panjang 5 (karena ) dapat dengan tunggal menyandikan huruf-huruf tersebut. Masalah yang timbul adalah sandi yang terjadi terlalu panjang. Kita tahu bahwa huruf-huruf tersebut tidak merata frekuensi penggunaannya, misal saja huruf a dan i akan lebih sering digunakan dari pada x dan v. Maka akan lebih menghemat jika kita mengambil kebijaksanaan bahwa huruf-huruf yang sering digunakan kita sandikan dengan barisan yang lebih pendek daripada untuk huruf-huruf yang jarang dipakai. Masalah yang timbul kemudian adalah kemungkinan adanya sandi yang membingungkan penerima berita. Misal saja jika kita menyandikan a sebagai 00 dan u sebagai 0 dengan q sebagai 000, maka bila kita mengirim sandi 000 akan dapat berarti 'au' atau 'q'. Untuk itu kita definisikan suatu prefix code.

15 Prefix Code adalah himpunan barisan biner dimana tidak ada anggotanya yang merupakan prefix dari salah satu anggota yang lain. Misalnya : {000, 00, 0, 0, } adalah prefix code, sedangkan {, 00, 0, 000, 000} bukan prefix code, karena 00 adalah prefix dari 0, dan 000 adalah prefix dari. Suatu prefix code dapat kita peroleh dengan menggunakan binary tree. Dari suatu binary tree, kita beri label dua sisi yang insiden dari masing-masing cabang dengan 0 dan. Pada setiap leaf kita pasangkan barisan yaitu barisan label sisi-sisi pada lintasan yang menghubungkan root dengan leaf tersebut. Contoh : Sebaliknya 000 kita juga dapat 00 mengkonstruksikan suatu binary Tree dari suatu prefix yang diketahui sebagai berikut. Contoh 6 Andaikan h adalah pangjang barisan terpanjang dalam prefix code yang diketahui. Konstruksikan binary Tree regular penuh dengan tinggi h dan setiap dua sisi yang insiden pada suatu cabang kita beri label 0 dan. selanjutnya pada setiap vertex kita tentukan setiap barisan label yaitu yang berada dalam lintasan yang menghubungkan vertex tersebut dengan root. Kita cocokan dengan prefix code yang diberikan, setiap vertex yang cocok dengan salah satu anggota dari prefix code diberi tanda, kemudian vertex-vertex yang tidak bertanda tanda beserta descendantnya juga tidak bertanda ditebang, dpl. SubTree dengan vertex itu sebagi root dihapus, maka yang tinggal adalah binary tree yang berkoresponden dengan prefix code yang diberikan. Contoh : Misalkan diketahui prefix code {, 0, 000, 00 }, Contoh 7 (a) adalah binary tree regular penuh dengan tinggi 3, dan Contoh 7 (b) adalah binary tree yang berkoresponden dengan prefix code yang dimaksud.

16 ( a ) ( b ) Contoh 7 - Binary Search Tree Andaikan diberikan item-item yang mempunyai urutan linear <. Andaikan juga K, K,..., Kn adalah n item dalam daftar terurut yang kita namakan kunci. Anggap K < K...< Kn. Diketahui suatu item x, masalahnya adalah melacak kunci-kunci dan menentukan apakah x akan sama dengan salah satu kunci atau apakah x berada di antara K dan Ki + untuk suatu i. Dalam pelacakan ini akan ada n + hasil yang mungkin yaitu : x < K, x = K, K < x <K, x = K, K< x < K3, x = K3,... Kn- < x < Kn, x = Kn, x > Kn. Pada prosedur pelacakan ini akan ada beberpa pembandingan antara x dengan kunci-kunci yang diberikan di mana di setiap pembandingan akan dinyatakan apakah x sama, <atau> dari suatu kunci. Prosedur ini dapat kita sajikan dengan suatu binary tree. Kita definisikan suatu binary search tree untuk suatu set kunci-kunci K,K,...,Kn sebagai binary tree dengan N cabang dan n+ leaf. Titik-titik cabang kita tandai dengan K...Kn

17 Leafnya tree ini kita namakan K0...Kn Sedemikian hingga untuk setiap titik-titik cabang Ki, sub tree kirinya hanya akan memuat vertex-vertex Kj dengan j < i sedangkan subtree kanannya memuat Kj dengan j >= i. Contoh : Binary search tree untuk kunci K, K, K3, dan K4 K3 K K4 K0 K K3 K5 K K Contoh 8 Prosedur pelacakan ini adalah sebagai berikut : Mula-mula membadingkan x dengan akar dari binary search treenya, Ki, maka akan ada 3 kemugkinan : x = Ki ==> selesai. x < Ki ==> bandingkan x dengan anak dari Ki yang ada di sebelah kiri Ki, x > Ki ==> bandingkan x dengan anak dari Ki yang ada disebelah kanan Ki. Prosedur ini diterusjan ke cabang-cabang erikutnya sampai x sama dengan salah satu kunci atau sampai pada satu leaf. Jika leaf yang dicapai adalah Kj, berarti x akan lebih besar dari Kj tapi lebih kecil dari Ki +. Jika yang dicapai adalah Ko, berarti bahwa Kx lebih kecil dari K. Jika yang dicapai adalah leaf Kn, berarti bahwa x lebih besar dari Kn. Contoh : misalkan pada contoh-8 kuknci-kuncinya adalah sbb. : K = AC, K = CF, K3 = EG dan K4 = PP. Jika x = BB, maka (i) bandingka BB dengan kunci K3, yaitu EG (ii) BB < EG, maka bandingkan BB dengan K, yaitu AC (iii) BB > AC, maka bandingkan BB dengan K, yaitu CF (iv) BB < CF, maka bandingkan dengan K, yang merupakan suatu leaf, jadi K < x <K atau AC < CF,. Jika x = AB, maka (i) bandingkan AB dengan kunci K3, yaitu EG

18 (ii) AB < EG, maka bandingkan AB dengan K, yaitu AC (iii) AB < AC, maka bandingkan AB dengan K0, yang merupakan suatu leaf, jadi x < K atau AB < AC. 3. Jika x = ST, maka (i) bandingkan ST dengan kunci K3, yaitu EG (ii) ST > EG, maka bandingkan ST dengan K4, yaitu PP (iii) ST < PP, maka bandingkan ST dengan K4, yang merupakan suatu leaf, jadi x < K atau ST > PP. - Balanced binary tree Suatu binary tree dngan n leaf disebut balanced binary tree jika : (a) n = m mengakibatkan d = m, (b) m < n < m+ mengakibatkan d = m atau d = m +, di mana m = bilangan bulat nonnegatif dan d = panjang lintasan dari root ke leaf. Contoh : (a) (b) (c) Contoh-9 (d)

19 Contoh-9 (a) adalah balanced binary tree, sebab n = 4 m = panjang lintasan dari root ke setiap leaf adalah d = n maka d = m. Contoh-9 (b) juga suatu balanced binary tree, sebab n = 5 m = panjang lintasan dari root ke leaf adalah d yang sama dengan atau 3, maka d = m atau d = m +, Contoh 9 (c) bukan suatu balanced binary tree, sebab n = 5 m = Sedangkan panjang lintasan dari root ke leaf adalah d yang sama dengan atau atau 4, maka d = m atau d = m + tidak selalu dipenuhi. Contoh-9 (d) juga bukan suatu balanced binary tree, sebab n = 5 m = Sedangkan panjang lintasan dari root ke leaf adalah yang sama dengan atau 3, maka d = m atau d = m + tidak selalu dipenuhi.