- Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh :

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "- Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh :"

Transkripsi

1 Kuliah 5, 6 MODUL 3 - Tree Adalah graph tak berarah yang terhubung dan tidak memuat cycle. Suatu Tree paling sedikit mengandung satu vertex. Contoh : Tree dgn vertex (a) Tree dgn vertex (b) Tree dgn 3 vertex (c) Tree dgn 4 vertex (d) Tree dgn 4 vertex (e) Contoh 8 - Contoh aplikasi Tree Misalkan v = { A, B, C, D, E, F, G, H, I } adalah himpunan petinju-petinju yang sudah disusun menurut urutan bertanding merebutkan piala SEA GAMES. x dan y termasuk v akan dihubungkan oleh suatu edge jika x dan y adalah pasangan untuk bertanding, yang menang akan berpasangan dengan berikutnya, sedangkan yang kalah tidak akan bertanding lagi. Misalkan mula-mula A bertanding dengan B dan A menang, kemudian A bertanding dengan C dan A menang, berikutnya A bertanding dengan D dan A menang lagi. Akhirnya A bertanding dengan E dan E yang menang. Selanjutnya E melawan F, E

2 menang, kemudian E melawan G dan E tetap menang, lalu E melawan H yang dimenangkan oleh H. terakhir H harus melawan I. Maka pertandingan tinju ini dapat digambarkan oleh Tree berikut. A B C D A E F G H I B C D F G E I H Contoh 9 - Leaf (pendant vertex, terminal node) Yaitu vertex dalam sebuah Tree dengan degree Satu. Pada contoh 9, A, B, C, D, E, F, G dan I adalah leaf. - Branch (internal node) Adalah vertex dalam sebuah Tree dengan degree lebih dari satu. Pada contoh 9, A, E,dan H adalah branch. - Teorema tentang Tree : menghubungkannya.. Untuk setiap pasang vertex dalam suatu Tree T ada lintasan tunggal yang Jelas ada lintasan yang menghubungkan setiap dua vertex sebab T connected. Sekarang ada dua vertek yang dihubungkan oleh dua lintasan, maka kedua lintasan ini akan membentuk suatu cycle dalam T, ini tidak mungkin sebab T acyclic.. Jia dalam suatu graph G setiap dua vertex hanya ada satu lintasan, maka graph G adalah satu Tree.

3 Adanya lintasan untuk setiap vertex di G menjamin G terhubung. Misalkan G mempunyai satu sirkuit, berarti ada dua vertex a dan b sehingga ada dua lintasan yang menghubungkan a dan b, ini bertentangan dengan hipotesa, maka G tidak mempunyai sirkuit. Jadi G adalah sebuah Tree. 3. Dalam sebuah Tree dengan n vertex dan q edge, berlaku hubungan berikut: n = q +. Dibuktikan dengan induksi matematika. Pernyataan di atas benar untuk n =, sebab n =, Tree Tersebut tidak mempunyai sisi, jadi q = 0, atau n = q +. untuk n =, tree tersebut, Hanya mempunyai satu sisi, jadi q = atau n = q + pula. Andaikan pernyataan benar untuk tree dengan banyaknya vertex kurang dari n. Sekarang misalkan T adalah suatu tree dengan n vertex, dan a adalah suatu edge dalam tree T tersebut. Yang menghubungkan vi dan vj, pandang T a. Karena teorema, maka dengan ini tidak ada lagi lintasan yang menghubungkan antara vi dan vj. Dengan demikian T akan terpisah menjadi dua komponen yang yang juga berupa tree, katakan T dan T. banyaknya vertex dalam T misalkan adalah n dan banyaknya edge q, maka n < n dan berlaku n = q +. Sedangkan banyaknya vertex di T misalkan adalah n dan banyaknya edge dalam T adalah q, maka n < n dan berlaku n = q +. Sehingga n + n = q + q + Sedangkan n = n + n Dan q = q + q + Maka n = q + Jadi pernyataan di atas benar untuk setiap tree. Vi a Vj T T

4 4. setiap graph terhubung dengan n vertex dan n edge adalah sebuah tree. misalkan G adalah sebuah graph terhubung dengan n vertex dan n- edge. Untuk membuktikan G adalah sebuah tree tinggal dibuktikan bahwa G tidak mempunyai sirkuit. Misalkan G mempunyai suatu sirkuit elementer vi, vi,,vim,vi. Pada sirkuit ini terdapat m revtex dan m edge ( m < n ). Jadi masih sisa n m vertex, karena g terhubung, maka paling sedikit masih ada n m edge lagi diluar sirkuit tersebut. Yang berarti bahwa G mempunyai m + (n m) = n vertex dan m + (n m) = n edge, ini bertentangan dengan hipotesa. Jadi G tidak mungkin mempunyai sirkuit. Dpl. G adalah sebuah Tree. 5. graph G adalah suatu tree jika dan hanya jika G adalah terhubung minimal, yang berarti bila suatu edge di G dihilangkan, G akan menjadi tidak terhubung. Jika G suatu tree, maka G terhubung dan tidak mempunyai sirkuit. Misalkan G terhubung tidak minimal, berarti ada edge ei di G sehingga G ei masih terhubung, dpl. Ei berada dalam sebuah. Sirkuit. Bertentangan dengan G adalah sebuah tree, maka G adalah terhubung minimal. Sebaliknya, jika G terhubung minimal maka G tidak mungkin mempunyai sebuah sirkuit, ini berarti bahwa G adalah sebuah tree. terhubung. 6. Suatu graph G dengan n revtex dan n edge dan tedak mempunyai sirkuit adalah Vi e Vj G G Misalkan G adalah suatu graph dengan n revtex dan n edge dan tidak mempunyai sirkuit yang tidak terhubung. Maka G terdiri dari dua komponen atau lebih, misalkan G terdiri dari

5 dua komponen G dan g. Ambil vertex vi di G dan vj di g, buat satu edge e yang menghubungkan vi dan vj. Karena G dan G adalah komponen, jadi di G tidak ada lintasan antara vi dan vj, berarti dengan menambahkan edge e tidak akan membentuk suatu sirkuit di G. dengan demikian G = G e tetap tidak mengandung sirkuit dan terhubung. Jadi G adalah suatu tree dengan n vertex dan (n ) + edge, menurut teorema 3 hal ini tidak mungkin. Maka G harus terhubung. : - Dari keenam teorema di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan dibawah ekivalen. Suatu graph G adalah tree jika G terhubung dan tidak mempunyai sirkuit. edge.. Suatu graph G dengan n vertex adalah tree jika G terhubung dan mempunyai n 3. Suatu graph G dengan n vertex adalah tree jika G mempunyai n edge dan tidak mempunyai sirkuit. 4. Suatu graph G adalah tree jika antara setiap pasang vertex ada tepat satu lintasan di G. 5. Suatu graph G dengan adalah tree jika G terhubung minimal. - Teorema. Dalam suatu tree dengan dua vertex atau lebih, paling sedikit mengandung dua pendant vertex. Misalkan tree T mempunyai n (n > ) vertex, maka T mempuyai n- edge, yang berarti bahwa T mempunyai * ( n ) degree yang dibagikan ke n vertex. Karena tidak ada vertex yang ber-degree 0, maka paling sedikit ada dua pendant vertex (leaf). Tree berarah

6 Suatu graph berarah dikatakan tree bila setelah arahnya diabaikan dia menjadi tree. Rooted Tree Suatu tree di mana satu vertexnya dibedakan dengan vertex lainnya disebut rooted tree, vertex yang dibedakan tersebut disebut akar atau root. Suatu tree berarah dikatakan rooted tree berarah bila ada tepat satu vertex dengan in-degree 0. Vertex dengan in-degree 0 disebut akan atau root, sedangkan vertex dengan out-degree 0 disebut leaf (pendant vertex). Contoh : Pe rmulaan V e0 V e e e9 e3 e6 e7 e4 e 5 e8 V0 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V V e e e3 e e30 e3 e3 V3 V 8 V3 V3 V33 V4 V V5 8 e5 V6 V35 e6 e7 V7 V36 8 V8 e8 e9 V9 V V0 3 V37 V38 V39 8 V40 V V3 V4 V4 V5 V V4 V43 V44 V7 V8 V9 V30 V45 e45 e46 e47 e48 V46 V47 V48 V49 Contoh 0 Misalkan ada suatu barisan bilangan bulat di mana unsur-unsurnya tidak ada yang sama sebagai berikut: 4,, 3, 7, 0,, 8,, 3. Tentukan subbarisan monoton naik yang terpanjang dari barisan tersebut. Persoalan ini dapat dinyatakan dalam bentuk tree, di mana vertex-nya ( kecuali vertex permulaannya ) menyatakan bilangan tertentu dalam barisan tersebut, dan setiap lintasan dari vertex permulaan ke vertext v menyatakan suatu subbarisan monoton naik yang berakhir dengan bilangan yang dinyatakan oleh v. Tree tersebut digambarkan pada contoh 0 di atas.

7 Dari gambar di atas terlihat bahwa subbarisan-subbarisan yang ada adalah : 4, 3 4, 7, 8, subbarisan terpanjang 4, 7, 4, 8,, 3, 7, 8, subbarisan terpanjang, 7,,, 8, sub barisan terpanjang,,,, 3, 8,, 3 7, 8, 7, 0,, 8, sub barisan terpanjang 0,, 0,, 3 0, 8, 0, 0, 3, 8,,, 3 8, 3 Contoh: Jarak antara vertex Jarak antara vertex vi dan vj di dalam suatu graph terhubung adalah panjang terkecil dari lintasan-lintasan yang ada antara vi dan vj. Dinyatakan oleh d(vi, vj)

8 Pada graph contoh- di bawah hendak ditentukn jarak antara vertex v dan v, maka dicari semua lintasan yang ada antara v dan v: Lintasan- : a, e dengan panjang p = Lintasan- : a, c, f dengan panjang p = 3 Lintasan-3 : b, c, e dengan panjang p3 = 3 Lintasan-4 : b, f dengan panjang p4 = Lintasan-5 : b, g, h dengan panjang p5 = 3 Lintasan-6 : b, g, i, j dengan panjang p6 = 4 Jadi d (v, v) = min ( p, p, p3, p4, p5 ) = a e V j V c f h b g i Contoh Anak, Saudara dan Bapak Dalam suatu rooted tree T vertex B disebut anak dari branch A bila ada edge yang menghubungkan A ke B dan A disebut bapak dari B. Dua vertex di T disebut bersaudara bila mereka adalah anak dari vertex yang sama. Descendent dan Ancestor Dalam suatu rooted tree berarah vertex v dikatakan descendant dari vertex v bila ada lintasan dari v ke v,dan v dikatakan ancestor dari v. Contoh : Pada contoh-0 : v, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, dan v0 adalah bersaudara dan semua adalah anak dari v. v, v, v3 dan v4 adalah bersaudara dan semua adalah anak dari v. v5 tidak bersaudara dengan v v46, v3, v dan v adalah descendant dari v v, v, v dan v3, adalah ancestor dari v46.

9 v47 bukan descendant dari v, tapi v47 adalah descendant dari v, tapi v47 adalah descendent dari v. Subtree dari suatu branch sebagai root. Andaikan v adalah suatu branch dalam suatu rooted tree berarah T. suatu sub tree denganroot di v adalah T = (V,E ) sehingga V memuat v dan semua descendent v sedangkan E memuat sisi-sisi pada semua lintasan yang berasal dari v. Contoh : Pada contoh-0, rooted tree berarah T = (V,E), di mana V = v, v,,v49 dan E = e, e,., e48 terdapat subtree-subtree dengan branch tertentu sebagai root sebagai berikut : Subtree T = (V, E) V = v, v, v, v3, v4, v3, v3, v33, v46 E = e0,e, e, e3, e30, e3, e3, e45 Subtree T = (V, E) dengan root v dimana V = v, v3, v3, v46 E = e30, e3, e45 Subtree T3 = (V3, E3) dengan root v3 dimana V3 = v3, v46 E = e45 Subtree dari suatu branch. Subtree dari suatu branch v dalam suatu rooted tree adalah subtree dengan salah satu anak dari v sebagai root. Contoh : Pada contoh-0, subttree dari branch v4 ada 4 buah, masing-masing adalah : T = (V, E) di mana V = V dan E = kosong T = (V, E) di mana V = v, v3, v3, v46 E = e30, e3, e45 T3 = (V3, E3) di mana V3 = V3, V33 E3 = e3 T4 = (V4, E4) di mana V4 = V4 dan

10 E4 = kosong Ordered tree Adalah rooted tree dengan sisi-sisi yang insiden dengan masing-masing cabang diberi label bilangan bulat,,.dst. Contoh : Sentence 3 Subject Verb Object Article Noun phrase Article Noun phrase Adjective noun Adjective noun Sentence Little Girl Wears A Red Dress Contoh- m-ary tree adalah ordered tree dengan yang setiap cabangnya mempunyai paling banyak m anak. Bila setiap cabang mempunyai m anak maka m ary tree tersebut. Disebut reguler m-ary tree. Binary tree Adalah tree dengan banyak vertex lebih dari dua dan mempunyai tepat satu vertex dengan degree sedang yang lain dengan degree atau 3. vertex dengan degree disebut akar dari binary tree tersebut. Jadi binary tree adalah suatu rooted tree, tapi suatu rooted tree bukan suatu binary tree. Contoh

11 (a) Binary tree Contoh-3 (b) Bukan binary tree - Sifat-sifat binary tree. Banyaknya vertex dalam suatu binary tree selalu ganjil Telah diketahui bahwa dalam suatu graph banyaknya vertex dengan degree ganjil adalah genap, sedangkan dalam suatu binary tree setiap vertex ber-degree ganjil kecuali akarnya yang ber-degree, maka bila n adalah banyaknya vertex di binary tree T, akan berlaku n- genap, dengan perkataan lain n adalah ganjil.. Jika p adalah banyaknya leaf dalam suatu binary tree T dengan n vertex maka p = ½ (n + ). Banyaknya vertex di T = n Banyaknya vertex dengan degree di T = p Banyaknya vertex dengan degree di T =, maka : Banyaknya vertex dengan degree 3 di T = n p Jadi banyaknya sisi dari T adalah ½ [ * p + * + 3 * (n-p-)] dan dari teorema sebelumnya diketahui bahwa banyaknya sisi dalam sebuah tree dengan n vertex adalah (n ), maka diperoleh persamaan berikut ½ [ * p + * + 3 * (n-p-)] = n atau p + + 3n 3p 3 = n atau p = ½ ( n + )

12 3. Jika p adalah banyaknya leaf dalam suatu binary tree T dan q adalah banyaknya branch di T maka berlaku p = q +. Sebab banyaknya vertex dengan degree = p banyaknya vertex dengan degree = banyaknya vertex dengan degree 3 = q - Jadi banyaknya vertex di adalah n = p + + (q ) Dari sifat di atas diketahui bahwa p = ½ (n + ) Jadi p = p + + (q ) + atau P = q + - Level Dalam suatu binary tree vi dikatakan mempunyai level li bila vi mempunyai jarak dari root. Akar dari setiap binary tree berlevel 0. Contoh : Salah satu binary tree dengan 3 vertex yang berlevel 4 adalah : Level Level Level 3 Level 4 Pada level 0 ada vertex, Pada level ada vertex, Contoh-4

13 Pada level ada vertex, Pada level 3 ada 4 vertex, dan Pada level 4 ada 4 vertex, 4. Jika banyak vertex suatu binary tree berlevel k adalah n, maka berlaku : n 0 k.... Pada suatu binary tree, berlaku : di level 0, paling banyak ada vertex atau di level, paling banyak ada vertex atau di level, paling banyak ada 4 vertex atau di level k, paling banyak ada Jadi berlaku : N Tinggi dari suatu binary tree k. 0 vertex, vertex, vertex, k vertex. adalah level maksimum max yang ada pada binary tree tersebut. 5. Tinggi minimum dari suatu binary tree dengan n vertex adalah min max [log ( n ) ] di mana [n] adalah bilangan bulat lebih besar atau sama dengan n. 0 n n Dari rumus (x - )( x x x... x ) x, diperoleh : berdasarkan sifat di atas : + + k = ( k -) / ( ) k - n = k > n +, k - maka k + > log (n +), jadi min max = [log ( n + ) ]. 6. Tinggi maksimum dari suatu binary tree dengan n vertex adalah : max max ( n )/

14 Supaya tinggi binary tree dengan n vertex mencapai maksimum, maka banyaknya di setiap level harus minimum, yaitu, maka tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh binary tree dengan 0 vertex adalah : max max ( n )/ Contoh : (a) Binary tree dengan 5 vertex yang mempunyai tinggi minimum. (b) Binary tree dengan vertex yang mempunyai tinggi maksimum level level level level 3 level 4 level 5 Jadi min = [,...] = 3 dan max = ( - ) / = 5 - Prefix codes (a) Contoh 5 (b) Andaikan kita akan menyandikan huruf-huruf sebagai barisan biner sedemikian hingga setiap huruf mempunyai kode yang tunggal. Karena banyaknya huruf ada 6, maka barisan biner dengan panjang 5 (karena ) dapat dengan tunggal menyandikan huruf-huruf tersebut. Masalah yang timbul adalah sandi yang terjadi terlalu panjang. Kita tahu bahwa huruf-huruf tersebut tidak merata frekuensi penggunaannya, misal saja huruf a dan i akan lebih sering digunakan dari pada x dan v. Maka akan lebih menghemat jika kita mengambil kebijaksanaan bahwa huruf-huruf yang sering digunakan kita sandikan dengan barisan yang lebih pendek daripada untuk huruf-huruf yang jarang dipakai. Masalah yang timbul kemudian adalah kemungkinan adanya sandi yang membingungkan penerima berita. Misal saja jika kita menyandikan a sebagai 00 dan u sebagai 0 dengan q sebagai 000, maka bila kita mengirim sandi 000 akan dapat berarti 'au' atau 'q'. Untuk itu kita definisikan suatu prefix code.

15 Prefix Code adalah himpunan barisan biner dimana tidak ada anggotanya yang merupakan prefix dari salah satu anggota yang lain. Misalnya : {000, 00, 0, 0, } adalah prefix code, sedangkan {, 00, 0, 000, 000} bukan prefix code, karena 00 adalah prefix dari 0, dan 000 adalah prefix dari. Suatu prefix code dapat kita peroleh dengan menggunakan binary tree. Dari suatu binary tree, kita beri label dua sisi yang insiden dari masing-masing cabang dengan 0 dan. Pada setiap leaf kita pasangkan barisan yaitu barisan label sisi-sisi pada lintasan yang menghubungkan root dengan leaf tersebut. Contoh : Sebaliknya 000 kita juga dapat 00 mengkonstruksikan suatu binary Tree dari suatu prefix yang diketahui sebagai berikut. Contoh 6 Andaikan h adalah pangjang barisan terpanjang dalam prefix code yang diketahui. Konstruksikan binary Tree regular penuh dengan tinggi h dan setiap dua sisi yang insiden pada suatu cabang kita beri label 0 dan. selanjutnya pada setiap vertex kita tentukan setiap barisan label yaitu yang berada dalam lintasan yang menghubungkan vertex tersebut dengan root. Kita cocokan dengan prefix code yang diberikan, setiap vertex yang cocok dengan salah satu anggota dari prefix code diberi tanda, kemudian vertex-vertex yang tidak bertanda tanda beserta descendantnya juga tidak bertanda ditebang, dpl. SubTree dengan vertex itu sebagi root dihapus, maka yang tinggal adalah binary tree yang berkoresponden dengan prefix code yang diberikan. Contoh : Misalkan diketahui prefix code {, 0, 000, 00 }, Contoh 7 (a) adalah binary tree regular penuh dengan tinggi 3, dan Contoh 7 (b) adalah binary tree yang berkoresponden dengan prefix code yang dimaksud.

16 ( a ) ( b ) Contoh 7 - Binary Search Tree Andaikan diberikan item-item yang mempunyai urutan linear <. Andaikan juga K, K,..., Kn adalah n item dalam daftar terurut yang kita namakan kunci. Anggap K < K...< Kn. Diketahui suatu item x, masalahnya adalah melacak kunci-kunci dan menentukan apakah x akan sama dengan salah satu kunci atau apakah x berada di antara K dan Ki + untuk suatu i. Dalam pelacakan ini akan ada n + hasil yang mungkin yaitu : x < K, x = K, K < x <K, x = K, K< x < K3, x = K3,... Kn- < x < Kn, x = Kn, x > Kn. Pada prosedur pelacakan ini akan ada beberpa pembandingan antara x dengan kunci-kunci yang diberikan di mana di setiap pembandingan akan dinyatakan apakah x sama, <atau> dari suatu kunci. Prosedur ini dapat kita sajikan dengan suatu binary tree. Kita definisikan suatu binary search tree untuk suatu set kunci-kunci K,K,...,Kn sebagai binary tree dengan N cabang dan n+ leaf. Titik-titik cabang kita tandai dengan K...Kn

17 Leafnya tree ini kita namakan K0...Kn Sedemikian hingga untuk setiap titik-titik cabang Ki, sub tree kirinya hanya akan memuat vertex-vertex Kj dengan j < i sedangkan subtree kanannya memuat Kj dengan j >= i. Contoh : Binary search tree untuk kunci K, K, K3, dan K4 K3 K K4 K0 K K3 K5 K K Contoh 8 Prosedur pelacakan ini adalah sebagai berikut : Mula-mula membadingkan x dengan akar dari binary search treenya, Ki, maka akan ada 3 kemugkinan : x = Ki ==> selesai. x < Ki ==> bandingkan x dengan anak dari Ki yang ada di sebelah kiri Ki, x > Ki ==> bandingkan x dengan anak dari Ki yang ada disebelah kanan Ki. Prosedur ini diterusjan ke cabang-cabang erikutnya sampai x sama dengan salah satu kunci atau sampai pada satu leaf. Jika leaf yang dicapai adalah Kj, berarti x akan lebih besar dari Kj tapi lebih kecil dari Ki +. Jika yang dicapai adalah Ko, berarti bahwa Kx lebih kecil dari K. Jika yang dicapai adalah leaf Kn, berarti bahwa x lebih besar dari Kn. Contoh : misalkan pada contoh-8 kuknci-kuncinya adalah sbb. : K = AC, K = CF, K3 = EG dan K4 = PP. Jika x = BB, maka (i) bandingka BB dengan kunci K3, yaitu EG (ii) BB < EG, maka bandingkan BB dengan K, yaitu AC (iii) BB > AC, maka bandingkan BB dengan K, yaitu CF (iv) BB < CF, maka bandingkan dengan K, yang merupakan suatu leaf, jadi K < x <K atau AC < CF,. Jika x = AB, maka (i) bandingkan AB dengan kunci K3, yaitu EG

18 (ii) AB < EG, maka bandingkan AB dengan K, yaitu AC (iii) AB < AC, maka bandingkan AB dengan K0, yang merupakan suatu leaf, jadi x < K atau AB < AC. 3. Jika x = ST, maka (i) bandingkan ST dengan kunci K3, yaitu EG (ii) ST > EG, maka bandingkan ST dengan K4, yaitu PP (iii) ST < PP, maka bandingkan ST dengan K4, yang merupakan suatu leaf, jadi x < K atau ST > PP. - Balanced binary tree Suatu binary tree dngan n leaf disebut balanced binary tree jika : (a) n = m mengakibatkan d = m, (b) m < n < m+ mengakibatkan d = m atau d = m +, di mana m = bilangan bulat nonnegatif dan d = panjang lintasan dari root ke leaf. Contoh : (a) (b) (c) Contoh-9 (d)

19 Contoh-9 (a) adalah balanced binary tree, sebab n = 4 m = panjang lintasan dari root ke setiap leaf adalah d = n maka d = m. Contoh-9 (b) juga suatu balanced binary tree, sebab n = 5 m = panjang lintasan dari root ke leaf adalah d yang sama dengan atau 3, maka d = m atau d = m +, Contoh 9 (c) bukan suatu balanced binary tree, sebab n = 5 m = Sedangkan panjang lintasan dari root ke leaf adalah d yang sama dengan atau atau 4, maka d = m atau d = m + tidak selalu dipenuhi. Contoh-9 (d) juga bukan suatu balanced binary tree, sebab n = 5 m = Sedangkan panjang lintasan dari root ke leaf adalah yang sama dengan atau 3, maka d = m atau d = m + tidak selalu dipenuhi.

Pohon. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Program Studi Teknik Informatika ITB. Rinaldi M/IF2120 Matdis 1

Pohon. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Program Studi Teknik Informatika ITB. Rinaldi M/IF2120 Matdis 1 Pohon Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Program Studi Teknik Informatika ITB Rinaldi M/IF2120 Matdis 1 Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a

Lebih terperinci

DEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2

DEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2 1 POHON DEFINISI Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2 Hutan (forest) adalah - kumpulan

Lebih terperinci

Definisi. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon

Definisi. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 1 Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2 Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon

Lebih terperinci

Pohon (TREE) Matematika Deskrit. Hasanuddin Sirait, MT 1

Pohon (TREE) Matematika Deskrit. Hasanuddin Sirait, MT 1 Pohon (TREE) Matematika Deskrit By @Ir. Hasanuddin Sirait, MT 1 Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon pohon

Lebih terperinci

Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Matematika Diskret (Pohon) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon

Lebih terperinci

Definisi. Pohon adalah graf tak-berarah, terhubung, dan tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon (ada sikuit) (tdk terhubung)

Definisi. Pohon adalah graf tak-berarah, terhubung, dan tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon (ada sikuit) (tdk terhubung) POHON (TREE) Pohon Definisi Pohon adalah graf tak-berarah, terhubung, dan tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon pohon bukan pohon bukan pohon (ada sikuit) (tdk

Lebih terperinci

Pohon (Tree) Universitas Gunadarma Sistem Informasi 2012/2013

Pohon (Tree) Universitas Gunadarma Sistem Informasi 2012/2013 Pohon (Tree) Universitas Gunadarma Sistem Informasi 2012/2013 Pohon (Tree) Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graf terhubung, maka pohon selalu

Lebih terperinci

Pertemuan 9 STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER

Pertemuan 9 STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER Pertemuan 9 STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER DEFINISI POHON (TREE) Pohon (Tree) termasuk struktur non linear yang didefinisikan sebagai data yang terorganisir dari suatu item informasi cabang yang

Lebih terperinci

STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER

STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER STRUKTUR POHON & KUNJUNGAN POHON BINER Pohon (Tree) termasuk struktur non linear yang didefinisikan sebagai data yang terorganisir dari suatu item informasi cabang yang saling terkait Istilah istilah Dalam

Lebih terperinci

BAB VII POHON BINAR POHON

BAB VII POHON BINAR POHON BAB VII POHON BINAR POHON Pohon atau tree adalah salah satu bentuk graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graph terhubung, maka pada pohon selalu terdapat path atau jalur yang

Lebih terperinci

Termilogi Pada Pohon Berakar 10 Pohon Berakar Terurut

Termilogi Pada Pohon Berakar 10 Pohon Berakar Terurut KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata?ala, karena berkat rahmat-nya kami bisa menyelesaikan makalah yang berjudul Catatan Seorang Kuli Panggul. Makalah ini diajukan

Lebih terperinci

8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014

8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 2 8/29/2014 1 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 3 8/29/2014 POHON DAN PEWARNAAN GRAF Tujuan Mahasiswa

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan

BAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

Pemrograman Algoritma Dan Struktur Data

Pemrograman Algoritma Dan Struktur Data MODUL PERKULIAHAN Modul ke: 14Fakultas Agus FASILKOM Pemrograman Algoritma Dan Struktur Data ADT BINARY TREE Hamdi.S.Kom,MMSI Program Studi Teknik Informatika ISTILAH-ISTILAH DASAR Pohon atau Tree adalah

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan

Lebih terperinci

P o h o n. Definisi. Oleh: Panca Mudji Rahardjo. Pohon. Adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit.

P o h o n. Definisi. Oleh: Panca Mudji Rahardjo. Pohon. Adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. P o h o n Oleh: Panca Mudji Rahardjo Definisi Pohon Adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Contoh: G 1 dan G 2 pohon, G 3 dan G 4 bukan pohon. 1 Definisi Hutan (forest) Adalah

Lebih terperinci

STRUKTUR POHON (TREE) Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit.

STRUKTUR POHON (TREE) Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Pertemuan 9 STRUKTUR POHON (TREE) ISTILAH-ISTILAH DASAR Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan Graph terhubung, maka pada Pohon (Tree)

Lebih terperinci

Organisasi Berkas Sekuensial Berindeks

Organisasi Berkas Sekuensial Berindeks Organisasi Berkas Sekuensial Berindeks Definisi Organisasi Berkas ini mirip dengan Organisasi Berkas Sekuensial dimana setiap rekaman disusun secara beruntun di dalam file, hanya saja ada tambahan indeks

Lebih terperinci

BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema

BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah

Lebih terperinci

Penerapan Pohon dengan Algoritma Branch and Bound dalam Menyelesaikan N-Queen Problem

Penerapan Pohon dengan Algoritma Branch and Bound dalam Menyelesaikan N-Queen Problem Penerapan Pohon dengan Algoritma Branch and Bound dalam Menyelesaikan N-Queen Problem Arie Tando (13510018) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

STRUKTUR POHON (TREE) Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit.

STRUKTUR POHON (TREE) Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Pertemuan 9 STRUKTUR POHON (TREE) ISTILAH-ISTILAH DASAR Pohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan Graph terhubung, maka pada Pohon (Tree)

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf

Lebih terperinci

Aplikasi Pohon pada Pohon Binatang (Animal Tree)

Aplikasi Pohon pada Pohon Binatang (Animal Tree) Aplikasi Pohon pada Pohon Binatang (Animal Tree) Cilvia Sianora Putri (13512027) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,

Lebih terperinci

Pohon (Tree) Contoh :

Pohon (Tree) Contoh : POHON (TREE) Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Sedangkan Hutan (Forest) adalah graph yang tidak mengandung sirkuit. Jadi pohon adalah hutan yang terhubung.

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf

Lebih terperinci

Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf

Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 8

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 8 POHON / TREE Dalam dunia informatika, pohon memegang peranan penting bagi seorang programmer untuk menggambarkan hasil karyanya. Bagi seorang user, setiap kali berhadapan dengan monitor untuk menjalankan

Lebih terperinci

Pohon. Modul 4 PENDAHULUAN. alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4

Pohon. Modul 4 PENDAHULUAN. alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4 Modul 4 Pohon Dr. Nanang Priatna, M.Pd. D PENDAHULUAN alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4 H 10, hierarki administrasi

Lebih terperinci

TUGAS MAKALAH INDIVIDUAL. Mata Kuliah : Matematika Diskrit / IF2153 Nama : Dwitiyo Abhirama NIM :

TUGAS MAKALAH INDIVIDUAL. Mata Kuliah : Matematika Diskrit / IF2153 Nama : Dwitiyo Abhirama NIM : TUGAS MAKALAH INDIVIDUAL Mata Kuliah : Matematika Diskrit / IF2153 Nama : Dwitiyo Abhirama NIM : 13505013 Institut Teknologi Bandung Desember 2006 Penggunaan Struktur Pohon dalam Informatika Dwitiyo Abhirama

Lebih terperinci

Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah

Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi

Lebih terperinci

Kompleksitas Algoritma dari Algoritma Pembentukan pohon Huffman Code Sederhana

Kompleksitas Algoritma dari Algoritma Pembentukan pohon Huffman Code Sederhana Kompleksitas Algoritma dari Algoritma Pembentukan pohon Huffman Code Sederhana Muhammad Fiqri Muthohar NIM : 13506084 1) 1) Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung, email: fiqri@arc.itb.ac.id Abstrak makalah

Lebih terperinci

TERAPAN POHON BINER 1

TERAPAN POHON BINER 1 TERAPAN POHON BINER 1 Terapan pohon biner di dalam ilmu komputer sangat banyak, diantaranya : 1. Pohon ekspresi 2. Pohon keputusan 3. Kode Prefiks 4. Kode Huffman 5. Pohon pencarian biner 2 Pohon Ekspresi

Lebih terperinci

Algoritma dan Struktur Data. Click to edit Master subtitle style Konsep Tree

Algoritma dan Struktur Data. Click to edit Master subtitle style Konsep Tree Algoritma dan Struktur Data Click to edit Master subtitle style Konsep Tree Basic Tree Concepts Tree berisi himpunan node dan garis berarah yang disebut branch yang menghubungkan dua node. Banyaknya branch

Lebih terperinci

BAB IV POHON. Diktat Algoritma dan Struktur Data 2

BAB IV POHON. Diktat Algoritma dan Struktur Data 2 iktat lgoritma dan Struktur ata 2 V POON efinisi Pohon Struktur pohon merupakan kumpulan elemen yang salah satu elemennya disebut akar dan sisa elemennya terpecah menjadi sejumlah himpunan yang saling

Lebih terperinci

BAB 2. LANDASAN TEORI 2.1. Algoritma Huffman Algortima Huffman adalah algoritma yang dikembangkan oleh David A. Huffman pada jurnal yang ditulisnya sebagai prasyarat kelulusannya di MIT. Konsep dasar dari

Lebih terperinci

ALGORITMA DAN STRUKTUR DATA

ALGORITMA DAN STRUKTUR DATA Modul ke: 10 Fitrianingsih Fakultas FASILKOM ALGORITMA DAN STRUKTUR DATA JENIS-JENIS TREE SKom., MMSI Program Studi Sistem Informasi JENIS-JENIS TREE Pohon (Tree) adalah graf terhubung yang tidak mengandung

Lebih terperinci

MODUL 4 Materi Kuliah New_S1

MODUL 4 Materi Kuliah New_S1 MODUL Materi Kuliah New_S KULIAH, TEOREMA : Jika dari vertex ke vertex dari graph G dengan n vertex terdapat suatu lintasan, maka ada lintasan yang panjangnya tidak lebih dari n. Bukti : Misalnya p = (,

Lebih terperinci

7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK.

7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. 7. Counting Trees Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Menghitung Labelled Tree 2. Menghitung Binary Tree 3. Menghitung Chemical Tree Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

Matematik tika Di Disk i r t it 2

Matematik tika Di Disk i r t it 2 Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat

Lebih terperinci

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan

Lebih terperinci

BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari

BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan

II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan

Lebih terperinci

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V). GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya

Lebih terperinci

Variasi Pohon Pencarian Biner Seimbang

Variasi Pohon Pencarian Biner Seimbang Variasi Pohon Pencarian Biner Seimbang Tony 13516010 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia buddy90_lost@yahoo.co.id

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS)

MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS) MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS) Rabu, 18.50 20.20 Ruang Hard Disk PERTEMUAN XI, XII RELASI Dosen Lie Jasa 1 Matematika Diskrit Graf (lanjutan) 2 Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan

Lebih terperinci

Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH

Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH GRAPH Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan definisi-definisi, istilah-istilah yang digunakan dalam

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan definisi-definisi, istilah-istilah yang digunakan dalam 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan definisi-definisi, istilah-istilah yang digunakan dalam penelitian. 2.1 Konsep Dasar Teori Graf 2.1.1 Graf Graf merupakan representasi dari suatu masalah

Lebih terperinci

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex

Lebih terperinci

Teori Himpunan. Matematika Dasar untuk Teori Bahasa Otomata. Operasi pada Himpunan. Himpunan Tanpa Elemen. Notasi. Powerset & Cartesian Product

Teori Himpunan. Matematika Dasar untuk Teori Bahasa Otomata. Operasi pada Himpunan. Himpunan Tanpa Elemen. Notasi. Powerset & Cartesian Product Teori Himpunan Matematika Dasar untuk Teori Bahasa Otomata Teori Bahasa & Otomata Semester Ganjil 2009/2010 Himpunan adalah sekumpulan entitas tidak memiliki struktur sifatnya hanya keanggotaan Notasi

Lebih terperinci

INTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE 2

INTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE 2 INTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE Operasi-Operasi Pada Graph Union Misal G dan H adalah dua graph yang saling asing. Union G H adalah graph dengan V(G H)=V(G) V(H) dan E(G H)=E(G) E(H). Join Join dari

Lebih terperinci

v 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4

v 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan

Lebih terperinci

POHON CARI BINER (Binary Search Tree)

POHON CARI BINER (Binary Search Tree) POHON CARI BINER (Binary Search Tree) 50 24 70 10 41 61 90 3 12 35 47 55 67 80 99 POHON CARI BINER (Binary Search Tree) Definisi : bila N adalah simpul dari pohon maka nilai semua simpul pada subpohon

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang

Lebih terperinci

Ulang Kaji Konsep Matematika

Ulang Kaji Konsep Matematika Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika

Lebih terperinci

HEAP. Heap dan Operasinya. Oleh Andri Heryandi

HEAP. Heap dan Operasinya. Oleh Andri Heryandi HEAP Heap adalah sebuah binary tree dengan ketentuan sebagai berikut : Tree harus complete binary tree - Semua level tree mempunyai simpul maksimum kecuali pada level terakhir. - Pada level terakhir, node

Lebih terperinci

Konsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi

Konsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph

Lebih terperinci

STRUKTUR DATA. By : Sri Rezeki Candra Nursari 2 SKS

STRUKTUR DATA. By : Sri Rezeki Candra Nursari 2 SKS STRUKTUR DATA By : Sri Rezeki Candra Nursari 2 SKS Literatur Sjukani Moh., (2007), Struktur Data (Algoritma & Struktur Data 2) dengan C, C++, Mitra Wacana Media Utami Ema. dkk, (2007), Struktur Data (Konsep

Lebih terperinci

Penyandian (Encoding) dan Penguraian Sandi (Decoding) Menggunakan Huffman Coding

Penyandian (Encoding) dan Penguraian Sandi (Decoding) Menggunakan Huffman Coding Penyandian (Encoding) dan Penguraian Sandi (Decoding) Menggunakan Huffman Coding Nama : Irwan Kurniawan NIM : 135 06 090 1) Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10,

Lebih terperinci

Algoritma Prim dengan Algoritma Greedy dalam Pohon Merentang Minimum

Algoritma Prim dengan Algoritma Greedy dalam Pohon Merentang Minimum Algoritma Prim dengan Algoritma Greedy dalam Pohon Merentang Minimum Made Mahendra Adyatman 13505015 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung

Lebih terperinci

Pelabelan aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson telah diperkenalkan pada pertengahan 1950,

Pelabelan aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson telah diperkenalkan pada pertengahan 1950, 1 Pelabelan aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson telah diperkenalkan pada pertengahan 1950, Merupakan algoritma untuk memaksimumkan aliran (flow) dengan kapasitas dan biaya yang terbatas pada

Lebih terperinci

merupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)

merupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002) dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap

Lebih terperinci

BILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL

BILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 150 156 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL ANNISAH ISKANDAR Program Studi Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T. Tinaliah, S.Kom POHON BINER

B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T. Tinaliah, S.Kom POHON BINER A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z POHON BINER Tinaliah, S.Kom DEFINISI Pohon (dalam struktur data) struktur berisi sekumpulan elemen dimana salah satu elemen adalah akar (root) dan elemen-elemen

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki

Lebih terperinci

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG PROSIDING ISSN: 50-656 NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PELABELAN- γ PADA GRAF LINTANG RiaWahyu Wijayanti 1), DwiMaryono, S.Si., M.Kom ) MahasiswaPascaSarjana UNS 1), Dosen FKIP UNS ) riaa.ww@gmail.com 1), dwimarus@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA

BAB II KAJIAN PUSTAKA BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari

Lebih terperinci

METODE AVL TREE UNTUK PENYEIMBANGAN TINGGI BINARY TREE

METODE AVL TREE UNTUK PENYEIMBANGAN TINGGI BINARY TREE METODE AVL TREE UNTUK PENYEIMBANGAN TINGGI BINARY TREE Suwanty 1 Octara Pribadi 2 Program Studi Teknik Informatika 1,2 STMIK TIME 1,2 Jalan Merbabu No. 32 AA-BB Medan 1,2 e-mail : dharma_suwanty@gmail.com

Lebih terperinci

CRITICAL PATH. Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5. Graph G. Alternatif

CRITICAL PATH. Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5. Graph G. Alternatif CRITICAL PATH Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5 Graph G Path Bobot Alternatif 1 4 5 16 1 2 5 15 1 2 3 5 24 1 4 3 5 19 1 2 3 4 5 29 1 4 3

Lebih terperinci

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 90 96 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP AFIFAH DWI PUTRI, NARWEN Program Studi Matematika,

Lebih terperinci

BAB 7 POHON BINAR R S U

BAB 7 POHON BINAR R S U BAB 7 POHON BINAR Pohon (Tree) adalah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graf terhubung maka pada pohon selalu terdapat path atau jalur yang menghubungkan kedua simpul di dalam

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar

Lebih terperinci

Menghitung Ketinggian Rata-Rata Pohon Terurut

Menghitung Ketinggian Rata-Rata Pohon Terurut Menghitung Ketinggian Rata-Rata Pohon Terurut Archie Anugrah - 13508001 Jurusan Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha nomor 10, Bandung e-mail: if18001@students.if.itb.ac.id ABSTRAK

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya

Lebih terperinci

3. Graph Euler dan Graph Hamilton

3. Graph Euler dan Graph Hamilton 3. Graph Euler dan Graph Hamilton Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Masalah Exploring dan Travelling 2. Graph Euler 3. Graph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

Tenia Wahyuningrum, S.Kom. MT Sisilia Thya Safitri, S.T.,M.T.

Tenia Wahyuningrum, S.Kom. MT Sisilia Thya Safitri, S.T.,M.T. tree Tenia Wahyuningrum, S.Kom. MT Sisilia Thya Safitri, S.T.,M.T Tree Kumpulan node yang saling terhubung satu sama lain dalam suatu kesatuan yang membentuk layakya struktur sebuah pohon. Tree merepresentasikan

Lebih terperinci

Penerapan strategi runut-balik dalam penyelesaian permainan puzzle geser

Penerapan strategi runut-balik dalam penyelesaian permainan puzzle geser Penerapan strategi runut-balik dalam penyelesaian permainan puzzle geser Dimas Angga 13510046 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF

PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler

Lebih terperinci

PRESENTASI TUGAS AKHIR KI IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR SEDERHANA TERPENDEK DALAM GRAF

PRESENTASI TUGAS AKHIR KI IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR SEDERHANA TERPENDEK DALAM GRAF PRESENTASI TUGAS AKHIR KI099 IMPLEMENTASI ALGORITMA PENCARIAN K JALUR SEDERHANA TERPENDEK DALAM GRAF (Kata kunci: Algoritma deviasi, algoritma Dijkstra, jalur sederhana, jalur terpendek) Penyusun Tugas

Lebih terperinci

BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT

BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

PENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog: 1.

PENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog:    1. MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas

Lebih terperinci

Penerapan Pohon Biner dalam Proses Pengamanan Peer to Peer

Penerapan Pohon Biner dalam Proses Pengamanan Peer to Peer Penerapan Pohon Biner dalam Proses Pengamanan Peer to Peer Eka Yusrianto Toisutta - NIM : 13504116 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha 10, Bandung email: if14116@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

Buku Ajar Struktur Data

Buku Ajar Struktur Data B a g i a n 5 Tujuan Instruksional Khusus Pokok Bahasan Mahasiswa mampu menjelaskan struktur data nonlinier Tree. Mahasiswa mampu memahami operasi pada struktur data Tree Struktur data Tree secara umum.

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GUNADARMA

UNIVERSITAS GUNADARMA UNIVERSITAS GUNADARMA SK No. 92 / Dikti / Kep /1996 Fakultas Ilmu Komputer, Teknologi Industri, Ekonomi,Teknik Sipil & Perencanaan, Psikologi, Sastra Program Diploma (D3) Manajemen Informatika, Teknik

Lebih terperinci

APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY

APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY Latar belakang Masalah Pada setiap awal semester bagian pendidikan fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas

Lebih terperinci

Pertemuan 9 STRUKTUR POHON (TREE) Sifat utama Pohon Berakar ISTILAH-ISTILAH DASAR

Pertemuan 9 STRUKTUR POHON (TREE) Sifat utama Pohon Berakar ISTILAH-ISTILAH DASAR ertemuan 9 STUKTU OHON (TEE) ISTILH-ISTILH DS ohon atau Tree adalah salah satu bentuk Graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan Graph terhubung, maka pada ohon (Tree) selalu terdapat

Lebih terperinci

A. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

A. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA INDUKSI MATEMATIK Induksi matematik adalah merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam Matematika. Induksi matematik digunakan untuk membuktikan pernyataan yang khusus menyangkut bilangan bulat positif.

Lebih terperinci

Ringkasan mengenai Tree (Dari beberapa referensi lain) Nina Valentika

Ringkasan mengenai Tree (Dari beberapa referensi lain) Nina Valentika Ringkasan mengenai Tree (Dari beberapa referensi lain) Nina Valentika December 31, 2015 0.1 Pendahuluan Figure 1: Contoh Tree. Tree/pohon merupakan struktur data yang tidak linear/non linear yang digunakan

Lebih terperinci