BAB II RELASI. 2. Relasi Definisi 2 Relasi antara A dan B disebut relasi biner. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B

Transkripsi

1 II RESI 9 1. Produk artesian efinisi 1 Perkalian kartesian dari himpunan dan adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan dan komponen kedua dari himpunan. Notasi: * + Jika = {1,,3} dan = {a,b}, maka x = {(1,a),(1,b),(,a),(,b),(3,a),(3,b)} x = {(a,1),(a,),(a,3),(b,1),(b,),(b,3)} atatan: a) Jika dan merupakan himpunan berhingga, maka b) Pasangan berurutan (a b) berbeda dengan (b a) denga kata lain (a b) (b a) c) Perkalian kartesian tidak komutatif yaitu x x dengan syarat dan bukan himpunan kosong d) Jika dan, maka. Relasi efinisi Relasi antara dan disebut relasi biner. Relasi biner R antara dan adalah himpunan bagian dari x Notasi: Jika (a,b) R, maka a R b artinya a dihubungkan dengan b oleh R dan jika (a,b) R maka a R b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R. Himpunan disebut daerah asal (domain) dari R dan himpunan disebut daerah hasil (range / codomain) dari R. Jika P = {,3,4} dan Q = {,4,8,9,15} dan difenisikan relasi R dari P ke Q dengan jika p habis membagi q, maka diperoleh: R = {(,), (,4), (,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)} Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan adalah relasi khusus. iduina sih Primandari

2 efinisi 3 Relasi pada himpunan adalah x 10 engan kata lain, relasi pada himpunan adalah himpunan bagian dari x. Jika R adalah relasi pada = {,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh jika x adalah faktor prima dari y. Maka diperoleh R = {(,), (,4), (,8), (3,3), (3,9)} 3. entuk Penyajian Relasi Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, antara lain: a. Pendaftaran R = {(,), (,4), (,8), (3,3), (3,9)} R = {(,), (,4), (,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)} b. Pencirian R = {(x,y) x adalah faktor prima dari y dan x,y } c. iagram d. Matriks Misalkan R adalah relasi dari = {a 1,a,a 3 a m} dan = {b 1,b,b 3 b n}, relasi R dapat disajikan dalam Matriks M = [M ij]. [ ] i mana: { Jika R adalah relasi pada = {,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh jika x adalah faktor prima dari y. Maka diperoleh R = {(,), (,4), (,8), (3,3), (3,9)} iduina sih Primandari

3 pabila disajikan dalam bentuk matriks: 11 [ ] 4. Invers dari Relasi efinisi 4 Misalkan R adalah relasi dari himpunan ke himpunan. Inversi dari relasi R dilambangkan dengan R -1 adalah relasi dari himpunan ke himpunan yang didefinisikan oleh: * + Jika R adalah relasi pada himpunan orang orang di mana (a,b) R. Jika a adalah ayah dari b, maka dapat dibuat kebalikannya yaitu (b,a) yang menyatakan bahwa b adalah anak dari a. Misalkan P = {,3,4} dan Q = {,4,8,9,15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) R jika p habis membagi q Maka diperoleh R = {(,),(,4),(,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8)} R -1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P, maka R -1 ={(,),(4,),(8,),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4)} engan hubungan (q,p) R -1 jika q adalah kelipatan dari p 5. Kombinasi Relasi Relasi biner adalah himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Misalkan = {a,b,c} dan = {a,b,c,d}. Relasi R 1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R = {(a,a),(a,b),(a.c),(a,d)} adalah relasi dari ke. Maka kombinasi kedua buah relasi tersebut: *+ * + * + * + * + iduina sih Primandari

4 1 Misalkan R adalah relasi dari himpunan ke himpunan dan S adalah relasi dari himpunan 6. Komposisi Relasi efinisi 5 ke. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan adalah relasi dari ke yang didefinisikan oleh: * + Misalkan R = {(1,),(1,6),(,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,,3} ke himpunan {,4,6,8} dan S = {(,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {,4,6,8} ke {s,t,u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah * s t u Simbol Rn digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri sebanyak n kali (sebanyak n kali) 7. Relasi n ary efinisi 6 Misalkan adalah himpunan. Relasi n ary pada himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari atau dinotasikan dengan notasi. adalah daerah asal (domain) relasi dan n disebut derajat. NIM = { , ,, , } Nama = {di, udi, andra, oni, Ega} Mata Kuliah = {, ahasa Indonesia,, } Nilai = {,,,} Relasi MHS dinotasikan dengan Relasi MHS yang disajikan dalam bentuk pendaftaran: MHS = {( ,di,,),( ,di,ahasa Indonesia,), (155100,udi,,),(155100,udi,,),(,andra,ahasa Indonesia,),(,andra,,),(,andra,,),( ,oni,Matema tika,),( ,oni,,),( ,ega,,)} iduina sih Primandari

5 Relasi MHS dapat disajikan dalam bentuk tabel: NIM Nama Mata Kuliah Nilai di di udi udi andra andra andra oni oni Ega ahasa Indonesia ahasa Indonesia 13 da beberapa operasi yang dapat digunakan: Seleksi Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Operator: Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah. Operasi seleksinya adalah: Yang menghasilkan (155100,udi,,), (,andra,,), ( ,oni,,) dan ( ,Ega,,) Proyeksi Operasi proyeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, diambil salah satu. Operator: Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan kolom Nama, Mata Kuliah dan Nilai. Operasi proyeksinya adalah: Yang menghasilkan: Nama Mata Kuliah Nilai di di udi udi andra andra andra oni oni Ega ahasa Indonesia ahasa Indonesia iduina sih Primandari

6 Untuk relasi MHS, ingin ditampilkan kolom NIM dan Nama Operasi proyeksinya adalah: Yang menghasilkan: NIM Nama di udi andra oni Ega 14 Join Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu jika kedua tabel memiliki atribut yang sama. Operator: Misalkan Relasi MHS1 dinyatakan pada Tabel 1 dan relasi MHS dinyatakan dalam tabel. Maka, operasi Join: kan menghasilkan Tabel 3. Tabel 1 NIM Nama JK rina ayu Karin P P Tabel NIM Nama Mata Kuliah Nilai ayu Karin Tabel 3 NIM Nama JK Mata Kuliah Nilai ayu Karin P iduina sih Primandari