BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Dalam lmu statstk masalah yang melbatkan dua peubah yang ada atau dduga ada dalam suatu pertautan dbahas dalam analss regres, Model yang akan dbahas dalam skrps n adalah regres lner sederhana. Masalah dalam analss regres lner sederhana n mencakup penaksran dan penguan hpotess koefesen regres. Untuk menaksr koefesen regres telah dkenal suatu metoda yang serng kal dgunakan, yatu metoda kuadrat terkecl, serng kal dalam penguan koefesen regres lner sederhana kt dapat melakukannya dengan menggunakan statstk u Student (t) atau analss varans dengan u F. Kedua statstk u tersebut menganut asums bahwa galat harus berdstrbus normal, dengan rata-rata nol dan varan σ. Tetap pada kenyataannya asums tersebut tdak selalu terpenuh atau dengan kata lan data yang dperoleh dar hasl pengamatan tdak berasl dar populas yang berdstrs normal. Karena data yang dperoleh dar hasl pengamatan tdak berasal dar dstrbus normal, maka permasalahan analss regres dapat dselesakan dengan mengunakan metoda statstk nonparametrk, sepert yang dkemukakan oleh metoda J.F. Lancaster dan Dana Quade (985). Dengan statstk u C yang merupakan gabungan dar Tau kendall adalah pengukur keeratan hubungan dua peubah acak dan statstk u Tanda yang dlakukan berdasarkan tanda postf dan tanda negatf yang dperoleh dar selsh pengamatan. Persyaratan statstk u yang dperlukan untuk metoda J.F. Lancaster dan Dana Quade adalah skala pengukuran palng sedkt ordnal. 6 repostory.unsba.ac.d

2 7. Menaksr Koefesen Regres Y atas X Thel (95) mengusulkan perkraan Slope gars regres sebaga medan slope dar seluruh pasangan gars dar ttk-ttk dengan nla x yang berbeda. Untuk satu pasangan ( ) y x, dan ( ) x, slop-nya adalah : y b y x y x (.) Msalkan seluruh x berbeda ; lebh bak kranya menyusun pengamatan dalam susunan yang menak dar x. dengan elas b untuk seluruh dan, sehngga untuk n pengamatan ada n ( n ) b dar b yang berbeda secara alabar dan lebh memungknkan untk menulskan dalam sebuah matrks segtga atas : b b 3 b 4... b n b 3 b 4... b n b b 3n... b n-,n Matrks numerk yang dhtung mempunya pola dan bahkan dengan program komputer yang tdak cocok, medan basanya mudah untuk menentukan n yang sedang tanpa menyusun lebh lanut. Prosesnya agak menggatkan untuk memperoleh penduga Hoges Lehmann dalam prosedur rank bertanda Wlcoxon. Jka kta menotaskan penduga medan dar β dengan b ~. Thel telah menyarankan perkraan dar α dengan a ~, medan dar seluruh n adalah : ~ a y b x (.) repostory.unsba.ac.d

3 8 atau alternatfnya kta dapat memlh, a ~ med y b ~ med ( ) ( ) x (.3) Dmana med (x ) adalah medan dar seluruh pengamatan. Jka kta menggunaka yang terakhr, gars yang kta cocokan tampak melalu medan seluruh pengamatan, sedangkan gars kuadrat terkecl melalu rata-ratanya..3 U Hpotess Regres Lnar Sederhana dengan Parametrk Dalam peneltan serng ngn mengetahu apakah koefesenkoefesen regres lner populoas, θ dan θ, mempunya harga tertentu yang dhposskan ataukah tdak. Dengan demkan perlu dadakan penguan terhadap hpotess nol H : θ θ dengan θ dan θ hargaharga yang dketahu. Pertama-tama akan dtnau mengena penguan hpotess nol: H : θ θ, melawan salah satu alternatf H : θ θ, atau mungkn H : θ < θ, atau H : θ > θ, Dengan asums-asums :. ε salng bebas, artnya berapapun harga ε tdak akan mempengaruh harga ε dan seterusnya.. Untuk setap harga X tertentu terdapat harga-harga Y yang mengkut dstrbus tertentu dengan varans yang sama/homogen. 3. ε harus mengkut dstrbus normal dentk dengan rata-rata dan varans σ Catatan : repostory.unsba.ac.d

4 9 a) Asums dan berlaku kalau ngn mencar/menghntung persamaan regres (b dan b ). b) Jka akan mengu hpotess syarat,,3 harus dpenuh dan ε y y Statstk u yang dgunakan adalah : b t θ b b Dengan dk untuk dstrbus t dambl (n-). Krtera penguan, sepert basa dtentukan oleh bentuk alternatf H. untuk alternatf θ θ Msalnya tolak hpótess H ka t t / α atau t t / α dengan dstrbus t yang dgunakan mempunya dk (n-) dan α menyatakan taraf nyata penguan. Hal khusus dar H : θ θ alah apabla θ,ad H : θ. dalam hal n penguan H : θ. Berart penguan bahwa Y ndependen dar pada X dalam pengertan lner. In berart pula bahwa dalam hubungan lner tdak ada haga X yang dapat dpaka untuk meramalkan Y, atau untuk harga X berapapun, Y harganya tetap. U ndependen antara X dan Y, tepatnya penguan H : θ, dapat pula dtempuh dengan menggunakan análss varans, dan untuk memudahkan, satuan-satuan yang perlu sebaknya dsusun dalam sebuah daftar sehngga ddapat daftar análss varans dsngkat ANAVA. Sumber varas yang dperlukan yatu :. Jumlah kuadrat total/jk (T) Y. Jumlah kuadrat regres 3. Jumlah kuadrat regres ( b ) / JK( b ) Y n b ( XY ( X )( Y ) b / b ) / JK( b / b ( ) 4. Jumlah kuadrat ssa S) / JK( S) JK( T ) JK( b ) JK( b / ) ( b n repostory.unsba.ac.d

5 5. Jumlah kuadrat galat ( G) / JK( G) { Y ( Y ) } 6. Jumlah kuadrat tuna cocok (TC)/JK(TC) JK(S) JK(G) n Daftar Anava Untuk Regres Lner Sederhana Sumber varas dk JK RJK F Total n JK(T) Koefesen reg (b ) JK(b ) JK(b ) Koefesen reg (b /b ) JK(b /b ) JK(b /b ) JK(b /b ) Ssa n- JK(S) JK(S) JK(S) n- Tuna cocok (TC) k- JK(TC) JK(TC) k- RJK(TC) Galat n-k JK(G) JK(G) RJK(G) n-k Krtera u yang dgunakan adalah u F yang mana: Tolak H ka F htung > dar F ( α, k-,n-k) dan terma H dalam hal lannya..4 Penguan Hpotess Hpotess tentang α dan β Para penelt serng mengu hpotess-hpotess tentang salah satu atau kedua parameter α dan β. dalam bagan n, kta membcarakan sebuah metoda untuk mengu secara serentak hpotess nol yang menyatakan bahwa α α dan β β serta dua buah metoda untuk mengu hpotess nol bahwa β β repostory.unsba.ac.d

6 .4. Metoda Brrown Mood Metoda untuk mengu hpotess-hpotess tentang α dan β berkut n dkemukakan oleh Brown dan Mood. Adapun penggunaan metoda n harus memenuh suatu asums, yatu : Data untuk analss terdr atas n pasangan hasl pengamatan (X, Y ), (X, Y ),.. (X n, Y n ) Dengan varable-varabel X dan Y yatu kontnyu, dan masng-masng hasl pengamatan (X, Y ) dperoleh dar pengukuran terhadap unt asosas yang sama. Hpotessnya adalah : H : α α, β β, melawan Dengan statstk unya : H : α α dan atauβ β, / X 8 n n n + n n 4 4 Yang mana : n banyaknya ttk datas gars regres yang dhpotesskan dan dsebelah kr gars vertcal yang dtark melalu medan nla-nla X. n banyaknya ttk datas gars regres yang dhpotesskan dan dsebelah kanan gars vertkal yang dtark melalu medan nla-nla X, yang kurang lebh memlk dstrbus ka-kuadrat dengan deraat bebas dua bla H benar dan n tdak terlalu kecl. Tate dan Clelland mengungkapkan bahwa aproksmas tersebut basanya berhasl dengan bak bla n sektar atau lebh. Kadah pengamblan keputusan, ka nla X hasl perhtungan lebh besar darpada nla ka-kuadrat dalam tabel untuk deraat bebas dua dan nla taraf nyata yang telah dtentukan, kta dapat menolak hpotess nol pada taraf nyata tersebut. Untuk penyeragaman dan kontnutas serta relevannya teor dan aplkas untuk u tanda sampel tunggal pada X penyesuaan dlakukan agar relevan dengan metoda baru yang akan dgunakan adapun koreks statstk u yang relevan alah: repostory.unsba.ac.d

7 L t [ + sgn( R )] (.4) Dmana : R y yˆ +, ka y > y sgn( R ), ka y y, ka y < y Dalam analss regres, kta basanya lebh tertark pada β, yakn condong gars regres populas. Apabla kta hanya ngn mengu hpotess nol tentang β - msalnya, H : β β Yang dperlawankan terhadap H : β β Kta boleh menggunakn prosedur yang dusulkan olaeh Brown dan Mood. Statstk u yang dgunakan adalah : X b 6 n n n 4 (.5) Yang mana n adalah banyaknya ttk yang terletak datas gars a + β X Dan dsebelah kr medan nla-nla X. Jka H benar, statstk Y u n kurang lebh memlk dstrbus ka-kuadrat dengan deraat bebas satu, asalkan n cukup besar.tate dan Clelland menganurkan penggunaan aproksmas ka-kuadrat n untuk n atau lebh besar..4. Metoda Thel Sebuah metode lan untuk mengu H : β β telah dusulkan oleh Thel. Metode Thel n dsusun berdasarkan statstk Tau Kendal, yang mempunya asums-asums sebaga berkut :. Model yang sesua untuk n adalah ; Y α + βx + e,,,3,..., n. Dengan X adalah kostanta-kostanta yang dketahu dan α serta β adalah parameter-parameter yang dketahu. repostory.unsba.ac.d

8 3 3. Untuk masng-masng nla X terdapat sebuah subpopulas nlanla Y. 4. Y adalah harga yang teramat dar varable Y yang acak dan kontnyu untuk nla X. 5. Semua nla X berbeda (tdak ada angka sama), dan kta menetapkan X <X < <X n 6. Nla-nla e salng ndependen dan berasal dar populas kontnyu yang sama. Hpotess-hpotess : A. (Dua-ss) : : β β B. (Satu-ss) : : β β C. (Satu-ss) : : β β : β β H H : β > β H H : β < β H H Statstk u : Sebagamana yang telah delaskan, karena prosedur yang dgunakan adalah prosedur yang dsusun berdasarkan statstk Tau Kendall, maka statstk unya adalah statstk u Tau Kendall yatu: ˆ τ S n( n ) / (.6) Dmana SP Q P adalah banyaknya perbandngan Y β X, Y β X ) yang ( berurutan waar, dan Q banyaknya perbandngan sepert datas yang berurutan terbalk. Kadah pengamblan keputusan repostory.unsba.ac.d

9 4 Kadah pengamblan keputusan untuk ketga pasangan hpotess datas adalah sebaga berkut : A. (Dua-ss) : Tolak H pada taraf nyata α ka nla τˆ hasl perhtungan postf dan lebh besar τ * dalam tabel untuk n dan α /, atau negatve dan lebh kecl darpada negatve nla τ * untuk n dan α / B. (Satu-ss) : Tolak H pada taraf nyata α ka nla τˆ hasl perhtungan postf dan lebh besar τ * dalam tabel untuk n dan α C. (Satu-ss) : Tolak H pada taraf nyata α ka nlaτˆ hasl perhtungan lebh kecl darpada negatve nla τ * untuk n dan α.5 UJ Tanda untuk Sampel Tunggal U tanda boleh ad merupakan prosedur yang tertua dar semua prosedur nonparametrk. Prosedur n dsebut u tanda, karena sepert yang akan kta lhat, data untuk analss kta ubah menad serangkaan tanda plus atau umlah tanda mnus. Dengan demkan statstc u yang dgunakan adlah umlah tanda plus atau ulah tanda mnus. Asums-asums: a. Sampel yang terseda untuk analss adalah sampel acak dar suatu populas dengan medan M yang belum dketahu. b. Varabel yang kta mnat dukur sekurang-kurangnya dengan skala ordnal. c. Varabel yang kta mnat kontnyu. Semua nla sampel yang berumlah n berturut-turut dber notas X,X,,X n. Hpotess-hpotess: a. (Dua ss) : H : M M H : M M repostory.unsba.ac.d

10 5 b. (Satu - ss) : H : M M H : M > M c. (Satu ss) : H : M M H : M < M Statstk u : Catat semua tanda selsh yang dperoleh dar pengurangan masngmasng nla sampel dengan medan hpotess M. Jad catatlah tanda n buah selsh, X M, dengan,,3,,n. Jka hpotess nol besar yatu, ka medan populas sungguh sama dengan M kta berharap bahwa sampel acak dar populas tersebut memlk tanda plus yang sama banyak dengan tanda mnus bla bla ke-n buah selsh X M telah dhtung. kalau dar pengamatan kta mendapatkan suatu umlah tanda, entah plus atau mnus, yang cukup kecl, maka hpotess nol A kta tolak, bla umlah tanda plus yang cukup kecl, kta menolak hpotess nol B, sedangan bla umlah tanda plus yang cukup kecl, kta menolak hpotess nol C. dengan demkan, statstk u untuk hpotess A adalah umlah plus atau tanda mnus, mana pun yang lebh kecl. Statsk u untuk hpotess B adalah umlah tanda mnus, danstatstk u untuk hpotess C adalah umlah tanda plus. Kadah pengamblan keputusan: Kadah pengamblan keputusan untuk masng-masng hpotess yang mungkn adalah sebaga berkut: A. Tolaklah H pada taraf nyata α ka peluang untuk mendapatkan tanda yang sama sedkt dengan (atau lebh sedkt dar) tanda yang arang muncul dalam suatu sampel acak berukuran n, bla H benar, adalah kurang dar atau sama dengan α /. B. Tolaklah H pada taraf nyata α ka peluang untuk mendaopatklan tanda mnus yang sama sedkt (atau lebh sedkt dar) yang repostory.unsba.ac.d

11 6 sungguh-sungguh teramat dalam suatu sampel acak berukuran n, bla H benar, adalah kurang atau sama dengan α C. Tolaklah H pada taraf nyata α ka peluang untuk mendapatkan tanda plus yang sama sedkt dengan (atau lebh sedkt dar) yang sungguh-sungguh teramat, bla H benar, adalah kurang dar atau sama dengan α.6 Koefesen Korelas Tau Kendall Koefesen korelas Tau Kendall adalah sebuah ukuran keeratan. Symbol yang dgunakan adalah τ untuk ukuran asosas n bla mengacu pada populas atau untuk menyatakan parameter populas dan τˆ untuk menyatakan statstk sampelnya. Sasaran yang hendak dcapa apabla kta menggunakan τˆ. Kendall untuk maksud-maksud nferens adalah mengu hpotess nol yang menyatakan bahwa X dan Y bebas (yang secara tdak langsung menyatakan bahwa τˆ ) ketka dperlawankan dengan salah satu dar hpotess-hpotess tandngan berkut : τ, τ >, Atau τ < kta boleh menafsrkan hpotess tandngan τ sebaga pernyataan tentang adanya asosas antar X dan Y. dalam pada tu, kta menafsrkan τ > sebaga pernyataan untuk menunukan adanya asosas yang lurus antara X dan Y, dan ˆ τ < untuk menunukan bahwa X dan Y berasosas secara nvers. Asums-asums: a. Data yang terseda merupakan sebuah sampel acak yang terdr atas n pasangan hasl pengamatan (X,Y ), entah angka atau bukan angka. Masng-masng pasangan hasl pengamatan dperoleh dar dua pengukuran yang dlakukan terhadap unt asosas yang sama. repostory.unsba.ac.d

12 7 b. Data sekurang-kurangnya dukur pada skala ordnal sehngga kta dapat memerngkat masng-masng nla X dalam hubungannya dengan nla-nla X lan yang termat, dan masng-masng nla y dalam hubungannya dengan nla-nla Y lan yang teramat. Hpotess-hpotess: a. (Dua ss) H : H : τ X dany bebas b. (Satu - ss) H : H : τ > X dany bebas c. (Satu ss) H : H : τ < X dany bebas Statstk u : Statstk u dsn, yang uga merupakan ukuran asosas dalam sampel, adalah : ˆ τ S n( n ) / Dengan n adalah banyaknya (X,Y) yang damat (atau banyaknya perngkat). Untuk mendapatkan S, dan dengan sendrnya τˆ, kta bekera dengan tahapan-tahapan sebaga berkut:. Susunlah pasangan-pasangan (X,Y ) dalam sebuah kolom menurut besarnya nla-nla X, dar nla X yang palng kecl. Dsn kta mengatakan bahwa nla-nla X berada dalam urutan yang waar (natural order).. Perbandngan setap nla-nla Y, satu dem satu, dengan setap nla Y yang ada dsebelah bawahnya. Dalam melakukan repostory.unsba.ac.d

13 8 perbandngan n, kta mengatakan bahwa suatu pasangan nla-nla Y (Y yang dperbandngkan dan Y yang dbawahnya) berada dalam urutan yang waar bla Y yang dbawah lebh besar dar Y yang datasnya. Dslsm psds tu kta mengatakan bahwa suatu pasangan nla-nla Y yang berada dalam urutan terbalk (reverse natural order) bla Y yang dbawah lebh kecl dar pada yang datasnya. 3. Tetapkan P sebaga banyaknya pasangan berurutan waar dan Q banyaknya pasangan berurutan terbalk. 4. S P Q. dengan perkataan lan, S dalam persamaan sama dengan beda atau selsh antara P dan Q..7 U Hpotess J.F Lancaster dan Dana Quade. U J.F Lancaster dan Dana Quade adalah merupakan gabungan dar teor u Tau Kendall dan teor u Tanda. Dar penggabungan dua teor n dharapkan dapat menghaslkan suatu metoda analss untuk data dengan asums tertentu, dengan hasl yang lebh bak dar pada penggunaan metode yang sudah ada sebelumnya, (belum dgabungkan). Gabungan dar kedua u tersebut dgunakan untuk model regres lner, ad u nonparametrk J.F Lancaster dan Dana Quade adalah untuk suatu model lner sederhana. Berdasarkan pada pendugaan kta mempunya y,,,3,..., n. mengkut regres llner sederhana dengan model y a ε + β X + dmana x adalah konstanta dan ε adalah varable acak dar suatu dstrbus kontnyu dengan medan. Hpossnya adalah : H α α : β β melawan H : α α β β Adapun statstc u yang dgunakan adalah statstc u C J.F Lancaster dan Dana Quade yatu: repostory.unsba.ac.d

14 9 C (.7) Dalam hal n : T [ n( n ) T ] 9 (L n) + (n + 5) n [ n( n ) ] < sgn [( R R )( X X )] (.8) Dmana untuk sgn L t [ + sgn( R )] ka R ka R > < (.9) Ssa ke- : R y a β Dmana untuk sgn [ R R )( X X )] x ( merupakan tanda untuk u Kendall. Aturan untuk melhat selsh tanda yang ada pada X adalah : sgn( X X +, ka X ), ka X, ka X > X X < X Untuk sgn R pada L dperoleh dar y ˆ y dmana untuk ŷ, dperoleh dar rumus regres lner sederhana yatu : Y ˆ a + bx yang mana α dtaksr oleh a dan β dtaksr oleh b sehgga model dperoleh : y ˆ a + bx, kemudan cara perhtungan tandanya sama menggunakan aturan selssh datras hamnya symbol X dgant dengan R yatu: sgn( R R +, ka R > R ), ka R R, ka R < R Kadah pengamblan keputusan untuk penguan hpotess tersebut datas dlakukan sebaga berkut; untuk ukuran kecl, n 5 dengan taraf art α maka Ho dterma ka C htung < C table, dalam hal lannya dtolak. repostory.unsba.ac.d

15 Jka ukuran sampel kecl nla-nla krts untuk berbaga taraf art dsakan dalam table ournal, lhat lampran. Jka ukuran sampel relatve besar, maka statstk: Z ( T E ( T )) V ( T ) (.) Akan mengkut dstrbus normal standar, dalam hal n: E ( T ) dan Varansnya ( (n + 5) V T ) 9n( n ) Demkan pula statstk : Z ( T E ( T )) V ( T ) (.) Akan mengkut dstrbus normal standar, dengan rata-rata E ( L) / n dan varansnya V ( L) / 4 berdasarkan persamaan (.6.6) dan (.6.6) n datas u hpotess Persamaaan (.6.) dapat dgunakan statstc u: C + statstc u C n akan mendekat ch-kuadrat dengan deraat Z Z kebebasan. Untuk taraf keberartan α, tolak H ka C htung >, X (, α ) dalam hal n X dperoleh dar dstrbus ch kuadrat. Menurut J.F (, α ) Lancaster dan Dana Quade, u C bla dbandngkan dengan u klask F relatve lebh efesen. repostory.unsba.ac.d