MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset))
|
|
- Devi Lesmana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATEMATIKA DASAR (Himpunan Terurut Parsial (Poset)) Antonius Cahya Prihandoko University of Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
2 Outline 1 Himpunan Terurut Parsial 2 Himpunan Terurut Total 3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut 4 Himpunan Bagian Terurut Total 5 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
3 Outline 1 Himpunan Terurut Parsial 2 Himpunan Terurut Total 3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut 4 Himpunan Bagian Terurut Total 5 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
4 Outline 1 Himpunan Terurut Parsial 2 Himpunan Terurut Total 3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut 4 Himpunan Bagian Terurut Total 5 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
5 Outline 1 Himpunan Terurut Parsial 2 Himpunan Terurut Total 3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut 4 Himpunan Bagian Terurut Total 5 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
6 Outline 1 Himpunan Terurut Parsial 2 Himpunan Terurut Total 3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut 4 Himpunan Bagian Terurut Total 5 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
7 Himpunan Terurut Parsial Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
8 Ingat Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah suatu relasi yang bersifat: 1 refleksif 2 antisimetris 3 transitif Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka (a, b) R dinyatakan dengan a b (dibaca a mendahului b) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
9 Ingat Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah suatu relasi yang bersifat: 1 refleksif 2 antisimetris 3 transitif Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka (a, b) R dinyatakan dengan a b (dibaca a mendahului b) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
10 Ingat Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah suatu relasi yang bersifat: 1 refleksif 2 antisimetris 3 transitif Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka (a, b) R dinyatakan dengan a b (dibaca a mendahului b) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
11 Contoh 1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi subset pada keluarga himpunan 2 A merupakan urutan partial pada 2 A. 2 Jika K sebarang himpunan bagian dari R, maka relasi merupakan urutan parsial pada K. 3 Misal V = {A, B, C, D, E} dan diagram yang berarti x y jika x = y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah panah pada diagram berikut: maka diagram tersebut mendefinisikan suatu urutan parsial pada v. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
12 Contoh 1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi subset pada keluarga himpunan 2 A merupakan urutan partial pada 2 A. 2 Jika K sebarang himpunan bagian dari R, maka relasi merupakan urutan parsial pada K. 3 Misal V = {A, B, C, D, E} dan diagram yang berarti x y jika x = y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah panah pada diagram berikut: maka diagram tersebut mendefinisikan suatu urutan parsial pada v. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
13 Contoh 1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi subset pada keluarga himpunan 2 A merupakan urutan partial pada 2 A. 2 Jika K sebarang himpunan bagian dari R, maka relasi merupakan urutan parsial pada K. 3 Misal V = {A, B, C, D, E} dan diagram yang berarti x y jika x = y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah panah pada diagram berikut: maka diagram tersebut mendefinisikan suatu urutan parsial pada v. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
14 Definisi POSET Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai (A, R) atau (A, ). Perhatikan notasi-notasi berikut: a < b berarti a b dan a b (dibaca: a murni mendahului atau murni membawahi b) b a berarti a b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b > a berarti a < b (dibaca: b murni mengikuti atau murni mengatasi a) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
15 Definisi POSET Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai (A, R) atau (A, ). Perhatikan notasi-notasi berikut: a < b berarti a b dan a b (dibaca: a murni mendahului atau murni membawahi b) b a berarti a b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b > a berarti a < b (dibaca: b murni mengikuti atau murni mengatasi a) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
16 Definisi POSET Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai (A, R) atau (A, ). Perhatikan notasi-notasi berikut: a < b berarti a b dan a b (dibaca: a murni mendahului atau murni membawahi b) b a berarti a b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b > a berarti a < b (dibaca: b murni mengikuti atau murni mengatasi a) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
17 Definisi POSET Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai (A, R) atau (A, ). Perhatikan notasi-notasi berikut: a < b berarti a b dan a b (dibaca: a murni mendahului atau murni membawahi b) b a berarti a b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b > a berarti a < b (dibaca: b murni mengikuti atau murni mengatasi a) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
18 Komparabel dan Urutan Invers Dua anggota a dan b dari POSET dikatakan tidak komparabel jika a b dan b a, yaitu jika tidak ada elemen yan mendahului elemen lainnya. Jika relasi R pada himpunan A mendefinisikan urutan parsial (refleksif, antisimetris dan transitif) maka relasi invers R 1 juga mendefinisikan urutan parsial di A, dan disebut urutan invers. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
19 Komparabel dan Urutan Invers Dua anggota a dan b dari POSET dikatakan tidak komparabel jika a b dan b a, yaitu jika tidak ada elemen yan mendahului elemen lainnya. Jika relasi R pada himpunan A mendefinisikan urutan parsial (refleksif, antisimetris dan transitif) maka relasi invers R 1 juga mendefinisikan urutan parsial di A, dan disebut urutan invers. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
20 Himpunan Terurut Total Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
21 Definisi Urutan total pada himpunan A adalah urutan parsial di A dengan tambahan sifat trikotomi sebagai berikut: a < b, a = b, atau a > b untuk setiap anggota a, b A. Himpunan A bersama-sama dengan urutan total tertentu di A disebut himpunan terurut total atau totally ordered set (TOSET) Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
22 Contoh Misal R himpunan bilangan riil (dengan urutan asal), maka setiap dua elemen dalam R selalu komparabel, maka urutan parsial pada R merupakan urutan total. Misal M = {1, 2, 3, 4, 5} dan didefinisikan relasi R sebagai kelipatan dari, maka R merupakan urutan parsial, tetapi bukan urutan total, sebab 3 bukan kelipatan 2, 5 bukan kelipatan 3. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
23 Contoh Misal R himpunan bilangan riil (dengan urutan asal), maka setiap dua elemen dalam R selalu komparabel, maka urutan parsial pada R merupakan urutan total. Misal M = {1, 2, 3, 4, 5} dan didefinisikan relasi R sebagai kelipatan dari, maka R merupakan urutan parsial, tetapi bukan urutan total, sebab 3 bukan kelipatan 2, 5 bukan kelipatan 3. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
24 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
25 Definisi Jika relasi R mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, dan B subset pada A, maka urutan parsial R di A akan menginduksi urutan parsial R pada B secara alamiah: Untuk a, b B, (a, b) R atau a b berlaku di B jika hanya jika (a, b) R atau a b juga berlaku di A. Himpunan terurut (B, R ) disebut himpunan bagian (urutan parsial) dari himpunan terurut (A, R). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
26 Definisi Jika relasi R mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, dan B subset pada A, maka urutan parsial R di A akan menginduksi urutan parsial R pada B secara alamiah: Untuk a, b B, (a, b) R atau a b berlaku di B jika hanya jika (a, b) R atau a b juga berlaku di A. Himpunan terurut (B, R ) disebut himpunan bagian (urutan parsial) dari himpunan terurut (A, R). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
27 Contoh Jika V = {A, B, C, D, E} mempunyai urutan seperti diagram berikut: Tentukan subset-subset dari V. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
28 Himpunan Bagian Terurut Total Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
29 Totally Ordered Subset Misal A himpunan terurut parsial, maka urutan parsial pada A akan menginduksi urutan parsial pada subset-subsetnya, dan beberapa subset dapat memiliki urutan total. Subset-subset {b, a, c}, {e, a, c}, dan {e, d, c} merupakan himpunan bagian terurut total. Subset-subset {b, a, e}, {a, c, d}, dan {a, e, d} bukan merupakan himpunan bagian terurut total. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
30 Totally Ordered Subset Misal A himpunan terurut parsial, maka urutan parsial pada A akan menginduksi urutan parsial pada subset-subsetnya, dan beberapa subset dapat memiliki urutan total. Subset-subset {b, a, c}, {e, a, c}, dan {e, d, c} merupakan himpunan bagian terurut total. Subset-subset {b, a, e}, {a, c, d}, dan {a, e, d} bukan merupakan himpunan bagian terurut total. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
31 Elemen Awal dan Elemen Akhir Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
32 Elemen Awal dan Elemen Akhir Misal A adalah himpunan terurut. Elemen a A disebut elemen awal dari A jika dan hanya jika a mendahului setiap elemen dari A. Elemen b A disebut elemen akhir dari A jika dan hanya jika b mengatasi setiap elemen dari A. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
33 Elemen Awal dan Elemen Akhir Misal A adalah himpunan terurut. Elemen a A disebut elemen awal dari A jika dan hanya jika a mendahului setiap elemen dari A. Elemen b A disebut elemen akhir dari A jika dan hanya jika b mengatasi setiap elemen dari A. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
34 Contoh Pada himpunan terurut berikut: tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir. Jika R merupakan relasi subset pada himpunan 2 A, maka (2 A, R) merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2 A adalah π dan elemen akhirnya adalah A. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki elemen awal dan elemen akhir. Mengapa? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
35 Contoh Pada himpunan terurut berikut: tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir. Jika R merupakan relasi subset pada himpunan 2 A, maka (2 A, R) merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2 A adalah π dan elemen akhirnya adalah A. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki elemen awal dan elemen akhir. Mengapa? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
36 Contoh Pada himpunan terurut berikut: tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir. Jika R merupakan relasi subset pada himpunan 2 A, maka (2 A, R) merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2 A adalah π dan elemen akhirnya adalah A. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki elemen awal dan elemen akhir. Mengapa? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
37 Contoh Pada himpunan terurut berikut: tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir. Jika R merupakan relasi subset pada himpunan 2 A, maka (2 A, R) merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2 A adalah π dan elemen akhirnya adalah A. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki elemen awal dan elemen akhir. Mengapa? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
38 Elemen Maksi dan Elemen Mini Misal A merupakan suatu himpunan terurut. Suatu elemen a A disebut elemen maksi jika tidak ada elemen A yang murni mengikuti a. Suatu elemen b A disebut elemen mini jika tidak ada elemen A yang murni mendahului b. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
39 Elemen Maksi dan Elemen Mini Misal A merupakan suatu himpunan terurut. Suatu elemen a A disebut elemen maksi jika tidak ada elemen A yang murni mengikuti a. Suatu elemen b A disebut elemen mini jika tidak ada elemen A yang murni mendahului b. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
40 Contoh Pada himpunan terurut berikut: Elemen maksi adalah c dan elemen mini adalah b dan e. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki baik elemen maksi maupun elemen mini. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
41 Contoh Pada himpunan terurut berikut: Elemen maksi adalah c dan elemen mini adalah b dan e. Jika W = {x R 0 < x < 1} dan relasi R didefinisikan sebagai, maka (W, R) merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki baik elemen maksi maupun elemen mini. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
42 Batas Atas dan Batas Bawah Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A. Suatu elemen b A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap x B, b x, yaitu b membawahi setiap elemen B. Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf (B). Suatu elemen a A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x B, x a, yaitu a mengatasi setiap elemen B. Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau suprimum dari B dan dinotasikan dengan sup(b). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
43 Batas Atas dan Batas Bawah Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A. Suatu elemen b A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap x B, b x, yaitu b membawahi setiap elemen B. Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf (B). Suatu elemen a A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x B, x a, yaitu a mengatasi setiap elemen B. Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau suprimum dari B dan dinotasikan dengan sup(b). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
44 Batas Atas dan Batas Bawah Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A. Suatu elemen b A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap x B, b x, yaitu b membawahi setiap elemen B. Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf (B). Suatu elemen a A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x B, x a, yaitu a mengatasi setiap elemen B. Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau suprimum dari B dan dinotasikan dengan sup(b). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
45 Batas Atas dan Batas Bawah Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A. Suatu elemen b A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap x B, b x, yaitu b membawahi setiap elemen B. Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf (B). Suatu elemen a A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x B, x a, yaitu a mengatasi setiap elemen B. Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau suprimum dari B dan dinotasikan dengan sup(b). Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
46 Contoh Misal V = {a, b, c, d, e, f, g} merupakan himpunan terurut dengan diagram: Jika W = {b, c, e} maka 1 batas atas dari W adalah c, a dan d. 2 batas atas terkecil (sup(w )) = c 3 batas bawah dari W adalah g 4 batas bawah terbesar dari W (inf (W )) = g. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
47 Contoh Misal V = {a, b, c, d, e, f, g} merupakan himpunan terurut dengan diagram: Jika W = {b, c, e} maka 1 batas atas dari W adalah c, a dan d. 2 batas atas terkecil (sup(w )) = c 3 batas bawah dari W adalah g 4 batas bawah terbesar dari W (inf (W )) = g. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
48 Contoh Misal V = {a, b, c, d, e, f, g} merupakan himpunan terurut dengan diagram: Jika W = {b, c, e} maka 1 batas atas dari W adalah c, a dan d. 2 batas atas terkecil (sup(w )) = c 3 batas bawah dari W adalah g 4 batas bawah terbesar dari W (inf (W )) = g. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
49 Contoh Misal V = {a, b, c, d, e, f, g} merupakan himpunan terurut dengan diagram: Jika W = {b, c, e} maka 1 batas atas dari W adalah c, a dan d. 2 batas atas terkecil (sup(w )) = c 3 batas bawah dari W adalah g 4 batas bawah terbesar dari W (inf (W )) = g. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
50 Himpunan yang Similar Suatu himpunan terurut A dikatakan similar dengan himpunan terurut B dan dinyatakan A = B jika dan hanya jika ada fungsi f : A B yang satu-satu dan onto, serta untuk setiap a 1, a 2 A berlaku a 1 < a 2 f (a) < f (b) Pemetaan f disebut pemetaan similar dari A ke B. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
51 Contoh Misal A = {1, 2, 5, 10} adalah himpunan terurut dengan relasi faktor dari dan B = {t, u, v, w} juga himpunan terurut dengan diagram sebagai berikut: maka A dan B merupakan dua himpunan yang similar karena terdapat fungsi f : A B dimana f = {(1, v), (2, u), (5, w), (10, t)} Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
52 Contoh Diketahui A = {1, 2, 3,...} dan N = { 1, 2, 3,...} merupakan himpunan terurut dengan urutan alamiah x y. Kita perhatikan bahwa 1 2 tetapi 1 2 dan tidak ada elemen awal dari N, sehingga tidak terdapat fungsi similar f. Jadi A tidak similar dengan N. Bagaimana jika A adalah himpunan dari 10 elemen pertama A dan N adalah himpunan dari 10 elemen pertama N? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
53 Terima kasih Selamat belajar dan sukses Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Poset Jember, / 26
22 Matematika Diskrit
.. Relasi Ekivalen Definisi : Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dua elemen yang dihubungkan dengan
Lebih terperinciBAB 5 POSET dan LATTICE
BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a
Lebih terperinciBAB 5 POSET dan LATTICE
BAB 5 POSET dan LATTICE 1. Himpunan Urut Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)
MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, 2015 1 / 19 Outline 1 Kardinalitas 2 Produk
Lebih terperinciRELASI FUNGSI. (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi)
Outline RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Validitas Pembuktian)
MATEMATIKA DASAR (Validitas Pembuktian) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Validitas Pembuktian Jember, 2015 1 / 22 Outline 1 Premis
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
dan Lattice Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Himpunan terurut Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan S dan memenuhi ketiga sifat berikut ini: Refleksif (untuk sebarang a S, berlaku (a, a) R);
Lebih terperinciBAB II RELASI DAN FUNGSI
9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinciRelasi. Oleh Cipta Wahyudi
Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciOleh : Winda Aprianti
Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
Lebih terperinciMakalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice
Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice Dosen : Dra. Linda Rosmery Tambunan, M.Si Disusun oleh : Zoelia Gurning (160384202050) Yoga (160384202054) Muhammad Wiriantara (160384202063) Eci
Lebih terperinciRELASI BINER. 1. Hasil Kali Cartes
RELASI BINER 1. Hasil Kali Cartes Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong. Hasil kali Cartes dari A dan B yang dilambangkan A x B adalah himpunan A x B = {(x, y) x є A, y є B} Contoh
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Relasi dan Fungsi Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m
Lebih terperinciHasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.
III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI
RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari
Lebih terperinciMatematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan
Matematika Komputasi RELASI Gembong Edhi Setyawan DEFINISI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B Relasi Biner : Hubungan antara
Lebih terperinciPERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan
Lebih terperinciBAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian
BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)
MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciRELASI EKUIVALENSI PADA SUBGRUP FUZZY
RELASI EKUIVALENSI PADA SUBGRUP FUZZY R. Sulaiman Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Surabaya Jln. Ketintang, Surabaya rsulaiman2010@gmail.com ABSTRACT Without any equivalence relation on set
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
Modul 2 RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis
Lebih terperinciOPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner
Lebih terperinciPRA A*-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET
Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 32 38 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PRA A*-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET WELLY RAHMAYANTI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis a R
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A a a a 2 m a a a 2 22 m2 a a a
Lebih terperinciMENENTUKAN DEVIASI DARI HIMPUNAN TERURUT PARSIAL
MENENTUKAN DEVIASI DARI HIMPUNAN TERURUT PARSIAL Amir Kamal Amir Kelompok Keahlian Aljabar Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS) Jl. Perintis Kemerdekaan KM.0 Makassar
Lebih terperinciPEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT. Mariatul Kiftiah
PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT Mariatul Kiftiah Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak, Kalimantan Barat
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN STMIK PARNA RAYA MANADO TAHUN 2010
TAHUN DOSEN : IR. HASANUDDIN SIRAIT PERTEMUAN : 1-2 JUMLAH JAM : 200 MENIT - Himpunan - Himpunan - Diagram Venn - Operasi antar Himpunan - Aljabar Himpunan - Himpunan Hingga - Argumen & Diagram Venn -
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciPengantar Matematika Diskrit
Pengantar Matematika Diskrit Referensi : Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung 2005 1 Matematika Diskrit? Bagian matematika yang mengkaji objek-objek diskrit Benda disebut diskrit jika
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI
BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciRelasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada
Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan
Lebih terperinciMATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
RELASI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke
Lebih terperinciBAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI
BAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
Lebih terperinciRELASI KLASIK 5.1 PENDAHULUAN
5 RELASI KLASIK 5.1 PENDAHULUAN Relasi Klasik (crisp relation) menggambarkan ada tidaknya interaksi atau koneksi antara elemen-elemen dari 2 atau lebih himpunan dalam urutan tertentu. Contoh: Dua orang
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS
PEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS Nurul Miftahul Jannah, Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciMatriks, Relasi, dan Fungsi
Matriks, Relasi, dan Fungsi 2 Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: mn m m n n a a a a
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd
RELASI DAN FUNGSI Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-365/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata,
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciProduk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 HIMPUNAN CRIPS Himpunan adalah suatu kumpulan objek-objek yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan harus terdefinisi secara tegas, artinya untuk setiap objek selalu
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciFahmi Ulfa Nur Hidayati dan Suryoto Program Studi Matematika Jurusan Matematika FSM UNDIP
DERIVASI BCC-ALJABAR Fahmi Ulfa Nur Hidayati dan Suryoto Program Studi Matematika Jurusan Matematika FSM UNDIP Abstrak Derivasi BCC-aljabar merupakan pemetaan dari BCC-aljabar ke dirinya sendiri dengan
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciUlang Kaji Konsep Matematika
Ulang Kaji Konsep Matematika Teori Bahasa dan Automata Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah 1 Ulang Kaji Konsep Matematika Set / himpunan Fungsi Relasi Graf Teknik pembuktian Viska Mutiawani - Informatika
Lebih terperinciSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA & KOMPUTER JAKARTA STI&K SATUAN ACARA PERKULIAHAN
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMAA & KOMPUTER JAKARTA STI&K SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata : LOGIKA HIMPUNAN Kode Mata : DK - 11206 Jurusan / Jenjang : S1 SISTEM INFORMASI Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciBILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah.
BILANGAN BULAT 1. Bilangan Asli (Natural Number) Bilangan Asli berkaitan dengan hasil membilang, urutan, ranking. Bilangan Cacah berkaitan dengan banyaknya anggota suatu himpunan. Definisi penjumlahan:
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciPOLITEKNIK TELKOM BANDUNG
POLITEKNIK TELKOM BANDUNG 29 Penyusun dan Editor Adi Wijaya M.Si Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa
Lebih terperinciFUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1
FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs
RELASI DAN FUNGSI Nur Hasanah, M.Cs Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan
Lebih terperinciURUTAN PARSIAL PADA SEMIGRUP DAN PADA KELAS- KELAS DARI SUATU SEMIGRUP
URUTAN PARSIAL PADA SEMIGRUP DAN PADA KELAS- KELAS DARI SUATU SEMIGRUP Irtrianta Pasangka 1, Drs. Y.D Sumanto, M.Si 2, Drs. Harjito, M.Kom 3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto,
Lebih terperinciLogika, Himpunan, dan Fungsi
Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat
Lebih terperinciFungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut
Lebih terperinciRestia Sarasworo Citra 1, Suryoto 2. Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
ENDOMORFISMA DARI BCH-AJABAR Restia Sarasworo Citra 1 Suryoto 1 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto S. H Tembalang Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstract. BCH-algebras is an
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN 1.1. Penyajian Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciPERTEMUAN Relasi dan Fungsi
4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan)
Outline (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciFUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi
Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciHOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY
ISSN : 1978-4422 HOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY Saman Adurrahman Hal. 1-5 PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT Mariatul Kiftiah Hal. 6-14 PEMBENTUKAN FUNGSI PELUANG
Lebih terperinciUTS MATDAS Kerjakan dalam kelompok terdiri atas 2-4 orang perkelompok. Setiap kelompok mengerjakan sebuah paket soal.
UTS MATDAS 2017 Petunjuk Umum Kerjakan dalam kelompok terdiri atas 2-4 orang perkelompok Setiap kelompok mengerjakan sebuah paket soal. Ada 15 paket soal, dan tiap paket berisi 10 soal. Paket-paket soal
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciBahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek
Lebih terperinciAljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar
Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan
Lebih terperinci1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3
Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets............................ 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R......................... 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R........................
Lebih terperinciSEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY
SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY Karyati 1), Dhoriva UW 2) 1) Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta sistematika penulisan dari penyusunan skripsi
Lebih terperinciR = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b
Lebih terperinci2.4 Relasi dan Fungsi
2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu
Lebih terperinci