ALGORITMA PEMBANGKITAN MENGGUNAKAN POHON PEMBANGKIT

Transkripsi

1 ALGORITMA PEMBANGKITAN MENGGUNAKAN POHON PEMBANGKIT 1 Sulistyo Puspitodjati Djati Kerami 1 UNIVERSITAS GUNADARMA (sulistyo@staff.guadarma.ac.id) UNIVERSITAS GUNADARMA (djatir@ui.edu) ABSTRAK Pembagita secara legap obje-obje dari elas ombiatorial tertetu adalah mecari cara atau metode atau algoritma utu mecacah (list, eumerate) semua obje dalam uruta tertetu tapa pegulaga da tida melewata satu obje pu. Salah satu pedeata dalam membagita obje ombiatorial secara legap adalah dega poho pembagit. Poho pembagit adalah suatu sistem yag mempuyai aar da cabag-cabagya yag dapat direpresetasia dalam atura yag dieal dega ama atura susesi. Pedeata ii baya diguaa area dega atura susesi dapat diterjemaha edalam betu-betu lai seperti operator liier pada poliomial dega satu variabel, peralia matris, atau ode tertetu seperti ode Gray. Dari poho pembagit dapat pula dimugia suatu algoritma pembagita aca. Maalah membahas poho pembagit da apliasiya pada obje ombiatorial utai Fiboacci, permutasi da permutasi dega silus. Kata Kuci: ombiatori, pembagita legap, poho pembagit, atura susesi. 1. PENDAHULUAN Salah satu bidag utama dari ombiatori adalah membagita obje dari elas tertetu utu parameter tertetu, bai secara legap (exhaustive geeratio) atau secara aca (radom geeratio). Masud dari membagita secara legap tersebut adalah mecari cara atau metode atau algoritma utu mecacah (list, eumerate) semua obje dalam uruta tertetu tapa pegulaga da tida melewata satu obje pu. Algoritma-algoritma tersebut bergua pada baya bidag seperti uji peragat eras maupu peragat lua, bioimia, biologi da termodiamia. ([Ber07], [Duc07]). Pembagita legap serig juga diguaa utu memecaha masalah-masalah NPcomplete, da megaalisa atau membutia suatu program. ([Vaj06]). Salah satu pedeata utu membagita obje ombiatorial adalah dega yag disebut poho pembagit atau serig diidetia dega ama metode ECO (eumeratig combiatorial objects) ([Ba07]). Dalam metode ECO setiap obje diperoleh dari obje yag lebih ecil yag diespasia dega rumusa yag disebut atura susesi. Atura susesi ii dapat direpresetasia dalam suatu poho da disebut poho pembagit ([Fer05]). Poho pembagit ii telah ditujua efisie dalam otes pembagita ombiatorial, yaitu watu utu meghasila N obje beruura adalah O(N). Obje-obje yag telah ditujua efisie dibagita dega poho pembagit tersebut adalah: obje Catala dalam [Ber07] da [Fer05], utu permutasi peghidara pola umum (geerelazid patter avoidace) dalam [Eli07], covex polyomioespa dalam [Lu03], da utu strutur Gray dalam [Ber07]. Poho pembagit juga secara detail dibahas utu beberapa obje dalam [Ba07] da [Wes96]. Selai itu, poho pembagit mempuyai pemafaata yag petig dalam ombiatorial, yaitu bijesi da pembagita aca ([Duc07]). Karea itu maalah ii aa membahas pembagita permutasi silus megguaa pedeata poho pembagit atau dieal juga sebagai metode ECO. Algoritma Pembagita Megguaa Poho 169

2 . TINJAUAN PUSTAKA Eumerasi Obje Kombiatori Eumerasi (pembagita) ombiatori adalah subje utama dari ombiatori da meagai pecacaha (coutig) sejumlah eleme dari elas berhigga secara esa maupu secara pedeata. Berbagai masalah dari berbagai bidag dapat dipecaha dari sudut padag ombiatorial. Biasaya, masalah-masalah tersebut mempuyai ciri yag sama utu direpresetasia e dalam obje yag sesuai utu teitei pembagita ombiatori. Duchi ([Duc07]), membagi pedeata eumerasi dalam 4 elompo, yai: Fugsi reuresi, fugsi pembagit, DSV, da metode ECO. Utu elas obje O da suatu parameter p dalam elas tersebut, perhatia himpua O dega uura, dimaa adalah bilaga bulat tida egatif. Yag dipermasalaha dalam eumerasi obiatori adalah meetua ardialitas a dari himpua O utu setiap emugia. Haya beberapa asus yag mempuyai rumusa utu a yag haya melibata fugsi yag sudah dietahui da bebas dari pejumlaha (summatio). Reuresi utu a tersaji dalam hubugaya dega ilai sebelumya a i yag telah dihitug. Dega demiia memberia prosedur sederhaa utu meghitug a utu sembarag N. Pedeata lai adalah dega fugsi pembagit, perumusa a lebih umum, megguaa deret Taylor, yaitu f ( x) = a x. Jia fugsi pembagit sudah dietahui, maa oefisie a dapat diperoleh. Metode lai utu eumerasi adalah metode yag megguaa bahasa aljabar, yag disebut metodologi Schützeberger, atau dieal juga sebagai DSV. Metode ii megguaa bijesi atara obje-obje da ata-ata dalam bahasa aljabar sedemiia rupa sehigga ilai dari parameter obje berhubuga dega pajag ata dari bahasa. Jia bahasa terbetu dari tata bahasa bebas otes yag ambigu, maa ada emugia utu meerjemaha produsi dari tata bahasa e sistem persamaa fugsioal, yag solusiya ui da algebraic da merupaa fugsi pembagit dari bahasa. Pedeata lai utu eumerasi adalah dega poho pembagit. Poho pembagit adalah poho yag meggambara eluarga tertetu dari obje ombiatorial; tiap simpul berhubuga dega satu obje, da cabagya meuju simpul yag megodea alteratif yag dipilih dalam megostrusia obje. Poho pembagit mejajia omputasi yag cepat dalam megeumerasi barisa obje. Metode poho pembagit ii disistematisasia oleh Barcucci, Del lugo, Pergola, ad Pizai, dega ama sistem ECO (eumeratig combiatorial objects) ([Ba07]). Dalam metode ECO ii setiap obje diperoleh dari obje yag lebih ecil dega melaua espasi loal. Serigali espasi loal tersebut sagat teratur da dapat dijelasa dalam atura susesi. Metode ECO ii telah ditujua efetif utu beberapa strutur ombiatori, seperti: obje Catala dalam [Ber07] da [Fer05], utu permutasi peghidara pola umum (geerelazid patter avoidace) dalam [Eli07], covex polyomioespa dalam [Del03], da utu strutur Gray dalam [Ber07]. Beriut ii aa dijelasa metode ECO secara lebih rici. Metode ECO da atura susesi Metode ECO adalah metode utu megeumerasi elas-elas dari obje ombiatorial. Metode ii meawara ostrusi reursif dari obje sesuai dega uuraya. Dalam metode ECO, setiap obje diperoleh dari obje yag lebih ecil dega membuat beberapa espasi loal. Jia ostrusi reursif mempuyai peratura tertetu, maa dapat 170 Algoritma Pembagita Megguaa Poho

3 diodea dalam sistem formal yag disebut atura susesi. Atura susesi mewaili lagah selajutya. Bagaimaa metode ECO beerja dijelasa dalam [Ber07], [Duc07], da [Ba07], sebagaimaa pada subbab-subbab beriut. Operator ECO da poho pembagit. Misala O adalah elas obje ombiatorial da p: O N adalah parameter yag higga pada O, yaitu parameter p sedemiia sehigga O = {O O : p(o) = } dari obje beruura adalah higga. Misala v : O O adalah operator yag sedemiia sehigga v(o ) O +1. Operator v meggambara bagaimaa obje ecil meghasila obje yag lebih besar. Proposisi -1: Jia v memeuhi, utu setiap 0, 1. utu setiap O O +1, aa terdapat O O sedemiia sehigga O v, da. utu setiap O, O O, aa meggambara v(o) v(o ) = apapu O O, maa famili himpua F +1 = { v(o): O O } adalah partisi dari O +1. Operator v yag memeuhi odisi 1 da tersebut di atas, diataa sebagai operator ECO. Jadi operator ECO membagita semua obje O sedemiia sehigga setiap obje O O +1 diperoleh secara ui dari O O. Operator ECO yag sedag melaua espasi loal pada obje yag disebut situs atif dari obje. Operator ECO dapat digambara dega poho pembagit, yaitu: poho beraar yag simpusimpulya berhubuga dega obje O. Aar yag ditempata pada level 0 pada poho, adalah obje dega uura terecil, m. Obje-obje dega uura sama berada pada level yag sama da aa dari obje O, adalah yag dihasila dari O melalui v. Jia { O } adalah uruta yag ditetua oleh bayaya obje beruura, maa f O (x) = Σ m O x adalah fugsi pembagitya. Atura susesi Atura susesi Ω adalah sistem ((a), P), megadug asioma (a) da himpua produsi atau atura peulisa P didefiisia pada himpua label M N + : ( a) Ω = ( ) a ( e ( ))( e ( )) 1 K ( e ( )) utu semua M dimaa a M adalah ilai tertetu da e i adalah fugsi M M. Salah satu sifat utama dari atura susesi adalah prisip osistesi, yaitu setiap label () harus memprodusi tepat eleme. Atura susesi adalah sesuai dega represetasi poho yag aarya berlabel asioma (a), da simpul berlabel () meghasila level selajutya aaaa yag masig-masig berlabel (e 1 (),, e ()) (yag ati aa meghasila masig-masig aa berlabel e 1 (),, e (), da seterusya). Atura susesi meghasila uruta {f } dari bilaga bulat positif, dimaa f adalah bayaya simpul pada level e dari poho pembagit da diotasia sebagai f Ω (x) = Σ m f x. Serigali operator v diodea dega atura susesi Ω, yag berarti, obje dega uura miimum mempuyai a aa da obje O 1,, O, dihasila oleh obje O yag Algoritma Pembagita Megguaa Poho 171

4 sedemiia sehigga O aa meghasila aa e i () oleh v, yaitu v(o i ) =e i (), 1 i. Berarti terdapat isomorfima atara poho pembagit dari operator ECO da atura susesiya yag bersesuaia. Maa f O (x) = x m f Ω (x), atau f O (x) = x m f Ω (x) etia m = 0. Jia v adalah operator ECO utu O sesuai p, da asumsia terdapat atura susesi yag berhubuga dega v, maa uadrupel Σ = (O, p, v, Ω v ) disebut sistem ECO. 3. APLIKASI Beriut adalah adalah beberapa peerapa pembagita obje dari beberapa elas ombiatorial, yaitu: Utai i Fiboacci, permutasi, permutasi dega silus, da jalur Dyc. Poho Pembagit Utai Fiboacci Utai Fiboacci adalah utai bier yag tida megadug 1 beruruta. Poho pembagit dari utai Fiboacci dapat dilihat pada gambar-1. Utai bit yag diperoleh dari poho pembagit tersebut adalah dega membaca dari aar sampai e simpul terbawah dimulai dari cabag iri emudia aa. Atura susesi dari poho pembagit tersebut adalah: (1) Ω = (1) () a a () (1)() * Gambar 1: Poho pembagit utai Fiboacci Hal ii meujua bahwa uura obje terecil adalah a = 1. Da selajutya terdapat simpul berlabel 1 yag mempuyai satu cabag aa berlabel, da simpul berlabel mempuyai aa yag berlabel 1 da. Berdasara atura susesi tersebut, maa fugsi pembagit dari utai bit Fiboacci adalah x/(1-x-x ). ([Ba07]). Poho Pembagit Permutasi Permutasi [] = {1,,,N} dapat didefiisia sebagai bijesi f: [] []. Poho pembagit permutasi dapat dibagu berdasara algoritma pembagita permutasi Johso Trotter. Algoritma Johso-Trotter memulai permutasi dari yag terpede, yaitu [1], da ii haya mempuyai satu permutasi {1}. Kemudia utu [], eleme tambaha, ditambaha e permutasi 1 dega cara meletaa pada sebelah 17 Algoritma Pembagita Megguaa Poho

5 iri 1, emudia e sebelah aa 1, sehigga diperoleh 1 da 1. Dua eleme dari masig-masig permutasi ii medefiisia 3 posisi utu eleme etiga 3 dega meletaa 3 pada palig iri, tegah, da palig aa: 31, 13, 13, da 31, 31, 13. Secara umum, terdapat N cara utu memperluas permutasi a 1 a a -1 dega pajag N-1 e permutasi dega pajag N: N a 1 a a -1 a 1 N a a -1 a 1 a N a -1 a 1 a N a -1 a 1 a a -1 N Melalui poho pembagit, pembagita permutasi dapat digambara sebagaimaa gambar- beriut. Jia simpul dari poho sebelah iri pada gambar- diberi label sesuai dega bayaya aa cabag, maa diperoleh poho sebelah aa pada gambar-. Dega demiia poho pembagit utu permutasi dapat ditulis dalam atura susesi beriut: (1) Ω = ( ) a ( + 1) Gambar-: Poho pembagit utu permutasi Berdasara atura susesi utu poho pembagit diatas, maa fugsi pembagit utu atura susesi tersebut adalah = 3 f f x = 1+ x +.3x x ( + 1)! x Ω 0 Poho Pembagit utu Permutasi dega silus Permutasi dega silus adalah permutasi (a 1 a...a ) dega a 1 = = π(a ), a i = π(a i-1 ), i =, 3,,. Utu pembagita permutasi π: [] [] dega satu silus pajag, peulis megiuti logia pembagita permutasi Johso Trotter. Misala S _c adalah himpua semua aggota permutasi dega silus yag ditulis secara aoi, da S _c adalah bayaya aggota S _c. Maa S _c = {(a 1 a...a ) a 1 = = π(a ), a i = π(a i- 1), i =, 3,, } Dega demiia, π() adalah semua emugia agota [-1], emudia π(a ) adalah semua aggota [- 1] tapa a, da seterusya, π(a -1 ) adalah aggota [-1] tapa a i, i =,, -. Dega ata lai silus-silus aggota S _c adalah (a...a ) dega semua emugia permutasi [-1] utu a...a. Berarti S _c = (-1)! Algoritma Pembagita Megguaa Poho 173

6 S _c dapat dibagu dari S (-1)_c dega meambaha didepa semua aggota S (-1)_c sehigga diperoleh sebaya S (- 1)_c eleme berupa (a...a ) dega a = -1. Aggota S _c yag lai dibetu dari setiap (a...a ) yag ada dega memidaha posisi -1 e posisi a berturut-turut utu = 3,...,. Dega demiia poho pembagit utu permutasi dega silus adalah sebagaimaa pada gambar-3. Jia simpul dari poho pembagit gambar- diberi label sesuai dega bayaya aa cabag, maa poho pembagit utu permutasi dega silus dapat ditulis dalam atura susesi Ω beriut: (1) (1) (31) (31) (431) (431) (413) (431) (413) (413) Gambar-3 Poho Pembagit utu permutasi 4 dega silus (1) Ω = (1) a () ( ) a ( + 1) Berdasara atura susesi diatas maa fugsi pembagit utu atura susesi tersebut adalah f = f x x x x 3...! x = Ω 0 4. KESIMPULAN DAN SARAN Metode pembagit megguaa poho pembagit bai utu utai Fiboacci maupu utu permutasi, dilihat dari rumusa fugsi pembagit utu atura susesi sama dega fugsi-fugsi pembagit dari eumerasi yag sudah ada. Hal ii meujua pembagita obje ombiatorial osiste dega yag sudah ada. Da area elebihaya yag disajia dega strutur poho, maa poho-poho pembagit diatas adalah pembagita yag bai utu diguaa. DAFTAR PUSTAKA [1] C. Baderier, d Geeratig Fuctios for Geeratig Trees. arxiv:math.co/ v1, 5 Feb 007. [] A. Berii, I. Fati, E Grazzii. A exhaustive geeratio algorithm for Catala objects ad others arxiv:math.co/06117v, 1 Feb 007. [3] A. Berii, d. A geeral exhaustive geeratio algorithm for Gray structures arxiv: math/07036v1 [math.co], 9 March Algoritma Pembagita Megguaa Poho

7 [4] M. Bóa, A Wal through Combiatorics. A Itroductio to Eumeratio ad Graph Theory. 00. New Jersey, War Scietific. [5] E. Duchi. ECO method ad Object Grammars: two methods for the eumeratio of combiatorial objects Dottorato di Ricerca i Igegeria Iformatica e dell'automazioe, XV Ciclo, Uiversit_a Degli Studi di Fireze, tatesi/duchi. diases: Mei, 007. [6] S. Elizalde. Geeratig Tree for Permutatios Avoidig Geeralized Patters arxiv: v1 [math.co], 31 July 007. [7] L. Ferrari ad R. Pizai. Catala lie umbers ad successio rules arxiv:math.co/050710v1, 11 July 005. [8] A. Del Lugo, d. Eumeratio of covex polyomioes usig the ECO method Discrete Mathemathics ad Theoretical Computer Sciece AB(DMCS), 003, [9] F. Rusey. Combiatorial Geeratio CombGe.pdf. [10] V. Vajovszi, Geeratig Combiatorial Objects by ECO Method, the Lydo Words Case, Lecture Notes. Jaarta, 6 Jauary 006. [11] J. West. Geeratig Trees ad Forbidde Subsequeces ;jsessioid=1cee9a0113ff48ef C6A5BED?cid= Algoritma Pembagita Megguaa Poho 175