BAB VIII PENUTUP DAFTAR PUSTAKA Kunci Jawaban Soal-soal Latihan... 48

Transkripsi

1

2 DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... ii Kompetensi/sub kompetensi... iii Peta Bahan Ajar... iv BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakang... B. Tujuan... C. Sasaran... D. Ruang Lingkup... BAB II KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN DAN... PEMBAGIAN A. Pengantar B. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar F. Konsep Penjumlahan dan Pengurangan... G. Konsep Perkalian dan Pembagian Latihan... 5 H. Operasi Hitung Campuran Latihan... 6 BAB III PEMBELAJARAN KPK DAN FPB DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL... 7 A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar 7 E. Pembelajaran KPK... 7 F. Pembelajaran FPB... 0 Latihan BAB IV BILAGAN PERSEGI, KUBIK, DAN PENARIKAN AKARNYA A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi B. Bilangan Persegi C. Bilangan Kubik... 3 D. Teknik Menguadratkan dan Menarik Akar... 3 Latihan BAB V BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi B. Konsep bilangan bulat C. Operasi pada bilangan bulat Latihan BAB VIII PENUTUP DAFTAR PUSTAKA Kunci Jawaban Soal-soal Latihan... 48

3 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Kurikulum 004 atau yang dikenal sebagai kurikulum berbasis kompetensi mengamanatkan bahwa pembelajaran kepada siswa harus mengacu pada siswa mencapai kompetensi yang digariskan. Kompetensi merupakan pengetahuan, sikap, dan nilai-nilai yang dapat ditunjukkan dalam berfikir dan bertindak oleh peserta didik di setiap saat. Materi bilangan Asli, Cacah, dan Bulat yang disajikan pada tulisan ini dirancang sesuai dengan tuntutan kurikulum agar siswa mampu mencapai kompetensi dari kenal masalah, paham masalah, dan trampil memecahkan soal. Untuk maksud tersebut pendekatan pembelajaran yang dikembangkan khususnya penawaran konsep untuk topik-topik esensial dimulai dari mengenal masalah, memecahkan masalah secara informal menggunakan kompetensi yang sudah dicapai sebelumnya, pendekatan formal secara matematis, dan diakhiri dengan pembinaan ketrampilan. B. TUJUAN Modul ini ditulis untuk para peserta Diklat Matematika Sekolah Dasar dengan tujuan setelah mengikuti diklat ini dapat:. Memperoleh pengetahuan secara konkrit materi-materi esensial bilangan asli, cacah, dan bulat di Sekolah Dasar.. Memperoleh alternatif pendekatan pembelajaran yang tepat termasuk alat peraga dan media pembelajaran yang diperlukan. 3. Memperoleh wawasan keilmuan mengenai materi metode dan strategi pembelajaran bilangan asli, cacah, dan bulat di Sekolah Dasar 4. Menerapkan pengetahuan dan ketrampilan yang dimiliki kepada siswa di sekolahnya. 5. Mengimbaskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan seprofesi. C. SASARAN Sasaran pengguna modul ini adalah guru SD peserta diklat pasca Uji Kompetensi Awal (UKA) D. RUANG LINGKUP Pokok-pokok materi yang dibahas melalui modul ini meliputi:. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan pembagian. KPK dan FPB 3. Bilangan kuadrat, kubik, dan penarikan akarnya 4. Bilangan Bulat dan operasinya. 3

4 BAB II KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, DAN PEMBAGIAN A. PENGANTAR Menurut Psikologi Bruner (Bruner, 967: 4) pembelajaran akan lebih bermakna dan lebih cepat mencapai tujuan jika dimulai dari tahapan konkret (enactive) yakni menggunakan obyek sesungguhnya, kemudian semi konkret (econic) yakni obyeknya diganti gambar, dan terakhir abstrak (symbolic) yakni sajiannya hanya dalam bentuk lambang/simbol yang hanya berupa huruf-huruf saja atau angka-angka saja. Menurut Bruner jika siswa mengalami pembelajaran matematika untuk setiap topiknya dengan perlakuan seperti ketiga tahapan tersebut, maka siswa akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Sajian Diklat untuk materi Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat (ACB) ini dirancang mulai dari tahapan kedua yakni semi konkret (econic) dan kemudian abstraknya/bentuk symbolicnya yang hanya berupa huruf-huruf saja dan angka-angka saja. Tahapan kongkritnya langsung diperagakan saat tatap muka. Harapannya peserta Diklat dapat membayangkan tingkat kesuksesannya jika hal itu diterapkan di lapangan/sekolah masing-masing. B. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat memperagakan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang mampu dicerna peserta didik kelas rendah sebagai bekal untuk mengembangkan pengetahuan dan kompetensinya di kelas-kelas berikutnya hingga jenjang yang lebih tinggi. C. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan asli, cacah, bulat dan operasinya. D. STRATEGI BELAJAR Fasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan pada modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikan pendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain. E. MEDIA BELAJAR Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan). F. KONSEP PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN. Penjumlahan Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III) pengertian/konsep yang dapat diterima dengan jelas adalah penjumlahan sama dengan penggabungan kumpulan benda 4

5 menjadi kumpulan benda (Marsudi Raharjo, 007: Laporan Hasil Praktek Konsultansi di SD Ngijon, Seyegan Sleman 004 s.d 007). Dari peragaan melalui beberapa gambar siswa kelas rendah dapat melihat suatu pola/kecenderungan tertentu sehingga dapat menyimpulkan sendiri di alam pikirannya bahwa ditambah = digabung dan akibat dari ditambah adalah hasilnya akan menjadi lebih banyak. Tahap kongkret/enactive pada penjumlahan. Contoh : =... Misalnya kita menggunakan tutup botol sebagai alat peraga. Langkah-langkahnya sebagai berikut:. Tunjukkan ada kelompok isinya 3 tutup botol. Tunjukkan lagi ada kelompok lainnya yang berisi 5 tutup botol 3. Tanyakan ke siswa jika kedua kelompok itu digabung hasilnya ada berapa tutup botol? Ayo coba berapa hasilnya? 4. Tanyakan ke siswa siapa yang dapat menunjukkan bagaimana cara menggabungkan keduanya (kedua kelompok itu) 5. Ajak siswa lainya mengamati bentuk gabungannya. 6. Guru: Mengucapkan sambil menuliskannya di papan tulis bahwa 3 ditambah dengan 5 hasilnya sama dengan 8 artinya bentuk yang kita tulis = Guru: memberikan atau 3 soal sejenis lagi dengan kata kunci digabung sehingga secara kongkret sebanyak 3 hingga 4 contoh soal tersebut sudah cukup representatif dalam memberikan gambaran kepada siswa secara kongkret arti penjumlahan. Tahap semi kongkret/econic pada penjumlahan diawali dengan soal cerita yang kemudian disajikan dalam bentuk gambar. Contoh Gambar berikut berasal dari soal cerita yang berbunyi :. ayam Ali 4 ekor. Cahya memetik jambu... buah ayam Budi ekor memetik lagi... buah ayam Ali digabung dengan ayam Budi berapa jambu Cahya sekarang? berapa Ayam mereka sekarang?. Soal seperti di atas bagi siswa SD kelas I jelas sulit untuk dipahami karena ada 4 kalimat. Akan sangat lain keadaannya jika sajian soal cerita itu diujudkan dalam bentuk gambar yang sajian medianya dalam bentuk Lembar Kerja Siswa (LKS). LKS adalah media pembelajaran tertulis yang memuat ciri-ciri konsep, sementara Lembar Tugas Siswa (LTS) adalah media pembelajaran tertulis yang sudah tidak memuat lagi ciri-ciri konsep. Ciri-ciri konsep sudah diperoleh siswa saat kegiatan kongkret (enactive) dan semi kongkret (econic) (Elly Estiningsih:994, 7). Soal nomor bahkan banyaknya jambu tidak diketahui, namun 5

6 karena sajiannya dalam bentuk gambar siswa ternyata tetap dapat menyelesaikan soal yang dimaksud. Berikut adalah contoh bentuk LKS yang dimaksud. ayam Ali ayam Budi ayam mereka sekarang? digabung dengan berapa 4 + = Cahya memetik jambu jambu Cahya sekarang 6 memetik lagi berapa + = Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 0 nomor dengan aneka macam kata kunci (Modul Bermutu 009: Soal Cerita Penjumlahan dan Pengurangan halaman 7 9 dan lampiran halaman 67 68) hasilnya 68 % siswa kelas I (yang baru masuk sekolah bulan) mendapat nilai maksimal 0; 7 % mendapat nilai 9; dan hanya 5 % saja yang mendapat nilai 5 asal LKS yang setiap nomor memuat gambar-gambar diberikan pada setiap siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya hanya berupa kalimat tanpa gambar. Kalimat-kalimatnya hanya ditulis dalam bentuk hurufhuruf dan angka-angka saja, dan Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswa dan kalimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya cukup fantastis persentase siswa yang mendapat nilai 0 bertambah menjadi 77 % siswa mendapat nilai maksimal 0. Sisanya 9 % siswa mendapat nilai 8; dan 4,5 % siswa masing-masing mendapat nilai 9, 7, dan 6 dengan tak seorang siswapun mendapat nilai di bawah 5.. Pengurangan Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III), pengertian dari pengurangan yang dapat mereka terima dengan baik secara kongkret/enactive melalui peragaan adalah 6

7 pengambilan sebagian dari sejumlah obyek (Marsudi Raharjo, 009: Modul Bermutu Pembelajaran Operasi hitung Perkalian dan Pembagian Bilangan Cacah di SD). Dalam bentuk kegiatan bermain peran kata-kata kunci yang nyaman digunakan adalah : diminta, dipinjam, dan diberikan kepada. Hasil pengurangannya adalah sisa obyek yang tidak terambil. Sehingga dalam bentuk gambar (semi kongkret/enactive) sisa yang diperagakan harus memperlihatkan bahwa bekas dari obyek terkena proses pengambilan adalah kosong. Agar makna pengurangan ini cepat ditangkap siswa, sajian soal ceritanya seperti yang digambarkan pada LKS berikut ini. di piring ada jambu jambu yang masih ada di piring diambil berapa = Budi punya kambing kambing Budi sekarang berapa dijual = Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 0 nomor soal dengan aneka macam kata kunci (Marsudi Raharjo, 009: 7 9 dan 67 68) hasilnya 4% siswa kelas I (yang baru masuk sekolah bulan) mendapat nilai maksimal 0, sementara siswa lainnya 9 % siswa mendapat nilai 9; 6 % siswa mendapat nilai 8;,8 % siswa mendapat nilai 7; dan 6 % siswa mendapat nilai 6. Syaratnya tentu saja asal lembar kerjanya diberikan pada setiap siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya hanya berupa kalimat tanpa gambar hanya ditulis dalam bentuk huruf-huruf dan angkaangka saja, asal Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswa dan kalimatkalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya juga cukup fantastis ternyata 7 dari siswa (4 %) mendapat nilai maksimal 0; 35 % mendapat nilai 9; 6 % mendapat nilai 7; dan % mendapat nilai 6 dengan tak satupun siswa memperoleh skor di bawah 6. 7

8 G. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN. Perkalian Untuk perkalian, pengalaman dengan anak sendiri yang sedang duduk di SD kelas II tahun ajaran 007/008 anak lebih cepat menghapal perkalian dasar bila teknik yang kita gunakan bersifat kontekstual. Contohnya antara lain adalah: Perkalian dengan obyek kontekstualnya kepala orang = kepala Perkalian dengan obyek kontekstualnya sepeda sepeda motor = roda Perkalian dengan 3 obyek kontekstualnya becak becak = 3 roda Perkalian dengan 4 obyek kontekstualnya kambing kambing = 4 kaki Perkalian dengan 5 obyek kontekstualnya tangan tangan = 5 jari Perkalian dengan 6 obyek kontekstualnya daun singkong daun singkong = 5 jari Perkalian dengan 7 obyek kontekstualnya minggu minggu = 7 hari Perkalian dengan 8 obyek kontekstualnya windu windu = 8 tahun. Ada penjelasan dari fasilitator (atau gambar) bahwa, Kepala orang ada... Roda sepeda ada... Roda becak ada 3... Kaki Kambing ada 4... Jari tangan orang ada 5... Daun singkong ada 6... Satu minggu ada 7... Satu windu ada 8... Setelah obyek kontekstualnya dikenalkan langsung ditindak lanjuti dengan bentuk perkalian yang bersesuaian. Sebagai contoh misalnya untuk perkalian dengan bilangan 4, anak kita beri pertanyaan: kambing kakinya berapa? dijawab 4 kambing kakinya berapa? dijawab 8 3 kambing kakinya berapa? dijawab 4 kambing kakinya berapa? dijawab 6 5 kambing kakinya berapa? dijawab 0, dan seterusnya hingga 0 kambing 0 kambing kakinya berapa? dijawab 40. Kita sebagai guru mengusahakan agar pertanyaan di atas diulang-ulang hingga 3 kali. Jika ingin siswa lebih cepat hapal, guru menuliskan di papan tulis dan siswa diminta mencatatnya. kambing kakinya = 4 4 = 4 kambing kakinya = 8 4 = 8 3 kambing kakinya = 3 4 = 8

9 4 kambing kakinya = = 6 5 kambing kakinya = = 0 6 kambing kakinya = = 4 7 kambing kakinya = = 8 8 kambing kakinya = = 3 9 kambing kakinya = = 36 0 kambing kakinya = = 40. Teknik seperti di atas berlaku untuk perkalian-perkalian dasar lainnya. Jika susah mencari obyek kontekstualnya misal perkalian dengan 6, 8, dan 9 langsung ditulis bentuk perkaliannya saja kemudian siswa diminta untuk menghapalkan. Pembagian panjang bersifat lanjut, jadi sudah bukan merupakan pembagian dasar lagi. Pembagian panjang adalah pembagian yang tak dapat diperoleh langsung dari hafalan perkalian dua bilangan angka.. Pembagian. Pembagian Dasar Untuk pembagian dasar (pembagian yang terkait dengan perkalian bilangan angka), strategi pembelajaran pertama yang diberikan adalah seperti berikut. Disediakan 6 buah sedotan minuman. Siswa diminta membagi 6 buah sedotan itu rata/sama banyak kepada orang teman sekelasnya. Mereka bebas membaginya dengan cara masing-masing. Dari pengalaman, siswa dapat melakukan pembagiannya dalam 3 (tiga) cara, yakni Cara : Langsung dibagikan kepada orang temannya sama rata masing-masing sebanyak 3 buah sedotan. Guru menanyakan ke semua siswa masing-masing teman menerima berapa?, dijawab 3 (tiga). Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada orang hasilnya sama dengan 3, ditulis 6 : = 3. Cara : Diberikan satu demi satu sampai habis secara bergantian pada orang temannya. Ternyata masing-masing menerima sebanyak 3 buah sedotan. Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada orang hasilnya sama dengan 3, ditulis 6 : = 3. Cara 3: Diberikan terlebih dahulu dua-dua pada orang temannya. Ternyata masih tersisa buah sedotan. Maka langkah selanjutnya pasti buah sedotan sisanya dibagi rata kepada kedua orang temannya itu. Akhirnya tampak bahwa masing-masing teman mendapat 3 buah sedotan. Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada orang hasilnya sama dengan 3, ditulis 6 : = 3. 9

10 Catatan Untuk diketahui bahwa dalam kehidupan sehari-hari ketiga cara di atas semua benar, tetapi secara matematika ketiga cara di atas salah. Secara matematika aturan pembagian yang benar untuk 6 : =... adalah karena dibagi rata pada orang, maka setiap kali mengambil sebanyak sedotan. Kedua sedotan pada setiap kali mengambil itu kemudian dibagi rata (sama banyak) kepada kedua orang penerima hingga pengambilannya habis. Hasil baginya adalah sejumlah sedotan yang diterima oleh kedua orang penerima. Berikut adalah contoh peragaannya jika 6 buah bolpoin dibagi rata (sama banyak) kepada orang yaitu Ali dan Budi. Semula Pengambilan I Pengambilan II Pengambilan III Ali Budi Ali Budi Ali Budi Ali Budi Hasil akhir = 3. Maka 6 : = 3. Perhatikan bahwa semula (sebelum dibagi rata/sama banyak kepada Ali dan Budi) terdapat kumpulan bolpoin sebanyak 6 buah. Pengambilan ke- (pertama) sebanyak buah kemudian dibagi rata pada Ali dan Budi masing-masing akan menerima buah. Pengambilan ke- sebanyak buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima buah dan pengambilan ke-3 sebanyak buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 3 buah. Ternyata hingga pengambilan terakhir (ke-3) dan kemudian dibagi rata, masing-masing penerima (Ali dan Budi) akan menerima bolpoin sebanyak 3. Hal itu berarti bahwa 6 : = 3. Catatan. Secara formal matematika pembagian 6 : =... yang didefinisikan adalah ada berapa kali pengambilan dua-dua ( an) sampai habis pada bilangan 6? Jawabanya adalah 3. 0

11 Karena ada 3 kali pengambilan an sampai habis pada bilangan 6, maka berarti 6 : = 3.. Definisi selengkapnya untuk pembagian a : b = c adalah a : b = c a = b c. Sehingga pengertian 6 : =... artinya adalah ada berapa kali pengambilan sebanyak an pada bilangan 6 tanpa tampak adanya proses membagi sama sekali tidak dapat diterima oleh siswa SD kelas II semester. 3. Setelah aturan (definisi) pembagian pada catatan nomor di atas diganti dengan nomor ternyata dapat diterima/dipahami oleh mayoritas siswa di kelas II/ SD Ngijon, Seyegan, Sleman, D.I Yogyakarta. Itulah alasannya mengapa definisi pembagian yang seharusnya seperti nomor diganti menjadi definisi pembagian seperti nomor dengan tanpa mengubah makna definisi pembagian yang seharusnya seperti nomor.. Pembagian Lanjut Pembagian lanjut (pembagian panjang dengan cara bersusun) ialah pembagian yang tidak berhubungan langsung dengan perkalian dasar (perkalian bilangan angka.). Untuk pembagian panjang lambang yang umum digunakan adalah. Bilangan yang dibagi diletakkan di dalam tanda itu, bilangan pembaginya diletakkan disebelah kirinya, dan bilangan hasil baginya diletakkan di bagian atasnya. Sebagai contoh misalnya kita akan mencari hasil bagi dari 7 : 3 =, kita tulis 3 7. Berikut adalah langkah-langkah peragaan dan proses penulisannya (peragaan dan proses penulisan harus seiring). Pembagian dimulai dari bagian yang terbesar. Misalnya kalau bilangan yang dibagi berupa bilangan ratusan, maka yang dibagi dimulai dari bagian ratusan, sesudah itu baru bagian puluhan dan terakhir bagian satuan. Jika yang dibagi bilangan puluhan, maka yang dibagi mulai dari bagian puluhan barulah bagian satuannya.

12 Contoh: Tentukan hasil pembagian 7 : 3 = Proses peragaan dan penulisannya adalah seperti berikut. No Proses Peragaan Proses Penulisan. 7 : 3 artinya ada satu kelompok isinya 7 dibagi rata pada 3 kotak, masing-masing kotak mendapat berapa? Karena dibagi 3 maka yang 7 puluhan kita ambil tiga-tiga dengan setiap kali pengam-bilan tigaan dibagi rata ke seluruh kelompok Terakhir sisanya puluhan dan satuan. Sisa puluhan itu dapat dibagi 3 jika ikatan puluhannya dilepas sehingga menjadi satuan. Ikatan puluhan ini harus dilepas sehingga menjadi satuan yg terbagi 6 sisa

13 No Proses Peragaan Proses Penulisan 3. Setelah yang puluhan dilepas ikatannya akan menjadi satuan. Gabungkan dengan satuan sebelumnya sehingga semuanya menjadi, ambil tiga-tiga dan bagi rata ke masing-masing anggota kelompok sampai habis yg terbagi 6 sisa 3

14 No Proses Peragaan Proses Penulisan yg terbagi 6 sisa yg terbagi sisa akhir 0 Artinya : 7 : 3 = 4. Dengan peragaan tersebut, kerangka berpikir dalam pengoperasionalnya adalah sebagai berikut. Pul Sat Hasil bagi Pembagi 3 7 Bil yg dibagi 3 Pul Sat 7 Langkah 7 dibagi 3, kita mulai dari kumpulan yang besar yaitu puluhan. Puluhannya ada 7 dibagi pada 3 orang, maka hasil baginya ikat puluhan dan sisanya ikat puluhan yg terbagi Sisa Kita tulis hasil baginya ikat di tempat hasil bagi puluhan, dan sisanya ikat puluhan diletakkan lurus dengan puluhan. yg terbagi Sisa 3 Pul 7 6 Sat Urusan dg pul Langkah Karena puluhan yang dibagi sebanyak 7 dan sisa pembagiannya, berapa ikat puluhan yang terbagi? Jawabannya tentu yang terbagi = 6 ikat puluhan, dan kita tulis 6 di tempatnya yang lurus dengan tempat puluhan. Hingga langkah ini berarti urusan dengan puluhan selesai. Pul Sat Langkah

15 Pul Sat Urusan kita berikutnya adalah dengan satuan. Puluhan yang tersisa ikat itu kita jadikan satuan, bagaimana caranya? Caranya tentu kita lepas ikat puluhan sisa itu, setelah dilepas menjadi berapa satuan? Jawabannya tentu menjadi 0 satuan + satuan yang sudah ada sebelumnya hingga satuan seluruhnya ada. Selanjutnya kita tulis itu pada baris berikutnya. Langkah 4 Ternyata satuan itu sama dengan kalau kita menurunkan bilangan dari atas. 3 7 yg terbagi Sisa 3 yg terbagi Sisa Pul Sat Urusan dg pul Nah selanjutnya satuan sebanyak ini kita bagi pada 3 orang. Masing-masing orang mendapat berapa dan sisanya berapa? Langkah 5 Jawabannya pertanyaan tadi tentu masing-masing orang mendapat 4 satuan (letakkan di kolom satuan pada hasil bagi) dan sisanya nol. yg terbagi Urusan dg sat Karena sisanya 0 (nol), berarti yang terbagi adalah semuanya, yaitu semua dari satuan. Sisa 0 Jadi 7 : 3 = 4. Contoh Diskripsikan penggunaan alat peraga pada pembagian bilangan 504 dibagi kepada orang. Berapakah hasil baginya? Jawab 5

16 yg terbagi Sisa Rat Pul Sat (ikat ratusan) Urusan dg rat Langkah Urusan pembagian kita urut dari yang terbesar yaitu pertama dari ratusan, kedua baru puluhan, dan terakhir satuan. Ratusannya 5 dibagi pada orang, maka hasil baginya 0, sisanya 5, sehingga yang terbagi sebanyak 0 ikat ratusan. Kita tulis 0 di hasil bagi ratusan, 5 di sisa ratusan, dan 0 di tempat yang terbagi. Dengan demikian hingga langkah ini urusan pembagian kita dengan ratusan selesai. yg terbagi Sisa Rat Sat Pul (ikat pul) Langkah Urusan pembagian kita selanjutnya adalah dengan ikatan puluhan. Untuk itu sisa ikatan ratusan seba-nyak 5 kita jadikan puluhan dengan cara melepas ikatannya. Ada berapa ikat puluhan setelah ikatan ratusannya dilepas? Jawabnya tentu menjadi 50 ikat puluhan. Jika ikatan puluhan sebanyak 50 itu kita tambah dengan puluhan yang sudah ada sebelumnya (yakni nol puluhan) maka semuanya tetap 50 puluhan. Sama dengan kalau 0 nya diturunkan. Rat Pul Sat Langkah 3 Urusan kita sekarang pada ikatan puluhan yg terbagi 0 Sisa 5 0 (ikat pul) yg terbagi 4 8 Sisa (ikat pul) Ikatan puluhan sebanyak 50 itu jika kita bagi rata pada orang, maka masing-masing orang akan mendapat 4 ikat, sisanya ikat sehingga yang terbagi ada 48 ikat (puluhan). Hingga langkah ini urusan pembagian kita pada puluhan selesai. 6

17 Rat Pul Sat Langkah 4 Urusan pembagian kita yang terakhir adalah dengan satuan yg terbagi 0 Sisa 5 0 (ikat pul) yg terbagi 4 8 Sisa 4 (ikat sat) Rat Sat Pul Untuk itu sisa ikatan puluhan sebanyak ikat tadi kita lepas ikatannya sehingga menjadi satuan. Menjadi berapa satuan?. Jawabnya tentu 0 satuan. Dan bagaimana setelah dijadikan satuan kemudian ditambah dengan satuan yang sudah ada sebelmnya, yaitu 4? Jawabnya tentu = 0 sat + 4 sat = 4 satuan, sama dengan kalau 4 nya diturunkan. Langkah yg terbagi Urusan dg rat Sisa yg terbagi Sisa Urusan dg pul Urusan dg sat Satuan sebanyak 4 ini kemudian kita bagi rata pada orang. Ternyata hasil banginya, dan sisanya 0. Berarti yang terbagi semuanya yakni 4. Kita tulis di tempat hasil bagi (atas) 0 sisanya (di sisa tempat terbawah) 4 di tempat yang terbagi. Hasil baginya tertulis 04 = 4. Jadi 504 : = 4. Latihan. Tentukan bilangan pada titik-titik isian di bawah ini ) 3 : 4 = 5) : 8 = 3 9) 35 : = 7 ) 36 : 9 = 6) : 5 = 6 0) 30 : = 5 3) 45 : 5 = 7) : 7 = 4 ) 7 : = 9 4) 40 : 8 = 8) : 9 = 3 ) 4 : = 6.. Hitunglah hasil bagi pada masing-masing pembagian berikut dengan teknik susun ke bawah 7

18 ) 58 : 4 = ) 83 : 4 = 3) : 7 = 4).848 : = 5).9 : 4 = H. OPERASI HITUNG CAMPURAN Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu macam operasi dalam suatu perhitungan (Wirasto, 993: 54). Dalam suatu soal hitungan yang menjadi prioritas untuk dihitung terlebih dahulu adalah bilangan-bilangan yang ada di dalam tanda kurung. Nah yang menjadi masalah adalah jika dalam soal operasi hitung campuran itu tidak ada tanda kurung, bagaimana aturan perhitungannya?. Untuk meng-hindari kesimpang siuran dalam penafsiran khususnya kalau dalam soal itu tidak ada tanda kurungnya, secara internasional (dibuktikan menggunakan kalkulator bertanda Scientific ) diberikan definisi (kesepakatan) sebagai berikut.. Tambah dan kurang sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu).. Kali dan bagi sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu). 3. Kali dan bagi lebih kuat dari tambah dan kurang. Contoh Hitunglah 48 : : 5 = Jawab Berdasarkan aturan operasi hitung campuran di atas dan teknik penulisan yang nyaman untuk difahami siswa, teknik penulisan dan pengerjaannya adalah seperti berikut. Ruas kiri = 48 : : 5 = : 5 = = 80 5 = 75. Latihan Hitunglah!. 5 4 : + : 3 =. 7 4 : + 8 : 3 = 3. 4 : 3 3 : = : : + 0 = : + 8 : 3 6 = BAB III 8

19 PEMBELAJARAN KPK DAN FPB DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL A. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat memberikan contoh pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dimulai dari pendekatan kontekstual, formal, pembinaan ketrampilan, dan mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah B. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari (dua) atau 3(tiga) bilangan. C. STRATEGI BELAJAR Fasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan pada modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikan pendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain. D. MEDIA BELAJAR Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan). E. PEMBELAJARAN KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil). Pendekatan kontekstual untuk KPK. a. Soal tentang lampu kedip Misalkan terdapat sebuah lampu berwarna merah dan sebuah lampu lagi berwarna kuning. Lampu merah berkedip setiap detik sedangkan lampu kuning berkedip setiap 3 detik. Jika kedua lampu dinyalakan bersama-sama ) pada detik ke berapa saja kedua lampu berkedip secara bersamaan. ) pada detik ke berapa kedua lampu untuk pertama kalinya berkedip bersama. b. Fasilitas yang perlu disiapkan guru Fasilitas yang perlu disiapkan berupa lembar kerja (LK) dalam bentuk tabel seperti berikut Lampu Berkedip pada detik ke Merah Kuning c. Aktifitas siswa. Bekerja kelompok mengisi LK tersebut dengan tanda-tanda centang () pada kolomkolom yang disediakan. Hasil kerja kelompok yang diharapkan adalah: 9

20 Lampu Berkedip pada detik ke Merah Kuning Dari tabel dapat dilihat bahwa ) kedua lampu akan berkedip bersama-sama pada detik ke 6,, 8, dan seterusnya. ) kedua bola lampu berkedip bersama pertama kalinya pada detik ke-6. Maka KPK dari dan 3 hasilnya = 6. Ditulis KPK(,3) = 6. d. Peran guru sebagai fasilitator. Menyiapkan soal, menyiapkan LK, mengawasi kerja kelompok, memberikan klarifikasi/kejelasan tentang jawaban mana yang benar/paling benar.. KPK secara matematis (oleh guru). Soal: Berapakah kelipatan persekutuan dari bilangan dan 3? Berapakah kelipatan persekutuan yang terkecil (KPK) dari bilangan dan 3? Jawab: Kelipatan, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0,, 4, Kelipatan 3 3, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, Kelipatan persekutuan dari dan 3 adalah 6,, 8, 4, Maka KPK (, 3) = 6. terkecil 3. Pemberian soal-soal lain untuk KPK (oleh guru). Soal: Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan berikut a. 4 dan 6 b. 0 dan 5 c. 5 dan 0 d. 5 dan 0 e. 5 dan 50 Jawaban yang diharapkan adalah: a. kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah, 4, 36, 48, sehingga KPK (4, 6) =. b. kelipatan persekutuan dari 0 dan 5 adalah 30, 60, 90, 0

21 sehingga KPK (0, 5) = 30. c. kelipatan persekutuan dari 5 dan 0 adalah 60, 0, 80, sehingga KPK (5, 0) = 60. d. kelipatan persekutuan dari 5 dan 0 adalah 0, 0, 30, sehingga KPK (5, 0) = 0. e. kelipatan persekutuan dari 5 dan 50 adalah 50, 00, 50, sehingga KPK (5, 50) = Cara cepat memperoleh KPK (oleh guru). Guru mengajak siswa mengamati uraian jawaban dari 5 soal tentang KPK pada langkah 3. Ternyata KPK = Kelipatan persekutuan yang pertama kali muncul Dengan ciri tersebut maka uraian singkat untuk mencari KPK dari bilangan adalah seperti berikut. a. KPK (4, 6) = Kelipatan 4 4, 8,, KPK (4, 6) = Kelipatan 6 6,, adalah kelipatan persekutuan yang pertama kali muncul. b. KPK (0, 5) = Kelipatan 0 0, 0, 30, KPK (0, 5) = 30 Kelipatan 5 5, 30, d. KPK (5, 0) = Kelipatan 5 5, 0, 5, Kelipatan 0 0, 0, KPK (5, 0) = 0 5. Pembinaan keterampilan/mencongak untuk KPK (oleh guru). Guru mempersiapkan soal-soal KPK dari bilangan atau 3 bilangan yang bisa dicongak. Kerangka berpikir untuk mencongaknya seperti pada langkah 7 di atas. Soal-soal yang dimaksud misalnya tentukan KPK dari bilangan-bilangan. a. 0 dan 5 e. 3, 4 dan 6 b. 50 dan 75 f. 6, 9 dan c. 00 dan 50 g. 5, 8 dan 0 d. 50 dan 00 h. 5, 0 dan 30 F. Pembelajaran FPB. Pendekatan kontekstual untuk FPB.

22 a. Soal tentang membagi sama banyak kepada beberapa orang Misalkan ada jambu dan 8 rambutan. Jambu dan rambutan sebanyak itu akan dibagi rata (sama banyak) kepada beberapa orang. Pertanyaan: ) Yang memungkinkan jambu dan rambutan itu dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang? ( orang, orang, 3 orang, 4 orang, 5 orang, 6 orang, dan lain-lain). ) Dari hasil-hasil penyelidikan tersebut, paling banyak kepada berapa orang jambu dan rambutan itu dapat dibagi secara merata (sama banyak). 3) Adakah cara yang paling singkat untuk memperoleh jawaban yang ditanyakan pada pertanyaan b? b. Fasilitas yang pelru disiapkan. Untuk siswa setiap kelompok harus menyediakan kerikil-kerikil sesuai dengan warna dan jumlah yang dimaksud, sedangkan guru mempersiapkan LK berupa isian tentang kemungkinan-kemungkinan tentang kedua kelompok kerikil itu dapat dibagi sama banyak kepada orang, 3 orang, 4 orang, 6 orang dan 8 orang seperi berikut. orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orang jambu ramb Jambu ramb jambu ramb A B Ada sisa/tidak 6 orang 8 orang jambu rambutan Jambu rambutan A B C D E F A B C D E F G H Ada sisa/tidak Ada sisa/tidak A B C Ada sisa/tidak A B C D Ada sisa/tidak

23 c. Bentuk kegiatan Siswa secara berkelompok mengerjakan lembar kerja, guru mengawasi kegiatan siswa dan terakhir memberikan klarifikasi tentang jawaban yang benar. Jawaban yang diharapkan. orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orang Jambu Ramb 8 Jamb Ramb 8 Jamb Ramb 8 A B Tanpa sisa jadi habis dibagi rata pada orang A B C D E F A B C 6 orang 8 orang jamb ramb 8 jamb ramb 8 3 A 3 B 3 C 3 D 3 E 3 F G H sisa sisa 4 sisa Tanpa sisa jadi habis dibagi rata pada 6 orang Kesimpulan: Maksimal jambu dan 8 rambutan dapat dibagi rata (sama banyak) pada 6 orang. Maka FPB(,8) = 6. Guru kemudian menanyakan, adakah cara yang lebih cepat untuk memperoleh jawaban tersebut, yakni jambu dan rambutan itu dapat dibagi rata (sama banyak) kepada maksimal 6 orang? Jawabannya: Ada (oleh guru) Yaitu FPB (, 8) = 6, barulah membahas FPB secara matematika.. Pembahasan FPB secara matematika. FPB (, 8) =? Tanpa sisa jadi habis dibagi rata pada 3 orang Ada sisa, jadi tidak mungkin dibagi 8 orang. A B C D Rambutan sisa jadi tak habis dibagi rata pada 4 orang 3

24 Jawab: Dari data akan dipeorleh Faktor dari,, 3, 4, 6, Faktor dari 8,, 3, 6, 9, 8 Faktor persekutuan dari dan 8 ialah,, 3, 6 terbesar Maka FPB (, 8) = 6 Sehingga jambu dan 8 rambutan itu dapat dibagi sama banyak maksimal pada 6 orang. Sesudah itu guru dapat memberikan soal-soal lainnya untuk dapat dikerjakan dengan cara yang sama. Siswa boleh bekerja sama dalam memecahkan masalah tersebut. Contoh: Paling banyak (maksimal) dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang sekumpulan benda-benda berikut. a. 30 kelereng merah dan 0 kelereng putih. b. 40 bola merah dan 60 bola putih. c. jeruk buah, duku 6 buah dan rambutan 0 buah. d. telur puyuh 40 buah, telur ayam 30 buah, telur bebek 0 buah. Jawaban akhir yang diharapkan adalah a. FPB (30, 0) = 0, maka maksimal kelereng-kelereng itu dapat dibagikan sama banyak kepada 0 orang. b. FPB (40, 60) = 0, maka maksimal bola-bola itu dapat dibagikan sama banyak kepada 0 orang. c. FPB (, 6, 0) = 40, maka maksimal jeruk, duku, dan rambutan itu dapat dibagikan sama banyak kepada 4 orang. d. FPB (40, 30, 0) = 0, maka maksimal telur-telur itu dapat dibagikan sama banyak kepada 0 orang. 3. Cara cepat menentukan FPB (oleh guru). Dari contoh-contoh yang telah dipelajari, siswa diajak mengamati hasilnya, ternyata nilai FPB yang dimaksud adalah FPB = bilangan terbesar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan itu. 4

25 Contoh: Tentukan FPB (, 8) = Jawab: 3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 8. Tetapi FPB (, 8) 3 sebab masih ada bilangan lain yang lebih dari 3 yang dapat membagi habis dan 8. Bilangan itu adalah 6. Maka FPB (, 8) = 6. Catatan Cara mencongak hanya tepat dilakukan untuk bilangan-bilangan yang mudah dibayangkan. 4. Pembinaan keterampilan menentukan FPB. Kaidah yang digunakan untuk membina keterampilan, yakni menentukan FPB dari bilangan atau lebih secara mencongak adalah seperti pada langkah 3. Guru kemudian memilih dan mempersiapkan bilangan-bilangan yang mudah dicongak dalam mencari FPB. Bilangan-bilangan itu misalnya: Tentukan FPB dari a. 0 dan 30 b. 0 dan 40 c. 5 dan 50 d. 50 dan 75 e. 00 dan 50 dan lain-lain. Jawaban yang diharapkan secara cepat (mencongak) adalah a. FPB (0, 30) = 0 b. FPB (0, 40) = 0 c. FPB (5, 50) = 5 d. FPB (50, 75) = 5 e. FPB (00, 50) = 50 FPB Secara Mencongak Dicoba FPB (, 8) = (sukses membagi dan sukses membagi 8, tapi kurang besar) (sukses tapi kurang besar) 3 (sukses tapi kurang besar) 4 (salah, ada yang tak sukses) 5 (salah, keduanya tak sukses) 6 (sukses dan yang terbesar) Maka (, 8) = Menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi prima Faktorisasi prima digunakan untuk menyelesaikan permasalahan mencari KPK dan FPB dari bilangan-bilangan yang sulit dibayangkan/diangankan. Teknik menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi prima dilakukan dengan (dua) cara, yaitu KPK = hasil kali faktor prima yang ada maupun tak ada pasangannya FPB = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya KPK = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar FPB = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil 5

26 Contoh Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300 dan 350. Jawab. Berdasarkan fakta yang ada (konsep), maka Kelipatan KPK = 00 FPB(300,350) =... Secara mencongak, Dicoba FPB(300,350) 0 (kurang besar) 0 (salah) sebab 0 sukses membagi 300 tetapi tidak sukses membagi (kurang besar) 50 (tepat) Maka FPB(300,350) = 50.. Dengan pemfaktoran prima yang dimaksud adalah yang ada pasangannya = = = = yang ada dan tak ada pasangannya Dengan demikian maka dari faktorisasi prima teknik, diperoleh KPK (300,350) = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya dan yang tidak ada pasangannya = =.00 FPB (300,350) = 5 5 = Dengan faktorisasi prima teknik KPK dan FPB dua atau beberapa bilangan diperoleh dengan cara seperti berikut. Untuk KPK hasilnya sama dengan hasil kali faktor-faktor prima gabungannya pangkat yang terbesar. Sementara FPB hasilnya sama dengan hasil kali faktorfaktor prima sekutunya pangkat yang terkecil. 300 = = = = 5 7 KPK = FPB = 5 KPK (300, 350) = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar. 6

27 = = = (4 5) (3 7) = 00. FPB (300, 350) = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil. = 5 = 5 = 50. Teknik lain untuk menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih juga dapat dilakukan dalam berbagai cara (Edi Prayitno, 997) antara lain:. Bagilah semua bilangan itu dengan faktor/faktor prima persekutuannya. Setelah semua bilangan menjadi prima relatif satu sama lain (nilai FPBnya = ), bagilah hasil-hasilnya dengan faktor-faktor prima yang mungkin (untuk bilangan yang terbagi tentukan hasil baginya, sedang yang tak terbagi tetaplah ditulis apa adanya), hingga hasil bagi terakhirnya =. Contoh Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300, 350, dan 400. Jawab FPB KPK Dari gambaran itu dapat disimpulkan bahwa: FPB (300, 350, 400) = 0 5 = 50 KPK (300, 350, 400) = = Terapan KPK dan FPB dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevan Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya dalam pendekatan kontekstual (di awal pembelajaran) lampu kedip merupakan salah satu terapan untuk KPK sedangkan pembagian rata yang dapat dilakukan secara maksimal pada sejumlah orang merupakan salah satu terapan dari FPB. Terapan lain yang sudah dikenal umum untuk KPK adalah dalam hal menyamakan penyebut pada operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan. Sementara terapan FPB yang umum adalah dalam menyederhanakan pecahan ke bentuk yang paling sederhana. Contoh a. Hitunglah

28 7 b. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana untuk pecahan. 96 Jawab a KPK penyebut = KPK (3, 4, 6) =. Maka : b. Dengan faktorisasi prima Sehingga Perhatikan bahwa bagian yang dicoret adalah FPB dari 7 dan 96 yakni FPB (7, 96) = 3 = 4 Dengan begitu bila kita sudah mengetahui bahwa FPB (7, 96) = 4 maka untuk 7 7 : 4 3 menyederhanakan pecahannya dilakukan dengan cara : 4 4 Ada contoh terapan lainnya yang cukup menarik untuk pelajaran matematika SD adalah terapan KPK dalam perhitungan jarak, waktu, dan kecepatan. Contoh Ali bersepeda dari kota P ke kota Q dengan kecepatan rata-rata 0 km/jam berangkat pukul Satu setengah jam kemudian Budi menyusul Ali menggunakan sepeda motor dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada pukul berapa Budi menyusul Ali? Jawab Selisih waktu perjalanan antara Ali dan Budi = jam. Selisih waktu itulah yang nantinya akan dipakai sebagai dasar perhitungan KPK. Perhatikan bahwa: Ali jam menempuh jarak 0 km jam = 0 km = 30 km. 8

29 Budi jam menempuh jarak 30 km jam = 30 km = 45 km. Berdasarkan uraian diatas apabila dibuat diagram, pengerjaannya sebagai berikut : Ali jam jam jam km Budi jam jam Diagram jarak, waktu, dan kecepatan yang digambarkan di atas ternyata cukup dapat memberikan kejelasan bahwa : a) Budi menyusul Ali tepatnya pada km 90 = KPK (30, 45) b) Waktu Budi menyusul Ali adalah Untuk Ali waktu dihitung dari pukul 07.00, yakni pukul jam = jam =.30 Untuk Budi waktu dihitung dari pukul 08.30, yakni pukul jam = jam =.30 Contoh 3 Ali bersepeda motor berangkat dari kota P pukul menuju kota Q yang berjarak 50 km dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Pada saat yang bersamaan Budi berangkat dari kota Q menuju kota P dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Pertanyaan a. Pada km berapa dan pada pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan? b. Jika waktu berangkatnya tidak bersamaan, yaitu Ali berangkat pukul sementara Budi berangkatnya pukul Pada km berapa dan pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan? Jawab : P 00 km 50 km jm 50 km jm Q km/jam 60 km/jam Ali Budi 9

30 a. Ali jam menempuh jarak 40 km (dari kiri) Budi jam menempuh jarak 60 km (dari kanan) Ali dan Budi jam menempuh jarak 00 km. Karena jarak yang harus mereka tempuh berdua = 50 km maka waktu tempuhnya = 50 jam = jam. Itu berarti Ali dan Budi berpapasan di jalan setelah keduanya 00 melakukan perjalanan selama jam yakni pukul jam = Tempat keduanya berpapasan adalah km Ali = 40 jam = 00 km (dari kiri/dari kota P) jam km Budi = 60 jam = 50 km (dari kanan/dari kota Q) jam + Total = 50 km b. P 60 km R 90 km Q km/j 40 km/j 60 km/j Ali Budi Karena waktu berangkatnya tidak sama maka perhitungannya dimulai dari saat keduanya mulai berjalan, berarti pukul yaitu jam dari Ali mulai bergerak barulah Budi mulai bergerak. Dari pukul km Ali telah menempuh jarak 40 jam = 60 km (tiba di R). Kini jarak yang harus jam ditempuh keduanya = 50 km 60 km = 90 km. Karena jam Ali dan Budi menempuh total jarak 00 km maka waktu pertemuannya 90 dicapai saat keduanya menempuh perjalanan selama jam =,9 jam = jam menit. Waktu keduanya berpapasan adalah Ali = pukul jam + jam 54 menit 30

31 Budi = jam 30 menit + jam 54 menit = 0.4 = jam 54 menit = 0.4 Jarak keduanya berpapasan adalah km 9 Ali = 60 km + 40 jam = ( ) km = 36 km jam 0 Budi km 9 = 60 jam = ( ) km = 4 km jam 0 Total = 50 km + Latihan 3. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut a. 9 dan b. 8 dan 0 c. 8 dan 6 d. dan 6 e. 0 dan 4 f. 0 dan 30 g. 0 dan 5 h. 40 dan 60 i. 50 dan 60 j. 80 dan 0 k. 4, 6, dan 9 l. 8,0, dan m. 40,50, dan 60 n. 00,400, dan 600 o. 50,300, dan Ali berkunjung ke bank sekali dalam 0 hari, Budi sekali dalam 5 hari. Jika sekarang ia bertemu di bank itu, dalam berapa hari lagi mereka akan saling bertemu kembali pada bank tersebut? 3. Misalkan tersedia cat-cat dalam kemasan kaleng-kaleng kecil. Cat merah 50 kaleng, cat putih 0 kaleng dan cat kuning 90 kaleng. Jika cat-cat itu akan dibagi rata (sama banyak) pada para tukang cat, maksimal kepada berapa orang cat-cat itu dapat dibagi rata? 4. Ali bersepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan 0 km/jam, berangkat pukul satu setengah jam kemudian Budi menyusul berangkat dari tempat yang sama (kota A) dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pukul berapa Budi menyusul Ali? 5. Dodi bersepeda motor dari kota A ke kota B yang berjarak 5 km dengan kecepatan 0 km/jam berangkat pukul Pada saat yang bersamaan Eka berangkat dari kota B ke kota A denagn kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapa keduanya berpapasan di jalan? 6. Jika untuk soal nomor (jarak kota A ke kota B adalah 5 km) Eka berangkat dari kota B menuju kota A pukul dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Sementara Dodi berangkatnya dari kota A menuju kota B pada pukul Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapa Dodi dan Eka berpapasan di jalan? 3

32 BAB IV BILANGAN PERSEGI, BILANGAN KUBIK, DAN PENARIKAN AKAR A. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat menguadratkan suatu bilanagan asli, memangkatkan tiga, menarik akar kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat tiga suatu bilangan kubik hingga bilangan B. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran menguadratkan suatu bilanagan asli, memangkatkan tiga, menarik akar kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat tiga suatu bilangan kubik hingga bilangan C. BILANGAN KUADRAT/PERSEGI (SQUARE NUMBER) Sebagai pendekatan kontekstual, pertama perhatikan pola pada 4 persegi berikut,,, A... I II III IV Perhatikan bahwa panjang sisi dan luas dari masing-masing persegi itu adalah: Gambar I : Panjang sisi =, Luas persegi I = Gambar II : Panjang sisi =, Luas persegi II = 4 Gambar III : Panjang sisi = 3, Luas persegi III = 9 Gambar IV : Panjang sisi = 4, Luas persegi IV = 6. Selanjutnya bilangan-bilangan, 4, 9, 6,... dan seterusnya masing-masing disebut bilangan persegi. Amati bahwa hubungan antara pola persegi dengan luas persegi itu (banyaknya persegi satuan penyusunnya) adalah seperti berikut. Pola,,,,... Luas, 4, 9, 6,... 3

33 Bila bilangan-bilangan persegi tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8, 00,... Pola itu dikenal sebagai pola bilangan persegi, dan bilangan yang tertulis disebut 0 bilangan persegi yang pertama. Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan persegi berikutnya atau bagaimana kita dapat menentukan bilangan-bilangan persegi yang lain? Jawabannya adalah pola dari, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8, 00,... sama dengan,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,... Sehingga bilangan persegi (square number) juga disebut sebagai bilangan kuadrat yakni bilangan yang diperoleh dengan menguadratkan suatu bilangan asli. D. BILANGAN KUBIK (CUBE NUMBER) Sebagai ilustrasi, perhatikan pola dari 4 kubus dengan 4 macam ukuran seperti berikut.,,,,... I, II, III, IV,... Jika disediakan sejumlah kubus satuan, maka untuk membentuk kubus yang panjang rusuknnya satuan, satuan, 3 satuan, 4 satuan, dan seterusnya masing-masing akan diperlukan sebanyak, 8, 7, dan 64 kubus satuan. Sehingga hubungan antara panjang rusuk dan volum dari masingmasing kubus itu adalah: Gambar I : Panjang rusuk = satuan, Volum kubus I = satuan Gambar II : Panjang rusuk = satuan, Volum kubus II = 8 satuan Gambar III : Panjang rusuk = 3 satuan, Volum kubus III = 7 satuan Gambar IV : Panjang rusuk = 4 satuan, Volum kubus IV = 64 satuan. Selanjutnya, 8, 7, 64,... dan seterusnya masing-masing disebut bilangan kubik. Dengan begitu Bilangan kubik bersesuaian dengan volume kubus yang ukuran panjang rusuknya bulat. 33

34 9 6.. Hubungan antara pola kubus dan volum kubus yang ditunjukkannya adalah sebagai berikut: Pola,,,,... Volum, 8, 7, 64,... Bila bilangan-bilangan kubik tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti, 8, 7, 64, 5, 6, 343, 5, 79, 000,... Kesepuluh bilangan yang tertulis di atas disebut 0 bilangan kubik yang pertama. Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan kubik berikutnya atau bagaimana kita dapat menentukan bilangan-bilangan kubik lainnya? Jawabannya adalah pola dari, 8, 7, 64, 5, 6, 343, 5, 79, 000,... sama dengan 3, 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 7 3, 8 3, 9 3, 0 3,... sehingga bilangan kubik (cube number) juga disebut sebagai bilangan berpangkat tiga yaitu bilangan yang diperoleh dengan memangkatkan tiga suatu bilangan asli. B. TEKNIK MENGUADRATKAN DAN MENARIK AKAR. Teknik Menguadratkan Dilanjutkan Menarik Akar Kuadrat Teknik menguadratkan telah dibahas di bagian depan, teknik menarik akar (akar kuadrat) pertama kali ditemukan oleh Calandra (seorang matematikawan India) pada tahun 49. Untuk menarik akar (akar kuadrat ) digunakan teknik seperti berikut. 34

35 Teknik menarik akar pisahkan angka-angka dari bilangan yang ditarik akarnya dua angka-dua angka dari satuan (bagian pengelompokan paling kanan) kerjakan mulai dari angka paling kiri (setelah ada pemisahan) nyatakan angka paling kiri itu sebagai perkalian dua bilangan yang sama besar, hasil kali bilangan yang sama itu tidak boleh melebihi bilangan yang dimaksud, sama adalah yang paling diharapkan. cari sisa dari bilangan pertama dikurangi dengan hasil kali dua bilangan sama yang dikalikan itu, kemudian turunkan sekaligus dua angka yang ada di bagian angka paling kanan angka pertama yang diproses untuk dijadikan sebagai angka kedua yang akan diproses jumlahkan dua bilangan sama besar itu untuk disambungkan dengan suatu bilangan angka yang bila dikalikan dengan bilangan angka yang dimaksud itu, hasilnya tidak melebihi bilangan pada angka kedua yang diproses cari sisa dari bilangan pada kelompok angka kedua yang diproses dikurangi dengan hasil kali yang dimaksud di atas. Contoh Teknik menarik akar 06 = = = = () = = = = 4 36 Sisa terahir = 0 0 Maka: = 06 35

36 Contoh 45 = Teknik menarik akar = = = ( = = = = Sisa terakhir = Maka: = 45 Agar anda lebih tertantang cobalah untuk membuat soal sendiri misal 45 =, carilah hasilnya dengan teknik seperti yang telah dicontohkan di atas kemudian gunakan teknik penarikan akar yang dimaksud. 3.. Teknik Menarik Akar Pangkat Tiga Bilangan Kubik Berbeda dengan penarikan akar kuadrat, penarikan akar pangkat tiga tidak memiliki teknik yang bersifat umum seperti halnya penarikan akar pangkat dua (akar kuadrat). Sudah banyak matematikawan yang berusaha ke arah itu diantaranya adalah matematikawan Italia Gerolamo Cardano (50 576) di tahun 535. Namun hingga kini belum ditemukan teknik yang berlaku secara umum. Ada suatu teknik menarik akar pangkat tiga dan teknik itu hanya berlaku efektif untuk penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik hingga Teknik yang dilakukan menggunakan daftar seperti berikut. 36

37 Bilangan Kubik Dasar Bilangan Kubik Ribuan Contoh penggunaan tabel Tentukan akar pangkat tiga dari bilangan kubik 03.83, yakni tentukan = Jawab : Letak bilangan kubik adalah < < 5.000, maka 40 < < 50 atau = empat puluh sekian = Langkah-langkah penyelidikan lebih lanjut adalah 4 Lihat angka terakhir dari bilangan kubik itu Angka terakhir dari adalah 3 Lihat bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya sama dengan itu Bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya 3 adalah 343 Lihat akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar yang dimaksud Berdasar tabel, diperoleh = 7. Maka satuannya = 7, sehingga disimpulkan bahwa Puluhannya = = 47. Satuannya 7 37

38 Latihan 4. Hitunglah penguadratan berikut secara mencongak dengan cara seperti di atas. Setelah hasil penguadratan diperoleh tarik akarnya dan periksa hasilnya. a. 4 =... b. 3 = c. 46 = d. 07 = e. 45 =. Tentukan luas masing-masing persegi yang panjang sisinya diketahui seperti berikut a. b. c. d. 4 cm 5 cm 55 m 94 m 3. Tentukan panjang sisi masing-masing persegi yang luasnya diketahui seperti berikut: a. b. c. d. 69 cm 784 cm 8.5 cm 99.5 cm 4. Tentukan volume kubus yang panjang rusuk-rusuknya adalah a. 4 cm b. 5 cm c. 45 dm d. 75 dm e. 8 satuan f. 8 satuan g. 53 satuan h. 65 satuan. 5. Hitunglah akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik a b c d e f g h Tentukan panjang rusuk kubus yang volumenya a cm 3 b cm 3 c cm 3 d cm Dengan menggunakan cara menguadratkan seperti yang telah dicontohkan sebelumnya, cobalah untuk menguadratkan bilangan-bilangan berikut kemudian tariklah akarnya a. 9 b. 6 c. 48 d. 57 e. 65 f. 75 g. 85 h. 88 i.96 j. 08 k. 5 l Dengan menggunakan sifat a = (a + b)(a b) + b, sifat a 3 = a a, dan perkalian menggunakan batang Napier, tentukan (coba tanpa kalkulator) pangkat tiga dari : a. 6 b. 5 c. 36 d. 49 e. 64 f. 8 Setelah hasil ditemukan cobalah tarik akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan yang Anda hasilkan itu. 38

39 9. Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah akar pangkat tiga dari masing-masing bilangan kubik berikut. a. 97 e i b. 744 f j c. 493 g k d. 96 h l

40 BAB V BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA A. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta diklat dapat menuliskan letak suatu bilangan bulat pada suatu garis bilangan jika titik pangkal 0 dari bilangan bulat itu diketahui dan mencari hasil operasi antara dua bilangan bulat. B. KOMPETENSI Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan bulat dan operasinya. C. BILANGAN BULAT Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang utuh dalam arti bukan berupa pecahan (sumber kutipan). Dengan demikian bilangan bulat dapat berupa bilangan positip, nol, maupun bilangan negatip. Bilangan negatip dipandang sebagai lawan dari bilangan positip demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh misalnya lawan dari 5 adalah 5 (baca negatip lima ) sedangkan lawan dari adalah, demikian pula untuk yang lainnya. Dipandang dari wawasan tentang himpunan, himpunan bilangan bulat merupakan perluasan dari himpunan bilangan cacah. Perluasan yang dimaksud adalah keanggotaannya. Sehingga himpunan yang diperluas itu menjadi tertutup terhadap operasi pengurangan. Dalam bentuk himpunan, himpunan bilangan bulat yang dimaksud adalah B = {, -3, -, -, 0,,, 3, }. Apabila digambarkan dengan garis bilangan bentuknya akan seperti berikut: D. OPERASI PADA BILANGAN BULAT. Penjumlahan dan Pengurangan Operasi yang akan diterapkan pada bilangan bulat adalah (+,,, :) yakni penjumlahan, pengurangan, dan pembagian. Khusus untuk pembagian tidak diperlukan atas semua bilangan bulat tetapi hanya dikhususkan pada bilangan-bilangan tertentu sehingga hasil baginya juga bilangan bulat. Karena penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat bersesuaian dengan kaidah perhitungan vektor berdimensi satu, maka cara yang mudah, cukup menarik, dan mudah ditangkap oleh siswa SD, cara penanaman konsepnya adalah sebagai berikut: Bermula dari titik pangkal nol dan menghadap ke kanan positip maju tambah terus Bilangan negatip mundur Operasi nol diam kurang balik arah 40