Persamaan Trigonometri

Transkripsi

1 Page f Kegiatan Belajar A. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar, diharapkan siswa dapat a. Menentukan penyelesaian persamaan trignmetri b. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trignmetri B. Uraian Materi Persamaan Trignmetri a. Sin sin p, cs Cs p, tan tan p Pada dasarnya fungsi trignmetri adalah merupakan fungsi pridik, yaitu fungsi yang setiap satu pride, nilai-nilainya berulang, maka untuk menyelesaikan persamaan trignmetri dengan sudut derajat dapat digunakan sifat-sifat: Sin a sin p maka p k. 0 atau (0 p ) k. 0 Cs cs p maka p k. 0 atau p k. 0 (0 p ) k. 0 Tan Tan p maka p k. 0 Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat: Sin a sin p maka p k. atau ( p ) k. Cs a Cs p maka p k. atau - p k. ( p ) k. Tan tan p maka p k. Cnth. Tentukan nilai yang memenuhi persamaan sin sin 45, untuk 0 0 Sin sin 45 atau Sin sin (0 45) 45 0 k. 0 atau (0 45 ) k.0 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

2 Page f Untuk k 0 maka 45 0.(0 ) atau 5 0.(0 ) 45 atau 5 Untuk k, maka 45 (0 ) atau 5 (0 ) 405 atau 495 untuk k tidak memenuhi Jadi nilai yang memenuhi persamaan sin sin 45 adalah {45, 5 }. Tentukan nilai yang memenuhi persamaan cs, untuk 0 70 cs cs cs 0 0 k. 0 atau - 0 k. 0 Untuk k 0, maka 0 0 (0 ) atau (0 ) 0 Untuk k, maka atau - 0 (tidak memenuhi) 0 (0 ) atau atau 0 Untuk k, maka 0 (0 ) atau - 0 (0 ) 0 70 atau (tidak memenuhi) Untuk k, maka atau (0 ) atau - 0 (0 ) 0 (tidak memenuhi) atau 050 (tidak memenuhi) Jadi nilai yang memenuhi adalah {0, 0, 90, 90 } Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

3 Page f. Nilai yang memenuhi persamaan sin, untuk 0 0 sin sin ½ sin sin 0 0 k. 0 atau (0 0 ) k. 0 Untuk k 0, maka 0 atau 50 Untuk k, maka 0 0 atau (tidak memenuhi) atau 50 (tidak memenuhi) Jadi nilai yang mmenuhi adalah {0, 50 } 4. Nilai dari sin.40 adalah sin.40 sin (0 0 ) sin Nilai dari sin adalah 7 sin 7 sin sin. sin Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

4 Page 4 f Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( ) 0, ct tan untuk ( ) ( ) ( ) ( ). 7.. tan tan ct tan k k k Untuk k 0, maka 7 Untuk k, maka ( ) memenuhi tidak 7 Jadi nilai yang memenuhi adalah 7 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari ; cs sin < untuk 4. 4 sin sin 0 0 < < < < k

5 Page 5 f Untuk k -, maka 9 ( )( ) ( tidak memenuhi) Untuk k -, maka Untuk k 0, maka atau atau 5 atau Untuk k, maka 9 atau 5 ( ) atau 9 5 ( )( ) ( tidak memenuhi) ( tidak memenuhi) atau ( tidak memenuhi) Jadi nilai yang memenuhi adalah 5,,, c. Persamaan Trignmetri bentuk a sin b cs c Untuk menyelesaikan persamaan trignmetri bentuk a sin b cs c adalah dengan cara menggubah bentuk a sin b cs c menjadi k cs ( ά) c. Untuk menggubah bentuk tersebut tersebut menggunakan aturan berikut : Cs ( ά) cs. Cs ά sin. sin ά Sehingga: a sin b cs k cs ( ά) k (cs. cs ά sin. sin ά) (k. cs ά) cs (k. sin ά) sin Maka a k sin ά dan b k. cs ά kita telah mempelajari identitas trignmetri bahwa cs ά sin ά, maka Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

6 Page f a b (k sin ά) (k. cs ά) a b k (sin ά cs ά) a b k karena a k. sin ά dan b k. cs ά maka a sinα dan k sinα a tanα csα b b csα, maka berlaku k Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa. untuk menentukan nilai k adalah k a b. untuk menentukan ά adalah α tan a b Jadi untuk menyelesaikan persamaan a sin b cs c adalah dengan menyelesaikan persamaan.cs( ) α k a b a a tanα α tan dengan syarat b b k c k c k k c k Cnth. Tentukan himpunan penyelesaian dari cs sin ; untuk 0 0. Persamaan cs sin diubah ke bentuk k.cs ( ά) c a ; b ; c k k a k α tan α tan b ( ) α 45 α 5 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

7 Page 7 f cs sin k 0 k cs cs 45 ( 45 ) ( 45 ) ( 45 ) cs 45 atau cs( 45 ).cs atau cs 0 90 k.0 atau ( atau 0 ( TM ) atau 45 atau 0 Jadi himpunan penyelesaian adalah {0, 90, 0 } cs 5 cs 5 ) k.0. Tentukan batas-batas p agar persamaan sin p.cs p dapat diselesaikan Agar persamaan sin p.cs p c k c k k c k dapat diselesaikan syaratnya adalah ( p ) ( p) p p p p p 0 ( p )( p ) p 0 0 Jadi agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya p. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cs - sin untuk 0 < 0 cs sin k k ( ) ( ) k cs ( α ) c Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

8 Page f tanα α 50 α 0 cs cs cs ( 0) ( 0) ( 0 ) cs 45 atau cs( 0 ) k.0 k 0 5 atau k 75( TM ) 0 5 atau k.0 45( TM ) cs 5 Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {5, 5 } c. Persamaan Trignmetri yang Dapat Diselesaikan Dengan Knsep Persamaan Kuadrat Persamaan trignmetri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan knsep persamaan kuadrat adalah persamaan trignmetri yang menggandung sudut rangkap. Untuk sudut rangkap yaitu: sin sin cs cs sin cs sin cs tan tan tan Cnth. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin sin 0; untuk 0 sin sin 0 Kita mislakan sin p, maka p p 0 (p -)(p ) 0 p 0 atau p 0 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

9 Page 9 f p ½ atau p - sehingga Untuk p ½ sin ½ sin sin atau sin sin k. atau k. 5 k 0 atau 7 k ( TM ) atau ( TM ) Untuk p - sin sin sin k. 5 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah,,. Nilai yang memenuhi persamaan cs 5 cs dengan 0 < < 0 adalah cs 5 cs Bentuk cs cs ( cs ) 5 cs cs 5 cs cs 5 cs 0 Missal cs m m 5 m 0 (m )(m ) 0 m 0 atau m 0 m - ½ atau m Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

10 Page 0 f Untuk m - ½ cs m cs - ½ cs cs 0 0 (0-0 ) k. 0 atau (0 0 ) k. 0 k 0 0 atau 40 k 0 40 atau 00 Untuk m cs (tidak ada yang mmenuhi) Jadi himpunan penyelesaian adalah {0, 40 }. Himpunan penyelesaian persamaan cs sin untuk 0 0 adalah cs sin Bentuk cs sin sin sin 0 - sin sin 0 sin sin 0 Missal sin y y y 0 y(y ) 0 y 0 atau (y ) 0 y 0 atau y ½ Untuk y 0 Sin 0 Sin sin 0 atau sin sin 0 0 k. 0 atau 0 k. 0 0 atau 0 Untuk y ½ Sin sin 0 atau sin sin 50 0 k. 0 atau 50 k. 0 0 atau 50 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0,0, 50, 0 } Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

11 Page f Pertidaksamaan Trignmetri pertidaksamaan trignmetri adalah sama seperti penyelesaian pada pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan kuadrat, yang sudah kita pelajari. Jadi untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trignmetri terlebih dahulu kita menentukan titik pembuat nl atau yang sering di sebut juga dengan titik kritis. Untuk menentukan titik kritis maka pertidaksamaan trignmetri kita ubah dahulu bentuknya menjadi persamaan trignmetri, setelah mendapatkan titik kritis maka langkah selanjutnya adalah mengmbil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya. Cnth. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin <, untuk 0 0 sin sin k.0 k 0 90 titik uji/sampel 0 0 sin 0 dan 0 ( ) k.0 0 menghasilkan negatif sin0 0 0 menghasilkan negatif Daerah Negatif ( - ) Daerah Negatif ( - ) jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 } < < < < 0. Tentukan penyelesaian dari cs ( 45 ) < ½, 0 0 kita tentukan titik pembuat nl/ titik kritis, sehingga kita ubah dahulu menjadi persamaan cs ( 45 ) ½ cs ( 45 ) ½ 0 cs ( 45 ) cs 0 atau cs ( 45 ) cs atau atau atau 45 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

12 Page f jadi titik kritisnya adalah 05 dan 45 langkah selanjutnya adalah kita ambil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya. Sebagai titik uji ambil 90, 5 dan 0 Untuk 90 kita subtitusikan ke dalam cs ( 45 ) ½ 0 cs (90 45 ) ½ 0 0 (menghasilkan psitif) 90 O 05 O 5 O 45 O 0 O Untuk 5 kita subtitusikan ke cs ( 45 ) 0 ½ cs (5 45 ) ½ 0 0 (menghasilkan negatif) Untuk 0 kita subtitusikan ke cs ( 45 ) ½ 0 cs ( ) ½ 0 (menghasilkan psitif) Karena tandanya kurang dari maka yang diambil adalah daerah yang bernilai negatif. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 05 < < 45 }. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin cs <, untuk 0 0 sin cs < sin cs k.cs( α) k k tanα α 0 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

13 Page f.cs( 0 cs( 0 ) cs 0 ( 0 ) cs0 atau cs( 0 ) 90 0 ) atau Jadi titik kritisnya adalah 90 dan 00 atau misalkan titik uji yang kita ambil adalah 0 0, 50 dan 0 cs 00 Untuk 0 disubtitusikan ke cs ( 0 ) ½ 0 cs 0 ½ 0 (menghasilkan psitif) 0 O 90 O 50 O 0 O 0 O Untuk 50 disubtitusikan ke cs ( 0 ) ½ 0 cs 0 ½ 0 (menghasilkan negative) Untuk 0 disubtitusikan ke cs ( 0 ) ½ 0 cs 0 ½ 0 (menghasilkan psitif) Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah { 90 < < 0 0 } 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari cs 4 sin < 0, untuk 0 < < cs 4 sin < 0 cs 4 sin 0 misalkan sin m, maka ( sin ) 4 sin 0 - sin 4 sin 0 sin 4 sin 0 m 4m 0 (m ) (m ) 0 m - atau m - Sin - Sin sin Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

14 Page 4 f Jadi titik kritisnya adalah misalkan kita ambil titik ujinya adalah dan 5 Untuk disubtitusikan ke sin 4sin 0 5.sin 4. sin 0 (½) 4 (½) 0 (menghasilkan psitif) 5 Untuk disubtitusikan ke sin 4sin sin 4 sin ( menghasilkan psitif ) Sehingga jika kita gambarkan pada garis bilangan adalah Maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki himpunan penyelesaian Jadi himpunan penyelesaiannya adalah Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

15 Page 5 f C. Rangkuman. Persamaan trignmetri, untuk sudut bersatuan derajat berlaku : Sin a sin p maka p k. 0 atau (0 p ) k. 0 Cs cs p maka p k. 0 atau p k. 0 Tan Tan p maka p k. 0. Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat: Sin a sin p maka p k. atau ( p ) k. Cs a Cs p maka p k. atau - p Tan tan p maka p k.. Persamaan trignmetri a sin b cs c dapat diubah menjadi k cs ( ά) k a b α tan a b. Persamaan a sin b cs c adalah dengan menyelesaikan persamaan k.cs ( ά) dengan syarat c k D. Lembar Kerja. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut : a. cs, untuk 0 0 d. cs 0,5; untuk 0 b. cs 0,5; untuk 0 70 e. tan ; untuk 0 c. sin ; untuk 0 0 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

16 Page f. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. sin sin 5 ; untuk 0 0 b. tan ( 5 ) tan 00 ; untuk c. sin cs ; untuk 5 d. cs cs ; untuk 0 4 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

17 Page 7 f. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, jika 0 0 : a. cs sin d. 4 cs sin b. 5 cs 4 sin e. sin cs c. cs sin 4. Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan-persamaan berikut dapat diselesaikan a. m cs (m ) sin m c. m sin m cs b. cs ( m) sin m d. cs m m m sin m Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

18 Page f 5. Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0 0 a. cs c. cs cs 0 b. tan tan 0 d. cs - sin. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0 0 a. sin < d. tan 0 b. cs ( 0 ) e. cs > 0 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

19 Page 9 f 7. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, 0 0 a. cs sin > b. sin cs. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0 0 a. sin sin 0 b. cs sin Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

20 Page 0 f E. Tes Frmatif. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 0, 0 adalah 5 a., d., b., e. 5, c.,. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan cs ½, untuk 0 0 adalah a d. 5 5 b e c Himpunan penyelesaian sin ( 0 ) ½ untuk 0 0 adalah a. { 0, 0, 0, 40 } d. { 0, 90, 70 } b. { 0, 0, 50, 0 } e. { 0, 90, 0, 40 } c. { 0, 0, 0 } 4. dari cs, untuk 0 0 adalah.. a. 50 dan 70 d. 40 dan 50 b. 40 dan 70 e. 70 dan 0 c. 50 dan 0 5. Nilai dari cs 0 adalah a. d. b. e. c. - sin 45 a. 75, 50 d. 0, 75, 5, 0 b. 75, 5 e. 0, 05, 5, 0 c. 05, 5. persamaan ( ), untuk 0 0 adalah.. 7. Himpunan penyelesaian dari persamaan cs sin untuk 0 < 0 adalah a. { 75, 5 } d. { 5, 45 } b. { 5, 5 } e. { 5, 75 } c. { 75, 45 }. Batas-batas nilai p, agar persamaan ( p ) cs ( p ) sin p untuk R, dapat diselesaikan adalah Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

21 Page f a. p d. p atau p 5 b. p 5 e. p 5 atau p c. p atau p 9. Agar persamaan cs m sin 5 dapat diselesaikan maka nilai m adalah. a. m d. m atau m b. m e. m atau m c. 0 m 0. Selisih dari anggta himpunan penyelesaian persamaan cs sin, untuk 0 0, adalah: a. 90 d. 0 b. 5 e. 40 c. 0. Nilai tan yang memenuhi persamaan cs 7 cs 0 adalah. a. d. ½ b. ½ e. /5 5 c. /. Himpunan penyelesaian persamaan cs sin cs 0 dalam interval 0, adalah... 5 a..,,, d., b.,,, e., c.,,, 4 4. Nilai tan yang memenuhi persamaan cs 5 cs - 0, untuk < < adalah a. d. b. e. c. 4. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan cs ½, untuk 0 0 adalah a d. 5 5 b e c Himpunan penyelesaian dari sin > untuk 0 0 adalah a. 0 < < 0 d. 0 < < 0 b. 0 < < 50 e. 70 < < 0 Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm

22 Page f c. 50 < < 0. Himpunan penyelesaian dari.sin, 0 < < 0 adalah a. { } d. { } b. { } e. { 95 5 } c. { } 7. Himpunan penyelesaian dari.sin cs < ; untuk 0 adalah 5 5 a. 0 < atau < d. 0 < atau < b. 0 < atau < e. 0 < atau < 4 c. 0 < atau < 4. dari pertidaksamaan trignmetri sin sin ; 0 a. 0 5 d. b. e. 4 4 c Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan 0, adalah. a. { 90 5 atau } b. { atau 5 70 } c. { 05 5 atau 95 5 } d. { 90 < 5 atau 95 < 70 } e. { 05 < 5 atau 95 < 5 } 0. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan dengan adalah. a. { 7 atau 5 4 } d. { 7 < 5 4 } b. { 7 atau 4 5 < } e. { } c. { < 4 5 atau 4 5 < Mdul Matematika dasar Disusun leh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wrdpress.cm, muh_abas@yah.cm