10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Transkripsi

1 3 Variabel Random Pengantar Variabel Random Variabel Random Diskrit Nilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random Diskrit Variabel Random Kontinyu Kovariansi dan Korelasi Distribusi Bivariat Moment Generating Function Fungsi Transformasi The Law of Large Number /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3- Pengantar Output sebuah proses dapat dikategorikan defect (B) dan baik (G). Dari 4 produk berurutan akan ada ***= 4 = 6 kemungkinan kemunculan, sehingga membentuk ruang sample: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Jika kemunculan defect dan baik sama (equally likely) [P(G)=P(B) = /], dan sebuah kemunculan independen dengan kemunculan berikutnya, maka probabilitas dari setiap kemunculan: (/)(/)(/)(/) = /6. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI

2 3- Variabel Random () Jumlah produk baik (G) dari 4 kemunculan adalah: BBBB () BGBB () GBBB () GGBB () BBBG () BGBG () GBBG () GGBG (3) BBGB () BGGB () GBGB () GGGB (3) BBGG () BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4) Setiap kemunculan dinyatakan dengan sebuah nilai numerik Semua kemunculan diberikan nilai numerik Nilai yang diberikan berbeda untuk setiap kejadian urutan Jumlah produk baik (G) adalah sebuah variabel random: Variabel Random adalah sebuah fungsi yang memberikan nilai numerik tunggal (tetapi variabel) pada setiap elemen dalam ruang sample. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3 Variabel Random () Karena variabel random = 3 terjadi dengan 4 urutan BGGG, GBGG, GGBG, atau GGGB, P( = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/6 Distribusi probabilitas dari sebuah variabel random membentuk tabel semua nilai variabel random dan probabilitasnya. P() /6 4/ /6. 3 4/6. 4 / /6= Probability Distribusi probabilitas D istribution dari ofvariabel the Numrandom ber ofjumlah G irls inproduk Four Bbaik irths P() Number of girls, Jumlah produk baik /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 4

3 Variabel Random (3) Percobaan melempar dua buah dadu, ada 36 hasil. Variabel random menyatakan jumlah angka sisi dadu: ,,,3,4,5,6 8,,,3,4,5,6 9 3, 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 4, 4, 4,3 4,4 4,5 4,6 5, 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 6, 6, 6,3 6,4 6,5 6,6 P() * /36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 3/36 /36 /36 p() ProbabilityDistributionof Sumof Two Dice *Fungsi: P( ) = (6 (7 ) )/36 /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 5 Variabel Random Diskrit-Kontinyu Sebuah variabel random diskrit: Memiliki jumlah nilai yang terhitung di Memiliki ruang di antara nilai yang berurutan Memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual Sebuah variabel random kontinyu: Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatas di Bergerak secara kontinyu di antara nilai-nilai Tidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 6

4 3-3 Variabel Random Diskrit Distribusi probabilitas untuk variabel random diskrit memenuhi dua kondisi berikut. P( ) for all values of.. all P () = [ Corollary: P ( ) ] /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 7 Fungsi Distribusi Kumulatif () Fungsi distribusi kumulatif, F(), dari variabel random diskrit adalah: F () = P ( ) = Pi () all i P() F() Cumulative Probability Distribution of the Number of Switches F() /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 8

5 Fungsi Distribusi Kumulatif () Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch P() F() P () P( 3) = F( 3) /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 9 Fungsi Distribusi Kumulatif (3) Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch: P() F() Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch: P() F( ) P( > ) = F( ) /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI

6 Fungsi Distribusi Kumulatif (4) Probabilitas bahwa ada dari satu sampai tiga switch: P() F() P() Probabilitas ada satu sampai tiga switch F( 3) = F( 3) F( ) F( ) F( 3) /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3-4 Nilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random Diskrit Mean dari distribusi probabilitas adalah ukuran pemusatan sebagai rata-rata dari distribusi frekuensi, yang juga adalah rata-rata terbobot dari setiap nilai variabel random, dimana nilai probabilitas merupakan bobotnya..3 Mean juga merupakan nilai harapan (atau ekspektasi) dari sebuah variabel random. Nilai ekspektasi dari sebuah variabel random diskrit adalah jumlah setiap nilai yang dikalikan dengan nilai probabilitasnya: µ = E( ) = P( ) all P() P() = E()=µ /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI

7 Sebuah Fair Game Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaat sebesar Rp. juta, sedangkan jika muncul sisi belakang akan rugi sebesar Rp. juta. Nilai ekspektasi dari persoalan tersebut adalah E() =. Sebuah percobaan dengan ekspektasi dikenal sebagai sebuah fair game. P() P() = E()=µ - /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3 Nilai Ekspektasi () Nilaiekspektasidarisebuahfungsivariabel random diskrit adalah: Eh [ ( )] = h ( ) P ( ) all Contoh: Penjualan bulanan diketahui mengikuti distribusi probabilitas seperti di samping. Misalkan perusahaan mengeluarkan ongkos tetap bulanan sebesar $8 dan setiap item menghasilkan keuntungan $. Tentukan ekspektasi keuntungan h() bulanan. Number of items, P() P() h() h()p() /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 4

8 Nilai Ekspektasi () Eh [( )] = h () P () = 54 all Number of items, P() P() h() h()p() Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi linier sebuah variabel random: E(a+b)=aE()+b Dalam contoh ini: E(-8)=E()-8=()(67)-8=54 /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 5 Variansi dan Deviasi Standar () Variansi dari sebuah variabel random adalah ekspektasi kuadrat penyimpangan dari rata-rata (mean): σ = V( ) = E[( µ ) ] = ( µ ) P( ) all = = E( ) [ E( )] P( ) P( ) all all Deviasi standar dari sebuah variabel random adalah akar kuadrat dari variansi: σ = SD( ) = V( ) /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 6

9 Variansi dan Deviasi Standar () Number Number of of Switches, Switches, P() P() P() P() (-µ) (-µ) (-µ) (-µ) P(-µ) P(-µ) P() P() σ = V( ) = E[( µ ) ] = ( µ ) P ( ) =. all = E( ) [ E( )] = all P ( ) P ( ) all = =. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 7 Variansi dan Deviasi Standar (3) Variansi dari fungsi linier dari sebuah variabel random: Va ( + b) = av ( ) = aσ Number of items, P() P() P() σ = V( ) = E( ) [ E( )] = P ( ) P ( ) all all = ( ) = σ = SD( ) = 6 = V( 8) = ( ) V( ) = ( 4 )( 6 ) = 644 σ ( 8) = SD( 8) = σ = ( )( ) = /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 8

10 Sifat-sifat Mean dan Variansi Mean atau nilai ekspektasi dari penjumlahan variabel random adalah penjumlahan nilai ekepektasinya: µ = E( + Y) = E( ) + EY ( ) = µ + µ ( Y + ) Y Contoh: E() = $35 dan E(Y) = $ E(+Y) = $55 Variansi dari penjumlahan variabel random yang independen adalah jumlah variansinya: σ ( + Y ) = V ( + Y) = V ( ) + V ( Y) = σ + σ Y jika dan hanya jika dan Y independen. Contoh: V() = 84 dan V(Y) = 6 V(+Y) = 44 /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 9 Teorema Chebyshev Teorema Chebyshev untuk distribusi probabilitas adalah sama halnya untuk distribusi frekuensi. Untuk sebuah variabel random dengan mean m, deviasi standar s, dan untuk setiap k > berlaku: P ( µ < kσ) k 3 = = = 75% 4 4 Sekurangnya 8 berada deviasi standar = = = 89% dari mean 5 4 = = = 94% /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI

11 3-5 Variabel Random Kontinyu Sebuah variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval. Probabilitas variabel random kontinyu ditentukan oleh olehfungsi fungsidensitas (probability density function), dinyatakan oleh olehf(), dengan dengansifat sifatsbb: sbb:.. f() f() > untuk untuksetiap setiap.... Probabilitas bahwa bahwa berada beradadiantara a dan danb adalah adalahluas luasarea area di dibawah bawahkurva f() f() di diantara antaratitik titika dan danb. b Luas Luastotal area area di dibawah bawahkurva kurvaf() adalah adalah.. Fungsi Fungsidistribusi kumulatif odari odarivariabel random kontinyu adalah: adalah: F() F() = P( P( < ) ) = area area di dibawah bawahf() diantara nilai nilaiterkecil terkecilyang mungkin dari dari (seringkali ) ) dan dantitik titik.. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI Fungsi Densitas dan Distribusi Kumulatif F() F(b) F(a) f() a b } P(a b)=f(b) - F(a) P(a b) = luas area dibawah f() di antara titik a dan b = F(b) - F(a) a b /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI

12 Sifat-sifat Fungsi Densitas b a P [ a < < b] = f ( t) dt = F ( b) F ( a) () F adalah fungsi tidak menurun (non decreasing function) Dengan teori limit diperoleh F ( ) = f ( t) dt = dan F ( ) =, sehingga F ( ) Jika f () adalah kontinyu maka + P [ + ] = f = ( t) dt f ( E) dimana > dan E + P[ > ] = P[ ] = F ( ) Jika variabel random adalah diskrit, maka P( )> i dan P( ) = i= i /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3 Ekspektasi dan Variansi () Variabel random dalam rentang R. Ekspektasi variabel random adalah integral perkalian semua nilai variabel random dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh E ( ) = f ( ) d. R Variabel random dalam rentang R. Variansi variabel random adalah integral perkalian kuadrat nilai fungsi dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh V ( ) = ( i E( )) f ( ) d = R i R f ( ) d [ E( )] /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 4

13 Ekspektasi dan Variansi () Nilai ekspektasi dikenal sebagai metoda estimasi tidak bias (unbiased) terhadap harga rata-rata variabel random (the first moment), sedangkan nilai variansi dikenal sebagai metoda estimasi tidak bias (unbiased) terhadap penyimpangan (variansi) variabel random. Fraksi pertama pada persamaan variansi dikenal sebagai momen kedua (the second moment), dengan demikian variansi dapat disusun dari pengurangan momen kedua dengan kuadrat momen pertama atau variansi = (second moment) - (first moment). /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI Kovariansi dan Korelasi () Kovariansi (biasa dinyatakan dengan σ ) menjelaskan penyebaran relatif nilai variabel random terhadap lokasi ekspektasinya secara simultan untuk dua variabel random. Kovariansi diformulasikan oleh persamaan berikut Cov(, ) = E[ ( E( )) ( E( ))] = E( ) [ E( ) E( )]. Koefisien korelasi menjelaskan kekuatan hubungan antara dua variabel rom dan diformulasikan sebagai berikut Cov(, ) σ ρ = = V ( ) V ( ) σ σ /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 6

14 Kovariansi dan Korelasi () Jika variabel random dan saling independen, maka E( ) = = = f (, ) d d f ( ) d f ( ) f ( ) d = E( ) E( /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 7 f ( ) d d Dua variabel random yang saling independen secara teoritis memiliki koefisien korelasi nol ρ =, tidak perlu dihitung secara empiris. Perlu dibedakan antara dua variabel yang independen dan yang tidak berkorelasi (koefisien korelasi kecil atau nol). ) 3-7 Distribusi Bivariat () Untuk setiap hasil [, ] dari dua variabel random [ ] i j,, fungsi distribusinya disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif bivariat, dan didefinisikan oleh F (, ) = P[ dan ]. Fungsi padat kemungkinan bivariat (, ) adalah f (, ) F ( ) =, jika F / f (, f ada. Dari fungsi padat kemungkinan bivariat ), dapat ditentukan besarnya nilai kemungkinan untuk rentang tertentu = α α F (, ) f (, ) dd /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 8

15 Distribusi Bivariat () Contoh : Ada dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter ( ) dan kekuatan (strength) ( ). Diketahui bahwa rentang variable random adalah <. 5 cm dan kg dan diasumsikan berdistribusi uniform f, ) = <.5, ( 5 = otherwise Besar probabilitas bahwa P.., ). adalah d 5 d = 5.. ( /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 9 Distribusi Bersyarat dan Marginal () Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat F ( ) dan f ( ) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian rentang variabel random pasangannya ( ), disebut distribusi kemungkinan bersyarat (conditional). Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat F ( ) dan f ( ) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh rentang variabel random pasangannya ( ) dikenal sebagai distribusi marginal. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3

16 Distribusi Bersyarat dan Marginal () Jika p (, ) i j atau f (, ) diketahui: Untuk variabel random distribusi marginalnya adalah : p ( ) = p(, ) i =,,3,L i i j (diskrit), atau all j f ( ) = f (, ) d (kontinyu). Untuk variabel random distribusi marginalnya adalah : p ( ) = p(, ) j =,,3,L j i j (diskrit), atau all i f ( ) = f (, ) d (kontinyu). /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3 Distribusi Bersyarat dan Marginal (3) Contoh : Pertimbangkan dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter ( ) dan kekuatan (strength) ( ) dari contoh sebelumnya. Distribusi marginal dan dari bivariatnya adalah: f ( ) = d = 4 5 <.5 = otherwise..5 f( ) = d = 5 < = otherwise. dan /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 3

17 Distribusi Bersyarat dan Marginal (4) Jika A dan B merupakan dua kejadian sedemikian sehingga diperoleh rentang A = [ α] dan B = [ β β ], maka dari persamaan kemungkinan bersyarat dapat diperoleh α β P( A B) f (, ) d β P( A B) = = β P( B) f ( ) d β dimana P(B) diasumsikan. Selanjutnya dengan cara yang sama dan variabel random tidak dalam seluruh rentang (tapi pada batas tertentu, β ), maka dapat diformulasikan fungsi densitas probabilitas bersyarat f α = ). ( β /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 33 Distribusi Bersyarat dan Marginal (5) Formulasi fungsi densitas probabilitas bersyarat diberikan oleh persamaan f ( α, β ) F f ( α = β ) = ( α = β ) f ( α = β ) =, f ( β ) α f ( α, β ) dan dengan cara yang sama ( β α) f =. f ( α) Persamaan terakhir ini disebut teorema Bayes untuk fungsi densitas probabilitas seperti halnya teorema Bayes untuk nilai kemungkinan. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 34

18 3-8 Moment Generating Function () Definisi: Untuk variabel random, moment generating function M (t) dari fungsi distribusinya adalah nilai ekspektasi dari t e, dan secara matematis diformulasikan sebagai berikut ti e P( i ) diskrit M ( t) = E( e t ) = all i t e f ( ) d kontinyu Jika moment generating function untuk sebuah fungsi distribusi probabilitas ada, maka moment generating function tersebut adalah unique (menentukan pola proses stokastik yang diikuti oleh sebuah variabel random). /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 35 Moment Generating Function () Dengan menggunakan power series, dapat diperoleh momen-momen sebagai berikut e t E( e M = + t + t t! + L + ) = + E( ) t + E( ' ' ( t) = + µ t + µ t! r r t r! + L ' + L + µ + L + E( + L + L Selanjutnya, untuk beberapa momen awal (momen ke-r), dapat dievaluasi dengan turunannya (ke-r) pada kondisi /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 36 ) t! r d r t ' dimana t= : M ( t) t = E[ e ] r t = = µ r dt =. Dua momen awal yang penting, yaitu () E[ ] '' () E[ ] V[ ] = E[ ] ( E[ ]). r r t r! r ) r t r! M ' =, M =, menjelaskan rata-rata dan variansi melalui

19 Moment Generating Function (3) Contoh: Sebuah variabel random mengikuti distribusi binomial n n p( ) = p ( p), =,,, K, n = otherwise t n Fungsi pembangkit momennya adalah M ( t) = ( pe + ( p)). Turunan pertama dan kedua fungsi pembangkit momen t t n tersebut adalah M ' ( t) = npe ( + p( e )) dan t t t n M '' ( t) = npe ( p + npe )( + p( e )). Dengan demikian dapat ditentukan rata-rata adalah ' ' µ = µ = M ' ( t) t == np dan momen kedua µ = M '' ( t) t = = np( p + np), ' sehingga variansi adalah µ µ = np( p + np) ( np) = np( p). /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI Fungsi Transformasi () Seringkali dua variabel random mengalami transformasi atau merupakan fungsi dari variabel random yang lain. Misalkan variabel random t merupakan transformasi dari sebuah variabel random normal dan sebuah variabel random chikuadrat. Pembentukan fungsi distribusi melalui transformasi dilakukan dengan langkah-langkah berikut :. Diperoleh fungsi dari dua variabel random dan sebagai berikut Y = H (, ) /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 38

20 Fungsi Transformasi (). Jika diamati variabel random lain yang juga merupakan fungsi dari dua variabel random dan sebagai berikut Z = H (, ). 3. Dari kedua fungsi transformasi, dapat dibentuk fungsi-fungsi berikut ( = G y, z) dan = G ( y, z). 4. Hitung turunan dari,, dan y z y z. 5. Tentukan fungsi gabungan untuk y dan z dengan fungsi berikut y z J ( y, z) = l( y, z) = h[ G ( y, z), G ( y, z)] J ( y, z), dimana. y z 6. Tentukan fungsi marginal y dengan f ( y) = l( y, z) dz. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI The Law of Large Number () Sebuah eksperimen dilakukan berulang kali sebanyak n kali. Misalkan hanya ada outcomes, yaitu sukses dan gagal, maka PS ( )= p dan PG ( )= p= q yang berharga konstan untuk j = 3,,, L, n. Definisikan j =, Outcome adalah Gagal, Outcome adalah Sukses, dan Y = + + L + n, adalah jumlah sukses dari eksperimen tersebut, maka Y/ n adalah estimator untuk p, atau p$ = Y / n. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 4

21 The Law of Large Number () Ekspektasi dan variansi Y adalah EY ( ) = ne ( ) = n [ ( q) + ( p) ] = np, dan j [ ] V( Y) = n V( ) = n ( q) + ( p) p = np( p) j Karena p$ = ( / n) Y, maka E( p$ ) = ( / n) E( Y) = p dan p( p) V( p$ ) = ( / n) V( Y) =. n The law of large number menyatakan bahwa p( p) P[ p$ p < ε] nε p( p) dari P p$ p < k n k digunakan ε = k p( p)/ n p( p) P[ p$ p < ε]. nε, atau P[ p$ p ε] p( p) nε /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 4. yang diturunkan (chebyshev s inequality). Jika, maka dihasilkan The Law of Large Number (3) Untuk ε > dan n, maka P[ p$ p < ε] (kepastian, memiliki konvergensi secara probabilistik). Jika dituliskan P[ p$ p < ε] α, p( p) maka dengan menentukan ε dan α, dapat dicari n ε α. Contoh : Sebuah proses memiliki kemungkinan memberikan produk cacat sebesar p (unknown). Diinginkan dengan kemungkinan.95 p( p) bahwa error $p p tidak lebih dari., maka n. (. ) 5. Asumsikan bahwa proporsi cacat maksimum adalah.5. Maka n 5, artinya keinginan untuk mencapai perbedaan estimasi kecil (akurat) dengan probability tinggi (presisi) mensyaratkan ukuran sampel yang sangat besar. /7/4 TI-3 Teori Probabilitas - DI 4