BAB 6: USAHA DAN ENERGI

Transkripsi

1 6: USH DN ENERGI Pada dasamya pembahasan dalam bab-bab sebelumnya sudah cukup untuk membahas masalah dinamika. Meskipun demikian, tinjauan dari sudut pandang lain seringkali membantu bukan saja dalam pemecahan soal, tetapi juga dalam pemahaman konsep dasar yang berlaku. Dalam bab ini kita akan meninjau hukum Newton dari sisi usaha dan energi. Istilah usaha yang dipakai di sini memiliki definisi yang lebih ketat dibandingkan dengan pengertian sehari-hari. ila kita mendorong benda dan benda berpindah tempat, maka dikatakan kita melakukan usaha, tetapi bila benda kita junjung di atas kepala kita dan kita (bersama benda) bergerak ke depan maka tidak ada usaha yang kita lakukan pada benda, walaupun akhirnya kita menjadi lelah. Demikian juga jika kita mendorong dinding tembok, tidak peduli berapa besar tenaga yang kita keluarkan, bila dinding tidak bergerak, maka tidak ada usaha yang kita lakukan. "Energi" dalam fisika juga mempunyai pengertian khusus, yaitu sebagai kemampuan melakukan usaha. Mobil yang sedang bergerak dapat merobohkan tembok; makin cepat gerakannya makin besar kerusakan yang ditimbulkannya. Mobil yang diam tidak dapat menggeser apa-apa. Dikatakan bahwa mobil yang sedang bergerak mempunyai energi karena ia mampu melakukan usaha. Energi yang dimiliki karena keadaan geraknya disebut energi kinetik. da juga jenis energi yang lain, yaitu energi karena letak atau konfigurasi sistern. Pegas yang teregang dapat menarik benda, dan pegas yang tertekan dapat mendorong benda, sedangkan pegas yang kendur tidak dapat melakukan apa-apa. atu yang tergantung di atas, bila jatuh dapat mendorong benda lain yang ditimpanya, sedangkan batu yang terletak di tanah tidak dapat mendorong apa-apa. Dikatakan bahwa pegas yang tidak kendor dan batu yang tergantung di atas memiliki energi potensial. ila lingkungan melakukan usaha pada benda, maka energi benda (kinetik dan/atau potensial) bertambah; dikatakan bahwa benda dikenai usaha dan energi benda bertambah. Sebaliknya bila benda melakukan usaha (pada lingkungan) maka energi benda berkurang. Jadi usaha adalah salah satu cara untuk memasukkan atau mengeluarkan energi (transfer energi). enda dapat memiliki energi, tetapi benda tidak dapat memiliki usaha. Energi bergantung kepada keadaan benda di suatu titik, tetapi usaha bukan; usaha bergantung kepada lintasan selama perpindahan, bukan kepada keadaan di suatu titik. Kita dapat mengatakan energi kinetik benda pada posisi atau energi potensial benda pada posisi, tetapi kita tidak dapat mengatakan usaha benda pada posisi atau posisi. 7

2 Energi dapat diubah dari satu jenis menjadi jenis lain, misalnya dari nergi kinetik menjadi energi potensial atau dari energi potensial menjadi energi kinetik. ila kita tinjau sistem dan lingkungannya, jurnlah energi total yang terlibat selalu tetap. erkurangnya energi sistem diimbangi oleh bertambahnya energi lingkungan dan sebaliknya. Untuk situasi tertentu, energi total sistem (benda) tidak berubah, hanya jenisnya saja yang berubah,. sedangkan jumlahnya tidak. Dikatakan bahwa energi benda kekal atau benda memenuhi hukum kekekalan energi. Hukum kekekalan energi ini sangat berguna dalam memecahkan banyak persoalan dinamika yang terlalu rumit jika dipecahkan dengan cara biasa. 6. Usaha Secara intiutif kita ketahui bahwa untuk memindahkan benda lebih jauh dibutuhkan usaha yang lebih banyak, demikian juga bila untuk proses!ersebut dibutuhkan gaya yang lebih besar, maka usahanya pun lebih banyak lagi. Jadi usaha haruslah sebanding dengan gaya dan jarak. ila arah gaya tidak berimpit dengan arah kepindahan, maka hanya komponen gaya yang searah perpindahan yang terlibat dalam usaha secara efektif (Gambar 6.) Gambar 6. Gaya konstan F bekerja pada benda yang bergerak lurus sejauh. Dalam hal gaya F yang bekerja konstan dan benda bergerak lurus sejauh, usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada benda adalah W Fcos (6.a) Karena baik gaya rnaupun perpindahan adalah vektor, maka bentuk di atas dapat dituliskan dalam notasi vektor sebagai W F. (6.b) entuk ini mempelihatkan sifat skalar dari usaha secara eksplisit. Satuan untuk usaha adalah newton-meter yang diberi nama baru joule. Untuk situasi yang lebih umum, dengan gaya F yang tidak konstan dan/atau lintasan benda yang tidak membentuk garis lurus, persamaan (6. b) harus dibuat lebih umum. Kita bagi lintasannya menjadi segmen kecil-kecil, d (Gambar 6.). Untuk gaya yang berubah secara kontinu dari titik ke titik, perubahannya tidak akan banyak bila selang d diambil cukup kecil, 7

3 sehingga untuk selang ini gayanya dapat dianggap konstan dan persamaan (6. b) boleh dipakai dw F.d Fd cos (6.a) Dalam pernyataan ini dw adalah usaha kecil (infinitesimal) yang dilakukan oleh F dalam selang d. Usaha total oleh gaya F sepanjang lintasan dari titik awal ke titik akhir adalah jumlah semua usaha kecil dalam tiap-tiap segmen, dan dituliskan sebagai W F.d Fdcos (6.b) lnilah definisi usaha secara umum. Hasil integrasi ini bergantung kepada lintasan yang dipilih dan titik ke titik. Lintasan yang berbeda memberikan hasil yang berbeda pula. Huruf di bawah tanda integrasi di atas mengingatkan kita bahwa integrasi di atas dilakukan sepanjang kontur lintasan. ila sudut adalah sudut tumpul, maka usahanya negatif, kita akan mengartikan usaha negatif ketika kita membahas energi nanti., Gambar 6. Usaha oleh gaya F yang tidak konstan sepanjang lintasan yang tidak lurus. Usaha total adaah jumlah usaha yang dilakukan dalam tiap-tiap segmen kecil. ontoh 6. F yî xĵ Gaya N bekerja pada sebuah partikel. Partikel berpindah dari titik (,) ke titik (,4), seperti diperlihatkan dalam Gambar 6.3. Hitunglah usaha yang dilakukan oleh F jika lintasan partikel tersebut adalah (a) garis patah dan, (b) garis patah D dan D, (c) garis lurus dan (d) parabola y = x. Gambar 6.3. eberapa kemungkinan lintasan benda dari ke 73

4 Jawab : Gaya F tidaklah konstan, tetapi bergantung kepada letak (koordinat) partikel ybs, karena itu untuk menghitungnya kita gunakan bentuk umum persamaan 6.b, W F.d F dx F dy ydx xdy x y Di sini kita gunakan bentuk komponen perkalian skalar (lihat bab II).. (a) Untuk lintasan D, segmen lintasan harus dibagi dua, segmen dan segmen. Sepanjang, hanya koordinat x yang berubah, koordinat y selalu tetap, yaitu y =, dan karenanya dy =. Sepanjang, koordinat x selalu tetap x = dan karenanya dx =, sedangkan koordinat y selalu berubah. Jadi untuk lintasan ini berlaku (b) (c) W ydx x dy ydx x dy 4dy 4y = 6 Joule Dengan cara yang sama untuk lintasan D berlaku W D D ydx xdy ydx x dy 4dx 4x = 8 Joule Untuk lintasan garis lurus D 4 4 W ydx x dy y x dy dx dx (d) Garis mempunyai persamaaan y = x (dapat diperiksa bahwa garis ini melalui (,) dan (,4)), sehingga dy/dx =. Jadi W x x x. dx 3x x = Joule Untuk lintasan parabola, y = x jadi dy/dx = x W x dy ydx x dy y x dx x x.x dx x dx 5 x J 3 ontoh ini jelas memperlihatkan bahwa usaha bergantung kepada lintasan yang ditempuh. Untuk gaya yang usahanya bergantung kepada lintasan, maka usaha dari titik ke titik lewat lintasan tidak akan sama dengan usaha dan titik ke titik lewat lintasan lain (Gambar 6.4) 74

5 Gambar 6.4 Usaha dari ke lewat lintasan l pada umumnya tidak sama dengan usaha dari ke lewat lintasan Karena usaha dari ke adalah negatif dari usaha dan ke lewat lintasan yang sama., maka usaha dari kembali ke lewat lintasan tertutup dalam Gambar 6.4 dapat dituliskan sebagai W F.d F.d F.d F.d F.d (6.3) Tanda integral dengan lingkaran artinya integral sepanjang lintasan tertutup. Hasilnya tidak nol karena kedua integral dalam persamaan terakhir tidaklah sama. Gaya yang usahanya bergantung kepada lintasan atau usaha untuk lintasan tertutup tidak sama dengan nol disebut gaya non-koservatif. Gaya dalam contoh soal di atas adalah gaya non konservatif. Gaya gesekan selalu melawan perpindahan relatif benda, sehingga usahanya selalu negatif termasuk usaha sepanjang lintasan tertutup. Gaya yang usahanya selalu negatif disebut gaya disipatif. Jelas bahwa gaya disipatif bersifat non-konservatif. da gaya yang usahanya tidak bergantung kepada lintasan yang ditempuh, hanya bergantung kepada letak titik awal dan titik akhir. Gaya semacam ini disebut gaya konservatif. Usaha gaya yang konservatif untuk sembarang lintasan tertutup selalu sama dengan nol. F.d konservati f (6.4) ila dalam contoh perhitungan di atas gaya yang bekerja adalah titik ke titik untuk sembarang lintasan dapat dituliskan sebagai W F yî xĵ (,4) xy xy 4 F.d y dx x dy d,),4,, maka usaha dan 8 Joule ( papun lintasan yang dipilih hasilnya selalu sama (cobalah sendiri untuk lintasan-lintasan yang diberikan dalam contoh 6.); jadi F yî xĵ adalah contoh gaya konservatif. eberapa contoh gaya konservatif yang akan sering kita jumpai adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gaya listrik oulomb. 75

6 6. Usaha Sebagai Luas Hal khusus yang sering kita hadapi adalah persoalan satu dimensi, misanya pada gerak jatuh bebas atau pada gerak osilasi. Dalam hal ini bentuk matematis usaha menjadi integral biasa dalam satu dimensi. ontoh 6. : Sebuah benda jatuh dari ketinggian h sampai ke tanah. erapakah usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi dalam proses ini? Jawab : Gaya gravitasi dalam hal ini adalah gaya berat F mg ĵ dan perpindahannya d dy î (berarah ke bawah karena benda sedang jatuh). Jadi usaha yang dilakukan oleh gaya berat adalah W h F.d mg dy mgh Seringkali gaya yang bekerja besamya berubah-ubah, tetapi arahnya dalam satu garis lurus, katakanlah sepanjang sumbu x, sehingga F Fxî. Usaha oleh gaya ini ketika benda berpindah dari x l ke x, adalah W x x F.d F î.dx.î x x x F x dx (6.5) Menurut teori kalkulus kita ketahui bahwa integral satu dimensi seperti ini dapat diartikan sebagai luas di bawah kurva F(x) yang dibatasi oleh x dan x (Gambar 6.5). Gambar 6.5. Usaha sebagai luas di bawah kurva F(x) ontoh 6.3 : Hitunglah usaha yang kita butuhkan untuk meregangkan pegas dari keadaan kendur sampai bertambah panjang sejauh x tanpa percepatan. 76

7 Jawab : ila pegas teregang sejauh x, maka pegas akan melakukan gaya sebesar kx î (Gambar 6.6a), maka kita harus memberikan gaya yang sama besar dan berlawanan arah kx î. Grafik gaya pegas dan gaya kita sebagai fungsi dan dengan gaya pegas yaitu F kita F pegas regangan pegas diberikan dalam Gambar 6.6 b. Usaha yang harus kita lakukan adalah î.dxî x x Wkita F kita.d kx kx dx kx, (6.6) yang tidak lain luas segitiga di bawah kurva gaya dalam Gambar 6.6 b. Dari grafik (ataupun dari perhitungan eksplisit) jelas bahwa usaha gaya pegas adalah W pegas kx Gambar 6.6 (a) Gaya-gaya yang bekerja pada waktu pegas diregangkan (b) Grafik gaya terhadap regangan pegas. 6.3 Daya Usaha yang diberikan dalam bagian sebelumnya tidak memuat informasi berapa cepat proses tersebut dilangsungkan. Seringkali yang dibutuhkan bukanlah banyaknya usaha total yang dapat dilakukan melainkan berapa besar laju usaha tersebut. Misalnya untuk memompa liter air sumur dari kedalaman m sampai ke permukaan dibutuhkan usaha Kjoule. Walaupun pompa kita mampu menghasilkan Kjoule, bila usaha ini rnemakan waktu hari, tidak banyak manfaat yang kita dapatkan dari pompa tersebut. kan tetapi bila diberikan pompa yang mampu memberikan usaha 5 Kjoule tiap menit, maka kita tahu bahwa dengan pompa itu kita dapat memompa liter air dalam 4 detik. Laju usaha yang dilakukan tiap detik disebut daya (power). Secara matematis daya P dirumuskan sebagai dw F.d P F.v (6.7) dt dt dengan v adalah kecepatan gerak partikel yang sedang ditinjau. Satuan untuk daya adalah 77

8 joule/detik atau disebut juga watt (W). Satuan daya lain yang sering kita dengan sehari-hari adalah daya kuda (hp), hp = watt. Dalam masalah kelistrikan sering juga digunakan satuan watt-detik (= joule) untuk usaha, atau yang lebih umum kilowatt hour (kwh) == 3,6 x 5 joule. 6.4 Energi Kinetik Setiap benda yang bergerak memiliki energi gerak atau energi kinetik. Semakin besar massa benda tersebut, sernakin besar energi yang dibawanya, demikian juga semakin cepat gerakannya, semakin besar energinya. Karena energi, dikaitkan dengan kemampuan melakukan usaha, maka satuan untuk energi haruslah sama dengan satuan usaha, yaitu joule. erdasarkan pertimbangan dimensi, kombinasi massa dan kecepatan yang dapat memberikan satuan joule hanyalah massa dikalikan kuadrat kecepatan (periksalah bahwa bentuk m a v b hanya akan memberi satuan joule bila a = dan b = ). Karena itu energi kinetik didefinisikan sebagai K mv (6.8) Faktor dipasang supaya kaitannya dengan usaha dapat diinterpretasikan dengan mudah, W F.dr m.dv.v dv m.dr dt md v mv mv K K (6.9) Dalam hubungandi atas, F adalah gaya resultan yang bekerja pada benda, yang menurut hukum Newton II, F mdv / dt. Persamaan (6.9) menunjukkan bahwa usaha gaya resultan (dari lingkungan pada benda) sama dengan perubahan energi kinetik benda. ila lingkungan melakukan usaha W >, maka energi kinetik benda bertambah; sebaliknya bila benda melakukan usaha (pada lingkungan), W <, energi benda berkurang. Dengan kata lain, benda mengambil sebagian dari energinya untuk dapat melakukan usaha tersebut. ontoh 6.4 : Sebuah benda dilepaskan dari ketinggian h = 5 meter. erapakah lajunya ketika mengenai tanah? Jawab : Satu-satunya gaya dari lingkungan yang bekerja pada benda adalah gaya berat, F mg ĵ. 78

9 Usaha yang dilakukan oleh gaya berat adalah W = mgh (lihat contoh 6.). Menurut persamaan (6.9), K tan ah mv V K mgh gh h5 m mgh 5 m / s 6.5 Energi Potensial ila gaya-gaya yang bekerja dan lingkungan pada benda adalah gaya konservatif, maka usaha dari gaya-gaya ini tidak bergantung kepada lintasan yang ditempuh; hanya bergantung kepada posisi titik awal dan titik akhir. Dengan kata lain, usaha gaya konservatif hanya merupakan fungsi dan posisi saja. Karena itu dapat kita definisikan suatu fungsi U yang hanya bergantung kepada posisi sedemikian sehingga W F.d (6.) konservatif U U Perhatikan bahwa lintasannya tidak perlu dituliskan lagi karena hasilnya tidak bergantung kepada pilihan lintasan. Otomatis dipenuhi juga persamaan (6.4) F.d konservati U U f Fungsi U ini disebut energi potensial dari sistem; jelas bahwa satuan untuk U adalah joule. Tanda minus di depan fungsi U akan kita artikan di bawah nanti. Karena energi potensial didefinisikan lewat usaha dan selalu muncul dalam bentuk selisih energi potensial, maka penambahan harga konstan pada U di setiap titik tidak akan mempengaruhi hasil, karena konstanta ini akan saling menghapuskan waktu kita mengambil selisih energi potensialnya. Dengan kata lain nilai mutlak energi potensial tidaklah penting, yang penting adalah nilai relatif (selisih) antara satu titik dengan titik lain. Untuk dapat menyebutkan nilai energi potensial, kita dapat memilih sembarang titik sebagai acuan, yaitu sebagai titik dengan nilai energi potensial sama dengan nol. Karena itu kita dapat menuliskan persamaan (6.) dalam bentuk yang sedikit lain: Pilih sebagai acuan, U() =, dan titik pada posisi r, sehingga U r r F konservati f acuan. d (6.) Persamaan ini bisa diambil sebagai definisi bagi energi potensial dan dibaca sebagai berikut: Energi potensial di titik r adalah usaha yang dibutuhkan untuk melawan medan gaya (dari 79

10 lingkungan sistem) untuk membawa sistem dari titik acuan ke titik r. Tabel 6. memperlihatkan beberapa sistem, titik acuan yang biasa dipilih dan bentuk energi potensialnya. Tabel 6. Energi Potensial eberapa Sistem Jelas dari persamaan (6.) bahwa tanda minus di depan definisi energi potensial menunjukkan bahwa kita harus melakukan usaha untuk melawan gaya-gaya dari lingkungan sistem. Pada waktu kita melakukan usaha ini, kita memasukkan energi pada sistem, dan sistem menyimpannya dalam bentuk energi potensial. Pada waktu energi potensial diubahkan menjadi usaha, energi yang kita masukkan ini yang dipakai. Ini sebabnya sistem dengan energi potensial disebut sistem konservatif, karena apa yang dimasukkan akan dapat dikeluarkan kembali. ontoh 6.5 : Tentukanlah enlergi potensial benda bermassa m yang terletak pada ketinggian h dari tanah. mbil titik acuan di atas tanah h =. Jawab : 8

11 U ontoh 6.6 : h h mg î.dyĵ mg dy h mgh Tentukan energi potensial antara matahari (massa M) dengan planet (massa m) yang berjarak r satu dengan lainnya. mbil titik acuan di r =. Jawab : U ontoh 6.7 : r r G rˆ.drrˆ Mm r r Mm Mm G dr G r r Tentukanlah energi potensial sistem benda dan pegas untuk pegas dalam keadaan teregang sejauh x. mbil titik acuan di x =, yaitu waktu pegas dalam keadaan kendur. U x x kx dx kx Perlu diingatkan di sini bahwa energi potensial bukanlah milik benda sendiri, melainkan milik benda dan lingkungannya bersama-sama, karena gaya yang bekerja adalah spesifik bagi sistem dan lingkungannya. Dalam hal energi lingkungannya tidak berubah atau perubahannya dapat diabaikan, maka seringkali energi potensial dikaitkan pada bendanya saja. Misalnya, untuk benda dilihat permukaan bumi (contoh 6.5) energi potensial pasangan bumi dan benda adalah mgh, tetapi karena bumi jauh lebih besar dan benda, perubahan yang berarti hanya terjadi pada benda, maka sering dikatakan bahwa energi potensial benda adalah mgh Hubungan ntara Energi Potensial Dan Gaya Konservatif Dan definisinya jelas bahwa energi potensial adalah integral dari gaya konservatif terhadap jarak. Sebaliknya, gaya konservatif adalah turunan energi potensial terhadap jarak. Karena gaya adalah besaran vektor, maka turunan yang dimaksud disini haruslah turunan berarah. Dalam koordinat kartesian, komponen-komponen gaya dapat dituliskan sebagai F x U U U ; Fy ; Fz (6.) x y z Notasi U / x artinya fungsi U diturunkan terhadap variabel x dengan mengandaikan variabel lainnya (y dan z) konstan; serupa juga untuk U / y dan U / z. Dalam satu dimensi, energi potensial U hanya fungsi x dan gaya yang bekerja hanya dalam arah x. Secara grafik, gaya adalah negatif dari kemiringan grafik potensial terhadap posisi. Perhatikan Gambar 6-6. Di tempat di mana grafik potensial sedang naik, kemiringannya 8

12 positif, dan gayanya negatif (artinya gaya berarah ke kiri); sebaliknya di tempat di mana grafik potensial sedang turun, kemiringannya negatif, dan gayanya positif (artinya gaya berarah ke kanan). Dengan kata lain, gaya berarah dari tempat berenergi potensial tinggi ke tempat berenergi potensial rendah. Di tempat di mana potensial mencapai harga ekstrim (maksimum atau minimum), gaya sama dengan nol dan titik ini disebut titik setimbang. Gambar 6.7 Hubungan antara grafik potensial dan gaya Di sekitar titik setimbang dengan energi potensial maksimum, gaya-gaya berarah menjauhi titik setimbang (lihat Gambar 6.7); benda yang berada di sekitar ini akan didorong menjauhi titik setimbang. Titik setimbang ini disebut titik setimbang tak stabil. Di titik setirnbang dengan energi potensial minimum, gaya-gaya berarah ke titik setimbang. enda yang berada di sini akan ditarik kembali ke titik setimbang. Titik setimbang ini disebut titik setimbang stabil. Sistem selalu menuju ke titik setimbang stabil, yaitu tempat dengan energi potensial minimum. 6.6 Hukum Kekekalan Energi Mekanik Persamaan (6.9) menyatakan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya luar pada benda sama dengan selisih energi kinetik benda, dan persamaan (6.) menyatakan bahwa energi gaya konservatif usahanya sama dengan selisih energi potensial benda. Gabungan kedua persamaan ini memberikan W = K - K = (-U ) - (-U ) atau K + U = K +U (6.3) Hubungan ini menyatakan bahwa dalam medan gaya konservatif jumlah energi kinetik dan energi potensial di sembarang titik dan selalu sama, tidak peduli bagaimana pun lintasan benda dari ke. Jumlah energi kinetik dan energi potensial disebut hukum kekekalan energi mekanik. Perlu ditekankan sekali lagi bahwa hukum kekekalan ini hanya berlaku dalam medan 8

13 gaya konservatif. Gaya-gaya lain boleh ada asalkan tidak melakukan usaha. entuk ringkas dari persamaan (6.3) adalah E = E E = (6.4) dengan E = K + U. Tampak keuntungan mendefinisikan energi potensial dengan tanda negatif (persamaan 6.), yaitu bahwa energi total adalah jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. ontoh 6.8 : Sebagai contoh penggunaan hukum kekekalan ini, kita tinjau sebuah roler-coaster yang mempunyai rel lintasan seperti dalam Gambar 6.8. Rel dianggap licin. Kereta mulai dari titik dengan laju awal nol dan bergerak hanya di bawah pengaruh gaya gravitasi saja. erapakah kecepatan kereta di titik? Gambar 6.8. Gerak roller-coaster memenuhi hukum kekekalan energi mekanik. Energi mekanik kefeta di titik adalah E mv mgh mgh mgh. Ketika kereta meluncur sampai di energi mekaniknya adalah E mv mgh, Menurut hukum kekekalan energi atau sehingga E =E mgh mv mgh v gh h h.. ms Di titik hanya ada energi potensial saja, sedangkan di titik ada energi potensial dan energi kinetik. ontoh ini rnenunjukkan bahwa sebagian energi potensial di diubah menjadi energi kinetik di. Pengubahan ini terjadi melalui bantuan usaha oleh gaya gravitasi. Jadi energi dapat diubah bentuknya menjadi energi lain melalui bantuan usaha. ontoh 6.9 : 83

14 Sebuah benda diputar dengan tali schingga membentuk lintasan lingkaran vertikal berjari-jari R (Gambar (6.9)) (a) erapakah kecepatan minimum di titik terendah agar benda dapat menempuh /4 lingkaran (mencapai titik ). (b) erapakah kecepatan minimum di titik terendah agar benda dapat menempuh satu lingkaran penuh. (c) ila laju di titik terendah adalah v gr, di manakah benda mulai keluar dari lintasan lingkarannya? Gambar 6-9. enda diputar dengan tali. Diberikan juga diagram gaya di beberapa posisi Jawab : Gaya yang bekerja hanyalah gaya tali T dan gaya berat mg. Gaya tali selalu tegak lurus pada lintasan, karena itu usaha gaya tali selalu nol. Gaya berat bersifat konservatif. Jadi kita dapat menggunakan hukum kekekalan energi dalam persoalan ini. (a) K +U = K + U mv mgh mv mgh v v g h h v gr Kecepatan minimum di terjadi bila v = (artinya benda hanya naik sampai, berhenti sesaat, lalu bergerak turun lagi). v gr min (b) Untuk dapat rnenempuh satu lingkaran penuh benda harus dapat tiba di. Dengan menggunakan hukum kekekalan energi seperti pada pertanyaan (a), kita dapatkan K + U = K + U mv mgh mv mgh v v g h h v 4gR Karena benda bergerak melingkar, maka di titik harus berlaku persamaan gaya 84

15 sentripetal, mv T mg R v 5gR TR m m R v 4gR Selama benda berada dalam lintasan lingkaran, tali tidak kendur, sehingga T. Harga minimum laju di dicapai pada T =, yang memberikan v 5gR. min (c) Tinjau keadaan sembarang, misalnya titik D. Seperti sebelumnya, dengan hukum kekekalan energi kita dapatkan Persamaan gaya sentripetal di titik D atau T mg cos T mv D mg mg cos R mg 3mg cos Selama T benda tetap berada pada lintasan lingkaran; keadaan ini dipenuhi oleh cos 3 enda mulai keluar dari lintasan lingkaran ketika tegangan tali T =, yaitu pada cos 3 Dapat diperiksa bahwa pada a = 5, maka cos = - atau = artinya benda mencapai titik tertinggi. ila < α <5, benda tidak akan mencapai titik tertinggi, tetapi keluar lintasan pada sudut o yang diberikan di atas.pada α =, maka o = /, artinya benda hampir keluar lingkaran di titik. Untuk α <, benda tidak sampai ke titik dant tidak pernah mencapai nol (artinya benda akan tetap pada lintasan lingkaran). 6.7 Usaha Dan Energi Dalam Medan Non Konservatif ila disamping gaya-gaya non konservatif, F k, pada benda bekerja juga gaya non konservatif F nk, maka usaha total oleh gaya resultan dapat dipecah atas bagian konservatif dan bagian non konservatif W F.d Fk F nk.d 85

16 Fk.d Fnk.d Wk W nk (6.5) Menurut persamaan (6.9), ruas kin tidak lain dari pada selisih energi kinetik, dan menurut persamaan (6.), W k dapat dinyatakan dalam selisih energi potensia. Jadi K K U U K U K U E E W nk W W nk nk (6.6) Persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa energi mekanik tidak lagi kekal, dan perubahan energi ini disebabkan hanya oleh gaya non-konservatif saja. Untuk gaya disipatif, usahanya selalu negatif, sehingga energi akhir E lebih kecil daripada energi awal E. ila proses ini berlangsung terus, lama kelamaan benda "kehabisan" energi dan akhirnya berhenti bergerak. ontoh 6. : Misalkan rel pada bagian, Gambar 6.8, kasar dengan koefisian gesekan kinetik μ =,6. ila massa kereta adalah 5 kg dan kereta berhenti di titik, berapakah jarak? Jawab : Gaya gesekan yang bekerja pada kereta adalah f = μn = μ mg =,5 x 5 x = 5 N. ila jarak adalah d, maka usaha oleh gaya gesekan adalah f.d fd -5 d. Tanda negatif menyatakan bahwa arah gaya gesekan berlawanan dengan arah pergeseran d. Menurut persamaan (6.), W f K U K U mv mgh mv mgh -5 d = -/.5.4 Diperoleh d 4m Hukum Kekekalan Energi Umum Persamaan (6.6) menunjukkan bahwa energi mekanik sistem dapat berubah dengan adanya gaya non-konservatif. Gaya non-konservatif ini berasal dari lingkungan. ila lingkungan melakukan gaya pada sistem, maka energi sistern bertambah dan energi lingkungan berkurang dengan jumlah yang sama, sebaliknya bila sistem melakukan usaha rnelawan gaya dari lingkungan, maka energi sistem berkurang dan energi lingkungan bertambah dengan jumlah yang sama. Dengan kata lain, jumlah energi sistem dan energi lingkungannya selalu tetap; yang terjadi hanyalah perpindahan energi dan sistem ke dalam lingkungan atau dari lingkungan ke dalam sistem. Perpindahan energi ini dilakukan melalui usaha gaya 86 W f

17 non-konservatif. da cara lain untuk melakukan perpindahan energi antara sistem dengan lingkungan, yaitu melalui kalor (Q). Perubahan energi sistem secara umum dapat dituliskan sebagai E = W nk + Q (6.7) Ruas kiri menyatakan perubahan energi sistem dan ruas kanan menunjukkan energi yang masuk atau keluar dari lingkungan melalui usaha gaya non-konservatif dan kalor. Pendalaman konsep ini akan dibahas lebih lanjut dalam bagian termofisika. SOL-SOL LTIHN 6. Suatu balok dengan massa kg didorong sepanjang permukaan mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengikuti hubungan F = 6x dimana F dalam Newton, x dalam meter. Sudut pun bertambah menurut cos =,7-, x. erapa kerja yang dilakukan oleh gaya bila benda bergerak dari x = m sampai x = m?. enda seberat N didorong ke atas bidang miring tanpa gesekan, yang panjangnya 3 cm, dengan kemiringan sudut 3, dengan gaya horisontal F. a. ila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 3 cm/s, berapakah usaha yang dilakukan oleh gaya F? b. erapakah besar gaya F? c. ila bidang tidak liecin dan memiliki k =,5, berapakah jarak maximum yang dapat dicapai oleh benda? 3. Tiap detik m 3 air melewati air terjun yang tingginya m. ila dianggap tiga perempat tenaga kinetik yang diperoleh air ketika jatuh diubah menjadi tenaga elektrik oleh generator eektronik, berapa output daya generator tersebut. 4. Massa benda = 4 kg Massa benda = 9 kg Percepatan gravitasi g = m/s. erapa kecepatan 8 m tanah ketika mengenai tanah? Gesekan dan massa katrol diabaikan. 5. Suatu medan gaya yang mempunyai bentuk F = i x bekerja pada suatu benda. Di bawah pengaruh gaya ini benda bergerak dari ke. Hitung energi yang diperoleh benda bila diambil jalan () dan bila diambil jalan (). y(m) () 4 () x(cm) 87

18 6. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dibawah pengaruh gaya F = - x 4 N. a. pakah gaya F konservatif? Tunjukkan! Jika ya, turunkan energi potensi benda yang bergerak di bawah pengaruh gaya ini. b. Hitung usaha yang harus dilakukan untuk melawan gaya tersebut di atas dalam memindahkan benda dari x = 3 m hingga x = 5 m! c. Jika benda dilepaskan dari x = 4, m, berapa energi kinetiknya ketika mencapai x =? 7. Sebuah benda m =, kg ada di atas bidang miring dengan F 37 o α sudut α = 37 (tan α =,75). Pada benda ini bekerja gaya tetap F = N (mendatar). idang miring kasar dengan U k =,5. Lihat gb. Mula-mula benda diam di kemudian bergerak ke, = 5 m. Hitung energi kinetik benda ketika sampai di dengan cara energi. 8. Pegas dalam sistem di gambar ini dalam keadaan tidak teregang/tertekan ketika sistem mulai dilepaskan dari kedudukannya seperti dalam gb.tersebut. Hitunglah jarak turun maksimum (d) dari beban 5 kg. tetapan pegas k. 5 kg kg 9. Mula-mula, seperti dalam gb. Kedua pegas tak d k k teregang/tertekan. Kemudian benda/massa m di dorong ke kanan sehingga mengalami perpindahan d = cm, lalu dilepaskan. a. Tentukan laju benda ketika melewati posisi. b. erapa jauhkah balok dari kiri ketika berhenti? k = 88 N m -, k = 5 N m -, m = 4, kg. baikan gesekan.. Sebuah bandul sederhana dengan panjang dan massa m diamati memiliki laju v ketika tali membentuk sudut dengan vertikal ( < < ), seperti dalam gambar. Dinyatakan dalam g dan bersama-sama dengan variabel-variabel tersebut di atas, tentukanlah : a. Laju beban v ketika berada di titik terendah. b. Harga v terkecil yang harus dimiliki v agar tali dapat mencapai posisi horisontal dalam geraknya. c. Laju v 3, sedemikian sehingga bila v v 3 bandul tidak akan berosilasi melainkan terus bergerak membentuk lingkaran vertikal. 88

19 89