MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA

Transkripsi

1 MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA ANALISIS REAL I Disusu Oleh : Luh Putu Ida Harii JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA 0

2 IDENTITAS MAHASISWA PESERTA MATA KULIAH ANALISIS REAL I Tahu Ajara 0/03 Nama : NIM : ii

3 LEMBAR PENILAIAN PENGUASAAN MATERI LKM BAB NILAI KETUNTASAN MATERI I KETERANGAN TANDA TANGAN II III IV iii

4 KATA PENGANTAR Puji syukur peulis pajatka kehadapa Tuha Yag Maha Esa, karea atas berkat rahmat-nya rigkasa modul yag berjudul Modul da Lembar Kerja Mahasiswa Aalisis Real i dapat diselesaika dega baik. Modul ii diguaka sebagai baha ajar sekaligus baha peugasa bagi mahasiswa Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa yag sedag megambil mata kuliah Aalisis Real I. Modul ii terdiri atas lima bab yaitu Bab 0 Metode-metode dalam pembuktia, Bab Sistem Bilaga Real, Bab Barisa Bilaga Real, Bab 3 Limit Fugsi da Bab 4 Relasi Rekursif. Pada awal sub bab aka disajika beberapa defiisi da materi, sedagka bagia selajutya diteruska dega cotoh-cotoh soal da soal latiha yag wajib diselesaika oleh setiap mahasiswa. Dega modul ii diharapka proses pembelajara mejadi lebih terarah da meumbuhka keaktifa serta kemadiria siswa dalam belajar baik didalam kelas maupu di luar kelas. Peulis meyadari tulisa ii masih jauh dari sempura, utuk itu peulis meerima kritik da sara yag bersifat membagu demi perbaika tulisa ii. iv

5 September, 0 Peulis v

6 DAFTAR ISI COVER... IDENTITAS MAHASISWA LEMBAR PENILAIAN MAHASISWA KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... i ii iii iv v PENDAHULUAN BAB 0. METODE-METODE PEMBUKTIAN 5 BAB I. SISTEM BILANGAN REAL... 6 BAB II. BARISAN BILANGAN REAL... 5 BAB III. LIMIT FUNGSI BAB IV. KEKONTINUAN FUNGSI DAFTAR PUSTAKA... 9 vi

7 Aalisis Real I 0 PENDAHULUAN A. MANFAAT MATA KULIAH Mata kuliah Aalisis Real I merupaka mata kuliah wajib yag harus diambil oleh semua mahasiswa jurusa matematika. Mata kuliah ii tergolog mata kuliah lajut yag diperutuka bagi mahasiswa yag telah megambil mata Kalkulus I da Kalkulus II. Secara umum materi pada mata kuliah Aalisis Real I sebearya sudah dikeal oleh mahasiswa yag telah megambil kedua mata kuliah prasyarat tersebut. Haya saja, materi pada Aalisis Real I bersifat lebih abstrak, teoritis, da medalam. Aalisis real merupaka alat yag esesial utuk membetuk pola pikir kritis da aalitis sehigga atiya dapat diguaka, baik di dalam berbagai cabag dari matematika maupu bidag ilmu-ilmu lai. Apabila mata kuliah ii dapat dipahami dega baik maka mahasiswa mempuyai modal yag sagat berharga utuk memahami mata kuliah di bidag lai. Setelah mempelajari mata ajar Aalisis Real I mahasiswa diharapka mempuyai kedewasaa dalam bermatematika, yag meliputi:. Kemampua berpikir secara deduktif, logis, da rutut.. Kemampua megaalisis masalah 3. Kemampua mesitesis suatu hal yag bersifat khusus ke suatu hal yag bersifat umum (kemampua megeeralisasi masalah) sehigga dapat meyelesaika suatu masalah yag lebih kompleks. 4. Kemampua megkomuikasika peyelesaia suatu masalah secara akurat da rigorous. B. DESKRIPSI PERKULIAHAN Sebelumya mari kita simak kata-kata bijak berikut : Imajiasi lebih petig daripada pegetahua (Albert Eistei). Mata Kuliah Aalisis Real I mempelajari pedekata deduktif kosep fudametal matematika yag mecakup sistem bilaga real da sifatsifatya, limit da kekotiua serta teori-teori fugsi yag Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

8 Aalisis Real I 0 dikembagka melalui kosep limit. Mata kuliah ii meetapka tujua akhir agar mahasiswa memiliki kemampua utuk dapat memahami atura-atura dasar utuk memberika justifikasi pada teori matematika yag berkaita dega bilaga real da fugsi. Selai itu diharapka, setelah mempelajari materi Aalisis Real I, mahasiswa mempuyai kedewasaa dalam bermatematika, yag meliputi atara lai kemampua berpikir secara deduktif, logis, da rutut, serta memiliki kemampua megaalisis masalah da megomuikasika peyelesaiaya secara akurat da rigorous sehigga dapat membagkitka kemampua imajiasi yag lebih abstrak. C. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Stadar Kompetesi: Mahasiswa mampu dalam memahami aturaatura dasar utuk memberika justifikasi pada teori matematika yag berkaita dega bilaga real da fugsi. Kompetesi Dasar : Memahami sistem bilaga real da atura dasar yag berlaku di dalamya. Memahami sifat kelegkapa bilaga real da dapat megguakaya utuk meujukka eksistesi bilaga irrasioal da bilaga rsioal. Memahami kosep kekovergea barisa bilaga real da sifatsifatya serta dapat meerapkaya pada masalah yag memuat limit barisa. Memahami kosep limit fugsi da dapat meggu-akaya utuk meyele-saika masalah yag memuat limit fugsi. Memahami kosep fugsi kotiu da sifat-sifatya serta dapat megguakaya utuk meyelesaika masalah yag memuat fugsi kotiu. D. STRATEGI PERKULIAHAN Selama masa pembelajara berlagsug, mahasiswa diharapka utuk aktif melakuka perkuliaha. Diskusi di luar sesi tatap muka Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

9 Aalisis Real I 0 dapat dilakuka dega membuat perjajia terlebih dahulu. Pada setiap topik disiapka lembar kerja mahasiswa utuk diguaka pada sesi tatap muka. Pegerjaa lembar kerja selama proses pembelajara buka dimaksudka haya utuk melakuka latiha soal, amu lebih petig lagi, sebagai bagia proses membetuk pegetahua (costructio of kowledge) da pedalama (iteralisasi) sehigga diharapka mahasiswa dapat aktif dalam diskusi di kelas. Pertayaa-pertayaa pada lembar kerja sudah diracag utuk meujag proses pembelajara. Mahasiswa yag sudah memahami tapa perlu megerjaka lembar kerja lebih lajut dapat meeruska proses pembelajara tapa harus megerjaka keseluruha pertayaa satu demi satu. Secara sigkat, selama pembelajara mahasiswa diharapka ready to thik, da ready to work, tidak sekedar mejadi pembaca atau pedegar utuk mejami terjadiya proses pembelajara yag efektif. Agar Ada berhasil dega baik dalam mempelajari LKM ii, ikutilah petujuk-petujuk berikut ii.. Bacalah dega baik pedahulua LKM ii sehigga Ada memahami tujua dalam mempelajari LKM ii da bagaimaa megguakaya.. Bacalah bagia demi bagia materi yag ada dalam LKM ii, kalau perlu tadai kata-kata/kaliamat yag diaggap petig. 3. Pahami pegertia demi pegertia dari isi LKM ii dega mempelajari cotoh-cotohya, dega pemahama sediri, tukar pikira (diskusi) dega reka atau orag lai. 4. Kerjaka soal-soal latiha dalam LKM ii secara idividu terlebih dahulu, apabila medapat jala butu, barulah Ada melihat pekerjaa rekaa lai atau bertaya kepada pegampu mata kuliah ii. Perlu ditekaka bahwa jawaba Ada tidak perlu sama dega petujuk yag diberika, karea kadag-kadag bayak cara yag dapat kita lakuka dalam meyelesiaka suatu permasalaha terutama utuk kasus-kasus diskret. 3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

10 Aalisis Real I 0 Beberapa kata mutiara dari ajara KONFUSIUS ( SM.) disajika disii: Hidup miski bukalah hal yag memaluka, yag memaluka adalah hidup miski da tidak mempuyai semagat yag tiggi. Memegag posisi yag redah tidaklah megerika, yag megerika adalah memiliki posisi redah da tidak meigkatka kemampua diri. Mejadi tua tidaklah meyedihka, yag meyedihka adalah mejadi tua da telah meyia-yiaka hidupmu. Selamat Nguli, Semagat!!!!! 4 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

11 Aalisis Real I 0 BAB O METODE-METODE DALAM PEMBUKTIAN Secara kasat mata apabila dibadigka dega ilmu lai matematika adalah ilmu yag terdiri atas bayak sekali simbol-simbol yag diragkai dega sedikit kata sehigga kataya bisa membuat rambut yag lurus jadi keritig. Namu apa yag sebearya terjadi. Matematika merupaka cabag utama dari ilmu filsafat. Yag mejadi ibu dari segala ilmu. Matematika juga dikataka sebagai bahasa yag sagat uiversal. Matematika sebagai ilmu pegetahua dega pealara deduktif megadalka logika dalam meyakika aka kebeara suatu peryataa. Proses peemua dalam matematika dimulai dega pecaria pola da struktur, cotoh kasus da objek matematika laiya. Selajutya, semua iformasi da fakta yag terkumpul secara idividual ii dibagu suatu koheresi utuk kemudia disusu suatu kojektur. Setelah kojektur dapat dibuktika kebearaya atau ketidakbearaya maka selajutya ia mejadi suatu teorema. Peryataa-peryataa matematika seperti defiisi, teorema da peryataa laiya pada umumya berbetuk kalimat logika, Jadi membuktika kebeara suatu teorema tidak lai adalah membuktika kebeara suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberika sejak di bagku SLTA. Namu selama ii, sebagia siswa atau guru masih megaggap logika sebagai materi HAPALAN. Tapa meguasai logika maka sulit utuk terbetukya apa yag disebut dega logically thikig. Pola pikir yag terbetuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahka dose selama ii lebih domia pada algorithm thikig atau berpikir secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ii lebih ditekaka pada memahami lagkah-lagkah dalam meyelesaika suatu soal, tapa melihat lebih dalam megapa lagkah- 5 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

12 Aalisis Real I 0 lagkah tersebut dapat dilakuka. Apabila algorithm thikig lebih medomiasi maka kita aka mejadi robot matematika. Pada awalya pekerjaa membuktika da memahami bukti bukalah sesuatu yag mearik karea kita lebih bayak bergelut dega simbol da peryataa logika ketimbag berhadapa dega agka-agka yag biasaya diaggap sebagai karakter matematika. Keyataa iilah mejadika salah satu alasa orag malas utuk memahami bukti dalam matematika. Alasa laiya adalah pekerjaa membuktika lebih sulit da tidak petig. Padahal bayak mafaat yag dapat diperoleh pada pegalama membuktika ii, salah satuya adalah melatih logically thikig dalam belajar matematika. Dalam artikel makig mathematics yag berjudul Proof, dijelaska secara rici megeai bukti dalam matematika yag meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, da how do we prove. Meurut artikel tersebut, terdapat eam motivasi megapa orag membuktika,. to establish a fact with certaity, utuk meyakika bahwa apa yag selama ii diaggap bear adalah memag bear.. to gai uderstadig, utuk medapatka pemahama. 3. to commuicate a idea to others, utuk meyempaika ide kepada orag lai. 4. for the challege, utuk tataga baru 5. to create somethig beautiful, utuk membuat sesuatu yag bersifat idah. 6. to costruct a large mathematical theory, utuk membagu teori matematika yag lebih luas. Metoda Pembuktia Defiisi memaika peraa petig di dalam matematika. Topiktopik baru matematika selalu diawali dega membuat defiisi baru. Beragkat dari defiisi dihasilka sejumlah teorema beserta akibatakibatya. Teorema-teorema iilah yag perlu dibuktika. Selajutya, utuk memahami materi selajutya dibutuhka prasyarat pegetahua logika matematika. 6 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

13 Aalisis Real I 0. Bukti lagsug Bukti lagsug ii biasaya diterapka utuk membuktika teorema yag berbetuk implikasi p q. Dalam hal ii p sebagai hipotesis diguaka sebagai fakta yag diketahui atau sebagai asumsi, da dega megguaka p kita harus meujukka q berlaku. Secara logika pembuktia lagsug ii ekuivale dega membuktika bahwa peryataa p q bear dimaa diketahui p bear. Cotoh A Buktika, jika bilaga gajil maka bilaga gajil. Bukti. Diketahui gajil, jadi dapat ditulis sebagai = - utuk suatu bilaga bulat. Selajutya, = ( - ) =... = ( + ) + = m + : m Karea m merupaka bilaga bulat maka disimpulka gajil.. Bukti taklagsug Kita tahu bahwa ilai kebeara suatu implikasi p q ekuivale dega ilai kebeara kotraposisiya q p. Jadi pekerjaa membuktika kebeara peryataa implikasi dibuktika lewat kotraposisiya. Cotoh B Buktika, jika bilaga gajil maka bilaga gajil. Bukti. Peryataa ii sagat sulit dibuktika secara lagsug. Mari kita coba saja. Karea gajil maka dapat ditulis =... utuk suatu bilaga asli m. Selajutya = m + tidak dapat disimpulka apakah ia gajil atau tidak. Sehigga bukti lagsug tidak dapat diguaka. Kotraposisi dari peryataa ii adalah.... Selajutya diterapka bukti lagsug pada kotraposisiya. Diketahui geap, jadi dapat ditulis = utuk suatu bilaga bulat. Selajutya, yag merupaka bilaga geap. =... = ( ) = m m 7 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

14 Aalisis Real I 0 3. Bukti kosog Bila hipotesis p pada implikasi p q sudah berilai salah maka implikasi p q selalu bear apapu ilai kebeara dari q. Jadi jika kita dapat meujukka bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktika kebeara p q. Cotoh C Didalam teori himpua kita megeal defiisi berikut : Diberika dua himpua A da B. Himpua A dikataka himpua bagia dari B, ditulis A B jika peryataa berikut dipeuhi : jika A maka B. Suatu himpua dikataka himpua kosog jika ia tidak mempuyai aggota. Buktika, himpua kosog merupaka himpua bagia dari himpua apapu. Bukti. Tapa meguragi keumuma bukti dimisalka A =... suatu himpua kosog da B himpua sebarag. Aka dibuktika bahwa peryataa jika A maka B berilai bear. Karea A himpua kosog maka peryataa p yaitu A selalu berilai salah karea tidak mugki ada yag mejadi aggota himpua kosog. Karea p salah maka terbuktilah kebeara peryataa jika A maka B, yaitu A B. Karea B himpua sebarag maka bukti selesai. 4. Bukti trivial Bila pada implikasi p q, dapat ditujukka bahwa q bear maka implikasi ii selalu berilai bear apapu ilai kebeara dari p. Jadi jika kita dapat meujukka bahwaq bear maka kita telah berhasil membuktika kebeara p q. Cotoh D. Buktika, jika 0 < < maka 0 < + Bukti. Karea peryataa q, yaitu 0 < + selalu bear utuk setiap bilaga real termasuk di dalam iterval (0,) maka secara otomatis kebeara peryataa ii terbukti. 8 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

15 Aalisis Real I 0 5. Bukti dega kotradiksi (Reductio ad Absurdum) Metoda ii mempuyai keuika tersediri, tidak mudah diterima oleh orag awam. Dalam membuktika kebeara implikasi p q kita beragkat dari diketahui p da q. Beragkat dari dua asumsi ii kita aka sampai pada suatu kotradiksi. Cotoh E Misalka himpua A didefiisika sebagai iterval setegah terbuka yag dituliska dega A := [0,). Buktika maksimum A tidak ada. Bukti. Diketahui A := [0,) Aka ditujukka bahwa maksimum A tidak ada. Adaika maksimum A ada, kataka p. Maka haruslah 0 < p <, da akibatya p Diperoleh p = < da (p + ) <. p + p < p + = (p + ) < Diperoleh dua peryataa berikut : p maksimum A, yaitu eleme terbesar himpua A. ada q A (yaitu q := (p + )) yag lebih besar dari p. Kedua peryataa ii kotradiktif, jadi pegadaia A mempuyai maksimum adalah salah, jadi haruslah tidak ada maksimum. Latiha Tidak ada bilaga bulat positif da y yag memeuhi persamaa Diophatie - y =. Bukti: Diketahui:. Aka dibuktika: Adaika... Maka pada ruas kiri dapat difaktorka sehigga diperoleh... Karea, y bulat maka persamaa terakhir ii haya dapat terjadi bilamaa. da. atau.. da. 9 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

16 Aalisis Real I 0 Pada kasus pertama aka dihasilka = - da y = 0, sedagka pada kasus kedua dihasilka = da y = 0. Hasil pada kedua kasus ii bertetaga dega hipotesis bahwa. Jadi pegadaia diigkar sehigga diperoleh.. Apabila dicermati ada kemiripa bukti dega kotradiksi da bukti dega kotraposisi. Namu pada dasarya adalah berbeda da perbedaa pada keduaya dapat dijelaska sebagai berikut : Pada metoda kotradiksi, kita megasumsika p da q, kemudia membuktika adaya kotradiksi. Pada bukti dega kotraposisi, kita megasumsika q, lalu membuktika p. Asumsi awal kedua metoda ii sama, pada metoda kotraposisi tujua akhirya sudah jelas yaitu membuktika kebeara p, sedagka pada metoda kotradiksi tujua akhirya tidak pasti pokokya sampai bertemu kotradiksi. Secara khusus jika kita sampai pada peryataa :p maka kotradiksi sudah ditemuka. Jadi metoda kotraposisi merupaka kasus khusus dari metoda kotraposisi. 6. Bukti eksistesial Ada dua tipe bukti eksitesial ii, yaitu kostruktif da takkostruktif. Pada metoda kostruktif, eksistesiya ditujukka secara eksplisit. Sedagka pada metoda takkostruktif, eksistesiya tidak diperlihatka secara eksplisit. Cotoh F Buktika, ada bilaga irrasioal da y sehigga y rasioal. Bukti. Sudah diketahui bahwa irrasioal, aggaplah kita sudah dapat membuktikaya. Sekarag perhatika ( ) Bila teryata ( ) rasioal maka bukti selesai, dalam hal ii diambil = y =. Bila 0 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

17 Aalisis Real I 0 ( ) buka rasioal (yaitu irrasioal), diperhatika bahwa ( ) = merupaka bilaga rasioal. = Jadi salah satu pasaga (,y), dega = y =, atau = ( ) da y = pasti memeuhi peryataa yag dimaksud. Pada bukti ii haya ditujukka eksistesi bilaga irrasioal da y tapa memberikaya secara eksplisit. Ii dikeal dega istilah pembuktia eksistesi o kostruktif. Cotoh G (Bartle ad Sherbert, 994). Bila a da b bilaga real dega a < b maka terdapat bilaga rasioal r dega a < r < b. Bukti. Diperhatika bahwa b a suatu bilaga real positif. Meurut sifat Archimedes terdapat bilaga asli sehigga > b a berlaku b - a > (*). Utuk ii Sekarag ambil m sebagai bilaga bulat pertama yag lebih besar dari a, da berlaku m - a < m (**) Dari (*) da (**) diperoleh a < m a + < b: Betuk terakhir ii dapat ditulis a < m < b, da dega membagi semua ruas dega, didapat a < m < b m da dega megambil r := maka bukti Teorema selesai. Dalam mebuktika eksistesi bilaga rasioal r, ditempuh dega lagkah-lagkah kostruktif sehigga bilaga rasioal yag dimaksud dapat diyataka secara eksplisit. Ii bukti eksistesial dega kostruktif. 7. Bukti ketuggala Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

18 Aalisis Real I 0 Dalam membuktika ketuggala, pertama harus ditujukka eksistesi suatu objek, kataka objek itu. Ada dua pedekata yag dapat ditempuh utuk membuktika bahwa haya satu-satuya objek yag memeuhi, yaitu Diambil objek sebarag, kataka y maka ditujukka y =, atau Misalka y objek sebarag laiya dega y y, ditujukka adaya suatu kotradiksi. cara ii tidak lai megguaka metoda kotradiksi seperti yag sudah dibahas sebelumya. Cotoh H Diberika defiisi limit barisa sebegai berikut : Misalka ( : N) suatu barisa bilaga real. Bilaga real dikataka limit dari ( : N), da ditulis lim( ) = jika da haya jika utuk setiap ε > 0 yag diberika terdapat bilaga asli K sehigga <ε utuk setiap K: Buktika bahwa jika limit barisa ( ) ada maka ia tuggal. Bukti. Di sii tidak diperluka bukti eksistesi karea kita haya aka membahas barisa yag mempuyai limit, atau eksistesiya sudah diasumsika. Sekarag kita guaka pedekata kedua. Adaika barisa X := ( ) mempuyai dua limit yag berbeda, kataka a da b dega a b. Diberika ε := 3 Karea lim( ) = a maka utuk ε ii terdapat K a sehigga b a <ε utuk setiap K a: Juga, karea lim( ) = b maka terdapat K b sehigga b <ε utuk setiap K b: Sekarag utuk maks { K a, K b } maka berlaku a b = a + b a a + b < ε + ε 3 = a b Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

19 Aalisis Real I 0 Akhirya diperoleh a b < a b suatu peryataa yag 3 kotradikstif. Pegadaia a b salah da haruslah a = b, yaitu limitya mesti tuggal. 8. Bukti dega couter eample Pembuktia ii dilakuka dega cara meemuka satu saja kasus yag tidak memeuhi kojektur tersebut maka selesailah urusaya dega kata lai kojektur terbukti. Cotoh I Utuk setiap bilaga asli maka + merupaka bilaga prima. Bukti. Peryataa ii berlaku utuk setiap bilaga asli. Tapi bila bila ditemuka satu bilaga asli, kataka 0 da 0 + tidak prima (komposit) maka kojektur ii tidak bear. Diperhatika beberapa kasus berikut, utuk = diperoleh bilaga 5, = meghasilka 7, = 3 meghasilka 57 da = 4 meghasilka Keempat bilaga ii prima. Coba perhatika utuk = 5, diperoleh 5 + = = (64)(670047). Teryata buka prima. Nah, = 5 merupaka cotoh peyagkala (couter eample). Akhirya disimpulka bahwa kojektur ii salah. 9. Bukti dega iduksi matematika Iduksi matematika adalah cara stadar dalam membuktika bahwa sebuah peryataa tertetu berlaku utuk setiap bilaga asli. Misalka utuk setiap bilaga asli kita mempuyai peryataa P (). Pembuktia dega iduksi matematika terdiri dari dua lagkah yaitu:. Basis Iduksi. Meujukka bahwa peryataa yag aka dibuktika berlaku utuk bilagadega kata lai tujukka bahwa P () bear.. Lagkah Iduksi Meujukka bahwa jika peryataa itu berlaku utuk bilaga maka peryataa itu juga berlaku utuk bilaga ( +). Caraya : 3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

20 Aalisis Real I 0 a. Asumsika bahwa peryataa tersebut bear utuk = k. P (k) utuk suatu k tertetu dalam kasus ii disebut hipotesa iduksi. b. Tujukka bahwa jika peryataa tersebut bear utuk = k, maka peryataa tersebut juga bear utuk = ( k +). c. Dega terbukti (a) da (b) maka dega iduksi matematika dapat disimpulka bahwa peryataa tersebut berlaku utuk setiap bilaga asli. 0. Bukti dua arah Ada kalaya suatu peryataa berupa bi-implikasi, p q. Ada dua kemugkia bi-implikasi berilai bear p q yaitu p bear da q bear, atau p salah da q salah. Dalam praktekya, peryataa ii terdiri dari p q da q p. Membuktika kebeara bi-implikasi p q berarti membuktika kebeara kedua implikasi p q da q p. Selajutya dapat megguaka bukti lagsug, taklagsug atau mugki dega kotradiksi. Cotoh J Buktika, suatu bilaga habis dibagi sembila jika haya jika jumlah agka-agka pembaguya habis dibagi sembila. Bukti. Sebelum kita buktika, dijelaska terlebih dulu maksud dari peryataa ii dega cotoh berikut. Ambil bilaga 35, 53, 35, 53, 35, 53, maka semuaya habis dibagi 9. Coba periksa satu per satu. Misalka p suatu bilaga bulat, maka dapat disajika dalam betuk p = dimaa 0; -,..., 0 bilaga bulat takegatif. Sedagka ilai p ii dapat ditulis dalam betuk berikut : p = Jumlah agka-agka pembaguya adalah s = Pertama dibuktika ( ), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktika s habis dibagi 9. Karea p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k utuk suatu bilaga bulat k. Diperhatika selisih p - s, p - s = ( ) 4 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

21 Aalisis Real I 0 = (0 - ) + (0 - ) (0 - ) Diperhatika bilaga pada ruas kaa selalu habis dibagi sembila, misalya ditulis 9m utuk suatu bilaga bulat m. Jadi diperoleh 9k - s = 9m s = 9(k - m) yaitu s habis dibagi 9. Selajutya dibuktika ( ), yaitu diketahui s habis dibagi 9, dibuktika p habis dibagi 9. Diperhatika p = = 0 + (0 -) + (0 -) (0 -) = [ ] + [ (0 -) + (0 -) (0 -)] s Karea bilaga pada kelompok pertama da kelompok kedua habis dibagi 9 maka terbukti p habis dibagi 9. Metode-metode pembuktia tersebut atiya yag dapat diguaka dalam memahami mata kuliah Aalisis Real I ii. Tak bisa dipugkiri bahwa belajar matematika dega cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhka waktu utuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhka wawasa matematika yag luas utuk belajar membuktika fakta-fakta yag lebih rumit. Oleh karea itu, awalilah dega memahami hal-hal yag bersifat dasar, terutama pahami defiisi, sehigga kebelakagya ada dapat meyelesaika halhal yag lebih kompleks. 5 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

22 Aalisis Real I 0 BAB I SISTEM BILANGAN REAL KOMPETENSI DASAR. Memahami sistem bilaga real da atura dasar yag berlaku di dalamya.. Memahami sifat kelegka-pa bilaga real da dapat megguakaya utuk meujukka eksistesi bilaga irrasioal da bilaga rsioal INDIKATOR: Setelah melakuka proses belajar megajar mahasiswa mampu :. Meyebutka aksioma bilaga real. Memahami teorema dasar yag lagsug dituruka dari aksioma 3. Memahami operasi da himpua bagia pada bilaga real. 4. Memahami sifat uruta pada bilaga real 5. Memahami ketidaksamaa akar & kuadarat 6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri 7. Memahami ketaksamaa Beroulli da Cauchy. 8. Memahami defiisi da sifat harga mutlak 9. Memahami pegertia himpua terbatas. 0. Memahami pegertia supremum da ifimum da sifatya. SUB POKOK BAHASAN :.. Kosep da Struktur Bilaga.. Himpua Bilaga Real.3. Aksioma Bilaga Real da Beberapa Atura Dasar.. Kosep da Struktur Bilaga 6 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

23 Aalisis Real I 0 Bilaga real yag biasa diotasika dega R memaika peraa yag sagat petig dalam Kalkulus. Utuk itu, pertama kali aka diberika beberapa fakta da termiologi dari bilaga real. Namu sebelum membahas bilaga real lebih lajut, ada baikya diigat kembali defiisi bilaga-bilaga yag lai. Pegertia macam-macam bilaga secara umum dapat diuraika sebagai berikut:. Bilaga kompleks Himpua bilaga yag terbesar di dalam matematika adalah himpua bilaga komleks. Himpua bilaga real yag kita pakai sehari-hari merupakahimpua bagia dari himpua bilaga kompleks ii.secara umum bilaga kompleks terdiri dari dua bagia: bagia real da bagia imajeer (khayal).. Bilaga Real (Bilaga Nyata) Bilaga yata adalah semua bilaga yag dapat ditemuka pada garis bilaga dega cara peghituga, pegukura, atau betuk geometrik. Bilaga-bilaga tersebut ada di duia yata. Ada berbagai macam bilaga yag termasuk dalam bilaga yata. Bilaga Real juga dikeal sebagai suatu bilaga yag terdiri dari bilaga rasioal da bilaga irasioal. Bilaga real biasaya disajika dega sebuah garis bilaga. 3. Bilaga Imajier Bilaga imajier adalah apabila sebuah bilaga buka merupaka bilaga yata (dalam artia bilaga tersebut buka merupaka bilaga rasioal maupu irasioal), maka bilaga tersebut dikataka imajier. 4. Bilaga Rasioal Bilaga rasioal adalah bilaga Real yag dapat disusu ulag dalam betuk pecaha di maa a da b harus merupaka bilaga 7 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

24 Aalisis Real I 0 bulat. Jadi, Bilaga irasioal adalah bilaga Real yag TIDAK dapat disusu ulag dalam betuk pecaha. 5. Bilaga Irasioal Bilaga irasioal adalah suatu bilaga yag terdapat pada suatu garis bilaga yag tidak dapat di alokasika dega cara biasa karea bilaga ii tidak dapat digambarka seperti halya bilaga rasioal. 6. Bilaga Bulat Bilaga bulat adalah bilaga o pecaha yag terdiri dari bilaga: Bulat positif (,, 3, 4, 5, ), Nol (0), da Bulat Negatif (,-5,-4,-3,-,-) Di dalam bilaga bulat terdapat bilaga geap da gajil : Bilaga bulat geap adalah bilaga yag habis dibagi dega yaitu {, -6, -4, -, 0,, 4, 6, } Bilaga bulat gajil adalah bilaga yag apabila dibagi tersisa - atau yaitu {, -5, -3, -,, 3, 5, } 7. Bilaga Pecaha Bilaga pecaha merupaka bilaga yag mempuyai jumlah kurag atau lebih dari utuh. Terdiri dari pembilag da peyebut. Pembilaga merupaka bilaga terbagi. Peyebut merupaka bilaga pembagi Macam-macam pecaha ; a. Pecaha biasa Bilaga pecaha yag haya terdiri atas pembilag da peyebut. b. Pecaha Campura Bilaga pecaha yag terdiri atas bilaga utuh, pembilag da peyebut. c. Pecaha Desimal Merupaka bilaga yag didapat dari hasil pembagia suatu bilaga dega 0, 00,.000, dst. 8 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

25 Aalisis Real I 0 d. Pecaha Perse Perse artiya perseratus. Merupaka suatu bilaga dibagi dega seratus. e. Pecaha Permil Permil artiya perseribu. Merupaka suatu bilaga dibagi seribu, ditulis dega tada 8. Bilaga Cacah a. Meurut Kamus Besar Bahasa Idoesia (990:6) bilaga cacah adalah satua dalam sistem matematis yag abstrak da dapat diuitka, ditambah atau dikalika. Himpua bilaga cacah adalah himpua yag semua usur-usurya bilaga cacah {0,,, 3, 4, 5,.}. (Cholis Sa dijah, 00: 93). b. Meurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahma As sari, Gatot Muhsetyo da Akbar Sutawidjaja (997: 99) bilaga cacah dapat didefiisika sebagai bilaga yag diguaka utuk meyataka cacah aggota suatu himpua. Jika suatu himpua tidak mempuyai aggota sama sekali, maka cacah aggota himpua itu diyataka dega ol da diyataka dega lambag 0. Jika aggota suatu himpua haya terdiri atas satu aggota saja, maka cacah aggota himpua tersebut adalah satu da diyataka dega lambag. Demikia seterusya sehigga kita megeal barisa bilaga hasil pecacaha himpua yag diyataka dega lambig 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4,... sebagai bilaga cacah. c. Meurut ST. Negoro da B. Harahap (998: 4) meyataka bahwa bilaga cacah adalah himpua bilaga yag terdiri atas semua bilaga asli da bilaga ol. 9. Bilaga Asli Bilaga asli merupaka salah satu kosep matematika yag palig sederhaa da termasuk kosep pertama yag bisa dipelajari da dimegerti oleh mausia. Bilaga asli adalah suatu bilaga yag mulamula dipakai utuk membilag. Bilaga asli dimulai dari,,3,4, Bilaga Prima 9 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

26 Aalisis Real I 0 Bilaga prima yaitu bilaga yag haya dapat dibagi oleh bilaga da bilaga itu sediri. Semua aggota bilaga prima adalah bilaga gajil kecuali.. Bilaga Komposit Bilaga komposit adalah bilaga asli lebih besar dari yag buka merupaka bilaga prima. Bilaga komposit dapat diyataka sebagai faktorisasi bilaga bulat, atau hasil perkalia dua bilaga prima atau lebih. Sepuluh bilaga komposit yag pertama adalah 4, 6, 8, 9, 0,, 4, 5, 6, da 8. Atau bisa juga disebut bilaga yag mempuyai faktor lebih dari dua. Beberapa hubuga atar bilaga di atas dapat digambarka dalam diagram berikut: Bilaga Komplek Bilaga Real (R) Bilaga Khayal Bilaga Rasioal (Q) Bilaga Irasioal (I) Bilaga Bulat (Z) Bilaga Pecaha Bilaga Bulat Negatif Bilaga Cacah (C) Nol (0) Bilaga Asli (N) Secara umum dalam sistem bilaga, himpua semua bilaga asli dilambagka dega N. Himpua semua bilaga cacah 0 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

27 Aalisis Real I 0 dilambagka dega C. Himpua semua bilaga bulat dilambagka dega himpua Z. Bilaga-bilaga real yag dapat ditulis dalam p betuk dega p,q Z disebut bilaga pecaha. Gabuga atara q himpua bilaga bulat dega bilaga pecaha disebut bilaga rasioal atau terukur da himpua semua bilaga rasioal dilambagka dega Q. Bilaga-bilaga real yag buka bilaga rasioal disebut bilaga irasioal atau tak terukur da himpua semua bilaga dilambagka (I). Bilaga diluar bilaga real disebut bilaga khayal atau imajier, da gabuga atara bilaga real da imajier iilah yag dikeal sebagai bilaga kompleks. Lembar Kerja. Gambarka hubuga ke sebelas jeis bilaga yag telah dipaparka dalam sub bab Kosep da Struktur Bilaga dalam diagram Ve. Jawab: Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

28 Aalisis Real I 0. Buatlah gambar himpua jeis bilaga tersebut dalam garis bilaga! Jawab: 3. Selai jeis bilaga di atas apakah ada jeis bilaga lai yag perah ada keal? Jawab: Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

29 Aalisis Real I 0 3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

30 Aalisis Real I 0.. Himpua Bilaga Real Sub bab ii mejelaska tetag hal-hal yag berkaita dega dega himpua da sistem bilaga real sebagai suatu sistem matematika yag memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapaga yag terurut da legkap yaitu bahwa pada himpua semua bilaga real R yag dilegkapi dega operasi pejumlaha da perkalia berlaku sifat-sifat aljabar dari lapaga. Sifat terurut dari R berkaita dega kosep kepositifa da ketidaksamaa atara dua bilaga real, sedagka sifatya yag legkap berkaita dega kosep supremum atau batas atas terkecil. Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elemeter, seperti Teorema Eksistesi Titik Maksimum da Miimum, Teorema Nilai Tegah, Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, da sebagaiya, didasarka atas sifat kelegkapa dari R ii. Sifat ii berkaita erat dega kosep limit da kekotiua. Dapat dikataka bahwa sifat kelegkapa dari R mempuyai pera yag sagat besar di dalam aalisis real..3. Aksioma Bilaga Real da Beberapa Atura Dasar Defiisi. (Sifat Aljabar dari Bilaga Real) Sistem bilaga R adalah suatu sistem aljabar yag terhadap operasi jumlaha (+) da operasi perkalia ( o ) mempuyai sifat-sifat sebagai berikut: A. (R, +) Grup komutatif, yaitu: (A). a, b R, a + b R (Tertutup) (A). a b, c R, a + ( b + c) = ( a + b) + c, (Assosiatif) (A.3).! o R, a R, a + o = o + a = a (ada eleme Netral ) (A.4). a R! a R, a + ( a) = o = a + a, (Ada eleme Ivers ) (A.5). a, b R, a + b = b + a (Komutatif) B. (R-{0}, o ) Grup Komutatif, yaitu (M)., b R {} 0, a b R { 0} a o (Tertutup) (M). a b, c R {} 0, a o ( b o c) = ( a o b) o c, (Assosiatif) (M3).! R {} 0, a R { 0}, a = a o = a 4 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa o (Ada eleme satua)

31 Aalisis Real I 0 a (M4). a R {} 0,! R {} 0, a = o a = (M5). a b R {} 0 a o b = b o a C. ( R,+,o) distributif o (Ada el ivers ditulis a a, (komutatif) ( b + c) = a o b a o c a, b, c R, a o + Selajutya aggota R disebut sistem bilaga Real / bilaga yata. Teorema. (a). Jika z da a R, z + a = a, maka z = 0 (b). Jika u, b R dega b o da u o b = b, maka u = a ) Bukti: (a). Diketahui z, a R, z + a = a Aka ditujukka bahwa z = 0 Meurut (A4) ( z + a) + ( a) = a + ( a) (A) z + ( a + ( a) ) = a + ( a) (b). Diketahui (A4) z + 0 = 0 (A3) z = 0 u, b R, b 0, u b = b u b b = b b (M4) ( o ) o o u o b o b = b o b (M) ( ) (M4) u o = (M3) u = Teorema.3. (a). Jika a, b R, a + b = 0 maka b = a (b). Jika a 0, b R, a o b = maka Bukti : (a). Diketahui a, b R, a + b = 0 b = a (A4) ( a ) + ( a + b) = ( a) + 0 (A) (( a ) + a) + b = ( a) + 0 (A4) 0 + b = ( a) + 0 (A3) b = a 5 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

32 Aalisis Real I 0 (b). Latiha! Diketahui Teorema.4 Misal (a). Persamaa a = b a, b R, maka + mempuyai peyelesaia tuggal = ( a) + b (b). Jika a 0, persamaa a o = b mempuyai peyelesaia tuggal = o b a Bukti: (a). Dega (A) (A4) & (A3) didapat (( a) + b) = ( a + ( a) ) + b = + b b a + 0 = Q a + = b mempuyai peyelesaia = ( a) + b Misal juga peyelesaia, maka diperoleh: a + = (A4) ( a ) + ( a + ) = ( a) + b (A) ( a + a) + = ( a) + b (A4) 0 = ( a) + b + (A3) = ( a) + b 6 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa b

33 Aalisis Real I 0 (b). Latiha... Teorema.5. Jika a R sebarag, maka Bukti: (a). o 0 = 0 a (c). ( a ) = a (b). ( ) o a = a (d). ( ) o ( ) = ( M 3) (a). a R a o = a a + a o 0 = a o+ a o 0 Q (b). a + ( ) ( c) = a o A3 ( + 0) = a o = a Th( a ) a + a o 0 = a a o 0 = 0 ( M 3) ( ) o a o a = o a + ( c) = ( + ( ) ) o a ( A4) = ( a) = ( ) 0 o a 0 ( a) Q a + o a = 0 o Th ( ) a = a 7 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

34 Aalisis Real I 0 (c). Dari A4 ( a ) + a = 0 (d). Dari Th a a = ( a) b, a digati ( ) o ( ) = ( ) ( c) ( ) o ( ) = Teorema.6 Diberika a, b, c R Bukti: (a). Jika a 0 maka 0 da = a a a (b). Jika a o b = a o c, a 0, maka b = c (c). Jika a o b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (a). a 0 ada a Adaika = 0 a b Th Jadi o a = a = a, maka ( M ) = 3 o a = 0 o a = 0 Kotradiksi. a (b). a 0 0 sehigga dari yag diketahui: a a o b = a o c o a a 8 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa a ( a o b) = o ( a o c) o b = o c b = c (c). Misalka a 0 harus dibuktika b = 0. Karea a 0, maka 0 a (diketahui) Sifat Terurut dari R o a o a. Oleh karea itu ( a b) = 0 o b = 0 b = 0 Sifat terurut dari R berkaita dega kosep kepositifa da ketidaksamaa atara dua bilaga real. Seperti apa kedua kosep o

35 Aalisis Real I 0 tersebut? Di sii, kita aka membahasya. Terlebih dahulu kita aka membahas kosep kepositifaya. (Sifat Kepositifa). Terdapat himpua bagia tak kosog dari R, yag diamaka himpua bilaga real positif Ρ R sehigga memeuhi: (). a, b Ρ a + b Ρ (). a, b Ρ a o b Ρ (3). a R, tepat satu berlaku : a Ρ, a = 0, a Ρ (sifat Trichotomi) Selajutya P disebut himpua bilaga real positif. Sifat Trichotomy ii megataka bahwa R dibagu oleh tiga buah himpua yag disjoi. Tiga buah himpua tersebut adalah himpua { a a P} : yag merupaka himpua bilaga real egatif, himpua { 0 }, da himpua bilaga real positif. Kesepakata : a Ρ a disebut bilaga Real Positif, ditulis a > 0 a Ρ a disebut bilaga Real Negatif, ditulis a < 0 {} a {} a a Ρ 0 disebut bilaga real o egatif, ditulis a 0 a Ρ 0 disebut bilaga real o positif, ditulis a 0 a b Ρ ditulis a > b atau b < a {} a b a b Ρ 0 atau b a a < b < c a < b da b < c a b c a b da b c Pejumlaha k buah suku eleme meghasilka bilaga k. Himpua bilaga k yag dikostruksi dega cara demikia disebut sebagai himpua bilaga asli, diotasika dega N. Himpua N ii merupaka himpua bagia dari himpua. Himpua ii memiliki sifat fudametal, yaki bahwa setiap himpua bagia tak kosog dari N memiliki eleme terkecil. Sifat yag demikia disebut sebagai sifat well-orderig dari N. Selajutya, jika kita ambil sembarag k N. Gabuga himpua N, { } 0, da { k: k N} 9 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa k N maka membetuk suatu himpua yag disebut sebagai himpua bilaga bulat, diotasika dega Z. Himpua bilaga asli N disebut juga sebagai himpua

36 Aalisis Real I 0 bilaga bulat positif, diotasika dega Z +, sedagka himpua { k: k Z} disebut juga himpua bilaga bulat egatif, diotasika dega Z. Dari himpua Z, kita bisa megostruksi bilaga dalam betuk m/, dega 0. Bilaga real yag dapat direpresetasika dalam betuk yag demikia disebut sebagai bilaga rasioal. Sebalikya, bilaga real yag tidak dapat direpresetasika dalam betuk itu disebut sebagai bilaga irasioal. Himpua bilaga rasioal diotasika dega Q. Dapat dikataka bahwa himpua bilaga real R merupaka gabuga dua himpua disjoi, himpua bilaga rasioal da himpua bilaga irasioal. Bilaga da 0 merupaka cotoh bilaga-bilaga rasioal, da dapat ditujukka bahwa, akar dari persamaa =, merupaka cotoh bilaga irasioal. Sekarag, kita sampai kepada pejelasa tetag kosep ketidaksamaa atara dua bilaga real, sebagai salah satu kosep yag berkaita dega sifat terurut dari R. Teorema.7 Diberika a, b, c R (). a > b da b > c a > c (). Tepat satu berlaku : a > b, a = b, a < b (3). a b da a b a = b Bukti: (). Karea a > b da b > c, maka a b Ρ da b c Ρ, sehigga meurut a. D.k.l a > b () didapat ( b) + ( b c) = a c Ρ (). Dega Trichotomi, tepat satu berlaku : a b Ρ, a b = 0, a > b, a = b, a < b ( a b) Ρ (3). Adaika a b, maka a < b da a > b, kotradiksi dega yag diketahui. Teorema.8 Diberika (). a 0 a > 0 (). > 0 a R (3). Ν, > 0 30 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

37 Aalisis Real I 0 Bukti: (). Meurut sifat Trichotomi, utuk a 0, maka a Ρ atau a Ρ Dega sifat uruta () Jadi a > 0 (). Dari () : 0 Ρ. Jadi > 0 = a o a a Ρ atau ( a) o ( a) = a Ρ. o = (3). Dega iduksi matematika: i) = > 0 bear karea () ii) Diaggap bear utuk = k Karea Ρ & k Ρ maka dega sifat uruta () : k + Ρ Q k + > 0. Jadi > 0, Teorema.9 Diketahui a, b, c, d R (). a > b a + c > b + c (). a > b c > d a + c > b + d (3). a > b c > 0 ac > bc a > b c < 0 ac < bc (4). a > 0 > 0 a a < 0 < 0 a Bukti: (). Dari a > b, maka a b Ρ. a b ( a + c) ( b + c) = Ρ a + c > b + c (). Karea a > b c > d maka a b Ρ da c d Ρ Dega sifat uruta () : ( a b) + ( c d ) = ( a + c) ( b + d ) Ρ Q a + c > b + d (3). Dari a > b da c > 0, maka a b Ρ da c Ρ Dega sifat uruta () : ( a b) o c Ρ Q ac > bc (4). Latiha. ac bc Ρ 3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

38 Aalisis Real I 0... Teorema.0 Jika Bukti : a < b maka a < ( a + b) < b Diketahui a < b a = a + a < a + b a < b a + b < b + b = b Ν > 0 da > 0 ( a + b) a < < b ( a + b) a < ( a + b) < b Teorema. Jika a R da 0 a < ε, utuk sebarag bilaga ε > 0 maka a = 0 Bukti: Adaika a 0, a > 0. Dega Teorema sebelumya, 0 < a < a. Diambil bilaga ε = 0 a, maka 0 < ε < a 0. Kotradiksi dega yag diketahui : 0 a ε, ε > 0 Q Pegadaia a 0 salah Teorema. (Teorema Ketidaksamaa Beroulli) R da > maka ( + ) +, Ν 3 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

39 Aalisis Real I 0 Bukti: Dega iduksi matematika: i) = ( + ) + bear ii) Diaggap bear utuk = k : ( + ) + k iii) = k + k + k ( + ) = ( + ) ( + ) ( + k)( + ) = + ( k + ) + k ( + ) + Q. k + ( k + ) HARGA MUTLAK Defiisi.3 (Nilai Mutlak) Nilai mutlak dari bilaga real a, diotasika dega a, didefiisika dega a, a 0 a : = a, a < 0. Nilai mutlak dari bilaga-bilaga real ii memiliki sifat-sifat tertetu, di ataraya seperti yag tertuag dalam fakta berikut ii. Teorema.4. a = 0 a = 0. a = a 3. ab = a b utuk setiap a, b R. 4. Misalka c 0 da a R, a c jika da haya jika c a c. 5. Misalka c 0 da a R, a c jika da haya jika a c atau a c. 6. a < a < a, a R Bukti:. Jelas dari defiisi. a R i) a = 0 a = 0 a = a ii) a > 0 a < 0 a = a = ( a) = a iii) a < 0 a > 0 a = a = a 33 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

40 Aalisis Real I 0 3. Diberika a, b R. Jika a = 0 atau b = 0maka ab = 0 = 0 da ab= 0. Jika ab>, 0 maka ab > 0, a = a, da b = b, sehigga ab = ab da ab = ab. Jika a > 0 da b < 0 maka ab < 0, a = a, da b = b, sehigga ab = ab da ab= a( b) = ab. Utuk kasus a < 0 da b > 0, peyelesaiaya serupa dega kasus sebelumya. 4. Misalka a c. Utuk a 0, kita peroleh a = a c, sehigga didapat 0 a c. Utuk a 0, kita peroleh a = a c atau a c, sehigga didapat c a 0. Dega meggabugka hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh c a c. Utuk sebalikya, misalka c a c. Hal tersebut megadug arti c a da a c. Dega kata lai, a c da a c. Lebih sederhaa, yag demikia dapat dituliska sebagai a c. 5. Misalka a c. Utuk a 0, kita peroleh a = a c. Utuk a 0, kita peroleh a = a c atau a c. Dega meggabugka hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh a c atau a c. sebalikya, jika a lai, a c. Utuk c atau a c maka a c atau a c. Dega kata 6. Jelas bahwa a 0 da oleh karea itu meurut (4) diperoleh a < a < a Selajutya, kita sampai kepada sifat ilai mutlak yag lai, yag diamaka dega Ketidaksamaa Segitiga. Ketidaksamaa ii mempuyai keguaa yag sagat luas di dalam matematika, khususya di dalam kajia aalisis da aljabar. Teorema.5 (Teorema Ketaksamaa Segitiga) Utuk Bukti: a, b, R, a + b a + b Utuk a, b R : a a a b b b 34 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

41 Aalisis Real I 0 35 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa Diperoleh : b a b a b a + + ( ) ( ) b a b a b a b a b a Akibat.6 (). b a b a (). b a b a + Bukti: ). Utuk R b a, (i) b b a b b a a + + = (ii) ( ) a b a a b a a a b a a b b + = + = + + Sehigga b a b a dari (i) b a a b atau b a b a dari (ii) Jadi b a b a b a D.k.l b a b a ). ( ) b a b a b a b a + = + + = Cotoh.7 Tetuka 0 > Μ sehigga ( ) [ ],,4 Μ f dega ( ) = f Jawab: ( ) = + + = f = = =

42 Aalisis Real I 0 ( ) f = = = Μ, [,4] 5 4. Lembar Kerja.. Cari semua peyelesaia dari ketidaksamaa Jawaba. Perhatika bahwa ( )( ) < 6. < 6 6< < 0. Dari sii diperoleh bahwa + > 0 da 3< 0, atau. da. Utuk kasus yag pertama kita dapatka > da < 3, atau dega kata lai. Utuk kasus yag kedua kita peroleh bahwa < da > 3. Perhatika bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada ilai yag memeuhiya. Dega demikia, { : < < 3} ketidaksamaa R.. Selidiki apakah ketidaksamaa memiliki peyelesaia. Jawaba: < 6 dipeuhi oleh semua > Cari himpua peyelesaia dari + < Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

43 Aalisis Real I 0 Jawaba:.. 4. Tetuka himpua peyelesaia dari. Jawaba:.. 37 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

44 Aalisis Real I Selidiki apakah ketidaksamaa memiliki peyelesaia. Jawaba: Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

45 Aalisis Real I 0 Sifat Kelegkapa R Sifat kelegkapa berkaita dega kosep supremum atau batas atas terkecil. Utuk itu, kita aka bahas terlebih dahulu apa yag dimaksud dega batas atas dari suatu himpua bilaga real, da kebalikaya, yaitu batas bawahya. Defiisi.8 (i). Himpua A R da A φ dikataka terbatas ke atas (bouded above) jika ada bilaga real k sehigga berlaku a k utuk setiap a A. Selajutya k disebut batas atas (upper boud) himpua A. (ii). Himpua A R da A φ dikataka terbatas ke bawah (bouded below) jika ada bilaga real l sehigga berlaku l a utuk setiap a A. Selajutya l disebut batas atas (lower boud) himpua A. (iii). Himpua A R dikataka terbatas (bouded) jika A terbatas ke atas da terbatas ke bawah. Defiisi.9 (i). Bilaga real M R disebut batas atas terkecil (supremum) atas himpua A R jika memeuhi: a. a M utuk setiap a A. b. Jika a M utuk setiap a A maka M M (ii). Bilaga real m R disebut batas bawah terbesar (ifimum) atas himpua A R jika memeuhi: c. m a utuk setiap a A. d. Jika m a utuk setiap a A maka m m Teorema.0 (i). M supremum himpua A jika da haya jika memeuhi a. M batas atas himpua A b. Utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat a A sehigga (ii). M ε < a M m ifimum himpua A jika da haya jika memeuhi c. m batas bawah himpua A 39 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

46 Aalisis Real I 0 Bukti d. Utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat a A sehigga m a m + ε. (i). ( ) Karea M supremum (batas atas terkecil) himpua A maka a M utuk setiap a A da utuk setiap bilaga ε > 0, M ε buka batas atas himpua A. Berarti ada a A sehigga M ε < a. Karea M batas atas terkecil himpua A maka utuk setiap khususya Jadi terbukti ada a A berlaku a M. ( ) Diketahui bahwa a A sehigga M ε < a M. a A a M da utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat a A sehigga M ε < a M. Hal ii berarti tidak ada batas atas M sehigga M < M. Adaika ada batas atas M dega Kemudia diambil ε o = M M maka diperoleh kotradiksi M < M. ( M M ) = M a M = M ε o <. Dega kata lai terbukti bahwa M supremum himpua A (ii). ( ) Karea m ifimum (batas bawah terbesar) himpua A maka a m utuk setiap a A da utuk setiap bilaga ε > 0, m + ε buka batas atas himpua A. Berarti ada a A sehigga a < m + ε. Karea m batas bawah terbesar himpua A maka utuk setiap khususya Jadi terbukti ada a A berlaku m a. ( ) Diketahui bahwa a A sehigga m a < m + ε. a A m a da utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat a A sehigga m a < m + ε. Hal ii berarti tidak ada batas bawah m sehigga m < m. Adaika ada batas bawah m dega m < m. Kemudia diambil ε m m maka diperoleh kotradiksi o = ( m m) m a < m + ε o = m + =. Dega kata lai terbukti bahwa m ifimum himpua A. Selajutya jika A R, A φ da A terbatas maka supremum atau ifimumya ada di R. 40 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

47 Aalisis Real I 0 Teorema. (Aksioma Supremum) Jika A R, A φ da A terbatas ke atas maka A mempuyai supremum di R, yaitu terdapat M R sehigga M = supa. Akibat. Jika A R, A φ da A terbatas ke bawah maka A mempuyai ifimum di R, yaitu terdapat m R sehigga m = if A. Serig mucul pertayaa, apakah perbedaa atara supremum (ifimum) dega maksimum (miimum)? Cotoh sebelumya tetag himpua { : 0 < < } ii. Himpua { : 0 < < } maksimum, karea tidak ada, M { : 0 < < } R, bisa mejadi ilustrasi utuk mejelaska hal R tidaklah mempuyai miimum da m R sedemikia sehigga m da M, utuk setiap { : 0 < < } supremum da ifimum, himpua { : 0 < < } R. Sedagka utuk R memilikiya, yaitu da 0, masig-masig secara beruruta. Eleme miimum da maksimum haruslah eleme dari himpua yag bersagkuta, tetapi eleme ifimum da supremum tidaklah harus demikia. Jadi eleme ifimum da supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam himpua yag bersagkuta. Himpua { : 0 } R memiliki ifimum da supremum, yaitu eleme da 0, yag termasuk ke dalam himpua { : 0 } Catata : R. ). If & sup tidak perlu jadi aggota Cotoh : S = { : 0 < } 3 < ). Suatu himpua bisa jadi puya batas bawah tapi tidak puya batas atas, da sebalikya puya batas atas, tidak puya batas bawah. Misal: S = { R : 0} Puya batas bawah tapi tidak puya batas atas S = { R : < 0} Puya batas atas tapi tidak puya batas bawah Sifat Kelegkapa R. Setiap himpua tak kosog da terbatas di atas dalam R mempuyai supremum dalam R 4 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

48 Aalisis Real I 0. Setiap himpua tak kosog da terbatas di bawah dalam R mempuyai ifimum dalam R Selajutya, mugki kita mempertayaka apakah eleme supremum atau ifimum tuggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ii. Misalka u, v R adalah supremum dari himpua yag terbatas atas U. Utuk meujukka bahwa supremum dari U adalah tuggal, berarti kita harus meujukka bahwa u = v. Utuk meujukkaya, perhatika bahwa u w da v w, utuk setiap w, batas atas dari U. Karea u da v juga batas atas dari U, kita memiliki u v da v u. Yag demikia berarti u = v atau supremum dari U adalah tuggal. Dega mudah, dapat pula kita tujukka bahwa ifimum dari suatu himpua yag terbatas bawah juga tuggal. Berdasarka semua pejelasa pada subbab ii, kita mempuyai suatu aksioma yag sagat esesial. Aksioma iilah yag dimaksud dega sifat Kelegkapa dari R Aksioma.3 (Sifat Kelegkapa dari R ). Setiap himpua bagia dari R yag terbatas atas memiliki supremum di R. Aksioma tersebut megataka bahwa R, digambarka sebagai himpua titik-titik pada suatu garis, tidaklah berlubag. Sedagka himpua bilaga-bilaga rasioal Q, sebagai himpua bagia dari R yag juga memeuhi sifat aljabar (lapaga) da terurut, memiliki lubag. Iilah yag membedaka R dega Q. Karea tidak berlubag iilah, R, selai merupaka lapaga terurut, juga mempuyai sifat legkap. Oleh karea itu, R disebut sebagai lapaga terurut yag legkap. Peetua supremum dari himpua { t : t 0, < } T : = Q t bisa dijadika ilustrasi utuk mejelaska termiologi lubag pada himpua Q. Supremum dari T Q yaitu, yag merupaka akar dari persamaa =, bukalah bilaga rasioal. Bilaga ii merupaka salah satu lubag pada Q. Maksudya, supremum dari T Q adalah yag buka merupaka eleme dari Q. Sehigga dapat dikataka bahwa aksioma kelegkapa tidak berlaku 4 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

49 Aalisis Real I 0 pada Q. Tetapi jika kita bekerja pada R, yag demikia tidak aka terjadi. Lembar Kerja 3. ). S R, S φ, terbatas dalam R Buktika Sup S = if { s : s S} Bukti: Misalka T = { s : s S} Dega sifat kelegkapa, S mempuyai... dalam R Mislka u = sup S, sehigga berlaku... Oleh karea itu u adalah... dari T. Dega sifat kelegkapa, T mempuyai... dalam R Misalka l = if T Dalam hal ii: u l atau l u... () Di pihak lai : l s, s S sehigga berlaku s l, s S yaitu l batas atas dari S da u l... (). Dari () & () didapat u = l atau sup S = if T ). S φ, u batas atas S dega u S. Buktika u = sup S Bukti : 3). S φ, u = sup S. Buktika : (). u buka batas atas S. 43 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

50 Aalisis Real I 0 Bukti: (). u + batas atas S, N Teorema.4 (i). Jika (ii). Jika Bukti: terbatas ke atas, maka sup( A) sup ( B) A B R, B terbatas ke bawah, maka if ( A) if ( B) A B R, B (i). Karea A B da B terbatas ke atas, maka A juga terbatas ke atas. Diambil k sebarag batas atas himpua B. Karea A B, maka k juga merupaka batas atas A. Jadi sup ( B ) merupaka batas atas himpua A. Akibatya : Sup ( A ) sup ( B ) (ii). Latiha Bukti: 44 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

51 Aalisis Real I 0 Teorema.5 Diberika, B R& R. Jika A, B R da terbatas, maka (i). sup ( A + B) sup ( A ) + sup ( B ) (ii). If ( A + B) if ( A ) + if ( B ) Bukti : A Didefiisika A+ B = { a + b: a A& b B} (i). Misal M = sup ( A ) da M =sup ( B ). Berdasarka defiisi supremum diperoleh bahwa a A, a M da b B, b M. Akibatya a + b A + B, a + b M + M M + M batas atas A + B sehigga sup ( A + B) M + M = sup ( A ) + sup ( B ) (ii) Latiha Bukti: 45 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa

52 Aalisis Real I 0 Teorema.6 (Sifat Archimedes) Jika R maka terdapat N sehigga <. Bukti : Diambil sebarag R. Adaika tidak ada N sehigga <, berarti utuk setiap N. Akibatya N terbatas ke atas dega salah satu batas atasya adalah. Dega megguaka aksioma supremum berarti N mempuyai supremum. Namaka u = supn. Jika diambil ε = maka u buka batas atas N. Jadi terdapat m N dega sifat u < m, akibatya u < m +. Karea u < m + da m + N maka terjadi kotradiksi dega asumsi bahwa u merupaka batas atas N. Jadi pegadaia diigkar. Dega kata lai terbukti bahwa jika maka terdapat N sehigga <. Akibat.7 Diberika y da z bilaga real positif, maka R (i). N z < y (ii). N 0 < < y (iii). N z < Bukti : Diketahui y da z bil real positif. (i). Ambil = z > 0. Dega sifat archimedes, N sehigga = z < y y Q z < y (ii). Khususya z =, (i) mejadi < y atau 0 < < y (iii). Misal S = { m N : z < m} S φ, karea sifat archimedes S N, karea N mempuyai eleme terkecil maka S mempuyai eleme terkecil. Misal eleme terkecil, maka Teorema.8 (eksistesi 46 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Udayaa z <. ) : bilaga real positif sehigga Teorema Kerapata.9 Jika da y bilaga real sehigga maka bilaga rasioal r sehigga < r < y < y, =.