BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Pengertian Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-bilangan dalalm susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1988: 22). Jika adalah sebuah matriks, maka akan meggunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan kolom dari matriks. Secara umum matriks dituliskan sebagai berikut: Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis ) karena memiliki baris dan kolom. Contoh:, matriks berukuran.

2 Penjumlahan Matriks Jika dan adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan (Howard Anton, 1988 : 23). Contoh : Misalkan dan Maka Perkalian Matriks Jika adalah matriks dan adalah matriks, maka hasil kali adalah matriks yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris- dan kolom- dari, pilihlah baris- dari matriks dan kolom- dari matriks. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan (Anton, 1988 :25). Contoh : Diketahui, dan Tinjaulah perkalian matriks dan. Karena adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran maka hasil kali adalah matriks. Perhitunganperhitungan untuk hasil kali adalah:

3 8 Jadi, diperoleh Perkalian Matriks Dengan Bilangan Jika adalah suatu matriks dan adalah suatu bilangan, maka hasil kali (product) adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari oleh. Dalam hal ini ditulis. Khususnya dengan yang disebut negatif dari, diartikan matriks yang diperoleh dari dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan atau cukup dengan mengubah tanda semua elemennya. Contoh : Diketahui matriks Maka dan 2.2 Masalah Transportasi Model transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan tujuan untuk mengangkut barang tunggal dari berbagai asal (origin) ke berbagai tujuan (destination) dengan biaya angkut serendah mungkin (Taha, 1996). Adanya informasi tentang besar kapasitas tiap tiap asal, permintaan total masing-masing tempat tujuan, dan biaya pengiriman per unit barang untuk lintasan yang dimungkinkan, maka model

4 9 transportasi digunakan untuk menentukan program pengiriman optimal yang melibatkan biaya pengiriman total yang minimum. Model transportasi adalah suatu kasus khusus dari persoalan program linear, berarti model transportasi memiliki ciri khas yang dimiliki pula oleh masalah program linear, yaitu: 1. Fungsi objektif (tujuan) yang linear Struktur persyaratan linear Setiap persoalan program linear memiliki sekumpulan persyaratan linear,yaitu: 2. Persyaratan tidak negatif Variabel struktur dan variabel slack masalah program linear terbatas pada nilai tidak negative, ditulis: Koefisien bernilai 1 atau 0 ialah koefisien variabel struktur. Dalam arti sederhana, model transportasi berusaha menentukan rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Data dalam model ini mencakup: 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. 2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan. Karena hanya terdapat suatu barang, sebuah tujuan dapat menerima permintaannya dari suatu sumber atau lebih. Tujuan dari model ini adalah menentukan

5 10 jumlah yang harus dikirim dari setia sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total diminimumkan. Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang dikirimkan. Gambar dibawah ini memperlihatkan sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan sumber dan tujuan. Sebuah sumber dan tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber adala dan permintaan di tujuan adalah. Biaya unit transportasi antara sumber dan adalah. Anggap mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber ke tujuan, maka model LP yang mewakili masalah transportasi ini diketahui secara umum sebagai berikut: Sumber Tujuan 1 : 1 Unit penawaran 2 2 unit permintaan m : n Minimumkan: Dengan batasan:

6 11 Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaannya. Model yang baru digambarkan diatas menyiratkan bahwa penawaran total harus setidaknya sama dengan permintaan total. Ketika penawaran total sama dengan permintaan total ( = ), formulasi yang dihasilkan disebut Model Transportasi Berimbang (balanced transportation model). Model ini berbeda dengan model di atas hanya dalam fakta bahwa semua batasan adalah persamaan yaitu: Dalam kehidupan nyata tidak selalu dapat dipastikan bahwa penawaran sama dengan permintaan atau melebihinya. Tetapi sebuah model transportasi dapat selalu berimbang. Pengimbangan ini disamping kegunaanya dalam pemodelan situasi praktis tertentu, penting untuk pengembangan sebuah metode pemecahan sepenuhnya memanfaatkan struktur khusus dari model transportasi ini. Untuk mendapat gambaran yang jelas tentang model transportasi akan ditampilkan contoh persoalan berikut. Sebuah perusahaan memiliki tiga pabrik di luar kota dan menghasilkan barang yang sama. Produksi ketiga pabrik ini di sebarkan ke empat toko penjualan. Tiga pabrik ditandai dengan. Sedangkan toko tempat penyaluran barang ini ditandai dengan. Data relevan tentang kapasitas pabrik maupun permintaan pelanggan dan biaya pengiriman tiap rute ditampilkan dalam tabel berikut.

7 12 Asal Tabel 2.1 Model Transportasi Destination (Tujuan) Kapasitas Asal Permintaan Tujuan Matriks persoalan transportasi ini memiliki 3 baris dan 4 kolom. Dalam menyelesaikan permasalahan transportasi dibutuhkan persyaratan sebagai berikut:, yang merupakan persyaratan yang harus dipenuhi. Dalam tabel perlu diperhatikan bahwa subskrip pertama disetiap simbol menunjukkan asal tertentu dan subkrip kedua menunjukkan tujuan tertentu. Misalkan adalah biaya pengangkutan 1 unit barang dari ke, dan variabel ialah banyak unit barang yang diangkut ke. Jika adalah banyak baris dan adalah banyak kolom dalam persoalan transportasi, maka dapat dinyatakan persoalan secara lengkap dengan persamaan. Jika persyaratan dipenuhi, maka selalu mungkin untuk menyusun penyelesaian dasar awal. Ini berarti banyak sel yang terisi dalam program transportasi kurang dari banyaknya baris dan kolom dalam matriks transportasi. Jika banyaknya sel terisi kurang dari, maka persoalan transportasi mengalami kemerosotan (Soemartojo, 1994: 295)