Transkripsi

1

2

3

4

5

6 v Prkt Selmt, kli telh ik ke kels XII Progrm Bhs. Tetuy hl ii mejdi kebgg tersediri bgi kli. Semog kli terpcu utuk berpikir lebih dews lgi. Meskipu sudh ik ke kels XII, kli tidk boleh legh d bersti-sti. Igt, ttg yg k kli hdpi di kels ii tidklh rig. Sebetr lgi kli k meghdpi uji siol. Aplgi bgi kli yg k meljutk ke jejg perguru tiggi. Tetuy kli k mempersipk diri megikuti uji msuk ke perguru tiggi fvorit. Kli hrus tetp mejg semgt gr cit-cit kli tercpi. Buku ii k membtu kli mewujudk citcit kli. Buku ii disusu deg urut peyji sedemiki rup sehigg kli k mers seg utuk medlmiy. Dlm pembeljry, buku ii meutut kli utuk ktif d bertidk sebgi subjek pembeljr. Kli ditutut utuk megostruksi, megeksplorsi, d meemuk sediri kosep-kosep mtemtik sehigg kli betul-betul kompete secr mtg, khususy di bidg mtemtik. Di kels XII Progrm Bhs ii, kli k mempeljri mteri-mteri berikut: Progrm Lier Mtriks Bris d Deret Peulis berhrp semog buku ii dpt membtu kli dlm mempeljri kosep-kosep mtemtik. Akhiry, semog kli berhsil d sukses. Solo, Februri 008 Peulis

7 vi Dftr Isi Kt Smbut... Prkt... Dftr Isi... iii v vi Semester Bb I Progrm Lier A. Sistem Pertidksm Lier Du Vribel... B. Mercg Model Mtemtik yg Berkit deg Progrm Lier... 8 C. Meyelesik Model Mtemtik d Mefsirky... Rgkum... 5 Ltih Ulg Hri I... 6 Bb II Mtriks A. Pegerti Dsr tetg Mtriks... B. Kesm Du Mtriks... 0 C. Opersi pd Mtriks d Sift-Sifty... D. Blik tu Ivers Mtriks E. Meyelesik Sistem Persm Lier Rgkum Ltih Ulg Hri II Ltih Ulg Umum Semester... 8 Semester Bb III Bris d Deret A. Notsi Sigm B. Bris d Deret C. Deret Khusus d Deret Geometri Tk Berhigg... 7 D. Peggu Bris d Deret... 5 E. Deret dlm Hitug Keug (Pegy)... 7 Rgkum... 5 Ltih Ulg Hri III... 6 Ltih Uji Nsiol... 9 Dftr Pustk... Glosrium... Ideks Subjek... 5 Kuci Sol-Sol Terpilih... 6

8 Progrm Lier Bb I Progrm Lier Sumber: Esiklopedi Peljr, 999 Motivsi Setip pedgg, pegush, tu org yg berkecimpug di bidg ush psti megigik keutug sebyk-byky terhdp p yg diupyky. Slh stu cr yg dpt ditempuh dlh meek biy produksi higg sekecil-kecily. Deg meyederhk beberp fktor yg berpegruh pd proses tersebut, pedgg tu pegush dpt membetuk sutu model mtemtik. Progrm lier merupk slh stu metode yg dpt diguk utuk meyelesik model mtemtik sederh. Tuju Pembeljr Setelh mempeljri bb ii, dihrpk kli dpt. meetuk peyelesi sistem pertidksm lier du vribel;. meetuk fugsi tuju (fugsi objektif) besert kedl yg hrus dipeuhi dlm mslh progrm lier;. meggmbrk kedl sebgi derh di bidg yg memeuhi sistem pertidksm lier;. meetuk ili optimum dri fugsi tuju sebgi peyelesi dri progrm lier; 5. mefsirk ili optimum yg diperoleh sebgi peyelesi progrm lier.

9 Mmt Apliksi SMA Bhs Pet Kosep Progrm Lier mempeljri Sistem Pertidksm Lier membhs Meetuk Nili Optimum Sutu Fugsi Objektif deg metode Himpu Peyelesi Sistem Pertidksm Lier Du Vribel deg Grfik Progrm Lier d Model Mtemtik Uji Titik Sudut Gris Selidik Kt Kuci fugsi objektif fugsi kedl model mtemtik ili mksimum ili miimum ili optiml optimsi pertidksm progrm lier sistem pertidksm lier

10 Progrm Lier Progrm lier sebgi bgi dri mtemtik byk diguk dlm berbgi bidg, tr li dlm bidg ekoomi, perti, d perdgg. Deg megguk progrm lier, seseorg dpt meghitug keutug mksimum tu biy miimum. Hl itu sgt bergtug pd pembts tu kedl, yitu sumber dy yg tersedi. Dlm mempeljri progrm lier, kit perlu megigt kembli cr meetuk himpu peyelesi pertidksm lier du vribel deg megguk grfik. Oleh kre itu, kit wli pembhs ii deg megulg kembli cr meetuk himpu peyelesi sistem pertidksm lier du vribel. Setelh hl ii kit phmi deg bik, kit ljutk pembicr ii deg membhs pegerti progrm lier d model mtemtik, meetuk ili optimum betuk objektif, sert meyelesik sol-sol progrm lier. Sebelum mempeljri bb ii, d biky kli jwb solsol berikut. Uji Prsyrt Kerjk di buku tugs. Gmbrlh grfik yg meytk himpu peyelesi dri:. 6x + 5y < x 6y 5 b. { 5x + y 6. Tetuk himpu peyelesi sistem persm lier 5x y { 6x + y 7 deg metode substitusi d metode elimisi.. Ade membeli buku d sebuh bolpoi di Toko Permt Ibu. Ade hrus membyr Rp7.000,00. Di toko yg sm Ri membeli sebuh buku d du bolpoi. Ri hrus membyr Rp.000,00. Berp hrg buku di toko Permt Ibu? Berp pul hrg bolpoi? Setelh kli mmpu mejwb sol-sol di ts, mri kit ljutk ke mteri berikut. A. Sistem Pertidksm Lier Du Vribel Sistem pertidksm lier du vribel dlh sutu sistem (gbug du tu lebih) pertidksm lier yg memut du vribel. Himpu peyelesi dri sistem pertidksm lier du vribel merupk iris tu iterseksi dri himpu peyelesi pertidksm lier yg terdpt pd sistem

11 Mmt Apliksi SMA Bhs pertidksm itu. Dlm betuk grfik pd bidg koordit, himpu peyelesi itu berup derh yg dibtsi oleh grisgris dri sistem persm liery. Perhtik cotoh-cotoh berikut. Cotoh:. Gmbrlh himpu peyelesi pertidksm lier berikut pd bidg Crtesius. (R dlh himpu bilg rel). x + y 6, deg x, y R b. x + y <, deg x, y R Peyelesi: Sebelum meetuk derh peyelesiy, kit perlu melukis bts-bts derhy, yki grfik x + y 6 d grfik x + y. Kre bts yg dimksud berbetuk lier, dpt dipstik bhw btsbts derhy berup gris-gris lurus. Jdi, utuk melukisy cukup ditetuk titik ggoty, kemudi meghubugky mejdi sebuh gris lurus. Du titik ggoty yg mudh dihitug dlh titik potog gris itu deg sumbu X d sumbu Y. Skem perhitugy dpt diliht pd tbel berikut. Tbel. x 0... y... 0 (x, y) (0,...) (..., 0). x + y 6, deg x, y R Bts derh peyelesiy dlh grfik x + y 6. Titik potog grfik deg sumbu X, syrty y 0. Berrti, x + (0) 6 x 6 x. Oleh kre itu, titik potog grfik deg sumbu X dlh (, 0). Titik potog grfik deg sumbu Y, syrty x 0. Berrti, (0) + y 6 y 6 y. Oleh kre itu, titik potog grfik deg sumbu Y dlh (0, ). Jdi, isi tbel selegkpy dlh sebgi berikut. Tbel. x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) Grfik x + y 6 dpt diperoleh deg membut gris yg meghubugk titik (, 0) d (0, ) seperti pd gmbr berikut.

12 Progrm Lier 5 Y Y O (0, ) (, 0) x + y 6 X O (0, ) x + y 6 Gmbr. Gmbr. Pd Gmbr., tmpk bhw gris x + y 6 membgi bidg Crtesius mejdi du derh, yitu derh di sebelh k (ts) gris d derh di sebelh kiri (bwh) gris itu. Utuk meetuk derh yg memeuhi pertidksm x + y 6, kit mbil sembrg titik utuk diselidiki, misly titik (0, 0). Kit substitusik (0, 0) pd pertidksm x + y 6 (0) + (0) 6 sehigg diperoleh 0 6. Berdsrk substitusi itu terliht bhw pertidksm 0 6 Kethuilh berili slh. Berrti, titik (0, 0) tidk berd pd derh peyelesi x + Pd buku ii, kit tetpk bhw derh himpu peyelesi y 6. Kre derh yg dimit pertidksm dlh derh yg dlh x + y > 6, titik-titik yg bersih (yg tidk dirsir), sedgk derh yg diberi rsir buk derh peyelesi. Jdi, derh berd pd gris x + y 6 termsuk merupk derh himpu peyelesi. peyelesiy dlh derh yg tidk dirsir, seperti pd Gmbr.. b. x + y <, deg x, y R Titik potog grfik x + y deg sumbu koordit Tbel. x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) Jdi, titik potogy dlh (0, ) d (, 0). Grfiky dlh sebgi berikut. (, 0) X Y Y (0, ) (0, ) (, 0) (, 0) O x + y X O x + y < X Gmbr. Gmbr.

13 6 Mmt Apliksi SMA Bhs Kit selidiki titik (0, 0) deg meyubstitusiky pd pertidksm x + y < sehigg diperoleh 0 + (0) < 0 <. Terliht bhw pertidksm 0 < ber. Berrti, titik (0, 0) berd pd derh peyelesi x + y <, sedgk gris x + y tidk memeuhi pertidksm sehigg digmbr putus-putus. Jdi, derh peyelesiy dlh derh yg tidk dirsir, seperti terliht pd Gmbr... Gmbrlh pd bidg Crtesius, himpu peyelesi dri sistem pertidksm berikut, utuk x, y R.. x + y { x + y b. { x, y 0 x + y 7 x + y Peyelesi:. Sistem pertidksm x + y d x + y, deg x, y R Titik-titik potog gris x + y d x + y deg sumbu koordit Utuk x + y Utuk x + y Tbel. Tbel.5 x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) Y (0, ) O (0, ) (, ) (, 0) x + y Gmbr.5 (, 0) x + y X Keterg: Peyelesi pertidksm x + y dlh derh di sebelh kiri gris x + y (yg dirsir di sebelh k). Peyelesi pertidksm x + y dlh derh di sebelh kiri gris x + y (yg dirsir di sebelh k). Titik potog gris x + y d x + y x + y x + y x Berrti, x + y + y y. Jdi, titik potogy dlh (, ). Deg demiki, himpu peyelesi sistem pertidksm x + y, x + y, utuk x, y R dlh derh yg tidk dirsir (bersih), seperti terliht pd Gmbr.5. b. Sistem pertidksm: x, y 0, x + y 7, x + y Titik-titik potog gris x + y 7 d x + y deg sumbu koordit

14 Progrm Lier 7 Utuk x + y 7 Utuk x + y Tbel.6 Tbel.7 x 0 7 x 0 6 y 7 0 y 8 0 (x, y) (0, 7) (7, 0) (x, y) (0, 8) (6, 0) Y C(0, 7) O (0, 8) B(, ) Gmbr.6 A(6, 0) x + y (7, 0) X x + y 7 Keterg: Peyelesi x 0 dlh derh di sebelh k sumbu Y. Peyelesi y 0 dlh derh di sebelh ts sumbu X. Peyelesi pertidksm x + y 7 dlh derh di sebelh kiri gris x + y 7. Peyelesi pertidksm x + y dlh derh di sebelh kiri gris x + y. Titik potog tr gris x + y 7 d x + y x + y 7 x + y x + y x + y x x Berrti, x + y 7 + y 7 y. Jdi, koordit titik potogy dlh (, ). Deg demiki, himpu peyelesi sistem pertidksm: x 0, y 0, x + y 7, x + y, deg x, y R dlh derh segi empt OABC yg tidk dirsir, seperti terliht pd Gmbr.6. Tugs Kretivits Kerjk di buku tugs Deg cr-cr yg telh kli peljri, cob gmbrlh derh peyelesi { x + y < 0 x y > 0 y Ad berp titik yg termsuk dlm himpu peyelesi? Titik mkh itu?

15 8 Mmt Apliksi SMA Bhs Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Gmbrlh himpu peyelesi pertidksm lier berikut pd bidg Crtesius.. x + 5y < 5 d. 5x y > 0 g. 6x + 5y 0 b. x 6y > e. x + 5y > 0 h. 8x 6y 8 c. x + y < f. x y > 8. Gmbrlh himpu peyelesi sistem pertidksm lier berikut pd bidg Crtesius.. x y d. x + y 8 f. x + y 0 { { { { { 8x + 0 y 55 x 5y 0 6 x y 0 b. x + 8y 60 x + 5y 5 x 0, y 0 x + y 60 x 0, y 0 x 0,y 0 e. x + y 0 c. x + y x + y 0 x y y 5x + y 5 x, y 0 x 0, y 0 { B. Mercg Model Mtemtik yg Berkit deg Progrm Lier Mtemtik mempuyi kit yg ert deg persolpersol rel yg terjdi di tegh kehidup kit. Persolpersol seperti ii di try dpt diselesik mellui progrm lier. Progrm lier dlh sutu metode tu progrm utuk memechk mslh optimsi yg megdug kedl-kedl tu bts-bts yg dpt diterjemhk dlm betuk sistem pertidksm lier. Peyelesi dri sistem pertidksm lier ii dpt disjik dlm derh himpu peyelesi. Di tr beberp peyelesi yg terdpt dlm derh peyelesi, terdpt stu peyelesi terbik yg disebut peyelesi optimum. Jdi, tuju progrm lier dlh mecri peyelesi optimum yg dpt berup ili mksimum tu ili miimum dri sutu fugsi. Fugsi tersebut dimk fugsi ssr. Fugsi ssr disebut jug fugsi tuju tu fugsi objektif. Utuk dpt meyelesik progrm lier, terlebih dhulu kit hrus meerjemhk persol (kedl-kedl tu btsbts yg terdpt dlm mslh progrm lier) ke dlm bhs mtemtik yg disebut model mtemtik. Jdi, model mtemtik dlh sutu rumus mtemtik (berup persm, pertidksm, tu fugsi) yg diperoleh dri hsil pefsir tu terjemh sutu mslh progrm lier ke dlm bhs mtemtik. Model mtemtik yg bik memut bgi-bgi yg diperluk. Utuk lebih jelsy, lkuk kegit berikut. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Sebuh kpl pesir dpt mempug 50 org peumpg. Setip peumpg kels utm boleh membw 60 kg bgsi d peumpg kels ekoomi 0 kg. Kpl itu hy dpt membw kg bgsi. Jik byk peumpg kels utm dlh x d byk peumpg kels ekoomi dlh y mk sistem pertidksm yg hrus dipeuhi dlh.... x + y 50, x + y 800, x 0, y 0 b. x + y 50, x + y 00, x 0, y 0 c. x + y 50, x + y 00, x 0, y 0 d. x + y 50, x + y 00, x 0, y 0 e. x + y 50, x + y 800, x 0, y 0 Sol Ebts SMA, 996

16 Progrm Lier 9 Kegit Kerjk di buku tugs Disjik permslh berikut. Seorg tukg mebel membut kursi d mej. Setidktidky hrus diproduksi 500 mebel, yg terdiri ts kursi d mej. Pegerj kursi memerluk wktu jm, sedgk pegerj mej memerluk wktu 5 jm. Wktu yg tersedi.500 jm. Hrg jul ecer kursi Rp75.000,00 d mej Rp5.000,00. Bgim model mtemtiky? Tuju: Membetuk model mtemtik dri permslh tersebut. Permslh: Bgim model mtemtik dri permslh tersebut? Lgkh-Lgkh:. Mislk x byk kursi d y byk mej.. Tulislh pertidksm lier du vribel utuk jumlh mebel yg diproduksi. Perhtik kedl bhw plig sedikit hrus diproduksi mebel sebyk 500 buh.... x +...y 500. Tulislh pertidksm lier utuk wktu totl produksi. Perhtik kedl bhw wktu totl produksi dlh.500 jm.... x +...y.500. Tulis jug du kedl liy, yitu tip jeis mebel tidk mugki egtif d Tulislh peryt utuk fugsi tuju jik pbrik megigik memperoleh pedpt kotor plig besr. Fugsi tuju z...x +...y 6. Simpulk model mtemtik yg kli peroleh. Kedl: {... x +... y x +... y d... 0 Fugsi objektif: memksimumk z...x +...y Kesimpul: Dri lgkh-lgkh di ts k diperoleh model mtemtik. Fugsi objektif: memksimumk z x y Kedl: { x + y 500 x + 5y.500 x 0; y 0 Setelh melkuk kegit di ts, tetu kli mmpu memhmi cotoh-cotoh berikut deg mudh.

17 0 Mmt Apliksi SMA Bhs Cotoh:. Lus sutu lh prkir dlh 00 m. Lus rt-rt stu mobil d stu bus msig-msig dlh 8 m d m. Lh prkir tersebut hy memut plig byk 0 kedr. Butlh model mtemtik dri persol tersebut deg memislk mobil yg sedg diprkir sebyk x d bus sebyk y. Peyelesi: Dri keterg tersebut, diperoleh hubug sebgi berikut.. 8x + y 00 x + y 0 Kre x d y msig-msig meujukk byky mobil d bus, x d y berup bilg cch. Jdi, model mtemtik persol tersebut dlh { 8x + y 00 x + y 0 x 0, y 0 x, y C. Sutu idustri rumh tgg memproduksi du jeis roti, yitu roti jeis A d roti jeis B. Roti jeis A memerluk 50 g tepug d 50 g meteg. Roti jeis B memerluk 75 g tepug d 75 g meteg. Byky tepug yg tersedi dlh,5 kg, sedgk byky meteg yg tersedi dlh,5 kg. Pemilik idustri rumh tgg itu igi membut kedu jeis roti tersebut sebykbyky. Butlh model mtemtik dri mslh tersebut. Peyelesi: Mislk byky roti jeis A dlh x d roti jeis B dlh y. Keterg pd sol di ts dpt dirgkum dlm tbel berikut. Tbel.8 Roti Jeis A Roti Jeis B Mksimum Tepug (grm) 50x 75y.50 Meteg (grm) 50x 75y.50 Byky tepug yg diguk utuk membut kedu jeis roti tersebut dlh (50x + 75y) g, sedgk byky tepug yg tersedi dlh.50 g sehigg diperoleh hubug 50x + 75y.50 tu x + y 0... () Byky meteg yg diguk utuk membut kedu jeis roti tersebut dlh (50x + 75y) g, sedgk byky meteg yg tersedi dlh.50 g sehigg diperoleh hubug 50x + 75y.50 tu x + y () Kre x d y msig-msig meytk byky roti, x 0 d y 0... () Nili-ili x d y berup bilg cch. Kre permslhy dlh bgim membut kedu jeis roti sebykbyky (memksimumk), fugsi objektif tu fugsi ssry dlh meetuk x + y mksimum.

18 Progrm Lier Mislk fugsi ssry z mk z x + y. Pertidksm () smpi deg () merupk kedl (pembts) sehigg model mtemtik tersebut dpt ditulis sebgi berikut. Fugsi objektif: meetuk ili mksimum z x + y Kedl: { x + y 0 x + y 50 x 0, y 0 x, y C Problem Solvig Seorg pedgg es mejul du jeis es krim, yitu jeis I d jeis II. Hrg beli es krim jeis I dlh Rp700,00 per bugkus d es krim jeis II Rp600,00 per bugkus. Modl yg dimiliki pedgg tersebut Rp68.000,00, sedgk termos es yg diguk utuk mejul es tidk dpt memut lebih dri 00 bugkus es krim. Keutug es krim jeis I dlh Rp00,00 per bugkus d jeis II dlh Rp00,00 per bugkus. Pejul es itu igi memperoleh keutug sebyk-byky. Butlh model mtemtik dri persol tersebut. Peyelesi: Mislk byky es krim jeis I dlh x d jeis II dlh y sehigg dri persol di ts, dpt dibut tbel persol berikut. Tbel.9 Es Krim Jeis I Es Krim Jeis II Mksimum Byky Es Krim x y 00 Hrg Beli Per Bugkus 700x 600y Kre termos es dpt memut tidk lebih dri 00 bugkus, sedgk byky es krim jeis I d II dlh (x + y) bugkus, diperoleh hubug x + y () Modl yg dimiliki Rp68.000, sedgk ug yg diperluk utuk membeli kedu jeis es krim dlh (700x + 600y), diperoleh hubug 700x + 600y tu 7x + 6y () Kre x d y meytk byky es krim mk x 0 d y 0... () Nili-ili x d y dlh bilg cch. Kre permslhy dlh meetuk keutug mksimum yg dihrpk oleh pedgg es, fugsi objektify dlh meetuk ili mksimum z 00x + 00y. Model mtemtiky dlh sebgi berikut. Fugsi objektif: meetuk ili mksimum z 00x + 00y Kedl: { x + y 00 7x + 6y.680 x 0, y 0 x, y C

19 Mmt Apliksi SMA Bhs Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Dikethui jumlh du bilg oegtif x d y tidk lebih dri 5, sedgk kli bilg x ditmbh kli bilg y tidk lebih dri 75. Butlh model mtemtik dri persol tersebut.. Seorg pedgg buh mejul buh mgg d buh jeruk yg ditemptk dlm stu kerjg. Dy tmpug kerjg itu tidk lebih dri.000 buh. Hrg stu buh mgg d stu buh jeruk msig-msig Rp500,00 d Rp.000,00. Apbil seluruh buh terjul, ug yg i peroleh tidk lebih dri Rp ,00. Jik byky buh mgg d buh jeruk msig-msig dlh x d y, butlh model mtemtik dri persol tersebut.. Hrg krcis dlm sutu gedug pertujuk dibedk mejdi du kelompok umur, yitu k-k d dews yg msig-msig sehrg Rp.500,00 d Rp5.000,00. Jik krcis terjul hbis, ug yg terkumpul seluruhy tidk lebih dri Rp5.000,00, sedgk dy tmpug gedug tersebut plig byk.000 org. Apbil x d y msig-msig meytk byky k-k d org dews yg megujugi sutu pertujuk di gedug tersebut, tetuk model mtemtik dri permslh tersebut.. Seorg k yg membeli 8 buku tulis d 5 pesil hrus membyr Rp8.500,00. Ak yg li membeli buku tulis d 6 pesil hrus membyr Rp.000,00. Jik hrg stu buku tulis d stu pesil msig-msig x d y, butlh model mtemtik utuk persol tersebut. 5. Sutu pbrik mi memproduksi jeis mi, yitu jeis I d II. Keutug setip mi jeis I dlh Rp.000,00, sedgk jeis II Rp5.000,00. Mi jeis I memerluk wktu 6 jm utuk membut bh-bhy, jm utuk memsg, d 5 jm utuk megepk. Mi jeis II memerluk wktu jm utuk membut bhy, 6 jm utuk memsg, d 5 jm utuk megepk. Sutu pes sedg dikerjk pbrik itu deg loksi wktu 5 jm utuk membut bh-bhy, 8 jm utuk memsg, d 50 jm utuk megepk. Pbrik tersebut berhrp utuk medptk keutug mksimum dri pes tersebut. Butlh model mtemtik dri persol tersebut. 6. Seorg hli perti igi mecmpur du jeis pupuk deg memberik 5 g klium krbot, 0 g itrt, d g fosft semiiml mugki pd sutu tkr. Stu tkr pupuk merek I yg hrgy Rp75.000,00 per bugkus memerluk g klium krbot, g itrt, d g fosft. Pupuk merek II hrgy Rp60.000,00 per bugkus memerluk g klium krbot, 5 g itrt, d g fosft. Butlh model mtemtik dri persol tersebut gr pegelury sekecil mugki. Diskusi Megomuiksik Ggs Dlm progrm lier pkh d sutu kehrus bhw dlm fugsi kedl memut bts x 0 d y 0?

20 Progrm Lier Sol Terbuk Kerjk di buku tugs. Sutu perush mebel megerjk proses fiishig model mej, yitu model klsik d moder. Mej model klsik memerluk wktu jm utuk megmpels d jm utuk mewri. Mej model moder memerluk wktu jm utuk megmpels d jm utuk mewri. Perush tersebut memiliki wktu utuk megerjk pes selm 60 jm utuk megmpels d 80 jm utuk mewr. Perush tersebut berhrp utuk medptk keutug sebesr-besry dri pejul mej tersebut. Jik keutug pejul msig-msig mej model klsik d moder dlh Rp50.000,00 d Rp80.000,00 per mej, butlh model mtemtik dri persol tersebut.. Seorg peterk megigik terky medptk plig sedikit g zt besi d 8 g vitmi setip hri. Stu tkr jgug memberik g zt besi d 5 g vitmi, sedgk stu tkr pdi-pdi memberik g zt besi d g vitmi. Peterk itu igi mecmpur bh mk tersebut utuk medptk biy yg semurhmurhy. Jik hrg jgug Rp.500,00 per bugkus d hrg pdi-pdi Rp.500,00 per bugkus, butlh model mtemtik dri persol tersebut. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Himpu peyelesi dri sistem pertidksm x + y 0 x + y 0 { x 0; y 0 terletk pd derh berbetuk.... trpesium b. persegi pjg c. segitig d. segi empt e. segi lim Sol PPI, 98 C. Meyelesik Model Mtemtik d Mefsirky Kli telh mmpu mercg model mtemtik yg berkit deg mslh progrm lier. Model itu tidk k byk berrti jik kli tidk meyelesik permslh yg timbul dri model itu. Meyelesik model itu sm hly meetuk ili optimum (mksimum/miimum) dri fugsi objektify, kemudi mefsirky pd persol semul.. Fugsi Objektif x + by Utuk memhmi pegerti betuk objektif x + by, perhtik kembli model mtemtik pd cotoh-cotoh yg telh kit peljri di ts.. Sistem pertidksm lier du vribel { x + y 0 x + y 50 x 0, y 0, deg x, y C Fugsi objektif: memksimumk z x + y

21 Mmt Apliksi SMA Bhs b. Sistem pertidksm lier du vribel { x + y 00 x + y.0 x 0, y 0, deg x, y C Fugsi objektif: memksimumk z 5x + 0y Deg memerhtik kedu model mtemtik pd cotoh di ts, kit kethui bhw tuju yg hedk dicpi dlm sutu model mtemtik diytk dlm betuk persm z x + by. Betuk x + by yg hedk dioptimumk (dimksimumk tu dimiimumk) tersebut dimk fugsi objektif. Deg kt li, fugsi objektif dlm progrm lier dlh fugsi z x + by yg hedk ditetuk ili optimumy.. Meetuk Nili Optimum Fugsi Objektif Setelh kit memhmi pegerti model mtemtik d fugsi objektif, kit dpt megethui tuju yg hedk dicpi dri persol progrm lier, yitu meetuk ili optimum sutu fugsi objektif. Lgkh-lgkh utuk meyelesik persol progrm lier secr umum dlh. meerjemhk tu merumusk permslh ke dlm model mtemtik;. meyelesik sistem pertidksm yg merupk kedl tu pembts;. mecri peyelesi optimum (mksimum tu miimum);. mejwb permslh. Berkit deg hl tersebut, kit dpt megguk metode grfik yg terdiri ts du mcm cr, yitu metode uji titik sudut d metode gris selidik. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Nili miimum dri z x + 6y yg memeuhi syrt { x + y 0 x + y 0 x + y 0 x 0 y 0 dlh d. 0 b. 0 e. 0 c. 0 Sol UMPTN, 00. Metode Uji Titik Sudut Deg metode ii, ili optimum dri betuk objektif z x + by ditetuk deg meghitug ili-ili z x + by pd setip titik sudut (titik verteks) yg terdpt pd derh himpu peyelesi pertidksm lier du vribel. Beberp ili yg diperoleh itu, kemudi dibdigk. Nili yg plig besr merupk ili mksimum dri z x + by, sedgk ili yg plig kecil merupk ili miimum dri z x + by. Utuk lebih memhmi cr meetuk ili optimum fugsi objektif deg uji titik sudut, perhtik cotohcotoh berikut.

22 Progrm Lier 5 Cotoh:. Tetuk ili optimum betuk objektif dri model mtemtik berikut. Sistem pertidksm lier du vribel. { x + y 0 x + y 50 x 0, y 0, deg x, y C Fugsi objektif: memksimumk z x + y Peyelesi: Titik potog gris deg persm x + y 0 d x + y 50 deg sumbu koordit dpt ditetuk deg membut tbel, seperti pd Tbel.0 d Tbel.. Utuk x + y 0 Utuk x + y 50 Tbel.0 Tbel. x 0 5 y 0 0 (x, y) (0, 0) (5, 0) x 0 5 y 6 0 (x, y) (0, 6 ) (5, 0) Psg koordit tersebut kit lukis pd bidg koordit d dihubugk deg sebuh gris lurus. Setelh gris x + y 0 d x + y 50 terlukis, tetuk derh peyelesi pertidksm x + y 0 d x + y 50, seperti pd gmbr di bwh. Y (0, 0) C (0, 6 ) B (0, 0) O A(5, 0) (5, 0) x + y 0 x + y 50 X Gmbr.7 Derh himpu peyelesiy diperlihtk sebgi bgi yg bersih (tidk dirsir). Titik potog kedu gris tersebut dlh x + y 0 x + y 50 y 0 tu y 0

23 6 Mmt Apliksi SMA Bhs Kre ili y 0 mk x + y 0 x x 0 x 0. Jdi, koordit titik potog kedu gris itu dlh (0, 0). Dri Gmbr.7, tmpk bhw titik-titik sudut yg terdpt pd derh himpu peyelesi dlh titik O(0, 0), A(5, 0), B(0, 0), d C(0, 6 ). Seljuty, selidiki ili fugsi objektif z x + y utuk msig-msig titik sudut tersebut. Tbel. Titik O(0, 0) A(5, 0) B(0, 0) C(0, 6 ) x y z x + y z mksimum Dri tbel tersebut, ili mksimum fugsi objektif z x + y dlh 0, yitu utuk x 0 d y 0.. Seorg pedgg bers hedk meggkut 60 to bers dri gudg ke tokoy. Utuk keperlu tersebut, i meyew du jeis kedr, yitu truk d pikp. Dlm sekli jl, stu truk dpt meggkut to bers, sedgk pikp dpt meggkut to bers. Utuk sekli jl, biy sew truk dlh Rp50.000,00, sedgk pikp Rp0.000,00. Deg cr sew seperti ii, pedgg bers tersebut dihrusk meyew kedu kedr itu sekurg-kurgy kedr. Berp byk truk d pikp yg hrus disew gr biy yg dikelurk miimum d berp biy miimum tersebut? Peyelesi: Mislk byky truk dlh x d byky pikp dlh y. Berdsrk sol di ts, dpt dibut tbel sebgi berikut. Tbel. Jeis I Jeis II Mksimum Byk Kedr x y Byk Mut (to) x y 60 Dri digrm tersebut, diperoleh sistem pertidksm berikut. { x + y x + y 60 x 0, y 0, deg x, y C

24 Progrm Lier 7 Fugsi objektif: memiimumk z x y Utuk membut gris x + y d x + y 60, kit tetuk titik potog grisgris tersebut terhdp sumbu-sumbu koordit deg membut tbel seperti berikut. Utuk x + y Utuk x + y 60 Tbel. Tbel.5 x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) x 0 0 y 0 0 (x, y) (0, 0) (0, 0) Y C (0, 0) (0, ) x + y 60 x + y B (, ) O (0, 0) Gmbr.8 A (, 0) X Derh peyelesiy terliht pd Gmbr.8. Meetuk titik potog kedu gris x + y x + y 8 x + y 60 x + y 60 x x Kre x mk x + y + y y. Jdi, koordit titik potog kedu gris itu dlh (, ). Dri gmbr di smpig, tmpk bhw titik-titik sudut yg terdpt pd derh peyelesi dlh A(, 0), B(, ), d C(0, 0). Nili betuk objektif z x y utuk msig-msig titik tersebut, dpt diselidiki deg membut tbel sebgi berikut. Tbel.6 Titik A(, 0) B(, ) C(0, 0) x 0 y x y Dri tbel tersebut, ili miimum betuk objektif z x y dlh , yitu utuk x d y. Jdi, byky kedr yg hrus disew gr biy yg dikelurk miimum dlh truk d pikp. Biy miimumy dlh Rp ,00.

25 8 Mmt Apliksi SMA Bhs b. Metode Gris Selidik x + by k Meetuk ili optimum sutu fugsi objektif deg megguk uji titik sudut memerluk perhitug d wktu yg cukup lm. Utuk itu, serig diguk metode yg lebih sederh, yitu metode gris selidik yg berbetuk x + by k. Mislk terdpt sutu fugsi objektif z x + by, deg d b bilg rel. Deg megmbil beberp ili k i utuk z, yitu k, k,..., k, diperoleh gris selidik yg memiliki persm sebgi berikut. k x + by k x + by... k x + by Gris-gris tersebut mempuyi grdie yg sm, yitu m. Deg demiki, gris-gris tersebut merupk b gris-gris yg sejjr. Apbil digmbrk, sebgi dri gris-gris tersebut terletk pd derh peyelesi pertidksm lier (derh fesibel) d slh stu di try mellui titik optimum. Gris yg mellui titik optimum iilh yg meghsilk ili optimum bgi fugsi objektif z x + by. Gris selidik yg berd plig k tu plig ts pd derh peyelesi meujukk ili mksimum, sedgk gris selidik yg berd plig kiri tu plig bwh pd derh peyelesi meujukk ili miimum. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs - - O Pd gmbr di ts, derh yg diwri gelp memeuhi sistem pertidksm. y 0, x 0, y x +, x y b. x 0, y x +, x y c. x 0, y x, y x + d. x 0, y 9, y x +, y x e. y 0, x 0, y x, y x + Sol SPMB, Kemmpu Dsr, 00 Y X Tugs Eksplorsi Kerjk di buku tugs Buktik bhw gris selidik deg persm k x + by k x + by... k x + by mempuyi grdie m b. Cotoh:. Tetuk ili optimum betuk objektif model mtemtik berikut. Sistem pertidksm lier du vribel: { x + y < 0 x + y < 50 x, y > 0, deg x, y C Fugsi objektif: memksimumk z x + y

26 Progrm Lier 9 Peyelesi: Terlebih dhulu kit but gris x + y k, deg k 0, yitu x + y 0. Kemudi, kit but gris-gris yg sejjr deg gris x + y 0, yitu deg megmbil ili k yg berbedbed, seperti pd gmbr di smpig. Dri Gmbr.9, tmpk bhw pbil ili k mki besr, letk gris-gris x + y k mki juh dri titik O(0, 0). Kre ili k bersesui deg ili z, ili z terbesr d A(5, 0) (5, 0) O x + y 0 x + y 50. Seperti sol omor (hlm 6), tetpi Y selesik deg megguk metode gris C (0, 0) selidik. Peyelesi: Dri sol yg dimksud, diperoleh model (0, ) x + y 60 mtemtik x + y > x + y { x + y > 60 x > 0, y > 0 B (, ) Fugsi objektif: memiimumk z x y A (, 0) Dri iformsi sol tersebut, diperoleh O (0, 0) X himpu peyelesi yg dpt diliht pd Gmbr.0 gmbr di smpig. Terlebih dhulu dibut gris x y k, deg k berbed-bed, seperti pd Gmbr.0. Dri gmbr itu, tmpk bhw mki kecil ili k, mki dekt ke titik O (0, 0). Kre ili k bersesui deg ili z, mk ili z terkecil (miimum) bersesui deg gris terdekt deg titik O (0, 0). Gris terdekt yg dimksud mellui titik A (, ). Jdi, ili z miimum dlh z () () Jdi, byk kedr yg hrus disew gr biy yg dikelurk miimum dlh truk d pikp. Biy miimumy dlh Rp ,00. Tmpk bhw deg kedu cr, k memberik hsil yg sm. Y C (0, 6 ) (0, 0) B (0, 0) Gmbr.9 ili z terkecil bersesui deg gris terjuh d gris terdekt dri titik O(0, 0). Nili z mksimum diperoleh dri gris x + y k yg mellui titik (0, 0), yitu d ili z miimum diperoleh dri gris x + y k yg mellui titik O(0, 0), yitu X Problem Solvig Sutu pbrik frmsi memproduksi du jeis kpsul, yitu jeis I d jeis II. Setip kpsul jeis I megdug 6 mg vitmi A, 8 mg vitmi C, d mg vitmi E. Setip kpsul jeis II megdug 8 mg vitmi A, mg vitmi C, d mg vitmi E. Setip hri, seorg psie memerluk tmbh vitmi seli bersl dri mk

27 0 Mmt Apliksi SMA Bhs d mium sebyk 0 mg vitmi A, mg vitmi C, d mg vitmi E. Hrg stu kpsul jeis I dlh Rp.000,00 d kpsul jeis II dlh Rp.500,00. Berp byk ug miiml yg hrus disedik psie tersebut utuk memeuhi kebutuh vitmiy setip hri. Peyelesi: Mislk byky kpsul jeis I dlh x d kpsul jeis II dlh y. Berdsrk byky kdug vitmi yg dikethui, dpt dibut tbel sebgi berikut. Tbel.7 Vitmi Kpsul Jeis I Kpsul Jeis II Kebutuh Miimum (mg) (mg) (mg) Vitmi A 6x 8y 0 Vitmi C 8x y Vitmi E x y Model mtemtiky dlh sebgi berikut. Sistem pertidksm lier: { 6x + 8y 0 8x + y x + y x 0, y 0 deg x, y C Fugsi objektif: memiimumk z.000x +.500y Derh peyelesi sistem pertidksm lier di ts digm-brk sebgi derh yg tidk dirsir, seperti pd gmbr di smpig. 8x + y Y A (0, 8) 6x + 8y 0 (0, 5) x + y (0, ) O B (, 0) C.000x +.500y.000 D (, 0) (6, 0) X Gmbr. Titik B dlh perpotog gris 8x + y d 6x + 8y 0. Koordit titik B dpt ditetuk deg metode elimisi sebgi berikut. 8x + y 8 6x + y 9 6x + 8y 0 8x + y 0 6x 7 x 8x + y x + 9y 7 6x + 8y 0 x + y 60 y 88 y 9

28 Progrm Lier 9 Berrti, koordit titik B dlh B (, ). Titik C dlh perpotog gris 6x + 8y 0 d x + y. Koordit titik C dpt ditetuk deg metode elimisi sebgi berikut. 6x + 8y 0 6x + 8y 0 x + y x + 8y x 6 x 6x + 8y 0 6x + 8y 0 x + y 6 6x + y 7 6y y Berrti, koordit titik C dlh C(, ). Dri Gmbr., ili miimum dri fugsi objektif z.000x +.500y dicpi pd titik C(, ) sehigg ili miimum dri z.000x +.500y.000() +.500() Jdi, byky ug miimum yg hrus disedik oleh psie tersebut dlh Rp7.000,00 setip hri deg megosumsi kpsul jeis I d kpsul jeis II. Sol Terbuk Kerjk di buku tugs Tetuk ili mksimum fugsi ssr z 500x + 00y yg memeuhi sistem pertidksm berikut. x + y.500 x + 7y.000 x 0, y 0 Diskusi Megomuiksik Ggs Dlm setip pegerj mslh optimsi, megp sellu diguk titik-titik sudut utuk meetuk ili optimsiy (mksimum tu miimumy)? Jelsk meurut pedpt kli. Jik koordit titik optimum tidk bult, sedgk titik optimum yg dimit berup bilg bult, perlu diselidiki titik-titik bult di sekitr titik optimum yg termsuk dlm derh peyelesi.

29 Mmt Apliksi SMA Bhs Cotoh: Tetuk ili mksimum dri fugsi objektif z 5x + 0y yg memeuhi sistem pertidksm lier berikut. { x + y 5 x + y 8 x 0, y 0 x, y C Peyelesi: Titik potog gris x + y 5 d x + y 8 dlh Y (, ). Jik x d y bilg rel, ili mksimum fugsi z 5x + 0y dicpi pd titik (, ). Oleh kre itu, perlu diselidiki titik-titik bult di sekitr (, ) d termsuk dlm derh peyelesi, yitu titik (, ), (, ), d (, ). Utuk titik (, ) z 5x + 0y 5() + 0() 55 Utuk titik (, ) z 5x + 0y 5() + 0() 5 Utuk titik (, ) z 5x + 0y 5() + 0() 50 O Gmbr. Berrti, ili mksimum fugsi z dicpi pd titik bult (, ), yitu z 55. (, ) X Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Deg metode uji titik sudut, tetuk titik optimum (x, y) d ili optimum fugsi objektif dri progrm lier berikut.. Sistem pertidksm lier: { x + 5y 0 x + y y 60 x 0, y 0 x, y C Fugsi objektif: memksimumk z x + 8y b. Sistem pertidksm lier: { x + y 0 x + y 8 8x + y x 0, y 0 x, y C Fugsi objektif: memiimumk z x + y

30 Progrm Lier c. Sistem pertidksm lier: { x + y 0 x + y x + 6y 8 x 0, y 0 x, y C Fugsi objektif: memiimumk z x + y. Deg metode gris selidik, tetuk ili optimum fugsi objektif dri progrm lier berikut.. Sistem pertidksm lier: { x + 6y 6 5x + y 0 8x + y 60 x 0, y 0 x, y C Fugsi objektif: memksimumk z 0x + 50y b. Sistem pertidksm lier: { x + y 5 x + 5y 0 x + y x 0, y 0 x, y C. Seekor hew pemk sergg setip hri plig sedikit memerluk 0 uit mk A, uit mk B, d uit mk C. Utuk memeuhi kebutuhy, hew tersebut memk jeis sergg. Sergg jeis I memberik msig-msig mk A, B, d C sebyk 5,, d uit setip ekor. Sergg jeis II memberik msig-msig mk A, B, d C sebyk,, d uit setip ekor. Utuk megkp sergg jeis I, hew tersebut megelurk uit eergi, sedgk utuk megkp sergg jeis II dikelurk uit eergi. Berp ekor jeis sergg msig-msig hrus ditgkp hew tersebut utuk memeuhi kebutuh mk deg megelurk eergi miimum?. Sutu pbrik bj memproduksi du tipe bj yg diberi kode bj B d B. Bj B memerluk jm utuk melebur, jm utuk meggilig, d 0 jm utuk memotog. Bj B memerluk 5 jm utuk melebur, jm utuk meggilig, d 5 jm utuk memotog. Wktu yg tersedi utuk melebur, meggilig, d memotog msig-msig dlh 0 jm, 0 jm, d 60 jm. Keutug setip potog bj B d bj B msig-msig dlh Rp0.000,00 d Rp80.000,00. Tetuk keutug mksimum yg diperoleh. 5. Sutu perush btu kerikil utuk hlm rumh memproduksi du mcm btu kerikil, yitu ksr d hlus. Btu kerikil ksr memerluk wktu jm utuk meghcurk, 5 jm utuk megyk, d 8 jm utuk megerigk. Btu kerikil yg hlus memerluk wktu 6 jm utuk meghcurk, jm

31 Mmt Apliksi SMA Bhs utuk megyk, d jm utuk megerigk. Keutug dri msig-msig btu kerikil itu dlh Rp0.000,00 utuk yg ksr d Rp50.000,00 utuk yg hlus. Sutu pes dikerjk perush itu deg loksi wktu 6 jm utuk meghcurk, 0 jm utuk megyk, d 0 jm utuk megerigk. Tetuk keutug mksimum yg diperoleh. 6. Sutu pbrik meghsilk du mcm brg, yitu A d B. Msig-msig brg diproses mellui du mesi. Setip uit brg A diproses selm meit di mesi I d II, sedgk setip uit brg B diproses selm meit di mesi I d meit di mesi II. Kpsits pegopersi mesi I d mesi II msigmsig 600 meit d 80 meit. Dri setip pejul stu uit brg A diperoleh lb Rp8.000,00, sedgk dri pejul stu uit brg B diperoleh lb Rp6.000,00. Nytk komposisi pejul brg A d B yg k memksimumk lb d tetuk lb mksimumy. 7. Seorg peterk mers perlu memberi mk yg megdug plig sedikit 7,, d 0 stu usur utrisi A, B, d C setip hri kepd terky. Utuk itu, d du jeis mk, yitu M d N yg dpt diberik kepd terk tersebut. Stu po (500 g) jeis mk M megdug A, B, d C msigmsig sebesr,, d stu. Stu po jeis mk N megdug utrisi A, B, d C msig-msig,, d stu. Hrg stu po mk M d N msig-msig sebesr Rp.000,00 d Rp.000,00. Tetuk komposisi kedu jeis mk tersebut yg memiimumk pegelur sert besry pegelur miimum peterk tersebut. 8. Sutu pbrik lt-lt perti memproduksi du jeis pomp ir. Setip jeis pomp ir hrus mellui tig thp dlm perkit. Wktu yg diperluk d wktu yg tersedi dlm setip thp diperlihtk dlm tbel berikut. Tbel.8 Jeis Pomp Air Perkit Thp I Thp II Thp III Jeis I 0 jm jm 0 jm Jeis II 0 jm jm jm Wktu yg Tersedi 80 jm 80 jm 80 jm Keutug setip uit pomp ir jeis I d II msig-msig dlh Rp0.000,00 d Rp50.000,00. Tetuk keutug mksimum d jumlh produksi kedu jeis pomp tersebut gr diperoleh keutug mksimum. Sol Terbuk Kerjk di buku tugs. Seorg hli elektroik merkit lt-lt stereo-set yg k dijul di tokoy. I mergki du mcm produk, yitu pirig hitm d peswt kset. Dri hsil pejul pirig hitm, i memperoleh lb Rp.000,00 setip uit

32 Progrm Lier 5 d dri pejul peswt kset Rp.500,00 setip uit. Kedu produk itu hrus mellui du thp perkit d rug uji. Stu pirig hitm memerluk jm utuk merkit d jm utuk meguji, sedgk peswt kset memerluk jm utuk merkit d 8 jm utuk meguji. Berdsrk jdwl setip bul, wktu yg tersedi dlh 60 jm utuk merkit d 0 jm utuk meguji. Tetuk kombisi terbik utuk kedu mcm produk tersebut gr meghsilk keutug mksimum (terbesr). Tetuk pul besr keutug mksimum.. Sutu perush lt rumh tgg memproduksi lemri buku d mej bgi keperlu peljr. Pejul setip lemri buku memberik lb Rp5.000,00 d Rp7.500,00 utuk mej. Setip produk itu mellui du thp pegerj, yitu memotog d merkit. Stu lemri buku memerluk wktu jm pemotog d jm utuk merkit, sedgk stu mej memerluk wktu jm pemotog d 5 jm utuk merkit. Jik perush meyedik wktu 0 jm utuk pemotog d 0 jm utuk merkit, berpkh lb mksimum dri kedu produk tersebut? Berp byk mej d lemri buku yg hrus diproduksi gr diperoleh lb mksimum? Tugs Eksplorsi Kerjk di buku tugs Agr wws kli bertmbh, coblh cri iformsi-iformsi yg berkit deg softwre utuk meyelesik ksus progrm lier di medi-medi yg d di sekitrmu (perpustk, buku-buku referesi, mupu iteret). Peljrilh cr pegguy. Refleksi Setelh mempeljri mteri progrm lier, tetuy kli memhmi bgim cr meerjemhk persol (ksus) sehri-hri ke dlm mtemtik, utuk kemudi meyelesiky. Cob cri cotoh ksus yg sesui deg mteri ii, kemudi terjemhk dlm bhs mtemtik d selesik. Keistimew p yg kmu peroleh setelh mempeljri bb ii? Rgkum. Sistem pertidksm lier du vribel dlh sutu sistem (gbug du tu lebih) pertidksm lier yg memut du vribel.. Progrm lier diguk utuk memechk mslh optimsi.

33 6 Mmt Apliksi SMA Bhs. Model mtemtik berup persm, pertidksm, tu fugsi yg diperoleh dri hsil pefsir tu terjemh sutu mslh progrm lier ke dlm bhs mtemtik.. Utuk memechk permslh model mtemtik, hl yg utm dlh memislk vribel-vribel dri permslhy ke dlm simbol-simbol mtemtik. 5. Fugsi objektif dlh sutu fugsi yg hedk ditetuk ili optimumy pd progrm lier. Nili optimum betuk objektif dpt ditetuk, tr li deg. metode uji titik sudut; b. metode gris selidik. Ltih Ulg Hri I Kerjk di buku tugs I. Pilihlh jwb yg tept.. Derh yg tidk dirsir pd gmbr berikut memeuhi sistem pertidksm... 6 Y O 8. { x + y 8 x + y x, y 0 b. { x + y 8 x + y x 0, y 0 c. { x + y 8 x + y x 0, y 0 d. { x + y 6 x + y 8 x 0, y 0 e. { x + y 6 x + y 8 x 0, y 0 X. Nili mksimum fugsi z 00x + 00y yg memeuhi sistem pertidksm { 5x + y 0 x + y 8 y 6 x 0, y 0 dlh d..00 b..00 e..00 c..00. Jik A x + y d B 5x + y, ili mksimum A d B yg memeuhi sistem pertidksm { x + y x + y x 0, y 0 berturut-turut dlh d 0 d. 0 d 6 b. 6 d 6 e. 8 d c. 6 d. Utuk memproduksi brg A, diperluk wktu 6 jm pd mesi I d jm pd mesi II, sedgk utuk memproduksi brg B, diperluk wktu jm pd mesi I d 8 jm pd mesi II. Kedu mesi tersebut setip hri bekerj tidk lebih dri 8 jm. Jik setip hri diproduksi x buh brg A d y buh brg B, model mtemtik yg sesui utuk ksus di ts dlh...

34 Progrm Lier 7 { { { { {. x + y 9 x + y 9 x 0, y 0 b. x + y 9 x + y 9 x 0, y 0 c. x + y 9 x + y 9 x 0, y 0 d. x + y 9 x + y 9 x 0, y 0 e. x + y 9 x + y 9 x 0, y 0 5. Lus re prkir dlh 76 m. Lus rt-rt mobil sed d bus msigmsig m d 0 m. Are prkir tersebut hy mmpu mempug 0 kedr, deg biy prkir utuk mobil d bus msig-msig Rp.000,00 per jm d Rp.000,00 per jm. Jik dlm wktu jm tidk d kedr yg pergi tu dtg, hsil mksimum re prkir tersebut dlh.... Rp0.000,00 d. Rp.000,00 b. Rp6.000,00 e. Rp.000,00 c. Rp0.000,00 6. Dikethui sistem pertidksm berikut. { x + y 6 x + y x, y 0 Nili mksimum fugsi ssr z x + y dlh d. 6 b. e. 8 c. 7. Dikethui sistem pertidksm berikut. { x + y 0 x + y 9 x y x y Y 0 9 S R P O 9 0 Nili mksimum fugsi ssr z y x terletk di titik.... P d. S b. Q e. T c. R 8. Perhtik gmbr berikut. 5 Y S O R Jik derh segi lim tersebut merupk himpu peyelesi dri sutu progrm lier, fugsi ssr z x + y mecpi mksimum di titik.... P d. S b. Q e. O c. R 9. Nili miimum z x + y yg memeuhi sistem pertidksm { x + y x + y 6 x + y dlh d. 5 b. 5 e. 5 c. 5 Q Q P 5 6 T X X

35 8 Mmt Apliksi SMA Bhs 0. Seorg pemilik toko septu igi megisi tokoy deg septu jeis A sekurg-kurgy 00 psg d jeis septu B sekurg-kurgy 50 psg. Toko tersebut dpt memut 00 psg septu. Keutug yg diperoleh per psg septu jeis A dlh Rp0.000,00 d Rp5.000,00 utuk jeis B. Jik byk septu jeis A tidk boleh melebihi 50 psg, keutug terbesr yg dpt diperoleh toko tersebut dlh.... Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00. Derh yg memeuhi peyelesi sistem pertidksm { x + y 6 x y x y dlh... Y merek B dlh Rp75.000,00, jumlh keutug mksimum yg dpt diperoleh pedgg itu dlh.... Rp ,00 b. Rp.5.000,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 e. Rp ,00. Nili mksimum fugsi z x + 5y, deg syrt x, y 0, x + y 0, d x + y 7 dlh.... d. b. e. 0 c.. Derh yg tidk dirsir pd gmbr berikut memeuhi sistem pertidksm... Y y 6 6 O 6. I d. IV b. II e. V c. III. Seorg pedgg rloji membeli rloji merek A sehrg Rp60.000,00 d merek B sehrg Rp0.000,00. Ts pedgg tersebut hy mmpu memut tidk lebih dri 0 rloji. Modl pedgg tersebut sebesr Rp ,00. Jik keutug rloji merek A dlh Rp5.000,00 d keutug rloji III IV I II V X O { { { { {. x + y x + y 6 x 0, y 0 b. x + y x + y 6 y c. x + y x + y x, y d. x+ y 6 x + y y e. x + y 6 x+ y y X

36 Progrm Lier 9 5. Perhtik gmbr berikut. Jik derh yg tidk dirsir dlh himpu peyelesi dri sutu progrm lier, ili mksimum fugsi ssr z x y terletk pd titik.... (, ) b. (, ) c., 5 d. (, ) e., 5 6. Peyelesi sistem pertidksm lier { y < 0 x y < 0 x + y > 0 x 0, y 0 pd gmbr di bwh dlh... II I III IV O V 6. I b. II c. III d. IV e. V Y O X 7. Seorg k dihrusk megosumsi du jeis tblet setip hri. Tblet pertm megdug 5 uit vitmi A d uit vitmi B, sedgk tblet kedu megdug 0 uit vitmi A d uit vitmi B. Dlm stu hri, k itu memerluk 0 uit vitmi A d 5 uit vitmi B. Jik hrg tblet pertm Rp00,00 per biji d tblet kedu Rp800,00 per biji, pegelur miimum utuk membeli tblet per hri dlh.... Rp.00,00 d. Rp.800,00 b. Rp.00,00 e. Rp.000,00 c. Rp.600,00 8. Jik z x + y dlh fugsi ssr utuk sistem pertidksm lier { x + y 6 5x + y 0 x 0, y 0, ili mksimum z dlh.... d. 6 b. 7 e. tidk d c. 9. Dlm himpu peyelesi pertidksm { x y x + y 6 x + y 5, ili miimum dri x + y dlh d. b. 0 e. c. 0. Nili mksimum dri x + y 6 yg memeuhi syrt x 0, y 0, x + 8y 0, d 7x + y 80 dlh d. 9 b. 5 e. 8 c. 50

37 0 Mmt Apliksi SMA Bhs II. Jwblh perty-perty berikut deg ber.. Gmbrlh derh yg meujukk himpu peyelesi sistem pertidksm berikut. { 7x + 5y 5 x + 9y 8 x 9, y 5. Tetuk ili mksimum fugsi ssr z 0x + 0y yg memeuhi sistem pertidksm lier berikut. { x + y x + y 0 x 0, y 0. Perhtik gmbr berikut. Y. Utuk membut stu pket roti A, diperluk 50 grm meteg d 60 grm tepug, sedgk stu pket roti B memerluk 00 grm meteg d 0 grm tepug. Jik tersedi,5 kilogrm meteg d, kilogrm tepug, tetuk. model mtemtiky; b. byky msig-msig roti mksimum yg dpt dibut. 5. Berdsrk sol omor, jik hrg stu pket roti A d B msig-msig Rp0.000,00 d Rp5.000,00, tetuk jumlh ug mksimum yg diperoleh dri pejul roti tersebut. O 6 X Tetuk sistem pertidksm lier yg himpu peyelesiy ditujukk oleh derh yg tidk dirsir (bersih).

38 Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Esiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupk sutu dftr yg berisi gkgk d ditulis di dlm td kurug. Dftr-dftr yg dpt ditulis dlm betuk mtriks, misly peroleh medli dlm sutu permi olhrg, dftr gji pegwi, d dftr ili sisw. Tuju Pembeljr Setelh mempeljri bb ii, dihrpk kli dpt. mejelsk ciri sutu mtriks;. meulisk iformsi dlm betuk mtriks;. melkuk opersi ljbr ts du mtriks;. meetuk determi mtriks persegi ordo d kity deg mtriks mempuyi ivers; 5. meetuk ivers mtriks persegi ordo ; 6. membuktik rumus ivers mtriks ordo ; 7. mejelsk sift-sift opersi mtriks; 8. mejelsk sift-sift mtriks yg diguk dlm meetuk peyelesi sistem persm lier; 9. meetuk peyelesi sistem persm lier du vribel deg ivers mtriks; 0. meetuk peyelesi sistem persm lier du vribel deg determi.

39 Mmt Apliksi SMA Bhs Pet Kosep Mtriks mempeljri Pegerti, Notsi, d Ordo Sutu Mtriks Kesm Du Mtriks Pejumlh d Pegurg Mtriks Mtriks Khusus Perkli Mtriks Determi Mtriks Blik tu Ivers Mtriks Peggu Mtriks utuk Meyelesik Sistem Persm Lier Sift-Sift Pejumlh Mtriks Persm Mtriks Trspose Sutu Mtriks membhs Perkli Sklr deg Mtriks Perkli Mtriks deg Mtriks Kt Kuci eleme mtriks mtriks mtriks bris mtriks digol mtriks idetits mtriks kolom mtriks ol ordo trspose

40 Mtriks Mtriks merupk betuk peulis yg serig kit jumpi dlm kehidup sehri-hri, yitu berup isi di setip bris d kolomy. Misly, pd dftr gji pegwi, dt bsesi sisw, d dftr ili sisw. Pembhs mtriks pd bb ii meliputi pegerti, otsi, d ordo sutu mtriks, kesm du mtriks, pejumlh d pegurg mtriks, perkli bilg rel (sklr) deg mtriks, perkli mtriks, blik tu ivers mtriks, d peggu mtriks utuk meyelesik sistem persm lier du d tig vribel. Sebelum lebih juh mempeljri bb ii, cob jwblh sol berikut. Uji Prsyrt Kerjk di buku tugs Dikethui sistem persm lier tig vribel berikut. x + by + cz p dx + ey + fz q gx + hy + iz r Susulh koefisie-koefisie pd sistem persm itu dlm tbel berikut. Tbel. Koefisie x Koefisie y Koefisie z Persm Persm Persm Jelsk rti (mk) gk-gk (eleme) pd tbel itu. Setelh kli mmpu mejwb permslh di ts, mri kit ljutk ke mteri berikut. A. Pegerti Dsr tetg Mtriks Dlm kehidup sehri-hri, byk keterg tu iformsi yg disjik dlm betuk dftr berisi gk-gk yg disusu meurut bris d kolom. Misly, hrg krcis msuk sutu tempt wist disjik dlm betuk dftr seperti berikut. Tbel. Pegujug Hri Bis Hri Miggu Dews Ak-Ak

41 Mmt Apliksi SMA Bhs Dftr di dep dpt disusu lebih sederh deg meghilgk judul bris d judul kolom sehigg tmpk sebgi berikut Jik susu bilg-bilg tersebut ditulis di tr du td kurug (buk kurug kurwl), diperoleh sutu susu bilg sebgi berikut Susu bilg yg demiki disebut mtriks. Secr umum, mtriks dpt didefiisik sebgi berikut. Mtriks dlh susu berbetuk persegi pjg dri bilgbilg meurut bris d kolom sert ditemptk dlm td kurug (kurug bis tu kurug siku). Pd mtriks di ts dlh eleme (usur) mtriks pd bris pertm d kolom pertm, ditulis Eleme-eleme yg li, yitu 8.500,.500, d.750 berturut-turut meujukk eleme-eleme mtriks pd bris pertm kolom kedu, bris kedu kolom pertm, d bris kedu kolom kedu. Seljuty, ditulis 8.500,.500, d.750. Sutu mtriks diytk deg huruf kpitl A, B, C, d seterusy. Bilg-bilg yg terdpt di dlm mtriks dimk eleme mtriks. Adpu betuk umum mtriks A yg mempuyi m bris d kolom dlh A m m... m kolom ke- kolom ke- kolom ke- Keterg: ij dlh eleme pd bris ke-i kolom ke-j mtriks A.,,, j dlh eleme-eleme bris ke-.,,, i dlh eleme-eleme kolom ke-. bris ke- bris ke- bris ke-m Betuk umum mtriks A tersebut ditulis secr sigkt mejdi A ( ij ) m

42 Mtriks 5 Cotoh:. Hsil ulg hri (UH) Mtemtik dri lim org sisw dlh sebgi berikut. Tbel. No. Nm Sisw UH UH UH. Aik Ni Hesti Ardi Dr Susulh dt di ts dlm betuk mtriks deg otsi A. b. Berp byk bris pd mtriks A? c. Sebutk eleme-eleme pd bris pertm. d. Berp byk kolom pd mtriks A? e. Sebutk eleme-eleme pd kolom kedu. Peyelesi: b. Byk bris pd mtriks A dlh 5. c. Eleme-eleme bris pertm dlh 6, 7, d 7. d. Byk kolom pd mtriks A dlh. e. Eleme-eleme kolom kedu dlh 7, 6, 7, 7, d 8.. Dikethui mtriks A 0 Tetuk berikut ii.. Eleme-eleme pd bris ke-. b. Eleme-eleme kolom ke-. c. Eleme pd bris ke- kolom ke-. d. Eleme pd bris ke- kolom ke-. Peyelesi:. Eleme-eleme pd bris ke- dlh, 0, d. b. Eleme-eleme pd kolom ke- dlh d. c. Eleme pd bris ke- kolom ke- dlh. d. Eleme pd bris ke- kolom ke- dlh.

43 6 Mmt Apliksi SMA Bhs. Ordo Mtriks Jik sutu mtriks A mempuyi m bris d kolom, diktk bhw ordo mtriks A dlh m, ditulis deg otsi A m. Perhtik mtriks R d S di bwh ii. R, S ( ) 6 5 Mtriks R mempuyi ukur bris d kolom sehigg dpt diktk bhw mtriks R berordo d ditulis R. Adpu mtriks S mempuyi bris d kolom sehigg diktk bhw mtriks S berordo d ditulis S. Secr umum, ordo sutu mtriks dpt didefiisik sebgi berikut. Ordo sutu mtriks dlh ukur mtriks tersebut yg diytk deg byk bris kli byk kolom. Tugs Crilh dt tetg jumlh peghui rumhmu d susulh dlm betuk tbel berikut. Peghui Observsi Lki-Lki Kerjk di buku tugs Perempu Org tu Ak PRT Fmili Dri tbel itu, ytk dlm sebuh mtriks. Ad berp mtriks yg terbetuk? Kemudi, deg bhsmu sediri, jelsk rti gk-gk dri setip eleme mtriks yg terbetuk.. Trspose Sutu Mtriks Trspose dri mtriks A dlh sutu mtriks yg diperoleh deg cr meukr setip eleme bris mtriks A deg eleme kolom mtriks trsposey. Trspose sutu mtriks A ditulis deg lmbg A t tu A'. Cotoh: Dikethui A 5 6 d B. 5 Tetuk trspose dri mtriks A d B.

44 Mtriks 7 Peyelesi: Berdsrk pegerti trspose sutu mtriks, bris ke- mtriks A mejdi kolom ke- mtriks A t, sedgk bris ke- mtriks A mejdi kolom ke- mtriks A t. Deg demiki, diperoleh A t 5. 6 Deg cr yg sm, jik B, mtriks trsposey dlh B t ( 5). 5 Tugs Berpikir Kritis Kerjk di buku tugs Cob cri thu tetg pegerti mtriks simetris. Apkh 5 0 mtriks A merupk mtriks simetris? Megp? 0. Mtriks-Mtriks Khusus. Mtriks Persegi Mtriks persegi dlh sutu mtriks yg byk brisy sm deg byk kolomy. Jik byky bris pd mtriks persegi A dlh, byky kolom mtriks A jug sehigg ordo mtriks A dlh. Secr sigkt, mtriks A dpt disebut mtriks persegi ordo. Eleme,,,, disebut eleme-eleme digol utm (pertm). Misly: p q A merupk mtriks persegi ordo, dpt ditulis r s A. B 5 6 merupk mtriks persegi ordo, dpt ditulis B. Eleme-eleme digol utm pd mtriks A dlh p d s, sedgk eleme-eleme digol utm pd mtriks B dlh, 5, d 9.

45 8 Mmt Apliksi SMA Bhs b. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yg hy terdiri ts stu bris. Misly: D ( ) E (0 ) c. Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yg hy terdiri ts stu kolom. Misly: P 0 Q 0 R d. Mtriks Digol Mtriks digol dlh sutu mtriks persegi deg setip eleme yg tidk terletk pd digol utm dlh ol. Misly: A B e. Mtriks Stu Mtriks stu dlh sutu mtriks digol deg setip eleme digol utm dlh. Mtriks idetits bisy dilmbgk deg I tu I, utuk bilg sli. Misly: 0 I 0 0 I I f. Mtriks Nol Mtriks ol dlh sutu mtriks yg setip elemey ol. Mtriks ol berordo m diotsik deg O m. Diskusi Berpikir Kritis Kli tetu megel mtriks persegi ordo. Adkh mtriks idetits ordo? Jik d, seperti pkh? Jik tidk d, berik ls seperluy.

46 Mtriks 9 Misly: O ( 0 0 0), O 0 0 0, O g. Lw Sutu Mtriks Lw sutu mtriks dlh sutu mtriks yg elemeelemey merupk lw eleme dri mtriks semul. Lw dri sutu mtriks A diotsik deg A. Misly: 6 6 Lw mtriks A 7 0 dlh A 7 0. Diskusi Megomuiksik Ggs Meurutmu, p keuggul peyji sutu dt deg megguk mtriks? Apkh semu jeis dt dpt disjik deg mtriks? Berik cotoh d lsmu. Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Hsil peroleh medli semetr pd sutu Pek Olhrg Nsiol dlh sebgi berikut. Tbel. No. Kotige Ems Perk Peruggu. Jw Timur Jw Brt DKI Jkrt 5 8. Lmpug 5 5. DI Yogykrt. Susulh dt di ts dlm betuk mtriks deg otsi A. b. Berp byk bris d kolom pd mtriks A? c. Sebutk eleme-eleme pd bris keempt. d. Sebutk eleme-eleme pd kolom pertm. e. Sebutk eleme pd bris kedu kolom ketig. f. Sebutk eleme pd bris kelim kolom pertm.. Dikethui mtriks B

47 0 Mmt Apliksi SMA Bhs. Tetuk ordo mtriks B. b. Tetuk eleme bris kedu kolom keempt. c. Tetuk eleme bris ketig kolom ketig. d. Tetuk trspose mtriks B.. Tulislh koefisie d kostt sistem persm lier du vribel berikut dlm betuk mtriks legkp, deg ordo.. x + y c. x + y { 5x y { y x 6 b. x y 6 d. x 0 { x + 5y 7 { y 9. 5 Mtriks A ( ij ) ditetuk oleh A.. Tetuk ordo mtriks A. b. Hituglh ili +,, d +. c. Jik k, tetuk ili k k + 6. d. Tetuk trspose mtriks A. 5. u Dikethui mtriks B (b ij ) ditetuk oleh B. v Tetuk ili u d v jik. b 6b d b b ; b. b b 6 d b b. B. Kesm Du Mtriks Amtilh mtriks-mtriks A, B, d C berikut ii. A, B, d 0 C Ap yg dpt kli ktk tetg mtriks-mtriks tersebut? Apkh mtriks A B? Apkh A C? Megp? Dri ketig mtriks tersebut, tmpk bhw mtriks A mtriks B kre ordoy sm d eleme-eleme yg seletk iliy sm, sedgk mtriks A tidk sm deg mtriks C kre meskipu ordoy sm, tetpi eleme-eleme yg seletk iliy tidk sm. Du mtriks A d B diktk sm, ditulis A B jik kedu mtriks itu ordoy sm d eleme-eleme yg seletk berili sm.

48 Mtriks Cotoh: b Dikethui mtriks A d B dlh du mtriks yg sm. Tetuk 0 c 0 ili, b, d c. Peyelesi: b Dikethui A B, berrti. 0 c 0 Berdsrk sift kesm du mtriks, diperoleh b b 0 0 c c. Oleh kre itu, diperoleh, b, d c Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Tetuk ili x d y jik dikethui persm mtriks berikut. x x 6 y 6. e. y y b. x 5 y y 7 f. 5x x x+ y y x y y 8 c. 0xy9 x y+ 0 g. 7x+ y+ x+ 6y+ 9 x y 6 d. 6 x 6 + y y x x h. 7 7 x y y. Tetuk ili, b, d c jik dikethui persm mtriks berikut. 5 b + c b. c. 7 c c 0 c 0 b. b+ 7 c+ b+ c c 5

49 Mmt Apliksi SMA Bhs. Tetuk ili d b jik mtriks P Q t.. P d Q b 6 b b. P d Q b + b c. P 6 d Q 5 + b 6 C. Opersi pd Mtriks d Sift-Sifty Seperti hly pd bilg, mtriks jug dpt diopersik. Misly, dijumlhk, dikurgk, diklik deg sklr, d diklik deg mtriks deg tur tertetu. Nmu, mtriks tidk dpt dibgi deg mtriks li.. Pejumlh d Pegurg Mtriks Jumlh mtriks A d B, ditulis A + B dlh sutu mtriks bru C yg eleme-elemey diperoleh deg mejumlhk eleme-eleme yg seletk dri mtriks A d B. Deg demiki, syrt gr du mtriks tu lebih dpt dijumlhk dlh ordo mtriks-mtriks itu hrus sm. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Dikethui: A, B C 0, b 0 Jik C dlh ivers dri (A + B) mk ili b sm deg.... d. 6 b. e. 7 c. 5 Sol SPMB, 00 Cotoh: 0 Dikethui A, B, C 0 5 c Tetuk. A + B; b. B + C; c. C + D. Peyelesi:. 0 A + B b, d D 0 d d. + ( ) + ( ) ( )