Sifat Akar Polinom Dan Penerapannya Pada Sistem Persamaan Non Linier
|
|
|
- Ida Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PROSIDING ISBN : Sift Akr Polinom Dn Penerpnny Pd Sistem Persmn Non Linier A 5 Oleh: Drs. Arjudin, M.Si. Dosen Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Mtrm ABSTRAK Persmn kudrt berbentuk + b + c = dengn kr-kr dn mempunyi sift jumlh kr + = -b/ dn hsil kli kr = c/. Sift-sift kr ini dpt diperumum ke polinom berpngkt lebih tinggi. Untuk persmn kubik berbentuk + b + c + d = dengn kr-kr, dn, berlku sift-sift: + + = -b/, + + = c/, dn = -d/. Demikin jug untuk persmn pngkt empt berbentuk 4 + b + c + d + e = dengn kr-kr,, dn 4, berlku sift-sift: = -b/, = c/, = -d/, dn 4 = e/. Dengn menggunkn sift-sift kr tersebut dpt diselesikn beberp bentuk sistem persmn non linier. Kt-kt kunci: kr, polinom, persmn, non linier. A. PENDAHULUAN Seiring dengn perkembngn ilmu pengethun dn teknologi, Mtemtik jug senntis menglmi perkembngn. Di smping mengembngkn berbgi penerpn Mtemtik pd bidng ilmu lin dn penerpn prktis dlm kehidupn sehri-hri, pr Mtemtikwn jug mengembngkn pemikirn-pemikirn tentng teori Mtemtik itu sendiri tu disebut pengembngn Mtemtik murni. Dlm pembeljrn Mtemtik di SMA, sisw mempeljri tentng persmn kudrt. Mteri persmn kudrt meliputi cr mencri penyelesin, sift-sift kr, sert pennggunnny dlm menyelesikn permslhnpermslhn terkit bik mslh Mtemtik mupun mslh dlm kehidupn sehri-hri. Untuk persmn berderjt lebih tinggi, jug dibhs cr penyelesinny dengn cr Pembgin Horner. Akn tetpi pembhsn tentng sift-sift kr hny terbts smpi pd persmn kudrt sj. Dengn demikin permslhnpermslhn terkit yng dpt dipechkn jug hny terbts pd penggunn siftsift kr persmn kudrt, yitu sift jumlh dn hsil kli kr. Berdsrkn ltr belkng di ts dirumuskn permslhn pkh sift jumlh dn hsil kli kr yng berlku pd persmn kudrt dpt diperumum ke persmn polinom berderjt lebih tinggi. Pengembngn sift-sift kr ke Mklh dipresentsikn dlm Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik dengn tem Mtemtik dn Pendidikn Krkter dlm Pembeljrn pd tnggl Desember di Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY
2 PROSIDING ISBN : persmn polinom berderjt lebih tinggi sekligus kn mengembngkn ke pemechn permslhn-permslhn yng terkit dengn sift-sift kr tersebut. Oleh kren itu, tulisn ini bertujun menentukn sift-sift kr pd persmn kubik + b + c + d = dn persmn berderjt empt 4 + b + c + d + e = sert persmn polinom berderjt lebih tinggi, sert menggunkn siftsift kr untuk menyelesikn permslhn yng berkitn. Adpun mnft dri tulisn ini dihrpkn bgi guru dpt memperlus wwsn dlm pembeljrn Mtemtik khususny tentng pembeljrn polinom berderjt tig tu lebih tinggi. Sedngkn bgi penggemr mtemtik dihrpkn dpt digunkn sebgi cun untuk pengembngn Mtemtik lebih lnjut. B. PEMBAHASAN. Persmn Kudrt dn Sift-sift Akrny Persmn kudrt mempunyi bentuk umum + b + c =, dimn, b, c bilngn riil dn. Untuk mencri kr-kr persmn kudrt dpt dilkukn dengn tig cr, yitu pemfktorn, melengkpkn kudrt, dn rumus-bc. b ± b 4c =. Bentuk D = b 4c disebut diskriminn yng membedkn kr-kr persmn kudrt menjdi kemungkinn, yitu du kr riil berbed (D > ), du kr riil kembr (D = ), dn du kr kompleks sling konjugte (D < ). Mislkn kr-kr persmn kudrt + b + c = dlh dn. Dengn menggunkn rumus-bc dpt ditentukn sift jumlh dn hsil kli kr-kr b persmn kudrt tersebut, yitu + = dn c =. Bentuk jumlh dn hsil kli ini dpt digunkn untuk menytkn bentuk-bentuk yng lin, ntr lin: () + = ( + ) - () + = ( + ) - ( + ) () = ( + ) ( ) (4) + + = (5) + ( + ) + + = = =. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 44
3 PROSIDING ISBN : Dengn menytkn bentuk-bentuk tersebut dlm jumlh dn hsil kli, bentuk-bentuk opersi yng memut dn dpt dihitung niliny tnp hrus mencri nili msing-msing krny terlebih dhulu.. Polinom Berderjt Lebih Tinggi Yng dimksud polinom berderjt tinggi dlh polinom yng pngkt vribelny lebih dri du. Secr umum fungsi polinom berderjt n mempunyi bentuk f() = n + n- + + n- + n. Seperti dikethui bhw persmn kudrt dpt diselesikn dengn rumusbc. Untuk persmn kubik + p + q + r =, kr-krny dpt diperoleh dengn rumus: = 6 p q α + p, α dimn α = 6 pq 8r 8 p + 4q p q 8 pqr + 7r + 4 p r, k ± k 4 n dn. =, dimn k dn n memenuhi persmn k = p, n k = q tu n = r. (Arjudin, : 56) Secr lebih umum, cr mencri penyelesin persmn polinom berderjt lebih tinggi dpt dilkukn dengn cr pemfktorn. Sutu pembgin polinom f() oleh polinom g() km memberikn hubungn yng unik dlm kitnny dengn hsil bgi H() dn sis S(), yitu f() = H()g() + S(), dengn derjt S() kurng dri g(). Pemfktorn polinom dpt dilkukn dengn cr pembgin bersusun, seperti hlny bilngn dn dengn cr pembgin Horner. Cr pembgin Horner disebut jug cr pembgin sintetis. (Keedy, 996: 48) Untuk pembgin polinom secr bersusun, mislny pembgin suku bnyk + b + c + d oleh ( k) dpt dilkukn sebgi berikut. + (k + b) + (k + bk + c) k + b + c + d k _ (k+b) + c + d Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 45
4 PROSIDING ISBN : (k+b) (k +bk) _ (k + bk + c) + d (k + bk + c) (k + bk + ck) _ k + bk + ck + d Dri pembgin bersusun di ts diperoleh bhw pembgin + b + c + d oleh ( k) memberikn hsil pembgin H() = + (k + b) + (k + bk + c) dn sis S = k + bk + ck + d. Pembgin + b + c + d oleh ( k) dengn cr Horner dilkukn sebgi berikut : b c d k k + bkk +bk +ck k+b k +bk+c k + bk + ck + d Keterngn : : diklikn k. + Pd skem di ts, bris terts dituliskn koefisien-koefisienny sj, yitu koefisien, b koefisien, c koefisien, dn d konstnt. Pd bris pling bwh di bgin kiri merupkn hsil pembginny yng ditunjukkn oleh koefisien-koefisien dengn pngkt berkurng stu dripd fungsi yng dibgi, sedngkn bgin pling knn menytkn sisny. Hsil yng diperoleh sm dengn cr bersusun yitu hsil pembginny H() = + (k + b) + (k + bk + c) dn sis S = k + bk + ck + d. Teorem Sis menytkn bhw jik f() dibgi oleh ( k), mk sis pembginny dlh f(k). (Soedyrto, 8: 59). Kren derjt dri g() = k dlh, mk dpt diperoleh f() = (-k)g() + r, dengn r konstnt. Jik = k, diperoleh f(k) = r. Bilngn k merupkn kr dri persmn polinom f() =, jik f(k) =. Dlm hl ini berlku bhw bilngn k merupkn kr polinom f() pbil f() hbis dibgi oleh ( - k). Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 46
5 PROSIDING ISBN : Untuk melkukn pembgin suku bnyk f() dengn (m k) terlebih dhulu nytkn m k = m( m k ). Selnjutny lkukn pembgin f() dengn ( - m k ) seperti urin di ts, mislny diperoleh hsil bginy H() dn sisny S. Sehingg k H ( ) diperoleh f() = ( - )H() + S = (m k) + S. m m Apbil sisny kn diperoleh bentuk pemfktorn. Hl ini mengrh pd teorem sis yng menytkn bhw jik f() dibgi b ( b), mk sis pembginny dlh f( ).. Sift sift Akr Persmn Polinom Berderjt Tinggi Perhtikn persmn kubik f() =, dimn f() = dengn dn mislkn, dn dlh kr-krny. Dpt dinytkn f() = ( )( )( ), sehingg = ( ( + + ) + ( + + ) - Dengn menymkn koefisien-koefisienny diperoleh + + =, + + = =., dn Selnjutny, perhtikn persmn polinom pberderjt empt f() =, dimn f() = , dengn dn mislkn,,, dn 4 dlh kr-krny. Dengn cr serup di ts, dpt dinytkn f() = ( )( )( )( 4 ), sehingg = ( 4 ( ) + ( ) ( ) + 4. Dengn menymkn koefisien-koefisienny jug diperoleh Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 47
6 PROSIDING ISBN : =, = , + + = =, dn Kit perhtikn bhw sift jumlh dn hsil kli kr pd persmn kudrt dpt diperumum ke persmn kubik menjdi sift-sift: jumlh kr, jumlh perklin du fktor, dn hsil kli kr. Demikin jug pd persmn polinom berpngkt empt berlku sift-sift kr: jumlh kr, jumlh perklin du fktor, jumlh perklin tig fktor, dn hsil kli kr. Sift-sift kr polinom ini dpt diperumum ke polinom berderjt n. Terlebih dhulu diperkenlkn penggunn notsi Σ sebgi berikut: () Σ menytkn jumlh kr, yitu Σ = n, () Σ menytkn jumlh du fktor, yitu Σ = n n n- n- + n- n + n- n, () Σ menytkn jumlh tig fktor, yitu Σ = n n n- n- n- + n- n- n + n- n- n. dn seterusny, (4) Σ... n- menytkn penjumlhn n- fktor, yitu Σ... n- =... n n- n, dn (5) Σ... n =... n merupkn hsil kli kr dn ditulis... n sj. Selnjutny untuk persmn polinom berderjt n berbentuk n + n- + n n- + n =, dengn, dpt dimislkn kr-kr persmn polinomny,,,..., n. Dpt dinytkn f() = ( )( )( )( 4 )...( n ), sehingg Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 48
7 PROSIDING ISBN : n + n- + n n- + n = ( n ( n ) n- + ( n n n- n ) n (-) n- (... n n ) + (-) n... n. Dengn menymkn koefisien-koefisienny dpt diperoleh sift-sift kr polinom: =, =, =,... n... n = ( ) n n 4... n = ( ). n 4. Penerpn Sift Akr Polinom pd Sistem Persmn Non Linier Terlebih dhulu kit ingt rumus-rumus binomil dn multinomil sebgi berikut:. Perpngktn suku (binomil): () ( + ) = + + () ( + ) = () ( + ) 4 = b. Perpngktn suku: (4) ( + + ) = ( + + ) (5) ( + + ) = ( ) + 6. Selnjutny kn diurikn tentng fungsi polinom simetris yng merupkn lndsn untuk pembhsn sift-sift kr polinom. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 49
8 PROSIDING ISBN : Definisi: (Fungsi Simetris) Sutu fungsi dlm vribel, b, c,. diktkn simetris dlm, b, c,. jik tidk kn menglmi perubhn oleh permutsi (pertukrn), b, c,. (Depdikns, 999: 9). b Contohny, + b dn + dlh simetris dlm dn b, tetpi b dlh tidk b simetris. Fungsi simetris dlm vribel p, q, dn r ntr lin: p + q + r, pq + pr + qr, pqr. Sesui dengn notsi Σ yng dimksud di ts, du fungsi pertm bisny dinytkn berturut-turut dengn Σp dn Σpq. Ketig fungsi tersebut disebut fungsi simetris sederhn dlm p, q, dn r. (Pryitno, : 9) Adpun fungsi simetris sederhn dlm p, q, r, dn s dlh Σp = p + q + r + s, Σpq = pq + pr + ps + qr + qs +rs, Σpqr = pqr +pqs + qrs, dn pqrs. Teorem: (Teorem Newton) Setip polinom simetri dlm,,, n dpt dinytkn sebgi polinom dlm fungsi simetri sederhn,,, n. (Depdikns, 999: 4) Sebgi contoh: () + b + c = ( + b + c) (b + c + bc), dpt ditulis + b + c = (Σ) Σb. () + b + c + d = (+b+c+d) (b+c+d+bc+bd+cd), dpt ditulis + b + c + d = (Σ) Σb. () + b + c = ( + b + c) (+b+c)(b+c+bc) + bc, dpt ditulis + b + c = (Σ) (Σ)(Σb) + bc Dri urin tentng sift kr polinom, terliht keterkitn bhw fungsi simetris sederhn dri kr-kr polinom dpt ditentukn niliny dengn menggunkn siftsift kr polinom yng diurikn di ts, dimn niliny bergntung pd koefisienkoefisien persmn polinomny. Selnjutny berdsrkn Teorem Newton yng menytkn bhw setip polinom simetris dpt dinytkn dlm fungsi-fungsi simetri sederhn, mk sistem persmn non linier yng simetris dpt diselesikn dengn menggunkn sift-sift kr polinom. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
9 PROSIDING ISBN : Contoh : Tentukn solusi dri sistem persmn : p + q + r =, p + q + r = 9, pqr = -4. Jwb : Nili p, q, r yng memenuhi sistem persmn di ts merupkn kr-kr dri persmn suku bnyk =, dengn koefisien yng bersesuin. Kit tetpkn koefisien = dn koefisien-koefisien yng lin dlh : = = -Σp = -, dn dri hubungn Σp = (Σp) - (Σpq), diperoleh = Σpq = sert = -pqr = 4. ( p) p 9 = = -4, Persmn polinomny dlh =. Dengn menggunkn pembgin horner diperoleh pemfktorn = ( - )( + ) = ( )( )( + 4). Akr-kr persmn polinomny dlh =, =, 4 = -4. Kren sistem persmnny simetris mk himpunn penyelesinny = {(, y, z) :, y, z {,, -4}, y z} tu secr singkt ditulis (,, -4) sj. Contoh : Selesikn sistem persmn non linier berikut: + y + z = -, + y + z = 6, + y + z = -8. Jwb: Nili, y, z yng memenuhi sistem persmn di ts merupkn kr-kr dri persmn suku bnyk r + r + r + =, dimn kit tetpkn koefisien = dn koefisien-koefisien yng lin dlh : = = -Σ =, dn dri hubungn Σ = (Σ) -(Σy) diperoleh Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
10 PROSIDING ISBN : = Σy = ( ) 4 6 = = -. Selnjutny, perhtikn bhw ( + y + z) = + y + z + ( + y + z)(y + z + yz) yz Mk -yz = (Σ) (Σ ) (Σ)(Σy) Sehingg = -yz = = -. ( ) ( )( y) ( ) = ( 8) ( ) ( ) Persmn polinomny dlh + - =. Dengn menggunkn pembgin horner diperoleh pemfktorn + - = ( - )( + + ) = ( )( + )( + ). Akr-kr persmn polinomny dlh = -, = -, 4 =. Jdi penyelesin dri sistem persmn di ts dlh (-, -, ). C. SIMPULAN DAN SARAN. Simpuln Berdsrkn hsil pembhsn dpt dikemukkn simpuln sebgi berikut:. Persmn polinom derjt n berbentuk n + n- + n n- + n =, dengn kr-kr,,,..., n mempunyi sift-sift kr: =, =, =,... n n... n = ( ), dn n n 4... n = ( ). b. Secr khusus, untuk persmn kubik + b + c + d = dengn kr-kr, dn mempunyi sift-sift: b + + =, c + + =, dn d =. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
11 PROSIDING ISBN : Untuk persmn polinom derjt empt berbentuk 4 + b + c + d + e = dengn krkr,, dn 4 mempunyi sift-sift: b =, c =, d =, dn e 4 =. c. Sift-sift kr polinom dpt digunkn untuk menyelesikn sistem persmn non linier simetris... Srn Dengn meliht kesimpuln di ts, disrnkn kepd pengjr Mtemtik bik di sekolh mupun pergurun tinggi hendkny dlm pembeljrn dpt memberikn wwsn yng lebih lus kepd sisw/mhsisw, berkitn dengn pembeljrn polinom. Apbil selm ini hny dibhs sift kr persmn kudrt, mk perlu ditmbhkn wwsn pd persmn kubik tu pngkt lebih tinggi. DAFTAR PUSTAKA Arjudin.. Penyelesin Umum Persmn Kubik dlm Pengjrn Mtemtik. Jurnl Ilmu Pendidikn, No.55 Thun XV, hl Depdikns Bhn Pembinn Clon Pesert IMO 999. Jkrt: Direktort Dikmenum. Keedy, M.L. & Bittinger, M. L Algebr nd Trigonometry, Function Approch, Fourth Edition. New York: Addyson-Wesley Publishing Compny. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
12 PROSIDING ISBN : Pryitno, S. dkk.. Mteri Peltihn Pembinn Guru Mtemtik SMU se-ntb untuk Olimpide Mtemtik. Mtrm: Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Mtrm Purcell, Edwin J. & Vnberg, D Klkulus dn Geometri Anlitis, Jilid, Edisi Kelim (Terjemhn). Jkrt: Penerbit Erlngg. Soedyrto, N. & Mrynto. 8. Mtemtik untuk SMA dn MA Kels XI Progrm IPA. Jkrt: Pust Perbukun Depdikns. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 54
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
SUKUBANYAK (POLINOMIAL)
SUKUBANYAK (POLINOMIAL) A. Bentuk Umum Sukubnyk (Polinomil) n n n b c... z n = pngkt tertinggi (derjt sukubnyk) n = koefisien 7 5 5 9 6 dlh sukubnyk berderjt 7, koefisien dlh 9, koefisien konstnt dlh 6
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) B 15 A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk 1 0 x x x x x, dengn 0 dn n { il. cch } n diseut dengn Suku nyk (Polinomil) dlm x erderjt n ( n dlh pngkt tertinggi dri x),,,., diseut keofisien
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
E-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
http://meetied.wordpress.com Mtemtik X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Reutlh st ini. Ap pun yng is And lkukn tu And impikn Mulilh!!! Keernin mengndung kejeniusn, kekutn dn kejin. Lkukn sj dn otk And kn muli
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Matematika SKALU Tahun 1978
Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) : SMA IT Izzuddin : Matematika : X (Sepuluh) / Ganjil
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nm Sekolh Mt Peljrn Kels / Semester : SMA IT Izzuddin : Mtemtik : X (Sepuluh) / Gnjil Stndr Kompetensi :. Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm.
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Minggi, M.Si J fruddin,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si Shln Sidjr,
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])
![(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])](/thumbs/52/30257248.jpg "(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])")
DADU SICHERMAN (Sutu Apliksi dri Fktorissi Tunggl Pd Z[X]) Elh Nurlelh Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Pendidikn Indonesi *) ABSTRACT An interesting ppliction
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persmn Kudrt. Bentuk umum persmn kudrt : x + bx + c = 0, 0. Nili determinn persmn kudrt : D = b c. Akr-kr persmn kudrt dpt dicri dengn memfktorkn tupun
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
Kegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1
Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan
Bb III Sumber: mycityblogging.com Persmn dn Pertidksmn Konsep persmn dn pertidksmn telh And peljri sebelumny di Kels VII dn Kels VIII. Konsep persmn dn pertidksmn sngt bergun jik diterpkn dlm kehidupn
PERSAMAAN KUADRAT. ac 0 p dan q sama tanda. 2. dg. Melengkapkan bentuk kuadrat ( kuadrat sempurna ) :
PERSAMAAN KUADRAT Bb. Bentuk Umum : b c,,, b, c Re l Menyelesikn ersmn kudrt :. dg. Memfktorkn : b c ( )( q) q q = ( q) dimn : b = + q dn c, Jik c dn q berbed tnd c dn q sm tnd. dg. Melengkkn bentuk kudrt
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn
Matematika X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone
http://meetbied.wordpress.com Mtemtik X Semester SMAN Bone-Bone Hsil yng pling berhrg dri semu jenis pendidikn dlh kemmpun untuk membut diri kit melkukn sesutu yng hrus kit lkukn, pd st hl itu hrus dilkukn,
III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan
Bb III Sumber: mycityblogging.com Persmn dn Pertidksmn Konsep persmn dn pertidksmn telh And peljri sebelumny di Kels VII dn Kels VIII. Konsep persmn dn pertidksmn sngt bergun jik diterpkn dlm kehidupn
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Alternatif Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Yang Bukan Bilangan Bulat
Jurnl Sins Mtemtik dn Sttistik, Vol. No. Juli 06 ISSN 460-44 Alterntif Menentukn Akr-Akr Persmn Kudrt Yng Bukn Bilngn Bult Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsiyti 3 Mhsisw Progrm Studi Mgister Mtemtik,
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
MATEMATIKA DASAR. 1. Jika x 1 dan x 2 adalah penyelesaian. persamaan Diketahui x 1 dan x 2 akar-akar persamaan 6x 2 5x + 2m 5 = 0.
MATEMATIKA ASAR. Jik dn dlh penyelesin persmn mk ( ).. E. B 7 6 6 + - ( + ) ( ). ( ) ( ) 7. Jik dn y b dengn, y > + y, mk. + y + b log b. + b log b b E. + log b E log dn y log b + y + y log + log b log
Two-Stage Nested Design
Mteri #13 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN Two-Stge Nested Design Nested design dlh slh stu ksus dri desin multi fktor dimn level dri slh stu fktor (misl: fktor B) serup tpi tidk identik untuk setip level yng
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Kegitn Beljr Mengjr 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Drs. Zinuddin, M.Pd Kegitn eljr mengjr 3 ini kn memhs tentng persmn kudrt. Kegitn eljr mengjr 3 ini menckup du pokok hsn, yitu pokok hsn I tentng
DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn