OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2006

Transkripsi

1 BAGIAN PERTAMA OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 006 Pilih satu jawaban yang paling benar. Dalam hal lebih dari satu jawaban yang benar, pilih jawaban yang paling baik.. Jumlah tiga bilang prima yang lebih besar dari 0 adalah.. A. 69 B. 7 C. 73 D. 7 E. 77. Dalam sebuah kotak terdapat bola merah dan 0 bola putih. Jika diambil dua bola secara bersamamaan, peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah.. 0 A. B. C. D. E Jika X, maka X A B. C. 9 4 D. 4 9 E. 4. Pada segitiga ABC, jika titik F membagi sisi AC dalam perbandingan :. Misalkan G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG. Maka titik E membagi sisi BC dalam perbandingan.. A. : 4 B. : 3 C. : D. 4 : E. 3 : 8. Dalam suatu pertemuan terjadi 8 jabat tangan (salaman). Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali. Banyaknya orang yang hadir dalam pertemuan tersebut paling sedikit adalah.. A. 8 B. 7 C. 4 D. 8 E Gaji David lebih banyak 0% daripada gaji Andika. Ketika Andika memperoleh kenaikan gaji, gajinya menjadi lebih banyak 0% daripada gaji David. Persentase kenaikan gaji Andika adalah. A. 0,44 B. 0 C. 44 D. 44 E. tidak dapat ditentukan dengan pasti. JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 7

2 7. Misalkan T adalah himpunan semua titik pada bidang-xy yang memenuhi x + y 4. Luas daerah T adalah.. A. 4 B. 8 C. D. 6 E Didefinisikan a * b a + b +, untuk semus bilalangan bulat a, b. Jika p memenuhi a*p a, untuk semua bilangan bulat a, maka p adalah.. A. B. 0 C. D. E. Tidak ada yang memenuhi 9. Setiap dong adalah ding, dan beberapa dung juga dong. X : Terdapat dong yang ding sekaligus dung. Y : Beberapa ding adalah dung. Z : Terdapat dong yang bukan ding. A. Hanya X yang benar B. Hanya Y yang benar C. Hanya Z yang benar D. X dan Y keduanya benar E. X, Y, dan Z semuanya salah. 0. Banyaknya solusi pasangan bilangan bulat positif persamaan 3x+y0 adalah A. 33 B. 34 C. 3 D. 36 E. 37 BAGIAN KEDUA Isikan hanya jawaban saja pada tempat yang disediakan.. Diketahui a + ( a+) + ( a + ) Jika a bilangan positif, maka a. Diantara lima orang gadis, Arinta, Elsi, Putri, Rita, dan Venny, dua orang memakai rok dan tiga orang memekai celana panjang. Arinta dan Putri menggunakan jenis pakaian yang sama. Jenis pakaian Putri dan Elsi berbeda, demikian pula dengan Elsi dan Rita. Kedua gadis yang memakai rok adalah 3. Barisan,3,,6,7,0,,. terdiri dari semua bilangan yang asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat. Suku ke-0 barisan adalah.. 4. Jika f(xy) f(x + y) dan f(7) 7, maka f(49). JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 8

3 . Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke- tiga kali suku ke-. Suku yang berniali dua kali nilai suku pertama adalah. 6. Dimas memebeli majalah setiap hari sekali, sedangkan Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre membeli majalah hari ini. Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama. hari lagi. 7. Nanang mencari semua bilangan empat-angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 007. Banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari.. 8. Parabola y ax + bx + c memiliki puncak dengan koordinat (4,). Jika titik (,0) terletak pada parabola, maka abc. 9. Sebua garis l mempunyai kemiringan dan melalui titik (p,-3). Sebuah garis lainnya, l tegak lurus terhadap l di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p, maka a.. 0. Pada segitiga ABC yang tumpul di C, titik M adalah titik tengah AB. Melalui C dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di E. Dari M tarik garis memotong BC tegak lurus di D. Jika luas segitiga ABC adalah 4 satuan luas, maka luas segitiga BED adalah JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 9

4 BAGIAN PERTAMA PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN KOTA TAHUN 006 OLEH: Drs JAFAR (SMAN BONTOA MAROS). Tiga bilangan prima yang lebih besar dari 0 adalah 3, 9, 6 Jumlahnya Jawab C. Peluang dua bola berwarna merah sama : P(m) c c Peluang dua bola berwarna putih sama : P(p) c c Jadi peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah 3 P(m) + P(p) + 7 Jawab E 3. X Jawab B 4. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut: Titik F membagi AC dalam perbandingan AF : FC : dan FG : GB : E titik potong sisi BC dengan AG A F C G E B Teorema Menelaos: JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 0

5 Jawab B CA AG BE x x FA GF EC 3 BE x x EC BE EC 3 BE : EC : 3. Dalam suatu pertemuan terjadi 8 jabat tangan (salaman). Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali, sehingga: c n 8, n banyaknya orang yang bersalaman n! 8 ( n )!.! n.( n )( n )! 8 ( n )!...( ) n n 8 n n 6 n n 6 0 ( n 8)( n + 7) 0 n 8 n 7 Untuk n - 7 tidak memenuhi, jadi banyaknya orang yang hadir dalam pertemuan tersebut adalah 8 orang. Jawab D 6. Gaji David lebih banyak 0% dari pada gaji Andika. Misalkan gaji Andika Rp X Gaji David (D) X + 0% x X X + 0,X,X (*) Ketika Andika memperoleh kenaikan gaji, gajinya lebih banyak 0% daripada gaji david atau: Gaji Andika D + 0%D,D,.,X,44X sehingga kenaikan gaji Andika,44X X 0,44X. 0,44X Jadi persentase kenaikan gaji Andika x00% 44% Jawab C X 7. x + y 4, andaikan x + y 4, sehingga untuk x 0, maka y 4 y ± 4 untuk y 0, maka x 4 x ± 4 dengan demikian persamaan x + y 4 memotong sumbu X di titik (4,0) dan (- 4,0) serta memotong sumbu Y di titik (0,4) dan (0,-4). JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS

6 Grafiknya: Y X -4 T adalah himpunan semua titik pada bidang XY yang memenuhi x + y 4. Daerah T berbentuk persegi dengan panjang sisi: p Luas daerah T satuan luas Jawab: E 8. a*b a + b +, untuk semua bilangan bulat a,b. Jika p memenuhi untuk a*pa, untuk semua bilangan bulat p, maka: a*p a a + p + a p - Jawab A 9. Setiap dong adalah ding, dan beberapa dung juga dong Untuk menjawab soal ini gunakan diagram ven. Jawab : X : Terdapat dong yang ding sekaligus dung. ( benar) Y : Beberapa ding adalah dung. (benar) Z : Terdapat dong yang bukan ding. ( salah) Jawab D. X dan Y keduanya benar. 0. Persamaan 3x + y 0 Mencari GCD(3,) dengan Algoritma Euclide: x x + x + 0 Jadi GCD(3,). Karena 0 maka persamaan diatas mempunyai penyelesaian. Menentuka sebagai kombinasi 3 dan. 3 x 3 x ( x 3) x 3 x JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS

7 BAGIAN KEDUA Kalikan kedua ruas dengan x 3-0 x Sehingga didapat x 0 00, y 0 0 diperoleh penyelesaian umum: x 00 + k x 00 + k 3 y -0 - k y - 0 3k, dengan k parameter bilangan bulat. Untuk k 68 diperoleh x 6, y 3 Untuk k 69 diperoleh x 7, y 6 Untuk k 70 diperoleh x, y 9... Untuk k 00 diperoleh x, y 99 Ternyata nilai x dan y untuk bulat positif membentuk barisan aritmetika. Barisan nilai y mempunyai suku pertama 3, beda 3 dan suku terakhir 99, sehingga: U n U + ( n ) b ( n )3 3n 99 n 33 Jadi banyaknya solusi bilangan bulat positif persamaan 3x + y 0 adalah 33. Cara lain: x 00 + k 00 + k > 0 k > 00, 4 y 0 3k 0 3k > 0 k < 67 sehingga: 00,4 < k < 67, dengan k parameter bilangan bulat. nilai k yang memenuhi sebanyak 33, yaitu -00,-99,,-68. Jadi banyaknya solusi bilangan bulat persamaan itu adalah 33. Jawab A. a + (a + ) + (a + ) sehingga : 0 a + ( n ) b 0 a + n n a. (b) S n 39 U n n ( a + 0) 39 ( a )( a + 0) 39 a 0a a a a 7 0 JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 3

8 ( a 7)( a + 6) 0 a 7 atau a 6 oleh karena a bilangan positif, jadi a 7.. Ada lima gadis Anita, Elsi, Putri, Rita dan Venny. Dua orang memekai rok dan tiga orang memakai celana panjang. Anita dan Putri mengggunakan jenis pakaian yang sama: A P Jenis pakaian Putri dan Elsi berbeda : P E demikian juga Elsi dan Rita berbeda: E Sehingga: A P P E R E R A P R Pakaian Anita, Putri, dan Rita sama yaitu celana panjang. Jadi gadis yang memakai rok adalah Elsi dan Venny. 3. Barisan, 3,, 6, 7, 0,. terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadat atau pangkat tiga bilangan bulat. Barisan kuadrat bilangan bulat:, 4, 9, 6,, 36, 49, 64, 8, 00,, 44, 69, 96,, 6, 89,. Barisan pangkat tiga bilangan bulat:, 8, 7, 64,, 6, 343, Suku ke- 0 bariasan bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat adalah: U Diketahui f(xy) f(x + y) dan f(7) 7 f(xy) f(x +y) f(7.) f(7 + ) f(7) f(8) f(8.) f(8 + ) f(8) f(9) f(9.) f(9 + ) f(9) f(0) f(48) f(49) 7.. Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke- tiga kali suku ke- dapat ditulis U 3U U + 4b 3( U + 4b) U 6b, sehingga barisan aritmetika tersebut 6 b,7b,8b,...,( n + ) b Jadi suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama atau U b U (7 + ) b U U, suku ke-7 dua kali suku pertama. U n U n 7 7 ( n + ) b b n + 6. Dimas membeli majalah setiap hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah, sehingga Dimas beli lagi setelaha hari ke : 4, 9, 4, 9, 4,.. JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 4

9 Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali, Andre membeli majalah hari ini, berikutnya Andre beli lagi setelah hari ke : 8,6, 4, Jadi keduanya akan beli majalah pada hari yang sama 4 hari lagi. 7. Bilangan empat angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 007 adalah 00, 0, 0, 03, 04, 0, 06, 07, 08, 09. Jadi banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari. 8. Parabola y ax + bx + c memiliki puncak dengan kordinat (4,), sehingga persamaannya: y a( x 4) +.(*) Titik (,0) terletak pada parabola, memenuhi persamaan (*): 0 a ( 4) + a Substitusi a ke persamaan (*): y ( x 4) + y ( x 8x + 6) + y x + 4 x 6 Sehingga nilai a, b 4, dan c - 6 Jadi abc x4x( 6) 9. Garis l mempunyai kemiringan dan melalui titik (p,-3). Garis l tegak lurus terhadap l di titik (a,b) dan melalui (6,p), sehingga: b + 3 b + 3 a + p b a + p 3.() a p p b l l m l. m l m l 6 a p b 6 a..() Substitusi persamaan () ke (): p ( a + p 3) 6 a a p a p 0. Perhatikan gambar segitiga ABC yang tumpul di C, titik M adalah titik tengah AB. Melalui C dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di titik E. Dari M tarik garis memotong BC tegak lurus di D. JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS

10 C D α A E M B Luas segitiga ABC 4 satuan luas BM AB..() Perhatikan: BEC ABC, sehingga: BD BM BD. BE BM. BC.() BC BE Substitusi persamaan () ke persamaan (): BD.BE AB. BC BD. BE AB. BC (3) L ABC AB. BC.sinα 08 4 AB. BC.sinα sinα..(4) AB. BC Substitusi persamaan (3) ke-(4), diperoleh: 08 4 sin α sinα..() BD. BE BD. BE Jadi luas segitiga BED adalah: 4 L BED BD. BE.sinα BD. BE. BD. BE 7 satuan luas JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 6

11 JAFAR/SMAN BONTOA/MAROS 7