Kalkulus Proposisi. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika

Transkripsi

1 Kalkulus Proposisi Author-IKN 1 10/30/2015

2 Pengantar Logika Proposisional Proposisi Pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah. Terdiri dari proposisi atomik dan majemuk. Contoh proposisi majemuk: Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal. Logika Proporsional Logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi. 2 10/30/2015

3 Argumen Argumen Kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis dan diikuti oleh kesimpulan yang selaras dengan premispremisnya. Contoh argumen: Jika Anda belajar rajin, maka Anda lulus ujian. Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang. Dengan demikian, Jika Anda belajar rajin, maka Anda senang. 3 10/30/2015

4 Argumen Argumen Untuk memudahkan memanipulasi, maka proposisi digantikan dengan huruf-huruf. Contoh argumen: Jika Anda belajar rajin, maka Anda lulus ujian. Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang. Dengan demikian, Jika Anda belajar rajin, maka Anda senang. Penggantian proposisi A = Anda belajar rajin, B = Anda lulus ujian, C = Anda senang. Argumen menjadi: Jika A, maka B; Jika B, maka C; Jika A, maka C. 4 10/30/2015

5 Argumen Penting Silogisme Hipotetis Bentuk ekspresi Jika A, maka B Jika B, maka C Jika A, maka C Contoh kalimat Jika Anda belajar rajin, maka Anda lulus ujian. Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang. Dengan demikian, Jika Anda belajar rajin, maka Anda senang. 5 10/30/2015

6 Argumen Penting Silogisme Disjungtif Bentuk ekspresi A atau B Tidak B A Contoh kalimat Program komputer ini mempunyai bug, atau masukannya salah. Masukannya tidak salah. Dengan demikian, program komputer ini mempunyai bug. 6 10/30/2015

7 Argumen Penting Modus Ponens Bentuk ekspresi Jika A, maka B A B Contoh kalimat Jika lampu lalu lintas menyala merah, maka semua kendaraan berhenti. Lampu lalu lintas menyala merah. Dengan demikian, semua kendaraan berhenti. 7 10/30/2015

8 Argumen Penting Modus Tollens Bentuk ekspresi Jika A, maka B Tidak B Tidak A Contoh kalimat Jika Badu belajar rajin, maka ia lulus ujian. Badu tidak lulus ujian. Badu tidak belajar rajin. 8 10/30/2015

9 Argumen Variabel proposional Huruf yang digunakan untuk menggantikan proposisi, misal A,B,C, Konstanta proposisional Simbol yang menunjukkan nilai kebenaran dari suatu proposisi, misal B/S atau T/F. Konstanta porposisional tidak boleh sama dengan variabel proposisional. 9 10/30/2015

10 Perangkai Logika Konjungsi ( ) Merupakan perangkai dan, berfungsi sebagai perangkai binary. Contoh: Saya pergi ke pasar dan sekolah A B A B F F F F T F T F F T T T 10 10/30/2015

11 Perangkai Logika Disjungsi ( ) Merupakan perangkai atau, berfungsi sebagai perangkai binary. Contoh: Saya pergi ke pasar atau sekolah A B A B F F F F T T T F T T T T 11 10/30/2015

12 Perangkai Logika Negasi ( ) Merupakan perangkai tidak atau bukan, berfungsi sebagai perangkai unary. Contoh: Saya tidak malas. Sifat yang berlawanan bukanlah negasi, misal Bodoh bukanlah negasi dari pintar. A F T A T F 12 10/30/2015

13 Perangkai Logika Implikasi ( ) Merupakan perangkai jika maka. Bentuk umum: A B. Proposisi di sisi kiri (A) disebut antecedent, dan proposisi di sisi kanan (B) disebut consequent. Contoh: Jika hari hujan, maka saya akan membawa payung. A B A B F F T F T T T F F T T T 13 10/30/2015

14 Perangkai Logika Varian Implikasi ( ) Implikasi: A B Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya. Konvers: B A Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil. Invers: A B Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya. Kontraposisi (Invers dari Konvers): B A Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil 14 10/30/2015

15 Perangkai Logika Latihan Nyatakan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi berikut: Saya masuk kuliah jika ada kuis. Dian bisa lulus sarjana bila ia telah menyelesaikan 144 SKS /30/2015

16 Perangkai Logika Ekuivalensi/Biimplikasi ( ) Merupakan perangkai jika dan hanya jika, biasa disingkat iff. Contoh: Saya akan membawa payung jika dan hanya jika hari hujan. A B A B F F T F T F T F F T T T 16 10/30/2015

17 Pengantar Logika Proposisional Latihan Gunakan konstanta proposisi berikut: A = Bowo kaya raya. B = Bowo hidup bahagia. Ubah pernyataan berikut menjadi bentuk logika: Bowo tidak kaya. Bowo kaya raya dan hidup bahagia. Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia. Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia. Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya /30/2015

18 Pengantar Logika Proposisional Latihan Misalkan A, B, dan C adalah variabel proposisional: A = Anda sakit flu. B = Anda ujian. C = Anda lulus. Ubah ekspresi berikut menjadi pernyataan A B B C B C (A B) C (A C) (B C) (A B) ( B C) 18 10/30/2015

19 Pengantar Logika Proposisional Latihan Ubah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk logika: Jika Bowo berada di Malioboro, maka Dewi juga ada di Malioboro. Pintu rumah Dewi berwarna merah atau cokelat. Berita itu tidak menyenangkan. Bowo akan datang jika ia mempunyai kesempatan. Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai /30/2015

20 Pengantar Logika Proposisional Latihan Buatlah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini: A ( A B) A (A B) (A B) ( B A) A ((C B) C) ((A B) C) A 20 10/30/2015

21 Proposisi Majemuk Pendahuluan Untuk menghindari ambiguitas, maka proposisi majemuk yang akan dikerjakan terlebih dahulu harus diberi tanda kurung. Proposisi-proposisi yang perangkainya berada dalam tanda kurung disebut fully parenthesized expression (fpe). Proposisi majemuk yang rumit dapat dipecah menjadi subekspresinya, disebut teknik parsing /30/2015

22 Ekspresi Logika Contoh argumen Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah istimewa. Variabel proposisional A = Dewi rajin belajar. B = Dewi lulus ujian. C = Dewi mendapat hadiah istimewa. Ekspresi logika (A B) C A (B C) 22 10/30/2015

23 Aturan Pengurutan Hierarki perangkai 1. Negasi 2. Konjungsi 3. Disjungsi 4. Implikasi 5. Biimplikasi/Ekuivalensi Contoh ( A B), dibaca (( A) B), bukan ( (A B)) A B C, dibaca (A B) C, bukan A (B C) A B C, dibaca A (B C), bukan (A B) C 23 10/30/2015

24 Menganalisis Proposisi Majemuk Contoh argumen Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia /30/2015

25 Proposisi Majemuk Latihan Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi ekspresi logika Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu menangkapnya. Jika saya tidak keliru, Dewi sudah diwisuda dan adiknya atau orang tuanya berada di sampingnya. Seorang ayah tidak perlu gelisah terhadap musibah jika anaknya dapat menjaga diri, tetapi jika anaknya tida bisa menjaga diri dan terjadi kecelakaan, maka ia harus waspada mengawasinya. Jika dia bersabar dan tidak terburu-buru pulang, maka ia dapat bertemu dengan kakaknya dan kakaknya akan mengantarnya pulang /30/2015

26 Proposisi Majemuk Latihan Masukkan tanda kurung ke dalam ekspresi logika berikut ini: A B C D A B C D A B C D A B C D 26 10/30/2015

27 Proposisi Majemuk Latihan Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan D adalah F, carilah nilai kebenaran dari ekspresi di bawah ini: A (B C) (A B) C ((A B) C) ((A B) (B D)) ( (A B) C) ((( A B) D) B) 27 10/30/2015

28 Proposisi Majemuk Latihan Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi ekspresi logika Jika kamu mengirim , maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim , maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa lebih segar. Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir, rakyat menderita. Anginnya kencang tetapi rakyat tidak menderita /30/2015

29 Tautologi Tautologi Ekspresi logika yang selalu memberikan nilai benar untuk semua kemungkinan nilai variabel proposisional. Contoh: A A A A A A F T T T F T Buktikan bahwa pernyataan berikut adalah tautologi Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah /30/2015

30 Tautologi Kontradiksi Ekspresi logika yang selalu memberikan nilai salah untuk semua kemungkinan nilai variabel proposisional. Contoh: A A A A A A F T F T F F 30 10/30/2015

31 Tautologi Contingent Ekspresi logika yang memberikan campuran nilai salah dan benar pada setiap kemungkinan nilai variabel proposisional /30/2015

32 Tautologi Latihan Perhatikan argumen berikut: Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih, maka Siti sedih. Siti tidak senang dan Siti tidak sedih. Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedih. Buatlah ekspresi logikanya dan buktikan apakah ekspresi di atas termasuk tautologi, kontradiksi atau contingent /30/2015

33 Ekuivalen Logis Ekuvalen Logis Contoh: (A B) (B A) A B A B B A F F F F F T F F T F F F T T T T Dua ekspresi logika yang memiliki urutan nilai kebenaran yang sama dapat dikatakan ekuivalen logis /30/2015

34 Hukum-Hukum Logika Bentuk umum A B A B A B (A B) ( A B) (A B) (B A) Bentuk negasi A A (A B) A B (A B) A B (A B) A B (A B) (A B) ( A B) 34 10/30/2015

35 Hukum-Hukum Logika Latihan Buktikan dengan menggunakan tabel kebenaran bahwa ekspresi-ekspresi di bawah ini ekuivalen. A B ( A B) ( B A) (A B) C ( A B) C A B (A B) 35 10/30/2015

36 Pembuktian Validitas Argumen Metode Pembuktian Tabel Kebenaran Strategi Pembalikan Tablo Semantik Deduksi Alami 36 10/30/2015

37 Metode Tabel Kebenaran Contoh kasus: Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa mengikuti ujian susulan. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa mengikuti ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian /30/2015

38 Tabel Kebenaran Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika hari panas, Anton mimisan. Hari tidak panas. Oleh karena itu, Anton tidak mimisan. Jika Anton mimisan, maka hari panas. Hari tidak panas. Oleh karena itu, Anton mimisan. Jika hari tidak panas, Anton tidak mimisan. Hari panas. Oleh karena itu, Anton mimisan. Jika Anton tidak mimisan, hari tidak panas. Anton mimisan. Oleh karena itu, hari panas /30/2015

39 Tabel Kebenaran Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika Persib menjuarai Liga Super Indonesia, maka para bobotoh akan senang. Para bobotoh akan sedih jika mereka tidak senang. Dengan demikian, jika para bobotoh tidak sedih, maka Persib akan menjuarai Liga Super Indonesia /30/2015

40 Tabel Kebenaran Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika kamu mengirim maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa segar. Jadi, jika saya tidak menyelesaikan program lebih awal, maka saya akan merasa lebih segar. Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir rakyat menderita. Anginnya kencang akan tetapi rakyat tidak menderita. Jadi, hari tidak hujan /30/2015

41 Tabel Kebenaran Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Kalau masyarakat rajin bekerja dan pemerintah cakap maka masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar. Kalau masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar maka negara sejahtera dan masyarakat bahagia. Masyarakat rajin bekerja. Jadi, negara sejahtera. Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan emas bertambah maka harga emas naik. Jika permintaan emas bertambah yang menyebabkan harga emas naik maka ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan. Jadi, ada keuntungan bagi spekulator /30/2015

42 Tabel Kebenaran Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Kalau rakyat berkuasa dan ada pemilihan umum, itu berarti bahwa ada sistem demokrasi. Kalau ada pemilihan umum dan ada sistem demokrasi maka pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Rakyat berkuasa. Jadi, pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Kalau rakyat berpegang pada UUD 45 maka rakyat menerima apa yang tercantum di dalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD 45 maka rakyat menerima Pancasila. Rakyat berpegang pada UUD 45 dan ada yang berpegang pada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila /30/2015

43 Tabel Kebenaran Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Kalau harga di toko itu rendah tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk. Jadi, harga Toko itu tidak rendah. Kalau rakyat berpegang pada UUD 45 maka rakyat menerima apa yang tercantum di dalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD 45 maka rakyat menerima Pancasila. Kalau dalam berpolitik ada yang berpegang kepada ideologi lain maka negara Indonesia akan pecah. Rakyat berpegang pada UUD 45 atau ada yang berpegang kepada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila atau negara Indonesia akan pecah /30/2015

44 Strategi Pembalikan (Falsification) Contoh kasus: Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa mengikuti ujian susulan. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa mengikuti ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian /30/2015

45 Strategi Pembalikan (Falsification) Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika kamu mengirim maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa segar. Jadi, jika saya tidak menyelesaikan program lebih awal, maka saya akan merasa lebih segar. Jika m negatif, maka q negatif. Jika p positif maka q negatif. Dengan demikian, jika m negatif atau p positif maka q negatif /30/2015

46 Strategi Pembalikan (Falsification) Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika Persib menjuarai Liga Super Indonesia, maka para bobotoh akan senang. Para bobotoh akan sedih jika mereka tidak senang. Dengan demikian, jika para bobotoh tidak sedih, maka Persib akan menjuarai Liga Super Indonesia. Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir rakyat menderita. Anginnya kencang akan tetapi rakyat tidak menderita. Jadi, hari tidak hujan /30/2015

47 Strategi Pembalikan (Falsification) Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika m negatif, maka q negatif. Jika p positif maka q negatif. Dengan demikian, jika m negatif dan p positif maka q negatif. Jika Badu mencontek saat ujian maka pengawasnya lalai atau dosennya telah memperingatkan. Jika dosennya tidak memperingatkan, maka pengawasnya tidak lalai. Dosennya memperingatkan. Dengan demikian, Badu mencontek saat ujian. If you use Linux and Mozilla as a browser, you avoid problems. If you use Internet Explorer you will have problems. You use Mozilla. You also use Internet Explorer sometimes. Consequently, you don t use Linux /30/2015

48 Strategi Pembalikan (Falsification) Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan emas bertambah maka harga emas naik. Jika permintaan emas bertambah yang menyebabkan harga emas naik maka ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan. Jadi, ada keuntungan bagi spekulator /30/2015

49 Tablo Semantik Contoh kasus: Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa mengikuti ujian susulan. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa mengikuti ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian /30/2015

50 Tablo Semantik Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika Persib menjuarai Liga Super Indonesia, maka para bobotoh akan senang. Para bobotoh akan sedih jika mereka tidak senang. Dengan demikian, jika para bobotoh tidak sedih, maka Persib akan menjuarai Liga Super Indonesia. Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir rakyat menderita. Anginnya kencang akan tetapi rakyat tidak menderita. Jadi, hari tidak hujan /30/2015

51 Tablo Semantik Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Kalau masyarakat rajin bekerja dan pemerintah cakap maka masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar. Kalau masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar maka negara sejahtera dan masyarakat bahagia. Masyarakat rajin bekerja. Jadi, negara sejahtera. Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan emas bertambah maka harga emas naik. Jika permintaan emas bertambah yang menyebabkan harga emas naik maka ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan. Jadi, ada keuntungan bagi spekulator /30/2015

52 Tablo Semantik Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika kamu mengirim maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa segar. Jadi, jika saya tidak menyelesaikan program lebih awal, maka saya akan merasa lebih segar /30/2015

53 Tablo Semantik Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika Dito tidak tinggal di Jogja, dia tidak tinggal di Indonesia. Dito tinggal di Indonesia. Dengan demikian, Dito tidak tinggal di Jogja. Jika Wawan tinggal di Jogja, ia akan berbahagia. Jika dia bahagia dan senang belajar, dia akan lulus sekolah jika dia tidak jatuh cinta. Jika dia jatuh cinta, dia akan senang belajar. Dengan demikian, jika dia tinggal di Jogja, dia akan lulus sekolah. Dewi akan lulus sekolah jika dia rajin belajar dan membaca berbagai literatur. Dia tidak akan lulus sekolah jika dia tidak lulus ujian. Jika dia membaca berbagai literatur, dia akan lulus sekolah. Dia rajin belajar. Dengan demikian, dia lulus sekolah /30/2015

54 Tablo Semantik Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Kalau rakyat berkuasa dan ada pemilihan umum, itu berarti bahwa ada sistem demokrasi. Kalau ada pemilihan umum dan ada sistem demokrasi maka pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Rakyat berkuasa. Jadi, pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Kalau rakyat berpegang pada UUD 45 maka rakyat menerima apa yang tercantum di dalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD 45 maka rakyat menerima Pancasila. Rakyat berpegang pada UUD 45 dan ada yang berpegang pada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila /30/2015

55 Deduksi Alami Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Bila sekarang hari Jumat, maka saya akan memakai baju batik. Sekaran hari Jumat. Dengan demikian, sekarang hari jumat dan saya memakai batik. Jika Ibu datang dari pasar, maka Ani senang sekali. Ibu datang dari pasar dan membawa kue bolu. Dengan demikian, Ani senang sekali. Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa mengikuti ujian susulan. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa mengikuti ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian /30/2015

56 Deduksi Alami Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir rakyat menderita. Anginnya kencang akan tetapi rakyat tidak menderita. Jadi, hari tidak hujan. Kalau harga di toko itu rendah tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk. Jadi, harga Toko itu tidak rendah. Kalau rakyat berpegang pada UUD 45 maka rakyat menerima apa yang tercantum di dalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD 45 maka rakyat menerima Pancasila. Rakyat berpegang pada UUD 45 dan ada yang berpegang pada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila 56 10/30/2015

57 Deduksi Alami Latihan Periksalah kesahihan argumen berikut: Jika Badu mencontek saat ujian maka pengawasnya lalai atau dosennya telah memperingatkan. Jika dosennya tidak memperingatkan, maka pengawasnya tidak lalai. Dosennya memperingatkan. Dengan demikian, Badu mencontek saat ujian. If you use Linux and Mozilla as a browser, you avoid problems. If you use Internet Explorer you will have problems. You use Mozilla. You also use Internet Explorer sometimes. Consequently, you don t use Linux /30/2015

58 58 10/30/2015 THANK YOU