MATEMATIKA KIMIA Sistem Koordinat

Transkripsi

1 Jurusan Kimia - FMIPA Universitas Gadjah Mada (UGM) MATEMATIKA KIMIA Sistem Koordinat Drs. Iqmal Tahir, M.Si. Laboratorium Kimia i Fisika, ik Jurusan Kimia i Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Tel : ; Fax : iqmal@ugm.ac.id atau iqmal.tahir@yahoo.com Website : PENDAHULUAN Beberapa fungsi dalam kimia fisika diketahui sebagai fungsi dari posisi dalam ruang biasa. Contoh : Fungsi variabel termodinamika gas (PV, VT) Posisi atom dalam struktur molekul (Koordinat 3D) Jika suatu obyek bergerak pada bidang datar, maka dapat direpresentasikan dalam permukaan fisik dari suatu bidang matematik yang menggambarkan peta permukaan Dinyatakan dalam sistem koordinat. Macam sistem koordinat : Sistem koordinat Cartesian 2 D Sistem koordinat Cartesian 3 D Koordinat planar terkutub Koordinat sferis terkutub Bidang kompleks 1

2 SISTEM KOORDINAT CARTESIAN Contoh Sistem Koordinat Cartesian 2D : hukum Boyle, menyatakan tekanan sebagai fungsi dari volume. Contoh Sistem Koordinat Cartesian 3D : Contoh Posisi atom pada struktur atom. SISTEM KOORDINAT CARTESIAN 2

3 SISTEM KOORDINAT CARTESIAN 2 D Oordinat Contoh sistem koordinat dan penentuan posisi titik (4,5) pada koordinat Cartesian. Absis Titik asal (0,0) SISTEM KOORDINAT CARTESIAN 2 D Penomoran kuadran atau bidang Kuadran II Kuadran I Kuadran Absis Oordinat I + + II - + III - - IV + - Kuadran III Kuadran IV 3

4 CONTOH SISTEM KOORDINAT CARTESIAN 2 D Diagram fase CO 2 SISTEM KOORDINAT CARTESIAN 3 D 4

5 CONTOH SISTEM KOORDINAT CARTESIAN 3 D SISTEM KOORDINAT BIDANG TERKUTUB (Plane polar coordinate) Pada koordinat ini, b ~ x dan a~ y, maka : atau Titik dinotasikan dengan (r, ). Transormasi dari koordinat bidang terkutub ke koordinat cartesian menggunakan hubungan : dan 5

6 SISTEM KOORDINAT POLAR TERKUTUB (Spherical polar coordinat system) Dari hubungan : Dan karena c ~ x, d ~ y dan b ~ z maka : Persamaan transformasi koordinat : Titik direpresentasikan dengan (r,, ) : r = jarak dari titik ke titik asal = sudut garis r terhadap sumbu z (vertikal) = sudut garis OA terhadap sumbu x SISTEM KOORDINAT POLAR TERKUTUB (Spherical polar coordinat system) Perubahan volume pada koordinat ini dinyatakan sebagai : Dengan : Panjang garis lengkung akibat sudut adalah : L = r. Dan r adalah jari-jari lingkaran. 6

7 BIDANG KOMPLEKS Bilangan komplek adalah angka yang memiliki bagian bilangan nyata (x) dan bilangan imajiner (i.y) dengan Secara umum format bilangan kompleks : Jadi bilangan nyata, jika y = 0. Bilangan imajiner, jika x = 0. Representasi bilangan kompleks dengan sistem koordinat : Mengingat : dan Maka bilangan kompleks dapat ditulis ulang Bilangan nyata dijumpai sepanjang sumbu x. Bilangan imajiner dijumpai sepanjang sumbu y. BIDANG KOMPLEKS Mengingat setiap titik pada bidang xy merupakan bilangan kompleks, maka bidangnya disebut bidang kompleks. Nilai r = harga modulus atau harga absolut: Sudut disebut sudut fase yang menunjukkan rotasi titik z pada bidang kompleks. 7

8 BIDANG KOMPLEKS Bilangan kompleks : Konjugasinya adalah : Harga kuadrat dari bilangan kompleks : Dengan menggunakan penjabaran deret Maclaurin : dengan maka Yang setara dengan Sehingga akan sama dengan Dengan demikian dan dan 8