Minggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi. Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD)
|
|
- Sukarno Iskandar
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MUG2E3 Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS [Jadwal] Rabu R.KU ; Jumat R.KU [Materi Statistika] Minggu 1 Statistika deskriptif Minggu 2 Tipe kejadian dan Peluang Minggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) Ujian 1 Materi Minggu 1-3 Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi Minggu 5 Peubah Acak Bivariat, Fungsi Peluang Gabungan dan Marginal, Korelasi Ujian 2 Materi Minggu 4-5 Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD) Minggu 7 Distribusi Peubah Acak Kontinu (PAK) Minggu 8 Distribusi Sampling Ujian 3 Materi Minggu 6-8 Minggu 9 Penaksiran parameter, estimasi titik dan selang Minggu 10 Uji hipotesis satu populasi Minggu Analisis regresi linear sederhana Minggu 13 Review Ujian 4 Materi Minggu
2 1 Statistika Deskriptif [Definisi] Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi, melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara luas, statistika adalah ilmu yang mempelajari dan menginterpretasikan data agar mempunyai makna. Lalu, bagaimana dengan Statistik? [Statistika Deskriptif] Statistika deskriptif membahas cara atau metode mengumpulkan, menyederhanakan dan menyajikan data sehingga bisa memberikan informasi. Kesimpulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif. Meskipun demikian, kesimpulan yang salah akan terlihat. Bagaimana dengan Statistika Inferesia? Data Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung ataupun tidak langsung. Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkan dapat dikelompokkan menjadi data kategorik atau data numerik. Berdasarkan skala pengukuran data dapat dibedakan menjadi: 1. Nominal, misalkan: jenis kelamin, golongan darah 2. Ordinal, misalkan: tingkat kecelakaan, tingkat kelulusan 3. Rasio/Interval, misalkan: nilai, tekanan darah, denyut nadi [Latihan] Tentukan tipe data (nominal, ordinal atau rasio/interval) berikut: 1. Syahrina mempunyai warna bola mota coklat bukan hitam. 2. Kartono lahir pada bulan April. 3. Harga rumah di Bhojhongshoang relatif mahal. 4. Beberapa tradisi menempatkan seseorang berdasarkan kasta 5. Profesi sebagai dosen memerlukan keahlian berkomunikasi Penyajian Data [Parameter] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggambarkan sifat POPULASI. Misalkan: mean (µ); simpangan baku (σ) 2
3 [Statistik] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggambarkan sifat SAMPEL. Misalkan: mean (X); simpangan baku (s). Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsiran sederhana melalui ukuran atau statistik. Ukuran atau statistik yang melekat pada data dibagi menjadi: Ukuran pusat/lokasi: mean, median, modus [Mean] Misalkan terdapat data sampel y 1, y 2,..., y n, dimana y i menyatakan titik sampel ke-i. Mean didefinisikan sebagai, Bagaimana sifat-sifat mean? ȳ = Σn i=1y i n [Median] Median atau nilai tengah dilakukan pada data yang sudah diurutkan. Median didefinisikan sebagai data (observasi) ke- n+1 2 [Modus] Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang sering muncul. [Latihan] Data nilai UTS Bahasa Soenda dari 20 siswa: Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai Siswa 1 61 Siswa 6 77 Siswa Siswa Siswa 2 54 Siswa 7 40 Siswa Siswa Siswa 3 58 Siswa 8 47 Siswa Siswa Siswa 4 25 Siswa 9 67 Siswa Siswa Siswa 5 46 Siswa Siswa Siswa Tentukan ukuran pusat/lokasi data diatas! Apabila setiap nilai data ditambah 5 maka nilai mean menjadi? Buat diagram batang dan daun dari data tersebut? Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi, simpangan baku (a) Jangkauan (Range): R = y max y min 3
4 (b) Variansi Sampel: s 2 = Σn i=1 (y i ȳ) 2 (n 1) Bagaimana sifat variansi? (c) Simpangan baku: akar kuadrat dari variansi (d) Koefisien Variasi untuk membandingkan keragama dua atau lebih data, ( s x) CV = 100% Ukuran letak: kuartil, desil, persentil. Untuk menentukan nilai kuartil, data diurutkan terlabih dahulu. (a) Lokasi kuartil pertama (Q1): data ke (n+1) 4 (b) Lokasi kuartil kedua (Q2)/median: data ke (n+1) 2 (c) Lokasi kuartil ketiga (Q3): data ke 3(n+1) 4 Bagaimana dengan Interquartile Range? Ukuran bentuk: skewness, kurtosis (a) Skewness (kemiringan) distribusi data (b) Kurtosis (kecuraman) distribusi data 4
5 Box-Whisker Plot Grafik data yang terdiri lima informasi ringkasan data: Minimum Q1 Median Q3 Maximum Bentuk Distribusi Data dilihat dari Box-Whisker Plot [Latihan] 1. Sebuah riset dilakukan oleh Virginia Tech adalah membandingkan batang baja dari perusahaan A dan B. Sebanyak 10 sampel kelenturan batang baja diambil dari kedua perusahaan tersebut (Walpole et al, 2007). Perusahaan A: 9.3; 8.8; 6.8; 8.7; 8.5; 6.7; 8.0; 6.5; 9.2; 7.0 Perusahaan B: 11.0; 9.8; 9.9; 10.2; 10.1; 9.7; 11.0; 11.1; 10.2; 9.6 (a) Hitunglah mean, Q1, Q2 (median), Q3? (b) Hitunglah jangkauan (range), variansi dan Interquartile Range (IR)? Note: IR = Q3 Q1 (c) Gambarkan diagram Box Plot dan jelaskan? 5
6 2. Berikut ini merupakan diagram Batang-Daun data waktu pengeringan (dalam menit) kain pada sebuah perusahaan kain latex. Batang Daun Identifikasi ada atau tidaknya pencilan dan gambarkan diagram Box Plot! Note: Nilai pencilan (outlier) adalah nilai data yang letaknya: Q3 +(1.5 IR) < outlier atas Q3 + (3 IR) Q1 (1.5 IR) > outlier bawah Q1 (3 IR) 6
7 2 Peluang dan Aturan Bayes Statistics may be defined as a body of methods for making wise decisions in the face of uncertainty - Wallis Terdapat dua kategori kejadian atau event yaitu kejadian deterministik dan stokastik. Kejadian stokastik berkaitan erat dengan peluang, sehingga kejadian stokastik sering disebut sebagai kejadian probabilistik. Berikut beberapa definisi yang berkaitan dengan peluang, 1. Ruang Sampel: himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel terdiri dari ruang sampel diskrit (pelemparan dadu, jumlah anak) dan kontinu (curah hujan (mm), berat badan (kg)) 2. Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel. Tipe kejadian, Gabungan dua peristiwa A dan B ditulis A B adalah himpunan semua kejadian yang ada didalam A atau B termasuk didalam keduanya. Irisan dua peristiwa A dan B ditulis A B adalah himpunan semua kejadian yang ada didalam A dan B. Komplemen kejadian A ditulis A c adalah himpunan semua kejadian yang tidak didalam A 3. Dua kejadian dikatakan saling bebas (independent) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Contoh: Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Contoh:... [Ilustrasi] 1. Seorang mahasiswa ingin menyusun 6 komik dan 3 novel dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku harus berdekatan. Berapa banyak cara mahasiswa tersebut menyusun buku Ani melempar koin dua kali, peluang mendapat Angka (A) pada lemparan pertama lalu mendapat Gambar (G) pada lemparan kedua adalah Ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah... 7
8 [Peluang] Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, Aksioma Peluang, P (A) = lim n n(a) n 1. 0 P (A) 1, untuk setiap A A 2. P (S) = 1 = n(a) n(s) 3. Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 4. Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A B = 0 sehingga P (A B) = P (A) + P (B) 5. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P (A B) = P (A) P (B) [Coba] Dalam rangka memperingati Dies Natalis Ketjap ABC, perusahaan memberikan hadiah bagi 4 karyawan berprestrasi, dari 20 karyawan yang terdiri dari 13 laki-laki dan 7 wanita. Berapa peluang terpilih 1 laki-laki dan 3 wanita? Berapa peluang terpilih paling tidak 1 laki-laki? [Peluang Bersyarat] Jika A dan B dua kejadian, dengan P (A) > 0, peluang bersyarat B jika diketahui A, didefinisikan P (B A) = P (A B) P (A) [Ilustasi] 1. Pak Mad mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya lakilaki, diberikan bahwa Pak Mad tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki? 2. Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Jika Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat A adalah 1. Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia 3 mendapat A adalah 1. Ayu memutuskan untuk melemparkan koin 2 dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat A di kursus Matematika? 8
9 [Teorema Bayes] Jika kejadian - kejadian A 1, A 2, A 3,..., A k adalah partisi dari ruang sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P (B) > 0, berlaku, Aksioma Peluang Bersyarat, P (A i B) = P (A i B) P (B) P (B A i )P (A i ) = k i=1 P (B A i)p (A i ) 1. P (B A) 0, untuk setiap A A 2. P (S A) = 1 3. Untuk setiap kejadian A 1 dan A 2 bersyarat B berlaku, P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) P (A 1 A 2 B) 4. Kejadian A 1 dan A 2 dikatakan saling lepas jika P (A 1 A 2 B) = 0 sehingga P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) 5. Hukum Komplemen P (B c A) = 1 P (B A) 6. Hukum Perkalian P (A B) = P (B A) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B) 7. Jika A dan B saling bebas P (B A) = P (B), sehingga P (A B) = P (B A) = P (A)P (B) [Coba] Perusahaan Maju Mundur mengadakan wisata dan menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap karyawannya. Berdasarkan pengalaman: 20% karyawannya di tempatkan di Hotel A, 50% di Hotel B dan 30% di Hotel C. Jika 5% kamar mandi Hotel A tidak berfungsi dengan baik (rusak), 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel C. Berapa peluang (a) Seorang karyawan mendapat kamar dengan kamar mandi rusak? (b) Karyawan yang mendapat kamar mandi rusak ditempatkan di Hotel C? Latihan 1. Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika (a) Tidak diberikan informasi lain (b) Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka ganjil. 2. Bagi keluarga yang tinggal disuatu kota, peluang bahwa istri ikut kegiatan olah raga 0.21, peluang suami ikut kegiatan olah raga
10 dan peluang suami dan istri ikut olah raga Berapa peluang,(a) Paling sedikit salah seorang ikut kegiatan olah raga (b) Seorang istri ikut olah raga, bila diketahui suaminya olah raga (c) Seorang suami ikut olah raga,diketahui istrinya olah raga. 3. Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut (a) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil tersebut juga dilengkapi AC (b) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi AC, jika diketahui mobil tersebut tidak dilengkapi CD. 4. Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluang pengeboran itu sukses adalah 40%. Pengalaman perusahaan diketahui bahwa 60% keberhasilan pengeboran itu karena dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20% pengeborannya gagal walaupun dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat. Jika perusahaan pengeboran sudah melaksanakan prosedur yang benar dan tepat berapa peluang perusahaan berhasil dalam pengeboran minyaknya? 5. Seorang mahasiswa mengambil dua mata kuliah kalkulus (I,II). Misal A adalah event bahwa dia lulus kalkulus I dan B adalah event bahwa dia lulus kalkulus II. Jika dia menduga bahwa P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9 ; dan P (A B) = 0, 75. Tentukan sample space untuk kasus tersebut? Tentukan probabilitas: A B; A B; A B; A B? 6. Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan. Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia (a) Lakilaki (b) Wanita 7. Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari erusahaan X, 10
11 20% dari perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3% microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan 4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai di pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi atau mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu. Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acak dan ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari perusahaan Y? 8. Seseorang melamar pekerjaan pada 2 perusahaan, A dan B. Dia menduga bahwa peluang akan diterima di perusahaan A adalah 0.4, dan di perusahaan B 0.3. Diasumsikan penerimaan karyawan pada kedua perusahaan tersebut adalah independen, hitung peluang: (a) Dia akan diterima di kedua perusahaan (b) Dia akan diterima paling sedikit di satu perusahaan (c) Dia diterima di perusahaan A tetapi tidak di perusahaan B. 9. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C dengan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan 50%. Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C). (a) Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat? (b) Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat? 11
12 [Materi Ujian II] 1. p.a Diskrit: fungsi massa peluang, fungsi distribusi, nilai variansi 2. p.a Kontinu: fungsi kepadatan peluang, nilai ekpektasi/variansi 3. p.a Bivariat (Diskrit dan Kontinu): fungsi peluang gabungan, independen, nilai kovariansi [Latihan] 1. Tentukan F (1.5)? 10 x = 0, p(x) = x = 1, 28 3 x = F (x) = 0 x < 0, 10 0 x < 1, x < 2, 28 1 x 2 Tentukan p(1)? 3. Tentukan fungsi distribusi berdasarkan fungsi peluang berikut, 0.1 x = 1, 0.3 x = 2, f(x) = 0.4 x = 3, 0.2 x = 4, x 0 x < 1, f(x) = 2 x 1 x < 2, 4. f(x) = { x < x < 2, (a) Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas? (b) Berapakah probabilitas antara 0 dan 1? 12
13 x = 0, kx x = 1, 2, p(x) = k(6 x) x = 3, 4, Tentukan nilai k dan fungsi distribusinya? 6. Misalkan variabel acak X memiliki pdf: { cx 3 < x < 6, f(x) = (a) Tentukan nilai c? (b) Jika terdapat variabel baru Y = 4X 3. Tentukan pdf dari Y? Solusi Misalkan g(y) = 4x 3, f(x) = 6 3 cxdx = 1 c = 2 27 { 2 27 x 3 < x < 6, y = 4x 3 x = y + 3 = g 1 (y) 4 Selanjutnya, menentukan J J = dg 1 (y) dy d ( ) y+3 4 = dy =
14 diperoleh, pdf untuk Y adalah f(y) = f(g 1 (y)) J = 2 27 y = y f(y) = { y < x < 21, Fungsi Peluang Gabungan Misalkan p.a X menyatakan kekuatan bangunan dan p.a Y menyatakan tinggi bangunan. Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua p.a tersebut dinyatakan oleh f(x, y) yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y Fungsi Peluang Gabungan Diskrit 1. P (X = x, Y = y) 0 untuk semua (x, y) 2. Σ x Σ y P ((X = x, Y = y) = 1 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, P [(X, Y ) A] = ΣΣ A p(x, y) Fungsi Peluang Gabungan Kontinu 1. f(x, y) 0 untuk semua (x, y) 2. f(x, y)dxdy = 1 x y 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, P [(X, Y ) A] = f(x, y)dxdy A Fungsi Marjinal Misalkan p.a X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x, y). Misalkan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y) 14
15 1. Untuk X dan Y diskrit g(x) = Σ y f(x, y) = Σ y P (X = x, Y = y) h(y) = Σ x f(x, y) = Σ x P (X = x, Y = y) 2. Untuk X dan Y kontinu g(x) = f(x, y)dy y h(y) = f(x, y)dx x 3. p.a X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika, 4. Kovariansi f(x, y) = g(x)h(y) [Latihan] Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) 1. Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel. Tentukan, (a) Fungsi peluang gabungan f(x, y) (b) P (X + Y 2) 2. Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masing-masing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: { 2 (x + 2y) 0 x 1, 0 y 1, f(x, y) = 3 (a) Selidiki apakah f(x, y) adalah fungsi peluang? Ya, (x + 2y)dxdy =
16 (b) Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah? P (X < 0.5, Y < 0.5) = (c) Hitung fungsi marjinal g(x) dan h(y)? g(x) = h(y) = (x + 2y)dxdy =... = (x + 2y)dy =... = 2 (x + 1), 0 x (x + 2y)dx =... = (y), 0 y 1 (d) Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan, P (X < 1.5) P (X < 1.5) = = =... = 1 g(x)dx 2 (x + 1)dx 3 16
17 3 Distribusi Peubah Acak Diskrit Jika himpunan p.a mencirikan salah satu karakteristik jenis distribusi, analisis statistika akan dapat dilakukan dengan lebih efektif. Terdapat banyak jenis distribusi dalam statistika, secara khusus dibagi dalam distribusi p.a diskrit dan p.a kontinu. Berdasarkan hal tersebut, perlu diketahui karakteristik jenis distribusi yang melekat pada p.a. [Distribusi Bernoulli] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Bernoulli, ditulis sebagai X BIN(1, p). Karakteristik, 1. Percobaan dilakukan hanya satu kali dan independent 2. Percobaan menghasilkan sukses dan gagal, jika peluang sukses dinyatakan sebagai p, maka peluang gagal merupakan 1 p 3. Probability mass function (pmf), p untuk x = 1, P (X = x) = p(x) = 1 p untuk x = 0, 4. Rata-rata (µ) = p dan variansi (σ 2 ) = p(1 p) Ex. Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sebagai sukses. Tentukan fungsi peluang, rata-rata dan variansinya? [Distribusi Binomial] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Binomial, ditulis sebagai X BIN(n, p). Karakteristik, 1. Merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali 2. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x) = C n x p x (1 p) n x = 3. Rata-rata (µ) = np dan variansi (σ 2 ) = np(1 p) n! x!(n x)! px (1 p) n x Ex. Sebuah sistem produksi dapat menghasilkan produk yang cacat atau tidak cacat. Diambil 3 produk secara acak dari lantai produksi dan jika variabel random X didefinisikan sebagai jumlah produk yang dihasilkan cacat, 17
18 dengan peluang 0.2. Tentukan peluang dari 3 produk terdapat tepat ada dua produk yang cacat? kurang dari 2 produk cacat? [Distribusi Poisson] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Poisson, ditulis sebagai X P OI(λ). Karakteristik, 1. Banyaknya outcome/peristiwa/hasil percobaan dalam suatu selang waktu tertentu atau area daerah tertentu. 2. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x; λ) = e λ λ x dengan x banyaknya outcome selama percobaan, λ menyatakan laju outcome per satuan waktu atau daerah, e bilangan eksponensial Rata-rata (µ) = λ dan variansi (σ 2 ) = λ Ex. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan rata-rata kecelakaan 3 per hari. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? [Proses Poisson] Proses menghitung (counting process) dengan laju (parameter) λ > 0, dengan X(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi selama waktu t, X P OI(λt). Karakteristik, 1. Tidak punya memori (memory less), yaitu banyaknya outcome dalam satu interval waktu tidak bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau daerah lain. 2. Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu yang sangat pendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb. 3. Probability mass function (pmf), x! P (X = x) = p(x; λt) = e λt (λt) x dengan x banyaknya outcome selama percobaan, e bilangan eksponensial Rata-rata (µ) = λt dan variansi (σ 2 ) = λt 18 x!
19 Ex. Menurut perusahaan asuransi T ditentukan bahwa peluang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah Jika perusahaan asuransi T tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis? [Note] Jika X adalah p.a distribusi Binomial, maka jika jumlah percobaannya besar sekali n dan peluang sukses p kecil sekali n 0, dengan rata-rata µ = np maka distribusi Binomial dapat diaproksimasi dengan distribusi Poisson. Ex. Probabilitas terjadinya kecelakaan di suatu hari di sebuah pabrik adalah Berapakah probabilitasnya selama 400 hari terjadi 1 kecelakaan? [Distribusi Hipergeometrik] Misalkan suatu populasi yang berukuran N terdapat D item cacat dan N D item tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyata X diantaranya merupakan item cacat. Jika X menyatakan p.a berdistribusi Hipergeometrik, ditulis sebagai X HY P (n, N, D). Karakteristik, 1. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x) = CD x Cn x N D = Cn N D! (D x)x! 2. Rata-rata (µ) = nd N dan variansi (σ2 ) = N n N 1 (N D)! (N D n+x)!(n x)! N! (N n)!n! nd(n D) N n N 2 N 1 disebut faktor koreksi populasi terbatas (finite population) dengan Ex. Tiga komputer diperiksa dari sepuluh komputer di sebuah departemen. Empat dari sepuluh komputer terdapat aplikasi software yang ilegal. Berapa peluang dua dari tiga komputer yang dipilih secara acak terdapat aplikasi software ilegal? [Hipergeometrik vs Binomial] Jika ukuran sampel n jauh lebih kecil dari ukuran populasinya N maka distribusi HYP sangat mirip dengan BIN, dimana peluang sukses (p = D N ) dan 19
20 peluang gagal (1 p), sehingga, µ = np = n D N σ 2 = np(1 p) = n D N ( 1 D ) N seringkali diterapkan jika n < 5% maka digunakan distribusi Binomial sebagai pengganti distribusi N Hipergeometrik. Ex. Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja. Berapa peluang bahwa ada 3 buah ban yang warnanya sedikit pudar? [Latihan] 1. Berdasarkan data masa lalu, probabilitas mahasiswa lulus dari mata kuliah statistik 0,45. Jika diambil sampel sebanyak 5 mahasiswa. Hitung peluang (a) Tepat 3 mahasiswa yang tidak lulus? (b) Paling sedikit 4 mahasiswa yang lulus? (c) Paling banyak ada 5 mhs yang lulus? 2. Sebuah percobaan dilakukan untuk mencari katalis yang sesuai untuk produksi ethylenediaine. Bila seorang insinyur kimia memilih 3 katalis dari 10 katalis yang terdiri dari 6 katalis yang mempunyai low adicity dan 4 high acidity. Hitung peluang: (a) Tidak ada katalis highly acidity yang dipilih? (b) Tepat satu katalis yang high acidity? 3. Jika X variabel random yang menyatakan jumlah retak yang terjadi per spesimen untuk campuran semen. Rata-rata retak per spesimen 2,5. Hitung peluang: (a) Terjadi 5 retak dalam satu spesimen? (b) Ada 2 atau lebih retak yang terjadi? 4. Bagian Quality Control perusahaan laptop menemukan bahwa produksi laptop yang cacat mencapai 1,5% dari total produksi yang ada. Bila dari seluruh produksi tersebut diambil sebanyak 200 laptop secara random. Tentukan peluang: (a) Laptop yang cacat paling banyak 1%? (b) Laptop yang cacat antara 2% sampai 4%? 5. Jumlah pasien di suatu klinik diketahui mengikuti distribusi Poisson. Jika peluang tidak ada pasien di klinik tersebut adalah sebesar 0,1. Tentukan peluang terdapat paling banyak terdapat dua orang pasien di klinik tersebut? 20
21 6. Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Tentukanlah peluang: (a) Tidak ada yang albino (b) Ada Albino 7. Bagian pembelian dari suatu perusahaan melakukan pembelian bahan baku sebanyak 1000 unit. Pemasok bahan baku tsb menjamin bahwa produk yang cacat tidak lebih dari 1%. Sebagai langkah pengawasan, maka bagian pembelian melakukan inspeksi dengan mengambil sampel acak sebanyak 20 unit. (a) Tentukan peluang diperoleh 4 unit produk yang cacat? (b) Berapa rata-rata terdapat produk cacat? 8. Rata-rata jumlah kedatangan kereta di suatu stasiun XYZ dalam setengah hari kerja adalah 8 kereta. Berapakah peluangnya bahwa dalam satu hari terdapat minimal dua kereta di stasiun XYZ tersebut? 4 Distribusi Peubah Acak Kontinu Jika diingat kembali, p.a kontinu memiliki karakteristik nilai yang berada pada selang interval. Terdapat beberapa jenis distribusi p.a kontinu. [Distribusi Uniform] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Uniform pada interval (a, b), ditulis sebagai X UNIF (a, b). Karakteristik, 1. p.a Uniform muncul dalam situasi dimana semua nilai dalam selang/interval tertentu mempunyai peluang sama untuk muncul. 2. Probability density function (pdf), { 1 a x b, f(x) = b a 3. Rata-rata (µ) = b+a dan variansi (σ 2 ) = (b a) Ex. Diketahui p.a X berdistribusi Uniform dalam interval (2,7). Hitunglah P (X 4) dan P (3 X 5.5)? [Distribusi Eksponensial] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ yang terdefinisi pada selang (0, ), ditulis sebagai X EXP (λ). Karakteristik, 21
22 1. Distribusi Eksponensial sering digunakan sebagai model distribusi waktu tunggu. 2. Distribusi Eksponensial sangat berkaitan dengan distribusi Poisson. Jika X menyatakan jumlah kedatangan/kejadian dalam selang waktu t, maka X berdistribusi Poisson. 3. Probability density function (pdf), { λe λx x b, f(x) = dengan fungsi distribusi, F (x) = { 1 e λx x 0, 4. Rata-rata (µ) = 1 λ dan variansi (σ2 ) = 1 (λ) 2 Ex. Lamanya waktu untuk melayani konsumen di suatu kafetaria merupakan suatu p.a berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 4 menit. Berapakah peluang seseorang akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit? [Distribusi Beta] p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter α dan β dengan α, β > 0, ditulis sebagai X B(α, β). Karakteristik, 1. Probability density function (pdf), { x α 1 (1 x) β 1 0 < x < 1, f(x) = B(α,β) dengan B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α+β) 2. Rata-rata (µ) = α α+β dan variansi (σ2 ) = αβ (α+β+1)(α+β) 2 Ex. Diketahui variabel acak X berdistribusi beta dengan α = 3 dan β = 1. Hitung µ dan σ 2? [Latihan] 1. Diketahui p.a X berdistribusi Uniform dalam interval (a, b). Jika E(X) = 10 dan V ar(x) = 12. Tentukan nilai a dan b? 22
23 2. Waktu kegagalan suatu komponen elektronik diketahui berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 3 tahun. Perusahaan pembuat komponen tersebut memberi jaminan untuk pemakaian satu tahun pertama. Apabila perusahaan tersebut berhasil menjual 50 buah komponen, berapa peluang perusahaan tersebut harus membayar lebih dari 40 klaim dari pembeli? 3. Rata-rata banyaknya sambungan telpon yang diterima di suatu sentral telepon dalam satu jam adalah 6. (a) Berapa peluang akan masuk paling banyak 10 sambungan telpon dalam selang waktu 2 jam? (b) Berapa peluang menunggu lebih dari 15 menit antara 2 sambungan yang berturutan? 23
Minggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi. Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD)
MUG2E3 Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS-38-02 [Jadwal] Rabu 12.30-14.30 R.KU3.05.14; Jumat 16.30-18.30 R.KU3.05.15 [Materi Statistika] Minggu 1 Statistika deskriptif Minggu
Lebih terperinciMinggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi. Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD)
MUGE Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS-8-0 [Jadwal] Rabu 1.0-14.0 R.KU.05.14; Jumat 16.0-18.0 R.KU.05.15 [Materi Statistika] Minggu 1 Statistika deskriptif Minggu Tipe kejadian
Lebih terperinciMinggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi. Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD)
MUGE3 Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS-38-0 [Jadwal] Rabu 1.30-14.30 R.KU3.05.14; Jumat 16.30-18.30 R.KU3.05.15 [Materi Statistika] Minggu 1 Statistika deskriptif Minggu Tipe
Lebih terperinciMinggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi. Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD)
MUG2E3 Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS-38-02 [Jadwal] Rabu 12.30-14.30 R.KU3.05.14; Jumat 16.30-18.30 R.KU3.05.15 [Materi Statistika] Minggu 1 Statistika deskriptif Minggu
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciCNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya
CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciDefinisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah
BAB 1 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X)
Lebih terperinciMA2081 Statistika Dasar
Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik
Lebih terperinciMinggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA
CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi
Lebih terperinciCatatan Kuliah. Analisis Data. Orang Cerdas Belajar Statistika. disusun oleh. Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah Analisis Data Orang Cerdas Belajar Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang Analisis Data A.
Lebih terperinci(HARAPAN MATEMATIKA) BI5106 Analisis Biostatistik 20 September 2012 Utriweni Mukhaiyar
1 EKSPEKTASI (HARAPAN MATEMATIKA) BI5106 Analisis Biostatistik 0 September 01 Utriweni Mukhaiyar Ekspektasi Suatu Peubah Acak Misalkan X peubah acak Ekspektasi dari X EX [ ] xp( X x), jika X peubah acak
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN VI
STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi
Lebih terperinciMA 2081 STATISTIKA DASAR UTRIWENI MUKHAIYAR 24 FEBRUARI 2011
Fungsi Peluang Gabungan MA 2081 STATISTIKA DASAR UTRIWENI MUKHAIYAR 24 FEBRUARI 2011 Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori-kategori yang berbeda.
Lebih terperinciMinggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA
CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi
MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2. Distribusi Hipergeometrik
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2 TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-10 Distribusi Hipergeometrik Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. sebuah sampel random berukuran
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciBI5106 Analisis Biostatistik 18 September 2012 Utriweni Mukhaiyar
FUNGSI PELUANG GABUNGAN BI5106 Analisis Biostatistik 18 September 2012 Utriweni Mukhaiyar Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori-kategori yang
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciMinggu 1 Review Peubah Acak dan Fungsi Distribusi. Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting
IKG4Q3 Ekonometrik Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Ekonometrik] CS-36-02 [Jadwal] Senin 10.30-12.30 R.A208A; Selasa 10.30-12.30 R.E302 [Materi Ekonometrik] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciTentang MA5283 Statistika BAB 1 STATISTIKA DESKRIPTIF MA5283 STATISTIKA. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Orang Cerdas Belajar Statistika
Orang Cerdas Belajar Statistika Bentuk perkuliahan Jadwal Kuliah Buku teks Penilaian Matriks kegiatan perkuliahan Jadwal Kuliah 1 Tatap muka di kelas 2 Praktikum di Lab. Statistika dan Komputasi Bentuk
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika
Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082
Lebih terperinciSTK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak
STK 511 Analisis statistika Materi 3 Sebaran Peubah Acak 1 Konsep Peluang 2 Peluang Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman
Lebih terperinciDistribusi Peluang Kontinu. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Distribusi Peluang Kontinu Bahan Kuliah II9 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Fungsi Padat Peluang Untuk peubah acak kontinu, fungsi peluangnya
Lebih terperinciBI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS (PELUANG)
DISTRIBUSI PROBABILITAS (PELUANG) Distribusi Probabilitas (Peluang) Distribusi? Probabilitas? Distribusi Probabilitas? JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Distribusi = sebaran,
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari
Lebih terperinciCatatan Kuliah. Analisis Data. Orang Cerdas Belajar Statistika. disusun oleh. Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah Analisis Data Orang Cerdas Belajar Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang Analisis Data A.
Lebih terperinciMinggu 1 Review Peubah Acak; Karakteristik Time Series. Minggu 4-6 Model Moving Average (MA), Autoregressive (AR)
CNH4S3 Analisis Time Series [Dosen] Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal] Need to reschedule? [About] The purpose of time series analysis is generally twofold: to understand or model the stochastic mechanism
Lebih terperinciMA2081 Statistika Dasar
Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika
Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082
Lebih terperinciMA2081 Statistika Dasar
Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik
Lebih terperinciBab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 1 Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah Ilustrasi 8.1 Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter
Lebih terperinciDengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi
Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.
Lebih terperinci28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciHidup penuh dengan ketidakpastian
BAB 2 Probabilitas Hidup penuh dengan ketidakpastian Tidak mungkin bagi kita untuk dapat mengatakan dengan pasti apa yang akan terjadi dalam 1 menit ke depan tapi Probabilitas akan memprediksikan masa
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Probabilitas Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain
Lebih terperinciFUNGSI PELUANG GABUNGAN M A P E N G A N T A R S T A T I S T I K A 14 F E B R U A R I 2013 U T R I W E N I M U K H A I Y A R
FUNGSI PELUANG GABUNGAN M A 4 0 8 5 P E N G A N T A R S T A T I S T I K A 14 F E B R U A R I 2013 U T R I W E N I M U K H A I Y A R ILUSTRASI Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang
Lebih terperinciSTATISTICS. WEEK 5 Hanung N. Prasetyo TELKOM POLTECH/HANUNG NP
STATISTICS WEEK 5 Hanung N. Prasetyo Kompetensi 1. Mahasiswa memahamikonsep dasar distribusi peluang kontinu khusus seperti uniform dan eksponensial 2. Mahasiswamampumelakukanoperasi hitungyang berkaitan
Lebih terperinciREVIEW BIOSTATISTIK DESKRIPTIF
REVIEW BIOSTATISTIK DESKRIPTIF POKOK BAHASAN 1. Konsep statistik deskriptif 2. Data dan variabel 3. Nilai Tengah (Ukuran Pusat), posisi dan variasi) pada data tunggal dan kelompok 4. Penyajian data 5.
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciMetode Statistika (STK 211) Pertemuan ke-5
Metode Statistika (STK 211) Pertemuan ke-5 rrahmaanisa@apps.ipb.ac.id Memahami definisi dan aplikasi peubah acak (peubah acak sebagai fungsi, peubah acak diskrit dan kontinu) Memahami sebaran peubah acak
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciMA2081 Statistika Dasar
Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik
Lebih terperinciBagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas
Probabilitas Bagian Probabilitas A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < A) < 1 A) = 0 artinya A pasti terjadi A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode
Lebih terperinciKuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kuis Selamat Datang MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 23 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Mahasiswa yang datang ke ruang kuliah mengikuti suatu proses dengan laju kedatangan
Lebih terperinciModel dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri
Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri Nomor random >> angka muncul secara acak (random/tidak terurut) dengan probabilitas untuk muncul yang sama. Probabilitas/Peluang merupakan ukuran kecenderungan
Lebih terperinciJoint Distribution Function
DISTRIBUSI PROBABILITAS MARGINAL & BERSYARAT TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-6 1 Joint Distribution Function Distribusi peluang gabungan dari dua variabel random X dan Y merupakan distribusi peluang
Lebih terperinciBab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat
MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat Ilustrasi 9. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat.
Lebih terperinciBAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 3. HARAPAN MATEMATIK
Pertemuan 6. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang. Variansi dan kovariansi. HARAPAN MATEMATIK Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(x) = (X µ). Rataan
Lebih terperinciMA2081 Statistika Dasar
Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MAK6281 Topik
Lebih terperinciStatistik dan Statistika Populasi dan Sampel Jenis-jenis Observasi Statistika Deskriptif
1. 2 2. 3. 4. Statistik dan Statistika Populasi dan Sampel Jenis-jenis Observasi Statistika Deskriptif Sari Numerik Penyajian Data 2008 by USP & UM ; last edited Jan 11 MA 2081 Statistika Dasar 24 Januari
Lebih terperinciBab 2 DISTRIBUSI PELUANG
Bab 2 DISTRIBUSI PELUANG PENDAHULUAN Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masingmasing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di sebut
Lebih terperinciVariansi dan Kovariansi. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Variansi dan Kovariansi Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Variansi Kita sudah memahami bahwa nilai harapan peubah acak X seringkali
Lebih terperinciPEMODELAN KUALITAS PROSES
TOPIK 6 PEMODELAN KUALITAS PROSES LD/SEM II-03/04 1 1. KERANGKA DASAR Sampling Penerimaan Proses Produksi Pengendalian Proses MATERIAL PRODUK PRODUK BAIK SUPPLIER Manufacturing Manufacturing KONSUMEN PRODUK
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Probabilitas (Peluang) Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya
Lebih terperinciA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah : Statistika Matematika Pertemuan Ke : 5 Pokok Bahasan : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua
Lebih terperinciFungsi Peluang Gabungan
Fungsi Peluang Gabungan MA3181 Teori Peluang 15 September 2014 Utriweni Mukhaiyar Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ingin diasuransikan dengan kategori-kategori yang
Lebih terperinciDistribusi Probabilitas Diskrit: Poisson
Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson 7.2 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Pendahuluan Pendekatan Binomial Poisson Distribusi Poisson Kapan distribusi
Lebih terperinciDISTRIBUSI PELUANG KONTINYU DISTRIBUSI PROBABILITAS
DISTRIBUSI PROBABILITAS Berbeda dengan variabel random diskrit, sebuah variabel random kontinyu adalah variabel yang dapat mencakup nilai pecahan maupun mencakup range/ rentang nilai tertentu. Karena terdapat
Lebih terperinciA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Lebih terperinciPENS. Probability and Random Process. Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak. Prima Kristalina April 2015
Program Pasca Sarjana Terapan Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Probability and Random Process Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak Prima Kristalina April 215 1 Outline 1. Beberapa macam
Lebih terperinciMODUL II DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU A. TUJUAN PRAKTIKUM Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat: 1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. 2. Menguji dan
Lebih terperinciSEJARAH DISTRIBUSI POISSON
SEJARAH DISTRIBUSI POISSON Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukanolehs.d. Poisson (1781 1841), 1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Distribusi
Lebih terperinciKumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X
Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X) Diskrit Seragam Binomial Hipergeometrik
Lebih terperinciPeubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R
Bab Peubah Acak. Konsep Dasar Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh peubah acak: Jika X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS Peluang terjadinya nilai variabel random X yang meliputi semua nilai ditentukan melalui distribusi peluang. Distribusi peluang suatu variabel random X adalah
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS
BAB 7 DISTRIBUSI PROBABILITAS Kompetensi Menjelaskan distribusi probabilitas Indikator 1. Menjelaskan distribusi hipergeometris 2. Menjelaskan distribusi binomial 3. Menjelaskan distribusi multinomial
Lebih terperinciDistribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 13/11/2013
3//203 STATISTIK INDUSTRI Agustina Eunike, ST., MT., MBA Rata-rata dan Variansi Rumus Umum: Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform Contoh:
Lebih terperinciDISTRIBUSI KONTINU. Uniform Normal Gamma & Eksponensial. MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar
DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar Distribusi Uniform 2 Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p: f(x)
Lebih terperinciPROBABILITAS (PELUANG) PENGERTIAN PROBABILITAS
PROBABILITAS (PELUANG) PENGERTIAN PROBABILITAS Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika
Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082
Lebih terperinciCATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK
CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2016 Daftar Isi Daftar Isi iv
Lebih terperinciPeubah Acak (Lanjutan)
Learning Outcomes 13 April 2014 Learning Outcomes Learning Outcome Outline Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat
Lebih terperinciBeberapaDistribusiPeluang. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
BeberapaDistribusiPeluang Diskrit Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB Pengantar Pengamatanyang dihasilkanmelaluipercobaanyang berbeda
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:
Lebih terperinciDistribusi Probabilitas Diskrit. Dadan Dasari
Distribusi Probabilitas Diskrit Dadan Dasari Daftar Isi DIstribusi Uniform Distribusi Binomial DIstribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson Distribusi Probabilitas Uniform Diskrit
Lebih terperinciKONSEP PROBABILITAS & DISTRIBUSI PROBABILITAS
KONSEP PROBABILITAS & DISTRIBUSI PROBABILITAS 5 Pengendalian Kualitas Debrina Puspita Andriani Teknik Industri Universitas Brawijaya e- Mail : debrina@ub.ac.id Blog : hbp://debrina.lecture.ub.ac.id/ 2
Lebih terperinciMATERI KULIAH STATISTIKA
MATERI KULIAH STATISTIKA III. TEORI PROBABILITAS 1. Operasi himpunan a. Gabungan atau union b. Interseksi atau irisan Contoh soal 1 : Dalam sebuah eksperimen pelemparan 1 buah dadu, terdapat kejadian :
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang
Lebih terperinciDISTRIBUSI TEORITIS. P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses) 30
DISTRIBUSI TEORITIS Distribusi teoritis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik
Lebih terperinciStatistika Farmasi
Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu
Lebih terperinciPr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.
6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu
Lebih terperinciPeubah Acak. Bab 4. Definisi 4.1 Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R
Bab 4 Peubah Acak Definisi 4. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh 4. Jika Y adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada pelemparan tiga sisi
Lebih terperinciSituasi 1: a. Buatlah pernyataan-pernyataan yang sesuai dengan situasi di atas!
BAHAN AJAR 3 DISTRIBUSI PEUBAH ACAK GABUNGAN DAN FUNGSI PELUANG MARGINAL Situasi 1: Sebuah kotak berisi tiga ballpoint berwarna merah, dua berwarna biru dan tiga berwarna hitam. Kemudian dua buah ballpoint
Lebih terperinciBAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS
BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS.1. VARIABEL RANDOM Definisi 1: Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R Contoh (Variabel random)
Lebih terperinciSTK511 Analisis Statistika. Pertemuan 2 Review Statistika Dasar
STK511 Analisis Statistika Pertemuan 2 Review Statistika Dasar Statistika Populasi Sampling Pendugaan Contoh Deskriptif Tingkat Keyakinan Statistika Deskriptif vs Statistika Inferensia Ilmu Peluang Parameter
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT.
KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT. EKSPERIMEN suatu percobaan yang dapat diulang-ulang dengan kondisi yang sama CONTOH : Eksperimen : melempar dadu 1 kali Hasilnya
Lebih terperinciMA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 1
DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar September 20 By NN 2008 DISTRIBUSI UNIFORM Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p:
Lebih terperinci