MisalkanAdanBhimpunan. RelasibinerfdariAkeBmerupakansuatufungsijika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satuelemendidalamb.

Transkripsi

1

2 MisalkanAdanBhimpunan. RelasibinerfdariAkeBmerupakansuatufungsijika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satuelemendidalamb. JikafadalahfungsidariAkeB kitamenuliskan f: A B yang artinyafmemetakanakeb. Adisebutdaerahasal(domain) darifdanbdisebut Jelajah(codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

3 Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemenbdidalamb. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (preimage) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut daerah hasil (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. A a f B b

4 Fungsidapatdispesifikasikandalamberbagaibentuk, diantaranya: Himpunanpasanganterurut. Seperti pada relasi. Formula pengisian nilai(assignment). Contoh: f(x) = 2x+ 10, f(x) = x 2 dan f(x) = 1/x. Kata-kata Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 didalamsuatustringbiner.

5 Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung x function abs(x:integer):integer; begin ifx < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;

6 Relasif = {(1, u), (2, v), (3, w)}daria= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} adalahfungsidariakeb. f(1) = u, f(2) = v, danf(3) = w. Daerah asaldarifadalahadandaerahhasil adalahb. Jelajah(kodomain)darifadalah{u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

7 Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)}daria= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} adalahfungsidariakeb, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemena. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalahb, danjelajahfungsiadalah{u, v}.

8 Relasif = {(1, u), (2, v), (3, w)}daria= {1, 2, 3, 4} ke B= {u, v, w} bukanfungsi Karena tidaksemuaelemenadipetakankeb atau ada elemn A yang tidak dipetakan ke B Relasif = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} bukanfungsi, Karena1 dipetakankeduabuahelemenb, yaituudanv.

9 Fungsi f dikatakan satuke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

10 Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A= {1, 2, 3} keb= {u, v, w, x} adalah fungsisatu-ke-satu Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} bukanfungsi satu-ke-satu, karenaf(1) = f(2) = u.

11 Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x 2 +1 dan f(x)=x 1merupakanfungsisatu-ke-satu? Penyelesaian: (i) f(x) = x bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2)=f(-2)=5padahal 2 2. (ii) f(x) = x 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a b, a 1 b 1. Misalnya untuk x = 2, f(2)=1danuntukx=-2,f(-2)=-3.

12 Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atausurjektif(surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengankatalain seluruhelemenb merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebutfungsipadahimpunanb. A B a 1 b 2 c 3 d

13 Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)}daria= {1, 2, 3} ke B= {u, v, w} bukanfungsipada(onto) karenawtidak termasukjelajahdarif. Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)}daria= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} merupakan fungsi pada(onto) karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

14 Misalkanf: Z Z. Tentukanapakahf(x) = x danf(x) = x 1 merupakanfungsipada(onto)? Penyelesaian: f(x) = x bukanfungsipada, karenatidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. f(x) = x 1 adalahfungsipadakarenauntuk setiapbilanganbulaty, selaluadanilaixyang memenuhi, yaituy= x 1 akandipenuhiuntukx = y+ 1.

15 Fungsisatukesatu bukan surjektif(onto) A a b c B Fungsisurjektif(onto) bukansatukesatu A a b c dc B 1 2 3

16 Bukanfungsisatuke A B satu maupun onto a 1 b 2 c 3 dc 4 Bukan fungsi A B a 1 b c dc 4 2 3

17 Fungsifdikatakanberkorespondensatuke-satuataubijeksi(bijection) Jikaf fungsisatu-ke-satu(one to one) danjugafungsipada(onto).

18 Relasif = {(1, u), (2, w), (3, v)}dari A= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} adalahfungsi yang berkorespondensatu-ke-satu, karenafadalahfungsisatu-ke-satu maupunfungsipada. Fungsif(x) = x 1 merupakanfungsiyang berkorespondensatu-ke-satu, karenaf adalahfungsisatu-ke-satumaupun fungsipada.

19 Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-kesatudariakeb, makakitadapatmenemukan balikan(invers) darif. Balikanfungsidilambangkandenganf 1. MisalkanaadalahanggotahimpunanAdanb adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = ajikaf(a) = b.

20 Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible(tidak dapatdibalikkan) jikaiabukanfungsiyang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannyatidakada.

21 Relasif = {(1, u), (2, w), (3, v)}daria= {1, 2, 3} keb= {u, v, w} adalahfungsiyang berkorespondensatu-ke-satu. Balikanfungsif adalahf -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible.

22 Tentukanbalikanfungsif(x) = x 1! Penyelesaian: Fungsif(x) = x 1 adalahfungsiyang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsitersebutada. Misalkanf(x) = y, sehinggay= x 1, maka x= y+ 1. Jadi, balikanfungsibalikannya adalahf -1 (x) = y+1.

23 Tentukanbalikanfungsif(x) = x Penyelesaian: Dari Contoh sebelumnya kita sudah 2 menyimpulkanbahwaf(x) = x bukan fungsiyang berkorespondensatu-ke-satu, sehinggafungsibalikannyatidakada. Jadi, f(x) = x adalahfungsiyang not invertible.

24 MisalkangadalahfungsidarihimpunanA ke himpunan B fadalahfungsidarihimpunanbke himpunanc. Komposisifdang, dinotasikandenganfο g, adalahfungsidariakecyang didefinisikanoleh: (fοg)(a) = f(g(a))

25 Diberikanfungsig = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakana= {1, 2, 3} keb= {u, v, w}, fungsif = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B= {u, v, w} kec= {x, y, z}. FungsikomposisidariAkeCadalah fοg = {(1, y), (2, y), (3, x) }

26 Diberikanfungsif(x) = x 1 dan g(x) = x Tentukanfοg dangοf! Penyelesaian: fοg)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = x = x 2 (gοf)(x) = g(f(x)) = g(x 1) = (x 1) = x 2-2x + 2.

27 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsifloordarix: x menyatakannilaibilanganbulatterbesaryang lebihkecil atausamadenganx Fungsiceilingdarix: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besaratausamadenganx

28 Beberapa contoh fungsi floor dan ceiling 3.5 = = = = = = = = = = 3

29 2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat danmadalahbilanganbulatpositif. amod m memberikansisapembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m amod m= r sedemikiansehinggaa= mq+ r, dengan0 r< m.

30 Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 16 mod 4 = 0 36 mod 5 = 1 0 mod 5 = 5 25 mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 ( 4) + 3 )

31 3. Fungsi Faktorial 4. Fungsi Eksponensial > = = 0, 1) ( , 1! n n n n n L 4. Fungsi Eksponensial Untuk kasus perpangkatan negatif, > = = 0, 0, 1 n a a a n a n n L n n a a 1 =

32 5. Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk a y = log x x = a y

33 6. Fungsi Rekursif Fungsifdikatakanfungsirekursifjikadefinisi fungsinyamengacupadadirinyasendiri. Contoh: n! = 1 2 (n 1) n= (n 1)! n. 1 n! = n ( n 1)!, n, n = > 0 0