BAB VI RELASI DAN FUNGSI

Transkripsi

1 BB VI ELSI DN FUNGSI 6.. Pendhulun Mteri pd ini teri menjdi du in yitu relsi dn unsi. Topik tentn relsi dihs pd Minu ke- meliputi penertin relsi jenis-jenis relsi dn relsi ekuivlensi yn memunulkn prtisi himpunn. Jenis-jenis relsi yn dihs muli dri releksi non releksi irreleksi simetris ntisimetris simetris trnsiti non trnsiti dn intrnsiti. Konsep tentn prtisi nyk dijumpi dlm teori ilnn khususny tentn modulo ilnn. Selnjutny topik tentn unsi (pemetn) dihs pd Minu ke- 3 dn ke-4 meliputi penertin unsi domin derh hsil nili unsi kesmn du unsi ynn invers dn komposisi unsi. Selin itu dlm ini ju dihs tentn eri jenis unsi di ntrny unsi injekti surjekti ijekti unsi restriksi dn unsi krteristik. Seluruh idn mtemtik sellu erhuunn denn konsep unsi. Hl ini snt terliht pd idn nlisis dn terpn mtemtik. Demikin ju denn idn lin seperti sttistik elektronik isik kehidupn sehri-hri dn lin-lin. Bi mhsisw mteri pd ini kn snt ermnt dlm studi leih lnjut termsuk dlm menerpkn ilmu mtemtik dlm memhmi teori kendli meknik dn optimissi. Setelh mempeljri topik hsn untuk pertemun pd Minu ke- 3 dn 4 pr mhsisw dihrpkn memperoleh Lernin Outomes:. Mhsisw mmpu menjelskn jenis-jenis relsi esert ontohny. Mhsisw mmpu menkontruksi prtisi himpunn menunkn relsi ekuivlensi 3. Mhsisw mmpu menjelskn unsi 4. Mhsisw mmpu menkomposisi unsi 5. Mhsisw mmpu menri invers unsi 6. Mhsisw mmpu menjelskn penertin unsi krteristik dn unsi restriksi

2 7. Mhsisw mmpu menindentiiksi jenis unsi injekti surjekti dn ijekti 8. Mhsisw mmpu memutkikn sit-sit unsi unsi injekti surjekti dn ijekti 9. Mhsisw mmpu menpliksikn sit-sit unsi unsi injekti surjekti dn ijekti dlm idn mtemtik 6.. elsi (Huunn). elsi tu huunn ntr himpunn merupkn sutu turn penwnn ntr himpunn terseut sei ontohny klimt dlh yh tu klimt 4 his dii dn seiny. elsi dpt menynkut tidk hny du himpunn tetpi is ti tu leih. elsi yn menynkut du himpunn dri semestny diseut relsi inir. Ser simolis klimt erd dlm relsi denn dpt disjikn denn tu. elsi ntr himpunn dn B merupkn himpunn in B. Demikin ju sern suhimpunn B merupkn relsi dri ke B. Himpunn diseut domin yn ditulis D himpunn B diseut kodomin ditulis C dn derh hsil tu rne yn ditulis () dlh rne() = B. B 3 d 4 5 Contoh 6... Pd dirm di ts relsi dlh himpunn. = 3 4 d

3 Berrti 3 4 dn d. Derh hsil rne() = 3 4 domin relsi D = d kodomin C = Contoh 6... Penitn dri ke denn deinisi x x untuk x yn munkin menunjukkn D = C = dn rne( ) = () = [ 0 ). Untuk x < tidk dpt ditemukn y yn memenuhi (x y) elsi Invers dn Komposisi elsi Mislkn relsi dri ke B. elsi invers : B dlh himpunn B. Pd dirm relsi erikut diperoleh relsi : B B 3 3 d 4 4 d 5 5 domin dlh D B kodomin dlh C denn d 3 4. Contoh Pd Contoh 6.. relsi invers dri ke denn deinisi x x dlh relsi dri ke denn turn x rne. x dn Selnjutny du uh relsi yitu relsi dri ke B dn relsi dri B ke C dpt dikomposisikn menjdi relsi denn deinisi C B. B BC. Sei ilustrsi dierikn dirm sei erikut:

4 B B C I 3 3 II d 4 4 III III III I d kren dpt ditemukn B yn memenuhi: I dn ; ; III dn d III dn. Contoh Dikethui relsi dri ke denn deinisi x x untuk x yn munkin dn dri ke 0 denn deinisi x x untuk x yn munkin. Dpt ditentukn hw dn x x x x x - x sehin x x x. Teorem Dikethui B : dn C B : relsi.. Jik D C h : relsi mk. h h.. Bukti.. h d C D d h. h d B C D d. h d B C D d h d C B D d h d C B D d. h d C B D d... h h d B D d

5 . C C B. C B. =. Deinisi Sutu relsi diktkn determinti pd tu ntr not-not jik dn hny jik klimt dlh klimt deklrti untuk setip dlm. Ser mtemtis dpt dituliskn sei erikut: 6.4. elsi Ekuivlensi. determinti ( ). Berikut dierikn eerp sit dri relsi inir. Deinisi Dikethui himpunn tidk koson. elsi pd (dri ke ) diseut releksi jik (jik dn hny jik) untuk setip not dri semestny erlku. Ser mtemtis dinytkn denn notsi releksi ( ).. Mislny relsi meninti ntr orn-orn dlh relsi yn releksi se tidk d orn yn tidk meninti diriny sendiri. Contoh elsi kesejjrn ntr ris-ris lurus pd idn releksi se sejjr denn sendiri untuk setip ris.. elsi pd denn deinisi untuk setip jik merupkn relsi releksi 3. Dikethui mn denn m. Pd Z dideinisikn relsi modulo m ditulis mod m denn deinisi mod m m yitu terdpt kz sehin km. elsi mod m relesi. Notsi lin untuk mod m dlh mod m Sutu relsi pd diseut non-releksi jik sekurn-kurnny d stu tidk erd dlm relsi denn diriny sendiri

6 Contoh elsi pd denn deinisi untuk setip jik merupkn relsi non-releksi se jdi. Dideinisikn relsi pd denn deinisi untuk setip denn ilnn ult teresr yn tidk leih dri. elsi nonreleksi. Deinisi elsi pd diseut irreleksi jik untuk setip erlku:. Notsi mtemtisny Contoh irreleksi ( )... elsi pd denn deinisi untuk setip jik merupkn relsi irreleksi se untuk setip.. elsi pd di Contoh nomor ukn relsi irreleksi se untuk Z. kitny. 3. elsi pd himpunn semu ris di tu 3 irreleksi se untuk setip ris psti tidk tek lurus denn sendiri. Jenis relsi erikutny erkitn ert denn kesimetrisn relsi ntr du elemen himpunn. Deinisi elsi pd diseut simetris jik untuk setip dri semestny erlku:. Notsi mtemtisny simetris ( ).. Contoh elsi kesejjrn ntr ris-ris lurus di tu 3 ersit simetris se sejjr h mk h psti ju sejjr.. elsi pd denn deinisi jik merupkn relsi simetris se jik dpt dipstikn.

7 3. elsi mod m pd Contoh ersit simetris se jik mod m mk terdpt kz sehin km. kitny terdpt kz sehin k m. Selnjutny jik sekurn-kurnny terdpt stu psn sedemikin hin dn Mislny relsi meninti pd himpunn semu mnusi. mk diktkn non-simetris. Contoh Dikethui simetris se jik. Dikethui X. elsi pd himpunn kus X B mk B P ersit non X. elsi pd himpunn kus X non simetris se untuk X. P ersit X X erlku X yn errti 3. Pd himpunn M() yn memut semu mtriks ts d dideinisikn relsi ; untuk semu B M() B jik B 0. elsi ersit non simetris se tetpi Deinisi elsi pd himpunn diktkn ntisimetris jik Contoh Dikethui simetris se jik X. elsi pd himpunn kus X B dn B mk B. Pd himpunn Z dideinisikn relsi P denn deinisi k 0. k P 7 P ersit nti elsi P nti simetris jik 7k dn 7m denn m k N 0 mk m k 0 sehin.

8 Deinisi elsi pd himpunn diktkn simetris jik untuk setip erlku jik pstilh. Denn kt lin simetris. Slh stu ontoh relsi simetris yn sudh dikenl denn ik dlm peljrn mtemtik muli dri SD SMP dn SM dlh relsi leih keil < pd himpunn semu ilnn rel. Contoh-ontoh relsi simetris yn lin dierikn sei erikut. Contoh Pd himpunn Z dideinisikn relsi P denn deinisi elsi P simetris.. Dikethui k. k P 7 X. elsi pd himpunn kus X P ersit simetris. 3. Pd Contoh relsi pd M() ersit non simetris tpi tidk simetris se dn Deinisi elsi pd diktkn trnsiti jik untuk setip tripel di erlku pil dn mk. Notsi mtemtisny trnsiti ( ).. elsi trnsiti snt nyk dijumpi dlm konsep-konsep mtemtik. Semu sistem ilnn seperti N Z Q dn C menenl relsi urutn prsil yn slh stu syrtny hrus trnsiti. Demikin ju dlm ljr dikenl istilh semirup terurut lpnn terurut prsil dn rup kuosien yn proses pementuknny menunkn relsi ekuivlensi. Contoh elsi kesejjrn ntr ris-ris lurus di tu 3 ersit trnsiti.. elsi pd denn deinisi

9 merupkn relsi trnsiti 3. elsi mod m pd Contoh ersit trnsiti se jik mod m mk terdpt h kz sehin km. dn hm. kitny terdpt m+kz yn memenuhi hm km h k m. Jdi mod m. Bentuk inkrn dri relsi trnsiti memeri syrt kenotn untuk terentukny relsi jenis lin. Syrt terseut menytkn jik pd himpunn dpt ditemukn triple dn elemen sehin dn tetpi mk diktkn non-trnsiti. Denn kt lin: Deinisi elsi pd himpunn diktkn non-trnsiti jik Contoh relsi non-simetris nyk dijumpi dlm idn mtemtik dn kehidupn sehri-hri. elsi menyuki tu ersht pd semest himpunn semu mnusi menunjukkn kondisi yn non-trnsiti se jik menyuki B dn B menyuki C tidk sellu erkit menyuki C. d eerp ksus yn ser ekstrim justru menunjukkn tidk menyuki C. Contoh elsi pd himpunn semu ris di 3 non trnsiti se dpt ditemukn ris = h : sumu OX dn l : sumu OY yn memenuhi l dn l h tetpi // h. Nmun jik dimil sumu OX h sumu OY dn l sumu OZ diperoleh l l h dn h. Dimil X 3. elsi pd himpunn kus X P ersit non trnsiti se 3 3 tetpi. Deinisi elsi pd himpunn diktkn intrnsiti jik

10 Contoh Dri Contoh kedunny ukn relsi intrnsiti.. elsi pd himpunn semu ris di merupkn relsi intrnsiti se jik l dn l h mk // h tu h. Deinisi elsi pd himpunn yn seklius memiliki sit releksi simetris dn trnsiti diseut relsi ekuivlensi. Dlm mtemtik relsi ekuivlensi memen pernn pentin. Contohontoh relsi ekuivlensi dlh :. elsi kesejjrn ntr ris ris lurus pd idn dtr.. elsi kesenunn ntr seiti-seit dlm idn dtr. Contoh elsi pd denn deinisi merupkn relsi ekuivlensi. elsi mod m pd Contoh ersit ekuivlensi se :. Sit releksi dipenuhi: - = 0.m sehin (mod m).. Sit simetris dipenuhi: Jik = k.m mk = (-k)m (sutu keliptn (-k) dri m) sehin untuk setip erlku jik (mod m) mk (mod m). 3. Sit trnsiti dipenuhi se jik (mod m) dn (mod m) mk = km dn = lm untuk sutu ilnn ult k dn l sehin jik dijumlhkn diperoleh = (k + l)m denn k + l ilnn ult. Jdi (mod m). Selnjutny dierikn sutu teorem yn memen pernn pentin dlm mtemtik khususny di idn ljr strk. Untuk itu seelumny dideiniskn penertin prtisi himpunn. Deinisi Dikethui himpunn tk koson dn K suhimpunn. Koleksi K diseut prtisi jik = { H i i I } koleksi

11 Contoh I H i i H i i I. Dikethui H K merupkn prtisi H. Pd himpunn ilnn rel.. L n dn i jh i H. Kelur himpunn n n ilnn ult merupkn prtisi... M n n n n n ilnn ult merupkn prtisi. j Teorem elsi ekuivlensi ntr not-not himpunn menkitkn terentuk prtisi (penolonn) di dlm. Prtisi dlm himpunn memi ke dlm himpunn inhimpunn in (kels-kels) yn msin-msin tidk koson dn slin sin sehin setip not dri erd dlm slh stu dn hny stu kels. Bukti. Mislkn relsi di ts diseut. Kren ekuivlensi mk memenuhi sit releksi simetris dn trnsiti. Semu elemen elemen yn erelsi denn dikumpulkn dlm sutu hmpunnseut S. Jdi S = { xs x }. Himpunn S tidk koson se releksi jdi sehin S dn S mempunyi sekurn-kurnny stu not. Dpt disimpulkn hw setip not psti erd dlm sekurn-kurnny stu kels yitu yn memut i sendiri. Selnjutny mislkn S dn S eririsn tidk koson denn slh stu elemen irisnny. Kren S mk ; dn kren simetris mk. Selin itu kren S mk erlku ju. Dri dn sehin denn menunkn sit trnsiti diperoleh sehin S. Selnjutny

12 untuk setip p S erlku p dn kren denn menunkn trnsiti mk p. Jdi p S sehin terukti S S. Denn r yn nlo dpt diuktikn S S sehin erlku S = S. Denn demikin terukti hw relsi ekuivlensi kn menyekn terentukny kels-kels yn diseut kels ekuivlensi. kit Dimil mn leih esr dripd. Terhdp relsi modulo m himpunn Z terprtisi menjdi kels-kels : m m0 m n m n m m m m n m n i m i m i i m im i n mn m m m m m 0 m.. n mn 0 0 m. 3. i 4. m Himpunn kels-kels: Teorem Terhdp relsi mod m pd Z erlku:. mod m d mod m d mod m. mod m d mod m dmod m elsi mod m ju diseut denn relsi konruensi. Deinisi elsi pd diseut relsi urutn prsil lemh jik memenuhi releksi ntisimetris dn trnsiti. Himpunn yn dilenkpi urutn prsil lemh diseut himpunn terurut lemh. Contoh Pd dideinisikn relsi leih keil tu sm denn. elsi ersit releksi ntisimetris dn trnsiti.. Dikethui X. elsi pd himpunn kus X releksi nti simetris dn trnsiti. Jdi relsi urutn lemh 3. Pd himpunn Z dideinisikn relsi P denn deinisi P 0 4 P ersit

13 merupkn relsi releksi nti sinetris dn trnsiti. Jdi P urutn prsil lemh 4. Pd himpunn n = x x x n xi ilnn rel i n dideinisikn relsi denn n n n elsi merupkn urutn prsil lemh. n n Selnjutny jik relsi urutn prsil lemh pd denn merujuk notsi pd ontoh di ts mk dpt ditulis denn tu. elsi lin yn erkitn lnsun denn urutn lemh dn nyk diunkn di idn nlisis dikenl denn relsi urutn prsil tes. Deinisi elsi pd diseut relsi urutn prsil tes jik memenuhi irreleksi simetris dn trnsiti. Himpunn yn dilenkpi urutn prsil tes diseut himpunn terurut tes. Contoh Pd dideinisikn relsi leih keil <. elsi < ersit irreleksi simetris dn trnsiti. Berrti merupkn urutn prsil tes.. Dikethui X. elsi suhimpunn sejti pd himpunn kus P X ersit irreleksi simetris dn trnsiti. Jdi relsi urutn prsil tes. 3. Pd himpunn Z dideinisikn relsi P denn deinisi P 4 merupkn relsi irreleksi sinetris dn trnsiti. Jdi P urutn prsil tes 4. Pd himpunn n = x x x n xi ilnn rel i n dideinisikn relsi denn n n elsi memenuhi:. Irreleksi: n n i n i i n

14 Tidk munkin ditemukn j j n yn memenuhi j j sehin. simetris: Jik mk i n n n. kitny tidk munkin ditemukn j j n yn memnuhi. Jdi j j 3. Trnsiti: Jik dn mk n n i n n n n j j i i j dn. kitny untuk semu l l n memnuhi l l l i l l dn j. Jdi j j i i Selnjutny jik relsi urutn prsil tes pd denn merujuk notsi < pd ontoh di ts mk dpt ditulis denn tu. Slh stu jenis relsi yn diseut urutn trivil dlh relsi denn deinisi jik =. elsi ini merupkn relsi urutn prsil lemh. Huunn ntr relsi urutn lemh dn relsi urutn tes nmpk dlm teorem erikut ini. Teorem Dikethui relsi pd himpunn.. Jik relsi urutn prsil lemh di mk relsi denn deinisi merupkn relsi urutn tes.. Jik relsi urutn prsil tes di mk relsi denn deinisi merupkn relsi urutn lemh.

15 Contoh Pd himpunn n = x x x n xi ilnn rel i n dideinisikn relsi dn denn n n n i n n n n n n. n i i. elsi dn merupkn urutn prsil lemh; sednkn merupkn relsi urutn prsil tes. Jik dideinisikn relsi denn deinisi jik mk merupkn relsi urutn tes; dn erlku dn. 3. Jik dideinisikn relsi denn deinisi jik tu mk merupkn relsi urutn prsil lemh; dn erlku. Dri urin terseut jels hw dn. Selnjutny dlm mtemtik dpt ditemukn himpunn terurut prsil terhdp relsi urutn yn di dlmny terdpt sepsn elemen dn yn tidk dpt dindinkn rtiny dn. Demikin ju dpt ditemukn ontoh urutn prsil lemh pd yn memenuhi elsi urutn yn memenuhi sit ini dinmkn relsi urutn totl (lemh). Penyn: Menurut nd pkh himpunn koson itu merupkn relsi dri ke B? Jelskn menunkn loik mtemtik

16 6.5. Funsi (Pemetn). Pd in ini kn dihs konsep yn snt pentin yitu konsep unsi dri sutu himpunn ke himpunn lin. Sutu unsi ju diseut pemetn tu mppin. Funsi merupkn kejdin khusus dri relsi yn telh dihs seelumny. Deinisi Sutu unsi dri himpunn S ke himpunn T dlh sutu turn penwnn yn memenuhi untuk msin-msin not S mepunyi tept stu kwn di T. Denn kt lin unsi dri S ke T merupkn relsi dri S ke T yn memenuhi untuk setip s S terdpt tept stu t T sehin (s) = t. Denn kt lin: : S T unsi (pemetn) (ss)(!tt). (s) = t. Deinisi terseut ekuivlen denn:. S T dn. ( S)( T) Syrt ke- dpt di denn: ( S) x y x y. Himpunn S diseut derh sl/domin D dn himpunn T diseut kodomin/derh kwn. Himpunn t t T s S s t s s S S diseut himpunn nili unsi tu Ime tu rne tu pet S tu S tu terhdp. Contoh Dikethui S himpunn empt ddu yitu S = {D D D 3 D 4 } dn T himpunn ilnn smpi 6 T = {3456}. Sutu lemprn menentukn sutu unsi dri S ke T. S T D D 3 D 3 4 D 4 5 6

17 Dirm di ts memperlihtkn hw ddu D oleh jtuh denn mt 3 D ke mt D 3 ke mt 3 D 4 ke mt 6. Jik dlh unsi yn menitkn msin-msin ddu denn jumlh mt dduny mk = D 3 D D D4 Jik s S mk kwn (hsil pet) s yn erd dlm T disjikn denn (s) dn diktkn s dipetkn ke (s) denn notsi mtemtis S T 3 d 4 5 s s. Pd unsi terseut domin dri dlh dri dlh { 4 5}. D = S = { d} derh kwn D = T = { 3 4 5} dn derh hsil dri dlh rne = Sutu unsi dpt ju disjikn denn sutu rumus sei syrt kenotn unsi. Mislny domin dn kodomin dlh himpunn semu ilnn rel s : s. s Jik not semrn dri himpunn S disjikn denn vriel x sednkn not semrn dri himpunn T disjikn denn vriel y : x x x mk unsi di ts dpt disjikn denn Contoh Dimil unsi dri ke denn deinisi x x. Funsi x y y x denn persmn unsi x x 0. 0 dn umus-umus. Berikut ini kn dierikn eerp konsep dn rumus yn pentin. Untuk itu seelumny kn dierikn deinisi kesmn du unsi dri S ke T.

18 Deinisi Funsi dn dri ke B diktkn sm ditulis = jik untuk setip s S erlku (s) = (s). Notsi mtemtisny: Selnjutny dikethui denn = s S x x t T s.. : S T S dn B T ( s) t s. Himpunn. s diseut pet (ynn) terhdp unsi. S T (S) () Himpunn B denn B s S ( s) B diseut prpet (ynn invers) elemen-elemen B terhdp unsi S T (S) - (B) Jik T y mk prpet y terhdp ditulis y B dlh Denn mudh dpt diuktikn hw y s S sy Contoh Dikethui : 3457 n k x y denn 3 k 4 5 k 7 y s S s y. y.

19 57 dn B k x n. Denn mudh dpt ditentukn hw k y pet terhdp dlh k y dn pr pet B terhdp dlh B Prpet k terhdp dlh Dimil unsi dri intervl ke denn deinisi x y y x denn x 0 x x dn B. ne unsi dlh 0 pet terhdp dlh 0 3 ; sednkn B Prpet y terhdp dlh y y.. Selnjutny dikethui unsi dri S ke T. Dri deinisi dpt diturunkn sit-sit erikut ini: Teorem ( ) =. B S B Bukti. Hny diuktikn no. ndikn ( ). kitny dpt ditemukn x T sehin x ( ). Denn kt lin terdpt yn memenuhi. Hl ini tidk munkin terjdi. Jdi yn erlku ( ) =. Teorem ( ) =. B T B Bukti. Hny diuktikn no. mil sern x B kitny x B. Teorem x Jdi B. B S (B) = ()(B).. Sesui deinisi Bukti. Kren B mk menurut Teorem B Demikin ju kren himpunn B B mk B B B B. sehin

20 Selnjutny dimil sern x B. kitny dpt ditemukn sehin x. Denn kt lin terdpt tu B yn memenuhi x. Dpt disimpulkn B B. Teorem Bukti. Kren B S ( B) () (B). x tu x B. Jdi B mk menurut Teorem B. Demikin ju B B sehin B B. Perlu dikethui hw kondisi B B tidk sellu erlku. Sei ontoh dimil unsi : 34 m h denn deinisi 3 dn 4 h. Jik dimil dn 34 B sehin B. Jdi B. mk B Teorem B T - (B) = - () - (B). Bukti. Kren x B B sesui Teorem B B B sehin B B. dn Selikny jik dimil x B mk x. B kitny x x B. dn dn x B sehin x Hl ini errti x B. Teorem B T - (B) = - () - (B). Bukti. Sei ltihn mndiri. Teorem B T - ( B) = - () - (B). Bukti. Dimil sern x B. Berkit x B C x dn x B. Denn kt lin x B B dn x. sehin x B. x. - ( B) - () - (B). dn sehin yn erkit Jdi

21 Selikny jik dimil x B erkit x yn errti x ; dn x B. kitny x B sehin C C x B. Jdi x B ; dn terukti x B B. lin x B. Denn kt Jenis-jenis Funsi (Injekti Surjekti Bijekti) Setip unsi (pemetn) dri himpunn S ke himpunn T diseut ju unsi dri S ke dlm (into) T. Ser umum tidk sellu setip elemen x T mempunyi prpet di S yn dipetkn ke x. Dlm ksus x memiliki prpet di S ditemukn kt hw prpet x terseut is tunl tu jmk. Untuk itu dihs eerp jenis pemetn erdsrkn kondisi prpet sern elemen di dlm kodomi unsi. Deinisi Funsi setip not T mempunyi prpet di S yitu : S T diktkn surjekti tu pd (onto) jik t T s S. s t. S T - (t) t Contoh Funsi : 3457 n k x y denn 3 k 4 5 k 7 y ukn unsi surjekti kren terdpt n memiliki prpet elemen domin yn tidk. Funsi dri ke 0denn deinisi x y y x merupkn unsi surjekti se untuk setip y 0 erlku y sehin terdpt x yitu x y yn memenuhi

22 y x x. kitny y x jdi surjekti. Teorem Jik. S T : S T unsi surjekti mk. Jik B T mk terdpt S sehin B. Bukti. Sit merupkn kejdin khusus sit. Mislkn B T. Jik B mk terdpt y T sehin y B. Kren unsi surjekti mk dpt ditemukn S B B. x yn memenuhi x y. kitny B S dn Seperti dikethui pd unsi dri S ke T sern tt munkin mempunyi leih dri stu prpet di S. Untuk itu dideinisikn unsi yn memiliki sit setip tt yn memiliki prpet tunl di S. Deinisi Funsi dri S ke T diktkn injekti jik s s S s s s. s S T s (s) u (u) Kontrposisi dri syrt injekti dlh s s Ss s s. s Kondisi ini dpt diunkn untuk memuktikn hw sutu unsi itu injekti. Contoh Berikut dierikn ontoh unsi injekti dn unsi ukn injekti. Funsi pd Contoh () ukn unsi injekti kren terdpt k yn memiliki prpet tidk tunl yitu 3 dn 5. Funsi pd Contoh () tidk injekti se

23 Dimil unsi : denn persmn x x 3. merupkn unsi injekti kren untuk setip 3 3 memenuhi s x x Funsi s x yn 3 3 s erkit s x sehin Hny terpenuhi oleh s x. s xs sx 0 x 4. Funsi h : denn persmn x x 4 injekti. h merupkn unsi 5. Funsi h : denn persmn hx y x y y 3x Teorem Jik merupkn unsi injekti. : S T unsi mk:. Dpt ditemukn U S dn unsi F : U T yn injekti dn u u F untuk setip u U. Dpt ditemukn U T dn unsi F : S U yn surjekti dn u u F untuk setip u S. Bukti. Hny diuktikn untuk nomor. Untuk sern u sehin dpt dipilih tept hny stu s u u S. U s u u S. Himpunn U S ; dn denn penitn F U T unsi injekti yn memenuhi u u setip Fx Ft erlku x t. s x U yn memenuhi F s x x s x t. S u erlku Dientuk : u u jels hw F F untuk setip u U; kren untuk kitny hny terdpt tept stu s x x t. kitny Jenis unsi selnjutny yn perlu dihs dlh unsi yn ersit surjekti seklius injekti. Funsi demikin diktkn ijekti. Denn kt lin unsi ijekti dlh unsi yn setip not dominy menentukn denn

24 tunl stu not dri kodomin dn selikny. Dpt ju diktkn sei korespondensi stu-stu.. Teorem Funsi Bukti. : S T diktkn ijekti jik dn hny jik t T! ss. s t. ) Kren surjekti mk untuk sern t T dpt ditemukn s S yn memenuhi s t. u t s Selin itu kren injekti mk jik untuk sutu u s S erlku u s. kitny pernytn terukti enr. t T ss. s t ) Dri sumsi jels terliht surjekti. Selnjutny jik u s T untuk sern u s S mk terdpt denn tunl x S sehin t u s. kitny u t s yn errti injekti Contoh Berikut dierikn eerp ontoh jenis unsi.. Funsi dri Z ke Z denn deinisi: n 0 n jik n njil jik n enp dlh unsi yn surjekti tpi tidk injekti sehin ukn ijekti.. Dimil unsi : N Z denn persmn n n. Funsi merupkn unsi injekti tetpi ukn surjekti kren untuk tidk dpt ditemukn tidk ijekti. 3. Funsi : 3456 X U W K L m 0Z n N yn memenuhi n 0 m.. kitny h denn h X W 3 4 U 5 L 6 K merupkn unsi ijekti kren untuk setip x X U W K L terdpt denn tunl n 3456 sehin hn x

25 4. Funsi : Z Z denn persmn n n 3 ijekti. merupkn unsi 5. Slh stu unsi ijekti yn snt dikenl st SM dlh unsi F dri intervl ke denn persmn Fx tnx Invers Funsi dn Komposisi Funsi Sei entuk khusus relsi mk dri unsi : S T dpt dientuk relsi : T S sei invers yitu t ss t. Denn deinisi terseut dpt dipstikn - elum tentu merupkn unsi. Khusus jik - erup unsi mk invers unsi diseut unsi invers. Contoh Invers unsi : N Z denn persmn n n dri Z ke N. elsi - memliki pet di N. n n n dlh relsi 3 5 ukn unsi se d - Z yn tidk. Invers unsi : X U W K L h denn X W 3 4 U 5 L 6 K 7 h. elsi h - dlh h X W 3 7 U4 L5 K6 ukn merupkn unsi se pet terhdp h - tidk tunl. 3. Invers unsi : denn persmn x x x x dlh x merupkn unsi sehin unsi invers dri dlh. 4. Invers unsi : 345 B C D E h denn h B D 3 E 4 C 5

26 dlh h 5 B C4 D E3 unsi invers.. elsi h - merupkn Teorem Jik : B unsi injekti mk dpt dientuk unsi ijekti h h. : sehin h. Khususny ijekti jik dn hny Bukti. Perlu diperhtikn hw pernytn h menunjukkn h sei suhimpunn - sei relsi kren D B D. Jik ijekti mk D B D sehin h. h terdpt Dri sumsi h : B unsi injekti mk untuk setip y x y yn memenuhi. denn deinisi y. x y erlku x y y Dimil relsi h : h Mudh diuktikn hw h unsi dn untuk setip dn h x kren elemen stustuny yn dipetkn ke oleh dlh. Jdi surjekti. Selin itu kren injekti mk jik hy hu denn x y y dn xu u Denn kt lin u x x y erkit x hy hu. y x u sehin h injekti. kitny h ijekti. u y Selnjutny jik : B unsi denn persmn unsi y x dn dlh unsi invers dri mk dpt ditentukn persmn unsi. Contoh Jik : unsi denn persmn x 3x 3 selidikilh keerdn! Penyelesin. Funsi ijekti sehin menurut Teorem 6.5. relsi merupkn unsi dri ke ; dn y y x x y 3x 3 3 x

27 sehin persmn unsi dlh denn y. y 3 y 3 Untuk keperlun tertentu domin tu rne unsi : B dpt ditsi pd invers dri D ke E. D tu E B r relsi : B menjdi unsi Contoh Dimil unsi ernili rel : 0 denn persmn x x x. Tentukn himpunn terlus D sehin relsi dri 0 ke D merupkn unsi. Kemudin tentukn Penyelesin. Untuk setip 0 y :. y x x x y x x y kitny surjekti tpi tidk injekti sehin dri unsi. Jik dimil D tu : D 0 ijekti sehin : 0 D Selnjutny untuk sern unsi 0 ke ukn D kn erkit unsi. : B dn : B C dpt dideinisikn (unsi) komposisi ntr dn yn dieri notsi dri ke C sei komposisi relsi dn. Berdsrkn deinisi komposisi du relsi diperoleh dn dpt diuktikn C B. ; dlh x x merupkn unsi dri ke C. Nili x terhdp. Bukti. Dimil sern. kitny terdpt sehin dn.. Hl ini menkitkn. B Kren unsi mk dn unsi sehin

28 Contoh Sei ilustrsi perhtikn dirm erikut ini. B B C 3 4 d d 5 Pd dirm di ts Contoh Dikethui : 0 unsi ernili rel denn persmn x x x. Jik : 0 denn x x persmn unsi Penyelesin: x! Teorem Dikethui. Jik h C D. Jik tentukn x x x x x x x : B dn : B C unsi. : unsi mk h h. dn Bukti. Liht kemli ukti Teorem Teorem Dikethui unsi. unsi mk : B dn : B C unsi.. Jik dn surjekti mk surjekti.. Jik surjekti mk surjekti 3. Jik dn injekti mk injekti 4. Jik injekti mk injekti 5. Jik dn ijekti mk ijekti. Bukti. Hny kn diuktikn untuk dn 3.. Kren B C mk surjekti. mil sern C. Kren surjekti mk dpt ditemukn sehin. kitny terdpt y yn memenuhi y. Jdi surjekti

29 3. Untuk sern u v yn memenuhi erkit u v injekti mk u v. u u v v kren injekti. Seleihny kren sumsi Sei in khir diktt ini erikut dierikn eerp unsi khusus. Di ntrny unsi injeksi identits pemtsn perlusn dn unsi krkteristik. Deinisi Funsi : B denn B diseut injeksi jik. Injeksi dri ke B dieri notsi i (Gmr ). Injeksi denn domin dn kodomin yn sm diseut unsi identits denn notsi Jdi. id dlh unsi dri ke yn memenuhi B i id id (Gmr ). id untuk setip Gmr Gmr Berdsrkn Deinisi di ts mudh diuktikn sit erikut ini. Teorem Dierikn unsi : B.. Jik ijekti mk idb dn id. id dn id. B Deinisi Dierikn unsi : B dn himpunn C. Funsi F : C B dinmkn unsi restriksi (pemtsn) untuk setip x C dn ditulis denn F C. jik Fx x

30 Contoh Berikut dierikn eerp ontoh unsi pemtsn.. Dikethui : denn persmn x sin x. Funsi ukn merupkn unsi injekti sehin ukn merupkn unsi. r unsi mk D hrus ditsi untuk itu ditsi pd. Jdi : x denn persmn sin x merupkn unsi pemtsn yn injekti sehin merupkn unsi denn persmn x rsin x.. Dimil unsi : yn memenuhi x x x 3 x x x Funsi F : denn persmn x x unsi pemtsn pd. F merupkn Deinisi Dikethui dinmkn unsi perlusn : B unsi dn D. Funsi F : D B jik x x F untuk setip x D. B D F B C C Pemtsn Perlusn Contoh Pd Contoh no. jik : denn

31 x sin x mk:.. Funsi F : denn Fx sin x.. Funsi G : 0 G x sin x merupkn unsi perlusn. denn x x. Funsi : 345 I B C D E F dn h denn h D 3 E 4 D 5 F I B merupkn unsi perlusn h o D 3 E 5 F I B. Deinisi Dikethui D. Funsi : yn memenuhi diseut unsi krkteristik di D. x 0 x D x D Pd eerp idn ilmu serin dijumpi unsi denn persmn yn hmpir sm yitu : denn D yn memenuhi denn α ilnn rel. x 0 x D x D Contoh Dimil unsi : 0 yn memenuhi x 0 0 x 5 5 x 6.6. Ltihn Sol. Dikethui Z dlh himpunn semu ilnn ult dn N {0} himpunn ilnn ult non-neti. pkh perkwnn : Z N {0} denn x x sutu unsi? pil demikin pkh surjekti? Injekti? x Jelskn jwn nd.

32 . pkh penitn : denn persmn x unsi? x x merupkn Penyn:. Menurut nd pkh himpunn koson itu merupkn unsi? Jelskn jwn nd!. Konsep no snt erpenruh pd komintorik