CATATAN KULIAH #1 Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif (1)

Transkripsi

1 ATATAN KULIAH # Analisis Komparatif Statik dan Konsep Deriatif () Sumber: Baca hiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, h.7. Sifat dari Statik Komparatif Perbandingan dua kondisi keseimbangan yang behubungan dengan perbedaan nilai parameter dan atau ariabel eksogen. Bila pada kondisi awal model pasar satu komoditi, keseimbangan harga dan kuantitas terjadi pada (, ) P Q maka bila ada perubahan nilai parameter dan atau ariabel eksogen, keseimbangan baru juga akan berubah ke ( PQ, ). Bagaimana hubungan antara keseimbangan awal dengan keseimbangan baru? Dalam analisis komparatif statik, harga akan dibahas pada kondisi sebelum dan sesudah adanya perubahan sedangkan proses terjadinya perubahan diabaikan. Analisis komparatif statik dapat berupa : i. Kuantitatif : besar perubahan ii. Kualitatif : arah perubahan Untuk mempelajari hal tersebut, perlu dipahami konsep tingkat perubahan (apa yang berubah dan apa yang terjadi setelah perubahan tersebut?). Tingkat Perubahan dan Deriatif Misalkan terdapat ariabel yang saling berhubungan dan hubungan tersebut dapat dinyatakan sbb : y = f ( x) Selanjutnya dapat dianalisis bagaimana tingkat perubahan ariabel y sebagai akibat perubahan ariabel x. Dalam kondisi komparatif statik, y menyatakan nilai keseimbangan dari suatu ariabel endogen sedangkan x menyatakan ariabel eksogen dan atau parameter.

2 Hasil Bagi Perbedaan (Difference Quotient) Bila x berubah dari x ke x, nilai perubahannya dinyatakan sebagai Δ x = x x Dengan cara yang sama, bila juga berubah menjadi f ( x + Δ x) x berubah ke ( x + Δ x) maka nilai fungsi f ( x ) Perubahan dalam y per unit perubahan x dapat dinyatakan sebagai hasil bagi perbedaan (difference quotient) : Δ y = ( +Δ ) ( ) f x x f x Hasil bagi perbedaan ini dapat dihitung bila diketahui nilai awal dari x yaitu x dan besar perubahan x yaitu Δ x sedangkan mengukur rata-rata tingkat perubahan y. ontoh : ( ) y = f x = 3x ( ) ( ) f x = 3 x ( ) ( ) f x +Δ x = 3 x + Δ y = = 3( x + x Δ x+ ) = 3x + 6x Δ x+ 3 ( 3x ) ( + 6xΔ x x 4) 6xΔ x+ 3 = = 6x + 3Δ x Jika x = 3 dan Δ x = 4 maka rata-rata tingkat perubahan y adalah : Δ y = 63 ( ) + 34 ( ) = 3, artinya jika x berubah satuan maka y berubah sebesar 3 satuan.

3 Deriatif Jika nilai x Δ sangat kecil (mendekati nol) maka deriatif dari fungsi y = f ( x) adalah : f ( x) ontoh : ( ) y = f x = 3x ( +Δ ) ( ) dy f x x f x = ' = lim = lim dx dy dx Maka deriatifnya adalah = f '( x) = lim Δ x Δ x = lim 6x + 3Δ x = 6x Jika 3 x = maka ( ) f ' x = 6(3) = 8 = 6x 3. Deriatif dan Slope Kura Misal diberikan suatu fungsi total cost : = f ( Q) dimana : total cost Q : output Marginal cost (M) didefinisikan sebagai perubahan dalam total cost akibat kenaikan unit output. Δ Secara matematis, M = Δ Q Pada kasus barang dalam jumlah yang nilainya diskrit (integer), perubahan unit adalah jumlah perubahan yang paling kecil yang mungkin terjadi. Tetapi untuk kasus barang dalam jumlah yang nilainya kontinu, Δ Q dapat berubah dalam jumlah desimal yang tidak terbatas. Karenanya marginal cost dapat dihitung dengan slope dari kura total cost. Δ Slope dari kura total cost adalah limit dari ratio Δ Q, saat Δ Q mendekati nol.

4 Perhatikan gambar kura total cost f ( Q) = di bawah ini : = f ( Q) B Δ D G K R A Δ Q F E H Q Q Q Q Misalkan A adalah titik awal dengan output Q dan cost. Jika output meningkat sebesar Δ Q, maka output menjadi Q + Δ Q= Q dan total cost akan meningkat dari menjadi Δ + Δ =, karenanya =. ΔQ Q Q Secara geometri, ini adalah rasio dari garis hubung, EB, atau slope dari garis AB. AE Secara khusus, rasio ini adalah rasio dari rata-rata tingkat perubahan yaitu rata-rata marginal cost. Apa yang terjadi jika nilai Δ Q berubah-ubah? Jika kenaikan output semakin kecil (misal dari Q ke Q ), maka rata-rata marginal cost dapat dihitung dengan slope garis AD. Lebih jauh lagi, jika kenaikan output semakin jauh lebih kecil ( Q ) Δ maka yang dihitung adalah slope garis KG, dimana KG adalah garis tangent kura total cost pada titik A. HG Slope dari KG = mengukur slope kura total cost pada titik A dan KH menunjukkan limit dari Δ ΔQ saat ΔQ dimana output awalnya adalah Q= Q.

5 Karenanya, dalam hal deriatif, slope dari kura f ( Q) khusus dengan nilai deriatif '( ) f Q. Bagaimana jika tingkat output awal berubah dari Q menjadi Q? = pada titik A berhubungan Dalam kasus ini, titik A akan diganti dengan titik B pada kura sebagai titik awal, dan slope dari kura pada titik B akan memberikan nilai deriatif '( ) Jadi secara umum, deriatif f '( ) berubah-ubah selama Q berubah. f Q. Q yang merupakan suatu fungsi dari Q, akan 4. Konsep Limit Deriatif dy dx quotient) didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan (difference saat. Jika dinotasikan q dan Δ x, dimana q adalah quotient dan adalah ariasi Δ x dari nilai x, maka : dy = lim = lim q dx Δ x Limit Sisi Kiri dan Limit Sisi Kanan Misal diberikan suatu fungsi lim q N, dimana N adalah bilangan real yang terbatas. Maka fungsi q mempunyai nilai limit jika nilai limit sisi kiri sama dengan nilai limit sisi kanan. Jika lim q= L, maka L merupakan limit sisi kiri, dimana nilai L diperoleh saat N N dari sisi kiri atau dari nilai yang lebih kecil dari N. Sedangkan jika lim q= L, maka L merupakan limit sisi kanan, dimana nilai L diperoleh saat + N N dari sisi kanan atau dari nilai yang lebih besar dari N. Jadi, secara matematis dapat ditulis : lim q= lim q= lim q= L N + N N

6 ontoh : ) Diketahui fungsi q = Tentukan nilai lim q dimana 7. ) Diketahui fungsi q = 5 dimana. Tentukan nilai lim q 7 Fungsi Kontinu Suatu fungsi f ( x ) dikatakan kontinu di titik x a (i) Fungsi f ( x ) terdefinisi di x = a atau f ( a ) ada. =, dimana a Df, jika : (ii) Fungsi f ( x ) mempunyai limit saat x a atau lim ( ) lim f x x a (iii) lim ( ) = ( ) ( ) ada jika lim f ( x) = lim f ( x) f x f a x a + x a x a f x x a ada. ontoh : ) Apakah f ( x ) = kontinu di x = ) Diketahui fungsi ( ) 3x ; x > f x = ; x= x ; x < Apakah f ( x ) kontinu di x =