SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE

Transkripsi

1 digilib.uns.ac.id SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister Program Studi Ilmu Fisika Oleh JEFFRY HANDHIKA S PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

2 digilib.uns.ac.id SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV TESIS Oleh: JEFFRY HANDHIKA Komisi Pembimbing Pembimbing I S Nama Tanda Tangan Tanggal Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP Pembimbing II Drs. Cari, MA. Ph. D NIP Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pasca Sarjana UNS Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP ii

3 digilib.uns.ac.id SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV TESIS Oleh: JEFFRY HANDHIKA S Tim Penguji Jabatan : Nama Tanda tangan Tanggal Ketua Sekertaris Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP Anggota Penguji I II Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP Telah dipertahankan didepan penguji Dinyatakan telah memenuhi syarat Pada tanggal Direktur Program Pascasarjana Ketua Program Studi Ilmu Fisika Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S. NIP Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP iii

4 digilib.uns.ac.id PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa 1. Tesis yang berjudul Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov ini adalah karya penelitian saya sendiri dan tidak terdapat karya ilmiyah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan serta daftar pustaka. Apabila ternyata di dalam naskah Tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur jiplakan, maka saya bersedia Tesis beserta gelar MAGISTER saya dibatalkan serta diperoses sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang berlaku (UU No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 dan pasal 70). 2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (6 bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, Jeffry Handhika S iv

5 digilib.uns.ac.id MOTTO YAKIN USAHA SAMPAI PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan kepada: Almarhum Bapak dan Ibuk Tercinta. v

6 digilib.uns.ac.id ABSTRAK Jeffry Handhika. S Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl- Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D Tujuan Penelitian ini adalah (1) menentukan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pochl- Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasi fungsi gelombang dan tingkat energi potensial non sentral hasil kombinasi hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentral merupakan model potensial yang digunakan untuk menerangkan fenomena gaya inter moleculer dan vibrasi molekul. Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulai bulan September 2011-Juni Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger adalah metode Nikivorof-Uvarof (NU). Prinsip dasar metode NU adalah mengubah bentuk persamaan Schroodinger ke dalam bentuk persamaan hipergeometri khusus. Bentuk persamaan hipergeometri khusus tersebut kemudian diselesaikan dengan metode NU. Hasil penelitian ini adalah (1) Spektrum Energi, fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Fungsi gelombang bagian radial dan polar dinyatakan dalam bentuk polinomial Jacobi. Persamaan gelombang dan tingkat energi yang diperoleh dengan metode NU memberikan hasil yang sama dengan metode Hipergeometri. (2) Fungsi gelombang divisualisasikan menggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coulomb plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitodo gelombang polar membesar dan energi ikat elektron mengecil. Potensial non sentral hasil kombinasi Eckart plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsi gelombang polar membesar dan energi ikat partikel mengecil. Kata kunci : Metode Nikiforov-Uvarov, Potensial Coloumb, Potensial Eckart, Potensial Pöschl-Teller I non sentral. vi

7 digilib.uns.ac.id ABSTRAK Jeffry Handhika. S "Solution of Schrodinger Equation For Non- Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University Sebelas Maret Surakarta. Advisor (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination Coloumb Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations. This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type function hypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method. The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica 8.0. Potential Non-central fromed by combination of Colombic and Pöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potential fromed by combination of Eckart and Pöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart, Pöschl-Teller I potential non-central vii

8 digilib.uns.ac.id KATA PENGANTAR Alhamdulillaahirobbil alamiin, syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan laporan penelitian dengan judul Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov. Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan penulisan laporan penelitian ini penulis mengalami berbagai kendala yang tidak mudah dipecahkan karena keterbatasan dan kemampuan penulis. Dan penulis menyadari bahwa dalam penelitian dan penyusunan karya ini tidak bisa lepas dari bantuan berbagai pihak. Dengan rasa tulus ikhlas penulis mengucapkan terima kasih serta penghargaan yang setinggi-tingginya kepada: 1. Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sebelas Maret yang telah berkenan memberikan bantuan berupa segala sarana dan fasilitas dalam menempuh pendidikan pascasarjana 2. Drs. Cari, M.A, M.Sc, Ph.D selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjan Universitas Sebelas Maret. 3. Ibu Dra. Suparmi, M.A, Ph.D selaku pembimbing I yang telah memberikan motivasi, bimbingan, arahan, ide dalam penyusunan laporan penelitian ini 4. Teman-teman S2 Ilmu Fisika, Bidang Teori dan Komputasi. Dalam penyusunan Thesis ini, penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan baik dalam isi maupun cara penyajian materi. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan di masa datang. Semoga laporan penelitian ini dapat memberi manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya. Surakarta, Agustus 2012 Penulis viii

9 digilib.uns.ac.id ABSTRAK Jeffry Handhika. S SolusiPersamaan Schrodinger UntukPotensial Non SentralHasilKombinasiPotensial Coulomb, Eckart Plus PotensialPöschl- Teller I MenggunakanMetodeNikiforov-Uvarov Tesis: Program PascasarjanaIlmuFisikaUniversitasSebelasMaret Surakarta. Pembimbing (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D TujuanPenelitianiniadalah (1) menentukantingkatenergidanfungsigelombangdarisistempotensial Non sentralhasilkombinasicoloumb plus Pochl-Teller I danpotensialeckart Plus Pochl- Teller I (2) Visualisasifungsigelombangdantingkatenergipotensial non sentralhasilkombinasihasilkombinasicoloumb plus Pochl-Teller I danpotensialeckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentralmerupakan model potensial yang digunakanuntukmenerangkanfenomenagayainter moleculerdanvibrasimolekul. Penelitianinimerupakanstudiliteratur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulaibulan September2011-Juni 2012.Metode yang digunakandalammenyelesaikanpersamaanschroodingeradalahmetodenikivorof- Uvarof (NU).Prinsipdasarmetode NU adalahmengubahbentukpersamaanschroodingerkedalambentukpersamaanhipergeo metrikhusus.bentukpersamaanhipergeometrikhusustersebutkemudiandiselesaikan denganmetode NU. Hasilpenelitianiniadalah (1) SpektrumEnergi, fungsigelombangdiperolehsecaraeksak.fungsigelombangbagian radial dan polar dinyatakandalambentukpolinomial Jacobi.Persamaangelombangdantingkatenergi yang diperolehdenganmetode NU memberikanhasil yang samadenganmetodehipergeometri. (2) Fungsigelombangdivisualisasikanmenggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentralhasilkombinasipotensial Coulomb plus PotensialPöschl- Teller I menyebabkanamplitodogelombang polar membesardanenergiikatelektronmengecil.potensial non sentralhasilkombinasieckart plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsigelombang polar membesardanenergiikatpartikelmengecil. Kata kunci :MetodeNikiforov-Uvarov, PotensialColoumb, PotensialEckart, PotensialPöschl-Teller I non sentral.

10 digilib.uns.ac.id ABSTRAK Jeffry Handhika. S "Solution of Schrodinger Equation For Non- Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University SebelasMaret Surakarta. Advisor (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination ColoumbPochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations. This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type functionhypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method. The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica8.0. Potential Non-central fromed by combination of ColombicandPöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potentialfromed bycombination of EckartandPöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart,Pöschl-Teller I potential non-central

11 digilib.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Newtonian mechanics and Maxwell's theory of the electromagnetic (EM) field were the pillars of physics until the end of the nineteenth centur (Galindo and Pascual:1990). Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori medan elektromagnetik. Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel sebagai sesuatu yang terkurung di dalam ruang. Istilah terkurung secara sederhana dapat dikatakan adanya batas yang jelas antara materi dengan lingkungan di luar dirinya. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa konsep-konsep fisika yang berdasarkan hukum-hukum Newton tidak bisa digunakan untuk menjelaskan hasil eksperimen sehingga diperlukan konsep baru yang tidak sama dengan fisika klasik (Beiser, 1992). Pada tahun , E. Schrödinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkat spektrum energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang (Greiner, 1989). Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukumhukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron 1

12 digilib.uns.ac.id 2 berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan. Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrödinger (PS). PS sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara konsepsional dan matematis. Spektrum energi dan fungsi gelombang suatu partikel dapat ditentukan dengan menyelesaikan PS. Spektrum energi dan fungsi gelombang digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel (Griffith, 1994). PS untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial dimana spektrum energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi PS menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi Hermite, Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent hypergeometric dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsifungsi tersebut, hanya persamaan diferensial fungsi Hypergeometric atau Confluent Hypergeometric (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan diferensial H-CH. (Suparmi, 1994). Penyelesaian PS secara eksak untuk sistem potensial tertentu mempunyai peranan yang penting dalam Mekanika Kuantum, karena dapat memberikan informasi tentang spektrum energi dan fungsi gelombang sistem yang terkait. Tidak semua bentuk dari PS memenuhi kriteria sebagai acuan pemecahan masalah, hanya beberapa potensial yang mungkin bisa dipecahkan secara eksak. Potensial-potensial yang dapat dipecahkan adalah suatu

13 digilib.uns.ac.id 3 permasalahan yang menarik dalam mekanika kuantum itu sendiri. Adapun potensial-potensial yang memiliki fungsi gelombang yang ternormalisasi dan memiliki spektrum tingkat energi adalah osilator harmonik, Coloumb, osilator isotropik, Morse, Pöschl Teller, Rosen Morse, simetrical top. Bentuk-bentuk potensial tersebut secara umum digambarkan dalam bentuk fungsi-fungsi aljabar yang telah dikenal seperti polynomial, ekponensial, atau besaran trigonometri. Potensial potensial tersebut dianalisis dalam bentuk spektrum energi dan fungsi gelombangnya (Dehesa and Sokorin, 2005). Pengkajian analitik tentang potensial sentral telah banyak dilakukan, Pengkajian yang lebih komplek dan spesifik dari mekanika kuantum adalah potensial non central. Potensial non-central secara teoritik sangat berguna dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi). Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial dan dan sudut yang dapat dipisahkan. Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi (J. Sadeghi, B. Pourhassan:2008), Operator (Ikhdair, S. M :2011), supersimetri mekanika kuantum (Suparmi:1994), dan path integral (Grosche, C:2005) yang masih terus dikembangkan sampai saat ini. Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode Nikivorof Uvarof (NU), PS untuk potensial Pöschl Teller II (Hiperbolik) dan Modifikasi Kratzer non-sentral. Berdasarkan hasil penelitian analitik (S. Bakkeshizadeh, V. Vahidi:2012), disimpulkan bahwa Metode

14 digilib.uns.ac.id 4 NU sangat cocok untuk digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan PS untuk potensial non sentral. Metode NU mereduksi PS bergantung waktu menjadi persamaan umum hipergeometri. Energi Nilai Eigen dan fungsi eigen dihitung secara eksak. Pada penelitian ini kami menggunakan potensial Coloumb dan Eckart dengan faktor sentrifugal yang diganggu dengan potensial kuadrat Pöschl Teller I. Kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan potensial Pöschl Teller I menghasilkan potensial non-sentral.. Hasil fungsi gelombang dan probabilitas potensial Non Central yang dijabarkan dengan metode NU dan digambarkan dalam bentuk simulasi komputasi. Aplikasi fisika kuantum dalam potensial non-sentral dapat digunakan sebagai dasar penelitian fisika material dalam mengkombinasikan jenis komposisi bahan. Setiap bahan pasti mengandung potensial tertentu, ketika dua bahan dikombinasikan, maka akan memberikan karakeristik bahan baru dan juga potensial baru. Dengan mengetahui karakteristik potensial masing-masing bahan dan karakteristik potensial setelah dikombinasikan secara teoritik, tingkat energi dari bahan tersebut dapat dihitung, sehingga proses pengkombinasian bahan tidak terkesan try and error. Berdasarkan uraian diatas, kami mengambil judul penelitian Solusi Persamaan Schrödinger untuk Potensial non sentral hasil kombinasi Potensial Coloumb, Eckart plus Potensial Pöschl Teller I non-sentral dengan Menggunakan Metode Nikivorof-Uvarov..

15 digilib.uns.ac.id 5 B. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan tiga perumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl Teller I dengan menggunakan metode NU? 2. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi potensial Eckart dengan faktor sentrifugal plus Pöschl Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU? 3. Bagaimana bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3 dimensi? C. Tujuan Penelitian Terdapat tiga tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu untuk mengetahui: 1. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pöschl Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU. 2. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial Eckart dengan faktor sentrifugal plus Pöschl Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU. 3. Bentuk visualisasi fungsi gelombang sudut 2 dimensi dan 3dimensi.

16 digilib.uns.ac.id 6 D. Batasan Masalah Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti mengajukan tiga pembatasan masalah sebagai berikut : 1. Potensial yang dianalisis adalah Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl Teller I non-sentral. 2. Software yang digunakan adalah Matematica Analisis simetri gelombang tidak dikaji, pengkajian ditekankan pada penagruh parameter terhadap fungsi gelombang dan energi. 4. Analisis gangguan dikaji hanya pada pengaruh parameter. E. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Manfaat secara teori a. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl Teller I dapat diselesaikan menggunakan metode NU. b. Memberikan informasi dampak parameter terhadap fungsi gelombang dan energi. c. Memberikan Informasi bentuk dan visualisasi persamaan gelombang dan energi dalam koordinat tuga dimensi (Bola) maupun dua dimensi (Polar). d. Menjelaskan bentuk-bentuk potensial secara visual beserta dampak parameternya dengan menggunakan manipulasi.

17 digilib.uns.ac.id 7 2. Manfaat bagi Penulis a. Memberikan pengetahuan baru tentang potensial non sentral b. Menambah khasanah keilmuan di bidang Fisika Teori, c. Memperkuat pemahaman mekanika kuantum secara teoritis maupun praktis.

18 digilib.uns.ac.id BAB II LANDASAN TEORI A. Persamaan Schrödinger (PS) Secara Umum Pendekatan mekanika kuantum memiliki permasalahan yang berbeda dengan fisika klasik. Salah satu permasalahan dalam mekanika kuantum adalah menyelesaikan bentuk persamaan gelombang partikel dengan menyelesaikan PS (Griffith: 1995). PS dalam Mekanika Kuantum adalah persamaan energi total seperti yang dinyatakan dalam Mekanika Klasik tetapi variabel-variabel dalam Mekanika Klasik diubah menjadi operator dalam Mekanika Kuantum. Fisikawan Erwin Schrödinger pada tahun 1925, menjelaskan hubungan ruang dan waktu pada sistem mekanika kuantum. Persamaan ini merupakan hal penting dalam teori mekanika kuantum. Hubungan antara variabel dalam Mekanika Klasik dengan operator dalam Mekanika Kuantum memberikan prinsip korespondensi antara Klasik dengan Kuantum. Korespondensi antara energi E, momentum p dan oprator deferensial: E i t (2.1a) p i (2.1b) Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat commit dari to bentuk user energi klasik. Selanjutnya, tinjau 8

19 digilib.uns.ac.id 9 partikel yang mengalami gaya F yang dapat dituliskan sebagai gradien dari energi potensial V r, t F V r, t (2.2) Karena itu, energi total partikel E dapat diungkapkan sebagai: 2 p E V r, t (2.3) 2m Berdasarkan korespondensi (2.1) persamaan gerak kuantum partikel didalam potensial V r, t diberikan oleh 2 i 2 t 2m, r, t V r, t r t (2.4a) Persamaan. (2.12) dikenal sebagai persamaan gelombang Scrodinger untuk partikel didalam potensial V r, t. Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Scrodinger satu dimensi berbentuk 2 2 i x, t V x, t x t t 2m x, (2.4b) 2 Persamaan gelombang merupakan kuantitas teoritis dasar dalam mekanika kuantum dan mendiskripsikan kemungkinan suatu kejadian. Solusi persamaan gelombang dapat diperoleh dengan menggunakan PS. (Griffiths, D. J: 1995). Mengungkapkan bahwa Diperlukan intepretasi statistik born fungsi gelombang berupa persamaan rapat probabilitas untuk menyatakan besar kemungkinan partikel yang didiskripsikan oleh x,t yang berada diantara x dan x+dt. Dimensi rapat probalilitas dapat dinyatakan sebagai: x,t (2.5a)

20 digilib.uns.ac.id 10 Dalam koordinat tiga dimensi rapat probabilitas dapat dinyatakan sebagai: x,t (2.5b) dimana merupakan conjugate. A. Potensial Coulomb, Eckart dan Pöschl-Teller I Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan potensial Coloumb dan Eckart sebagai potensial sentral, sedangkan Pöschl-Teller I merupakan potensial pengganggu yang menyebabkan potensial sentral termodifikasi menjadi nonsentral. 1. Potensial Coloumb Potensial Coulomb menggambarkan interaksi berpasangan antara atom bermuatan. Interaksi dapat terjadi antara molekul air akibat momen dipol permanen. Dua partikel bermuatan berlawanan akan saling menarik, sedangkan jika dua partikel bermuatan sama akan saling tolak-menolak. (Hendrik F. Hameka:2004) menyebutkan bahwa The Coulomb attraction between the proton and the electron is represented by a potential function. Interaksi proton dan electron dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi potensial. Potensial Coloumb dipengaruhi oleh jarak antar muatan. Bentuk potensial Coloumb dapat dilihat pada persamaan 2.6. (2.6) Dengan memanipulasi jarak antar muatan (r, ), maka potensial Coloumb dapat divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi maupun 3 dimensi. Bentuk visualisasi potensial Coloumb dapat dilihat pada gambar 2. 1.

21 digilib.uns.ac.id 11 z 0.5 z r r Gambar 2.1. a. Potensial Coloumb 2 D Gambar 2.1. b. Potensial Coloumb 3 D (Ballentine, E. L.:2000:265) mengungkapkan bahwa the Coulomb potential decays toward zero very slowly at large distances, and we shall see that this is responsible for some qualitatively different features. Potensial Coloumb secara perlahan-lahan bergerak menuju nol seiring dengan semakin besarnya jarak antara muatannya. Berdasarkan hasil simulasi, semakin bersar nilai kedua muatan, maka semakin dalam potensialnya, dengan asumsi nilai r konstan..( Jean-Louis Basdevant and Jean Dalibard:2002) The Coulomb potential has an infinite range, as it does in classical mechanics pada gambar 2.1, terlihat bahwa potensial Coloumb memiliki jangkauan yang tidak terbatas, seiring dengan bertambahnya jarak antar muatan. Bentuk modifikasi dari potensial Coloumb adalah potensial Yukawa. Potensial Yukawa juga disebut Screened Coloumb Potential. Bentuk persamaan potensial Yukawa dapat dilihat pada persamaan (2.7) (2.7) Bentuk potensial persamaan (2.7) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r dan m, dengan nilai. Hasil visualisasi dapat dilihat pada gambar 2.2.

22 digilib.uns.ac.id 12 (Sumber: Gambar 2.2 Potensial Yukawa Jika m=0, maka potensial Yukawa akan kembali ke bentuk potensial Coloumb seperti yang ditunjukkan pada gambar Potensial Pöschl-Teller (PT) I Bentuk persamaan potensial PT I dapat dinyatakan dalam: ( ) (2.8) Persamaan (2.1) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r, parameter dan, dan, >1. Visualisasi potensial PT I dapat dilihat pada gambar 2.3. z y Gambar 2.3. Bentuk Potensial PT I 3 Dimensi

23 digilib.uns.ac.id 13 Berdasarkan fungsinya, potensial PT I merupakan gabungan fungsi Cosecant dan Secant. The trigonometric Pöschl-Teller (PT) potential describes the diatomic molecular vibration (Wikipedia:2012). PT I sering muncul pada saat molekul diatomik mengalami vibrasi.. 3. Potensial Eckart Potential Eckart merupakan potensial yang sering diaplikasikan dalam vibrasi molekul. Bentuk persamaan potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan (2.9) (2.9) Bentuk persamaan (2.9) dapat divisualisasikan Dalam koordinat dua dimensi maupun tiga dimensi. Visualisasi potensial Eckart dapat dilihat pada gambar 2.4. V(x) Gambar 2.4. Potensial Eckart Potensial ini diselidiki oleh C. Eckart pada tahun Pada gambar 2.4, potensial tersebut simetri pada sumbu, dan nilai maksimum Vo pada x = 0. Fungsi Vo juga mendekati nol pada x mendekati takhingga. Modifikasi bentuk potensial Ekckart yang akan dibahas adalah bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal. Potensial Eckart dapat diaplikasiakan untuk menjelaskan vibrasi molekul dan gaya antarmolekul (Cari commit and to Suparmi:2012) user

24 digilib.uns.ac.id 14 Pengembangan Bentuk persamaan dan gambar Potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan (2.10). ( ) (2.10) Bentuk potensial Eckart dengan centrifugal term dapat dilihat pada gambar 2.5. Gambar 2.5. Bentuk Modifikasi Potensial Eckart B. Non Central potensial Gaya sentral merupakan gaya yang bekerja pada suatu sistem inersia. Potensial sentral muncul pada jarak anatara kedua partikel. Potensial sentral hanya memberikan pengaruh terhadap gerak arah radial dan bersifat konservatif, gaya bekerja terletak pada garis hubung antar kedua partikel. Jika gaya sentral yang bekerja di seluruh lintasan diganggu oleh gaya luar yang bekerja pada koordinat polar dan zimuth, maka potensial yang timbul adalah potensial nonsentral. Potensial non sentral memberikan efek terhadap arah polar dan radial, bersifat non konserfatif, sehingga penjelasan terhadap vibrasi molekul lebih kompleks. Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial. dengan potensial yang merupakan fungsi commit radial to user dan sudut yang dapat dipisahkan

25 digilib.uns.ac.id 15 (Suparmi, Cari, Jeffry H:2012). Berbeda dengan potensial central, pada potensial non sentral kecepatan paralel tidak tegak lurus pada garis hubung kedua benda, namun masih bekerja gaya aksi rekasi yang bekerja pada garis hubung kedua benda. Pada potensial non sentral terjadi perubahan lintasan. (Arda and Sever :2012) mengungkapkan bahwa Potensial non sentral dapat menjelaskan tingkat energi molekul berbentuk ring shaped (seperti benzene) dan interaksi antara inti berpasangan yang terganggu telah memberikan banyak aplikasi di bidang fisika. Potensial non -central secara teoritik sangat berguna dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi). (Goldstein, et al:2000) in the problem of a particle moving in an ex-ternal central force field (V = V(r)), there is no constraint involved, but it is clearly more convenient to use spherical polar coordinates than Cartesian coordi-nates. Do not, however, think of generalized coordinates in terms of conventional orthogonal position coordinates. Partikel yang bergerak dalam potensial nonsentral lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan koordinat bola. Bentuk potensial non-central dapat dilihat pada persamaan (2.11) (2.11) Potensial pada persamaan (2.12) dapat dimodifikasi menjadi (2.12)

26 digilib.uns.ac.id 16 bentuk potensial (2.11) dapat divisualisasikan dengan memvariasi nilai r, dengan. Visualisasi persamaan (2.11) dapat dilihat pada gambar 2.6b.. z z Gambar 2.6a Potensial Sentral y Gambar 2.6b Potensial Non Sentral y Perbedaan signifikan berdasarkan visualisasi gambar 2.6 antara potensial sentral dan non sentral adalah bentuk potensial central terpusat pada satu sumur, sedangkan non central memiliki lebih dari satu sumur dan simetris. Berdasarkan gambar potensial terlihat bahwa potensial pengganggu (penyebab potensial menjadi non sentral) lebih dominan dibandingakan potensial sentral. C. Metode-metode penyelesaian PS Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi, Operator, supersimetri mekanika kuantum NU dan path integral yang terus dikembangkan. Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode NU, persamaan Schrodinger untuk potensial Posch Teller II (Hyperbolik) dan Modifikasi Kratzer Non Central. Metode NU sangat cocok digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger untuk potensial non sentral. Berikut kami paparkan commit dua metode user yang mewakili penyelesaian PS

27 digilib.uns.ac.id 17 secara eksak maupun pendekatan dalam menentukan tingkat energi dan persamaan gelombang berserta aplikasinya. 1. Metode Hipergeometri PS dapat diselesaikan dengan mereduksi kedalam persamaan hipergeometri. Persamaan hipergeometri mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial suatu fungsi dapat direduksi kedalam fungsi hipergeometri (Bromley, 1989). Persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dapat dinyatakan sebagai berikut. ( ) (2.13) Persamaan (2.13) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu di titik dan (Suparmi, 2011) karena penyelesaian di titik lebih sederhana dari penyelesaian di titik. Mula-mula dipilih penyelesaian di sekitar titik. Persamaan (2.13) dapat diselesaikan dengan bentuk deret disekitar titik (2.14) Persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.13) akan membentuk (2.15a) ( ) ( )( ) (2.15b) ( ( ) ) (2.25c)

28 digilib.uns.ac.id 18 Persamaan (2.15a), (2.15b) dan (2.15c) dijumlahkan maka akan diperoleh persamaan (2.15d) ( ) ( ) ( ( ) ) (2.15d) Persamaan (2.15d) merupakan persamaan identitas, koefisien dari masingmasing suku x pangkat tertentu harus dinolkan. Koefisien pada suku dinolkan maka akan menjadi ( ) atau ( ). Koefisien pada suku adalah index equation yang memberikan harga atau. Koefisien pada suku dinolkan akan menjadi ( ) ) (2.16a) Setelah koefisien pada suku dinolkan akan didapatkan konstanta (2.16b) Koefisien pada suku dinolkan maka akan didapatkan konstanta ( ) (2.9c) (2.16d) Persamaan (2.16b) dan (2.16d) dapat digunakan untuk menentukan koefisien dari suku ke berikut ini (2.16e) Bentuk penyelesaian persamaan diferensial hipergeometri secara umum adalah 2F 1 = (2.17)

29 digilib.uns.ac.id 19 Dimana dan (2.18) Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka dimana Apabila atau (2.19) maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat. Dari kondisi yang dinyatakan pada persamaan (2.14) dapat diperoleh tingkat spektrum energi sistem. a. Aplikasi PD Hypergeometry untuk PD fungsi Legendre dan Legendre Terasosiasi 1) Persamaan Diferensial Fungsi Legendre Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian Persamaan diferensial fungsi Legendre 2 2 d P( x) ( 1 x ) 2x 2 dx dp dx n( n 1) P 0 (2.20) Bila x pada pers (2.13) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x), dx menjadi d(1-2x)=-2dx dan persamaan (2.13) dapat ditulis menjadi 2 d P dp x(1 x) 2(1 2x) n( n 1) P 0 4dx 2dx atau d P( x) dp x( 1 x) (1 2x) n( n 1) P 0 2 dx dx (2.21) Dengan membandingkan antara bentuk pers (2.13) dengan pers (2.21) maka diperoleh c=1; a+b =1; a = -n dan b=n+1 (2.22)

30 digilib.uns.ac.id 20 Bila persaman (2.19) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17) maka diperoleh penyelesaian PD fungsi Legendre dalam bentuk penyelesaian PD hypergeometri yaitu P n ( 1 1 2x) 2F ( n, n 1;1; x) (2.23) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial fungsi Legendre dapat diubah menjadi diferensial fungsi hypergeometri dengan pengubahan variabel. 2) Persaman Diferensial Fungsi Legendre Terasosiasi Persamaan Schrodinger atom hidrogen bagian sudut yang merupakan fungsi sudut disebut persamaan polar ini membentuk persamaan diferensial orde dua fungsi Legendre terasosiasi. Persamaan polar dinyatakan pada persamaan (2.24). (2.24) Penyelesaian persamaan (2.24) dapat diselesaikan dengan berbagai cara yaitu penyelesaian secara langsung menggunakan deret atau polynomial Legendre terasosiasi yang dijabarkan dari polynomial Legendre, operator supersimetri, persamaan diferensial fungsi hypergeometri, persamaan diferensial tipe hypergeometry yang dikembangkan oleh Nikiforov-Uvarov, dan oleh Romanovski. Pada bagian ini kita akan menyelesaiakannya menggunakan persamaan diferensial fungsi hypergeometri. Untuk menyederhanakan penyelesaian pers (2.24), pertama kita ubah persamaan (2.24) menjadi persamaan PPH dengan substitusi variabel sebagai berikut dan (2.25)

31 digilib.uns.ac.id 21 sehingga diperoleh (2.26) Dengan memasukkan persamaan-persamaan (2.25) dan (2.26) ke dalam persamaan (2.24) diperoleh ( ) ( ( ) ) ( ) atau ( ) (2.27) Karena maka persamaan (2.27) dapat dituliskan kembali sebagai ( ) (2.28) atau ( ) (2.29) Persamaan perantara persamaan hypergeometri (PPPH) pada persamaan (2.29) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu z=1 dan z=0. Untuk daerah di sekitar titik z=0, suku persamaan (2.29) menjadi dan diabaikan terhadap maka (2.30) Penyelesaian pendekatan di titik z=0 yang merupakan titik regular singular adalah (2.31) Bila persamaan (2.31) dimasukkan ke dalam persamaan (2.30) maka { } { } { ( commit ) to user } +

32 digilib.uns.ac.id 22 0= { } { } (2.32) Persamaan (2.32) merupakan polynomial dalam z maka koefisien dari setiap z pangkat tertentu harus nol. Bila koefisien dari z pangkat terendah di nolkan maka diperoleh persamaan indeks sehingga diperoleh atau. Karena s merupakan pangkat dari z maka harga s yang dipilih adalah karena untuk penyelesaian dengan harga s negatif menyebabkan fungsi gelombang menjadi tak terhingga sehingga tidak memenuhi syarat. Jadi (2.33) Analog dengan penyelesaian disekitar titik z=0, maka diperoleh penyelesaian pendekatan di sekitar titik z =1-z, yaitu (2.34) Penyelesaian umum dari persamaan diferensial fungsi Legendre terasosiasi pada persamaan (2.21) adalah (2.35) Bila kita set maka turunan pertama dan kedua dari persamaan (2.35) adalah + (2.36a) (2.36b) Kemudian bila persamaan (2.36a), (2.36b) dan (2.35) dimasukkan ke dalam persamaan (2.28) maka diperoleh ( ) (2.36c)

33 digilib.uns.ac.id 23 Kemudian persamaan (2.36c) kita bandingkan dengan persamaan (2.20) diperoleh ; ; (2.36d) 2. Metode NU Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode Nikiforov-Uvarov (Nikiforov, A. V Uvarov V. B:2008) berbentuk: (2.37) Dengan memilih s adalah koefisien dari dan dapat memiliki harga riil atau complek. dimana dan biasanya merupakan polynomial dengan pangkat tertinggi dua., dan merupakan polynomial pangkat tertinggi pertama. Persamaan potensial: (2.38) Persamaan (2.38) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel yaitu (2.39) Dengan memasukkan persamaan (2.39) ke persamaan (2.38) kita mendapatkan persamaan tipe hipergeometrik: (2.40) dan adalah derivatif logarithmik dimana solusinya bergantung pada: (2.41) Prosesnya: Persamaan (2.37) dapat direduksi dalam persamaan baru dengan memisalkan diperoleh: ( ) ( commit to ) user (2.37b)

34 digilib.uns.ac.id 24 Koefisien memiliki bentuk persamaan dimana merupakan polinimial dengan pangkat tertinggi 1. Sehingga diperoleh persamaan (2.41). Persamaan (2.40) diambil dari (2.37c) dimana [ ] Persamaan (2.37c) merupakan persamaan yang sama dengan persamaan (2.37). Dengan hanya memilih koefisien diperoleh Sehingga persamaan (2.37c) dapat direduksi menjadi (2.37d) Persamaan diatas merupakan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan fungsi dan parameter dicari dengan ( ) ( ) (2.42) (2.43) Prosesnya: Untuk menghitung dan kita menulis persamaan ((2.37d) dalam bentuk:

35 digilib.uns.ac.id 25 ( ) Ingat : Bentuk Dapat diselesaikan dengan: {{ ( )} { ( )}} Dengan mengasumsikan harga k diketahui, penyelesaian persamaan kuadrat untuk seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.42). Harga k pada persamaan (2.42) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (2.40) adalah, n = 0, 1, 2 (2.44a) dimana, (2.45) Untuk mendapatkan energi eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan kondisi. Bukti: (2.44b) Persamaan (2.44b) dapat disederhanakan menjadi Dengan memisalkan: persamaan (2.44b) dapat diubah menjadi

36 digilib.uns.ac.id 26 (2.44c) Dimana Selama merupakan polinomial dengan pangkat tertinggi 1, dan bergantung pada s, persamaan (2.44c) merupakan persamaan tipe hipergeometri. merupakan solusi dari persamaan (2.44c) jika merupakan turunan dari solusi dari persamaan (2.44b), fungsi ini harus memenuhi: [ ] Dapat ditunjukkan bahwa fungsi bergantung pada persamaan (2.44b) dan turunannya adalah. Diperoleh: [ ] (s). dengan mensubtitusikan pada persamaan (2.44b) diperoleh persamaan (1). Dengan cara yang sama, untuk (s)= (s): dimana, (2.44d) pada persamaan (2.44d), merupakan solusi dari yang memiliki nilai konstan. Selama. Persamaan (2.44d) menjadi persamaan (2.44a). Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, y n (s), yang bersesuaiaan dengan relasi Rodrigues diberikan oleh

37 digilib.uns.ac.id 27 ( ) (2.46a) dimana C n merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot harus tergantung pada Perilaku elektron atom hidrogen dipengaruhi oleh potensial. Bukti: Untuk mendapatkan polinomial secara eksplisit, kita menggunakan persamaan (2.44b) dan (2.44c) dengan menggunakan pendekatan dan. Sehingga dapat ditulis: (2.46b) (2.46c) Persamaan (2.46b) dan (2.46c) merupakan persamaan deferensial Dengan menggunakan bentuk eksplisit (2.46d) (2.46e), kita dapat dengan mudah membuat hubungan antara dan (s). Kita mempunyai Sehingga: Konsekwensinya:, n= 1,2,3... Selama dan (s)= (s), kita dapat menuliskan persamaan (2.46c) dalam bentuk:

38 digilib.uns.ac.id 28 Jika m<n Diperoleh = = (*) Dimana: Persamaan (*) jika kita kalikan dengan A m= maka akan diperoleh:, sedangkan n-m merupakan derajat polin omial.jika merupakan polinomial dengan pangkat n,, maka Sehingga: = Dimana, [ ] = konstan., Dengan m=0 kita dapat memperoleh polinomial dari persamaan hipergeometrik seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.46a) 3. Contoh Penyelesaian PS a. Penyelesaian Potensial Poschl Teller I dengan Hipergeometri Potensial efektif untuk potensial Poschl-teller I dituliskan sebagai { } (2.47) Bentuk PS dari persamaan (2.47) adalah

39 digilib.uns.ac.id 29 { } (2.48) Untuk menyelesaikan pers (2.48) kita misalkan (2.49a) dan diperoleh ; { }= (2.49b) Bila kemudian persamaan (2.49a) dan ((2.49b)dimasukkan ke persamaan (2.48) maka pers (2.48) menjadi { } (2.50a) atau { } (2.50b) dimana (2.51) Persamaan. (2.50a) atau (2.50b) merupakan persamaan diferensial yang mempunyai dua buah titik regular singular di titik s=0 dan s=1. Bila pers (2.50b) dibagi dengan s(1-s) maka untuk harga s=0 ( atau daerah disekitar s=0) suku-suku dan diabaikan terhadap suku berubah menjadi, sehingga pers (2.50b) ( ) atau (2.52a) Karena z=0 merupakan titik regular singular, maka penyelesaian persamaan (2.52a), disini kita tidak akan menguraikan penyelesaian secara

40 digilib.uns.ac.id 30 lengkap tetapi hanya mencari penyelesaian index equation saja dari persamaan. (2.52a). Misal penyelesaian persamaan (2.52a) yang berbentuk deret dinyatakan sebagai (2.52b), Bila persamaan (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan (2.52a) akan diperoleh index equation, yaitu persamaan yang diperoleh dengan cara mengenolkan koefisien dari suku untuk z pangkat terendah dari polynomial yang diperoleh bila persamaan. (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan. (2.52a). sebagai yang dapat disederhanakan menjadi sehingga diperoleh atau, tetapi disini kita pilih (2.52c) dan penyelesaian yang dipilih adalah Untuk harga s=1 ( atau daerah disekitar s=1) suku-suku (2.52d) dan diabaikan terhadap suku, maka pers (2.50b) berubah menjadi (2.52e) Analog dengan penyelesaian persamaan (2.52a) kita akan memperoleh penyelesaian (2.52e) yang dapat dinyatakan sebagai (2.52f) dimana telah diset (2.52g)

41 digilib.uns.ac.id 31 Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum persamaan (2.50b) dapat dinyatakan sebagai (2.53) Untuk menyelesaikan pers (2.50b), pertama-tama kita harus menentukan turunan pertama dan kedua persamaan (2.53) terhadap variable s, - + (2.54a) dan - + ( ) ( ) + (2.54b) Bila persamaan (2.52c), (2.52g), (2.53), (2.54a), and (2.54b) ke dalam persamaan (2.50b) diperoleh Persamaan ( ) + { } (2.55) Persamaan (2.55) menunjukkan persamaan diferensial fungsi Hypergeometri yang penyelesaiannya dapat dinyatakan sebagai (2.56) Dimana, maka dan

42 digilib.uns.ac.id 32, (2.57) Persamaan (2.56) yang merupakan deret pngkat tinggi akan terputus sehingga diperoleh deret berhingga bila atau (2.58) Jadi bila kita pilih harga maka atau dan diperoleh spectrum energi untuk potensial Poshcl-Teller yaitu (2.59) Penyelesaian fungsi gelombang secara umum dapat diperoleh dengan memasukkan persamaan (2.49a),(2.52c), (2.52g), (2.56), dan (2.57) ke dalam pers (2.53) yaitu = (2.60) Fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial Poschl-Teller I adalah = (2.61) b. Penyelesaian Potensial Eckart dengan Hipergeometri Bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal dapat dilihat pada peramaan (2.62) { } { } (2.62) V 0 <V 1, Dengan melakukan pendekatan <<<1 kemudian ( ) sehingga (2.63)

43 digilib.uns.ac.id 33 Persamaan (2.63) dapat diubah dalam bentuk hiperbolik { } (2.64) Persamaan (2.64), dapat diubah dalam bentuk persamaan Schroodinger (2.65) Persamaan (2.65) dapat disederhanakan menjadi: { } (2.65) dimana Dengan memilih maka, (2.66) Dengan menggunakan transformasi koordinat pada persamaan (2.66), persamaan (2.65) menjadi: { ( ) } (2.67) dimana

44 digilib.uns.ac.id 34 { ( ) } (2.68) Persamaan (2.68) dapat disederhanakan menjadi { ( ) } (2.69) Dengan memisalkan = dan Persamaan (2.69) dapat disederhanakan menjadi ( ) (2.70) Persamaan (2.70) adalah persamaan diferensial orde dua, paling tidak mempunyai dua buah titik regular singular dititik s=0 dan s=1, Untuk s=0, pers (2.70) dapat ditulis menjadi 0 (2.71) karena dapat diabaikan relatif terhadap untuk s menuju nol. Penyelesaian persamaan (2.71) dimisalkan sebagai (2.72) Bila persamaan (2.72) dimasukkan ke dalam pers (2.71) maka diperoleh suatu bentuk polynomial, dan bila commit koefisien to user dari variable (s) pangkat terendah,

45 digilib.uns.ac.id 35 yaitu, di nolkan maka diperoleh index equation yang dinyatakan sebagai sehingga diperoleh yang memberikan penyelesaian pendekatan untuk daerah sekitar s=0, (2.73) Penyelesaian pendekatan untuk daerah disekitar titik s=1 yang merupakan titik regular singular dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk penyelesaian di sekitar daerah s=0, yaitu (2.74) di mana (2.75) Dari pembahasan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat dsimpulkan penyelesaian secara umum persamaan (2.70) dapat dituliskan sebagai (2.76) Penyelesaian umum persamaan (2.70) dapat diperoleh dengan menghitung lebih dahulu komponen pada suku pertama, yaitu + (2.77a) dan { } { { + }} +

46 digilib.uns.ac.id ( ) (2.77b) Kemudian dengan memasukkan persamaan (2.73), (2.74), (2.76), (2.77a) dan (2.77b) ke dalam persamaan (2.70) diperoleh { [ ( ) ] } { } atau [ ] (2.78) Dapat dilihat bahwa persamaan (2.78) merupakan persaman diferensial orde dua fungsi hypergeometri di mana, and (2.79a) Spectrum energi dari persamaan (2.79a) yaitu atau (2.79b) Dengan memasukan persamaan (2.73), (2.74) ke dalam persamaan (2.79b) diperoleh atau (2.80a)

47 digilib.uns.ac.id 37 sehingga diperoleh (2.80b) Penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Eckart adalah (2.81a) atau ( (2.81b) dimana = dan ( (2.82c) Jika =1, =0, a=1 diperoleh: 4. Kerangka Pemikiran 1. Persamaan Schrodinger untuk potensial non-central dapat diselesaikan dengan mereduksi persamaan Schrodinger menjadi persamaan hipergeometri atau setipenya. Metode Nikiforov-Uvarov (NU) pengembangannya berbasis pada pereduksian persamaan Schrodinger menjadi persamaan tipe hipergeometri. 2. Potensial Non Sentral seperti Manning-Rosen Potential Plus a Ring-Shaped, Eigen Spektra for Woods-Saxon Plus Rosen Morse Potential, Coloumb plus cosecant kuadtrat dapat diselesaikan dengan metode NU. 3. Software Matematica memiliki kemampuan komputasi, simulasi dan visualisasi grafik fungsi matematis.

48 digilib.uns.ac.id Hipotesis 1. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan secara eksak menggunakan NU. 2. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan menggunakan NU. 3. Bentuk gelombang 3 D maupun 2 D, divisualisasikan dengan menggunakan Software Matematica.

49 digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN A. Tempat dan Waktu Penelitian Waktu dan lokasi penelitian dilakukan mulai bulan April sampai bulan Juni 2012 dan penelitian ini dilakukan di pascasarjana Universitas Sebelas Maret. B. Alat dan Persamaan Penelitian 1. Alat Penelitian Notebook Intel Core i3, Sofware Matematica Persamaan Potensial Non Central Potensial yang kami gunakan dalam penelitian ini adalah potensial Coloumb, Poschl Teller I dan Eckart. Ketiga potensial tersebut kami kombinasikan, potensial Coloumb plus potensial Poshl Teller I dan potensial Coloumb plus potensial Eckart. Bentuk potensial tersebut ditunjukkan oleh persamaan 3.1 dan 3.2. a. Potensial Coloumb dikombinasikan dengan Potensial trigonometrik Poschl- Teller I { ( )} (3.1) b. Potensial Ekckart dengan faktor sentrifugal dikombinasikan dengan Potensial Poschl-Teller I ( ) ( ) (3.2) 39

50 digilib.uns.ac.id 40 C. Prosedur Penelitian Dalam penelitian ini fungsi gelombang, dan spektrum energi potensial Non Sentral diselesaikan dengan metode NU. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya dapat dilihat pada gambar 3.1. Pers. potensial Non Central Oprator Kuantum (Koordinat bola) PS Pemisahan Variabel Radial Polar Azimuth Metode NU Metode NU PD orde II Fungsi Gel. Fungsi Gel. Tingkat Energi Fungsi Gel. (Polinomial Jacobi) (Polinomial) (Fungsi Fungsi Gel. Gambar 3.1 Langkah-langkah commit Penyelesaian to user Potensial Non Sentral

51 digilib.uns.ac.id 41 Berdasarkan gambar 3.1, Potensial non central dimodifikasi menjadi PS menggunakan koordinat bola. Setelah PS terbentuk, dengan menggunakan pemisahan variabel diperoleh persamaan radial, polar dan azimuth. Persamaan radial dan polar yang diperoleh diselesaikan dengan metode NU, sedangkan persamaan azimuth diselesaikan dengan persamaan deferensial orde dua. Dari fungsi radial yang diselesaikan dengan metode NU, diperoleh fungsi gelombang radial dan tingkat energi, dari fungsi polar diperoleh fungsi gelombang polar. Fungsi gelombang polar dan azimuth disatukan, menjadi fungsi gelombang sudut. Langkah-langkah penyelesaian metode NU kami paparkan sebagai berikut: Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode Nikiforov-Uvarov berbentuk: (3.3) dimana dan biasanya merupakan polynomial berderajat dua., dan merupakan polynomial orde pertama. Langkah berikutnya adalah pemisahan variabel (3.4) Kemudian diperoleh persamaan persamaan tipe hypergeometrik: (3.5) dan adalah derivative logarithmik dimana solusinya bergantung pada: (3.6) fungsi dan parameter dicari dengan ( ) (3.7)

52 digilib.uns.ac.id 42 (3.8)) Harga k pada persamaan (3.8) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (3.5) adalah, n = 0, 1, 2 (3.9) dimana, (3.10) Untuk mendapatkan energy eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan kondisi. Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, y n (s), yang bersesuaiaan dengan relasi Rodrigues diberikan oleh ( ) (3.11) dimana C n merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot tergantung pada kondisi: harus (3.12) Persamaan gelombang sistem diperoleh dari persamaan (3.5), (3.10) dan(3.11). D Diagram Penelitian Setelah fungsi gelombang diperoleh, langkah selanjutnya adalah visualisasi gelombang radial dan sudut. Bentuk visual gelombang polar diambil dari fungsi riilnya (harga mutlak ), sehingga perlu konversi. Konversi dapat dilakukan dengan mengalikan persamaan yang diperoleh dengan conjugate kompleksnya ( ), kemudian hasil yang diperoleh dipangkat setengah ( ). Setelah fungsi gelombang riil diperoleh, langkah-langkah visualisasi gelombang sudut dapat dilihat pada commit gambar to 3.2. user

53 digilib.uns.ac.id 43 START Masukkan nilai Fungsi P Grafik fungsi gelombang P STOP Gambar 3.2 Langkah-langkah Visualisasi Gelombang Sudut Berdasarkan gambar 3.2, kita memasukkan parameter inpu (n,p,j). arapeter n, p, j merupakan parameter yang bergantung pada bilangan kuantum n,m dan l dan parameter dan. Setelah parameter dimasukkan akan diperoleh fungsi gelombang sudut, dan dapat divisualisasikan dalam koordinat bola maupun polar. Fungsi gelombang yang divisualisasikan adalah fungsi gelombang riilnya.

54 digilib.uns.ac.id BAB IV PEMBAHASAN A. Bentuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Coloumb Plus Pöschl Teller dan Potensial Eckart Plus Pöschl Teller I Non-Sentral Potensial non-sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl Teller I dan potensial Eckart plus Pöschl Teller I merupakan potensial yang akan dikaji dalam penelitian ini. Persamaan potensial non-sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl Teller I dinyatakan pada persamaan 4.1a. { ( )} (4.1a) Suku pertama persamaan (4.1a) merupakan potensial Coloumb, suku berikutnya merupakan Pöschl Teller I non-sentral. Potensial non-sentral hasil kombinasi Eckart Plus Pöschl Teller I dinyatakan pada persamaan 4.1b. ( ) ( ) (4.1b) Suku yang berada dalam suku pertama dan kedua merupakan potensial Eckart, sedangkan suku berikutnya merupakan potensial Pöschl Teller I. Dari persamaan 4.1 a, bentuk visualisasi kedua potensial dapat dilihat pada gambar 4.1.1a, 4.1.1b dan 4.1.1c. Visualisasi gambar pada penelitian ini dilakukan dengan mengatur nilai ( commit ( to user ) ) dan 45

55 digilib.uns.ac.id 46 untuk mentransformasi koordinat bola ke koordinat kartesian (x,y,z). z y Gambar 4.1.1a Pöschl Teller I Non-Sentral Gambar 4.1.1a merupakan gambar potensial Pöschl Teller I non-sentral. Potensial tersebut akan mempengaruhi bentuk potensial secara keseluruhan jika nilai e kecil. z y Gambar 4.1.1b Coloumb Plus Pöschl Teller I Non-Sentral dengan e=1c Dari ganbar b, potensial Coloumb tidak terlalu tampak pengaruhnya, potensial pengganggu Pöschl Teller I lebih mendominasi bentuk potensial. Potensial Columb hanya merubah commit fungsi radial to user yang sebelumnya simetris menjadi

56 digilib.uns.ac.id 47 asimetris (x=1), karena nilai e terlalu kecil, sehingga perubahannya tidak terlalu signifikan. Untuk nilai e besar, (e=100c) dapat dilihat pada gamabr 4.1.1c. z y Gambar 4.1.1c Potensial Coloumb Plus Pöschl Teller I Non-Sentral e=100c Pada gambar c terlihat bahwa Pengaruh potensial Coloumb sudah mulai terlihat dengan munculnya bentuk potensial Coloumb. (gambar c). Dari gambar 4.1.1a, 4.1.1b dan 4.1.1c dapat disimpulkan bahwa potensial Pöschl Teller I mendominasi bentuk potensial. Semakin kecil muatannya, semakin besar potensial Pöschl Teller I mendominasi. Potensial Coloumb menunjukkan pengaruhnya ketika nilai muatannya diperbesar. Berdasarkan simulasi yang telah peneliti buat, potensial Coloumb akan mendominasi bentuk potensial jika muatan diperbesar coloumb, ciri khas bentuk potensial Pöschl Teller I tidak hilang. Seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.1d.

57 digilib.uns.ac.id 48 Navigasi pengatur nilai e z y Potensial Pöschl Teller I yang tereleminasi Gambar 4.1.1d Simulasi Potensial Eckart Plus Pöschl Teller I Non-Sentral, e= C Berdasarkan persamaan 4.1.1d, Gambar potensial Eckart plus Pöschl Teller I dapat divisualisasikan dengan mengatur nilai( ( ) ), a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar sumur dan untuk mentransformasi koordinat bola ke koordinat kartesian (x,y,z), V 0 =1, dan V 1 =2, menjelaskan kedalaman potensial dan nilainya positif, V 1 >V 0. z y Gambar 4.1.2a. Potensial Eckart Plus Pöschl Teller I pada a =1

58 digilib.uns.ac.id 49 Pada gambar 4.1.2a terlihat bahwa hasilnya sama dengan potensial Coloumb plus Pöschl Teller I pada e=1, potensial ecakrt dengan a= 1 belum mendominasi bentuk potensial. Bentuk potensial Eckart hanya mempengaruhi fungsi radial dari simetris menjadi asimetris (pada x=1). Potensial Pöschl Teller I tetap mendominasi bentuk potensial. Pada a=10, bentuk potensial Eckart sudah tampak seperti terlihat pada gambar 4.1.2b. z Ciri Potensial Eckart y Gambar 4.1.2b. Potensial Eckart Plus Pöschl Teller I pada a =10 Pada gambar 4.1.2b, walaupun pengaruh potensial Eckart sudah tampak, tetapi tetap belum mendominasi bentuk potensial. Pada a=10 15, potensial Eckart mengeleminasi bagain Cosecant kuaadrat. Karena keterbatasan spesifikasi komputer yang kami miliki, visualisasi gambar a=10 18 tidak dapat kami tampilkan. Visualisasi potensial Eckart Plus Pöschl Teller I pada a=10 15 dapat dilihat pada gambar 4.1.2c.

59 digilib.uns.ac.id 50 Navigasi pengatur a z y Fungsi Cosecant kuadrat tereleminasi Gambar 4.1.2c. Potensial Eckart Plus Pöschl Teller I pada a =10 15 Tereleminasinya fungsi Cosecant kuadrat pada gamabr 4.1.3b disebabkan karena pada persamaan 4.1.2c fungsi cosecant kuadrat memiliki penyebut yang sama dengan potensial Eckart pada koordinat polar (lihat persamaan 4.52). B. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coloumb Plus Pöschl Teller I dengan Metode NU. Dalam koordinat bola PS persamaan (4.1) dapat ditulis: { ) { } (4.2) PS tiga dimensi dari persamaan (4.2) diselesaikan menggunakan pemisahan variabel dengan menggunakan sehingga diperoleh:

60 digilib.uns.ac.id 51 ( ) (4.3) Pada persamaan 4.3, terlihat bahwa terdapat tiga persamaan yang memiliki mewakili koordinat radial, polar dan azimuth. Suku pertama, kedua dan ketiga merupakan koordinat radial, suku keempat dan keenam merupakan koordinat polar, dan suku kelima merupakan koordinat azimuth. Penyelesaian masingmasing persamaan dipaparkan dalam tiga solusi penyelesaian berikut: 1. Solusi Persamaan Azimuth. Dari persamaan (4.3) Solusi persamaan untuk bagian azimuth adalah (4.4a) Persamaan 4.4a merupakan persamaan deferensial orde dua dan menghasilkan solusi: (4.4b) 2. Solusi persamaan Radial (4.5a) Dikalikan dengan R dan menyederhanakan persamaan deferensial diperoleh: Dengan memisalkan (4.5b)

61 digilib.uns.ac.id 52 (4.5c) Persamaan (4.5b) dapat disederhanakan menjadi (4.5d) ( ) (4.5e) Solusi persamaan radial dapat diselesaikan dengan metode NU. Dengan membandingkan persamaan (4.5e) dengan persamaan (2.37) diperoleh:, (4.6) Nilai dapat dicari dengan: ( ) ( ) { } (4.7) dan memberikan dan Dengan memasukkan nilai k ke persamaan (4.7) kita dapatkan ; atau atau

62 digilib.uns.ac.id 53 { } atau { } ; atau Dengan menggunakan: ; Diperoleh: (4.8) Dari persamaan (4.8) kita peroleh, is bilangan kuantum radial, adalah bilangan kuantum utama, adalah bilangan kuantum orbital dimana, Persamaan gelombang radial diperoleh dari:

63 digilib.uns.ac.id 54 ( ) ( ( ) ( ) (4.9a) Persamaan (4.9) dapat ditulis sebagai: ( ) (4.9b) Dimana persamaan (4.9) mempresentasikan relasi Rodrigues untuk polinomial Laguerre terasosiasi. Jika maka and (4.10a) Dengan mensubtitusikan persamaan (4.10) pada persamaan (4.9b) diperoleh ( ) (4.10b) dimana is polinomial Laguerre terasosiasi yang dapat ditulis sebagai: (4.11) Dengan mengatur dan Jika = maka persamaan tersebut akan kembali ke persamaan gelombang atom hydrogen biasa ( ) (Terbukti)

64 digilib.uns.ac.id 55 Persamaan gelombang radial lengkap dapat ditulis (4.12a) atau (4.12b) dimana merupakan konstanta ternormalisasi. Berdasarkan persamaan (4.12b) dapat diperoleh persamaan gelombang radial seperti ditunjukkan pada tabel 4.1a Tabel 4.1a Persamaan Gelombang Radial Potensial Coloumb plus Poschl-Teller I (R nl ) Persamaan Gelombang Awal Gangguan (R n l ) Persamaan Gelombang Gangguan R 5 3 κ=2, η=4 R ( ) R 7 5 κ=4, η=2 R ( ) R 10 7 κ=4, η=2 R ( ) Dari tabel 4.1 dapat dibuat visualisasi grafik fungsi radial yang dapat dilihat pada gambar (4.2a) dan (4.2b). z R R r Gambar 4.3a. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I R 5 3 dan R

65 digilib.uns.ac.id 56 z R 7 5 R R 10 7 R r Gambar 4.3b. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I R 7 5, R , R 10 7, R Pada gambar 4.3 a dan 4.3 b terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial menurun. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar a,b dan c. dimana potensial Coloumb pada fungsi radial tidak mendominasi fungsi potensialnnya pada nilai e kecil. 3. Solusi Persamaan Polar PS bagian polar untuk potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I adalah ( ) (4.13) dimana l(l+1) konstanta pemisah. Dengan menggunakan transformasi variabel pada persamaan 4.13 kita peroleh [[ ( ) ]] (4.13)

66 digilib.uns.ac.id 57 Dengan mengkomparasikan persamaan (4.13) dan persamaan (2.40), (4.14a) { ( ) } [ ( ) ] (4.14b) Menggunakan persamaan (5) and (2.42) kita dapatkan { ( ) } [ ( ) ] ( ) (4.15) Harga k pada persamaan (4.15) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga dapat ditulis ( ) ( ( ) ( ) ) (4.16) Dan diskriminan dibawah akar harus nol. [ ( ) ] { } { ( ) } (4.17) Nilai dari k diperoleh dari persamaan (4.17) adalah

67 digilib.uns.ac.id 58 ( ) (4.18a) ( ) (4.18b) Dengan memisalkan ( ) dan (4.19) dan memasukkan persamaan (4.18) and (4,19) pada persamaan (4.17) pada kondisi maka persamaan (4.17) menjadi ( ) untuk (4.18a) ( ) untuk (4.18b) dan dapat dicafi dengan menggunakan persamaan (2.45), (4.13) dan nilai pada persamaan (4.14a), sehingga ( ) untuk (4.19a) dan ( ) untuk (4.19b) nilai dan diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.15a), (4.18a), (4.18b), (4.19a), dan 4.19). ( ) ( ) (4.20a) ( ) ) (4.20b) (

68 digilib.uns.ac.id 59 ( ) (4.21a) ( ) (4.21b) Agar memiliki arti fisis lebih, pilihan terbaik untuk nilai diperoleh dari persamaan (4.20b) dengan (4.21b), dimana (4.22) Bagian pertama fungsi gelombang diperoleh dari persamaan (2.41), (4.14a) dan (4.18b). ( ) (4.23) Fungsi bobot dari fungsi gelombang bagian kedua diperoleh dari persamaan (2.47), (4.14a) and (4.19b) adalah ( ) (4.24) Dengan memasukkan persamaan (4.24) dan (4.14a) pada persamaan (2.46) persamaan gelombang polar bagian kedua ( ) (4.25) Sehingga, persamaan lengkap bagian polar adalah

69 digilib.uns.ac.id 60 ( ( ) ) (4.25) Dengan dan (4.26) diperoleh ( ) (4.27) C. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial Eckart Plus Pöschl Teller I dengan Metode NU. Potensial Non-Sentral yang dibentuk oleh potensial Eckart dan Poschl- Teller diberikan oleh: ( ) ( ) (4.28) dengan V 0 dan V 1 mendiskrisikan kedalaman sumur potensial dan bernilai positif, V 1 >V 0, a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar potensial,,. PS tiga dimensi bergantung waktu untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller I adalah { ) { ( ) ( )} (4.29)

70 digilib.uns.ac.id 61 PS tiga dimensi yang ditunjukkan pada persamaan (4.29) dpat diselesaikan dnegan pemisahan variabel, sehingga kita peroleh ( ) ( ) (4.30) dimana. Dari persamaan (4.30) kita dapatkan persamaan bagian radial, polar dan azimuth dari PS yaitu: Persamaan radial: ( ) (4.31a) Persamaan polar: ( ) (4.31b) Persamaan Azimuth (4.31c) 1. Solusi Persamaan Azimuth Dari persamaan (4,31c) kita dapatkan persamaan gelombang bagian azimuth: (4.32)

71 digilib.uns.ac.id Solusi Persamaan Radial Untuk menselesaikan PS bagian radial kita mensubtitusikan dan pada persamaan (4.31a) kita dapatkan { } { } (4.33) Persamaan (4.33) dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan faktor sentrifugal (Y. Xu, S. He and C. S. Jia:2010) jika <<<1 maka ( ) (4.34) dengan. dengan memasukkan persamaan (4.34) ke persamaan (4.33) kita dapatkan { ( ) } (4.35) dengan menggunakan transformasi koordinat, pada persamaan (4.35) kita dapatkan { ( ) ( ) } (4.36)

72 digilib.uns.ac.id 63 Prosesnya: { ( ) ( ) } { } dikalikan { ( ) ( ) } Dengan mengkomparasikan persamaan (4.36) dengan persamaan (2.37) kita peroleh,, (4.37) (( ) ( ) ( )) (4.38) Dengan memasukkan persamaan (4.37) dan (4.38) pada persamaan (2.42) kita peroleh ( ( ( ( ) ) ) ( ) (4.39) Harga k pada persamaan (4.39) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, persamaam (4.39) dapat ditulis sebagai ( ) ( ( ( ) ( ) )

73 digilib.uns.ac.id 64 (4.40) dan ( ) ( ) [ ( )] (4.41) sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai k k berdasarkan persamaan (4.41) adalah { } (4.42a) { } (4.42b) dimana dan (4.43) Dengan memasukkan persamaan (4.42a) dan (4.42b) kedalam persamaan (4.40) dan dengan kita peroleh ( ) untuk { } (4.44a) dan ( ) untuk { } (4.44b)

74 digilib.uns.ac.id 65 dengan memasukkan persamaan (4.37), (4.44a) dan (4.44b) pada persamaan (2.45) diperoleh ( ( )) untuk (4.45a) and ( ( )) untuk (4.45b) Untuk mendapatkan nilai eigen baru dari persamaan deferesial tipe hipergeometrik pada persamaan (2.40) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.42a), (4.42b), (4.44a) dan (4.44b). { } ( ) untuk k 1 (4.46a) { } ( ) untuk k 2 (4.46b) dan ( ( )) ( ) (4.47a) ( ( )) ( ) (4.47b) Dengan menghitung persamaan (4.46a) dengan (4.47a) atau persamaan (4.46b) dengan (4.47b) kita mendapatkan hasil yang sama, yaitu { ( ) commit to } user (4.48) ( )

75 digilib.uns.ac.id 66 Dan sepektrum energi dari potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller I non-sentral yang diperoleh dari persamaan (4.48) adalah ( ) { ( ) } (4.49) Prosesnya: ( ( )) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) { ( ) } Dengan menggunakan persamaan (2.41) dan nilai pada persamaan (4.44a) dan (4.44b) dan pada persamaan (4.37) fungsi gelombang bagian pertama adalah (4.50a)

76 digilib.uns.ac.id 67 dan (4.50b) Fungsi bobot bagian radial diperoleh dari persamaan (2.47), (4.37), (4.45a) dan (4.45b) adalah (4.51a) dan (4.51b) Bagian kedua persamaan gelombangnya adalah ( ) (4.52a) atau ( ) (4.52b) Persamaan gelombang radial diperoleh dengan memasukkan persamaan (4.50a), (4.51a) dan (4.52a) atau menggunakan persamaan (4.50b), (4.51b) dan (4.52b) adalah ( ) (4.53a) atau ( ) (4.53b) dengan dan ( ) ( ) dimana

77 digilib.uns.ac.id 68 Agar memiliki arti fisisi kita memilih persamaan gelombangnya adalah ( ) Dan pemilihan harga k, dan adalah k 1, (4.53c) Persamaan gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.50a) adalah persamaan tipe hypergelometrik dengan persamaan fungsi bobot pada persamaan (4.51b). Pengecekan kondisi awal: Jika, dan n=0, maka persamaan, hasilnya sama dengan menggunakan hipergeometri. Dengan menggunakan persamaan 4.53c dapat diperoleh grafik visualisasi dengan nilai l yang berbeda. Persamaan gelombang radialnya dapat dilihat pada tabel 4.2b Tabel 4.1b Persamaan Gelombang Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller I No. R nl Persamaan Gelombang 1. R R R Berdasarkan tabel 4.2b dapat divisualisasikan untuk persamaan gelombang polar dengan menggunakan software matematica 8.0. Visualisasi bentuk gelombang radial dapat dilihat pada gambar 4.3 c.

78 digilib.uns.ac.id 69 z R R Gambar 4.3 c. Persamaan Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller R 1 0, R 4 3, R R 1 0 r Pada gambar 4.3 c terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial naik. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar b. dimana potensial Eckart pada fungsi radial sudah mempengaruhi fungsi potensialnnya pada Pada a=10. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk potensial eckart dan potensial Coloumb berkebalikan, sehingga persamaan gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan. 3. Solusi Persamaan Polar PS bagian polar untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral adalah ( ) (4.52) Bentuk persamaan ini sama dengan persamaan (4.13) sehingga menghasilkan hasil yang sama pula. Persamaan bagian polar untuk potensial Eckart

79 digilib.uns.ac.id 70 dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral sama dengan potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral. Solusinya: ( ) (4.27) Fungsi gelombang pada persamaan (4.27) dapat divisulisasikan pada tabel 4.2. Visualiasasi fungsi gelombang polar 2D dan 3D menggunakan bantuan software Matematica 8.0. Penurunan fungsi gelombang juga dilakukan dengan menggunakan software matematica. Untuk mengecek hasil perhitungan komputer, penurunan secara manual juga dilakukan. Setelah proses penurunan selesai, grafik divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi (2D) koordinat polar maupun 3 Dimensi 3D pada kordinat bola. Cara memperoleh fungsi gelombang secara manual pada tabel 4.2 kami paparkan sebagai berikut: ( ) { } ( ) ( ) { } { } ( )

80 digilib.uns.ac.id 71 ( ) { } { } ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Pembuktian kondisi awal: Dari persmaan tingkat enrgi potensial Eckart kita dapat enghitung energi pada kasus khusus untuk Eckart potensial kita memilih:, sehingga spectrum enegri untuk potensial Eckart adalah { [ ] [ ] } (g) sehingga or m adalaah bilangan kuntum magnetik, bilangan bulat positif, so selalu bilangan positif.

81 digilib.uns.ac.id 72 Kasus Khusus Sehingga ( ) ( ) ; sehingga kita perileh ( ) ( ) Untuk ( )

82 digilib.uns.ac.id 73 ( ) ( ) ( Sehingga ( ) untuk ( ) ( ) ( ) untuk maka ( ) (ok) untuk Persamaan dan visualisasi fungsi gelombang dapat dilihat pada tabel 4.2 (z merupakan koordinat simetri yang berperan sebagai amlitudo gelombang, merupakan koordinat polar dan Azimuth.

83 digilib.uns.ac.id 74 Tabel 4.2 Visualisasi Gambar dan Fungsi Gelombang Fungsi Gelombang 3 Dimensi (3D) 2 dimensi (2D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) { ( } ( )

84 digilib.uns.ac.id 75 Fungsi Gelombang 3 Dimensi (3D) 2 dimensi (2D) Berdasarkan pada Tabel 4.2 Terlihat bahwa potensial Pöschl Teller I Non- Sentral dapat merubah fungsi gelombang. Perubahan fungsi gelombang ini disebabkan karena adalanya perubahan fungsi l. fungsi gelombang pada tabel 4.2 kita perbesar ukurannya untuk mempermudah pengkajian seperti ditunjukan pada gambar 4.5, 4.6 dan z z Gambar 4.5. Fungsi gelombang 2D dan 3D

85 digilib.uns.ac.id 76 z z 1.5 Gambar 4.6. Fungsi gelombang 2D dan 3D z 2 z Gambar 4.7 Fungsi gelombang 2D dan 3D Pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7 tampak bahwa gangguan parameter dan mempengaruhi fungsi gelombang. Parameter memecah fungsi sudut dengan

86 digilib.uns.ac.id 77 fungsi sudut kecil, parameter memecah fungsi sudut dengan fungsi sudut besar. Lebih jelasnya perhatikan gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7c (nilai ) z Gambar 4.7a Fungsi gelombang 2D z Gambar 4.7b Fungsi gelombang 2D