MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII

Transkripsi

1

2 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII Tim Penyusun Penulis : To ali Ukuran Buku : x 9, TOA M TO ALI Matematika : Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk kelas XII/ Oleh To ali Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 007 vii, 06 hlm.: 9,7 cm. Bibliografi ISBN Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul Cetakan I Tahun 008 Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun Duiperbanyak oleh

3 iii SAMBUTAN Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluasluasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu. Jakarta, 5 Pebruari 008 Kepala Pusat Perbukuan Sugijanto

4

5 v KATA PENGANTAR Dengan mengucap syukur pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat begitu besar pada kita semua, sehingga Alhamdulillah, buku matematika SMK untuk kelas XII Kelompok Penjualan dan Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan dapat terselesaikan dengan baik. Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan SMK/MAK yang sesuai dengan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia No. dan Tahun 006 Tentang Standar Isi dan Standar Kompetensi Lulusan untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah dengan pengembangannya yang mudah-mudahan dapat melengkapi pemahaman konsep-konsep dasar matematika dan dapat menggunakannya baik dalam mempelajari pelajaran yang berkaitan dengan matematika, pelajaran lain maupun dalam kehidupan sehari-hari. Tiap bab berisi ringkasan teori yang melandasi kompetensi yang harus dipahami secara benar oleh siswa-siswi peserta didik dan disertai contohcontoh soal yang relevan dengan teori tersebut. Soal-soal dibuat didasarkan pada teori dan sebagai latihan untuk dapat menyelesaikan uji kemampuan yang digunakan sebagai parameter atau indikator bahwa peserta diklat sudah kompeten atau belum pada materi yang dipelajarinnya. Kami menyadari bahwa tersediannya buku-buku referensi atau sumber bacaan dari berbagai penulis dan penerbit sangat membantu penulis dalam menyajikan konsep-konsep dasar yang sesuai dengan kaidah-kaidah matematika. Dan mudah-mudahan buku ini dapat bermanfaat secara khusus untuk anak-anak didik di Sekolah Menengah Kejuruan dan bagi siapapun yang berkenan menggunakan buku ini. Akhir kata Tidak Ada Gading yang Tak Retak, tidak ada karya manusia yang sempurna selain dari karya-nya. Demikian pula dengan buku ini masih jauh dari apa yang kita harapkan bersama. Oleh karena itu segala kritik dan saran demi kebaikan bersama sangat diharapkan sebagai bahan evaluasi atau revisi dari buku ini. Jakarta, September 007 Penulis

6 vi DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi Petunjuk Penggunaan Buku ii iii iv BAB BAB BAB Teori Peluang.. A. Pendahuluan.... B. Kompetensi Dasar B. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi... B. Peluang Suatu Kejadian..... Uji Kemampuan.... Statistika A. Pendahuluan... B. Kompetensi Dasar B. Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel... B. Penyajian Data... B. Ukuran Pemusatan (Tendensi Sentral)... B.4 Ukuran Penyebaran (Dispersi)... Uji Kemampuan... Matematika Keuangan A. Pendahuluan B. Kompetensi Dasar B. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk..... B. Rente... B. Anuitas... B. Penyusutan Nilai Barang... Uji Kemampuan... Daftar Bunga Kunci Jawaban... Glosarium... Indeks... Daftar Pustaka

7

8 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MUDAH BELAJAR MATEMATIKA Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah Tim Penyusun Penulis : Nuniek Avianti Agus Ukuran Buku : x AGU M AGUS, Nuniek Avianti Mudah Belajar Matematika : untuk kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah/Oleh Nuniek Avianti Agus. -- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 007 vi, 8 hlm.: ilus.; 0 cm. Bibliografi : hlm. 8 Indeks. Hlm. 6-7 ISBN Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul Cetakan I Tahun 008 Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 007 Diperbanyak oleh

9 SAMBUTAN Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu. Jakarta, 5 Pebruari 008 Kepala Pusat Perbukuan Sugijanto iii

10

11 Panduan Menggunakan Buku Buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini merupakan buku penuntun untukmu dalam mempelajari matematika. Untuk membantumu mempelajarinya, kenalilah terlebih dahulu bagian-bagian buku ini, yaitu sebagai berikut Gambar Pembuka Bab Setiap bab diawali oleh sebuah foto yang mengilustrasikan materi pengantar. 4 Judul Bab Judul-Judul Subbab Materi Pengantar Berisi gambaran penggunaan materi yang akan dipelajari dalam kehidupan sehari-hari. 5 Uji Kompetensi Awal Berisi soal-soal materi prasyarat untuk memudahkanmu memahami konsep pada bab tertentu. 6 Materi Pembelajaran Berisi materi pokok yang disajikan secara sistematis dan menggunakan bahasa yang sederhana. 7 Gambar, Foto, atau Ilustrasi Materi dalam buku ini disertai dengan gambar, foto, atau ilustrasi yang akan membantumu dalam memahami materi. 8 Contoh Soal Berisi soal-soal yang disertai langkah-langkah cara menjawabnya. 9 0 Plus + Kegiatan Berisi kegiatan untuk menemukan sifat atau rumus. Tugas Berisi tugas untuk mencari informasi, berdiskusi, dan melaporkan. v Solusi Matematika Berisi soal-soal terpilih EBTANAS, UAN, dan UN beserta pambahasannya. Berisi soal-soal untuk mengukur pemahamanmu terhadap materi yang telah kamu pelajari pada subbab tertentu. 4 Cerdas Berpikir Berisi soal-soal yang memiliki lebih dari satu jawaban. 5 6 Sudut Tekno Rangkuman Berisi ringkasan materi yang telah dipelajari. 7 Uji Kompetensi Subbab Berisi pertanyaanpertanyaan untuk mengukur pemahamanmu tentang materi yang telah dipelajari Problematika Situs Matematika Peta Konsep Uji Kompetensi Bab Disajikan sebagai sarana evaluasi untukmu setelah selesai mempelajari bab tertentu. Uji Kompetensi Semester Berisi soal-soal untukmu sebagai persiapan menghadapi Ujian Akhir Semester. Uji Kompetensi Akhir Tahun Berisi soal-soal dari semua materi yang telah kamu pelajari selama satu tahun. 4 Kunci Jawaban

12 Prakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami. Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak merasa bosan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar. Penulis vi

13 Daftar Isi Panduan Menggunakan Buku... v Prakata... vi Bab Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun... Datar... A. Kesebangunan Bangun Datar... B. Kekongruenan Bangun Datar... 8 Uji Kompetensi Bab... 4 Bab Bangun Ruang Sisi Lengkung... 7 A. Tabung... 8 B. Kerucut... C. Bola... 8 Uji Kompetensi Bab... 5 Bab Statistika... 7 A. Penyajian Data... 8 B. Ukuran Pemusatan Data C. Ukuran Penyebaran Data Uji Kompetensi Bab... 5 Bab 4 Peluang A. Dasar-Dasar Peluang B. Perhitungan Peluang C. Frekuensi Harapan (Pengayaan)... 6 Uji Kompetensi Bab Uji Kompetensi Semester vii

14 Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya... 7 A. Bilangan Berpangkat Bulat B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Uji Kompetensi Bab Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan... 4 Uji Kompetensi Bab Uji Kompetensi Semester... 6 Uji Kompetensi Akhir Tahun... 8 Kunci Jawaban... Daftar Pustaka... 8 viii

15 Bab Sumber: CD Image Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut. Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan pada papan catur, baik yang berwarna hitam maupun yang berwarna putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik. A. Kesebangunan Bangun Datar B. Kekongruenan Bangun Datar

16 Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.. Jelaskan cara mengukur sudut menggunakan busur derajat.. Jelaskan sifat-sifat persegipanjang, persegi, layanglayang, trapesium, belah ketupat, dan segitiga.. Jelaskan cara membuat segitiga sama sisi. 4. Tentukan nilai a. 5. Perhatikan gambar berikut. Q P 4 4 R 4 S 4 α Jika? P? S 4. 50, tentukan besar? Q,? R, dan H D A Plus + 4 cm (a) C cm B G 4 cm E 8 cm F (b) Gambar. Dua persegipanjang yang sebangun. Kesebangunan dilambangkan dengan ~. Cerdas Berpikir Buatlah tiga persegipanjang yang sebangun dengan kedua persegipanjang pada Gambar.. A. Kesebangunan Bangun Datar. Kesebangunan Bangun Datar Dalam kehidupan sehari-hari, pasti kamu pernah mendengar istilah memperbesar atau memperkecil foto. Ketika kamu memperbesar (atau memperkecil) foto, berubahkah bentuk gambarnya? Bentuk benda pada foto mula-mula dengan foto yang telah diperbesar adalah sama, tetapi ukurannya berlainan dengan perbandingan yang sama. Gambar benda pada foto mulamula dengan foto yang telah diperbesar merupakan contoh dua bangun yang sebangun. Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar.. Sebangunkah persegipanjang ABCD dengan persegipanjang EFGH? PadapersegipanjangABCD dan persegipanjang EFGH, perbandingan panjangnya adalah 4 : 8 :. Adapun perbandingan lebarnya adalah : 4 :. Dengan demikian, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. AB BC EF CD DA FG GH HE ; ; ; Kemudian, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH. Oleh karena keduanya berbentuk persegipanjang, setiap sudut besarnya 90 sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Artinya kedua persegi - panjang tersebut memiliki sisi-sisi yang bersesuaian dan sebanding sedangkan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Oleh karena itu, persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH dikatakan sebangun.. Jadi, dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syaratsyarat sebagai berikut. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang senilai. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar. Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

17 Contoh Soal. Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun? L K cm P cm O T 6 cm S I 6 cm J M Q R a. Perhatikan persegipanjang IJKL dan persegi MNOP. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah IJ JK KL LI MN 6 NO OP 6 PM ; ; ; Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebanding. (ii) Besar setiap sudut pada persegipanjang dan persegi adalah 90 sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP sama besar. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebangun. b. Perhatikan persegi MNOP dan persegi QRST. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah MN NO OP PM QR RS 6 6 ST 6 TQ ; ; ; 6 Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi MNOP dan persegi QRST sebanding. (ii) Oleh karena bangun MNOP dan QRST berbentuk persegi, besar setiap sudutnya 90 sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegi MNOP dan persegi QRST sebangun. c. Dari jawaban a telah diketahui bahwa persegipanjang IJKL tidak sebangun dengan persegi MNOP. Dengan demikian, persegipanjang IJKL juga tidak sebangun dengan persegi QRST. Coba kamu jelaskan alasannya N Contoh Soal. Perhatikan gambar berikut. D C S R 6 cm A 9 cm B P cm Q Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang QR. Oleh karena persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding. AB BC QR X QR RS QR 6 Jadi, panjang QR adalah cm. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

18 Contoh Soal. Sekilas Matematika Thales 64 SM 546 SM Thales adalah seorang ahli mempelajari matematika, ilmu pengetahuan lain. Dalam matematika, ia terkenal dengan caranya mengukur tinggi piramida di Mesir dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga. Sumber: Matematika, Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-anak, 979. Diketahui idua jj jajargenjang yang sebangun seperti gambar berikut. D H G 6 cm dm 0 x E 6 dm F A 9 cm B Tentukan nilai x. Perhatikan jajargenjang ABCD. B D 0 A C Oleh karena jajargenjang ABCD sebangun dengan jajargenjang EFGH, besar sudutsudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian, E A 60. Jadi, nilai x 60 Kegiatan C. Kesebangunan pada Segitiga Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu. Perhatikan pasangan-pasangan segitiga berikut ini, kemudian jawab pertanyaannya. a. 4 cm 5 cm 8 cm 0 cm b. cm cm cm (a) (b) 6 cm Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar? Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX c (a) (b) Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama?,5 cm 7,5 cm cm cm (a) cm 5 cm (b) cm 5 4,5 cm

19 Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sisi bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisi yang belum diketahui. Apakah sisi-sisi tersebut memiliki perbandingan yang sama dengan sisi-sisi yang lainnya? Kemudian, ukur pula sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah hasilnya sama besar? Jika kamu mengerjakan kegiatan tersebut dengan benar, akan diperoleh kesimpulan bahwa untuk memeriksa kesebangunan pada segitiga, cukup lakukan tes pada kedua segitiga tersebut sesuai dengan unsur-unsur yang diketahui. Tabel. Unsur-Unsur yang Diketahui Pada Segitiga (i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s) (ii) Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd) (iii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s) Syarat kesebangunan pada segitiga Syarat Kesebangunan Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar. Contoh Soal.4 Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun? (a) (b) (c) Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi. a. Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar, yaitu 50. b. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut. Untuk segitiga (a) dan (b). 6 0, dan 0 0,46 Untuk segitiga (a) dan (c). 6 06, 5 0 Untuk segitiga (b) dan (c). 0 dan, 5 0 Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c) Problematika Dari gambar berikut, ada berapa buah segitiga yang sebangun? Sebutkan dan jelaskan jawabanmu. A D C F E B Ketiga syarat kesebangunan pada segitiga dapat digunakan untuk mencari panjang salah satu sisi segitiga yang belum diketahui dari dua buah segitiga yang sebangun. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 5

20 Contoh Soal.5 Solusi Matematika Perhatikan gambar berikut. R S cm 8 cm P Q cm T Panjang QT adalah... a. 4 cm b. 5 cm c. 6 cm d. 8 cm ΔQST sebangun dengan ΔQRP. R S cm 8 cm P cm T ST QT RP QP 8 QT QT + 8(QT + ) QT 8 QT + 4 QT 4QT 4 QT 6 Jadi, panjang QT adalah 6 cm. Jawaban: c Soal UN, 007 Q Perhatikan gambar berikut. P R cm Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR. PQ KL cm QR LM 0 cm PR MK 6 8 Jadi, panjang PR adalah 8 cm Contoh Soal.6 Gambar berikut menunjukkan ABC dengan DE sejajar BC. Jika panjang AD 8 cm, BD cm, dan DE 4 cm, tentukan panjang BC. A 0 cm B Oleh karena ABC sebangun dengan ADE, AD DE AD + DB BC maka BC BC 4 BC X Jadi, panjang BC adalah 5 cm Q E D K 6 cm C M 7 cm 0 cm L Contoh Soal.7 Sebuah tongkat yang tingginya,5 m mempunyai bayangan m. Jika pada saat yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah,5 m, tentukan tinggi tiang bendera tersebut. C Jawab : Misalkan, DE tinggi tongkat BD bayangan tongkat E? AB bayangan tiang bendera,5 m AC tinggi tiang bendera B A D m,5 m 6 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

21 BD DE 5, maka AB AC 5, AC 5, 5, AC 75, Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah,75 m Uji Kompetensi. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Manakah di antara bangun-bangun berikut yang pasti sebangun? a. Dua jajargenjang b. Dua trapesium c. Dua persegi d. Dua lingkaran e. Dua persegipanjang. Perhatikan gambar berikut. D C H G 5. Tentukan nilai x dan y pada pasangan bangunbangun yang sebangun berikut. a. D A B 70 F C E 70 G x H 5 6 b. S 0 R Sebangunkah persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH? Jelaskan jawabanmu.. Gambar-gambar berikut merupakan dua bangun yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y. a. b. A 4 0 B 0 5 E 4. Deni membuat sebuah jajargenjang seperti gambar berikut. 4 5 y 0 x F 0 P 6. Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun? 5 P x S R y Q Q (a) (b) (c) 5 0 Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan jajargenjang yang dibuat Deni. 6 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 7

22 7. A D C E B Pada gambar di samping, DE // AB. Jika AB cm, DE 8 cm, dan DC 0 cm, tentukan panjang AC. 8. Buktikan bahwa DEF sebangun dengan GHF. 9. Sebuah tongkat yang tingginya m mempunyai bayangan,5 m. Jika pada saat yang sama, sebuah pohon mempunyai bayangan 0 m, tentukan tinggi pohon tersebut. 0. Seorang pemuda menghitung lebar sungai dengan menancapkan tongkat di titik B, C, D, dan E (seperti pada gambar) sehingga DCA terletak pada satu garis. Tentukan lebar sungai tersebut. D 5 E A 4 F 7 aliran sungai G H B m E D Sumber: Dokumentasi Penulis Gambar. B. Kekongruenan Bangun Datar. Kekongruenan Bangun Datar Pernahkah kamu memperhatikan ubin-ubin yang dipasang di lantai kelasmu? Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut bendabenda yang kongruen. Coba kamu sebutkan benda-benda lain di sekitarmu yang kongruen. Perhatikan Gambar. D S A C P R Plus+ Kongruen disebut juga sama dan sebangun, dilambangkan dengan. B Gambar.: Dua bangun kongruen Gambar. menunjukkan dua bangun datar, yaitu layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu AB QR AD RS dan BC PQ CD SP. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua layanglayang tersebut juga sama besar, yaitu A R, C P, B Q, dan D S. Oleh karena itu, layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS kongruen, ditulis layang-layang ABCD layang-layang PQRS. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Q 8 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

23 Contoh Soal.8 Perhatikan gambar berikut. E H F G Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada bangun tersebut. D C A B Jawab : Syarat kekongruenan pada bangun datar adalah sama bentuk dan ukurannya. Pada balok ABCD. EFGH, sisi-sisi yang kongruen adalah sisi ABCD sisi EFGH sisi ABFE sisi CDHG sisi BCGF sisi ADHE Contoh Soal.9 Perhatikan gambar berikut. A D C B R S P Tunjukkan bahwa kedua bangun tersebut kongruen. Jawab : a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada trapesium ABCD dan trapesium PQRS sama besar, yaitu AB PQ, BC QR, CD RS, dan AD PS. b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut sama besar, yaitu A P E Q danc R D S. Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium ABCD trapesium PQRS. Q Tugas Manakah pernyataan yang benar? a. Bangun-bangun yang sebangun pasti kongruen. b. Bangun-bangun yang kongruen pasti sebangun. Jelaskan jawabanmu. Contoh Soal.0 Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut. D E 0 x C H A B G Tentukan besar E. F Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 9

24 Situs Matematika wordpress.com Jawab : Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar. A F 45 C H 60 D G 0 B E? Jumlah sudut pada bangun datar ABCD jumlah sudut pada bangun datar EFGH 60. E 60 ( F + G + H ) 60 ( ) Jadi, E 5. Kekongruenan Segitiga Pada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan pada bangun segitiga. Untuk menunjukkan apakah dua segitiga kongruen atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian, bandingkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian. Perhatikan tabel syarat kekongruenan dua segitiga berikut. (i) Tabel. Syarat kekongruenan pada segitiga Unsur-Unsur yang Diketahui Syarat Kekongruenan Pada Segitiga Sisi-sisi-sisi (s.s.s) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. (ii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s) (iii) Sudut-sisi-sudut (sd.s.sd) atau Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang. Sudut-sudut-sisi (sd.sd.s) Contoh Soal. U S O Gambar di samping merupakan gambar segitiga samasisi STU. Jika SO tegak lurus TU dan panjang sisi-sisinya cm, buktikan bahwa STO SUO. T 0 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

25 STO merupakan segitiga samasisi sehingga ST TU US cm dan STU TUS UST 60. SO tegak lurus TU maka SOT SOU 90 dan TO OU sehingga OST 80 ( STO + TOS) 80 ( ) 0 USO 80 ( SOU + OUS) 80 ( ) 0 Oleh karena (i) T U 60 (ii) ST US cm (iii) OST USO 0 terbukti bahwa STO SUO Solusi Matematika Diketahui segitiga ABC dengan siku-siku di B; kongruen dengan segitiga PQR dengan siku-siku di P. Jika panjang BC 8 cm dan QR 0 cm maka luas segitiga PQR adalah... a. 4 cm c. 48 cm b. 40 cm d. 80 cm A Contoh Soal. Perhatikan dua segitiga yang kongruen berikut. C R w 65 B Q 8 cm 0 cm C A 5 z x B P Tentukan nilai w, x, y, dan z. Oleh karena PQR, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu A Q z 5 C R w 65 B P x y 80 ( ) Jadi, w 65, x y 80, dan z 5. y Q P Oleh karena ΔPQR maka BC PR 8 cm. Menurut Teorema Pythagoras, PQ QR PR Luas PQR PR PQ Jadi, luas ΔPQR adalah 4 cm. Jawaban: a Soal UN, 007 R Uji Kompetensi. Kerjakanlah soal-soal berikut.. Dari gambar-gambar berikut, manakah yang kongruen? F C 75 A cm J I 40 4 cm G E 65 D 4 cm B L O P 4 cm 4 cm cm cm M 4 cm N K 4 cm H R cm Q. D C x A B Pada gambar di atas, tentukan nilai x.. Perhatikan gambar berikut. C F cm 5 cm 5 cm A cm B D E Buktikan bahwa ABC DEF. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

26 4. P S Q Jika PSR 40 dan SPR 0, tentukan besar PRQ. R 5. Perhatikan gambar berikut. Q R P S Pada gambar tersebut, panjang PR (5x + ) cm dan PS (x + ) cm. Tentukan panjang PS. T Rangkuman Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat berikut. - Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut mempunyai perbandingan yang senilai. - Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangunbangun tersebut sama besar. Syarat kesebangunan pada dua atau lebih segitiga adalah - perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai (s.s.s), - sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd), atau - dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar. Dua atau lebih bangun dikatakan kongruen jika memenuhi syarat-syarat berikut. - Bentuk dan ukurannya sama. - Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Syarat kekongruenan dua atau lebih segitiga adalah - sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, - dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar, atau - dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang. Setelah mempelajari bab Kesebangunan dan Kekongruenan ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Pada bab ini, materi-materi apa saja yang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan baik? Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini? Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

27 Peta Konsep Kesebangunan untuk Bangun Datar syarat Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilai Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar meliputi Segitiga syarat Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai (s.s.s) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd) Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (s.sd.s) Bangun Datar syarat Bentuk dan ukurannya sama Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd) Kekongruenan untuk Segitiga syarat Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s) Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar (s.sd.s) Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (sd.sd.s) Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

28 Uji Kompetensi Bab A. Pilihlah satu jawaban yang benar.. Berikut adalah syarat kesebangunan pada bangun datar, kecuali... a. perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya senilai b. sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar c. sudut-sudut yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang senilai d. pernyataan (a) dan (b). Perhatikan gambar dua trapesium yang sebangun berikut. H G D C 6 9 A B E 6 Nilai n yang memenuhi adalah... a. b. 4 c. 6 d. 8. Ukuran persegipanjang yang sebangun dengan persegipanjang berukuran 4 cm cm adalah... a. 4 cm cm b. 8 cm 6 cm c. 8 cm cm d. 0 cm 5 cm 4. Bangun-bangun di bawah ini pasti sebangun, kecuali... a. dua persegi b. dua persegipanjang c. dua lingkaran d. dua segitiga samasisi 5. Perhatikan gambar berikut. B E A D C F Jika ΔABC dan ΔDEF sebangun, per nyataan yang benar adalah... a. AC DF b. AB : DE BC : EF n F 8 c. AB AC FD ED d. AC : AB DE : DF 6. Pernyataan yang benar mengenai gambar berikut adalah... a. b. c. d. e a e a b + f b e d c + f d e b f a e c f d 7. Perhatikan gambar berikut. f d 6 cm 9 cm b c 0 cm x Nilai x sama dengan... a. 6,7 cm b. 5,0 cm c. 4, cm d.,8 cm 8. Diketahui ΔPQR dengan ST sejajar PQ, PS 6 cm, ST 0 cm, dan RP 5 cm. Panjang BS adalah... cm. a. 9 cm b. 0 cm c. cm d. 5 cm 9. Jika ΔDEF kongruen dengan ΔKLM, pernyataan yang benar adalah... a. D L b. E K c. DF LM d. DE KL 4 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

29 0. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah... a. jika sudut-sudut dua segitiga sama besar, sisisisi yang bersesuaian sama panjang b. jika sisi-sisi dua segitiga sama panjang sudutsudut, kedua segitiga itu sama besar c. jika dua segitiga sebangun, kedua segitiga itu kongruen d. jika dua segitiga sebangun, sisi-sisinya sama panjang. Perhatikan gambar berikut. A Pasangan segitiga yang kongruen adalah... a. ΔDAB dan ΔCAD b. ΔCDA dan ΔCBA c. ΔABC dan ΔADC d. ΔBAD dan ΔCAD. Perhatikan gambar berikut. A 50 D Nilai x + y... a. 60 b. 0 c. 50 d. 5. Pada gambar berikut, STU. R 70 x B C S C D B 50 U P R y Q 4. P Pada gambar di atas, besar RSP adalah... a. 45 b. 40 c. 5 d Perhatikan gambar berikut. A Jika panjang AB (6x ) cm, CD (x ) cm, dan BC (x + ) cm, panjang AD... a. 9 cm b. 6 cm c. cm d. 0 cm B. Kerjakanlah soal-soal berikut. D S 00 Q 45. Buatlah tiga pasang bangun datar yang sebangun. Kemudian, berikan alasan jawabannya.. Perhatikan gambar berikut. A B C B R C 50 P Q S T Pernyataan yang benar adalah... a. S 50 b. T 70 c. S 60 d. U 60 D Tunjukkan bahwa ΔABC sebangun dengan ΔCDE. E Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 5

30 . Pada gambar berikut, tentukan panjang PQ. 4. Jelaskan cara menguji kekongruenan dua segitiga dengan kata-katamu sendiri. R 5. Perhatikan gambar berikut. T 85 cm 8 cm x P 0 cm S Q z Tentukan nilai x, y, dan z. y 6 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

31 PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU vii A. Deskripsi Umum Matematika SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi kelas XII terdiri atas standar kompetensi, yaitu:. Standar kompetensi Teori Peluang. Standar kompetensi Statistika. Standar kompetensi Matematika Keuangan Setelah mempelajari buku ini, kompetensi yang diharapkan adalah peserta didik dapat menerapkan konsep Teori Peluang, Konsep Statistika, dan Matematika Keuangan dalam menunjang program keahlian, yaitu program keahlian pada kelompok Penjualan dan Akuntansi. Pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan buku ini menggunakan pendekatan siswa aktif melalui metode: Pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah serta presentasi. Guru merancang pembelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya kepada peserta didik untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri ataupun bersama-sama. B. Prasyarat Umum Dalam mempelajari buku ini, setiap standar kompetensi yang satu dengan standar kompetensi yang lain saling berkaitan dan anda boleh mempelajari kompetensi ini tidak harus berurutan sesuai dengan daftar isi. Jadi untuk dapat mempelajari kompetensi berikutnya harus menguasai secara mendasar kompetensi sebelumnya. Standar kompetensi yang paling mendasar dan harus benar-benar dikuasai adalah standar kompetensi sistem bilangan real. C. Petunjuk Penggunaan Buku. Penjelasan Bagi Peserta Didik a. Bacalah buku ini secara berurutan dari kata pengantar sampai cek kemampuan, lalu pahami benar isi dari setiap babnya. b. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam buku ini agar kompetensi anda berkembang sesuai standar. c. Buatlah rencana belajar anda dalam mempelajari buku ini, dan konsultasikan rencana anda dengan guru. d. Lakukan kegiatan belajar untuk memdapatkan kompetensi sesuai dengan rencana kegiatan belajar yang telah anda susun.

32 viii e. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi), membaca rangkumannya dan mengerjakan soal latihan baik melalui bimbingan guru ataupun tugas di rumah. f. Dalam mengerjakan soal-soal latihan, anda jangan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum anda menyelesaikannya. g. Diakhir kompetensi, selesaikan Uji Kemampuan untuk menghadapi tes evaluasi yang diberikan oleh guru.. Peranan Guru a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belajar. c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab pertanyaan mengenai proses belajar peserta didik. d. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Melaksanakan penilaian. g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya. h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didik dengan memberikan evaluasi. Pemberian evaluasi kepada siswa diharapkan diambil dari soal-soal Uji Kemampuan yang tersedia. D. Cek Kemampuan Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi. Rumus : Jumlah jawaban yang benar Tingkat Penguasaan x 00 % Jumlah soal Arti tingkat penguasaan yang anda capai : 90% - 00% baik sekali 76% - 89% baik 60% - 75% sedang < 60% kurang Jika anda mencapai tingkat penguasaan 60% ke atas, anda dapat meneruskan dengan kompetensi dasar berikutnya. Tetapi jika nilai anda di bawah 60%, anda harus mengulangi materi tersebut terutama yang belum dikuasai.

33 Sumber: Art and Gallery Standar Kompetensi Kompetensi Dasar. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang 9. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi 9. Menghitung peluang suatu kejadian

34 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi A. PENDAHULUAN Standar Kompetensi Teori Peluang terdiri dari dua () Kompetensi Dasar. Pada penyajian dalam buku ini, setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi, dan Peluang Suatu Kejadian Standar Kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan masalah masalah peluang suatu kejadian pada kehidupan sehari-hari dalam rangka untuk menunjang program keahliannya. Sebelum mempelajari kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real. Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru. B. KOMPETENSI DASAR B.. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi b. Uraian Materi Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-7 melalui permainan dadu. Dari permainan dadu inilah akhirnya berkembang permainan-

35 BAB I Peluang permainan yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya. Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan. Dalam perkembangannya, perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya, seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain. ). Pengertian Kaidah Pencacahan (Caunting Slots) Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas : a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots), b. Permutasi, dan c. Kombinasi. ). Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots) Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana : K k x k x... x k n K sering disebut dengan istilah banyaknya tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian. Untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia selain menggunakan aturan perkalian, juga menggunakan diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan Contoh Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk? Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut ini: Dengan tabel silang Warna baju Warna celana Hitam (h) Biru (b) Kuning (k) Merah (m) Putih (p) Ungu (u) ( h, k ) ( h, m ) ( h, p ) ( h, u ) ( b, k ) ( b, m ) ( b, p ) ( b, u )

36 4 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Dengan Diagram Pohon Warna celana Hitam (h) Biru (b) Warna baju Kuning (k) Merah (m) Putih (p) Ungu (u) Kuning (k) Merah (m) Putih (p) ( h, k ) ( h, m ) ( h, p ) ( h, u ) ( b, k ) ( b, m ) ( b, p ) Ungu (u) ( b, u ) Dari tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u), Dengan Pasangan Terurut Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna. Contoh Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung? Dari Semarang ke Bandung ada jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada jalan. Jadi, seluruhnya ada x 6 jalan yang dapat ditempuh. Contoh Dari lima buah angka 0,,,, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang? Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu,,, dan 4. Misalnya terpilih angka. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0,, dan 4. Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari angka, yaitu,,

37 BAB I Peluang 5 dan 4. Misalkan yang terpilih angka. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari angka, yaitu, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x x 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang. Contoh 4 Dari angka-angka 0,,,, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang. a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk? b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk? c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari yang dapat dibentuk? d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari.000 yang dapat dibentuk? a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu,,, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0,,, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0,, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk 6 x 6 x 5 x 4 70 angka. b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu,, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu,, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0,, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk 4 x 5 x 5 x angka. c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu,,, dan 4. Misalkan terpilih angka. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0,,, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0,, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk 4 x 6 x 5 x angka. d. Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, atau 4. Bilangan lebih besar dari.000 dan angka satuannya 0, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu,, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari.000 dan angka satuannya, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0,, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari.000 dan angka satuannya 4, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu,, 5, dan 7. Misal terpilih angka.

38 6 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0,,, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu,, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan genap dan lebih besar dari.000 yang dapat dibentuk adalah (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) 40 angka. ). Pengertian dan Notasi Faktorial n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari sampai dengan n. Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n! (dibaca : n faktorial ) n!..... (n ). (n ). n Contoh 5 Tentukanlah nilai dari 0! Dari definisi faktorial : n!.... (n ). (n ). n... ), (n )!.... (n ). (n )... ). Jika persamaan ) kita substitusikan ke persamaan ), maka akan diperoleh: n! (n )!. n n! atau n. Jika n maka akan diperoleh kesamaan: (n )!! ( )! atau!, Jadi, 0!! 0! Contoh 6 Hitunglah nilai dari: a. 5! b. 7! 4! c. 0! 6!. 4! a. 5! b. 7! ! c. 0! 6! !. 4! 6! Contoh 7 Tulislah dengan notasi faktorial: a. b. n.(n ).(n ) (n 8) c n.(n ).(n ).(n ) 4 a n.(n b. n.(n ).(n ) (n 8) ). 8!! (n ) (n 8). (n (n 9)... n! 9)... (n 9)!

39 BAB I Peluang 7 c. n.(n ).(n ).(n ) 4 n.(n ).(n ).(n ).(n 4).(n 5)... 4.(n 4).(n 5)... n! 4!.(n 4)! Contoh 8 Sederhanakanlah bentuk : (n + )! (n )! (n + ).n.(n )! (n )! (n + )!, untuk n (n )! (n + ). n n + n Contoh 9 (n )! Hitunglah n dari: 0. (n )! (n )! 0 (n )! (n ).(n ).(n )! 0 (n )! (n ).(n ) 0 n n n n 8 0 (n 7)(n + 4) 0 n 7 atau n -4 (tidak memenuhi). Dalam suatu penelitian akan ditanam 4 jenis padi (p, p, p, p 4 ) pada 5 petak sawah yang berbeda (s, s, s, s 4, s 5 ) a. Buatlah diagram pohon dan tabel silang pada penelitian itu! b. Berapa macam cara penanaman 4 jenis padi di 5 petak sawah yang berbeda?. Dari kota A ke Kota B ada 5 jalan yang dapat dilalui. Dari Kota B ke Kota C ada 7 jalan yang dapat dilalui. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi: a. Dari Kota A ke C melalui B? b. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B? c. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B tetapi jalan yang ditempuh pada waktu kembali tidak boleh sama dengan jalan yang dilalui ketika berangkat?. Berapa banyak lambang bilangan dapat dibentuk dari angka-angka,,, 4, 5, dan 6: a. Jika bilangan tersebut terdiri dari angka dan ada angka yang sama? b. Jika bilangan tersebut terdiri dari 4 angka yang berlainan dan genap?

40 8 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 4. Berapa banyak pasang pakaian yang dapat dipakai seorang siswa apabila ia mempunyai 6 celana dan 8 kemeja? 5. Dari angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan itu kurang dari 5000 dan tanpa pengulangan? 6. Pengurus suatu organisasi terdiri dari 4 orang, yaitu seorang ketua, seorang sekretaris, seorang bendahara, dan seorang pembantu umum. Untuk jabatan ketua ada 5 calon, untuk sekretaris ada 7 calon, untuk bendahara ada 4 calon, dan untuk pembantu umum ada calon. Jika dalam susunan pengurus itu tidak boleh seorang pun yang dicalonkan pada jabatan atau lebih. Dengan berapa cara susunan pengurus itu dapat dibentuk? 7. Untuk mengikuti lomba KEMAMPUAN MIPA di tingkat Kabupaten, akan dipilih wakil untuk pelajaran matematika, fisika, kimia, dan biologi. Masing-masing untuk pelajaran ditempatkan seorang wakil. Bila untuk matematika tersedia 8 calon, Fisika 5 calon, Kimia 6 calon, dan Biologi 4 calon. Ada berapa cara pemilihan pasangan dapat dilakukan? 8. Berapa banyaknya huruf dapat dibentuk dari kata SHOLAT, apabila : a. Huruf terakhir adalah konsonan? b. Huruf terakhir adalah huruf A? 9. Berapakah banyaknya bilangan antara 500 dan 900 yang dapat disusun dari angka,, 4, 5, dan 6, jika pada penyusunan bilangan itu tidak boleh ada pengulangan angka? 0. Delapan orang terdiri atas pria dan 6 wanita. Mereka mendapatkan 8 kursi sebaris ketika menonton pertunjukan. Jika pria harus menempati di ujung-ujung kursi, ada berapa cara mereka duduk?. Dari kotak A, B, dan C berturut turut berisi 5 bola merah, 6 bola kuning, dan 4 bola hijau. Seorang mengambil sebuah bola dari masing masing kotak sehingga mendapat bola yang berlainan warna. Berapa cara agar mendapatkan bola yang berlainan warna tersebut?. Seorang karyawan dalam bertugas setiap harinya melewati 4 gedung. Dari gedung ke gedung ada 5 jalan, dari gedung ke gedung 4 ada 6 jalan, dari gedung ke gedung ada 5 jalan, dari gedung ke gedung 4 ada jalan, namun dari gedung ke gedung tidak ada jalan. Setelah sampai dari gedung 4 orang tersebut kembali ke gedung melalui gedung atau gedung. Ada berapa cara orang tersebut untuk keluar dari gedung tempat dia bekerja? a. Jika waktu pulang boleh melalui jalan yang sama. b. Ketika pulang tidak boleh melalui jalan yang sudah dilewati.. Dari angka-angka 0,,, 4, 5, 6, 7, dan 9 akan disusun suatu bilangan puluhan ribu. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan tersebut: a. Merupakan bilangan yang habis dibagi 0 dan angka tidak berulang? b. Merupakan bilangan genap dan kurang dari ?

41 BAB I Peluang 9 4. Nyatakan dengan notasi faktorial: a c b. p.(p ).(p ).(p ) d. (k+).(k + ).k.(k ).(k ) 5. Seseorang akan pergi dari kota A ke kota F seperti gambar di bawah ini: Ada berapa jalan yang mungkin di lalui dari kota A ke kota F tersebut? 6. Hitunglah: a. 7! d. b. 0! e. c. 8! 5! f. 7! 5!.! 4!.5!!.!!.4!.5!!.! g. h. i. 0! (0 )! 00! 98! 0! (0 )! 7. Sederhanakan: a. (n )! (n + )! b. (n )! (n )! (n + )! (n + )! c. d. (n )! (n + )! (n )! (n 4)! 5!! 8. Hitunglah n dari: ( n + )! a. 4 d. n! n!.(n )! b. ; n e. (n )! (n )! (n + )!!.(n )! n! 6 (n )! n! (n )!

42 0 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 4). Pengertian Permutasi a). Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun : a. Satu huruf, maka diperoleh susunan huruf A, B, C, dan D ! 4! Jumlahnya susunan ada 4 kemungkinan..! (4 )! b. Dua huruf yang berbeda, maka diperoleh susunan: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, ! 4! CB, BD, DB, CD, dan DC. Jumlah susunan ada 4..! (4 )! c. Tiga huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian, yaitu huruf pertama dapat ditempati 4 huruf yang tersedia, huruf kedua dapat ditempati huruf sisa yang tersedia, dan huruf ketiga dapat ditempati dua huruf sisa yang 4! 4! tersedia. Jumlah susunan ada 4 4..! (4 )! d. Empat huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian 4! 4! diperoleh jumlah susunan sebanyak ! (4 4)! Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek yang berbeda dengan k < n diperoleh jumlah susunan: n.(n ).(n )... (n k + ) n.(n ).(n )... (n k + ).(n k).(n k )..... (n k).(n k )..... n! (n k)! Susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k < n sering di dipopulerkan dengan istilah Permutasi k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia. n Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis n P k, atau dapat dirumuskan : P k n n! (n k)! Contoh 9 Berapa banyak permutasi huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, dan E. Sebagai huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dari 5 huruf yang tersedia, yaitu A, B, C, D, atau E. Misalkan terpilih huruf A. Setelah huruf pertama dipilih, ada 4 huruf untuk memilih huruf ke dua, yaitu B, C, D, dan E. Berdasarkan kaidah perkalian, banyak susunan seluruhnya adalah 5 x 4 0. Dengan menggunakan permutasi, berarti permutasi objek dari 5 objek yang tersedia: 5! P (5 )!.. P k