GEOMETRI ANALITIK DATAR. Oleh: Dr. Susanto, MPd

Transkripsi

1 GEOMETRI ANALITIK DATAR Oleh: Dr. Susnto, MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 0

2 KATA PENGANTAR Puji syukur dipnjtkn kehdirt Alloh SWT ts segl rhmt, tufiq, dn hidyhny yng telh dilimphkn, sehingg terselesiknny buku pegngn kulih untuk mt kulih Geometri Anlitik Dtr. Mt Kulih ini memut mteri tentng gris lurus, lingkrn, ellips, hiperbol, prbol, sert koordint dn persmn kutub. Selnjutny penulis menydri bhw buku ini msih belum sempurn; untuk itu dimohon tnggpn bik berup kritik dn srn kepd pembc demi kebikn buku pegngn kulih ini. Akhirny mudh-mudhn buku ini bermnft bgi pembc. Penulis ii

3 DAFTAR ISI Hl. HALAMAN JUDUL.. i KATA PENGANTAR. ii DAFTAR ISI.. iii BAB I GARIS LURUS.. BAB II LINGKARAN.. BAB III ELLIPS.. 9 BAB IV HIPERBOLA.. 6 BAB V PARABOLA BAB VI KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB.. 44 DAFTAR KEPUSTAKAAN. 47 iii

4 BAB I GARIS LURUS Perhtikn gmbr dibwh ini. Y B A P O X Mislkn dikethui gris AB dengn A(x, y ) dn B(x, y ). P(x, y) dlh sebrng titik pd gris AB tersebut. Vektor-vektor OA, OB, dn AB, msing-msing ditulis dengn, b, dn c. Gris AB dpt didefinisikn dri titik A dn B dengn menggunkn vektor sebgi berikut. x, y c ; R x, y x y y, y ( x x ),( x x, y y ( x x),( y y) x x x x y y y y Selnjutny persmn dits dinmkn persmn gris lurus yng mellui titik A(x, y ) dn B(x, y ).

5 Y g N P(x,y) R O Q X Perhtikn gmbr dits, ON = n disebut pnjng norml gris g. ON tegk lurus pd gris g. dlh sudut yng dipit oleh norml ON dn sumbu X positif. Ambil sebrng titik P(x,y) pd gris g. Q dlh proyeksi titik P pd sumbu X dn R dlh proyeksi titik Q pd ON. OQR + = 90 o dn OQR + PQR = 90 o mk PQR =. OR = OQ Cos = x Cos RN = PQ Sin = y Sin x RN = PQ Sin = y Sin x Perhtikn bhw OR + RN = ON, mk x Cos + y Sin = n. Kren titik P sebrng titik pd gris lurus g, mk hubungn terkhir ini menytkn persmn gris g. Persmn bentuk itu dinmkn persmn norml dri Hess tu disingkt persmn norml tu persmn Hess. Kren n dlh pnjng norml, mk n sutu bilngn positif. Contoh Tentukn persmn norml sutu gris lurus dengn pnjng norml 5 stun dn besr sudut pit gris tersebut dengn sumbu rh positif dlh 35 o. Jwb

6 Persmn norml gris g dlh: x cos 45 o + y sin 45 o = 5 x y 5 Apbil kedu rus dri persmn tersebut msing-msing diklikn diperoleh persmn:, mk X + y = 5. Selnjutny pndng bentuk umum persmn gris lurus Ax + By + C = 0. Apbil kedu rus persmn ini diklikn k dengn k 0, mk diperoleh: KAx + kby + kc = 0. Jik dibndingkn dengn persmn norml, mk diperoleh hubungn k A + k B = k (A + B ) = k = A B Sehingg persmn norml dri Ax + By + C = 0 dlh A A B x A B B y A C B 0 Dri norml ini dpt disimpulkn bhw jrk titik sl O ke gris lurus dengn persmn Ax + By + C = 0 dlh C (dipilih hrg positifny). A B Contoh Ubhlh persmn-persmn gris lurus berikut ini menjdi bentuk persmn norml. Kemudin tentukn jrk gris-gris tersebut msing-msing ke titik sl O. ) 5x y = 9 b) 3x 4y + 0 = 0. 3

7 Jwb ) 5x y 9 = 0 k = 5 ( ) 69 3 Alterntif (-9) bilngn negtif, mk hrg k dipilih yng bertnd positif, sehingg k =. Jdi persmn norml dlh x y 0, sedngkn jrk ke titik sl O dlh stun pnjng b) 3x 4y + 0 = 0 k = = 3 ( 4) 5 5 Kren 0 dlh bilngn positif, mk nili k dipilih yng bertnd negtif, yitu k = 5 Jdi bentuk persmn normlny dlh 3 4 x y 0, sedngkn jrk ke titik sl O dlh stun pnjng. 5 5 Perhtikn du gris lurus yng berpotongn g : y = m x + n g : y = m x + n sebgimn gmbr berikut ini, 4

8 Y g g O X Tnjkn gris g dlh m = tg, dn tnjnkn gris g dlh m = tg. dlh sudut yng dibentuk oleh gris g dn gris g. Selnjutny kn dicri, yitu = -. tg tg( ) tg tg tg tg. tg Sehingg m m tg m m Jdi m m y rctg m m Dengn memperhtikn hrg-hrg tertentu dri dpt ditentukn posisi kedu gris tersebut. ) Jik = 0, mk m = m. Ini berrti du gris tersebut sejjr tu berimpit. Du gris tersebut kn sejjr pbil n n dn du gris tersebut berimpit, pbil n = n. 5

9 b) Jik hrg tg besr tk berhingg, yitu = 90 o, mk + m m = 0 tu m = - m. Ini berrti du gris tersebut sling tegk lurus. Contoh Tentukn persmn gris lurus yng mellui titik A(,) dn mengpit sudut yng besrny 45 o dengn gris x + 3y + 4 = 0 Jwb Gmbr dibwh ini dlh skets dri ketentun-ketentun dlm sol dn gris g dn g dlh gris-gris yng mengpit sudut yng besrny 45 o dengn gris x+3y+4=0. Y g g A(,) O X 45 0 x+3y+4 Tnjkn gris x + 3y + 4 = 0 dlh m = - 3. Mislkn tnjkn gris g yng dicri dlh m, mk 6

10 tg45 o m m m m m 3 m 3 m m 3 3 m 5 Jdi persmn gris g dlh gris dengn tnjkn m = 5 dn mellui titik A(, ), yitu Y = 5 (x ) X 5y + 3 = 0 Tnjkn gris g dlh m = -5, sehingg persmn Y gris g dlh Y = -5(x ) 5x + y = 0. g g Pd persmn norml sutu gris lurus, dpt lngsung ditentukn T(x,y ) jrk titik d sl O ke gris tersebut. Selnjutny kn ditentukn n jrk titik sebrng ke gris lurus tertentu. X Y g g n N T(x, y ) d O X 7

11 Pd gmbr dits gris g memiliki persmn norml x cos + y sin - n = 0 dn titik T(x, y ) yng berjrk d dri gris g. Dpt ditentukn persmn norml gris g yng mellui titik T(x, y ) dn sejjr dengn gris g. Jels bhw pnjng norml dri gris g dlh (n + d), mk persmn norml gris g dlh x cos + y sin - (n+d) = 0. Kren titik T(x, y ) pd gris g, mk koordint-koordint titik T memenuhi persmn gris g, sehingg diperoleh x cos + y sin - (n + d) = 0 Jdi d = x cos + y sin - n. Dengn cr yng sm dpt ditentukn pul jrk tersebut pbil titik-titik O dn T terletk sepihk terhdp gris g, sehingg diperoleh d = -(x cos + y sin - n) Kren d dlh jrk, mk niliny hrus positif, sehingg hrus dimbil hrg mutlkny. d = x cos y sin n Jik persmn grisny merupkn persmn untuk umum, mk untuk menentukn jrk sutu titik pd gris tersebut hrus diubh ke persmn norml. Kren persmn norml gris Ax + By + C = 0 dlh A B C + x y 0 A B A B A B mk jrk titik T(x, y ) ke gris tersebut dlh d = Ax By C A B y mx n Bentuk persmn norml gris y = mx + n dlh 0, mk jrk m titik T(x, y ) ke gris tersebut dlh d = y mx n m 8

12 Contoh Tentukn jrk titik P ke gris g, pbil ) P(, 3) dn g : 3x 4y 3 = 0 b) P(-4, ) dn g : y = x Jwb ) d = ( 4) = ( 4) 6 6 b) d = 5 ( ) 5 5 Sol-sol Ltihn. Gmbrlh sepsng sumbu koordint dn gmbrlh kedudukn titik-titik dengn koordint (4, ), (-, 3), (-, -4), (5, -5), (0, 6), dn (-5, 0). Tulislh koordint-koordintny dismping titik tersebut.. Gmbrlh sebuh segitig dengn titik-titik sudut A(0, ), B(, 5), dn C(-, 4). Buktikn bhw segitig tersebut merupkn segitig sm kki. 3. Dikethui sebuh segitig dengn titik-titik sudut P(-3, ), Q(0, -), dn R(5, 4). Buktikn bhw segitig tersebut merupkn segitig siku-siku dn gmbr segitig tersebut. 4. Dikethui rus gris dengn titik-titik ujung A(-5, -6) dn C(0, ). Buktikn bhw titik B(4, -) terletk pd rus gris tersebut. 5. Dikethui sebuh segitig dengn titik-titik sudutny dlh A(3, 0), B(-, 4), dn C(-5, -3). Tentukn koordint-koordint titik bertny. (titik bert segitig dlh titik perpotongn ketig gris bertny). 6. Titik P(3, 0) dlh titik pust sebuh lingkrn titik A(-, 7) dlh titik ujung sebuh gris tenghny. Tentukn koordint-koordint titik ujung linny dri gris tengh tersebut. 9

13 7. Dikethui titik A(4, 7). Tentukn persmn gris lurus yng sejjr sumbu-x dn mellui titik A. Tentukn pul persmn gris lurus yng sejjr sumbu-y dn mellui titik A. 8. Tentukn persmn gris lurus yng mellui O(0, 0) dn P(-, 5). Tentukn pul tnjkn dri gris lurus tersebut. 9. Tentukn tnjkn dn persmn gris lurus yng mellui O(0, 0) dn yng mengpit sudut 60 o dengn sumbu-x rh positif. 0. Dikethui titik A(, 4) dn B(3, -). Tentukn tnjkn dn persmn gris lurus yng mellui titik-titik A dn B.. Tentukn persmn gris lurus dengn tnjkn m = dn mellui titik (0, 4).. Crilh persmn gris lurus yng mellui titik (-, ) dn mengpit sudut 35 o dengn sumbu-x rh positif. 3. Tentukn koordint-koordint titik-titik potong dengn sumbu-sumbu koordint dn tnjkn gris 3x 5y + 5 = Sutu lingkrn dengn titik pust (3, -) dn titik (9, ) dlh slh stu titik ujung sebuh gris tenghny. Tentukn koordint-koordint titik ujung linny dri gris tengh tersebut. 5. Tentukn psngn gris mendtr (sejjr sumbu-x) yng memotong sumbu y di titik sejuh 5 stun di ts titik sl. 6. Tentukn psngn gris vertikl yng memotong sumbu-x di sebuh titik sejuh 4 stun sebelh kiri titik sl. 7. Tentukn persmn gris lurus yng mellui titik (-5, ) dengn tnjkn. 8. Tentukn persmn gris lurus yng tnjknny dlh memotong sumbu-y di sebuh titik 7 stun dibwh titik sl. dn yng 9. Tentukn persmn gris lurus yng tnjknny dlh dn yng memotong sumbu-x di sebuh titik 3 stun sebelh knn titik sl. 0. Tentukn persmn gris lurus yng mellui titik-titik (, -) dn (-5, 4). 0

14 . Tentukn persmn gris lurus yng mellui titik (, 0) dn (0, b).. Tentukn persmn gris lurus yng mengpit sudut 45 o dengn sumbu-x rh positif dn mellui titik A(3, ). 3. Tentukn persmn gris lurus yng mellui titik P(, 3) dn yng sejjr dengn gris x + y 3 = Tentukn persmn gris lurus yng mellui titik T(-, -4) dn yng tegk lurus pd gris x y + = Dikethui titik-titik A(, 3) dn B(4, -). C dlh titik tengh rus gris AB. Tentukn persmn gris lurus yng mellui C dn yng tegk lurus AB. 6. Dikethui A(-, -) dn B(5, 5). Tentukn sumbu rus gris AB. 7. Ubhlh persmn gris g berikut menjdi persmn norml. Kemudin tentukn jrk titik P ke gris g. ) g : 3x 4y + 5 = 0 dn P(-, 3) b) g : x + 5y 9 = 0 dn P(, -). 8. Crilh persmn gris lurus yng mellui titik potong gris-gris x + 3y 7 = 0 dn x + y 9 = 0 sert berjrk sm dri titik-titik A(3, -) dn B(-, 6). 9. Apbil dlh sudut lncip yng dibentuk oleh gris-gris x y 3 = 0 dn gris x 3y + 5 = 0. Tentukn tg. 30. Tentukn pnjng norml dri gris 5x y 3 = Tentukn persmn gris bert ABC yng mellui A dengn A(3, -), B(-, 4), dn C(6, -). 3. Tentukn persmn gris yng mellui titik sl dn tegk lurus pd gris yng mellui titik-titik A(-5, ) dn B(, 4). 33. Tentukn persmn gris yng mellui titik (3, -) dn mengpit sudut 45 0 dengn gris y = x +.

15 BAB II LINGKARAN Definisi Lingkrn dlh himpunn titik-titik (pd bidng dtr) yng jrkny dri sutu titik tertentu sm pnjngny. Y O r T(x,y) X Pd gmbr dits titik pust lingkrn di O(0, 0) dn jri-jri r stun pnjng. Untuk menentukn persmn lingkrn dpt dimbil sebrng titik pd lingkrn mislny T(x, y). Jrk titik T dn titik O dlh x y. Pdhl jrk titik-titik t dn titik O dlh r, mk diperoleh hubungn bhw x y = r tu x + y = r. Kren T(x, y) dlh sebrng titik pd lingkrn, mk setip titik pd lingkrn berlku x + y = r. Jdi persmn lingkrn dengn pust O(0, 0) dn jri-jri r dlh x + y = r. Dengn cr yng mirip, dpt ditentukn persmn lingkrn dengn pust titik P(, b) dn jri-jri r stun sebgi berikut. Y T(x,y) P(,b) O X

16 Mislkn gmbr dits dlh lingkrn dengn pust P(, b) dn jri-jri r stun. Untuk menentukn persmn lingkrn ini dpt dimbil sebrng titik pd lingkrn, mislny T(x, y). Jrk titik-titik T dn P dlh ( x b ) ( y ). Pdhl jrk titik-titik T dn P dlh jri-jri lingkrn yitu r; mk diperoleh hubungn ( x b ) ( y ) = r tu (x ) + (y b) = r. Kren T(x, y) dlh sebrng titik pd lingkrn itu, mk setip titik pd lingkrn itu memenuhi hubungn tersebut. Ini berrti bhw persmn lingkrn yng berpust di titik P(, b) dengn jri-jri r stun dlh (x ) + (y b) = r. Contoh Tentukn persmn lingkrn yng berpust di titik (4, -3) dn berjri-jri 5 stun. (jwb: (x 4) + (y + 3) = 5). Contoh Tentukn persmn lingkrn yng berpust di titik P(, 3) dn mellui titik Q(-, 5). (jwb: (x ) + (y 3) = 3). Perhtikn persmn sutu lingkrn dengn pust (, b) dn jri-jri r, yitu (x ) + (y b) = r. Rus kiri dri persmn ini dpt diurikn menjdi: x + y x by + + b r = 0. Selnjutny persmn terkhir ini dpt dituliskn dlm bentuk 3

17 x + y + Ax + By + C = 0. Persmn bentuk terkhir ini dinmkn persmn bentuk umum sutu lingkrn. Apbil dikethui persmn bentuk umum sutu lingkrn: x + y + Ax + By + C = 0, mk dpt dicri koordint-koordint titik pust dn jri-jriny. Persmn bentuk umum tersebut dpt diubh menjdi: x + Ax + 4 A + y + By + 4 B = A + 4 B C (x + A) + (y + B) = A + B C. Dri persmn terkhir ini, dpt disimpulkn bhw titik pust lingkrn dlh (- A, - B) dn jri-jriny dlh A B C 4 4 Contoh 3 Tentukn koordint-koordint titik pust dn jri-jri sebuh lingkrn dengn persmn 4x + 4y 4x + 6y 9 = 0. (jwb: Titik pustny (, -) dn jri-jri 3. Contoh 4 Tentukn persmn lingkrn yng mellui tig titik P(, 0), Q(0, ) dn T(, ). (jwb: 3x + 3y 7x 7y + 4 = 0) Y y = mx + n O X 4

18 Pd gmbr dits dikethui gris y = mx + n dn lingkrn x + y = r. Selnjutny dpt dicri persmn gris singgung pd lingkrn yng sejjr gris dengn persmn y = mx + n. Kren gris singgung yng dicri hrus sejjr gris dengn persmn y = mx + n, mk dpt dimislkn gris singgung tersebut dlh y = mx + k. Kren gris ini menyinggung pd lingkrn, mk d sebuh titik yng koordint-koordintny memenuhi pd persmn gris mupun persmn lingkrn. Sehingg dpt diperoleh x + (mx + k) + r ( + m )x + mk + k - r = 0 Persmn ini dipndng sebgi persmn kudrt dlm x. Kren gris singgung dn lingkrn hny mempunyi titik persekutun, mk persmn kudrt hny mempunyi stu hrg x, syrtny dlh diskriminn dri persmn tersebut hrus sm dengn nol; sehingg didpt: k = r m. Jdi persmn gris singgungny dlh y = mx + r y = mx r m dn m Dengn cr yng sm dpt diturunkn bhw persmn gris singgung pd lingkrn (x ) + (y b) = r yng sejjr dengn gris y = mx + n dlh y b = m(x ) + r y b = m(x ) - r m dn m. Contoh 5 Tentukn persmn gris singgung pd lingkrn berikut dn yng mengpit sudut 60 o dengn sumbu-x rh positif. ). x + y = 6 b). x + y 4x 6y 3 = 0 (jwb : () x3 + 8 dn x3 8, (b) y = x dn y = x ). 5

19 Pd gmbr dibwh ini lingkrn x + y = r dn titik P(x, y ) yngterletk pd lingkrn. Akn dicri persmn gris singgung pd lingkrn di titik P. Y Q(x,y ) P(x,y ) O X Dimbil titik Q(x, y ) pd lingkrn pul, mk persmn gris PQ dlh y y = y x y x (x x ). Kren titik P dn Q pd lingkrn, mk berlku x + y = r dn x + y = r. Apbil kedu persmn ini dikurngkn, mk diperoleh y x y x x = - y x y Dengn persmn ini, persmn gris PQ dits dpt ditulis menjdi x y y = - y x y (x x ) Jik Q mendekti P sehingg hmpir x = x dn y = y mk gris PQ berubh menjdi gris singgung lingkrn di titik P, yitu: x x + y y = r. Jdi persmn gris singgung lingkrn x + y = r di titik (x,y ) dlh x x + y y = r. Dengn cr yng sm dpt diturunkn bhw persmn gris singgung pd lingkrn (x ) + (y b) = r dengn titik singgung (x, y ) dlh (x )(x ) + (y b)(y b) = r. Contoh 6 Tentukn persmn gris singgung pd lingkrn 6

20 ). x + y = 5 di titik (4, -3). b). x + y 4x 6y = 0 di titik (-, 7). jwb: () 4x 3y + 5 dn (b) 3x + 4y 3 = 0). Contoh 7 Dikethui persmn lingkrn x + y + x 9 = 0 dn titik B(, 6). Tentukn titik pust dn jri-jri lingkrn. Selidiki pkh titik di bgin dlm, pd, tu di lur lingkrn. Selnjutny tentukn persmn gris singgung pd lingkrn yng mellui titik B. (jwb: x y + = 0 dn x + y 8 = 0). Dengn ilustrsi yng mirip pd pembhsn dits, dpt ditentukn bhw Y T(x 0,y 0 ) S (x,y ) S (x,y ) O X Koordint-koordint titik-titik S dn S memenuhi persmn x o x + y o y = r. Gris ini mellui titik-titik singgung S dn S dn bis disebut tli busur singgung dri titik T. Selnjutny persmn ini pul disebut persmn gris kutub T(x o, y o ) terhdp lingkrn x + y = r. Sol-sol. Tentkn titik pust dn jri-jri lingkrn x + y + 4x 6y + 9 = 0.. Tentukn persmn lingkrn yng bertitik pust di (, -) dn mellui titik (4, ). 3. Tentukn jri-jri lingkrn 9x + 9y 54x + 8y + 65 = 0 7

21 4. Tentukn persmn lingkrn yng mellui O(0, 0), P(4, 0), dn Q(0, ). 5. Tentukn persmn gris singgung lingkrn (x ) + (y + ) = 4 yng sejjr dengn gris 5x y + 5 = Tentukn persmn gris singgung pd lingkrn x + y x + y 7 = 0 di titik (, ). 7. Tentukn persmn gris kutub titik (,-) terhdp lingkrn (x + 3) + (y ) = 9. 8

22 BAB III ELLIPS Definisi Ellips dlh himpunn semu titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu tetp besrny. Y T(x,y) F O X F Mislkn titik-titik pi (fokus) F, F pd sumbu-x dn sumbu F F dlh sumbu- Y. Jik F F = c mk F (c, 0) dn F (-c, 0). Mislkn jumlh jrk yng tetp itu dlh, dengn c. Ambil T(x, y) sebrng titik yng memenuhi definisi, yitu TF TF Berrti ( x y c) + ( x y c) = ( x y c) = - ( x c) y Setelh kedu rus dikudrtkn dn dijbrkn kit peroleh: -4cx 4 = - ( x c) y Kedu rus dikudrtkn lgi dn dijbrkn sehingg diperoleh: ( c )x + y = ( c ) () Kren c mk c 0; sehingg dpt ditulis c = b Sehingg dri persmn () dits menjdi: b x + y = b tu 9

23 x b y.() Kren T(x, y) sebrng titik yng dimbil, mk setip titikny memenuhi x b y. Persmn () ini disebut persmn pust dri ellips tu persmn knonik dri ellips. c disebut eksentrisits liner c disebut eksentrisits numerik, ditulis e. Kren c mk 0 e = c. Y T(x,y) P(,) O X Persmm ellips yng pustny P(, ) dn sumbu-sumbuny sejjr dengn ( x ) ( y ) koordint dlh b Contoh Tentukn persmn ellips yng titik-titik piny terletk pd sumbu-x dn 3 simetris terhdp titik O sert sumbu pnjngny 0, eksentrisits numerik e =. 5 (jwb: x y ) 0

24 Sutu gris lurus dpt memotong ellips, menyinggung, tu tidk memotong dn tidk menyinggung ellips. Dlm hl yng terkhir gris dn ellips tidk mempunyi titik persekutun. Selnjutny kn dicri persmn gris singgung yng grdienny m. Mislkn persmn gris yng grdienny m dlh y = mx + p dn persmn x y ellips. b Absis titik-titik potong gris dn ellips diperoleh dri: x ( mx p) b tu (b + m )x + mpx + (p b ) = 0 Gris menyinggung ellips jik titik-titik potongny berimpit. Hl ini terjdi pbil persmn kudrt dits mempunyi du kr yng sm tu pbil diskriminnny sn dengn nol. Sehingg D = ( mp) - 4 (b + m ) (p b ) = 0 Berrti p = b m Jdi persmn gris singgung yng grdienny m dlh y = mx Contoh b m Crilh persmn gris singgung pd ellips x + 4y = 0 yng tegk lurus gris dengn persmn x y 3 = 0. (jwb: y = -x 5 Selnjutny kn dicri persmn gris singgung pd ellips dengn titik singgung T(x, y ). Y P(x,y ) T(x,y ) F O X F

25 x y Mislkn persmn ellips b berlku: dn P(x, y ) sutu titik pd ellips, mk y b x tu b x + y = b. Kren T(x,y ) pd ellips mk berlku b x + y = b. Dri kedu persmn dits didpt b (x x ) = - (y y ) Setelh dijbrkn diperoleh: b ( x x) ( y y ) y x y x Persmn gris PT dlh y y b ( x x) y y = ( x x) tu y y ( x x) x x ( y y ) Jik P mendekti T sedemikin P sngt dekt dengn T sehingg x = x dn y = y. Akibtny PT menjdi gris singgung di titik T dn persmnny dlh: x x y y b. ( x ) ( y ) Untuk ellips dengn persmn, mk persmn gris b ( x )( x ) ( y )( y ) singgung di titik (x, y ) dlh b Contoh 3 Crilh persmn gris singgung pd ellips x y 30 4 di titik yng bsisny 5. Contoh 4 x Crilh persmn gris singgung pd ellips y dri titik T(, -). 4 (jwb: x = tu y = -).

26 Sift utm gris singgung pd ellips sebgi berikut: Gris singgung di sutu titik pd ellips membgi du sm besr sudut ntr gris penghubung titik itu dengn titik pi yng stu dn perpnjngn gris penghubung titik tersebut dengn titik pi linny. Perhtikn gmbr dibwh ini. T(x,y ) OO A A O x y Mislkn persmn ellips dits dlh dn titik-titik A b (x, y ) dn koordint A (x, y ) merupkn titik-titik singgung dri gris-gris singgung ellips yng mellui titik T(x, y ) dilur ellips. ' ' x x y y Persmn gris singgung di A dlh b ' ' x x y y Kren T pd gris singgung mk..() b '' '' x x y y Persmn gris singgung di A dlh b '' '' x x y y Kren T pd gris singgung mk..() b Dri () dn () dpt disimpulkn bhw titik-titik A dn A terletk pd gris x x y y dengn persmn. b Persmn ini disebut persmn tli busur singgung dri titik T(x, y ). 3

27 Sol-sol. Dri titik C(0,-8) dibut gris yng menyinggung ellips x y. Tentukn 5 6 persmn tli busur yng menghubungkn kedu itik singgung tersebut.. Gris x y 5 = 0 menyinggung ellips yng titik-titik piny F (-3, 0) dn F (3, 0). Tentukn persmn ellips yng memenuhi persyrtn tersebut. 3. Tentukn persmn gris singgung pd ellips x y 30 4 dengn gris 4x y + 3 = 0. yng sejjr 4. Tentukn persmn tli busur ellips x y yng dibgi du sm 8 4 pnjng oleh titik A(, ). 5. Dri titik pi sebelh knn ellips x y 45 0 dipncrkn sinr yng mengpit sudut (tg = -) dengn sumbu x positif. Tentukn persmn gris yng dillui sinr pntulny. 6. Tentukn lus jjr genjng yng du titik sudutny dlh titik-titik pi dri ellips x y 9 5 pendek dri ellips. dn du titik linny berimpit dengn ujung-ujung sumbu 7. Dikethui eksentrisits dri ellips dlh e = dn jrk dri titik M pd 5 ellips ke slh stu gris rhny dlh 0. Tentukn jrk dri titik M ke titik pi yng bersesuin dengn gris rh tersebut. 8. Sutu ellips menyinggung sumbu-x di titik A(3, 0) dn menyinggung sumbu-y di di B(0, -4). Sumbu-sumbu simetriny sejjr sumbu-sumbu koordint. Tentukn persmn ellips tersebut. 9. Dri titik P(-6, 9) dibut gris singgung pd ellips x y. Tentukn 4 3 jrk dri titik P ke gris yng menghubungkn titik-titik singgung tersebut. 4

28 0. Tentukn persmn ellips yng sumbu-sumbuny berimpit dengn sumbusumbu koordint dn yng menyinggung du gris 3x y 0 = 0 dn x + 6y 0 = 0. 5

29 BAB IV HIPERBOLA Definisi: Hiperbol dlh himpunn titik-titik yng selisih jrkny terhdp du titik tertentu tetp besrny. Berdsrkn definisi tersebut dpt dicri persmn hiperbol sebgi berikut. Y T(x,y) F O X F Mislkn titik-titik pi F (-c,0), F (c,0) pd sumbu-x dn sumbu dri F F dlh sumbu-y. Jik F F = c mk F (c, 0) dn F (-c, 0). Mislkn selisih jrk yng tetp tersebut dlh, dengn c. Ambil T(x, y) sebrng titik dri himpunn yng dicri, mk dipenuhi TF TF = Berrti x c y - x c y = x c y = + x c y Setelh kedu rus dikudrtkn dn dijbrkn diperoleh x c cx = y Jik kedu rus dikudrtkn lgi diperoleh (c )x y = (c ) Kren < c mk c > 0 sehingg dpt dituliskn c = b sehingg didpt: 6

30 b x y = b Kren T sebrng titik pd himpunn, mk setip titik dri himpunn tersebut berlku: b x y = b x y tu b Persmn dits disebut persmn hiperbol. Titik O(0, 0) sebgi titik pust hiperbol. Titik-titik F dn F disebut titik-titik pi. Sumbu x dn sumbu y disebut sumbu-sumbu simetri. Kren titik titik potong hiperbol dengn sumbu x dlh nyt, mk sumbu x disebut sumbu nyt. Sedngkn titik potong hiperbol dengn sumbu y c dlh khyl, sehingg sumbu y disebut sumbu khyl. Bilngn e = > disebut eksentrisits numerik. Y T(x,y) F P(,) X F Persmn hiperbol yng pustny P(, ) dn sumbu-sumbuny sejjr dengn ( x ) ( y ) sumbu-sumbu koordint diperoleh b x y Titik-titik potong hiperbol dengn gris y = mx dlh b 7

31 b, b m mb b m dn b, b m mb b m Jik b m > 0 mk d du titik potong yng berlinn Jik b m < 0 mk tidk d titik potong tu titik potongny khyl Jik b m = 0 mk titik potongny di juh tk terhingg. b Dlm hl jik m = mk gris y = mx menyinggung hiperbol di juh tk terhingg. Gris-gris y = b x disebut simtot-simtot hiperbol. x y Persmn simtot-simtot dpt dinytkn jug sebgi 0 b dn x y b x y 0, sehingg susunn simtotny dlh 0. b Y d P(x,y ) d F O X F x c x c Definisi hiperbol yng lin dlh sebgi berikut: hiperbol dlh tempt kedudukn titik-titik yng perbndingn jrkny terhdp sutu titik dn sutu gris tertentu tetp besrny dn perbndingn ini lebih besr dri. Selnjutny titik tersebut dinmkn titik pi dn grisny dinmkn gris rh (direktrik). Penjelsnny sebgi berikut. 8

32 x y Mislkn P(x, y ) sebrng titik pd hiperbol. b Mk jrk P terhdp titik pi F (c, 0) dlh d = x c y Dn jrk P terhdp titik pi F (-c, 0) dlh d = Berrti d d = 4cx ; sedngkn d d =.. () x c y Jdi d + d = cx.() Dri () dn () diperoleh d = c c x dn d = c x c Selnjutny pndng gris-gris x = c Mk d = Mk d = Gris-gris x = Contoh c c x =. Jrk titik P ke gris x = c c c c x =. Jrk titik P ke gris x = - c c disebut gris-gris rh tu direktrik dri hiperbol. c Crilh persmn hiperbol, jik titik-titik piny terletk pd sumbu x, simetris terhdp O dn persmn simtotny y = titik-titik piny 0. (jwb: x y ) 4 x sedngkn jrh ntr kedu 3 Contoh 9

33 Crilh persmn hiperbol, jik titik-titik piny terletk pd sumbu x, simetris terhdp O dn persmn simtotny y = 3 x sedngkn jrk kedu gris 4 4 rhny. 5 jwb: x y Y T(x,y) F P(,) X F y = mx+n Selnjutny dpt dicri persmn gris singgung pd hiperbol sebgimn mencri persmn gris singgung pd ellips. x y Didpt bhw persmn gris singgung pd hiperbol b dengn koefisien rh m dlh y = mx m b. ( x ) ( y ) Jik persmn hiperbol, mk gris singgung dengn b koefisien rh m, persmnny y - m( x ) m b. x y Persmn gris singgung prbol b xx y y dlh. b di titik singgung (x, y ) ( x ) ( y ) Jik persmn hiperbol, mk persmn gris b singgung di titik (x, y ) dlh 30

34 ( x )( x ) ( y )( y ) b Adpun sift utm gris singgung dlh sebgi berikut: gris singgung pd sutu titik pd hiperbol membgi du sm besr sudut-sudut ntr gris-gris yng menghubungkn titik singgung dengn titik pi. Seperti pd ellips, terdpt du gris singgung mellui stu titik T di lur ellips, demikin pul pd hiperbol. xx y y Tnp memperhtikn letk titik T(x, y ), persmn b disebut x y persmn gris kutub dri T terhdp hiperbol. b Jik T di lur hiperbol mk gris kutub menjdi tli busur singgung. Jik T pd hiperbol mk gris kutub menjdi gris singgung. Jik T di dlm hiperbol mk gris kutub berup gris yng tidk memotong hiperbol. Contoh Tentukn persmn gris singgung pd hiperbol x y yng sejjr gris x 3y + 9 = 0. (jwb: 3y = 0x 3) Contoh Dri titik C(, -0) dibut gris singgung pd hiperbol x y. Tentukn 8 3 persmn gris yng menghubungkn kedu titik singgungny. (jwb: 0y = 3 4x) 3

35 x b y Selnjutny kn dicri syrt gr gris y = mx memotong gris lengkung. Absis-bsis titik potong dpt dicri sebgi berikut: x m x b Berrti x = tu (b m )x = - b. b. m b x y Jdi gris y = mx dn gris lengkung kn b (i) berpotongn di du titik jik m b b b > 0 tu m > tu m < - (ii) tidk berpotongn jik m b < 0 tu - b < m < b (iii) menyinggung di juh tk hingg jik m = b. x y Persmn dlh persmn sutu hiperbol yng tidk b memotong sumbu x tetpi memotong sumbu y di titik-titik (0, b) dn (0, -b). Berrti sumbu x sumbu khylny. Sedngkn persmn simtot-simtotny dlh b b y = x dn y = - x Titik-titik piny dlh F (0, c) dn F (0, -c) dn gris-gris rhny dlh b b y = dn y = - c c Eksentrisits numerikny dlh e = b c. x y Hiperbol-hiperbol b disebut hiperbol sekwn. x y dn b pd sutu susunn sumbu 3

36 Jik sutu hiperbol = b, mk hiperbol ini disebut jug hiperbol orthogonl. Contoh Tentukn persmn hiperbol yng titik-titik pinyterletk pd sumbu y dn simetris terhdp titik O yng memenuhi syrt bhw jrk kedu gris rhny 7 dn sumbu b = 0. 7 Jwb: x y 4 5 Berikut ini dlh tempt kedudukn titik-titik yng memenuhi syrt-syrt tertentu. x y. Perhtikn persmn hiperbol dn gris y = mx. Tempt b kedudukn titik-titik tengh tlibusur-tlibusur hiperbol yng sejjr dengn b gris y = mx dlh y = x ; dn persmn ini merupkn persmn m sutu gris tengh hiperbol. Gris-gris tengh y = mx dn y = b x m disebut gris-gris tengh sekwn b dn m = m dn m = disebut rh-rh sekwn. m. Persmn tempt kedudukn titik-titik potong gris-gris singgung pd x y hiperbol yng tegk lurus sesmny, yitu x + y = b. b Persmn ini dlh persmn lingkrn dengn pust O(0, 0) dn jri-jri b. Selnjutny lingkrn ini disebut lingkrn orthoptis dri Monge. 3. Persmn tempt kedudukn titik-titik potong dri gris-gris singgung pd x y hiperbol dengn gris-gris yng tegk lurus pdny dn b mellui titik-titik pi yitu x + y =. Persmn ini dlh persmn 33

37 lingkrn dengn pust O(0, 0) dn jri-jri. Selnjutny lingkrn ini disebut lingkrn titik kki. Lingkrn orthoptis dri sutu hiperbol orthogonl berup lingkrn titik dn gris-gris singgung pd hiperbol itu yng sling tegk lurus dlh simtotsimtotny. Mislkn titik P (x, y ) dn Q (-x, -y ) ujung-ujung gris tengh hiperbol x b y. Ujung-ujung gris tengh sekwnny dpt dicri sebgi berikut. x y Persmn gris singgung di P (x, y ) pd hiperbol b x x y y b. dlh Berrti grdien gris singgung di P dlh m = b x y Sedngkn grdien P Q dlh m = y. Jdi m m = x b. Hl ini menunjukkn bhw gris singgung di P sejjr dengn gris tengh yng sekwn dengn gris tengh P Q. Persmn gris tengh yng sekwn dengn P Q dlh y = b x y x. Absis titik-titik potong gris ini dengn hiperbol dicri sebgi berikut. b x b x x b 4 y tu ( y b x )x = y. Kren P (x, y ) pd hiperbol mk didpt x = y b y b tu x yi. b Berrti titik-titik potongny khyl yitu b b y i, xi dn yi, xi. b b 34

38 Akn tetpi dpt diperiks bhw P b b b y i, xi dn Q y, x b x y terletk pd hiperbol sekwnny. b Jik sutu gris tengh tidk memotong hiperbol, mk yng dimksud dengn ujung-ujungny dlh titik-titik potongny dengn hiperbol sekwnny. Mislkn OP = dn OP =. Mk diperoleh OP = = x + y dn OP b b b y x b x y y b Berrti b b = b Jdi 4 4b = 4 4b. x Sol-sol. Titik A(-3, -5) terletk pd hiperbol yng titik piny F(-, -3) dn gris rh yng bersesuin dengn titik pi ini dlh x + = 0. Tentukn persmn hiperbol yng memenuhi persyrtn dits. 5. Tentukn nili p gr gris y = x x + p menyinggung hiperbol y Tentukn persmn gris singgung pd hiperbol x y 0 5 lurus gris 4x + 3y 7 = 0. yng tegk 35

39 4. Tentukn koordint titik M pd hiperbol x y yng terdekt ke gris 4 8 3x + y + = Gris x y 4 = 0 menyinggung hiperbol yng titik-titik piny F (-3, 0) dn F (3, 0). Tentukn persmn hiperbol tersebut. 6. Tentukn lus derh segitig yng dibentuk oleh simtot-simtot hiperbol x y 4 9 dn gris 9x + y 4 = Titik-titik pi sutu hiperbol berimpit dengn titik-titik pi ellips x y 5 9. Jik eksentrisits numerik e =, mk tentukn persmn hiperbol tersebut. 8. Tentukn persmn hiperbol yng titik-titik piny pd punck-punck ellips x y dn gris-gris rhny mellui titik-titik pi dri ellips tersebut. 9. Tentukn persmn hiperbol yng sumbu-sumbuny berimpit dengn sumbu koordint dn menyinggung du gris 5x 6y 6 = 0 dn 3x 0y 48 = Tentukn persmn tli busur dri hiperbol x y 6 4 oleh titik B(6, ). yng dibgi du 36

40 BAB V PARABOLA Definisi: Prbol dlh himpunn titik-titik yng berjrk sm dri sutu titik dn sutu gris tertentu. Berdsrkn definisi ini dpt ditentukn persmn prbol sebgi berikut. g Y T(x,y) A O F X Mislkn titik yng dimksud dlh F dn gris yng dimksud dlh gris g; perpotongn gris g dengn sumbu x dlh A; sumbu y dibut mellui titik tengh AF dn tegk lurus sumbu x. Mislkn jrk AF p. Mk F p,0) ; dn persmn gris g dlh x = - p ; dn T(x, y) sebrng titik pd prbol, mk berlku TF = jrk T ke gris g tu ( x y p) = x + p Setelh kedu rus dikudrtkn dn dijbrkn diperoleh y = px. Persmn ini disebut dengn persmn punck prbol Titik F disebut titik pi. Titik O disebut punck prbol Gris x = - p disebut gris rh tu direktrik Sumbu x merupkn sumbu simetri dri prbol p dn disebut prmeter prbol 37

41 Berdsrkn definisi prbol, eksentrisits prbol dlh e =. g Y T(x,y) A F P(,) X Dengn menggunkn trnslsi susunn sumbu, dpt ditentukn bhw persmn prbol yng punckny P(, ) dn sumbu simetriny sejjr sumbu x dlh (y - ) = p(x - ). Contoh Tentukn persmn prbol yng punckny di O, sumbu simetriny berimpit dengn sumbu x dn prbolny terletk di setengh bidng bgin kiri dn mellui titik (-, ). Jwb: y = -4x. Contoh Tentukn persmn prbol yng titik piny F(7, ) dn persmn gris rhny x 5 = 0. Jwb: y 4y 4x + 8 = 0. y = mx+n Y y = px O X 38

42 Persmn gris singgung pd prbol dengn grdien m dpt ditentukn sebgi berikut. Mislkn persmn prbolny dlh y = px dn persmn gris yng grdienny m dlh y = mx + n, dengn n prmeter. Absis titik-titik potong gris dn prbol tersebut diperoleh dri persmn (mx + n) = px, tu dri persmn m x + (mn p)x + n = 0. Gris kn menyinggung prbol jik kedu titik potongny berimpit tu bsis kedu titik potongny sm. Berrti hrus terpenuhi persmn 4(mn p) 4m n = 0. p Dri persmn dits khirny diperoleh n =. m Jdi persmn gris singgung pd prbol y = px dengn grdien m dlh p y = mx +. m Jik persmn prbolny (y - ) = p(x - ), mk persmn gris singgung p dengn grdien m dlh (y - ) = m(x - ) +. m Y T(x,y ) O X y = mx+n Persmn gris singgung pd prbol y = px di titik singgung T(x, y ) dpt ditentukn sebgi berikut. Mislkn Persmn gris singgung ny dlh y = mx + n. Mk bsis titik singgungny dpt diperoleh dri persmn (mx + n) = px, tu m x + (mn p)x + n = 0. Kren hny d stu titik singgung mk bsisny dlh (mn p) p mn x = m m dn ordintny dlh.. (i) 39

43 y = p mn p m( ) n.. (ii) m m Jdi grdien gris singgungny dlh m = p. y Dri persmn (i) dn (ii) dn y y = px, diperoleh n =. Jdi persmn gris singgung pd prbol y = px di T(x, y ) dlh Y = p y y y x tu y y px tu y y = p(x + x ). Jik persmn prbolny (y - ) = p(x - ), mk persmn gris singgung di T(x, y ) dlh (y - )(y - ) = p(x + x - ). Kren grdien gris singgung di T(x, y ) dlh p y mk grdien gris normlny dlh y y y = ( x x ). p y. Jdi persmn gris norml di T(x, y ) dlh p Y S T O X S Persmn gris singgung pd prbol y = px yng mellui titik T(x, y ) di lur prbol dpt ditentukn sebgi berikut. Mislkn titik singgungny S(x o, y o ). Mk persmn gris singgung di S dlh y o y = p(x + x o ). Kren gris singgung ini mellui titik T(x, y ) mk hrus memenuhi y o y = p(x + x o ). Kren (x o, y o ) pd prbol, mk y o = px o. Akhirny diperoleh persmn gris singgung mellui T di lur prbol. 40

44 Contoh Tentukn persmn gris singgung yng mellui titik T(-, -3) pd prbol y = 8x. Jwb: x + y + 8 = 0 dn x y + = 0. Contoh Tentukn titik A pd prbol y = 8x yng terdekt dengn gris x + y 3 = 0. Jwb: (, -4). Mislkn persmn prbol y = px. Titik-titik S(x, y ) dn T(x, y ) merupkn titik-titik singgung dri gris-gris singgung yng ditrik dri titik P(x o, y o ) di lur prbol. Persmn gris singgung di S dn di T berturut-turut y y = p(x + x ) dn y y = p(x + x ). Kren gris-gris singgung tersebut mellui P mk berlku y y o = p(x o + x ) dn y y o = p(x o + x ). Ini berrti titik-titik S dn T memenuhi persmn Y o y = p(x + x o ). Persmn ini disebut persmn gris kutub dri P terhdp prbol y = px. Jik P pd prbol mk gris kutub menjdi gris singgung. Jik P di lur prbol mk gris kutub menjdi tli busur singgung. Jik P di dlm prbol mk gris kutub tidk memotong prbol. Y T O F X 4

45 Adpun sift utm gris singgung dlh sebgi berikut: gris singgung di sutu titik pd prbol membgi du sm besr sudut ntr gris yng menghubungkn titik singgung dengn titik pi dn gris yng mellui titik singgung sejjr dengn sumbu x. (buktikn). Berikut ini kn disjikn beberp tempt kedudukn titik yng memenuhi syrt tertentu. () Tempt kedudukn titik-titik tengh tlibusur-tlibusur yng sejjr dengn p gris yng grdienny m dlh y =. m () Tempt kedudukn titik potong gris-gris singgung pd prbol yng tegk lurus sesmny dlh x = - p (persmn gris rh prbol tu gris orthoptis dri Monge). (3) Tempt kedudukn titik-titik potong gris-gris yng mellui titik pi dn tegk lurus gris-gris singgung pd prbol dlh x = 0 tu sumbu y (gris titik kki). Sol-sol. Tentukn persmn prbol yng simetris terhdp OX, punckny di titik sl, dn mellui titik A(9, 6).. Tentukn persmn prbol yng punckny di O, terletk di tengh-tengh bidng ts, simetris terhdp OY, dn prmeter p = Dri titik pi prbol y = x dipncrkn sinr yng membentuk sudut 3 lncip (tg = ) dengn sumbu x positif. Tentukn persmn gris yng 4 dillui sinr pntul tersebut. 4. Tentukn persmn gris singgung pd prbol y = 6x yng tegk lurus gris y = x

46 5. Dri titik A(-, ) dibut gris-gris singgung pd prbol y = 0x. Tentukn persmn gris yng menghubungkn titik-titik singgungny. 6. Tentukn persmn prbol yng titik piny F(4, 3) dn gris rhny y + = Tentukn titik-titik pd prbol yng jrkny 3 dri titik pi prbol tersebut. 8. Tentukn titik pd prbol y = 64x yng terdekt dengn gris 4x + 3y 4 = Dri titik P(-3, ) dibut gris singgung pd prbol y = 0x. Tentukn jrk titik P ke gris yng menghubungkn titik-titik singgung tersebut. 0. Tentukn persmn prbol yng punckny di A(-, -) dn persmn gris rhny x + y = 0. 43

47 BAB VI KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB Sebuh titik P (selin titik kutub/titik sl) dinytkn kedudukn oleh titik O ke P dn sudut ntr gris OP dn sumbu kutub. Apbil r dlh jrk ntr titik O dn titik P; sedngkn dlh slh stu sudut ntr OP dn sumbu kutub, mk (r, ) dlh sepsng koordint kutub dri titik P dn ditulis P(r, ). Selnjutny r disebut jri-jri penunjuk dri P tu rdius vektor dri P, sedngkn disebut rgumen dri P tu sudut kutub dri P. Y r P(x,y) O X Seperti hlny dengn sistem koordint krtesius siku-siku, dpt disusun persmn krtesius dengn peubh-peubh x dn y; mk dengn sistem koordint kutub, dpt pul disusun persmn kutub dengn peubh-peubh r dn ; mislny r = 8 sin dn r =. cos Contoh Gmbrlh grfik persmn kutub r = 8 sin. Contoh Gmbrlh grfik dri r =. cos 44

48 Dlm sistem koordint kutub, wlupun d sepsng koordint tertentu yng tidk memenuhi sutu persmn, tetpi ini tidk perlu mengkibtkn bhw titik yng bersngkutn tidk terletk pd grfik persmn tersebut. Mislny titik P(, ) terletk pd grfik dn memenuhi persmn r =. Tetpi koordint P dpt jug dinytkn cos dengn P(-,. cos 3 3 ) dn (-, ) tidk memenuhi persmn r = Hubungn koordint kutub dn koordint krtesius dpt diperoleh sebgi berikut. r = x y = rc cos = rc sin x x x y y y. Contoh Tentukn koordint krtesius dri titik yng koordint kutubny dlh 4,. Tentukn pul koordint kutub dri titik yng koordint 6 krtesiusny dlh 3, 3. Contoh Tunjukkn dengn jln menuliskn dlm persmn krtesius bhw grfik persmn r = sin dlh sebuh lingkrn; dn bhw grfik persmn r = dlh sebuh prbol. cos 45

49 Sol-sol. Skets grfik persmn kutub r = 6 cos. Berup pkh grfikny?. Skets grfik persmn kutub r = 5. Berup pkh grfikny? cos 3. Ubhlh persmn krtesius (x ) + y = 4 menjdi persmn kutub. 4. Ubhlh persmn kutub r = menjdi persmn krtesius. sin 46

50 DAFTAR KEPUSTAKAAN Moehrti Hdiwidjojo, Ilmu Ukur Anlitik Bidng, Yogykrt: FPMIPA-IKIP Yogykrt, 974. Purcell, Edwin J (Penterjemh: Rwuh, Bn Krtssmit), Klkulus Dn Geometri Anlitis Jilid I, Jkrt: Erlngg, 984. Thoms, George B., JR., Clculus nd Anlytic Geometry, Jpn Publictions Trding Compny, Ltd,