(b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real. Perhatikan Tabel berikut:

Transkripsi

1 BAB I TEORI GRUP Mengwli ini, kit kemli menengok ke elkng p seelumny. Mislkn S himpunn yng tk kosong, kit efinisikn A(S) himpunn semu pemetn stu-stu ri S p S. Untuk serng f,g i A(S) kit kenkn opersi perklin fog yitu komposisi ri fungsi f n g. Bersrkn penyeliikn, kit telh peroleh fkt erikut.. Jik f,g A(S), mk fog jug lm A(S). Fkt ini mengtkn hw engn opersi komposisi fungsi, A(S) ersift tertutup.. Untuk serng tig unsur f,g,h A(S), erlku fo(goh) = (fog)oh. Fkt ini mengtkn hw opersi komposisi lm A(S) memenuhi sift sositif. 3. Terpt i S unsur yng sngt khs lm A(S) yng memenuhi, i S of = f = foi S untuk setip fa(s). i S ini iseut unsur ientits untuk A(S) reltif terhp opersi komposisi lm A(S). 4. Untuk setip fa(s), terpt unsur f jug lm A(S) seemikin sehingg fof = i S = f of. Fkt ini menunjukkn hw setip unsur lm A(S) memiliki invers yng jug lm A(S). Bersrkn penyeliikn i A(S) khususny pil S mempunyi 3 unsur tu leih, mk pt kit temukn unsur-unsur f n g lm A(S) seemikin sehingg fog gof. Fkt-fkt yng pt kit peroleh lm A(S) segimn ikemukkn i ts merupkn slh stu contoh yng mengilhmi ny konsep grup seperti isjikn p Definisi. erikut.

2 .. DEFINISI. Sutu himpunn G yng tk kosong iktkn mementuk grup, jik lm G pt iefinisikn sutu opersi iner, yng inmkn opersi perklin, itulis. seemikin sehingg ()..G, untuk setip,g ()..(.c) = (.).c, untuk semu,,cg (3). Terpt unsur eg seemikin sehingg.e = e. =, untuk setip G (4). Untuk setip G, terpt - G seemikin sehingg. - = -. = e. Selnjutny, sutu grup G iktkn Aelin (Komuttif), jik untuk setip,g erlku. =.. Grup yng tik komuttif iseut Grup Non- Aelin. Setelh memperhtikn Definisi., mk secr muh kit pt menyimpulkn hw A(S) engn opersi komposisi i lmny seperti ikemukkn i ts (seelum Definisi.) merupkn grup, meskipun ukn grup Aelin. Jik S himpunn hingg n memiliki n unsur, mk grup A(S) kn isimol engn S n. Hl lin yng menji krkteristik sutu grup lh jumlh unsurny. Jumlh unsur ri sutu grup G, isimol o(g), n iseut ore ri G. Tentu sj, jik kit ingin memicrkn ciri ini, mk hny kn menrik pil o(g) hingg (finite). Grup G yng o(g) hingg, iseut grup hingg... CONTOH-CONTOH : (). Mislkn G himpunn ilngn ult, n kit rtikn opersi iner. untuk,g lh penjumlhn p ilngn ult, yitu. = +. Mk seger pt itunjukkn hw G ersift tertutup engn opersi ini, kren hsil penjumlhn u ilngn ult jug

3 merupkn ilngn ult. Demikin jug sift sositif engn opersi ini p ilngn ult, jels ipenuhi. Selnjutny, yng erpern segi e lm G lh 0 kren untuk setip G, erlku + 0 = = 0 +, n setip unsur G mempunyi - = - jug unsur lm G. (). Mislkn G = {,-} iwh opersi perklin p ilngn rel. Perhtikn Tel erikut: Bersrkn Tel i ts pt iliht hw G ersift tertutup, pt itunjukkn hw opersiny memenuhi sift sositif, unsur ientitsny lh e =. Selnjutny, - = n ( ) - = -. Leih ri itu, pt jug itunjukkn hw G mementuk grup komuttif engn o(g) = (c). Jik S = {x,x,x 3 }. S 3 lh himpunn semu fungsi - ri S p S, ierikn opersi komposisi p fungsi-fungsi, mk S 3 = {e, f, g, fog, g, gof} engn f : x x g : x x x x x x 3 x 3 x 3 x 3 x o e f g fog g gof e e f g fog g gof f f e fog g gof g 3

4 g g gof g f e fog fog fog g gof e f g g g fog e gof g f gof gof g f g fog e Dengn memperhtikn tel i ts, mk S 3 engn opersi komposisi fungsi ersift tertutup, sift sositif lm S 3 engn opersi ini ipenuhi segi sift wrisn opersi komposisi fungsi-fungsi serng, kemuin engn opersi ini S 3 memiliki unsur ientits, yitu pemetn ientits e, n setip unsur lm G memiliki invers lm S 3 jug, yitu: e - = e S 3, f - = f S 3, g - = g S 3, (fog) - = fog S 3, (g ) - = g S 3, n (gof) - = gof S 3, Dri sini errti hw S 3 mementuk grup. Kren gof fog mk S 3 ukn grup Aelin. Dengn emikin S 3 mementuk grup hingg non-aelin engn o(s 3 ) = 6. Untuk menyeerhnkn entuk, selnjutny untuk serng,g kn igunkn notsi. =. Kemuin kit jug kn menytkn, 0 = e, =, =, 3 =,, k = k-. Demikin jug kit nytkn, - = ( - ), -3 = ( - ) 3,, -k = ( - ) k. (). Mislkn n serng ilngn ult positif. Kit konstruksi sutu grup ore n segi erikut. G = { i i = 0,,,n}, engn menefinisikn 0 = e, i j = i+j jik i + j < n, n i j = i+j-n, jik i + j n. Dpt engn muh iuktikn hw G mementuk grup. Grup ini iseut grup siklik ore n. Untuk memperjels contoh ini, mislkn n = 5, mk kit mempunyi G = {e,,, 3, 4 }. Selnjutny perhtikn Tel erikut. 4

5 . e 3 4 e e e 3 4 e e 4 4 e 3 Jels, engn opersi yng ierikn, G ersift tertutup. Selnjutny pt engn muh itunjukkn hw engn opersi ini, lm G erlku sift sositif. Kemuin, hw lm G terpt unsur ientits, yitu e, n setip unsur lm G memiliki invers lm G yitu: e - = eg, - = 4 G, ( ) - = 3 G, ( 3 ) - = G, n ( 4 ) - = G. Leih ri itu, hw jik i n j serng lm G, mk i j = i+j = j+i = j i untuk i + j < 5 n i j = i+j = j+i = j i untuk i + j 5, engn emikin lm G erlku sift komuttif. Ji, G merupkn grup Aelin (periks!). (e) Mislkn G = {, -, i, -i, j, -j, k, -k} n lm G ilengkpi engn opersi perklin, engn hsil lengkp ri pengopersin unsurunsur lm G, isjikn p tel erikut.. - i -i j -j k -k - i -i j -j k -k - - -i i -j j -k k i i -i - k -k -j j -i -i i - -k k j -j j j -j -k k - i -i -j -j j k -k - -i i k k -k j -j -i i - 5

6 -k -k k -j j i -i - Dengn memperhtikn tel i ts, mk G engn opersi perklin ersift tertutup. Selnjutny, pt itunjukkn hw opersi lm G memenuhi sift sositif. Unsur ientits lm G lh. Untuk setip unsur lm G memiliki invers lm G jug, yitu: - = G, - - = -G, i - = -ig, (-i) - = ig, j - = -jg, (-j) - = jg, i - = -kg n (-k) - = kg. Dri sini errti hw G mementuk grup. Kren ij ji, mk G ukn grup Aelin. Dengn emikin G mementuk grup hingg non-aelin engn o(g) = 8. Grup ini ikenl grup Quternion. (f) Mislkn G = c,, c, R, c 0 engn opersi perklin mtriks lm G, yitu jik A = c n B = w y x z mtriksmtriks serng lm G, mk c 0 n wz xy 0. Sekrng, perhtikn hw AB = c w y x w y z cw y x z cx z Jels, entri-entri mtriks p rus knn lh ilngn-ilngn rel. Kemuin, (w + y)(cx + z) (cw + y)(x + z) = ( c)(wz xy) 0. Ini menunjukkn hw, ABG. Hukum sositif ipenuhi oleh perklin mtriks-mtriks lm G, kren. jik A = c lm G, mk p r q s w y x z, B =, n C = mtriks-mtriks serng 6

7 A(BC)= = c c p r q w s y x pw qy = z c rw sy pw qy rw sy px qz rx sz pw qy rw sy cpx qz rx sz = p r w q s y p r x q s z cp r w cq s y cp r x cq s z px rx qz sz p r q s w = cp r cq s y x z = (AB)C. Selnjutny, I = 0 0 lh unsur G kren () 0(0) = 0, n kit kethui hw I merupkn mtriks ientits reltif terhp opersi perklin mtriks. Akhirny, jik A = c G, mk c 0. Sekrng pnng mtriks D = c c c c c merupkn unsur lm G, kren yng ingun ri A. Mtriks D ini c c c - c c c = 0. c c Oleh kren AD = I = DA, mk errti B = A -. Ini melengkpi pemuktin hw G seuh grup. Sekrng, jik kit memilih mtriks-mtriks P = 0 3 n Q = 3, mk jels P n Q unsur-unsur i G, kren.3 0. = 6 0 n 3..(-) =

8 8 PQ = = = = QP. Ini merupkn sutu ukti hw G grup yng tik komuttif (non-aelin). (g). Mislkn G =,,,, c c c R engn opersi perklin mtriks. Perhtikn hw jik A = c n B = z y x w mtriks-mtriks serng lm G, mk c = n wz xy =. Sekrng, perhtikn hw AB = z cx y cw z x y w z y x w c. Jels, entri-entri mtriks p rus knn lh ilngn-ilngn rel. Kemuin, (w + y)(cx + z) (cw + y)(x + z) = ( c)(wz xy) =. =. Ini menunjukkn hw, ABG. Hukum sositif ipenuhi oleh perklin mtriks-mtriks lm G. Hl ini pt ipnng segi sift yng iwrisi ri Contoh.(e). Selnjutny, I = 0 0 lh unsur G kren () 0(0) =, n kit kethui hw I merupkn mtriks ientits reltif terhp opersi perklin mtriks. Akhirny, jik A = c G, mk c =. Sekrng pnng mtriks D = c c c c c yng ingun ri A. Mtriks D ini

9 merupkn unsur lm G, kren c c c - c c c c =. Oleh kren AD = I = DA, mk errti B = A -. Ini melengkpi pemuktin hw G seuh grup. = Sekrng, jik kit memilih mtriks-mtriks P = 0 n Q = 3. =. PQ =, mk jels P n Q unsur-unsur i G, kren.(½) 0. = n = = 0 = QP. Ini merupkn sutu ukti hw G grup yng tik komuttif (non-aelin). (h). Mislkn G =, R, 0 engn opersi perklin mtriks. Perhtikn hw jik A = n B = w x x w mtriks-mtriks serng lm G, mk + 0 n w + x 0. Sekrng, perhtikn hw AB = w x x w = w x x w n. x w w x (w - x) + (x + w) = ( + )(w + x ) 0. Ini menunjukkn hw, ABG. Hukum sositif ipenuhi oleh perklin mtriks-mtriks lm G. Hl ini pt ipnng segi sift iwrisi ri Contoh.(e). 9

10 Selnjutny, I = 0 0 lh unsur G kren + 0 = 0, n kit kethui hw I merupkn mtriks ientits reltif terhp opersi perklin mtriks. Akhirny, jik A = G, mk + 0. Sekrng pnng mtriks D = merupkn unsur lm G, kren yng ingun ri A. Mtriks D ini + = Oleh kren AD = I = DA, mk errti B = A -. Ini melengkpi pemuktin hw G seuh grup. 0. Sekrng, jik P = p q q p n R = r s s r mtriks-mtriks lm G serng, mk PR = p q q r p s s r pr qs ps qr = qr ps qs pr rp qs rq ps = sp rq sq rp r s p q = s r q p = RP. Ini memuktikn hw G merupkn grup komuttif (Aelin). (i) Perhtikn hw setip lm G segimn p Contoh.(g) pt inytkn segi I + J imn I = 0 0, n J = 0

11 0 0. Sekrng pnng G = {I + J,R, + 0} engn I n J segimn iseutkn i ts. Perhtikn hw untuk setip I + J n I + J lm G, iperoleh ( I + J)( I + J) = ( - )I + ( + )J, kren J.J = - I, n pt itunjukkn hw ( - ) + ( + ) = ( + )( + ) 0, engn emikin ( I + J)( I + J) G. Ji engn opersi ini lm G, sift ketertutupnny ipenuhi. Selnjutny, pt itunjukkn engn muh hw opersi lm G memenuhi sift sositif. Kemuin, perhtikn hw I G, kren I = I + J ipenuhi oleh = n = 0. Leih ri itu, untuk serng I + J G, I( I + J) = I + J = ( I + J)I, oleh kren itu I merupkn unsur stun lm G. Selnjutny, jik I + J G serng, mk errti + 0. Dri sini kit peroleh Oleh kren itu + = I - J G, n 0. ( I + J)( I - J) = I = ( I - engn emikin ( I + J) - = I - J. Ini melengkpi pemeriksn kit hw G mementuk grup. J) ( I + J),

12 Terkhir, jik I + J n I + J unsur-unsur lm G serng, mk ( I + J)( I + J) = ( - )I + ( + )J = ( )I + ( + )J = ( I + J)( I + J). Ji G sutu grup komuttif. (j). Mislkn G p = c,, c, il. ult moulo p, p il. prim, c 0 engn opersi perklin p ilngn ult moulo p. Segi ilustrsi, mislkn p =, mk iperoleh G = {I, A, A, A 3, A 4, A 5 }, imn I = 0 0 0, A =, A = , A 3 =, A 4 =, n A 5 =. Untuk meliht hw G mementuk grup, kit perhtikn tel erikut. 0. I A A A 3 A 4 A 5 I I A A A 3 A 4 A 5 A A I A 4 A 5 A A 3 A A A 5 I A 4 A 3 A A 3 A 3 A 4 A 5 I A A A 4 A 4 A 3 A A A 5 I A 5 A 5 A A 3 A I A 4 Dri Tel i ts, mk iperoleh hw G engn opersi perklin mtriks ilngn ult moulo ersift tertutup, kemuin pt itunjukkn hw opersi ini memenuhi sift sositif. Selnjutny, engn opersi ini G memiliki unsur ientits, yitu I = 0 0, n setip unsur lm G memiliki invers lm G jug, yitu: I - = I G, A - = A G, A -

13 = A G, A - 3 = A 3 G, A - 4 = A 5 G, n A - 5 = A 4 G. Dri sini errti hw G mementuk grup. Kren A A = A 5 A 4 = A A mk G ukn grup Aelin. Dengn emikin G mementuk grup hingg non-aelin engn o(g ) = LEMMA. Jik G grup, mk () Elemen ientits ri G lh tunggl. ()Setip G mempunyi invers tunggl lm G (c) Untuk setip G, erlku ( - ) - =. ()Untuk semu,g, () - = - -. BUKTI. Untuk memuktikn gin (), cukup kit memislkn e n f keuny unsur-unsur ientits lm G. Pnng e segi unsur ientits lm G n f segi sutu unsur lm G. Mk hrus memenuhi f = ef. Selikny, jik kit memnng f segi unsur ientits lm G n e segi sutu unsur ri G, mk jug kit memperoleh huungn e = ef. Oleh krenny kit peroleh e = f. Ini menunjukkn hw unsur ientits lm G lh tunggl. Selnjutny, mislkn G serng. Jik x n y unsur-unsur lm G yng keuny merupkn invers ri, mk erlku x = e = x n y = e = y. Oleh kren itu kit peroleh x = ex = (y)x = (y)x = y(x) = ye = y. Ini memuktikn hw invers ri tunggl. Bgin (c) iperoleh engn memperhtikn hw - ( - ) - = e = -. Menurut gin () i ts isimpulkn hw ( - ) - =.. Bgin () pt itunjukkn hw ( )( - - ) = (( ) - ) - = (( - ) - = (e) - = - = e. n jug ( - - )() = - ( - ()) = - (( - 3

14 )) = - (e) = - = e. Menurut Lemm.3(), isimpulkn hw () - = ( - - )..4. LEMMA. Dierikn,G, mk persmn x = n y = mempunyi solusi tunggl untuk x n y lm G. Khususny, hukum-hukum pencoretn () u = w mengkitkn u = w; n () u = w mengkitkn u = w. erlku lm G. BUKTI. Perhtikn hw jik x =, mk ( - ) = ( - ) = e =. Oleh kren itu solusi untuk x gi persmn x = lh x = -. Untuk memuktikn ketunggln solusi ini, mislkn x jug solusi ri persmn x =. Mk x =. Dri sini iperoleh x = ex = ( - )x = - (x ) = -. Ini memuktikn ketunggln solusi ri persmn x =. Perhtikn hw jik y =, mk ( - ) = ( - ) = e =. Oleh kren itu solusi untuk y gi persmn y = lh y = -. Untuk memuktikn ketunggln solusi ini, mislkn y jug solusi ri persmn y =. Mk y =. Dri sini iperoleh y = y e = y ( - ) = (y ) - = -. Ini memuktikn ketunggln solusi ri persmn y =. Selnjutny, jik u = = w, mk kit pt memnng u n w segi solusi ri persmn x =. Kren ketunggln solusi ri persmn ini, mk kit peroleh u = w. Ini memuktikn (). Demikin jug, jik u = = w mk kit pt pul memnng u n w segi solusi ri persmn y =. Kren sift ketunggln solusi ri persmn terseut, mk isimpulkn hw u = w, yng melengkpi pemuktin untuk (). 4

15 SOAL SOAL. Berikut ini ierikn himpunn-himpunn G engn menefinisikn opersi i lmny. Perikslh, pkh setip G engn opersi terseut mementuk grup. Jik tik erikn lsn seperluny.. G = himpunn semu ilngn ult engn opersi, =.. G = himpunn ilngn ult positif, engn opersi perklin is p ilngn ult. c. G = { 0,,, 3, 4, 5, 6 }, imn i j = i+j jik i + j < 7 n i j = i+j-7, jik i + j 7.. G = himpunn semu ilngn rsionl engn penyeut ilngn gnjil, engn opersi = +, yitu penjumlhn is p ilngn rsionl.. Buktikn hw jik G sutu grup elin, mk untuk semu,g n semu ilngn ult n, erlku () n = n n [Petunjuk: Gunkn prinsip Inuksi Mtemtik]. 3. Jik G sutu grup seemikin sehingg () =, untuk semu,g, tunjukkn hw G elin. 4. Dlm S 3, erikn seuh contoh ri u unsurny x, y seemikin sehingg (xy) x y. 5. Dlm S 3, tunjukkn hw terpt empt unsur yng memenuhi x = e n tig unsur yng memenuhi y = e. 6. Tunjukkn hw jik setip unsur lm grup G merupkn invers ri iriny seniri, mk G elin. 7. Jik G merupkn grup ore genp, uktikn hw G mempunyi sutu unsur e seemikin sehingg = e. 5

16 8. Mislkn G himpunn semu mtriks rel,, imn c 0 sutu ilngn rsionl. Buktikn hw G mementuk grup iwh perklin mtriks. 9. Mislkn G himpunn semu mtriks rel,, imn 0. Buktikn hw G mementuk grup iwh perklin mtriks. Apkh G Aelin? 0.Mislkn G himpunn semu mtriks rel, c 0 0 0, imn 0. Buktikn hw G mementuk grup elin iwh perklin mtriks. 6

17 BAB II SUBGRUP Mrilh kit mengingt kemli grup semu ilngn ult G engn opersi penjumlhn p ilngn-ilngn ult, kemuin kit memislkn H himpunn semu ilngn ult genp. Jels H ukn himpunn kosong n merupkn himpunn gin sejti ri G. A sesutu yng cukup menrik lm hl ini, jik lm H ierikn opersi iner segimn p G, yitu opersi penjumlhn p ilngn-ilngn ult, mk kit kn memperoleh hw engn opersi yng sm engn lm G, H memenuhi sift-sift: () ketertutupn, lm rti hw penjumlhn serng u ilngn genp menghsilkn ilngn genp, () sositif segi sift yng iwrisi ri G, (3) terpt unsur ientits, yitu ilngn ult genp 0, n (4) setip unsur lm H jug memiliki unsur invers yng jug er i H. Dri keempt sift ini errti H terhp opersi lm G mementuk grup. Definisi erikut ini merupkn konsep sr ri sugrup ri sutu grup yng p prinsipny merupkn entuk perumumn ri fenomenfenomen yng igmrkn mellui contoh-contoh yng slh stuny iilustrsikn p contoh i ts... DEFINISI. Sutu suhimpunn tk kosong H ri G iktkn sugrup ri G, jik engn opersi yng sm engn opersi lm G, H mementuk grup. Perlu icermti,hw Definisi. ini mengtkn hw lm H ikenkn opersi yng sm engn lm G. Oleh kren itu meskipun H 7

18 himpunn gin tk kosong ri G, n H mementuk grup, tetpi engn opersi yng ere engn opersi lm G, mk H uknlh sugrup ri G. Mislkn G grup semu ilngn ult engn opersi penjumlhn segimn p Contoh.() n H = {, -}. H mementuk grup engn opersi perklin p ilngn-ilngn rel, segimn Contoh.(). Dlm ksus ini, meskipun H suhimpunn tk kosong ri G, tetpi H uknlh sugrup ri G. Hl lin yng pt peroleh ri Definisi. i ts, hw jik H sugrup ri G n K sugrup ri H, mk K merupkn sugrup ri G... LEMMA. Sutu suhimpunn tk kosong H ri G merupkn sugrup ri G jik n hny jik (). H, untuk semu,h (). jik H, mk - H. BUKTI. Anggplh H sugrup ri G, mk menurut efinisi, H engn opersi lm G memenuhi..() n..(). Selikny, nggplh syrt..() n..() erlku lm H. Untuk menunjukkn hw H mementuk grup engn opersi lm G, mk kit hrus pt menunjukkn hw lm H erlku sift sositif n ny unsur ientits lm H. Sift sositif, jels ipenuhi, kren H merupkn suhimpunn ri G. Sementr itu untuk memuktikn ny unsur ientits, perhtikn hw mislkn H, mk menurut..(), - H, n - = e. Kren..(), mk eh. Ini melengkpi pemuktin hw H mementuk grup. Ji H merupkn sugrup ri G. Lemm. i ts mengtkn hw pil kit ingin memeriks pkh sutu suhimpunn, H ri grup G merupkn sugrup ri G, mk 8

19 cukup menunjukkn tig hl, yitu: () H ukn himpunn kosong, () engn opersi lm G memenuhi sift ketertutupn, n (3) untuk setip unsur lm H memiliki invers jug lm H..3. LEMMA. Jik H suhimpunn hingg ri grup G, n H tertutup iwh opersi lm G, mk H merupkn sugrup ri G BUKTI. Untuk memuktikn lemm ini, kit cukup memuktikn hw jik H, mk - H. Untuk keperlun ini, mislkn H serng. Kren H tertutup, mk = H, 3 = H,, m H,. Akn tetpi, H himpunn erhingg, oleh kren itu mesti terpt r > s > 0 seemikin sehingg r = s. Dengn hukum pencoretn, iperoleh r-s = e. Kren r - s > 0, mk ini menyekn eh. Selnjutny, kren r s 0, mk r-s- H. Kren r-s- = e = r-s-, mk - = r-s- G..4. CONTOH-CONTOH. (). Mislkn G grup ilngn ult iwh opersi penjumlhn, H suhimpunn ri G yitu himpunn semu ilngn ult keliptn 3, yitu H = {3n n ilngn ult}. H, kren 0 = 3(0), yng errti 0H. Sementr itu, untuk serng, H, kit mempunyi = 3n n = 3n untuk sutu n, n ilngn ult. + = 3n + 3n = (n + n + n ) + (n + n + n ) = (n + n ) + (n + n ) +(n + n ) = 3(n + n ) H, engn emikin H engn opersi lm G ersift tertutup. Selnjutny, - = -(3n ) = - (n + n + n ) = (-n ) + (-n ) + (-n ) = 3(-n ) H. Keseluruhn lngkh ini menunjukkn hw H merupkn sugrup ri G. Kit pt menefinisikn hl serup untuk H n, yitu himpunn semu ilngn ult keliptn n. Mk H n kn mementuk sugrup ri G. 9

20 (). Mislkn S serng himpunn, A(S) himpunn semu fungsi stustu ri S p S. Mk A(S) mementuk grup iwh opersi komposisi fungsi-fungsi. Jik x 0 S, efinisikn H(x 0 ) = {fa(s)f(x 0 ) = x 0 }. Untuk memuktikn hw H(x 0 ) merupkn sugrup ri A(S), pertm-tm kit seger memiliki pemetn ientits, e, segi slh stu unsur lm H(x 0 ), kren e(x) = x untuk semu x S, engn emikin H(x 0 ). Selnjutny, kit mil serng f n f lm H(x 0 ), ( f f )(x 0 ) = f (f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0, engn emikin f f lm H(x 0 ). Kemuin, untuk serng f lm H(x 0 ) yng errti f (x 0 ) = x 0, kren f A(S) mk kit mempunyi f - (x 0 ) = x 0 yng memuktikn hw f - i H(x 0 ), n errti melengkpi pemeriksn kit terhp H(x 0 ) segi sugrup ri A(S). (c). Mislkn G serng grup, G. Mislkn () = { i i = 0,,, }. () merupkn sugup ri G (Periks!). () iseut sugrup siklik ri G yng ingun oleh. Jik untuk sutu, G = <>, mk G iseut grup siklik yng ingun oleh. (). Mislkn G grup ilngn rel tk nol iwh opersi perklin, n mislkn H suhimpunn ri G yng teriri ts semu ilngn rsionl positif, mk H merupkn sugrup ri G. (e). Mislkn G grup ilngn rel iwh opersi penjumlhn, n H himpunn semu ilngn ult, mk H merupkn sugrup ri G. (f). Mislkn G grup semu mtriks rel, 0 iwh opersi perklin mtriks. c, engn c 0

21 Mislkn H himpunn semu mtriks lm G yng erentuk 0. Perhtikn hw 0 0 H, kren ()() = 0, engn emikin H. Sekrng mislkn 0, 0 H serng, mk kit mempunyi 0 n = 0 n ( )( ) = ( )( ) 0, engn emikin 0 0 H. Ji, H engn opersi lm G ersift tertutup. Selnjutny, perhtikn hw jik 0 H mk 0 H, kren = = = 0 0 = 0 0 yng errti hw 0 = 0 H. Ji, H merupkn sugrup ri G.

22 (g). Mislkn G =,,,, c c c R engn opersi perklin mtriks. Telh itunjukkn p Contoh.(f), G mementuk grup. Mislkn H = G, n perhtikn hw 3 3 H, kren + 3 =, engn emikin H. Sekrng mislkn, H serng, mk kit mempunyi + = n + =. = n ( ) + ( + ) = ( + )( + ) =. =, engn emikin H. Ji, H engn opersi lm G ersift tertutup. Selnjutny, perhtikn hw jik H mk jels H, n = 0 0 = yng errti hw = H. Ji, H merupkn sugrup ri G.

23 (h) Mislkn H grup segimn Contoh.4(f), n jik K = 0 R, mk K merupkn sugrup ri H. Perhtikn hw 0 K, kren itu K. 0 Sekrng mislkn 0 = 0 0, 0 Ji, K engn opersi lm H ersift tertutup. K serng, mk 0 0, engn emikin K. Selnjutny, perhtikn hw jik 0 K mk 0 K. 0 0 yng errti hw 0 = 0 = = 0 K. Ji, K merupkn sugrup ri H. (i). Mislkn G grup semu ilngn kompleks yng tk nol, + i imn n ilngn-ilngn rel yng tik keu-uny nol, iwh opersi perklin p ilngn kompleks. Mislkn H = { + i G + = }. Perhtikn hw untuk setip + i n + i lm H, iperoleh ( + i)( + i) = ( - ) + ( + )i, kren i = -. Dpt itunjukkn hw ( - ) + ( + ) = ( + )( + ) =, engn emikin ( + i)( + i) H. Ji engn opersi ini lm G, sift ketertutupnny ipenuhi. Jik + i H, mk - i 3

24 H, kren + i) = = ( - = =, n ( + i)( i) ( + i), engn emikin ( + i) - = - - sugrup ri G. i H. Ini melengkpi pemeriksn kit hw H merupkn.5. DEFINISI Mislkn G grup, n H sugrup ri G. Untuk serng,g, kit mengtkn kongruen moulo H, itulis mo H, jik - H. Selnjutny, kit notsikn himpunn semu x unsur lm G imn kongruen x moulo H engn []. Atu, [] H = {xg x mo H}..6. CONTOH-CONTOH. () Mislkn G grup ilngn ult i wh opersi penjumlhn p ilngn-ilngn ult, n H himpunn semu ilngn ult keliptn 3, yitu H = {3n n ilngn ult}. Perhtikn hw untuk serng ilngn ult k, (3k + ) mo H, kren (3k + ) = -3k =3(-k) H, engn emikin [] H = {3n + n ilngn ult}. Demikin jug, engn cr yng sm kit is peroleh [] H = {3n + n ilngn ult}. () Jik S 3 = {e, g, g, f, fg, fg } = {e, g, g, f, fg, gf}, n H = {e, f}, mk g g mo H, se gg - = e H, n g fg mo H, se g(fg) - = g(fg) = g(g f) = g 3 f = ef = f H. Dengn emikin [g] H = {g, fg}. Jik kit memislkn N = {e, g, g } mk kit mempunyi f f mo N, se ff - = e N, f gf mo N, se f(gf) - = f(fg ) = (ff)g = eg = g N, n f fg mo N, 4

25 5 se f(fg) - = f(fg) = (ff)g = eg = g N. Dengn emikin [f] N = {f, gf, fg} = {f, fg, g f}. (c) Mislkn G grup semu mtriks rel, c, engn c 0 iwh opersi perklin mtriks, n H himpunn semu mtriks lm G yng erentuk 0. P Contoh.4(f) telh itunjukkn hw H merupkn sugrup ri G. Jik A = 3, mk AG, n pil p,q,r ilngn-ilngn rel seemikin sehingg q p, r 0, mk A r r q p = 3 q p r p q p q p r q q p = r q p r q p q p 0 3 H. Ini errti hw A r r q p mo H. Dengn emikin, [A] H = 0,,,, r p q r q p r r q p R. () Mislkn G grup semu ilngn kompleks yng tk nol, + i imn n ilngn-ilngn rel yng tik keu-uny nol, iwh opersi perklin p ilngn kompleks. Mislkn H = { + i G + = }. P Contoh.4(i) telh itunjukkn hw H merupkn sugrup ri G. Jik z = 4 + 3i, mk zg, n pil p, q ilngn-ilngn rel seemikin sehingg p + q = 5, mk z(p + qi) - = (4 + 3i) i q p 5 5 = q p q p i.

26 Kren 3p 4q 5 + 3p 4q 5 5p q = 5 =, mk z(p + qi) - H. Ini errti hw z (p + qi) mo H. Dengn emikin, [z] H = {p + qi G p + q = 5}..7. LEMMA. Mislkn G grup, H sugrup ri G, n,g. Relsi mo H merupkn relsi ekivlen. BUKTI. Untuk memuktikn ini, mk tig hl yng hrus kit tunjukkn, yitu: (i). mo H (ii). Jik mo H, mk mo H; n (iii). Jik mo H n c mo H, mk c mo H. Untuk memuktikn (i), perhtiknlh hw e = -. Kren H sugrup ri G, mk - H. Dengn emikin mo H. Selnjutny, nggplh mo H, mk errti, - H. Perhtikn hw - = ( - ) - - = ( - ) -. Kren - H n H sugrup ri G, mk - = ( - ) - H. Ji mo H. Kemuin, nggplh mo H n c mo H, yng errti hw - H n c - H. Perhtikn hw c - = ( e)c - = ( ( - ))c - = (( - ))c - = ( - )(c - ). Kren - H n c - H, sementr itu H sugrup ri G, mk c - = ( - )(c - )H. Ini memuktikn hw c mo H. Jik G grup semu ilngn ult iwh opersi penjumlhn n H = H n sugrup G yng mengnung semu ilngn ult keliptn n, mk relsi mo H, yitu - H, iwh notsi penjumlhn, menytkn 6

27 sutu keliptn ri n. Dlm Teori Bilngn ini ikenl engn ilngn-ilngn kongruen moulo n..8. DEFINISI. Jik H sugrup ri grup G, n G. Definisikn H = {hhh} n H = {hhh}. H n H, erturut-turut, iseut Koset Knn ri H lm G n Koset Kiri ri H lm G..9. CONTOH-CONTOH. () Mislkn G grup ilngn ult i wh opersi penjumlhn p ilngn-ilngn ult, n H himpunn semu ilngn ult keliptn 3, yitu H = {3n n ilngn ult}. Perhtikn hw H + = {h + hh} = {3n + n ilngn ult}. + H = { + h hh} = { +3n n ilngn ult}. Demikin jug, engn cr yng sm kit is peroleh H + = {h + hh} = {3n + n ilngn ult}. + H = { + h hh} = { +3n n ilngn ult}. () Jik S 3 = {e, g, g, f, fg, fg } = {e, g, g, f, fg, gf}, n H = {e, f}, mk H merupkn sugrup ri S 3. Hg = {eg, fg} = {g, fg}, n gh = {ge, gf} = {g, gf}. P ksus ini terliht hw Hg gh. Jik kit mempunyi N = {e, g, g } mk N jug merupkn sugrup ri S 3. Nf = {ef, gf, g f} = {f, gf, fg} n fn = {fe, fg, fg } = {f, fg, gf}. (c) Mislkn G grup semu mtriks rel, c, engn c 0 iwh opersi perklin mtriks, n H himpunn semu mtriks lm 7

28 8 G yng erentuk 0. P Contoh.4(f) telh itunjukkn hw H merupkn sugrup ri G. Jik A = 3, mk AG, n pil,, n ilngn-ilngn rel seemikin sehingg 0, n 0, mk HA = {hahh} = 0 0, ilngn rel,,, 3 0 = 0 0, ilngn rel,,, 3. Sengkn AH = {AhhH} = 0 0, ilngn rel,,, 0 3 = 0 0, ilngn rel,,, 3. Dri sini nmpk hw, pil kit mempunyi B = 0 H, mk BA = 0 3 = 4, tetpi AB = 3 0 = 3 4, engn emikin AB BA. Ini sutu ukti hw koset knn ri H lm G tik sm engn koset kiri ri H lm G. () Mislkn G grup semu ilngn kompleks yng tk nol, + i imn n ilngn-ilngn rel yng tik keu-uny nol, iwh opersi perklin p ilngn kompleks. Mislkn H = { + i G + = }. P Contoh.4(i) telh itunjukkn hw H merupkn sugrup ri G. Jik z = 4 + 3i, mk

29 H(4 + 3i) = {( + i) (4 + 3i) + = } = {(4 3) + (3 + 4)i + = } = {p + qi G p + q = 5}..0. LEMMA Mislkn H sugrup ri G. Mk untuk semu G, H = [] H = {xg x mo H}. BUKTI. Pertm-tm kit kn tunjukkn hw H [] H. Untuk itu mislkn x H serng. Mk x = h untuk sutu h H. Dri sini, x - = (h) - = ( - h - ) = ( - )h - = eh - = h -. Kren H sugrup ri G, mk h - H. Dengn emikin x - H. Ini mengtkn hw x mo H. Ji x[] H. Ini memuktikn hw H [] H. Selikny, mislkn y[] H serng, mk y - H. Kren H sugrup ri G, mk y - = (y - ) - H. Dengn emikin y - = h untuk sutu hh. Hl ini iikuti y = hh. Ini mengtkn hw yh. Ji [] H H. Ini melengkpi pemuktin H = [] H. Lemm i ts menghsilkn sutu fkt hw G merupkn ekomposisi ri H, untuk semu G. Kren itu, untuk serng u koset knn ri H lm G lh sm tu sling leps... LEMMA. Mislkn G grup n H sugrup ri G, n G. Jik H, mk H = H. BUKTI. Kren H, n H sugrup ri G, mk serng hh erlku hh, engn emikin H H. Selikny, untuk serng hh erlku h = he = h( - ) = (h - ). Kren H sugrup ri G, mk h - H, engn emikin hh, yng mengkitkn H H. Ji H = H. 9

30 .. LEMMA Terpt koresponensi stu-stu ntr serng u koset knn ri H lm G. BUKTI. Mislkn H n H serng u koset knn ri H lm G. Definisikn f : H H, eng f(h) = h, untuk semu hh. Jels f merupkn fungsi ri H ke lm H, se jik h n h lm H serng engn h = h, mk f(h ) = h = h = f(h ). Selnjutny, mislkn x,yh serng seemikin sehingg f(x) = f(y). Mislkn x = h n y = h. Kren f(x) = f(y), mk errti h = h. Dengn menggunkn hukum pencoretn, iperoleh h = h. Ini mengkitkn x = y. Ji, f -. Terkhir, untuk memuktikn hw f sutu surjeksi, mislkn y = h H serng, mk tentu hh, n f(h) = h = y. Kren itu f merupkn sutu koresponensi stu-stu ntr serng u koset knn ri H lm G..3. TEOREMA LAGRANGE. Jik G sutu grup hingg n H sugrup G, mk o(h) merupkn pemgi o(g), yitu, terpt ilngn ult k seemikin sehingg o(g) = ko(h). BUKTI. Perhtikn hw H = He, merupkn sutu koset knn ri H lm G, engn emikin menurut Lemm., hw serng koset knn ri H lm G mempunyi o(h) unsur. Kren G hingg, mk H jug sugrup hingg ri G. Kren itu, mislkn k menytkn nykny koset knn yng ere ri H lm G. Menurut Lemm.0, hw serng u koset knn ri H yng ere lm G tik mempunyi unsur persekutun. Hl ini mengtkn hw o(g) = ko(h). Ini melengkpi pemuktin Teorem Lgrnge. 30

31 Segi konsekuensi ri Teorem Lgrnge.3, jik kit memiliki G = S 3 = {e, g, g, f, fg, fg } yng errti o(g) = 6, mk ore ri H, sugrup serng ri G hny mungkin memiliki ore pemgi ri 6, yitu:, tu, tu 3, tu DEFINISI. Jik H sugrup ri G, ineks ri H lm G lh nykny koset knn yng ere ri H lm G. Kit simolkn i G (H). Dlm ksus G grup hingg, mk i G (H) = o(g)/o(h)..5. DEFINISI. Jik G sutu grup n G, ore (perioe) ri lh ilngn ult positif terkecil m, seemikin sehingg m =e. Jik tik m yng emikin, mk kit ktkn erore tk hingg. Segimn grup, kit jug menggunkn o() untuk menytkn ore ri..6. AKIBAT DARI TEOREMA LAGRANGE. (). Jik G sutu grup hingg, n G, mk o() pemgi ri o(g). BUKTI. Pnng ( ) sugrup siklik ri G yng ingun oleh. ( ) mengnung e,,, 3,. Kren o() = e, mk pling nyk unsur ri () lh o(), se jik tik mk terpt 0 i < j < o() seemikin sehingg i = j. Dengn emikin j-i = e untuk 0 < j i < o(). Ini kontriksi engn keern o() segi ore ri. Kren itu, grup siklik yng ingun oleh mempunyi o() unsur. Menurut Teorem Lgrnge.3, o() merupkn pemgi ri o(g). (). Jik G sutu grup hingg, mk o(g) = e. BUKTI. Dengn menggunkn Akit.6() kit mempunyi o() pemgi o(g), yng errti hw o(g) = mo() untuk sutu ilngn ult m. Oleh kren itu 3

32 o(g) = mo() = ( o() ) m = e m = e. (3) Jik G sutu grup hingg yng oreny ilngn prim p, mk G mementuk grup siklik. BUKTI. Anggplh G mempunyi sugrup H yng nontrivil. Kren o(h) hrus memgi o(g) = p, mk o(h) = tu o(h) = p. Jik o(h) =, mk H = (e), sengkn jik o(h) = p, mk G = H. Sekrng mislkn e G, n H = (). H merupkn sugrup siklik ri G, n H (e), kren e. Ji H = G. Ini mengtkn hw G grup siklik engn ore p, n setip unsur lm G ingun oleh. Mislkn H n K keuny sugrup ri G, efinisikn HK = {xg x = hk, hh, kk}. Contoh ilustrsi, pnng grup S 3, n mislkn H = {e, f}, K = {e, gf}. H n K lh su-su grup siklik ri G engn ore, kren f = (gf) = e. Perhtikn hw HK = {ee, egf, fe, fgf} = {e, gf, f, g }. Disini, HK teriri ts 4 unsur, menurut Teorem Lgrnge, HK ukn merupkn sugrup ri S 3, se 4 ukn pemgi ri o(s 3 ) = 6. Jug perhtikn hw KH = {ee, ef, gfe, gff} = {e, f, gf, g} HK..7. LEMMA Mislkn H, K keuny sugrup ri grup G. HK merupkn sugrup ri G jik n hny jik HK = KH. BUKTI. Aggplh HK = KH; yitu jik hh n kk, mk hk = h k, untuk sutu h H n k K. Untuk memuktikn hw HK sugrup ri G, mk kit hrus pt memuktikn hw HK ersift tertutup n setip unsurny memiliki invers i lm HK jug. Untuk itu mislkn x = hkhk n y = h k HK. Mk xy = hkh k. Kren HK = KH, mk kh = h k untuk sutu h H n k K. Kren itu, xy = h(h k )k = (hh )(k k ) HK. Ji, HK 3

33 ersift tertutup. Demikin jug hw x - = (hk) - = k - h - KH = HK. Ini melengkpi pemuktin hw HK sugrup ri G. Selikny, nggplh HK sugrup ri G. Untuk serng hh n kk erlku h - k - HK. Kren HK sugrup ri G,mk kh = ( k - ) - (h - ) - = ( h - k - ) - HK. Ini menunjukkn hw KH HK. Selnjutny, kren HK sugrup, mk x - = hk HK untuk sutu hh n kk, pil x HK. Akn tetpi x = (x - ) - = (hk) - = k - h - KH. Ini mengtkn hw HK KH. Ji HK = KH..8. LEMMA AKIBAT. Mislkn H, K keuny sugrup ri grup G. Jik G grup Aelin, mk HK merupkn sugrup ri G. BUKTI. Kren G grup Aelin, n H, K sugrup-sugrup ri G mk HK = KH. Oleh kren itu menurut Lemm.7, HK merupkn sugrup ri G..9. LEMMA AKIBAT. Mislkn H sugrup ri G, mk HH merupkn sugrup ri G, n HH = H. BUKTI. Menurut Lemm.7, jels hw HH sugrup ri G. Selnjutny, kren H sugrup ri G, mk HH H, n jik hh serng, mk h = he HH, oleh kren itu H HH. Ji HH = H..0. DEFINISI. Mislkn G grup n gg. Normlizer tu Centrlizer ri g lm G, itulis N(g), lh himpunn semu unsur x lm G seemikin sehingg xg = gx. Ji, N(g) = {xgxg = gx}. ri G... LEMMA. Jik G grup n gg, mk N(g) merupkn sugrup 33

34 BUKTI. Mislkn gg. Jels N(g), kren eg = ge, engn emikin en(g). Selnjutny, jik y,zn(g) serng, mk (yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz). Ini menunjukkn hw yzn(g), engn emikin N(g) ersift tertutup. Kemuin untuk serng xn(g) kit peroleh x - g = (x - g)e = (x - g)(xx - ) =((x - g)x)x - = (x - (gx))x - = (x - (xg))x - = ((x - x)g)x - = (eg)x - = gx -. Ini menunjukkn hw x - N(g), n melengkpi pemuktin kit... DEFINISI. Mislkn G grup, Center ri G, itulis Z G, lh himpunn semu unsur z lm G seemikin sehingg zg = gz untuk semu gg. Ji, Z G = {zgzg = gz, untuk semu gg}. Ji, Z G = imn N(g) Centrlizer ri g lm G. gg N g,.3. LEMMA. Jik G grup serng, mk Z G merupkn sugrup ri G. BUKTI. Jels Z G, kren eg = ge untuk semu gg, engn emikin ez G. Selnjutny, jik y,zz G serng, mk yg = gy n zg = gz untuk semu gg. Sehingg untuk semu gg iperoleh (yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz). Ini menunjukkn hw yzz G, engn emikin Z G ersift tertutup. Kemuin untuk serng x Z G n untuk semu gg kit peroleh x - g = (x - g)e = (x - g)(xx - ) =((x - g)x)x - = (x - (gx))x - = (x - (xg))x - = ((x - x)g)x - = (eg)x - = gx -. 34

35 Ini menunjukkn hw x - Z G, n melengkpi pemuktin kit. SOAL-SOAL:. Jik H n K sugrup-sugrup ri G, tunjukkn hw HK jug merupkn sugrup ri G.. Jik H sugrup ri G, n G, Mislkn H - = {h - hh}, mk tunjukknlh hw H - merupkn sugrup ri G. 3. Dftrkn semu koset knn ri H lm G imn. G = ( ) sutu grup siklik ore 0 n H = ( ) sugrup ri G yng ingun oleh.. G seperti gin. i ts, H = ( 5 ) sugrup ri G yng ingun oleh 5 c. G = A(S), S = {x,x,x 3 } n H = {fgf(x ) = x } 4. Dftrkn semu koset kiri ri H lm G p sol Mislkn G grup ilngn ult terhp opersi penjumlhn, H n sugrup ri G yng memut semu himpunn ilngn ult keliptn n. Tentukn ineks ri H n lm G, n ftrkn semu koset knn ri H n lm G. 6. Jik H sutu sugrup ri G, mk Pemustn H lh C(H), yitu himpunn {xgxh = hx, untuk semu hh}. Buktikn hw C(H) merupkn sugrup ri G. 7. Jik H sugrup ri G, n mislkn N(H) = {G H - = H}. Buktiknlh hw N(H) merupkn sugrup ri G, n N(H) H. 8. Mislkn pemetn f untuk ilngn-ilngn rel n, memetkn msing-msing ilngn rel kep ilngn rel engn turn f : x 35

36 x +. Mislkn G = {f 0}. Buktikn hw G mementuk grup iwh opersi komposisi fungsi. Tentukn rumus pemetn untuk f of c. 9. Dlm grup G lm sol no.8, mislkn N = {f G}, uktikn hw. N sugrup ri G. Jik G, nn, mk n - N. 36

37 BAB III SUBGRUP NORMAL DAN GRUP KUOSIEN A. Sugrup Norml Mislkn G = S 3 n H = {e, f} sugrup ri G. Kren i G (H) = 3, mk kit mempunyi tig koset knn ri H yng ere lm G, yitu: H = He = {e, f} = Hf Hg = {g, fg} = Hfg Hg = {g, fg = gf} = Hgf n jug kit mempunyi tig koset kiri ri H yng ere lm G, yitu: H = eh = {e, f} = fh gh = {g, gf} = Hgf g H = {g, g f = fg} = Hfg. Disini kit memperoleh fkt hw Hg gh n jug Hg = g H. Kren itu gh ukn koset knn ri H lm G, yng secr umum hw koset-koset kiri ri H lm G ukn merupkn koset knn ri H lm G. Selnjutny, p ksus lin jik kit pilih N = {e, g, g } sugrup ri G = S 3, mk kit mempunyi i G (N) =, yng errti terpt u koset knn ri N yng ere lm G, yitu: Ne = N = {e, g, g } = Ng = Ng, Nf = {f, gf, g f = fg} = Ngf = Nfg, n jug terpt u koset kiri ri N yng ere lm G, yitu: en = N = {e, g, g } fn= {f, fg, fg = gf} = fgn = gfn. P ksus ini, terliht hw setip koset kiri ri N lm G jug merupkn koset knn ri N lm G. 37

38 Sekrng kit kn menefinisikn sugrup khusus ri sutu grup, yng selnjutny kn kit jelskn sift-sift yng ihsilkn oleh efinisi ini engn fkt yng ikemukkn p prgrf seelumny. 3.. DEFINISI. Mislkn G grup n N sugrup ri G. N iktkn sugrup norml ri G jik n hny jik untuk setip gg n nn, erlku gng - N. Definisi 3.. i ts pt ijelskn kemli seperti erikut. Jik gg n mislkn gng - = {gng - nn}, mk N iktkn sugrup norml ri G jik n hny jik gng - N untuk setip gg. 3.. CONTOH-CONTOH. () Mislkn G grup ilngn ult iwh opersi penjumlhn, H suhimpunn ri G yitu himpunn semu ilngn ult keliptn 3, yitu H = {3n n ilngn ult}. Telh itunjukkn p Contoh.4(), H merupkn sugrup ri G. Sekrng jik gg, n h H serng, mislkn h = 3n untuk sutu ilngn ult n, mk ghg - = g + 3n + (-g) = g + n + n + n + (-g). Kren G lh grup komuttif, mk g + n + n + n + (-g) = g + (-g)+ n + n + n = 3n H. Ini memuktikn hw H sugrup norml ri G. () Mislkn G = S 3 = {e, f, g, fg, g, gf} segimn Contoh.(c), n H = {e, f}. Telh itunjukkn hw H sugrup ri G. Selnjutny, jik kit memilih gg n fh, mk kit peroleh gfg - = gfg = ggf = g f = fg H. Oleh kren itu, H ukn sugrup norml ri G. 38

39 Akn tetpi jik N = {e, g, g }, sugrup ri G, mk N merupkn sugrup ri G. Perhtikn hw eee - = e N, ege - = g N, eg e - = g N, fef - = e N, fgf - = g N, fg f - = gn, geg - = e N, ggg - = g N, gg g - = g N, fge(fg) - = e N, fgg(fg) - = g N, fgg (fg) - = gn, gfe(gf) - = e N, gfg(gf) - = g N, gfg (gf) - = gn, g e(g ) - = e N, g g(g ) - = g N, g g (g ) - = g N. Dri sini, kit peroleh hw setip xg n nn, erlku xnx - N, engn emikin N sugrup norml ri G. (c) Mislkn G = c,, c, R, c engn opersi perklin mtriks. Telh itunjukkn p Contoh.(f), G mementuk grup. Mislkn H = G. P Contoh.4(g) telh iperlihtkn hw H merupkn sugrup ri G. Sekrng jik kit memilih A = G n B = 3 3 ABA - = H, mk = Kren 3 3, mk ABA - H, engn emikin H ukn sugrup norml ri G. P kenytnny untuk serng QH, pt ipenuhi PQP - H jik n hny jik PH. (Periks!) 39

40 3.3. LEMMA. Mislkn G grup n N sugrup ri G. N iktkn sugrup norml ri G jik n hny jik gng - = N untuk setip gg. BUKTI. Jik gng - = N untuk setip gg, mk jelslh hw gng - N untuk setip gg. Akitny menurut Definisi 3. N merupkn sugrup norml ri G. Selikny, nggplh N sugrup norml ri G. Mislkn gg serng, mk menurut Definisi 3., erlku gng - N. Selnjutny, kren N sugrup norml ri G, mk erlku jug. g - Ng = g - N(g - ) - N. Akitny, N = ene = g(g - Ng)g - gng -. Kren ini erlku untuk serng gg, mk iperoleh gng - = N untuk setip gg. Perlu icermti, hw Lemm 3.3. ini tik mengtkn hw untuk setip gg n nn erlku gng - = n. Hl ini pt ierikn contoh kontr erikut ini. Mislkn G = S 3 n N = {e, g, g } (pt itunjukkn hw N sugrup norml ri G). fgf - = fgf = ffg = g g. Akn tetpi jik G grup komuttif, mk semu N sugrup ri G merupkn sugrup norml, n erlku untuk setip gg n setip nn erlku gng - = n. (Buktikn!) 3.4. LEMMA. Mislkn G grup n N sugrup ri G. N sugrup norml ri G jik n hny jik setip koset knn ri G merupkn koset kiri ri N lm G. BUKTI. Pertm-tm nggplh N sugrup norml ri G, mk menurut Lemm 3.3., gng - = N untuk setip gg, yng iikuti oleh gn = Ng 40

41 untuk setip gg. Ji koset knn ri N lm G jug merupkn koset kiri ri N lm G. Selikny, nggplh setip koset knn ri N lm G merupkn koset kiri ri N lm G. Mislkn gg serng, n gn koset kiri ri N lm G. Menurut hipotesis, gn jug merupkn koset knn ri N lm G. Kren g = ge gn n kren g jug merupkn unsur lm Ng, mk errti g gn Ng. Akitny, Ng = gn. Dri sini, kit peroleh hw untuk serng gg, erlku gng - = Ngg - = Ne = N Ji menurut Lemm 3.3, N sugrup norml ri G. Slh stu contoh konkrit gi Lemm 3.4, pt kit liht p prgrf-prgrf wl B ini. Jik kit mempunyi grup G = S 3 n N = {e, g, g }, mk ersrkn Lemm 3.4, N merupkn sugrup norml ri G. Sementr itu pil kit mempunyi grup G = S 3 jug n H = {e, f}, mk H uknlh sugrup norml ri G, kren tik memenuhi syrt cukup gi H untuk menji sugrup norml LEMMA. Mislkn G grup n N sugrup ri G. N merupkn sugrup norml ri G jik n hny jik hsil kli u koset knn ri N lm G jug merupkn koset knn ri N lm G. BUKTI. Pertm-tm, nggplh N sugrup norml ri G. Mislkn,G serng, mk N n N lh koset-koset knn ri N lm G. Kren N sugrup norml ri G n engn menggunkn Lemm 3.4., mk (N)(N) = N(N) = N(N) = (NN)() = N, yng jug merupkn koset knn ri N lm G. 4

42 Selikny, nggplh hw perklin u koset knn ri N lm G jug meru-pkn koset knn ri N lm G. Mislkn gg serng, mk g - G. Ng n Ng - merupkn u koset knn ri N lm G, sehingg menurut hipotesis hw (Ng)(Ng - ) sutu koset knn ri N lm G. Akn tetpi e =gg - = (eg)(eg - ) (Ng)(Ng - ). Di pihk lin, kren N jug sutu koset knn ri N lm G n jels en, mk N (Ng)(Ng - ), yng erkit N = (Ng)(Ng - ). Oleh kren itu, untuk serng nn, erlku gng - = egng - = n(n - gng - ) nn = N. Ini memuktikn hw N sugrup norml ri G LEMMA. Mislkn M n N keuny sugrup norml ri grup G. Mk MN jug merupkn sugrup norml ri G. BUKTI. Jels, MN, kren em n en yng mengkitkn e = eemn. Selnjutny, jik m n, m n unsur-unsur i MN, mk (m n )(m n ) = m n m n - n n Kren M sugrup norml ri G, mk n m n - M, engn emikin (m n )(m n ) = m n m n - n n = ( m n m n - )(n n )MN. Ini memuktikn hw MN ersift tertutup. Selin itu, (m n ) - = n - m - = m - (m n - m - ) Kren N sugrup norml ri G, mk m n m - N, engn emikin (m n ) - MN. Smpi isini, kit telh meuktikn hw MN sugrup ri G, tinggl memuktikn hw MN sugrup norml ri G. Untuk keperlun ini, mislkn gg n mnmn serng. 4

43 gmng - = (gmg - )(gng - ) Kren M n N keuny sugrup norml ri G, mk rus knn ri persmn i ts merupkn unsur i MN. Ini melengkpi pemuktin Lemm 3.6 i ts. B. GRUP KUOSIEN ATAU GRUP FAKTOR Mislkn G sutu grup n N sugrup norml ri G. Perhtikn hw kit mempunyi Ng untuk semu gg yitu koset-koset knn ri N lm G. Kit notsikn himpunn semu koset knn ri N yng ere lm G engn G/N, yitu G/N = {Ng gg}. Disini, jels hw G/N, se N = Ne merupkn sutu koset knn ri N lm G, ji N G/N. Oleh kren N sugrup norml ri G, mk kit mempunyi sift hw perklin serng u koset knn ri N lm G jug merupkn koset knn ri N lm G (Lemm 3.5). Berikut ini kit kn menunjukkn hw engn opersi perklin koset-koset knn segimn p Lemm 3.5, G/N mementuk grup TEOREMA. Jik G grup n N sugrup norml ri G, mk G/N mementuk grup. BUKTI. Dengn menggunkn Lemm 3.5, kit kn menefinisikn opersi perklin lm G/N, engn (Ng )(Ng ) = N(g g ) untuk semu g,g G. Dri sini errti sift ketertutupn G/N engn opersi ini telh ipenuhi. Tinggl kit memuktikn sift-sift lin, yitu: keerlkun sift sositif opersi ini lm G/N, eksistensi unsur ientits opersi lm G/N, n keern unsur invers lm G/N gi semu unsur lm G/N. Untuk itu, 43

44 mislkn g, g n g 3 unsur-unsur lm G n X = Ng, Y = Ng n Z = Ng 3. X(YZ) = (Ng )((Ng )(Ng 3 )) = (Ng )(N(g g 3 ) = N(g (g g 3 )) = N((g g )g 3 ) = (N(g g ))(Ng 3 ) = ((Ng )(Ng ))(Ng 3 ) = (XY)Z. Ji, sift sositif ipenuhi oleh opersi perklin ini. Selnjutny, perhtiknlh hw N = Ne merupkn unsur lm G/N, n perhtikn jug hw XN = (Ng )N = (Ng )(Ne) = N(g e) = Ng = X, n NX = N(Ng ) = (Ne)(Ng ) = N(eg ) = Ng = X. Ji, N merupkn unsur ientits lm G/N menurut opersi perklin lm G/N. Akhirny, kit mempunyi g - jug merupkn unsur lm G, oleh kren itu Ng - G/N. (Ng )(Ng - ) = N(g g - ) = Ne = N, n (Ng - )(Ng ) = N(g - g ) = Ne = N. Akitny, Ng - = (Ng ) -. Ini melengkpi pemuktin kit terhp Teorem 3.7. Grup G/N iseut grup kuosien (grup fktor) ri G oleh N CONTOH-CONTOH. () Mislkn G grup ilngn ult n N himpunn ilngn ult keliptn 5, yitu N = {5g gg}. Telh itunjukkn hw N merupkn sugrup ri G, n kren G grup Aelin, mk N merupkn sugrup norml ri G. Dengn emikin menurut Teorem 3.7. kit psti mempunyi G/N = {N + g gg}, yitu grup kuosien ri G oleh N. Sekrng kit kn menentukn o(g/n), yitu nykny unsur lm G/N. 44

45 Perhtikn hw N, N +, N +, N + 3, n N + 4 merupkn unsurunsur lm G/N. Mislkn gg serng, mk kit pt nytkn g = 5g 0 + h untuk sutu g 0 G n h sis pemgin ri g oleh 5, yitu h = 0, tu, tu, tu 3, tu 4, sehingg N + g = N + (5g 0 + h) = (N + 5g 0 ) + h. Kren 5g 0 N, mk N + 5g 0 = N. Akitny, N + g = N + h. Dri sini errti G/N = {N, N +, N +, N + 3, N + 4} Kren itu, o(g/n) = 5. Contoh 3.8() i ts, pt iperlus p serng ilngn ult n, engn mengmil N = {ng gg}. Dengn cr yng sm, mk engn muh pt iperoleh G/N = {N, N +, N +,, N + (n )}, n kemuin iperoleh o(g/n) = n. () Mislkn G = S 3 = {e, f, g, fog, g, gof} segimn Contoh.(c), n H = {e, f}. Telh itunjukkn hw H sugrup ri G. Koset-koset knn ri H lm G, lh H = He = {e, f} = Hf Hg = {g, fg} = Hfg Hg = {g, fg = gf} = Hgf Kren itu kit mempunyi G/H = {H, Hg, Ng }. Akn tetpi, G/H ukn grup, kren H ukn sugrup norml ri G. (c) Mislkn G = S 3 = {e, f, g, fog, g, gof} segimn Contoh.(c), n N = {e, g, g } sugrup ri G. Telh itunjukkn hw N sugrup norml ri G. Koset-koset knn ri N lm G, lh 45

46 Ne = N = {e, g, g } = Ng = Ng, Nf = {f, gf, g f = fg} = Ngf = Nfg, Kren itu kit mempunyi G/N = {N, Nf}. Kren N sugrup norml ri G, mk menurut Teorem 3.7, G/N merupkn grup, n o(g/n) = LEMMA AKIBAT. Jik G grup komuttif n N sugrup norml ri G, mk G/N mementuk grup komuttif. BUKTI. Bersrkn Teorem 3.7, kit mempunyi grup kuosien G/N. Selnjutny, jik X = Ng n Y = Ng unsur-unsur serng lm G/N mk XY = ( Ng )(Ng ) = N(g g ). Kren G grup komuttif, mk g g =g g. Akitny, N(g g ) = N(g g ) = (Ng )(Ng ) = YX LEMMA. Jik G grup hingg n N sugrup norml ri G, mk o o(g/n) = G. on BUKTI. Kren o(g) erhingg, mk nykny koset knn ri N lm G jug erhingg, yng erkit i G (N) erhingg, yitu i G (N) = o(g)/o(n). Oleh kren G/N lh himpunn semu koset knn ri N yng ere lm G, mk errti o o(g/n) = i G (N) = G. on SOAL SOAL.. Jik G grup, n H sugrup ri G engn i G (H) =, mk uktiknlh hw H sugrup norml ri G.. Jik N sugrup norml ri grup G n H serng sugrup ri G, mk uktiknlh hw NH sugrup ri G. 46

47 3. Tunjukknlh hw irisn ri u sugrup norml ri grup G jug merupkn sugrup norml. 4. Jik H sugrup ri grup G n N sugrup norml ri G, mk tunjukknlh hw HN merupkn sugrup norml ri G. 5. Jik H sugrup ri grup G, mislkn N(H) = {gg ghg - = H}. Buktiknlh hw:. N(H) sugrup ri G.. H sugrup norml ri N(H). c. Jik K sugrup ri G, n H sugrup norml ri K, mk K N(H).. H sugrup norml ri G jik n hny jik N(H) = G. 6. Mislkn N n M sugrup-sugrup norml ri grup G, n NM = (e). Tunjukknlh hw untuk serng nn n mm erlku nm = mn. 7. Jik T sugrup siklik norml ri grup G, mk tunjukknlh hw setip sugrup ri T merupkn sugrup norml ri G Mislkn G himpunn semu mtriks, imn 0 iwh opersi perklin mtriks. Mislkn N = 0 ilngn rel. Buktiknlh hw:. N sugrup norml ri G.. G/N merupkn grup Aelin. 47

48 BAB IV HOMOMORFISMA GRUP 4. DEFINISI. Sutu pemetn f ri grup G ke lm grup G iseut homomorfism grup tu homomorfism ri G ke lm G, jik n hny jik untuk setip,g erlku f() = f()f(). Perlu ictt hw p Definisi 4. i ts melitkn u opersi iner, yng terliht p ekspresi f() = f()f(). Di rus kiri, opersi iner yng ipergunkn lh opersi iner lm G, sengkn i rus knn yng ipergunkn lh opersi iner p G. Untuk menjelskn leih etil ri Definisi 4., kn ikemukkn eerp contoh, kn tetpi seelumny kit perlu menefinisikn terleih hulu tentng kernl sutu homomorfism grup ri sutu grup kelm grup lin. 4.. DEFINSI. Mislkn f sutu homomorfism ri grup G ke lm grup G. Kernel ri f, isimol K f, lh himpunn semu xg yng ipetkn oleh f ke e, imn e unsur ientits lm G. Atu, engn kt lin, K f = {xg f(x) = e } 4.3. CONTOH-CONTOH. () Mislkn G grup serng, n efinisikn f : G G engn f(x) = e (unsur ientits lm G) untuk setip xg. Mk jels f sutu homomorfism, kren untuk setip,g, erlku f() = e = ee = f()f(). 48

49 Disini, e merupkn unsur ientits lm G, sehingg kernel ri f lh K f = G, kren semu unsur lm G ipetkn oleh f ke e. P ksus ini, kit seut f homomorfism konstn e. () Mislkn G grup serng, n efinisikn f : G G engn f(x) = x untuk setip xg. Fungsi f ini jug merupkn homomorfism, se untuk setip,g, erlku f() = = f()f(). Sengkn kernel ri f lh K f = {e}, kren jik e, mk f() = e, ji K f. Leih ri itu, f ersift injektif, kren jik,g serng engn f() = f(), mk = f() = f() =. Kemuin, f jug ersift surjektif, kren pil yg serng, kit pt memilih yg ini sehingg f(y) = y. P ksus ini, f kit seut engn homomorfism ientits p G, isimol i G. Ji, i G (x) = x untuk setip xg. (c) Mislkn G grup ilngn rel engn opersi penjumlhn p ilngn-ilngn rel, n G grup ilngn rel tnp nol i wh opersi perklin p ilngn-ilngn rel. Definisikn f : G G, engn f(x) = 3 x untuk setip xg. Perhtikn hw G n G memiliki opersi iner yng ere. Untuk menunjukkn hw f sutu homomorfism, mk kit hrus periks hw untuk setip,g erlku f() = f()f(). Tetpi hl ini tiklh sulit ilkukn, kren f() = f( + ) = 3 + = 3 3 = f()f(). Ji, f sutu homomorfism. Kit peroleh jug hw f ukn fungsi ri G p G, kren 3 x sellu ernili positif untuk ilngn rel x erppun, kn tetpi f sutu injeksi, kren jik x,yg serng seemikin sehingg f(x) = 3 x = 3 y = f(y), mk x = y (Periks!). Selnjutny, kit mempunyi unsur 49

50 segi unsur ientits lm G, sehingg kernel ri f lh K f = {xg 3 x = } = {0}, kren pil x 0, mk f(x) = 3 x 3 0 =. () Mislkn G = S 3 = {e, f, g, fg, gf, g } n G = {e, f}. Definisikn : G G engn (f i g j ) = f i, i = 0,, n j = 0,,. Dri penefinisin seperti ini, kit mempunyi G = {e, f, g, fg, gf, g } = {f 0 g 0, f g 0, f 0 g, f g, f g, f 0 g }, n iperoleh (e) = (ee) = (f 0 g 0 ) = f 0 = e, (f) = (fe) = (f g 0 ) = f = f, (g) = (eg) = (f 0 g ) = f 0 = e, (fg) = (f g ) = f = f, (gf) = (fg ) = (f g ) = f = f, n (g ) = (eg ) = (f 0 g ) = f 0 = e. Nili-nili ri (f i g j ) iperlihtkn p Tel 4., n nili-nili ri (f i )(g j ) iperli-htkn p Tel 4. (i = 0,, n j = 0,,). Tel 4.. Nili-nili ri (f i g j ) (i = 0,, n j = 0,,) e f g fg gf g e e f e f e f f f e f e e f g e f e f e f fg f e f e e f gf f e f e e f g e f e f e f 50

51 Perlu ictt, hw hsil yng tercntum p Tel 4. lh hsil ri pet perklin u unsur lm G oleh pemetn, n tik irtikn segi opersi iner (perklin) lm G. Ji, e = (ee), ukn e = ee, f = (fg), ukn f = fg, n seterusny. Tel 4.. Nili-nili ri (f i )(g j ) (i = 0,, n j = 0,,). (e) (f) (g) (fg) (gf) (g ) (e) e f e f e f (f) f e f e e f (g) e f e f e f (fg) f e f e e f (gf) f e f e e f (g ) e f e f e f Bersrkn hsil-hsil p Tel 4.. n Tel 4., mk kit erkesimpuln hw (f i g j ) = (f i )(g j ), (i = 0,, n j = 0,,), untuk semu f i g j G, (i = 0,, n j = 0,,). Tmhn lgi, kernel ri lh K = {e, g, g }, kren (e) = (g) = (g ) = e. (e) Mislkn G grup ilngn ult engn opersi penjumlhn p ilngn-ilngn ult, n G = G. Definisikn f : G G engn f(x) = x untuk semu xg [isini x irtikn segi x + x, ukn perklin engn x]. Jik,G serng, mk f( + ) = ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = + = f() + f(). Ji, f merupkn sutu homomorfism. Kernel ri f lh K f = {0}, se jik x 0 mk f(x) = x = x + x 0, yng mengkitkn xk f. Tmhn 5

52 jug hw f sutu injeksi, kren jik x,yg sehingg x y, mk x = x + x y + y = y. Akn tetpi f ukn sutu surjeksi, kren tik G yng ipetkn oleh f ke 3G. (f) Mislkn G grup ilngn rel tnp nol engn opersi perklin, n G = {, -} engn opersi: () = = (-)(-), n (-) = - = (-)(). Definisikn fungsi f : G G, engn f(x) =,, jik jik x x ilngn ilngn rel rel positif negtif Mislkn,G serng, mk kit mempunyi empt ksus, yitu: Ksus I. Jik, keuny ilngn rel positif, mk kit mempunyi ilngn positif, sehingg f() = = ()() = f()f(). Ksus II. Jik positif n negtif, mk kit mempunyi ilngn negtif. Kren itu, f() = - = ()(-) = f()f(). Ksus III. Jik negtif n positif, mk kit mempunyi ilngn negtif. Kren itu, f() = - = (-)() = f()f(). Ksus IV. Jik, keuny ilngn rel negtif, mk kit mempunyi ilngn positif, sehingg f() = = (-)(-) = f()f(). Dri sini, kit peroleh kesimpuln hw f merupkn homomorfism, engn kernelny lh K f = {xg x ilngn rel positif}. Gn (g) Mislkn G grup ilngn ult engn opersi penjumlhn, n grup ilngn ult moulo n engn opersi penjumlhn ilngn ult moulo n. Definisikn f : G G n engn f(x) = t, imn t lh sis pemgin ri x oleh n. Untuk menunjukkn hw f merupkn sutu homomorfism, mk mislkn,g serng. f() = f( + ) =t 0, imn t 0 lh sis pemgin ri + oleh n. 5

53 Kren sift ketertutupn ri G n, mk kit mempunyi t 0 = t + t imn t lh sis pemgin ri oleh n n t lh sis pemgin ri oleh n. Oleh kren itu, f() = t 0 = t + t = f() + f() = f()f(). Ji, f sutu homomorfism. Kernel ri f lh K f = {xg x = nt, t ilngn ult}. (h) Mislkn G grup ilngn rel positif engn opersi perklin, n G grup ilngn rel engn opersi penjumlhn. Definisikn fungsi f : G G engn f(x) = 0 log(x) untuk setip xg. Mislkn,G serng, mk kit mempunyi huungn f() = 0 log() = 0 log() + 0 log() = f() + f() = f()f(). Dri sini, isimpulkn hw f sutu homomorfism. Segi tmhn, hw f sutu injeksi, kren jik x,yg serng seemikin sehingg f(x) = 0 log(x) = 0 log(y) = f(y), mk x = y (Periks!). Selnjutny, kit mempunyi 0G segi unsur ientits lm G, kren itu, kernel ri f lh K f = {xg 0 log(x) = 0} = {}. (i) Mislkn G grup semu mtriks rel yng erentuk 0, sehingg 0, engn opersi perklin mtriks-mtriks. Mislkn jug G grup ilngn rel tnp nol engn opersi perklin. Definisikn f : G G engn f 0 0 = untuk setip G. Jik X = 0 n Y = 53