DIKTAT PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA MATERI DASAR

Transkripsi

1 DIKTAT PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA MATERI DASAR DISUSUN OLEH : EDDY HERMANTO, ST SMA Negeri 5 Bengkulu Jalan Cendana Nomor 0 Bengkulu

2 SINGKATAN AHSME : American High School Math Exam AIME : American Invitational Mathematics Examination APMO : Asian Pasific Mathematical Olympiad ARML : American Regions Mathematics League Alabama MC : Alabama State-Wide Mathematics Contest COMC : Canadian Open Mathematics Challenge Hongkong PSC : Hongkong Preliminary Selection Contest India RMO : India Regional Mathematical Olympiad MATNC : Mu Alpha Theta National Convention ME VXNY : Mathematical Excalibur Volume X Nomor Y NHAC : Niels Henrik Abel Contest OMITS : Olimpiade Matematika ITS OSK : Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Kabupaten/Kota OSK SMP/MTs : Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Kabupaten/Kota OSN : Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Nasional OSN SMP/MTs : Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Nasional OSP : Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Provinsi OSP SMP/MTs : Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Provinsi South Carolina MC : South Carolina Mathematics Contest QAMT : Queensland Association of Mathematics Teacher USAMTS : USA Mathematical Talent Search ii

3 KATA PENGANTAR Alhamdulillah Penulis ucapkan kepada Allah, SWT karena dengan karunia-nya Penulis dapat menyelesaikan penulisan diktat versi 5. ini. Diktat ini Penulis tulis dalam rangka mempermudah tugas dalam mempersiapkan siswa-siswa SMA menghadapi olimpiade matematika pada tahap-tahap awal. Menurut pengamatan Penulis, masih ada jurang pemisah yang cukup jauh antara siswasiswa dari pulau Jawa dengan dari luar pulau Jawa. Masih sangat banyak siswa-siswa di luar pulau Jawa yang belum memahami persoalan-persoalan dasar di bidang Olimpiade Matematika sehingga mengalami kesulitan besar ketika akan menghadapi OSN. Buku ini berusaha menjawab tentang persoalan-persoalan mendasar di bidang Olimpiade Matematika tersebut. Penulis menyarankan sebelum menyampaikan isi materi buku ini, Pembina Olimpiade di sekolah dapat menyampaikan materi pendahuluan tentang pembuktian langsung maupun tidak langsung serta Strategi Penyelesaian Masalah (Problem Solving Strategies) yang dapat dipelajari dari beberapa buku yang ada seperti Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika karya Wono Setya Budhi, Problem-Solving Strategies karya Arthur Engel maupun Problem-Solving Through Problems karya Loren C. Larson. Penulis juga mengharapkan Para guru pembina olimpiade dalam membina siswa-siswa juga memberikan soal-soal pada tingkatan OSN pada kegiatan umpan balik yang dapat dilaksanakan setelah guru menyelesaikan pembinaan pada setiap babnya ataupun setelah menyelesaikan seluruh bab pada buku ini. Ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian diktat ini, khususnya kepada isteri tercinta Penulis, Rosya Hastaryta, S. Si, yang telah memberi dukungan yang besar kepada Penulis serta juga telah melahirkan puteri pertama kami, Kayyisah Hajidah, pada tanggal Desember 009. Penulis merasa bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu Penulis mengharapkan saran dan kritik dari Pembaca yang budiman sebagai bahan perbaikan diktat ini. sekalian. Akhir kata semoga buku ini dapat bermanfaat yang sebesar-besarnya bagi Pembaca Bengkulu, September 0 EDDY HERMANTO, ST eddyhbkl@yahoo.com iii

4 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i SINGKATAN ii KATA PENGANTAR iii DAFTAR ISI iv BAB I ALJABAR. Pemfaktoran dan Penguraian. Barisan dan Deret 7 3. Fungsi 8 4. Suku Banyak 3 5. Persamaan 9 6. Sistem Persamaan Ketaksamaan Statistik Sederhana 57 BAB II TEORI BILANGAN. Sifat-Sifat Penjumlahan Dan Perkalian Dua Bilangan 59. Sifat-sifat Keterbagian 6 3. Uji Habis dibagi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Dan Persekutuan Terkecil (KPK) Banyaknya Faktor Positif Kekongruenan 7 7. Bilangan Bulat, Rasional dan Prima Bilangan Kuadrat Sempurna 8 9. Fungsi Tangga dan Ceiling 84 BAB III GEOMETRI. Trigonometri 87. Garis 9 3. Segitiga Segi Empat 0 5. Segi-n Beraturan 5 6 Lingkaran 6 7. Garis Lanjutan 34 BAB IV KOMBINATORIK. Kaidah Pencacahan Dan Penjabaran Binom Newton 4. Kejadian dan Peluang Suatu Kejadian, Pengambilan Contoh 69 Dengan dan Tanpa Pengembalian 3. Prinsip Inklusi Eksklusi, Peluang Kejadian Majemuk Pigeon Hole Principle (Prinsip Lubang Merpati) 86 KUNCI JAWABAN LATIHAN 9 iv

5 Ebook ini gratis dan dapat diprint maupun dikopi serta dapat disebarkan melalui softcopy atau hardcopy, namun dengan syarat :. tidak untuk dikomersilkan.. tidak mengubah sebagian baik sedikit maupun banyak dari isi buku sehingga hak cipta maupun identitas Penulis seolah-olah hilang. 3. tidak menghilangkan halaman ini. v

6 BAB I ALJABAR. PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN Beberapa bentuk pemfaktoran maupun penguraian yang harus diketahui adalah : (i) x y = (x + y)(x y) (ii) x 3 y 3 = (x y)(x + xy + y ) (iii) x 3 + y 3 = (x + y)(x xy + y ) (iv) x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x + y + z)(x + y + z xy xz yz) (v) (x + y)(x y) = x 3 x y xy + y 3 (vi) (a n b n ) = (a b)(a n- + a n- b + a n-3 b + + ab n- + b n- ) dengan n bilangan asli (vii) (a n + b n ) = (a + b)(a n- a n- b + a n-3 b ab n- + b n- ) dengan n bilangan ganjil (viii) (x + )(y + )(z + ) = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + (ix) x 4 + 4y 4 = (x + y + xy)(x + y xy) (x) (x + y) = x + xy + y (xi) (x + y + z) = x + y + z + xy + xz + yz (xii) (x y) = x xy + y (xiii) (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x + y) (xiv) (x y) 3 = x 3 y 3 3xy(x y) (xv) (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 3 (xvi) (x y) 4 = x 4 4x 3 y + 6x y 4xy 3 + y 3 Penguraian bentuk (x + y) n untuk n > 4 dapat menggunakan binomial Newton yang akan diterangkan dalam bagian lain. Berdasarkan bentuk (vi) dan (vii) didapat fakta bahwa (a b) membagi (a n b n ) untuk n asli dan (a + b) membagi (a n + b n ) untuk n ganjil yang terkadang digunakan untuk menyelesaikan soal pada teori bilangan. Contoh : (OSK 004 SMP/MTs) Nilai dari = LL Perhatikan bahwa a b = (a + b)(a b) maka = = ( )( ) ( 0000)( 00) = =.000 Contoh : (OSK 005 SMP/MTs) Salah satu faktor dari adalah A. 5 B. 7 C. 3 D. 73 E. 399 Perhatikan bahwa a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) maka = (7 5)( ) = 399 (Jawaban : E) Aljabar

7 Contoh 3 : (OSK 0 Tipe ) Jika A = 5 x + 5 x dan B = 5 x 5 x maka A B adalah A = 5 x + 5 x dan B = 5 x 5 x A + B = (5 x + 5 x ) + (5 x 5 x ) = 5 x A B = (5 x + 5 x ) (5 x 5 x ) = 5 x A B = (A + B)(A B) = 5 x 5 x = 4 Jadi, A B = 4. Contoh 4 : Rasionalkan penyebut dari 7. Kuadrat dari suatu bentuk akar menghasilkan bilangan tersebut. Mengingat bahwa (a + b)(a b) = a b maka jika penyebut tersebut dikalikan dengan lawannya akan didapat bentuk penyebut yang rasional. 7 = = ( 7 ) + 5 Akhirnya didapat penyebut yang merupakan bilangan rasional, yaitu 5. Contoh di atas adalah contoh dengan penyebutnya merupakan penjumlahan dua bilangan. Jika penyebutnya merupakan penjumlahan lebih dari dua bilangan, maka perkalian dengan lawanya dilakukan lebih dari satu kali. Contoh 5 : Rasionalkan penyebut dari = ( + 3 ( ) ) + 5 (( + 3 ) 5 ) (( + 3 ) + 5 ) = ( + 3 ) ( 5 ) = Jadi, 3 5 = = = 3 Contoh 6 : (OSP 00 SMP/MTs) Jika p = 4 3 dan q = 4+ 3, maka nilai dari p + pq + q adalah pq = p + q = = = = 4 3 (p + q) = 56 p + pq + q = (p + q) pq p + pq + q = 56 = 55 Jadi, nilai dari p + pq + q adalah = 4 Aljabar

8 Contoh 7 : (OSP 008) Jika 0 < b < a dan a + b = 6ab, maka a+ b a b = Misalkan x = x a+ b = ( ) x = a b a + b + ab a + b ab a+ b a b maka 8ab Karena a + b = 6ab maka x = 4ab Jadi, a+ b a b = = Contoh 8 : Hitunglah Misalkan X = X = ( + 3 ) + ( 3 ) 3 X = 4 X = Maka = Contoh 9 : (AIME 989) Nilai dari adalah Mengingat bahwa + (n )(n)(n + )(n + ) = (n(n + ) ) maka = = 869. Contoh 0 : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x x =. x x = Karena bilangan dalam akar harus tak negatif maka penyelesaian persamaan tersebut harus memenuhi syarat 3 x 7 x + 3 = + 7 x x + 3 = + 7 x + 3x 5 = 7 x 7 x 3 Aljabar

9 Kuadratkan kedua ruas dengan syarat 3x 5 0 sebab 9x 30x + 5 = 4(7 x) 9x 6x 3 = 0 (9x + )(x 3) = 0 x = 3 atau x = 9 (tidak memenuhi syarat x 3 5 ) Untuk x = 3 maka x x = 3 =. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3. 7 x 0 Contoh : Jika a = 7b dan b = 7a dengan a dan b adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari ab adalah a = 7b dan b = 7a a b = 7(b a) Karena a b maka a + b = 7 a + b = 7(b + a) (a + b) ab = 7(a + b) ab = ab = 896 Contoh : a, b, c dan d adalah bilangan real tak nol yang memenuhi a + b = c + d = ac + bd = 0 Buktikan bahwa ab + cd = 0. Karena ac + bd = 0 maka d = c () a b Misalkan b a = c d = k maka a = bk dan d = ck a + b = b (k + ) = k + = () b c + d = c (k + ) = Subtitusikan persamaan (). b = c ab + cd = bk b + c ( ck) ab + cd = b k c k ab + cd = (b c )k Karena b = c maka ab + cd = (b c )k = 0 Jadi, terbukti bahwa ab + cd = 0. 4 Aljabar

10 LATIHAN : 3a+ 4b. Jika a b a +b = 5 maka tentukan nilai dari ab. Nilai dari ( ) ( ) adalah 3. (AIME 986) Tentukan nilai dari ( )( )( )( ) 4. Jika x + y + 3 x + y = 8 dan x y x y = 5, maka x y = Tentukan nilai X yang memenuhi ( ) ( ) X = Jika diketahui bahwa 4 y 0y y 0y 5 = 9, maka tentukan nilai dari 4 y 0y y 0y (OSP 006) Himpunan semua x yang memenuhi (x ) 3 + (x ) = adalah 8. (Canadian MO 99) Selesaikan persamaan x + ( ) x x+ = (OSP 007) Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x 4 4x 3 + 5x 4x + = 0 0. (AIME 983) w dan z adalah bilangan kompleks yang memenuhi w + z = 7 dan w 3 + z 3 = 0. Apakah nilai terbesar yang mungkin dari w + z?. (Baltic Way 999) Tentukan semua bilangan real a, b, c dan d yang memenuhi sistem persamaan berikut : abc + ab + bc + ca + a + b + c = bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 dab + da + ab + bd + d + b + a = Jika = x, maka nilai dari ( ) 3 X + adalah 3. (AIME 000) Tentukan tepat kedua akar real persamaan 000x x 5 + 0x 3 + x = (AIME 987) Tentukan nilai dari ( )( + 34)( )( )( ) ( )( )( )( )( ). 5. (Baltic Way 993 Mathematical Team Contest) Tentukan semua bilangan bulat n yang memenuhi n n adalah bilangan bulat 6. (Canadian MO 998) Tentukan penyelesaian x real yang memenuhi persamaan : x = x x + x 5 Aljabar

11 7. (AIME 990) Bilangan real a, b, x dan y memenuhi ax + by = 3, ax + by = 7, ax 3 + by 3 = 6 dan ax 4 + by 4 = 4. Tentukan nilai dari ax 5 + by (OSN 003 SMP/MTs) Diketahui a + b + c = 0. Tunjukkan bahwa a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 9. (OSN 009 SMP/MTs) Setiap sisi suatu kubus dituliskan sebuah bilangan asli. Setiap titik sudutnya diberi nilai yang merupakan hasil kali dari tiga bilangan pada tiga sisi yang berpotongan di titik sudut tersebut. Jika jumlah semua bilangan pada titik-titik sudut tersebut sama dengan 00, tentukan jumlah semua bilangan yang dituliskan pada sisi-sisi kubus tersebut. 6 Aljabar

12 . BARISAN DAN DERET,, 3, 4, 5, dikatakan sebagai barisan karena mempunyai suatu pola tertentu dengan rumus suku ken adalah n disebut sebagai deret. Ada beberapa barisan dan deret yang akan dibahas. A. Barisan dan Deret Aritmatika. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a + b, a + 3b adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b. Suku ke-n, U n, dirumuskan dengan : U n = a + (n )b Jumlah n bilangan pertama, S n, dirumuskan dengan S n = n (a + (n )b) = n (a + U n ) Bukti : S n = (a) + (a + b) + (a + b) + + (a + (n )b) S n = (a + (n )b) + (a + (n )b) + (a + (n 3)b) + + (a) Jumlahkan kedua persamaan di atas didapat S n = n (a + (n )b) S n = n (a + (n )b) = n (a + U n ) (terbukti) Contoh 3 : Diketahui barisan, 5, 8,,. Tentukan suku ke-0 dan jumlah 4 suku pertama., 5, 8,, adalah barisan aritmatika dengan suku pertama dan beda 3. Suku ke-0, U 0 = + (0 ) 3 = (4 ) 3 = 6 Jumlah 4 suku pertama = ( ) Contoh 4 : Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan S n = 3n 5n, maka U 3 = Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, S n dengan jumlah n suku pertama, S n-, maka akan didapatkan suku ke-n, U n. Jadi, U n = S n S n-. U n = (3n 5n) (3(n ) 5(n )) U n = 3n 5n 3n + 6n 3 + 5n 5 U n = 6n 8 Maka U 3 = 6(3) 8 = 0 Cara lain adalah dengan langsung menghitung U 3 = S 3 S. S 3 = 3(3) 5(3) = 7 45 = 8 S = 3() 5() = 30 = 8 U 3 = S 3 S U 3 = 8 ( 8) U 3 = 0 7 Aljabar

13 Contoh 5 : n Nilai dari k = ( k + 3) = LL Jika nilai k dari sampai n dijalankan didapat n ( k = k + 3) = (n + 3) merupakan deret aritmatika dengan a = 5 serta b =. n S n = ( () 5 + ( n ) ) Jadi, n ( k = k + 3) = n + 4n Contoh 6 : (OSK 006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-5 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke u 5 = 3(u 5 ), maka a + 4b = 3(a + 4b) sehingga a = 6b u n = a + (n )b = u = a 6b + (n )b = (6b) n = 7 Suku tersebut adalah suku ke-7 Contoh 7 : Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama dengan 0, maka keliling segitiga tersebut adalah Karena sisi terpanjang segitiga sama dengan 0 dan membentuk barisan aritmatika maka sisi-sisi segitiga tersebut dapat dimisalkan dengan 0, 0 x dan 0 x dengan x adalah bilangan positif. Karena ketiga sisi membentuk segitiga siku-siku maka (0 x) + (0 x) = x + 4x x + x = 400 5x 0x = 0 (x 4)(x 0) = 0 x = 4 atau x = 0 Jika x = 0 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 0, 0 dan 0 yang tidak mungkin merupakan sisi-sisi segitiga. Jika x = 4 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 0, 6 dan yang membentuk sisi-sisi segitiga siku-siku. Jadi, keliling segitiga tersebut = = 48.. Suku Tengah Misalkan U t menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka : dengan n merupakan bilangan ganjil U t = U + U n 8 Aljabar

14 Contoh 8 : Diketahui 3,, 3, 5, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut. 3,, 3, 5 adalah barisan aritmatika. Maka U = a = 3 dan U n = 5. Maka suku tengah, U t = (3 + 5) = 9 3. Sisipan Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan namun tetap membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan b B = beda barisan yang baru dan b L = beda barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah b b B = L k + Contoh 9 : Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan,,, 3, 4. disisipi sebanyak 4 bilangan. Tentukan suku ke-00 dari barisan yang baru. b Beda barisan yang baru adalah b B = L = 0 k + 4+ = Suku pertama, a =. U 00 = a + 99b B = + 99 = 00 Suku ke-00 = 00. Jadi, suku ke-00 barisan tersebut adalah Barisan Aritmatika Bertingkat Misalkan ada barisan u, u, u 3,, u n yang bukan merupakan barisan aitmatika sebab u n u n- tidak konstan. Tetapi apabila diambil D (n) = u n u n- lalu D (n) = D (n) D (n ) dan seterusnya sampai pada suatu saat D k (n) D k (n ) bernilai konstan. Maka kita dapat mengambil kesimpulan bahwa rumus jumlah n suku pertama, S n, barisan tersebut merupakan polinomial pangkat k. Contoh 0 : Diketahui barisan, 3, 6, 0, 5,,. Tentukan rumus jumlah n suku pertama, S n. Kalau diperhatikan, barisan, 3, 6, 0, 5,, bukanlah barisan aritmatika. Tetapi rumus suku ke-n barisan tersebut ternyata merupakan rumus jumlah n suku pertama dari barisan,, 3,, n yang merupakan barisan aritmatika. Maka kita dapat menyelesaikan soal tersebut dengan menganggapnya merupakan barisan aritmatika bertingkat. n S(n) D (n) = S(n) S(n ) D (n) = D (n) D (n ) D 3 (n) = D (n) D (n ) Aljabar

15 Karena D 3 (n) konstan maka dapat diambil kesimpulan bahwa rumus S n merupakan polinomial pangkat 3. Misalkan S(n) = an 3 + bn + cn + d. n S(n) D (n) = S(n) S(n ) D (n) = D (n) D (n ) D 3 (n) = D (n) D (n ) a+b+c+d 8a+4b+c+d 7a+3b+c 3 7a+9b+3c+d 9a+5b+c a+b 4 64a+6b+4c+d 37a+7b+c 8a+b 6a 5 5a+5b+5c+d 6a+9b+c 4a+b 6a Dari kedua tabel didapat bahwa : 6a = () a + b = 3 () 7a + 3b + c = 3 (3) a + b + c + d = (4) Dari pers () didapat a = 6 3 Dari pers () didapat b = = c = = = Dari pers (3) didapat ( ) 6 ( ) 6 3 Dari pers (4) didapat 6 3 d = = = Maka rumus jumlah n suku pertama, S(n) = 6 n 3 + n + 3 n = n ( n+ )( n+) 6 B. Barisan dan Deret Geometri. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang konstan. Misalkan a, ar, ar, adalah barisan geometri dengan suku pertama = a dan rasio = r maka : Suku ke-n, U n, dirumuskan dengan : U n = a r n- Jumlah n bilangan pertama, S n, dirumuskan dengan a S n ( r n ) = r Contoh : Diketahui barisan, 6, 8, 54,. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan tersebut., 6, 8, 54, adalah contoh barisan geometri dengan suku pertama dan rasio 3. Suku ke-5, U 5 = 3 5- = 6 Jumlah 4 suku pertama = 4 ( 3 ) 3 = 80 Contoh : Pada barisan geometri diketahui U 8 = 36 dan S 7 = 5, maka S 8 = U 8 = 36 dan S 7 = 5 0 Aljabar

16 Pada barisan aritmatika maupun geometri berlaku S n S n = U n. S 8 S 7 = U 8 S 8 = = 88. Contoh 3 : Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangi 0 terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah Misalkan bilangan-bilangan tersebut adalah a, ar dan ar. Maka a, ar dan ar 0 membentuk barisan aritmatika sehingga ar = a + ar 0 ar + 0 = a + ar () a + ar + ar = 65 () ar ar = 65 ar = 5 (3) Subtitusikan persamaan (3) ke () didapat 50 = a + 5r (4) Subtitusikan persamaan (4) ke (3). (50 5r)r = 5 0r 3r = 3 (3r )(r 3) = 0 r = 3 atau r = 3 Jika r = 3 maka ketiga bilangan tersebut adalah 45, 5 dan 5 yang membentuk barisan geometri dan 45, 5, 5 yang membentuk barisan aritmatika. Jika r = 3 maka ketiga bilangan tersebut adalah 5, 5 dan 45 yang membentuk barisan geometri dan 5, 5, 5 yang membentuk barisan aritmatika. Jadi, rasio barisan tersebut adalah 3 atau 3.. Suku Tengah Misalkan U t menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : U t = U U n dengan n merupakan bilangan ganjil Contoh 4 : Diketahui, 6, 8, 54, 6, adalah barisan geometri. Tentukan suku tengah dari barisan tersebut., 6, 8, 54, 6 adalah barisan geometri. Maka U = a = dan U n = 6. Maka suku tengah, U = 6 = 8 t 3. Sisipan Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi k buah bilangan namun tetap membentuk barisan geometri. Maka rasio barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan r B = rasio barisan yang baru dan r L = rasio barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah r = k + B rl Aljabar

17 Contoh 5 : Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan, 3, 5, 89, disisipi sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru. 4 Rasio yang baru, r B = k+ rl = 6 =. Suku pertama, a =. U 7 = ar 6 = ()( 6 ) = 8 Suku ke-7 = Barisan geometri tak hingga ( r ) a n a r jika n maka S = r Dari persamaan S n = dengan syarat < r <. Rumus tersebut merupakan rumus jumlah dari suatu barisan tak hingga dengan suatu syarat tertentu. Contoh 6 : Tentukan nilai dari Persoalan di atas termasuk barisan geometri tak hingga dengan a = dan r = ½ a. + + ½ + ¼ + = S = r + + ½ + ¼ + = = 4. Maka nilai dari = 4. Contoh 7 : Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah Misalkan suku pertama barisan geometri tak hingga tersebut adalah a dan rasio r. a r a + ar + ar + = = 6 () Suku-suku yang ganjil adalah a, ar, ar 4, yang membentuk barisan tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r. a r a + ar + ar 4 + ar 6 + = = 4 () a Subtitusikan persamaan () ke ( )( ) +r = 3 3 = + r r = r + r = 4 sehingga Subtitusikan persamaan di atas ke persamaan () didapat a = 3 Maka suku ke-6 = U 6 = ar 5 = 3 3. C. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh adalah barisan yang berbentuk,,, 3, 5, 8, 3,, yang merupakan penjumlahan dari dua bilangan Aljabar

18 sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut. Beberapa contoh rumus deret lainnya : n n( n+ )( n+ ) = n 3 n( n+) = ( ) Berikut ini dibahas bentuk-bentuk tak hingga yang dapat diselesaikan dengan memisalkan dengan suatu variabel. Contoh 8 : Hitunglah nilai dari L Misalkan L = X. Kuadratkan kedua ruas. Pada ruas kiri akan didapatkan bentuk tak hingga semula. Maka X = X X(X ) = 0 Karena Jadi, L tidak mungkin sama dengan 0 maka L =. L = Contoh 9 : Hitunglah bentuk tak hingga berikut, M Misalkan 3 + = X maka M 3 + = X X X X 3 = 0 (X 3)(X + ) = 0 3 Karena + tidak mungkin sama dengan maka 3 + Jadi, M 3 + M 3 + = = M 3 Aljabar

19 D. Prinsip Teleskopik Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk umum yang dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian sebagai berikut : n a L a. ( i i ) ( ) ( 3 ) ( 4 3 ) ( n n ) ( n n ) n b. i= n i= + a = a a + a a + a a + + a a + a + a = a + a a a a a a = L a a a a a i n n+ n+ i 3 n a a n a = a Contoh 30 : ( )( )( ) L ( )( )( + )( + )( + ) L( + )( + ) = L Misal S = ( )( )( ) L ( )( )( + )( + )( + ) L( + )( + ) L L L S = 006 S = S = Contoh 3 : Tentukan nilai Soal di atas merupakan contoh penerapan prinsip teleskopik. = ; 3 = 3 ; 3 4 = 3 4 ; ; L Jadi, = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 006 Contoh 3 : (Canadian MO 997) Buktikan bahwa 999 < L < 44. Misal P = L 998 dan Q = L 999 PQ = L L 999 = 999 Jelas bahwa P < Q P < PQ sehingga P < 999 P > L 999 = 999 Maka didapat < P < 44 < < 44. Maka P < 44 L < 44 (terbukti) 4 Aljabar

20 LATIHAN :. Sebuah deret aritmatika terdiri dari n suku (ganjil). Jumlah semua sukunya 60, besar suku tengahnya 0, serta beda deret tersebut adalah 3. Maka U 6 =. Perhatikan barisan bilangan 500, 465, 430, 395,. Suku negatifnya yang pertama adalah ( i ) 3. Diketahui 4 + k = 77 dan = 4, maka nilai i= 7 i= k ( 4 + ) = LL 4. Pada suatu deret aritmatika berlaku u + u 5 + u 6 + u 9 = 40. Maka S 0 = i 5. (OSK 009) Jika x k+ = x k + untuk k =,, dan x = maka x + x + + x 400 = i= 8 k i 6. (OSP 006) Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara dan 006 adalah 7. (OSK 006) Diketahui a + (a + ) + (a + ) = 39. Jika a bilangan positif, maka a = 8. (OSK 0 Tipe 3) Bilangan bulat positif terkecil a sehingga a + 4a + 6a a merupakan kuadrat sempurna adalah 9. (AIME 984) Barisan a, a, a 3,, a 98 memenuhi a n+ = a n + untuk n =,, 3,, 97 dan mempunyai jumlah sama dengan 37. Tentukan nilai dari a + a 4 + a a Misalkan u n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmatika. Jika u k = t dan u t = k maka tentukan nilai dari suku ke-(k + t).. (OSK 004) Agar bilangan n sedekat mungkin kepada 004, haruslah n =. Jika 9 7x, 5x 6 dan x adalah tiga suku pertama deret geometri tak hingga, maka jumlah suku-sukunya adalah 3. Pada suatu deret tak hingga, suku-suku yang bernomor ganjil berjumlah 9/4 sedangkan suku-suku yang bernomor genap berjumlah 3/4, maka suku pertamanya adalah 4. Batas-batas nilai a supaya deret geometri tak berhingga dengan suku pertama a konvergen dengan jumlah adalah 5. (OSP 006) Afkar memilih suku-suku barisan geometri takhingga,, 4, 8, untuk membuat barisan geometri takhingga baru yang jumlahnya 7. Tiga suku pertama pilihan Afkar adalah 4 6. Tentukan jumlah dari LL Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan. Jumlah barisan aritmatika itu adalah 8. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan 4, 0, 0, 35, 56, 5 Aljabar

21 9. (AIME 99) Misalkan A adalah barisan a, a, a 3, dengan a 9 = a 9 = 0 dan A didenisikan dengan barisan a a, a 3 a, a 4 a 3,. Jika semua suku-suku barisan ( A) sama dengan, maka nilai a adalah 0. (MATNC 00) Tentukan jumlah 00 bilangan asli pertama yang bukan bilangan kuadrat sempurna.. (AIME 003 Bagian Pertama) Diketahui 0 < a < b < c < d adalah bilangan bulat yang memenuhi a, b, c membentuk barisan aritmatika sedangkan b, c, d membentuk barisan geometri. Jika d a = 30 maka tentukan nilai dari a + b + c + d.. (OSK 009) Bilangan bulat positif terkecil n dengan n > 009 sehingga merupakan bilangan bulat adalah L + n 3. (AIME 985) Barisan bilangan bulat a, a, a 3, memenuhi a n+ = a n+ a n untuk n > 0. Jumlah 49 bilangan pertama adalah 985 dan jumlah 985 bilangan pertama adalah 49. Tentukan jumlah 00 bilangan pertama. 4. Nilai x yang memenuhi persamaan : n 3 adalah x x x... = 4x + 4x + 4x Hitunglah nilai dari M 6. (OSK 006/AIME 990) Barisan, 3, 5, 6, 7, 0,, terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat. Suku ke-50 barisan tersebut adalah 7. (AHSME 996) Barisan,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, memiliki blok angka yang berisi n buah angka pada blok ke-n. Tentukan jumlah 34 bilangan pertama. n 8. Misalkan f adalah adalah fungsi yang memenuhi f(n) = f(n ) untuk setiap n bilangan asli. Jika f(0) = 945 maka tentukan f(007). 9. (NHAC Second Round) Tentukan nilai dari x x3 + x3x4 + L + 996x997 x (OSK 003) Berapakah hasil perkalia n ( )( )( ) ( )( ) L Tentukan jumlah dari : L Aljabar

22 3. Hitunglah nilai 0 k + 3k + ( k + )( k ) k = (AIME 00) Barisan x, x, x 3, memenuhi x = k k + k. Jika terdapat bilangan berurutan sehingga x m + x m+ + + x n = 9, maka tentukan semua pasangan (m, n) yang memenuhi. 34. (AIME 00) Barisan a, a, a 3, a 4, memenuhi a =, a = 375, a 3 = 40 dan a 4 = 53 serta a n = a n a n + a n 3 a n 4. tentukan nilai dari a 53 + a a (AIME 998) Barisan 000, n, 000 n, n (000 n), (000 n) (n (000 n), dengan n bilangan bulat berakhir ketika bilangan negatif pertama muncul. Sebagai contoh untuk n = 00 maka barisan tersebut adalah 000, 00, 900, 800. Suku ke-4 barisan tersebut negatif. Jadi, untuk n = 00 maka barisan tersebut memiliki panjang 3. Tentukan n sehingga panjang barisan tersebut maksimal. 36. (OSN 008 SMP/MTs) Suatu barisan bilangan real mempunyai suku-suku didefinisikan sebagai berikut. u n = ar n- jika n = 4m 3 atau n = 4m u n = ar n- jika n = 4m atau n = 4m dengan a > 0, r > 0, dan m bilangan bulat positif. Buktikan bahwa jumlah semua suku ke- sampai dengan suku ke-009 adalah a ( + r r + r ) 37. (USAMTS Round 4) Tentukan nilai dari S = r (Baltic Way 99) Buktikan bahwa hasil kali 99 bilangan 3 k 3 k +, k =, 3, 4,, 00 lebih dari 3. 7 Aljabar

23 3. FUNGSI A. Pengertian Misalkan diketahui fungsi y = f(x) = x+ 3 x Untuk mencari nilai dari f() maka cukup mengganti x di ruas kanan dengan. +. Jadi, f() = ( ) 3 ( ) = 3 Salah satu fungsi yang dibahas di dalam kelas adalah fungsi kuadrat, yaitu fungsi yang berbentuk y = f(x) = ax + bx + c Nilai x yang menyebabkan y maksimum adalah x p = Nilai y maksimum = y maks = a(x p ) + bx p + c atau y maks = b a ( b 4ac ) Terkadang suatu fungsi tidak hanya memiliki satu variabel, tetapi dapat lebih dari satu variabel. Sebagai contoh adalah f(x,y) = xy + x y + y 3. Untuk mencari f(, ) cukup mengganti x = dan y = dari persamaan tersebut didapat f(, ) = =. 4a Contoh 33 : Misal f adalah suatu fungsi yang memetakan dari bilangan bulat positif ke bilangan bulat positif dan didefinisikan dengan : f(ab) = b f(a) + a f(b). Jika f(0) = 9 ; f() = 5 dan f(5) = 6. Tentukan nilai dari f(8). f(0) = f(0 ) = f(0) + 0f() = = 748 () f(0) = f(8 5) = 8f(5) + 5f(8) = f(8) = f(8) () 748 = f(8) Jadi, f(8) = 36 Contoh 34 : (AHSME 998) Misalkan f(x) adalah fungsi yang memenuhi (a) untuk setiap bilangan real x dan y maka f(x + y) = x + f(y) dan (b) f(0) = Nilai dari f(998) adalah f(x + y) = x + f(y) dan f(0) = Alternatif : f(x) = f(x + 0) = x + f(0) f(x) = x + Maka f(998) = 000 Alternatif : = f(0) = f( ) = f(998) Maka f(998) = 000 Contoh 35 : Jika f(x) adalah fungsi yang tidak terdefinisi untuk x = 0 dengan f(x) + f( x ) = 3x. Tentukan f(x). f(x) + f( x ) = 3x () Jika y = x maka 8 Aljabar

24 f( y ) + f(y) = y 3 sehingga f( x ) + f(x) = x 3 f( x ) + 4f(x) = x 6 () Kurangkan persamaan () dengan () didapat 3f(x) = 6 x 3x Jadi, f(x) = x x B. Fungsi Komposisi Fungsi komposisi merupakan gabungan lebih dari satu fungsi. Misalkan diketahui fungsi f(x) dan g(x). Jika ingin mencari pemetaan suatu nilai terhadap fungsi f(x) yang hasilnya dilanjutkan terhadap fungsi g(x), maka akan digunakan fungsi komposisi. Pemetaan terhadap fungsi f(x) yang dilanjutkan oleh fungsi g(x) ditulis sebagai (g(x) o f(x)). Didefinisikan (g(x) o f(x)) = g(f(x)). Contoh 36 : Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 7 3x. Tentukan pemetaan x = oleh fungsi f(x) dilanjutkan g(x). f() = 3() + 5 = g() = 7 3() = 6 Jadi, pemetaan x = oleh fungsi f(x) dilanjutkan oleh g(x) menghasilkan nilai 6. Cara lain adalah dengan memanfaatkan definisi fungsi komposisi. (g(x)of(x)) = g(f(x)) = g(3x + 5) = 7 3(3x + 5) = 8 9x Untuk x = maka nilai g(f()) = 8 9() = 6. Jadi, pemetaan x = oleh fungsi f(x) dilanjutkan oleh g(x) adalah 6. Contoh 37 : Diketahui f(x) = x + 7 dan (fog)(x) = 5x + 3. Tentukan g(x). f(g(x)) = g(x) + 7 5x + 3 = g(x) + 7 g(x) = 5x 4 Contoh 38 : Jika g(x 5) = 7x + 3 maka tentukan g(x). Alternatif : Pada alternatif ini kita ubah variabel x pada ruas kanan ke dalam (x 5). g(x 5) = 7x + 3 = 7(x 5) + 38 Maka g(x) = 7x + 38 Alternatif : Kita misalkan x 5 = y sehingga x = y + 5. Maka g(y) = 7(y + 5) + 3 g(y) = 7y + 38 Maka g(x) = 7x Aljabar

25 Contoh 39 : Diketahui (gof)(x) = x + 5x 5 dan f(x) = x. Maka g(x) = (gof)(x) = x + 5x 5 g(f(x)) = x + 5x 5 g(x ) = x + 5x 5 Alternatif : g(x ) = (x ) + 4x + 5x 5 g(x ) = (x ) + 9x 7 g(x ) = (x ) + 9(x ) + Maka g(x) = x + 9x + Alternatif : Misalkan y = x maka x = y + g(y) = (y + ) + 5(y + ) 5 g(y) = y + 9y + Maka g(x) = x + 9x + Contoh 40 : Diketahui (gof)(x) = 4x + 4x dan g(x) = x dan berlaku f(x) > 0 untuk x >, maka f(x ) adalah g(f(x)) = 4x + 4x (f(x)) = 4x + 4x (f(x)) = 4x + 4x + = (x + ) Karena f(x) > 0 untuk x > f(x) = x + f(x ) = (x ) + f(x ) = x 3 Jadi, f(x ) = x 3 maka C. Fungsi Invers dari y = f(x) Berdasarkan fungsi y = f(x) = x+ 3 x dari keterangan sebelumnya jika diketahui nilai x kita dengan mudah mencari nilai y. Bagaimana caranya bila yang diketahui adalah nilai y dan kita diminta mencari nilai x untuk nilai y tersebut? Persoalan ini dapat diselesaikan apabila kita bisa mendapatkan fungsi inversnya yaitu x = f(y). Contoh 4 : Tentukan invers dari fungsi y = f(x) = 3x 8 y = 3x 8 y+8 x = 3 Didapat fungsi inversnya adalah f - x+8 (x) = 3 0 Aljabar

26 Contoh 4 : Tentukan invers dari fungsi y = f(x) = x+ 3 x. Dari y = x+ 3 x x(y + ) = 3y 3y x = y+ didapat 3y yx = x + sehingga 3x Didapat fungsi inversnya adalah f - (x) = x+ D. Hubungan fungsi invers dengan fungsi komposisi. Misalkan f (x) dan g (x) berturut-turut menyatakan fungsi invers dari f(x) dan g(x). Maka (f o g) (x) = (g o f )(x) (g o f) (x) = (f o g )(x) Contoh 43 : Jika f(x) = 5x + 3 dan g(x) = x+ 3 5 x maka tentukan (f o g) (x). Alternatif : Berdasarkan keterangan dalam pembahasan mengenai fungsi komposisi akan didapat 7 x+ 30 (f o g)(x) = 5 x. Maka invers dari (f o g)(x) tersebut adalah 5x 30 (f o g) (x) = x+ 7 Alternatif : Berdasarkan apa yang dipelajari sebelumnya akan didapat f x 3 (x) = 5 dan g 5x 3 (x) = x+ sehingga 5x 30 (g o f )(x) = x+ 7 Jadi, didapat (f o g) (x) = (g o f )(x). LATIHAN 3 :. Jika f(x) = x + 3, maka f(x ) + (f(x)) f(x) =. Diketahui g(x) = x + dan (gof)(x) = 3x + 4. Maka f(x) = 3. (OSK 007) Misalkan f(x) = x -, dan g(x) = x. Jika f(g(x)) = 3, maka x = 4. Diketahui (fog)(x) = 5x. Jika g(x) = 5x, maka f(x) = 5. Fungsi g(x) = x + x + 5 dan (f(g(x)) = 3x + 6x 8, maka f(x) = 6. Jika f(x) = x + ; g(x) = 5x + 3 dan h(x) = 7x, maka (fogoh)(x) = Aljabar

27 ax+ 7. Ditentukan f ( x) =. Jika f (4) =, maka f(3) = x x 8. Jika f ( x) = x dan ( x) = x, maka + g ( g f ) ( x) = o 9. Jika f(x) = + x 4 x dan (fog)(x) = x x+ 5 dan berlaku g(x) 0 untuk x >, maka g(x 3) = 0. (OSK 0 Tipe 3) Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi f(xy) = y positif x dan y. Jika f(00) = 3 maka f(0) adalah f ( x) untuk semua bilangan real. (OSK 003) Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi f + f x ( ) ( ) = x x x untuk setiap bilangan real x 0. Berapakah nilai f()?. (AHSME 996) Sebuah fungsi f : Z Z dan memenuhi n + 3 jika n ganjil f(n) = n jika n genap Misalkan k adalah bilangan ganjil dan f(f(f(k))) = 7. Tentukan penjumlahan digit-digit dari k. 3. (OSP 004) Misalkan f sebuah fungsi yang memenuhi f(x) f(y) f(xy) = x + y, untuk setiap bilangan bulat x dan y. Berapakah nilai f(004)? 4. (OSK 006) Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(49) = 5. (NHAC Second Round) Misalkan f adalah fungsi untuk semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + dan f( x) = f(x). Nilai dari f(3) sama dengan + f ( x) = x 6. (OSP 009) Suatu fungsi f : Z Q mempunyai sifat ( ) f ( ), maka nilai fungsi f(009) adalah f x + untuk setiap x Z. Jika f() = 7. (AIME 988) Misalkan f(n) adalah kuadrat dari jumlah angka-angka n. Misalkan juga f (n) didefiniskan sebagai f(f(n)), f 3 (n) sebagai f(f(f(n))) dan seterusnya. Tentukan nilai dari f 998 (). Aljabar

28 4. SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut : (i) x 5x + 9 (ii) 4x 3 + 6x x (iii) x 4 7x 3 + 8x + x 5 (iv) x 5 + x 4 + 7x 3 8x + 3x 4 Bentuk-bentuk aljabar di atas disebut juga dengan suku banyak atau polinom dalam peubah (variabel) x. Yang dimaksud derajat suatu sukubanyak dalam peubah x adalah pangkat tertinggi dari peubah x yang termuat dalam suku banyak tersebut. Suku banyak pada (i) memiliki derajat sedangkan suku banyak pada (ii), (iii) dan (iv) berturutturut berderajat 3, 4 dan 5. B. Kesamaan Suku Banyak Misalkan terdapat dua buah suku banyak f(x) dan g(x) yang dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut : f(x) = a n x n + a n- x n- + a n- x n- + + a x + a o dan g(x) = b n x n + b n- x n- + b n- x n- + + b x + b o Kalau f(x) sama dengan g(x) (dapat ditulis f(x) g(x)) maka harus memenuhi a n = b n ; a n- = b n- ; a n- = b n- ; ; a = b ; a o = b o Contoh 44 : Diketahui kesamaan dua buah suku banyak p(x + ) + q(x ) 7x 3. Nilai p + q = p(x + ) + q(x ) 7x 3 px + p + qx q 7x 3 (p + q)x + p q 7x 3 Berdasarkan kesamaan dua suku banyak maka p + q = 7 dan p q = 3 yang menghasilkan p = dan q = 5 Jadi, p + q = () + (5) = C. Pembagian Suku Banyak Sebagaimana pembagian dalam bilangan, pembagian suku banyak pun memiliki kemiripan dengan pembagian pada bilangan tersebut. Pembagian f(x) oleh p(x) dapat ditulis sebagai berikut : f(x) = p(x) g(x) + s(x) dengan f(x) adalah suku banyak yang akan dibagi p(x) adalah pembagi g(x) adalah hasil bagi s(x) adalah sisa pembagian Sebagaimana dalam pembagian bilangan, persyaratan s(x) adalah bahwa pangkat tertinggi (derajat) dari s(x) harus kurang dari p(x). Cara pembagian dalam suku banyak pun mengikuti pembagian dalam bilangan. Contoh 45 : Tentukan hasil bagi dan sisanya jika 4x 4 + 3x 3 x + x 7 dibagi x + 4x f(x) = 4x 4 + 3x 3 x + x 7 = (x + 4x ) q(x) + s(x) Karena f(x) berderajat 4 maka q(x) akan berderajat sehingga q(x) = ax + bx + c 3 Aljabar

29 Karena koefisen x 4 dari f(x) sama dengan 4 maka koefisien x dari q(x) juga 4 sehingga a = 4. Kalikan 4x dengan (x + 4x ) didapat 4x 4 + 6x 3 8x. Kurangkan 4x 4 + 3x 3 x + x 7 dengan 4x 4 + 6x 3 8x didapat 3x 3 + 6x + x 7. Karena koefisien x 3 sama dengan 3 maka koefisien x dari q(x) sama dengan 3 sehingga b = 3. Kalikan 3x dengan (x + 4x ) didapat 3x 3 5x + 6x. Kurangkan 3x 3 + 6x + x 7 dengan 3x 4 5x + 6x didapat 58x 5x 7. Karena koefisien x sama dengan 58 maka konstanta dari q(x) sama dengan 58 sehingga c = 58. Kalikan 58 dengan (x + 4x ) didapat 58x + 3x 6. Kurangkan 58x 5x 7 dengan 58x + 3x 6 didapat 57x Jadi, 4x 4 + 3x 3 x + x 7 = (x + 4x ) (4x 3x + 58) 57x Maka pembagi dan sisa jika suku banyak 4x 4 + 3x 3 x + x 7 dibagi x + 4x berturut-turut adalah 4x 3x + 58 dan 57x Contoh 45 merupakan pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun. Apabila pembaginya linier maka pembagian juga dapat dilakukan dengan cara horner. Contoh 46 : Tentukan hasil bagi dan sisanya jika f(x) = x 3 + x + 3x 5 dibagi x Maka pembagian f(x) = x 3 + x + 3x 5 oleh x akan menghasilkan x + 4x + dengan sisa 7. D. Teorema Sisa Dari penjelasan sebelumnya telah kita dapatkan bahwa f(x) = p(x) g(x) + s(x) Jika diambil p(x) = x k maka akan didapat f(x) = (x k) g(x) + s Jika diambil x = k maka didapat f(k) = s Jadi, didapat suatu teorema bahwa jika suku banyak f(x) dibagi oleh x k maka sisanya adalah f(k). Teorema di atas dikenal dengan nama teorema sisa atau dalil sisa. Lebih lanjut dengan cara yang sama didapat bahwa jika f(x) dibagi (ax + b) maka sisanya adalah b. f ( ) a Contoh 47 : Tentukan sisanya jika f(x) = x 4 6x 3 6x + 8x + 6 dibagi x Dengan teorema sisa akan didapat sisa jika f(x) dibagi x adalah f(). Sisa = f() = = 34. Jadi, sisa jika f(x) = x 4 6x 3 6x + 8x + 6 dibagi x adalah 34. Coba kerjakan soal di atas dengan cara Horner. Contoh 48 : Diketahui bahwa f(x) jika dibagi x bersisa 5 sedangkan jika dibagi x + akan bersisa 3. Maka jika f(x) dibagi x akan memiliki sisa 4 Aljabar

30 Persoalan ini sama saja dengan menentukan s(x) jika f(x) = (x )(x + ) g(x) + s(x) dengan f() = 5 dan f( ) = 3. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa derajat sisa selalu kurang dari pembagi. Karena derajat pembagi sama dengan maka kita dapat memisalkan bahwa derajat sisa sama dengan. Jadi, dapat dimisalkan bahwa s(x) = ax + b. Jika ternyata derajat s(x) sama dengan 0 maka akan didapat bahwa a = 0. Maka f(x) = (x )(x + ) g(x) + ax + b Karena f() = 5 maka f() = a + b = 5 () Karena f( ) = 3 maka f( ) = a + b = 3 () Dari persamaan () dan () didapat a = dan b = 4 Jadi, f(x) dibagi x akan memiliki sisa x + 4 E. Teorema Faktor Setelah mempelajari teorema sisa, maka selanjutnya akan dipelajari pengertian faktor dalam suku banyak. Pengertian faktor dalam suku banyak dapat dinyatakan dalam bentuk teorema faktor berikut : Misalkan f(x) adalah suku banyak. (x k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0 Perhatikan bahwa pernyataan di atas merupakan biimplikasi. Sehingga pernyataan di atas memiliki arti : () Jika (x k) merupakan faktor dari f(x) maka f(k) = 0 () Jika f(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor dari f(x) Pada contoh di atas memiliki arti juga bahwa k adalah merupakan akar-akar persamaan f(x) = 0. Jika f(x) merupakan suku banyak dalam derajat n maka ada paling banyak n buah akar real persamaan f(x) = 0. Contoh 49 : Tunjukkan bahwa (x + ) merupakan faktor dari f(x) = x 4 + 3x 3 + 4x + 8x + 8. f( ) = ( ) 4 + 3( ) 3 + 4( ) + 8( ) + 8 = 0 Karena f( ) = 0 maka sesuai teorema faktor maka (x + ) merupakan faktor dari f(x). Terbukti. Contoh 50 : Tentukan semua faktor linier dari x 4 x 3 3x + 4x + 4 = 0 Kita akan mencoba menyelesaikannya dengan horner. Faktor bulat dari 4 adalah ±, ±, ±3, ±4, ±6, ±8, ± dan ±4. Kita akan mencoba akar-akar tersebut jika ada Karena sisanya tidak sama dengan 0 maka (x ) bukan faktor Aljabar

31 Karena sisanya sama dengan 0 maka (x ) adalah faktor linier. x 4 x 3 3x + 4x + 4 = (x )(x 3 3x ) Karena sisanya sama dengan 0 maka (x + ) adalah faktor linier. x 4 x 3 3x + 4x + 4 = (x )(x + )(x x ) x 4 x 3 3x + 4x + 4 = (x )(x + )(x 4)(x + 3) Maka faktor-faktor linier dari x 4 x 3 3x + 4x + 4 adalah (x + ), (x ), (x + 3) dan (x 4). F. Teorema Vieta n Jika p( x) = a x + a n x + a n x + L + a x a adalah polinomial dengan pembuat nol : n n n + x, x, x 3,, x n, (dengan kata lain x, x, x 3,, x n adalah akar-akar p(x) = 0) maka hubunganhubungan berikut berlaku : an x x + x + L + x n + x n = + 3 i< j i< j< k an xi x j = xx + xx3 + L + xx3 + xx4 + L+ xn xn = an an an 3 xi x j xk = xx x3 + xx3 x4 + L + xx3x4 + xx4x5 + L+ xn xn xn = an x x3 L x n x n = n ( ) a an x 0 M 0 Contoh 5 : Persamaan kuadrat x + 5x 7 = 0 memiliki akar-akar x dan x. Tentukan nilai x 3 + x 3. Dari persamaan x + 5x 7 = 0 didapat nilai A =, B = 5 dan C = 7 x + x = B A = 5 x x = A C = 7 x 3 + x 3 = (x + x ) 3 3x x 3x x x 3 + x 3 = (x + x ) 3 3x x (x + x ) x 3 + x 3 = ( 5) 3 3( 7)( 5) = 5 05 x 3 + x 3 = 30. Contoh 5 : Persamaan suku banyak x 4 5x 3 6x + 4x 5 = 0 memiliki akar-akar a, b, c dan d. Maka nilai dari a. a + b + c + d b. a + b + c + d adalah 6 Aljabar

32 a + b + c + d = 5 ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6 abc + abd + acd + bcd = 4 abcd = 5 a. a + b + c + d = (a + b + c + d) (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 5 ( 6) = 57 abc + abd + acd + bcd b. a + b + c + d = abcd 4 = 5 4 = 5 Contoh 53 : (OSP 005/Canadian MO 996) Jika α, β dan γ adalah akar-akar x 3 x = 0 maka tentukan nilai + α + β + γ α + β + γ. Dengan melihat Ax 3 + Bx + Cx + D = 0 dan x 3 x = 0 didapat A =, B = 0, C = dan D =. B + = A = 0 α β + γ αβ αγ + βγ + = C A = = αβγ = ( ) = = D A + α + β + γ α + β + γ = = = ( + α )( β )( γ ) + ( + β )( α )( γ ) + ( + γ )( α )( β ) ( α )( β )( γ ) 3 3 = 7 ( α + β + γ ) ( αβ + αγ + βγ ) + 3αβγ ( α + β + γ ) + ( αβ + αγ + βγ ) αβγ ( 0) ( ) + 3( ) ( + ( ( ) LATIHAN 4 :. Jika f(x) dibagi dengan (x ) sisanya 4, sedangkan jika dibagi dengan (x + 5) sisanya 0. Jika f(x) dibagi dengan x + 3x 0 sisanya adalah. Jika v(x) dibagi x x dan x + x berturut-turut akan bersisa 5x + dan 3x +, maka bila v(x) dibagi x sisanya adalah 3. (OSP 006) Jika (x ) membagi ax 4 + bx 3 +, maka ab = 4. (OSK 008) Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat dan x x merupakan faktor dari ax 3 + bx +, maka b = 5. (AHSME 999) Tentukan banyaknya titik potong maksimal dari dua grafik y = p(x) dan y = q(x) dengan p(x) dan q(x) keduanya adalah suku banyak berderajat empat dan memenuhi koefisien x 4 dari kedua suku banyak tersebut adalah. 6. Suku banyak f(x) dibagi (x + ) sisanya dan dibagi (x 3) sisanya 7. Sedangkan suku banyak g(x) jika dibagi (x + ) akan bersisa 3 dan jika dibagi (x 3) akan bersisa. Diketahui h(x) = f(x) g(x). Jika h(x) dibagi x x 3, maka sisanya adalah 7 Aljabar

33 7. (OSP 009) Misalkan p(x) = x 6 dan A = {x R p(p(x)) = x}. Nilai maksimal dari { x : x A} adalah 8. Jika persamaan (3x x + ) 3 dijabarkan dalam suku-sukunya maka akan menjadi persamaan polinomial a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a x + a 0. Tentukan nilai dari : a) a 6 + a 5 + a 4 + a 3 + a + a + a 0 b) a 6 a 5 + a 4 a 3 + a a + a 0 c) a 6 + a 5 + a 4 + a 3 + a + a d) a 6 + a 4 + a + a 0 9. (OSK 00) Polinom P(x) = x 3 x + x mempunyai tiga pembuat nol yaitu a, b, dan c. Nilai dari a 3 + b 3 + c 3 adalah 0. Tentukan semua nilai m sehingga persamaan x 4 (3m + )x + m = 0 memiliki 4 akar real yang membentuk barisan aritmatika.. (OSP 008) Misalkan a, b, c, d bilangan rasional. Jika diketahui persamaan x 4 + ax 3 + bx + cx + d = 0 mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah dan 008. Nilai dari a + b + c + d adalah. (OSP 00) Persamaan kuadrat x px p = 0 mempunyai dua akar real α dan β. Jika α 3 + β 3 = 6, maka hasil tambah semua nilai p yang memenuhi adalah 3. (AIME 996) Akar-akar x 3 + 3x + 4x = 0 adalah a, b dan c. Persamaan pangkat tiga dengan akarakar a + b, a + c dan b + c adalah x 3 + rx + sx + t = 0. Tentukan nilai t. 4. (OSK 003/South Carolina MC 996) Misalkan bahwa f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + c dan bahwa f() = f() = f(3) = f(4) = f(5). Berapakah nilai a? 5. (AIME 993) Misalkan p o (x) = x x 77x 8 dan p n (x) = p n (x n). Tentukan koefisien x dari p 0 (x). 6. (OSP 009) Misalkan a, b, c adalah akar-akar polinom x 3 8x + 4x. Jika f(x) = x 3 + px + qx + r adalah polinom dengan akar-akar a + b c, b + c a, c + a b maka f() = 7. (NAHC Second Round) Misalkan p(x) = x 6 + ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx + ex + f adalah polinomial yang memenuhi p() =, p() =, p(3) = 3, p(4) = 4, p(5) = 5 dan p(6) = 6. Nilai dari p(7) adalah 8. (OSP 00) Diberikan polinomial P(x) = x 4 + ax 3 + bx + cx + d dengan a, b, c, dan d konstanta. Jika P() = 0, P() = 0, dan P(3) = 30, maka nilai P( ) + P( 8) = 0 9. (AIME 003 Bagian Kedua) Akar-akar persamaan x 4 x 3 x = 0 adalah a, b, c dan d. Tentukan nilai dari p(a) + p(b) + p(c) + p(d) jika p(x) = x 6 x 5 x 3 x x. 0. (Canadian MO 970) Diberikan polinomial f(x) = x n + a x n- + a x n- + + a n- x + a n dengan koefisien a, a,, a n semuanya bulat dan ada 4 bilangan bulat berbeda a, b, c dan d yang memenuhi f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi f(k) = 8. 8 Aljabar

34 5. PERSAMAAN Ada beberapa persamaan yang akan dibahas, yaitu : A. Persamaan Kuadrat Bentuk persamaan kuadrat adalah Ax + Bx + C = 0. ) Pengertian akar Misalkan x dan x adalah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat di atas. Nilai x dan x dikenal juga dengan akar-akar. Maka berlaku. Ax + Bx + C = 0 Ax + Bx + C = 0 ) Menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat Untuk mencari nilai x yang memenuhi dapat dicari dengan cara kuadrat sempurna, memfaktorkan maupun dengan menggunakan rumus x, = B± B 4 AC A sebagaimana yang telah didapatkan dari pelajaran di kelas. Persamaan B 4AC dikenal dengan nama diskriminan. Nilai diskriminan ini menentukan jenisjenis akar (nilai x dan x ). Ada tiga kemungkinan nilai diskriminan. Jika B 4AC > 0 maka x dan x keduanya real dan berbeda. Jika B 4AC = 0 maka x = x serta x dan x keduanya real. Jika B 4AC < 0 maka x dan x keduanya tidak real. 3) Hubungan kedua akar Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x dan x dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan x (x + x )x + x x = 0. Misalkan terdapat persamaan kuadrat Ax + Bx + C = 0 yang memiliki akar-akar x dan x. Maka hubungan antara x dan x adalah sebagai berikut. x + x = x x = A C B A 4) Menentukan persamaan kuadrat baru. Misalkan persamaan kuadrat Ax + Bx + C = 0 memiliki akar-akar x dan x. Ada beberapa cara jika ingin menentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x 3 dan x 4 dan memiliki hubungan tertentu dengan x dan x. a. Membawa ke dalam persamaan x (x 3 + x 4 )x + x 3 x 4 = 0. Misalkan terdapat persamaan kuadrat Ax + Bx + C = 0 yang memiliki akar-akar x dan x. Dari keterangan sebelumnya akan didapatkan nilai dari x + x dan x x. Jika dapat ditentukan nilai dari x 3 + x 4 dan x 3 x 4 ke dalam bentuk x + x dan x x maka berarti nilai dari x 3 + x 4 dan x 3 x 4 dapat ditentukan sehingga akan didapat persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x 3 dan x 4 yaitu x (x 3 + x 4 )x + x 3 x 4 = 0. b. Melakukan subtitusi setelah menghilangkan indeks Jika dari hubungan x 3 dan x 4 yang memiliki hubungan tertentu dengan x dan x kita hilangkan indeksnya lalu kita subtitusikan ke persamaan semula dan mendapatkan persamaan kuadrat baru. Maka persamaan kudarat tersebut memiliki akar-akar x 3 dan x 4. 5) Menentukan nilai suatu bilangan yang berbentuk a + b + ab dan a + b ab Jika a + b dan a b keduanya dikuadratkan akan didapat ( a + b ) = a + b + ab ( a b ) = a + b ab 9 Aljabar

35 Sehingga dapat ditentukan nilai dari a + b + ab dan a + b ab, yaitu a + b + ab = a + b a + b ab = a b dengan syarat a b. Contoh 54 : Jika salah satu akar x + (a + )x + (3a + ) = 0 adalah 5, maka akar lainnya adalah Sesuai pengertian akar maka akan didapat 5 + (a + ) 5 + (3a + ) = 0 a = 4 Persamaan kuadrat tersebut adalah x + ( 4 + )x (3( 4) + ) = 0 x 3x 0 = 0 (x 5)(x + ) = 0 x = 5 dan x = Jadi, akar lainnya adalah. Contoh 55 : Jika x dan x akar-akar persamaan cx + bx + a = 0, maka + = x x x + x = c b x x = c a x x x x + x + = ( ) x x xx + = ( ) x + x ( x x ) b + = x a ac x x Contoh 56 : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x + 5x 4 = 0 adalah Misalkan x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat x + 5x 4 = 0. Maksud soal adalah menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x 3 = x + 3 dan x 4 = x + 3. Alternatif : x + x = 5 dan x x = 4 x 3 + x 4 = (x + x ) + 6 = x 3 x 4 = (x + 3)(x + 3) = x x + 3(x + x ) + 9 = = 30 Persamaan kuadrat baru adalah x (x 3 + x 4 )x + x 3 x 4 = 0. Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah x x 30 = 0 30 Aljabar

36 Alternatif : Misalkan y 3 = x + 3 dan y 4 = x + 3 Jika indeks dihilangkan akan didapat y = x + 3. Subtitusikan x = y 3 ke persamaan semula. (y 3) + 5(y 3) 4 = 0 y y 30 = 0 y y 30 = 0 merupakan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x + 3 dan x + 3. Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah x x 30 = 0 Contoh 57 : = LL = 8 + = Memperhatikan a + b + ab = a + b, maka = 6 + Contoh 58 : (AIME 983) Tentukan hasil kali semua akar-akar real x + 8x + 30 = x + 8x Misalkan y = x + 8x + 30 dan kuadratkan kedua ruas persamaan semula, maka y = 4(y + 5) (y 0)(y + 6) = 0 Karena akar dari suatu bilangan tak mungkin negatif maka nilai y yang memenuhi hanya y = 0. Jadi, terdapat dua akar yang tidak real. x + 8x + 30 = 0 sehingga x + 8x + 0 = 0 Jadi, hasil kali kedua akar persamaan x + 8x + 0 = 0 sama dengan 0. Contoh 59 : (OSK 00) Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga a+ 0b + = Tentukan nilai b a. Karena a b a b a + 0 b a + 0 b + = a b = x x = 0 Misal + = maka a+ 0b b+ 0a x, maka x x + 0 = 0x + 9x (5x 4) (x ) = 0 x = atau x = 5 4 Jadi, karena a b, maka x. a 4 Jadi, b = 5 a b b+ 0a 3 Aljabar

37 LATIHAN 5.A. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih besar dari akar-akar x + px + = 0 tapi tiga lebih kecil dari akar-akar persamaan x 3x + q = 0 adalah + 3x x x. Jika p = maka batas-batas p supaya x real adalah 3. Jika kedua akar persamaan kuadrat x px + p = 0 bernilai real positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi adalah 4. Jika x dan x akar-akar persamaan x + x + 4 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya x dan x adalah 5. (OSK 005) Misalkan a dan b adalah bilangan real taknol yang memenuhi 9a ab + 4b = 0. Tentukan b a. 6. (AIME 990) Tentukan nilai dari ( ) / ( ) 3 / (AIME 990) Tentukan penyelesaian positif x 0x 9 + x 0x 45 = x 0x (OSK 0 Tipe ) Jumlah dari seluruh solusi persamaan 4 x = 4 7 x adalah Diketahui α dan β adalah dua bilangan berbeda yang memenuhi α = 5α 9 dan β = 5β 9. Nilai dari α + β adalah 0. (ARML 999 Individual) Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x 4x = 0. hitunglah nilai dari : ( + a + a + )( + b + b + ). (OSP 00) Tinjau persamaan yang berbentuk x + bx + c = 0. Berapa banyakkah persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika koefisien b dan c hanya boleh dipilih dari himpunan {,,3,4,5,6}?. (OSK 00) Jika a dan b bilangan bulat sehingga merupakan solusi kuadrat x + ax + b = 0 maka nilai a + b adalah 3. (OSK 00) Diketahui bahwa ada tepat bilangan asli n sehingga n + n + 00 merupakan kuadrat sempurna. Bilangan asli n tersebut adalah 4. Akar-akar persamaan kuadrat x + 6x + c = 0 adalah x dan x sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x + (x + x )x + 4 = 0 adalah u dan v. Jika u + v = uv maka nilai dari x 3 x + x x 3 adalah 5. α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x 3(a )x + a + 4b = 0. Jika α = β maka nilai dari a + b = 3 Aljabar