MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Transkripsi

1 5 MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Pada bab ii dibahas tetag persamaa diferesial biasa, ordiar differetial equatios (ODE) ag diklasifikasika kedalam masalah ilai awal (iitial value) da masalah ilai batas (boudar value), dimaa kedua keadaa ii solusia dispesifikasi pada waktu awal (iitial time). Aka disajika beberapa metode pedekata komputasi umerik utuk meagai permasalaha ag berkaita dega persamaa diferesial biasa, dega beberapa cotoh kasus terapa. A. SASARAN UMUM Sasara umum dari perkuliaha ii adalah memberika pemahama kepada mahasiswa megeai peelesaia persamaa diferesial biasa ke dalam model komputasi umerik, ag baak dijumpai dalam formulasi feomea atau sistem fisika. B. SASARAN KHUSUS Setelah perkuliaha selesai dilaksaaka, mahasiswa diharapka mampu:. Mejelaska kosep ilai awal da ilai batas dalam persamaa diferesial biasa dalam pedekata komputasi umerik.. Meebutka beberapa metode ag populer diguaka dalam meelesaika permasalaha persamaa diferesial biasa. 3. Mejelaska strategi dasar dari beberapa metode komputasi umerik utuk persamaa diferesial biasa 4. Megimplemetasika dalam betuk program tetag persamaa diferesial biasa dalam beberapa kasus ag ditagai. C. URAIAN MATERI fisika-komputasi 86

2 Baak hukum-hukum fisika ag sagat pas diformulasika dalam betuk persamaa diferesial. Lebih lajut, tidak megheraka bahwa solusi komputasi umerik dari persamaa-persamaa diferesial mejadi bagia ag umum dalam pemodela sistem-sistem fisika. Beberapa hukum medasar diataraa sebagai berikut: Hukum Hukum Newto II tetag gerak Hukum Paas Fourier Hukum Farada Formulasi Matematika dv F = dt m dt q = k' dx V L = L di dt Variabel & Parameter Kecepata (v), gaa (F) da massa (m) Flux paas(q), koduktivitas termal (k ) da temperatur (T) Tegaga Drop ( da arus (i) VL ), iduktasi (L) Betuk umum persamaa diferesial biasa adalah set M pasag persamaa orde satu, d = f ( x, ) (5.) dx dimaa x adalah variabel bebas, da adalah sebuah set dari M variabel takbebas ( f adalah vektor kompoe M). Persamaa diferesial orde ag lebih tiggi bisa dituliska dalam betuk persamaa diferesial orde satu. Gerak dimesi sebuah partikel bermassa m, dibawah pegaruh gaa sebesar F(), dituliska dalam betuk persamaa orde dua: d m = F ( ) (5.) dt Jika mometum didefiisika sebagai perkalia massa dega kecepata, ag dituliska sebagai d p ( = m (5.3) dt maka persamaa (5.) mejadi dua pasag persamaa orde satu (Hamilto), d p dp = da = F () (5.4) dt m dt fisika-komputasi 87

3 Aka dibahas beberapa metode utuk meelesaika persamaa diferesial biasa, dega peekaa pada masalah ilai awal. Artia, mecari (x) ag diberika oleh ilai pada beberapa titik awal, (x=)=. Kasus atau masalah dalam tipe ii, diataraa saat memberika posisi awal da mometum suatu partikel da diharapka memberika atau meemuka gerak selajuta, megguaka persamaa (5.3). Masalah ilai awal pada persamaa diferesial biasa bisa dituliska dalam betuk '( = f (, ; ( ) = (5.5) dimaa f(, adalah fugsi terhadap da t, da persamaa kedua adalah keadaa awal. Pada persamaa (5.5) turua pertama terhadap diberika sebagai fugsi da t, da aka dicari fugsi ag tidak diketahui dega melakuka itegrasi f (,. Baak cotoh utuk masalah ilai awal persamaa diferesial biasa, atara lai: (a) '( = 3 + 5, () = (b) '( = t +, () = (c) '( =, () = + (d) ' =, ' =, () =, () = Prisip metode komputasi umerik utuk persamaa diferesial bia sa adalah meetuka solusi pada titik-titik, t =t - +h, dimaa h adalah lebar lagkah ( atau iterval waktu). Ada beberapa pemilaha tipe metode, diataraa metode Euler, metode Ruge-Kutta, da metode Predictor-Corrector. Berdasarka kaku tidaka persamaa (stiff equatio), ada kategori ostiff equatio, meliputi metode Euler, metode Ruge -Kutta da metode Predictor-Corrector. Sedagka kategori stiff equatio meliputi metode implisit da metode trasformasi ekspoesial. Dega pertimbaga ragam pema hama, pada bab ii ditelaah 3 macam metode berdasarka tigkata kasus da metode ag ditagai aitu metode Sederhaa, metode Implisit da metode Ruge-Kutta. fisika-komputasi 88

4 5. METODE SEDERHANA Secara umum, solusi persamaa diferesial dari persamaa (5.4) didekati dega keadaa awal, (x=)=. Lebih spesifik, sebeara bisa diaalisis pada ilai dega sebarag x, misala. Strategi umum pada metode sederhaa ii adalah membagi iterval [,] mejadi sejumlah N, sehigga lebar sub-iterval sama h=/n, kemudia membagu sebuah formula rekursi terkait pada { -, -,} dimaa adalah pedekata pada (x =h). Sebagaimaa sebuah rekursi, pola itegrasi selagkah demi lagkah pada persamaa diferesial dari x= sampai x=. Salah satu algoritma metode sederhaa adalah metode Euler, dimaa persamaa (5.) ditijau pada titik x dega pedekata diferesiasi beda maju, seperti ag telah dibahas pada bab IV, sehigga + + O( h) = f ( x, ) h (5.6) sehigga relasi rekursi + ag diataka da lam betuk adalah + = + hf ( x, ) + O( h ) (5.7) Formula ii memiliki kesalaha lokal ( ag terjadi karea lagkah tuggal dari ke + ) sebesar O(h ). Kesalaha global ag terjadi dalam mecari () dega memberika sejumlah N lagkah itegrasi dari x= sampai x= sebesar N kali O(h ) O(h). Cotoh 5. Selesaika set persamaa diferesial biasa berikut dega metode dega h=,5ð da h=,5 ð : ' =, () = ' =, () = solusi Kalkulasi utuk lagkah pertama de ga h=,5ð ditujukka berikut ii. fisika-komputasi 89

5 t = ; = = = + h = + (,5π )() =. t =,5π : = h = (,5π )() =,57 t =,π : = + h = + (,5π )(,57 ) =,99999 = h =,57 (,5π )() =,34 pada tabel dibawah disajika hasil perhituga utuk ilai-ilai t ag dipilih dibadigka dega solusi eksak, =cos( da =-si(. t Eksak h=,5ð h=,5 ð Z.5 ð ð,5 ð ð 3 ð 6 ð 8 ð - - -,3E-4 -,497-4,E-4,558 -,768,5954,89 -,4 -,67E-4,377 5,48E-4-8,43E-4,8E-3,54E-3,6E-6 -,47-7,88E-6,495 -,743,49,994 -,3-5,5E-6,37,5E-5 -,58E-5 3,9E-5 4,7E-5 Dari hasil diatas meujukka bahwa kesalaha pada bertambah dega pertambaha t, da sebadig dega h ( lihat bahwa ilai utuk t= ð, ð, 3ð, 6ð da 8ð: ilai utuk t tersebut tidak megikuti tred ag sama, karea ketika ol, kesalaha secara sigifika dipegaruhi oleh pergesera fase. Cotoh 5. Buatlah program utuk mecari ilai pedekata komputasi umerik, dari persamaa diferesial dega keadaa batas, d dx = x; () = Itegrasika maju dari x= sampai x=3, dimaa solusia adalah e x. solusi Program dalam BASIC Iputa adalah lebar lagkah (h) da output ag ditampilka adalah hasil itegrasi da kesalaha ag terjadi. fisika-komputasi 9

6 DEF FNF(X,Y)=-X*Y INPUT masukka ilai h ;H 3 IF H <= THEN STOP 4 N=3/H 5 Y= 6 FOR I%= TO N%- 7 X=I%*H 8 Y=Y+H*FNF(X,Y) 9 DIFF=EXP(-,5*(X+H)^)-Y PRINT I%, X+H, Y, DIFF NEXT I% GOTO Kesalaha jawaba atau hasil ditetuka dari ()=e -/ =,6653 da (3)=e - 9/ =,9. Tigkat kesalaha dalam itegrasi d/dx=-x dega ()=, pada variasi lebar lagkah seperti terlihat pada tabel berikut. Euler dega persamaa (5.7) H () (3),5 -,43469,9, -,4633,659, -,65,338,5 -,4,67, -,45,67, -,3,38 Kesalaha aka berkurag secara liear dega semaki kecila h. Bagaimaapu, kesalaha fraksi ( kesalaha dibagi oleh ) aka meigkat terhadap x ketika lagkah semaki baak diberika di dalam itegrasi da mejadi kecil. Meskipu metode Euler kelihataa cukup baik, tetapi secara umum tidak memuaska karea akurasia redah. Metode ag lebih tiggi satu klas dari fisika-komputasi 9

7 kesederhaaaa bisa dituruka dari deret Talor ag ekspasia utuk + disekitar : ' '' + = ( x + h) = + h + h + O( h ) (5.8) dari persamaa (5.) kita memiliki ' = f ( x, ) (5.9) Jika disubtitusika pada persamaa (5.8) hasila adalah: df f f f f " = ( x, ) = + = + f (5.) dx x x x subtitusika ke (5.8) hasila adalah f f. ( 3 + = + hf + h + f + O h ) (5.) x dimaa f da turuaa dievaluasi pada (x,). Relasi rekursi memiliki kesalaha lokal O(h 3 ) da kesalaha global O(h), satu tigkat lebih akurat daripada kesalaha pada metode Euler. Metode ii sagat bermafaat ketika f diketahui secara aalitik da cukup sederhaa utuk turuaa. 5. MULTI STEP & METODE IMPLISIT Metode lai ag akurasia lebih baik, adalah megguaka relasi rekursi ag meghubugka + tidak haa pada, tetapi juga pada titik-titik lebih lajut, kataka -, -,. Utuk meuruka formulaa, kita itegralka satu lagkah persamaa diferesial (5.) + = + f ( x, ) dx (5.) + x x Masalaha adalah kita tidak tahu f melampaui iterval itegrasi. Tapi kita bisa guaka ilai pada x da x - utuk meetuka ekstrapolasi liear f, melalui iterval f ( x x ) ( x x ) f f O( h ) h h + (5.3) dimaa f f x, ). Subtitusika ke dalam (5.) da kerjaka itegral terhadap i ( i i x, lalu hasila dalam metode lagkah Adam-Bashforth adalah: fisika-komputasi 9

8 3 3 + = + h f f + O( h ) (5.4) Dega cara ag sama, metode -metode lai utuk orde tiggi bisa dituruka dega ekstrapolasi terhadap poliomial orde tiggi. Sebagai cotoh, jika f diekstrapolasi oleh poliomial kubik, dipetaka pada f, f-, f- da f-3, metode empat lagkah Adam-Bashforth meghasilka: h 4 = + ( 55 f 59 f + 37 f 9 f 3) + O( h ) (5.5) + 4 Utuk metode implisit, persamaa diselesaika dega meetuka +, pada persamaa (5.) pada sebuah titik titik-titik kisi: d dx x + = f ( x, + + ) x ( + ) h di posisi tegah atara + (5.6) Jika kita guaka pedekata simetri ag berbeda utuk turua ( aalog dega f f f ', h h ) da meggatika f+/ dega rata-rata ilai titik-titik kisi h ag berdekata ( kesalaha pada peggatia ii O(h )), persamaa (5.6) dituliska + + O( h ) = ( f f ) O( ) h + h + + (5.7) Betuk (5.7) baik da bagus, tetapi sifat + pada kedua sisi megidikasika harus ada peelesaia o trivial ( mirip dega Newto Raphso pada itegrasi) pada setiap lagkah itegrasia, ag tetua cukup meghabiska waktu. Peederhaaaa adalah jika f adalah fugsi liear f(x,)=g(x,), sehigga pada kasus pada cotoh 5., bisa diselesaika Cotoh g( x ) h + = g( x+ ) h (5.8) Selesaika kasus cotoh 5. dega metode ekspasi deret Talor, persamaa (5.) da metode Multiple & Implisit, persamaa (5.8). solusi fisika-komputasi 93

9 Dega merubah fugsi ag dideklarasika dega program BASIC, pada lie 8 list program cotoh 5., dega fugsi rekursi Talor (5.) da Implisit (5.8), maka program aka memberika hasil output dalam besar kesalaha. Berikut adalah hasil setelah di ruig, H Talor dega persamaa (5.) Implisit dega persamaa (5.8) () (3) () (3),5,,,5,,,33,56,73.3,, -,666 -,7 -,49,,, -,569 -,55 -,63 -,,,,785,55,63,,, Dilihat dari hasil, da dibadigka dega metode Euler pada cotoh 5., maka terlihat pedekata Talor da Implisit memberika hasil ag lebih baik pada lebar lagkah ag sama. Da pada kasus ii, metode Implisit lebih cepat koverge dibadig Talor maupu Euler. 5.3 METODE RUNGE-KUTTA Kekuraga utama dari metode Euler adalah tigkat akurasia ag redah. Keadaa ii membuat kerugia gada. Utuk mecapai tiggia akurasi memerluka h ag sagat kec il, disampig meigkata waktu komputasi da megakibatka terjadia kesalaha pembulata (roud off error). Pada metode Ruge-Kutta, tigkat akurasia meigkat oleh pegguaa titik-titik lajuta pada tiap-tiap lagkah iterval. Akurasi ag lebih tiggi juga memberika implikasi kesalaha berkurag lebih cepat dibadig metode akurasi tigkat redah ketika h dikuragi. Tijau persamaa diferesial biasa dega ilai batas secara umum dituliska '( = f (, ; ( ) = (5.9) utuk meghitug + pada t + = t + h dega ilai ag diketahui, kita t sebagai itegrasika persamaa (5.9) pada iterval [ ], t + fisika-komputasi 94

10 + = + f (, dt (5.) + t t dimaa dari atura trapesium pedekata utuk itegral: t + (, dt h + + t [ f (, t ) + f (, t )] f (5.) pada persamaa (5.) + tidak diketahui, sehigga betuk kedua didekati oleh f ( +, t+ ), dimaa + adalah perkiraa pertama utuk + ag dihitug dega metode Euler. Skema ag didapatka disii diamaka metode Ruge -Kutta da dirigkas sebagai berikut: + = + hf (, t ) [ f (, t ) + f (, t ] h + = atau dalam betuk ag lebih stadar k = hf (, t ) + + k = hf ( + k, t+ ) (5.) + = + [ k + k] Metode Ruge -Kutta orde kedua ii idetik dega metode Euler Predictor - Corrector, aitu metode predictor corrector ag palig sederhaa. Persamaa ii juga ekivale dega metode Euler modifikasi ag diaplikasika haa dega satu lagkah iterasi. Cotoh 5.4 Sebua h ragkaia ditujukka pada gambar 5. memiliki iduktasi diri L=5H, resistesi R= ohm, da sumber tegaga V= volt. Jika saklar ditutup pada t=, arus I( memeuhi d L I( t ) + RI ( = E, I ( ) = (5.3) dt Tetuka arus listrik ag megalir utuk t detik megguaka metode L Ruge Kutta orde kedua dega h=, Solusi: E I( R fisika-komputasi 95 Gambar 5. Ragkaia Listrik

11 Persamaa (5.3) dituliska kembali dalam betuk d dt R E I( t ) + I ( t ) + f ( I, L L kemudia metode Ruge Kutta orde dua mejadi: R E k = h I + L L R E k = h ( I + k) + L L I + = I + ( k+ k) Komputasi utuk dua lagkah diperlihatka sebagai berikut: = ( t =,) : = ( t =,) : k =, ( k =, ( [,4)() +,] =, [,4)( +,) +,] =,9 I = I + ( k + k) = = + (, +,9) =,96 k =, ( k =, ( [,4)(,96) +,] =,96 [,4)(,96 +,96 ) +,] =,8447 I = I + ( k+ k) =,96 (,96 +,8447 ) =,3843 Hasil akhir komputasi (sampai lagkah) sebagai berikut: t(detik) I(amp) t(detik) I(amp) 3 4 5,648,75,3493,399, ( ),4546,4695,4796,4863,498 (,5) Pegguaa metode Ruge Kutta pada persamaa diferesial orde ag lebih tiggi, mudah. Sebagai ilustrasi, ditijau persamaa diferesial orde kedua berikut: "( + a'( t ) + b( = q( t ), ( ) =, '() = (5.4) dimaa a da b adalah koefisie da q( adalah fugsi ag diketahui, da dua keadaa awal diberika. Dega defiisi ( t ) = '( (5.5) fisika-komputasi 96

12 persamaa (5.4) bisa direduksi mejadi sepasag persamaa diferesial orde pertama: ' = f (,,, ' = g(,, a b + q, () = () = (5.6) sehigga metode Ruge Kutta orde kedua utuk persamaa diatas dituliska sebagai berikut: k l l k = hf ( = hg( = hf (( = hg(( + +,,, t, t + k, + k, ) = h ) = h( a + l, t + l, t = + ( k + k ) = + ( l + l) b = + ) = h( + q + ) + ) = h( a( ) + ) b( + ) + q + ) ::: Studi Kasus Fisika ::: Sebuah kotak kubus bermassa M=,5 kg terikat pada ujug bawah sebuah tali tak bermassa. Pada ujug tali atas diikatka pada tiag diam. Kubus meerima resistasi R= -B d/dtdari udara, dimaa B adalah kostata dampig (lihat gambar 5.). persamaa geraka adalah: d d M + B + k=, ( ) =, ' () = (5.7) dt dt dimaa adalah perpidaha dari posisi statis, k adalah kostata pegas sebesar kg/det, da B= kg/det. Hituglah megguaka metode Ruge Kutta orde kedua: (a) ( utuk <t<,5 detik dega h=,5. (b) ( utuk <t< detik dega h=, (c) Ulagi lagkah (b) utuk B= Solusi: Persamaa (5.7) bisa dituliska sebagai Logam kubus fisika-komputasi 97 Gambar 5. Sistem massa pegas

13 ' = ' = B M f (,,, k M () = g(,,, () = B k dega megatur a = =, b = =,, da g=, metode Ruge Kutta orde M M kedua utuk persamaa (5.7) mejadi betuk persamaa (5.6) (a) Utuk =: t=,5 k l l k = hf ( = hg( = hf (( = hg((,,, t, t + k, + k ) = h ) = h(, + l, t =,5() = ) = h( + l, t ) = h[( (,5[ ( 5) ( + )] =,5 = = utuk =: t=,5 k l = hf (,, t ) = h,85 k l = hf (( = hg(( = hg(,, t ) = h( + (,5) = ( 5,5) = 3,75 + k, + k, + l, t ) = h( + l, t ) = h[( ( ) =,5( () ()) = 5 + l ) =,5( 5) =,5 + l ) ( =,5( 3,75) =, l ) ( ) + k )] = ) =,5( ( 3,75) (.9375)) = + l ) =,5( 3,75,85) =,6465,5[ ( 3,75,85) (,9375,9375 )] =,9375 = = + (,9375,6465 ) = (,85,9375) = 5,65 + k )] = (b) da (c) pada bagia ii komputasi dikerjaka dega megguaka program, da memberika hasil setelah 5 lagkah pada,75 detik, seperti terlihat pada tabel berikut: t (detik),5 (b) (B=) (meter),,83 (c) (B=) (meter),,76 fisika-komputasi 98

14 ,,5,,5,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,58,38,66 -,6 -,4 -,38 -,5 -,3 -,4,,,,,,55 -,53 -,95 -,93 -,45,35,8,996,75,75 -,59 -,973 -,889 -,378 Program dalam C # iclude <stdio.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <math.h> /* waktu: t, :, kout: jumlah lagkah atara jalur ag dicetak k, m, b: k, M(massa), B(koefisie dampig) */ mai() { it kout,, kstep=; float bm, k, k, km, l, l; static float time, k=., m=.5, b=., =. static float =., h=,; pritf( Hasil Komputasi Metode Ruge Kutta Orde Kedua \ ); pritf( t \ ); pritf( %.6f %.5e %.5e \, time,, ); km= k/m; bm=b/m; for ( =; <=; ++) { for ( kout =; kout<=5; kout++) { kstep=kstep+; time=h*kstep; fisika-komputasi 99

15 } k=h*; l=-h*(bm*+km*); k=h*(+); l=-h*(bm*(+l)+km*(+k)); =+ (k + k)/; =+(+)/; } pritf( %.6f %.5e %.5e \, time,, ); } exit () D. SOAL-SOAL (3.) Selesaika persamaa diferesial biasa berikut dalam t5 megguaka metode Euler, dega h=.5 ' + t =, ' + 3 = e t () = () = ' = ( t ), () =,5 (3.) taki kaoik berisi air dega ketiggia,5m dari dasar. Taki memiliki lobag dega radius,m pada dasara. Radius taki dalam diberika oleh r=,5, dimaa r adalah radius da adalah ketiggia ag diukur dari dasar taki. Kecepata air ag megalir melalui lubag diberika oleh v=g dimaa g=9,8 m/det. Megguaka metode Euler ( guaka h=, detik), tetuka berapa meit taki mejadi kosog. (3.3) Hituglah () utuk persamaa berikut dega metode Ruge Kutta orde pertama, dega h=. ' =, () = t + (3.4) Masalah ilai awal pada persamaa diferesial biasa diberika oleh ''' =, () = '() = ''() = Guaka metode Ruge Kutta orde kedua dega h=,, hituglah (,4) da (). (3.5) Buatlah program utuk meelesaika persamaa diferesial biasa pada soal (5.) fisika-komputasi

16 E. DAFTAR PUSTAKA Chapra, S.C., ad Caale, R.P., Numerical Methods for Egieers, McGraw-Hill, 998 Gear, C. W., Numerical Iitial Value Problems i Ordiar Differetial Equatios, Pretice-Hall, 97 Hall, G ad J.M Watt, Moder Numerical Methods for Ordiar Differetial Equatios, Claredo Press, 976 Kooi, S.E., Computatioal Phsics, Addiso-Wesle Ic, 986 Mathews, J.H., Numerical Methods for Mathematics, Sciece ad Egieerig, Pretice-Hall Ic., 99 Morris,J.L., Computatioal Methods i Elemetar Numerical Aalsis, Wile, 983 Nakamura, S., Applied Numerical Methods i C, Pretice-Hall Ic. 993 fisika-komputasi