Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang. Tatag Yuli Eko S Toto Nusantara Kusrini Ismail Atik Wintarti

Transkripsi

1

2 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Penulis Ilustrasi, Tata Letak Perancang Kulit : R. Sulaiman Tatag Yuli Eko S Toto Nusantara Kusrini Ismail Atik Wintarti : Direktorat Pembinaan SMP : Direktorat Pembinaan SMP Buku ini dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP Ukuran Buku CON : 21 x 30 cm Contextual Teaching and Learning Matematika: Sekolah Menengah Pertama/ Madrasah Tsanawiyah Kelas IX Edisi 4/R. Sulaiman,...[et. al].--jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Vi, 188 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi: hlm. 184 Indeks. ISBN 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Eko, Tatag Yuli III. Nusantara, Toto IV. Kusrini V. Ismail VI. Wintarti, Atik Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008

3 KATA SAMBUTAN Salah satu upaya untuk melengkapi sumber belajar yang relevan dan bermakna guna meningkatkan mutu pendidikan di Sekolah Menengah Pertama (SMP), Direktorat Pembinaan SMP mengembangkan buku pelajaran Matematika untuk siswa kelas VII, kelas VIII, dan kelas IX. Buku pelajaran ini disusun berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi, No. 23 Tahun 2006 tentang Standar Kompetensi Lulusan, dan berdasarkan kriteria buku pelajaran yang dikembangkan oleh Badan Standar Nasional Pendidikan. Buku pelajaran ini merupakan penyempurnaan dari bahan ajar kontekstual yang telah dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP dalam kaitannya dengan kegiatan proyek peningkatan mutu SMP. Bahan ajar tersebut telah diujicobakan ke sejumlah SMP di provinsi Kalimantan Selatan, Kalimantan Timur, Sulawesi Tengah, Sulawesi Tenggara, Sulawesi Utara, dan Gorontalo sejak tahun Penyempurnaan bahan ajar menjadi buku pelajaran yang bernuansa pendekatan kontekstual dilakukan oleh para pakar dari beberapa perguruan tinggi, guru, dan instruktur yang berpengalaman di bidangnya. Validasi oleh para pakar dan praktisi serta uji coba empiris ke siswa SMP telah dilakukan guna meningkatkan kesesuaian dan keterbacaan buku pelajaran ini. Buku pelajaran Matematika ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan, dan dinyatakan memenuhi syarat untuk digunakan sebagai buku pelajaran di SMP. Sekolah diharapkan dapat menggunakan buku pelajaran ini dengan sebaik-baiknya sehingga dapat meningkatkan efektivitas dan kebermaknaan pembelajaran. Pada akhirnya, para siswa diharapkan dapat menguasai semua Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar secara lebih mendalam, luas serta bermakna, kemudian dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Saran perbaikan untuk penyempurnaan buku pelajaran ini sangat diharapkan. Terimakasih setulus-tulusnya disampaikan kepada para penulis yang telah berkontribusi dalam penyusunan buku pelajaran ini, baik pada saat awal pengembangan bahan ajar, ujicoba terbatas, maupun penyempurnaan sehingga dapat tersusunnya buku pelajaran ini. Terimakasih dan penghargaan juga disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu terwujudnya penerbitan buku pelajaran ini. Jakarta, Juli 2008 Direktur Pembinaan SMP

4 Daftar Isi Halaman Kata Pengantar.... iii Pendahuluan... iv Daftar Isi..... vii BAB 1 Kesebangunan dan Kekongruenan 1.1 Bangun-bangun yang Sebangun Segitiga-segitiga yang Sebangun Segitiga-segitiga yang Kongruen Refleksi Rangkuman Evaluasi Mandiri BAB 2 BAB 3 BAB 4 BAB 5 Bangun Ruang Sisi Lengkung 2.1 Tabung Kerucut Bola Refleksi Rangkuman Evaluasi Mandiri Statistika 3.1 Populasi dan Sampel Ukuran Pemusatan Penyajian Data Statistik Refleksi Rangkuman Evaluasi Mandiri Peluang 4.1 Arti Peluang Nilai Peluang Secara Teoritis Refleksi Rangkuman Evaluasi Mandiri Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar 5.1 Pangkat dan Akar Operasi Bilangan Berpangkat Refleksi Rangkuman Evaluasi Mandiri v

5 BAB 6 Barisan dan Deret 6.1 Pola Bilangan Barisan Bilangan Deret Refleksi Rangkuman Evaluasi Mandiri Petunjuk Penyelesaian (Hint) Evaluasi Mandiri Daftar Pustaka Glosarium Indeks vi

6 Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Standar Kompetensi Memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 1. Mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen 2. Mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen 3. Menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah

7 1.1 Bangun-bangun yang Sebangun Apa yang akan kamu pelajari? Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak seba ngun, dengan menye but syaratnya. Menghitung panjang sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun. A Syarat Dua Bangun Datar Sebangun Jika kamu amati uang pecahan Rp50,00dan Rp100,00 yang terbuat dari logam aluminium akan tampak bahwa gambar burung Garuda di dua uang logam itu sama tetapi ukurannya berbeda. Permukaan kedua uang pecahan itu dapat dipandang sebagai bangun datar. Kata Kunci: Sebangun Faktor skala Gambar 1.1 Amatilah pasangan bangun-bangun berikut ini. a. b. c. d. Komunikasi Manakah pasangan bangun yang bentuknya berbeda? Jelaskan. Manakah pasangan bangun yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda? Jelaskan 2 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

8 Bagaimana dua bangun datar dikatakan sebangun? Apakah segiempat ABCD dan segiempat EFGH di bawah ini sebangun? A 6 cm D 9 cm A Sudut-sudut yang bersesuaian dari ABCD dan EFGH sama besar yaitu: A = E, B = F, C = G, D = H. Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama yaitu: AD AB BC DC 3 atau EH EF FG HG 4. EH EF FG HG 4 AD AB BC DC 3 B E 12 cm 8 cm 8 cm 6 cm C H G 7,5 cm 10 cm Gambar 1.2 Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama dan sisi-sisi yang seletak sebanding, maka segiempat ABCD sebangun dengan segiempat EFGH atau ditulis ABCD EFGH. Sekarang menurut kamu, apakah syarat dari dua bangun datar yang sebangun? Apakah sudut-sudut yang bersesuaian harus sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding? F Sebangun Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding Contoh 1 Apakah dua persegipanjang yang masing-masing berukuran 12 cm x 8 cm dan 6 cm x 4 cm sebangun? Jawab : 12 cm 8 cm 6 cm 4 cm Matematika SMP Kelas IX 3

9 Cek Pemahaman Contoh 2 Semua sudut persegipanjang masing-masing siku-siku dengan demikian sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama yaitu Perbandingan panjang = Perbandingan lebar = 2. 4 Karena sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama maka kedua persegipanjang tersebut sebangun. Dari contoh dan penjelasan di depan diperoleh bahwa untuk menunjukkan apakah dua bangun itu sebangun perlu dicari terlebih dahulu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Cek Pemahaman K 4 L 3 5 M Gambar 1.3 R 5 Perhatikan dua segitiga di atas. Selidiki sisi-sisinya yang bersesuaian (sisi terpanjang, sedang, dan terpendek) apakah sebanding? Apakah kedua segitiga itu sebangun? P Q Seorang tukang akan memasang ubin berbentuk segitiga dalam suatu ruang. Ubin sebenarnya seperti Gambar 1.4. Tukang itu membuat model ubin seperti gambar di bawah. Apakah model di samping sesuai dengan ubin yang akan dipasangkan? 1 m Sumber: Gambar 1.4 Gambar ubin 1 m 24 cm 24 cm 4 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

10 B Jawab: Ubin aslinya berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran 1 m 1 m. Ubin model bentuknya sama, yaitu segitiga siku-siku ukuran 20 cm 20 cm. Sudut-sudut yang bersesuaian sama dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, sehingga kedua bangun itu sebangun. Jadi model itu sesuai dengan ubin yang akan dipasangkan. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun Segibanyak ABCDE sebangun dengan segibanyak RSTUV dengan panjang sisi seperti gambar berikut. A x R 9 B 4 E 6 S D y C Gambar 1.5 V U 5 T a Hitunglah faktor skala dari segibanyak ABCDE terhadap segibanyak RSTUV b Hitung nilai dari x dan y. Jawab : Untuk memecahkan masalah ingatlah langkahnya, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, melaksanakan rencana, dan memeriksa kembali. Memahami Masalah Diketahui: Segibanyak ABCDE sebangun dengan segibanyak RSTUV. Panjang sisi-sisi kedua bangun itu seperti pada gambar 1.5. Ditanya : a. Faktor skala b. Nilai x dan y Matematika SMP Kelas IX 5

11 Merencanakan Penyelesaian Sudahkah kalian pahami arti faktor skala? Faktor skala adalah perbandingan panjang dua sisi yang bersesuaian. Jadi bisa diketahui dari perbandingan AE:RV atau AB:RS atau ED:VU atau DC : UT atau CB : TS. Perbandingan mana yang dipilih? Strateginya adalah pilih panjang kedua sisi yang diketahui panjang, yaitu AE dan RV. Nilai x dan y akan diketahui, jika faktor skala sudah didapat. Untuk mencari x dapat membandingkan AB dan RS. Untuk mencari y dapat membandingkan DC dan UT. Melaksanakan Penyelesaian a. Faktor skala adalah perbandingan panjang dua sisi yang bersesuaian yaitu : AE RV BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan 3 2. b. Gunakan perbandingan sisi berikut. RV RS 6 4 6x = 36 x = 6. AE AB 9 x VR EA UT 6 5 DC 9 y 6y = 45 y = 7,5. Memeriksa Kembali Periksa kembali hasil yang sudah diperoleh. Misalkan AB 6 3 karena x = 6, maka faktor skala x. Jadi sama RS dengan jawaban a. Buatlah simpulan dengan mengembalikan pada pertanyaan yang dicari. a. Faktor skala dari segibanyak ABCDE terhadap segibanyak RSTUVadalah 2 3. b. Nilai x = 6 dan nilai y = 7,5. Langkah menyelesaikan masalah itu harus kalian ingat dan perhatikan. Kalian tidak harus menuliskan langkah seperti memahami masalah, merencanakan, melaksanakan penyelesaian, dan memeriksa kembali.

12 S Latihan 1.1 Latihan 1.1 Diketahui tiga persegipanjang yang sebangun, seperti pada gambar di bawah. Hitunglah x dan y B C 3 A P F G E 7,5 8 y x H R D E 10 Q Jawab: Diketahui: persegipanjang ABCD, EFGH, dan PQRS yang sebangun. Panjang sisi-sisi seperti pada gambar. Ditanya: x dan y Penyelesaian: Strategi penyelesaian dengan membandingkan langsung panjang sisi-sisi dari ketiga persegipanjang itu. BC GH BC PQ BA GF BA QR 8 x 3 7,5 8 7,5 3 x 3x = 60 x = y y 3y = 80 2 y = 26 3 atau 26, Untuk masing-masing pernyataan di bawah, tulis B jika pernyataan selalu benar, K jika pernyataan kadangkala benar dan S jika pernyataan selalu salah. a. Dua persegipanjang sebangun. b. Dua persegi sebangun. c. Segitiga sebangun dengan segiempat. d. Dua jajargenjang sebangun. e. Dua segitiga samasisi sebangun. f. Dua belahketupat sebangun. g. Dua segilima beraturan sebangun. h. Dua segitiga samakaki sebangun i. Dua layang-layang sebangun Matematika SMP Kelas IX 7

13 2. Segiempat RSTV sebangun dengan segiempat LMNO. Panjang sisi-sisi dari RSTV berturut-turut 6 cm, 10 cm, 12 cm dan 14 cm. Panjang sisi terpendek dari LMNO adalah 9 cm. a Tentukan faktor skala (perbandingan panjang sisisisi yang sesuai) dari RSTV ke LMNO. b Hitunglah panjang sisi yang lain pada segiempat LMNO. c Hitunglah keliling LMNO. d Hitunglah perbandingan keliling RSTV dan LMNO. 3. Diketahui trapesium ABCD sebangun dengan trapesium AEFG. Besar AGF = 108 o, GF= 14 cm, AD = 12 cm, DG = 4,5 cm, EF = 8 cm dan AB = 26 cm. Tentukan faktor skala ABCD terhadap AEFG. Tentukan : a. (i) AG (ii) DC (iii) besar ADC (iv) BC b. Keliling ABCD c. Keliling AEFG d. Perbandingan keliling ABCD dan keliling EFGA. A G D C E F B 4. Pasangan segibanyak dalam gambar berikut adalah sebangun. Tentukan nilai x dan y. A 15 B P 12 Q E 15 y D 24 C 12 T 16 S x R 5. Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yang perbandingan sisi-sisi bersesuaiannya adalah sama, tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun? 8 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

14 6. Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yang sudut- sudut bersesuaiannya adalah sama, tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun? 7. Selidiki apakah dua segitiga yang perbandingan sisisisinya yang bersesuaian sama adalah sebangun? 8. Lukisan dan bingkainya pada gambar di samping adalah sebangun. Jika panjang lukisan 80 cm, panjang bingkai 100 cm dan lebar lukisan 60 cm, tentukan lebar bingkainya. Sumber : blogspot.com 9. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika ketiga gambar di bawah ini sebangun, maka tentukan x dan y. 6 3 cm x y Segiempat ABCD dan segiempat RSTU gambar di bawah sebangun. Tentukan x, y, dan z. D 5 z y C U T A 6 B R x S Matematika SMP Kelas IX 9

15 11. Diketahui segiempat RSTU dan segiempat WXYZ di bawah ini sebangun. Tentukan a, b, c, dan d. U 6 a R b S T Z d W 108 c 6 X Y 12. Sebuah pigura foto berbentuk persegipanjang 40 cm x 60 cm dan sebuah foto berbentuk persegipanjang berukuran 30 cm x 40 cm. Apakah bentuk pigura dan foto sebangun? Ubahlah salah satu ukuran pigura agar pigura dan foto sebangun. Berapakah ukurannya? 13. Sebuah map berukuran persegipanjang dengan ukuran 25 cm x 35 cm dan kertas berukuran 21 cm x 32 cm. Apakah bentuk map dan kertas sebangun? Gantilah salah satu ukuran kertas agar bentuk map dan kertas sebangun? 14. Padanan sebangun dalam Bahasa Inggris adalah similar. Segitiga yang sebangun (similar triangle) banyak dijadikan sebagai masalah dalam matematika. Kunjungi similar_triangle_problems.html untuk mengetahui masalah-masalah yang berkaitan dengan segitiga yang sebangun sekaligus 10 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

16 1.2 Segitiga-segitiga yang sebangun Apa yang akan kamu pelajari? A Syarat Dua Segitiga Sebangun Syarat dua segitiga sebangun. Menentukan perbandingan sisi dua segitiga yang sebangun dan menghitung panjangnya Memecahkan masalah yang melibatkan konsep kesebangunan Kata Kunci: Segitiga sebangun Sisi yang bersesuaian Ahli matematika Yunani, Thales, adalah orang pertama yang mengukur tinggi piramida menggunakan sifat geometri. Dia menunjukkan bahwa perbandingan antara tinggi piramida dengan pekerja sama dengan perbandingan antara tinggi masing-masing bayangannya. Tinggi pekerja EF = 5 kaki Tinggi pirami-da AB =? Bayangan piramida BC = 576 kaki Bayangan pekerja FD = 6 kaki Gambar 1.6 Dit. PSMP, 2006 Diskusikan bersama kelompokmu. Dengan menggunakan keterangan di atas, dapatkah kamu mencari tinggi piramida? Segitiga-segitiga yang sebangun dapat membantumu menyelesaikan masalahmasalah seperti di atas. Bagaimana kamu dapat mengetahui dua segitiga sebangun? Pada pelajaran sebelumnya kamu sudah belajar menentukan apakah dua segibanyak sebangun. Sekarang akan dipelajari caracara untuk menentukan apakah dua segitiga sebangun. Matematika SMP Kelas IX 11

17 Kerja Kelompok Pemodelan Matematika Dengan bantuan penggaris dan busur derajat: 1) gambarlah DEF dengan besar D = 35, besar F = 80, dan DF = 4cm 2) gambarlah TRS dengan besar T = 35, besar S = 80, dan ST = 7cm 3) ukurlah panjang EF, ED, RS dan RT. 4) hitunglah perbandingan FD ST, EF RS dan ED RT Catat hasil-hasil yang kamu peroleh di atas pada tabel berikut. Panjang sisi pada DEF Panjang sisi pada RST FD EF ED RS RT ST Nilai Perbandingan EF RS. ED RT Apakah DEF dan TRS sebangun? Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jika pada dua segitiga, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaian sebanding? Jika kamu setuju, berarti bahwa : Segitiga Sebangun Jika pada dua segitiga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga itu sebangun. Gunakanlah penggaris dan busur derajat. 1) Gambarlah segitiga ABC dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. 2) Gambarlah segitiga PQR dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm dan PR = 3,5 cm. 3) Ukurlah besar A, B, C, P, Q, R. 4) Apakah besar A = P, B = Q, C = R. Apakah ABC dan PQR sebangun? 12 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

18 Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jika pada dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Karena pada dua segitiga, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar mengakibatkan dua segitiga itu sebangun, maka berarti bahwa: Segitiga Sebangun Jika pada dua segitiga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama maka kedua segitiga tersebut sebangun. Contoh 1 Selidiki apak ah PQR seba ngun de ngan MNO. Bag aimana deng an sudut yang bersesuaian? N 7 Q R P O M Jawab : PR 15 1 MO 45 3 PQ MN RQ ON PR MO PQ MN RQ ON 1 3 Jadi PQR sebangun dengan MNO. Akibatnya besar R = be sar O, be sar P = besar M dan besar Q = besar N Cek Pemahaman a. Selidiki apakah UTV dan USR pada gambar di samping sebangun. V U > T b. Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. R > S Matematika SMP Kelas IX 13

19 Pemecahan Masalah Gambar di samping AB // DE a T u n j u k k a n b a h w a ABC dan EDC sebangun. b Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. D A C E B Jawab: Masalah dalam matematika terdiri dari masalah menemukan dan masalah membuktikan. Masalah ini adalah contoh masalah membuktikan. Langkah menyelesaikan sama dengan masalah menemukan yang terdiri dari memahami masalah, merencanakan penyelesaian, melaksanakan rencana, dan memeriksa kembali. Diketahui: AB // DE seperti pada gambar di atas. Diminta: a. Buktikan ABC EDC b. perbandingan sisi-sisinya. Penyelesaian: a. Strategi untuk menunjukkan bahwa ABC EDC dapat dengan menggunakan gambar langsung dengan diberi tanda kesejajaran. Berdasar sifat kesejajaran didapat A 1 = E 2 (Karena dua sudut dalam berseberangan besarnya sama) B 3 = D 3 (Karena dua sudut dalam berseberangan besarnya sama) C 1 = C 2 (Karena dua sudut tersebut bertolakbelakang besarnya sama) D 3 A 1 2 C E B Karena ABC dan EDC memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka ABC EDC. AB BC AC b. Perbandingan sisi-sisinya adalah. DE DC CE 14 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

20 B Menghitung Salah Satu Sisi Segitiga yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun A p D q B x E y C Perhatikan gambar di samping. BC // DE Kamu sudah dapat membuktikan bahwa ADE sebangun dengan ABC. Misal panjang AD = p dan DB = q. Karena ADE sebangun dengan ABC maka AD AB p p q AE AC. x x. y p(x + y) = x(p + q). px + py = px + qx. py = qx. p x q y. Jadi perbandingan ruasgaris-ruasgaris pada kedua kaki segitiga ABC adalah: p q x y Ini menunjukkan bahwa: Garis Sejajar Jika suatu garis sejajar dengan salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi lainnya, maka garis tersebut akan membagi dua sisi yang dipotong dan mempunyai perbandingan yang sama. Matematika SMP Kelas IX 15

21 Cek Pemahaman Perhatikan gambar di samping, C DE // AB a. Buktikan ABC sebangun DEC. 2 b. Hitung x dan y. A B D x y 10 3 E 3 Latihan Perhatikan gambar di samping. a. Tunjukkan bahwa PQR sebangun UVW. b. Tentukan pasangan sisi yang bersesuaian yang mempunyai perbandingan yang sama. 2. Perhatikan gambar di samping. a. Tunjukkan ABC EFD. b. Tentukan pasangan ukuran sudut yang sama. A P 9 W R U V C Q C Q E 8 15 D F 3. Tuliskan pasangan-pasangan segitiga pada gambar di samping yang sebangun. Beri alasan mengapa pasangan segitiga itu sebangun. C C D B B Petunjuk: Urutkan sudut-sudut yang sama besar pada segitiga yang sebangun. A B 16 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

22 4. Pada gambar di samping AB // CD // EF G Lengkapi pernyataan berikut : A H > B a. b. c. AC CE BD... CE... IE HI GH... GE GF C E I > > D F 5. Hitung a,b, c, dan d dari gambar no. 5 8 berikut ini cm b cm 6 cm cm Pemecahan Masalah. A, B dan C adalah berturut-turut titik tengah dari sisi DF, DE, dan FE. a. Jika BC = 11, AC = 13, dan D A F AB = 15, hitung keliling DEF b. Jika DE = 18, DA = 10, dan FC = 7 hitung AB, BC dan AC. B C E Matematika SMP Kelas IX 17

23 10. Pemecahan Masalah. Perhatikan gambar di samping. Jika besar B = 90 0, maka a. Tunjukkan ADB sebangun dengan ABC dan c 2 = p.b. b. Tunjukkan BDC sebangun dengan DABC dan a 2 = q.b. A c p D B t b q a C 11. Penerapan. Pada saat upacara bendera, kamu dan bendera mendapat sinar matahari, sehingga panjang bayanganmu 200 cm dan bayangan tiang bendera 700 cm. Jika tinggimu 160 cm, tentukan tinggi tiang bendera. E 12. Jika ED // AB, AB = 10, BC = 6, AC = 8, CD = 5 dan GE = 3. Hitung EC, GC, dan EF. A G F C D B 18 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

24 1.3 Segitiga-segitiga yang Kongruen Apa yang akan kamu pelajari? B A Syarat Dua Bangun Datar Kongruen Mengenali dua bangun datar yang kongruen a- tau tak kongruen, dengan menyebut syaratnya. Menentukan segitiga yang kongruen. Membuktikan dua segitiga kongruen Menentukan perbandiingan sisi-sisi dua segitiga yang kongruen dan menghitung panjangnya. Menyatakan akibat dari dua segitiga kongruen Membedakan pengertian sebangun dan kongruen Amati permukaan dua lembar uang seribu rupiah bergambar Kapitan Patimura maka akan tampak permukaan kedua uang itu sama bentuk maupun ukurannya. Kedua permukaan uang itu dikatakan sama dan sebangun atau sering disebut kongruen. Sekarang perhatikan bangun segiempat di bawah ini. Kata Kunci: Kongruen a. Bagaimana ukuran sisi-sisi segiempat ABCD dan segiempat PQRS? Periksalah dengan cara mengukur sisi-sisi yang bersesuaian dengan menggunakan penggaris. b. Bagaimana ukuran sudut-sudut segiempat ABCD dan segiempat PQRS? Periksalah dengan cara mengukur sudutsudut yang bersesuaian dengan menggunakan busur derajat. c. Apakah kedua bangun itu kongruen? Jelaskan! Matematika SMP Kelas IX 19

25 d. Menurut kamu, apakah syarat dua poligon (segibanyak) kongruen? Jelaskan. e. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannya menurutmu kongruen. Apakah syarat-syarat yang kamu berikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi? Dengan menggunakan syarat dua bangun kongruen yang telah kamu tetapkan, carilah pasangan-pasangan bangun berikut yang kongruen. A B C D E G H F Gambar 1.9 Pernahkah kamu melihat dasi? Bermacam-macam warna dasi, ada yang polos, bermotif bunga, bermotif garis dan ada juga yang bermotif segitiga. Gambar 1.9(a) dan 1.9(b) di bawah ini merupakan dua contoh kain bahan untuk membuat dasi. (a) Gambar 1.10 Dit. PSMP, 2006 (b) Kedua kain di atas bermotif segitiga. Jika kamu perhatikan, bentuk dan ukuran segitiga-segitiga pada setiap kain tersebut adalah sama. Segitiga-segitiga pada setiap kain di atas merupakan contoh dari segitiga-segitiga yang kongruen. Untuk lebih jelas tentang segitiga yang kongruen, lakukan kegiatan berikut. 20 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

26 Perhatikan Gambar A B K K L D C N M Gambar ). Salinlah persegipanjang pada Gambar 1.11 di atas. 2). Jika persegipanjang ABCD digeser ke kanan sepanjang AK, sedemikian hingga titik A berimpit dengan K, maka apa yang terjadi dengan titik-titik lain? 3). Apakah persegipanjang ABCD tepat menempati (menutupi) persegipanjang KLMN? Jika benar setiap titik tepat menempati titik-titik persegipanjang lain, maka dikatakan bahwa persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang KLMN dan disimbolkan dengan ABCD KLMN. P Q F E S H R G Gambar ). Jiplaklah bangun PQRS (lihat Gambar 1.12) pada kertasmu dan gunting. Jika model trapesium yang kamu buat dan kamu balik kemudian digeser, maka apakah akan menempati EFGH? Jika benar, maka PQRS EFGH. C R A B Q P Gambar 1.13 Matematika SMP Kelas IX 21

27 5). Jiplaklah ABC (pada gambar 1.13) pada kertasmu dan gunting. Jika model segitiga yang kamu buat dan dibalikkan, kemudian digeser, maka apakah akan menempati PQR? Jika benar, maka ABC kongruen dengan PQR ditulis ABC PQR. Berikut ini adalah beberapa contoh segitiga-segitiga yang kongruen. Contoh 1 1. Pada gambar 1.14 berikut ini, segitiga manakah yang kongruen dengan ABC? Kemudian sebutkan perlakuan yang dikenakan pada ABC agar tepat menempati segitiga yang kongruen dengannya. Gambar Kaitan dengan dunia nyata. Perhatikan foto sebuah tenda di bawah ini. Bagian depan tenda berbentuk segitiga seperti gambar berikut ini. 22 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

28 A Apakah ACP AMP? (jelaskan). Jawab : ACP AMP, karena ACP dapat tepat menempati AMP dengan cara mencerminkan ACP terhadap AP. C P M B Sifat Dua Segitiga yang Kongruen Dit. PSMP, 2006 Perhatikan gambar jembatan di samping. Supaya kuat, jembatan itu diberi besi yang bagian-bagiannya membentuk segitiga. Perhatikan MPO dan NQK. Jika digambar kembali dan diperbesar, akan tampak seperti Gambar 1.16 berikut ini. M P N Q K Gambar 1.16 Gambar 1.15 O Jika MPO digeser sepanjang dan searah dengan PQ, maka MPO tepat menempati NQK. Oleh karena itu, dua segitiga pada Gambar 1.16 adalah kongruen. Jika MPO digeser sepanjang dan searah PQ, maka PO berimpit dengan sisi QK, sisi PM berimpit dengan sisi QN dan sisi OM berimpit dengan sisi KN. Sisi-sisi yang berimpit itu disebut sisi yang bersesuaian (seletak). Jadi, sisi PO bersesuaian (seletak) dengan sisi QK, PM bersesuaian (seletak) dengan QN dan OM bersesuaian (seletak) dengan KN. Matematika SMP Kelas IX 23

29 Hal itu menunjukkan bahwa : Sifat Dua Segitiga Kongruen Dua Segitiga kongruen mempunyai sifat sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang Karena titik P berimpit dengan Q, titik O berimpit dengan K dan titik M berimpit dengan N, maka besar MPO = besar NQK, besar POM = besar QKN dan besar PMO = besar QNK. Sehingga MPO bersesuaian (seletak) dengan NQK, POM bersesuaian (seletak) dengan QKN dan PMO bersesuaian (seletak) dengan QNK. Hal itu menunjukkan bahwa: Sifat Dua Segitiga kongruen Dua Sigitiga kongruen mempunyai sifat sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Contoh 2 UVW dan DEF berikut adalah kongruen. Tentukan sisisisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar. Jawab: Karena UVW kongruen dengan DEF, menurut sifat dua segitiga yang kongruen maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Jadi : UV = DE, UW = DF dan VW = EF. Disamping itu, sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar. U V W F Gambar 1.17 E D Jadi: besar U = besar D, besar V= besar E, dan besar W = besar F. 24 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

30 C Syarat Dua Segitiga yang Kongruen dan Akibatnya Perhatikan Gambar berikut. A C B P Gambar 1.18 R Q AB = PQ, AC = PR dan BC = QR. Jika ABC digeser sepanjang d a n s e a r a h AP, maka : titik A berimpit dengan P, titik B berimpit dengan Q, titik C berimpit dengan R, sehingga ABC tepat menutup PQR. Dengan demikian ABC PQR. Kesimpulannya adalah: Syarat dua segitiga kongruen Dua Segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian dari dua segitiga itu sama panjang (s, s, s). Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu hanya ditulis (s, s, s) yang artinya bahwa dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang. Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah. Matematika SMP Kelas IX 25

31 ABC dan PQR mempunyai dua sisi yang sama panjang dan sudut yang diapitnya adalah sama besar, yaitu: AB = PQ, AC = PR dan A = P. Jika ABC digeser sepanjang dan searah AP, maka titik A akan berimpit dengan P. Karena besar A = besar P, maka A berimpit dengan P. Karena AC = PR, maka titik C berimpit dengan R dan karena AB = PQ, maka titik B berimpit dengan Q. Sehingga ABC tepat menempati (berimpit) dengan PQR. Oleh karena itu, ABC kongruen dengan PQR. Kesimpulannya adalah: Syarat dua Segitiga kongruen Dua segitiga akan kongruen jika dua sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan dua sisi yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan kedua sudut apitnya sama besar (s, sd, s). Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu h a n y a d i t u l i s (s, sd, s) yang artinya bahwa dua segitiga akan kongruen jika panjang dua sisi dan sudut yang diapitnya sama besar. Apakah akibatnya jika kedua segitiga itu kongruen menurut (s, sd, s)? K i t a s u d a h m e n d a p a t k a n d u a s y a r a t d a r i d u a s e g i t i g a y a n g k o n g r u e n. B e r i k u t n y a, k i t a a k a n m e n g a m a t i d u a s e g i t i g a y a n g m e m p u n y a i s a t u s i s i y a n g b e r s e s u a i a n s a m a p a n j a n g d a n s u d u t - s u d u t y a n g b e r s e s u a i a n y a n g t e r l e t a k p a d a s i s i - s i s i y a n g b e r s e s u a i a n i t u s a m a p a n j a n g. U n t u k j e l a s n y a, p e r h a t i k a n g a m b a r d i b a w a h. C R A y x P y B x Q Gambar BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

32 Besar A = besar P, AB = PQ dan besar B= besar Q. AB adalah sisi pada A dan B. PQ adalah sisi pada P dan Q. Karena jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180, maka: Besar A + besar B + besar C = 180 dan Besar P + besar Q + besar R = 180. Sehingga diperoleh : Besar C = besar A besar B dan besar R = besar P besar Q. Karena besar A =besar P dan besar B= besar Q, maka besar R = besar A - besar B. Akibatnya besar C = besar R, sehingga diperoleh hubungan: Besar A = besar P, besar B = besar Q, dan besar C = besar R. Dengan demikian ketiga sudut dua segitiga itu sama besar. Karena itu, dua segitiga itu sebangun. Karena dua segitiga itu sebangun, maka akibatnya perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama, yaitu: PQ AB BC AC = QR = PR Diketahui bahwa AB = PQ, maka akibatnya adalah PQ AB BC AC = QR = PR = 1 Dengan demikian diperoleh hubungan AB = PQ, BC = QR dan AC = PR. Hal itu berarti ketiga sisi pada kedua segitiga tersebut adalah sama panjang. Berdasarkan syarat (s,s,s) seperti yang telah kita bahas, maka ABC PQR. Apakah akibatnya? Kesimpulannya adalah: Syarat dua segitiga kongruen Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut sama panjang (sd, s, sd). Matematika SMP Kelas IX 27

33 Contoh 3 1. Perhatikan RQT dan SQT pada Gambar Selidiki apakah RQT kongruen dengan SQT? Apakah akibatnya? Jawab: Karena RT = ST, RQ = SQ dan TQ = TQ, maka ketiga sisi yang bersesuaian dari dua segitiga tersebut sama panjang. Berdasarkan syarat (s, s, s), RQT SQT. Akibatnya besar R = S, RTQ = STQ dan TQR TQS R T 6 m 6 m 2 m Q 2 m Gambar Perhatikan Gambar 1.21 berikut. Selidiki apakah DAC kongruen dengan BAC? Apakah akibatnya? Jawab: Perhatikan DAC dan BAC. Karena DA = BA, DAC = BAC dan AC = AC, maka berdasarkan syarat (s,sd,s), DAC BAC. Akibatnya CD = BC, ADC = ABC, DCA = BCA D A 3 cm O O 3 cm C Gambar Pada gambar di samping diketahui bahwa A = M dan B = L. Tunjukkan bahwa ABC MLK. Jawab: Diketahui A = M, B = L AB adalah sisi pada A dan B. LM adalah sisi pada M dan L. AB = ML Karena A = M, AB = ML, dan B = L, berdasarkan syarat (sd, s, sd), maka ABC MLK. Akibatnya B = K, BC = KL, AC = KM A 4 cm B L Gambar 1.22 C K 4 cm M S B 28 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

34 4. Pembuktian. Perhatikan Jajargenjang ERIT di samping Tunjukkan bahwa TP = RO. E T P Penyelesaian : Untuk menunjukkan bahwa TP = RO, coba kamu ikuti dan lengkapi titik-titik berikut ini. R Gambar 1.22 O R I Pernyataan Alasan Perhatikan TIE dan REI. 1. IT = ER, ET = IR, EI = IE 1. Diketahui dari Gambar a. TIE... 2 a. (s,s,s) b. besar TIE = besar dan b. seletak (bersesuaian) besar TEI = besar Sekarang perhatikan TPE dan ROI. 3. besar TPE = besar 3. keduanya besar TEP = besar 4. berdasarkan 2b 5. besar PTE = besar TEP 5. jumlah ketiga sudut segitiga besar ORI = besar 6. jumlah ketiga sudut segitiga besar PTE = besar ORI 7. berdasarkan 5 dan 6 Karena besar TEP = besar RIO, ET = RI dan besar PTE = besar ORI, maka berdasarkan syarat (,, ), TDE ROI. Karena TP seletak (bersesuaian) dengan RO, maka TP = RO. Jadi TP = RO (terbukti). Matematika SMP Kelas IX 29

35 D Menyelidiki Kekongruenan Dua segitiga yang Sebangun Perhatikan dua segitiga samasisi di bawah ini. a. Apakah ABC sebangun dengan PQR? Jelaskan! A R b. Apakah ABC kongruen dengan PQR? Jelaskan! c. Apakah dua segitiga yang sebangun pasti kongruen? Jelaskan! B C P Q Gambar 1.23 Menyelidiki : Segitiga yang kongruen adalah sebangun Perhatikan dua segitiga di bawah ini. a. Apakah ABC sebangun dengan PQR? Jelaskan! b. Apakah ABC kongruen dengan PQR? Jelaskan! A B P Q c. Apakah segitiga yang kongruen pasti sebangun? Jelaskan! C R Gambar 1.24 Carilah pasangan-pasangan segitiga yang kongruen dan pasangan segitiga yang sebangun dari gambar di bawah ini Gambar BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

36 Latihan Dengan cara mengukur, tentukan apakah dua segitiga berikut kongruen? Jika kongruen, kemukakan alasanmu dan tentukan sisi dan sudut yang bersesuaian. a. b. K U M A T L W V O R C B 2. Apakah pasangan segitiga berikut ini kongruen? Jika ya, kemukakan alasanmu dan apakah akibatnya? a. A G b. T 3 N R M c. d. G E D G C E A C B Matematika SMP Kelas IX 31

37 3. Pada gambar berikut ini, jelaskan mengapa BDF MKH, kemudian tentukan nilai m dan n. F 9 m O B 72 O t 8 n O D H 32 O t s M 72 O n O 8 K 4. Apakah FKL kongruen dengan KFG? Kemukakan alasanmu. Jika kongruen, tentukan sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. F G L K 5. PQRS adalah layang-layang. Sebutkan dua segitiga yang kongruen, kemudian sebutkan sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Q P R S 32 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

38 4. AB = CB A B 5. besar OME = besar ERO O M C E 6. besar TSP = besar TOP S O 7. KP =LM K Y L P P 8. besar ORE = besar OPE R O P 9. CT = RP C N E T P 10. Jika garis l tegak lurus AB dan CA = CB, tunjukkan bahwa PA=PB. P A C l B Matematika SMP Kelas IX 33

39 Refleksi Setelah kalian mempelajari bab ini, renungkan dan pikirkan pertanyaaan berikut. 1. Bila diketahui dua bangun datar yang ukuran-ukurannya sebanding, apakah pasti kedua bangun itu sebangun? Jelaskan. 2. Adakah dua bangun datar yang selalu sebangun? Jelaskan. 3. Diketahui dua bangun datar yang sebangun. Salah satu panjang sisi dari satu bangun tidak diketahui. Panjang sisi yang lain dari kedua bangun datar itu diketahui. Bagaimana cara mencari panjang sisi yang tidak diketahui itu? 4. Dua segitiga yang kongruen memiliki ciri, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Benarkah pernyataan itu? Jelaskan dan beri contoh. 5. Dua segitiga yang kongruen memiliki ciri, yaitu kedua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga itu sama besar dan panjang sisi yang diapit kedua sudut itu sama panjang. Benarkah pernyataan itu? Jelaskan dan beri contoh. 6. Adakah materi yang masih sulit untukmu? Beranikan untuk bertanya pada guru atau temanmu. Rangkuman 1. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. 2. Dua segitiga dikatakan sebangun, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 3. Dua segitiga dikatakan sebangun, jika perbandingan sisisisi segitiga yang bersesuaian sama. 4. Jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga tersebut, maka garis sejajar tersebut membagi kedua sisi lainnya pada segitiga itu atas dua ruas garis dengan perbandingan yang sama. 34 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

40 5. Dua bangun datar dikatakan kongruen, jika memiliki ukuran dan bentuk yang tepat sama. 6. Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat, yaitu sisisisi yang seletak sama panjang. 7. Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat, yaitu sudut-sudut yang seletak sama besar. 8. Dua segitiga akan kongruen jika: a. ketiga sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi yang bersesuaian pada segitiga yang kedua(s, s, s). b. dua sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan dua sisi yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan kedua sudut apitnya sama besar (s, sd, s). c. dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut sama panjang (sd, s, sd). Evaluasi Mandiri Pilihlah jawaban yang paling benar dengan memberi tanda silang (X) pada pilihan yang diberikan. 1. Perhatikan gambar di bawah ini. Panjang AB 20 cm M 20 cm B adalah... A. 5 cm B. 7,5 cm K A L C. 8,5 cm D. 10 cm 2. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika segiempat ABCD sebangun dengan segiempat DEFG, maka panjang BC adalah... D 6 cm E A G 3 cm F 12 cm B C Matematika SMP Kelas IX 35

41 A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 12 cm 3. Segitiga yang ukuran sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm sebangun dengan segitiga yang ukuran sisi-sisinya... A. 8 cm, 15 cm, dan 17 cm B. 5 cm, 12 cm, dan 13 cm C. 9 cm, 12 cm, dan 15 cm D. 20 cm, 16 cm, dan 12 cm. 4. Dua buah segitiga pada gambar dibawah ini adalah kongruen, sehingga panjang AB sama dengan... A. PR B. QR C. PQ D. RP B R P 0 A 0 C Q 5. PQR sama kaki dengan PQ = QR = 18 cm dan PR = 12 cm. Jika PQR kongruen dengan DABC, maka panjang AB adalah... A. 8 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 18 cm. Jawablah soal berikut dengan benar. c m 6. Perhatikan segitiga di samping. Tentukan nilai c dan d. 7. Misalkan ABCD adalah jajargenjang. Dengan kongruensi, tunjukkan bahwa ABC CDA. D C A B 36 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

42 8. Diketahui PQR sebangun dengan PST, dengan ST = 9 cm, QR = 6 cm, PQ = 4 cm, dan RT = 3 cm. Hitunglah panjang PR, PT, QS, dan PS. 9. Diketahui ABC dan PQR segitiga siku-siku dengan BC = QR, C = R. Tunjukkan bahwa AC = PR. 10. Jika sebatang tongkat dengan panjang 3 m membentuk bayangan 8 m, berapakah tinggi cerobong asap yang membentuk bayangan 16 m pada saat itu? Matematika SMP Kelas IX 37

43 38 BAB 1 Kesebangunan dan Kekungruenan

44 Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat tabung, kerucut, dan bola serta menentukan ukurannya Kompetensi Dasar 1. Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola 2. Menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut dan bola 3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut, dan bola

45 2.1 Tabung Apa yang akan kamu pelajari? A Luas Sisi Tabung Menyatakan rumus luas sisi tabung. Menghitung luas sisi tabung. Menyatakan rumus volume tabung. Menghitung volume tabung. Menghitung ukuran tinggi atau jari-jari suatu tabung jika volumenya ditentukan. Kata Kunci: Tabung Luas sisi tabung Luas alas Volume tabung Perhatikan gambar kalengkaleng di samping. Berbentuk bangun ruang apakah kalengkaleng itu? Kaleng-kaleng itu berbentuk tabung. Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang berbentuk lingkaran sebagai sisi alas dan sisi atas dan sebuah bidang lengkung yang merupakan sisi tegak yang disebut selimut tabung. Hal tersebut dapat digambar sebagai berikut. Bila tabung dibuka bagian sisi atas dan sisi alasnya serta dipotong sepanjang garis lurus AB pada selimutnya, seperti pada Gambar 2.3 dan diletakkan pada bidang datar, maka akan didapat jaring-jaring tabung, seperti pada Gambar BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

46 Gambar 2.5 Sumber:Dit.PSMP, 2006 Untuk lebih meyakinkan kamu, carilah kaleng susu atau kaleng apa saja yang masih berlabel. Bila label kaleng dipotong seperti Gambar 2.5 dan diletakkan pada bidang datar (atau diratakan), maka akan didapat persegipanjang. Tinggi persegipanjang itu sama dengan tinggi kaleng dan panjangnya merupakan keliling alas kaleng. Sekarang bagaimana kita mencari luas sisi tabung? Perhatikan gambar tabung yang telah diiris di bawah ini. Luas tabung dapat dicari dengan mencari masing-masing luas sisinya. Ingat! Luas tabung = luas sisi tegak + luas sisi atas + luas sisi alas = luas sisi tegak + 2 luas sisi alas Bila luas sisi tabung dinamakan L, maka luas sisi tabung adalah Rumus Luas Sisi Tabung L 2 rt 2 r dengan r : jari-jari tabung t : tinggi Matematika SMP Kelas IX 41

47 Contoh 1 Tentukan luas minimum aluminium yang diperlukan untuk membuat kaleng yang berbentuk tabung di samping. (Gunakan π = 7 2 ) Jawab: Sisi tabung memuat dua lingkaran dan satu persegipanjang, sehingga luas tabung sebagai berikut. Ingat! L L = 2 luas lingkaran + luas sisi tegak = 2π r 2 + 2π r t = 2π (3,5) π 3,5 11,5 = 2π 12,25 + 2π 40,25 2 = 24,5 π + 80,5 = 105 π = = 330. Jadi luas alumunium yang diperlukan untuk membuat kaleng itu adalah 330 cm 2. B Volume tabung Berapakah volume suatu kaleng? Rumus volume tabung mirip dengan volume prisma. Volume prisma-prisma beraturan (a) dan (b) adalah luas alas (A) kali tinggi (h). Bila segibanyak beraturan yang merupakan alas memiliki sisi yang banyak sekali, akan didapat bahwa alas itu mendekati bentuk 42 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

48 lingkaran, sehingga prisma akan menyerupai tabung (c). Dengan demikian volume tabung dapat dinyatakan sebagai berikut. V = A t V = (π r 2 ) t Rumus Volume Tabung 2 V r t, degan r : jari-jari tabung t : tinggi Contoh 2 Kaitan dengan dunia nyata Ibu membuat kue keju yang berbentuk tabung seperti gambar di samping untuk persiapan hari raya. Jika jari-jari kue adalah 10 cm dan tingginya 5 cm, carilah volume kue di samping! Jawab: Diameter kue (d) = 20 cm, sehingga jari-jari kue (r) =10 cm. V = (πr 2 ) t = (3, ) 5 = 3, = Jadi volum kue tersebut adalah cm 3. Pemecahan Masalah Sumber: www. f ickr.com Dita membuat kue untuk ulang tahunnya, seperti gambar di samping. Tinggi tiap tingkatan kue sama yaitu 7 cm. Jika diameter kue yang bawah 30 cm dan diamater kue yang atas 25 cm, tentukan perbandingan volume antara kue yang bawah dengan kue yang atas. Matematika SMP Kelas IX 43

49 Jawab: Untuk memecahkan masalah ingat kembali langkahnya, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, melaksanakan rencana, dan memeriksa kembali. Memahami masalah Diketahui : Kue ulang tahun berbentuk tabung terdiri dari 2 lapis. Tinggi lapis atas (t 1 ) = 7 cm, dan lapis bawah (t 2 )= 7 cm.diameter atas (d 1 ) = 25 cm, dimeter bawah (d 2 ) = 30 cm. Ditanya : Perbandingan volume kue yang bawah dan yang atas atau V 2 : V 1 Merencanakan Penyelesaian Rumus yang mudah untuk volume adalah menggunakanv= πr 2 t Kalau mencari volumenya dahulu akan lebih sulit, sehingga langsung menyederhanakan dari perbandingannya. d1 d = 2r r = d2 d = 2r r = h = h = t V V 1 2 = (r ) h d = 2 = (r ) h d = t 2t Melaksanakan Penyelesaian 2t/ d2 2t/ d 2 2 V :V = 2 1 2t/ 2 d1 V :V = 2 1 2t/ 2 d1 2 d d / 5 6 / V :V = 2 1 d 2 = = = = = d Memeriksa Kembali Periksa kembali dengan Kalkulator untuk menghitung nilai dari V 1 dan V 2. Jika hasilnya sama, kembalikan pada masalah yang dicari. 44 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

50 Jadi perbandingan volume kue yang atas dengan yang bawah adalah 36 : 25. Latihan Tentukan luas sisi dan volume tabung berikut. a) b) c) 2. Gambar di samping adalah mesin perata aspal jalan. Mesin ini bagian depannya terdiri dari silinder atau tabung besi yang beratnya dapat mencapai berton-ton. Diameter tabung itu 6 kaki (kaki = feet disingkat ft) dan panjangnya 8 kaki. Berapakah luas permukaaan tabung itu? Berapakah volume tabung itu? Sumber: Middle Grades Math Tools For Succes 3. Seseorang ingin membuat tabung dengan volume tabung 600 cm 3. Bila jari-jari sisi alas tabung itu 5 cm, berapakah tinggi tabung tersebut? 4. Bila volume tabung 135 π cm 3 dan tingginya 15 cm, berapakah panjang jari-jari tabung itu? 5. Sebuah tangki minyak yang tingginya 32 m dan diameter sisi alasnya 84 m akan dicat bagian luarnya. Berapakah luas tangki minyak yang akan dicat? Jika satu galon cat dapat digunakan untuk mengecat seluas 325 m 2, berapa galon cat yang dibutuhkan? Sumber: Middle Grades Math Tools For Succes Matematika SMP Kelas IX 45

51 6. Sebuah tempat penampungan air berbentuk tabung akan diperluas sehingga jari-jari alasnya 2 kali dari semula. Berapa kali perbesaran volume penampungan air dari volume semula? 7. Sebuah kolam renang dibuat model tabung dan alasnya berbentuk lingkaran dengan keliling 77 meter. Tentukan perbandingan banyaknya air yang digunakan untuk mengisi kolam renang dengan kedalaman 1,2 meter dengan kedalaman 1,8 meter. 8. Berpikir Kritis. Jika tinggi tabung diduakalikan, apakah luas permukaan menjadi dua kali sebelumnya? Jelaskan. 9. Penalaran. Ari menggambar jaring-jaring sebuah tabung di atas kertas. Ukuran kertas gambarnya 20 cm x 15 cm. Tabung yang digambar berjari-jari 2 cm dan tingginya 10 cm. Apakah kertas gambar itu cukup untuk membuat tabung yang diinginkan? Jelaskan. 10. Pemecahan Masalah. Pot plastik berbentuk tabung (polibag) sering digunakan untuk menanam benih tanaman. Jika sebanyak 15 benih akan ditanam masing-masing dalam polibag berdiameter 25 cm dan tinggi 85 cm, berapa sentimeter persegi bahan plastik yang digunakan untuk membuat seluruh polibag itu? 46 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

52 2.2 Kerucut Apa yang akan kamu pelajari? Menyatakan luas sisi kerucut. Menghitung luas sisi kerucut. Menyatakan volume kerucut. Menghitung volume prisma.. A Luas Sisi Kerucut Pernahkah kamu perhatikan topi petani seperti gambar di bawah ini. Kata Kunci: Kerucut Luas sisi Kerucut Volume Kerucut Tinggi Kerucut Gambar 2.7 Topi petani itu berbentuk kerucut. Dalam matematika, kerucut tersebut digambarkan seperti Gambar 2.8 di bawah ini. Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Jadi suatu kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan selimut kerucut. Pada Gambar 2.8, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut dan s disebut garis pelukis. Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang alasnya, maka didapat jaringjaring kerucut. Jaring-jaring kerucut tersebut terdiri dari juring lingkaran yang berjari-jari s dan lingkaran berjari-jari r, seperti yang tampak pada Gambar 2.9. Matematika SMP Kelas IX 47

53 Luas selimut kerucut Luas lingkaran besar Lse limut ker ucut 2πr = πs 2 2πs L selimut kerucut = πs 2 r s L selimut kerucut = π sr = π rs Panjang busur kecil AB Keliling lingkaran besar Luas sisi kerucut (L) sama dengan jumlah luas selimut ditambah dengan luas alas. Jadi luas sisi kerucutnya adalah Luas Sisi Kerucut 2 L rs r, dengan r : jari-jari kerucut s : panjang garis pelukis Contoh 1 Carilah luas sisi kerucut di bawah ini. 48 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

54 Jawab: L = π r s + π r 2 Rumus luas sisi kerucut = π (7).(39) + π (7) 2 Gantilah r dan s dengan nilai-nilai yang sesuai. = 273 π + 49π Kalikan = 322π Jumlahkan = 322 x 3, 14 = 1011,08 Kalikan dengan π = 3,14 Jadi luas kerucut itu 322 π cm 2 atau sekitar 1.011,1 cm 2. B Volume Kerucut Bagaimana mencari volume kerucut? Perhatikan kerucut di bawah ini. Bila pada Gambar 2.10 (a) banyak sisi alas limas diperbanyak, maka bentuk limas akan mendekati bentuk kerucut, seperti Gambar 2.10 (b). Rumus volume limas adalah V = 3 1 At. Karena alas kerucut berbentuk lingkaran berjari-jari r maka A = π r 2, sehingga rumus volume kerucut adalah : Volume Kerucut 1 2 V r t, 3 dengan r : jari-jari kerucut dan t : tinggi kerucut Matematika SMP Kelas IX 49

55 Bekerja berpasangan / Kelompok Alat: - Tiga (3) kerucut dari plastik yang kongruen - Sebuah tabung yang tingginya sama dengan tinggi kerucut dan alasnya sama dengan alas kerucut - Pasir. * Isilah ketiga kerucut itu dengan pasir sampai penuh. Tuangkan pasir dalam ketiga kerucut ke dalam tabung. Apa yang terjadi? Apa yang dapat kamu simpulkan? Contoh 2 Diketahui jari-jari alas sebuah kerucut 3,5 cm dan tingginya 15 2 cm. Bila π =, hitunglah volume kerucut itu! 7 Jawab : Jari-jari alas = r = 3,5 dan tingginya 15, sehingga 1 V = 3 π r 2 t 1 V =. 2. (3,5) V = 11. (3,5). 5 = 192,5 Jadi volume kerucut itu adalah 192,5 cm 3. Contoh 3 Diketahui volume suatu kerucut 462 cm 3. Jika tinggi kerucut 9 cm dan π = 7 2, hitunglah panjang jari-jari alas kerucut itu! 50 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

56 Jawab : Diketahui : Volume kerucut 462 cm 3, maka V = 462. Tinggi = 9 cm, maka t = 9. Ditanya: jari-jari = r Penyelesaian: 1 V = 3 π r 2 t = 3 x 7 x r 2 x = 7 x r 2 x = 7 x r 2 6 r 2 = 462 : 7 r 2 = 49 Rumus volume kerucut Gantikan dengan nilai-nilai yang sesuai. sederhanakan sederhanakan Bagi kedua ruas dengan Carilah akarnya. r = 7 Karena r merupakan jari-jari, maka dipilih r = 7. Jadi jari-jari alas kerucut adalah 7 cm. Cek Pemahaman Berapakah jari-jari kerucut, jika volumenya cm 3 dan tingginya 10 cm? Matematika SMP Kelas IX 51

57 Latihan Carilah volume dan luas sisi kerucut berikut, dengan π = 3, Jari-jari alas suatu kerucut 7 cm dan panjang garis pelukisnya 13 cm. Hitunglah : a. Tinggi kerucut. b. Volume kerucut. c. Luas sisi kerucut. 3. Rini akan mengadakan pesta ulang tahun. Ia akan membuat topi ulang tahun yang berbentuk kerucut, seperti gambar di samping. Bila tinggi topi 16 cm dan jari-jarinya 12 cm, berapakah luas kertas yang dibutuhkan untuk membuat satu topi? 4. Volume suatu kerucut cm 3. Jika tinggi kerucut 12 cm dan π = 3,14, hitunglah panjang jari-jari kerucut itu! 5. Jari-jari alas suatu kerucut 3,5 m. Jika volume kerucut 115,5 m 3 2, hitunglah tinggi kerucut tersebut, dengan nilai π = 7! 6. Berpikir Kritis Sebuah tempat es krim berbentuk kerucut mempunyai volume 30π cm 3. a. Berapakah volume tempat es krim bila jari-jarinya dua kali jari-jari semula? b. Berapakah volume tempat es krim bila tingginya dua kali tinggi semula? c. Berapakah volume tempat es krim bila tinggi dan jari-jarinya dua kali tinggi dan jari-jari semula? 52 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

58 7. Carilah x bila volume kerucut berikut adalah 21π. 8. Guru memberi tugas untuk membuat kerucut dengan tinggi 10 cm. Ali membuat kerucut dengan jari-jari 4 cm. Lia membuat kerucut dengan jari-jari 5 cm. Tentukan perbandingan volume kerucut Ali dengan kerucut Lia Matematika SMP Kelas IX 53

59 2.3 Bola Apa yang akan kamu pelajari? Menyatakan luas sisi bola. Menghitung luas sisi bola. Menyatakan volume bola. Menghitung volume bola. Kata Kunci: Bola Luas sisi bola. Volume bola. A Luas Sisi Bola Pernahkah kamu bermain sepak bola? Perlengkapan apa yang digunakan untuk bermain sepak bola itu? Bola. Ya benar! Bola berbentuk bulatan. Dapatkah kamu menyebutkan benda-benda di sekelilingmu yang berbentuk bola? Banyak buah-buahan yang berbentuk seperti bola, misalnya jeruk, semangka, melon dan lain-lainnya. Bila kamu perhatikan bola sepak, atau bola basket, dapatkah kamu menentukan titik sudut dan rusuknya? Gambar 2.11 Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk. Bola hanya memiliki satu bidang sisi yang lengkung. 54 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

60 Bagaimana menghitung luas sisi bola? Lakukan kegiatan berikut. Luas Sisi Bola 2 L 4 r, dengan r : jari jari bola Matematika SMP Kelas IX 55

61 Contoh 1 1. Sebuah benda padat berbentuk bola dengan diameter 4,2 cm. 2 Hitunglah luas permukaan benda itu? (π = ). 7 Jawab: 4,2 Diameter 4,2 cm, maka r = = 2, 1. 2 L = 4 π r 2 = (2,1) 2 = 27,72 Jadi luas permukaan benda adalah 27,72 cm Berapakah jari-jari bola, bila luas sisi bola 78 cm 2 dan 7 π = 2. 7 Jawab: L= 4 r = 4 r r 2 = r = : r = r = 4 r 25 5 =± =± Rumus luas sisi bola Gantikan dengan nilai-nilai yang sesuai 4 (78 7) Ingat 78 = = Bagi kedua ruas dengan 88 7 Bentuk menjadi perkalian Carilah akarnya Jadi, jari-jarinya adalah 5 2 cm 56 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung