METODE NUMERIK D
|
|
- Devi Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAHAN AJAR METODE NUMERIK D646 Disusu Oleh: Zaeal Abidi, S.Si., M.Cs. JURUSAN ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2 BAB PENGANTAR METODE NUMERIK Metode Numerik Secara Umum Model matematika isika, kimia, ekoomi, tekik, dsb Serigkali model matematika tidak ideal / rumit Model matematika rumit tidak dapat diselesaika dega Metode Aalitik utuk medapatka solusi eksak. Metode aalitik metode peyelesaia model matematika dega rumus-rumus aljabar yag sudah baku lazim. Cotoh ilustrasi :. Tetuka akar-akar persamaa poliom: 2. Tetuka harga yag memuhi persamaa: Soal tidak terdapat rumus aljabar utuk meghitug akar poliom. Solusi utuk memaipulasi poliom, misalya memaktorka atau meguraika poliom mejadi perkalia beberapa suku. Kedala: semaki tiggi derajat poliom, semaki sukar memaktorkaya. Soal 2 masih sejeis dega soal yaitu meetuka ilai yag memeuhi kedua persamaa. Metode Aalitik VS Metode Numerik Metode aalitik memberi solusi eksak, yaitu solusi yag memiliki galat error sama dega ol. Metode aalitik haya dapat diguaka pada kasus-kasus tertetu. Nilai praktis peyelesaia metode aalitik, terbatas. Metode Numerik tekik yag diguaka utuk memormulasika persoala matematik sehigga dapat dipecahka dega operasi perhituga/aritmatika biasa. Secara hariah, metode umerik cara berhitug dega megguaka agka-agka. 2
3 Perbedaa atara metode umerik da metode aalitik adalah : Metode Numerik Solusi selalu berbetuk agka Solusi berupa hampira atau pedekata Terdapat galat error Metode Aalitik Solusi dalam betuk ugsi matematika Solusi eksak Tidak ada galat galat= Metode Numerik dalam Bidag Rekayasa Dalam bidag rekayasa, kebutuha meemuka solusi persoala secara praktis adalah jelas. Masih bayak cara peyelesaia persoala matematis yag dirasa terlalu sulit atau dalam betuk kurag kogkrit. Peyelesaia aalitik, kurag bergua bagi rekayasawa. Bayak persoala matematika dalam bidag rekayasa yag haya dapat dipecahka secara hampira. Cotoh kasus : Sebuah bola logam dipaaska sampai pada suhu oc. Kemudia, pada saat t =, bola dimasukka ke dalam air yag bersuhu 3oC. Setelah 3 meit, suhu bola berkurag mejadi 7 o C. Tetuka suhu bola setelah 22,78 meit. Diketahui tetapa pedigi bola logam itu adalah,865. Jawab: Dega megguaka Hukum Pedigi Newto k = tetapa pediga bola logam =,865 Utuk meetuka suhu bola pada t = 22,78 meit, persamaa dieresial harus diselesaika agar suhu T sebagai ugsi dari waktu t ditemuka. Persamaa dieresial metode kalkulus dieresial cari sediri???. Solusi umumya adalah: Tt=ce -kt + 3 Nilai awal yag diberika T = 3
4 Tt=7e -,865t +3 Dega memasukka t=22,78 ke dalam persamaa T, diperoleh T= 3 o C. Bagi rekayasawa, solusi persamaa dieresial yag berbetuk ugsi kotiu, tidak terlalu petig. Dalam praktik di lapaga, rekayasawa haya igi megetahui berapa suhu bola logam setelah t tertetu. Rekayasawa cukup memodelka sistem ke dalam persamaa dieresial, lalu solusi utuk t dicari secara umerik. Apakah Metode Numerik Haya utuk Persoala Matematika Rumit Saja? Metode umerik berlaku umum, yaki dapat diterapka utuk meyelesaika persoala matematika sederhaa yag juga dapat diselesaika dega metode aalitik, maupu persoala matematika yag rumit. Peraa Komputer dalam Metode Numerik Perhituga dega metode umerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasiya, terkadag butuh suatu pegulaga, sehigga perhituga maual terkesa mejemuka. Komputer berpera mempercepat proses perhituga tapa membuat kesalaha. Pegguaa komputer dalam metode umerik atara lai utuk membuat program. Lagkah-lagkah metode umerik diormulasika mejadi program komputer yag dapat membatu mecari alterati solusi, akibat perubaha beberapa parameter serta dapat meigkatka tigkat ketelitia dega megubah-ubah ilai parameter. Jelas bahwa kecepata tiggi, kehadala, da lesibikitas komputer memberika akses utuk meyelesaika masalah-masalah di duia yata. Cotoh: solusi sistem persamaa liier yag besar mejadi lebih mudah da cepat diselesaika dega komputer. Alasa Mempelajari Metode Numerik Sebagai alat batu pemecaha masalah matematika yag sagat ampuh, seperti mampu meagai sistem persamaa liear, ketidaklieara da geometri yag rumit, yag dalam masalah rekayasa tidak mugki dipecahka secara aalitis. Megetahui secara sigkat da jelas teori matematika yag medasari paket program. Mampu meracag program sediri sesuai persalaha yag dihadapi pada masalah rekayasa. 4
5 Metode umerik cocok utuk meggambarka ketagguha da keterbatasa komputer dalam meagai masalah rekayasa yag tidak dapat ditagai secara aalitis. Meagai galat suatu ilai hampiradari masalah rekayasa yag merupaka bagia dari paket program yag berskala besar. Meyediaka saraa memperkuat pegetahua matematika, karea salah satu keguaaya adalah meyederhaaka matematika yag lebih tiggi mejadi operasioperasi matematika yag medasar. Tahap Pemecaha Secara Numeris Pemodela Peyederhaa Model Formulasi Numerik o meetuka metode umerik yag aka dipakai, bersama dega aalisis error awal. o Pertimbaga pemiliha metode Apakah metode tersebut teliti? Apakah metode mudah diprogram, da waktu pelaksaaaya cepat? Apakah metode tersebut peka terhadap ukura data. o Meyusu algoritma dari metode umerik yag dipilih. Pemrograma traslate algoritma program komputer Operasioal pegujia program dega data uji Evaluasi itepretasi output, peaksira kualitas solusi umerik, pegambila keputusa utuk mejalaka program gua memperoleh hasil yag lebih baik. Pera Ahli Iormatika dalam Metode Numerik Tahap, da 2 melibatka para pakar di bidag persoala yag bersagkuta. Dimaa pera orag iormatika? Iromataikawa berpera dalam tahap 3, 4, da 5. Agar lebih memahami da meghayati persoala, sebaikya orag iormatika juga ikut dilibatka dalam memodelka. Tahap 6 memerluka kerjasama iormatikawa dega para pakar di bidag yag bersagkuta. Bersama-sama pakar, iormatikawa mediskusika hasil umerik yag diperoleh. 5
6 Turua y y m m m y y y ' y a a ' a p a ' a a p a ' a a e ' e Log atural logaritmicl Misal: e, a P a ' a a e e a Selesaika!. d² = 2 a e a e 2. d+²-2³ = 2 6² 3. d = d = 2 = d d. d d = 2 = 2 4. d + d = d+ 2 d = d+ 2 d+ = =. d+ d 2 + =
7 5. d +2 5 d = d +2 5 d = d +25 d+2 5. d+25 d = d 2+5 = d d 2+5 d = d d.2+5 d2+5. d = d d = = d = u'v + v'u d = d2 d d2 34 d 2 = = = d cos 2 d = d cos 2 d = d cos 2 d 2 d 2 d = si 2 2 = 2 si 2 9. d l d =. d l d = d l d d. d = =. d d = d d 2 3. d 2 3 d =
8 2. d 2 + d = d 2 + = d = d 2 2 d + d+ 2 d + 2 = = = = = = ² 2 ²+² = 2+ = ² + ² 3. d si 3 2 d = = d si3 2 dsi 2 d 2 dsi 2 d 2 d = 3si 2 2 cos 2 2 = -6 si 2 2 cos 2 8
9 BAB 2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT Poliomial Taylor Umumya ugsi yag ada di matematika tidak dapat dikerjaka secara eksak dega cara yag sederhaa.sebagai cotoh utuk meetuka ilai = cos, e atau tapa megguaka alat batu adalah hal yag sagat susah.salah satu cara yag diguaka utuk mecari ilai adalah dega megguaka ugsi pedekata yaitu poliomial. Diatara poliomial-poliomial yag bayak diguaka adalah poliomial taylor. Rumus umum dari poliomial taylor adalah sbb: P = a + a a + a2 2! a a! = j = a a j j! dega a = a j a Cotoh : Misalka = e da a = maka j = e, j =, j P = a + + 2! = ! = ! 2! + +!!. Kasus khusus bila ugsi poliomial taylor diperluas disekitar a= maka diamaka deret Maclauri. Cotoh 2 : Diketahui = si da a = Carilah deret Maclauri dari ugsi tersebut! Peyelesaia : = cos = cos = cos = si 4 = si 9
10 P = ! 2 2! ! ! = ! ! + 4 4! = 3 3! + 5 5! ! 9! ! Latiha Soal Carilah deret Maclauri dari. = cos 2. = l + 3. = 4. = + Peyelesaia. = si = si 5 = si = cos 4 = cos P = ! 3! + 4 4! 2. = + = ! = 2 2! + 4 4! = + 2 = = = 5! + 3! ! !. P = ! 3! = ! + 3 3! 2 +
11 = 2 2! ! = = 2 = 2 = 2 3 = 2 3 = 6 4 = 6 4 P = ! 3! = ! = = = = = = = 3! P = ! 3! = ! !. 3 8 = ! 6! Galat Pada Poliomial Taylor Diasumsika bahwa mempuyai + turua kotiu pada iterval α a β, misalka titik a berada pada iterval tersebut maka R disebut remaider atau galat atau sisa/residu. Dirumuska : R = P Dega P adalah Poliomial Taylor R = a + +! + C, α β Dega C adalah sebuah titik yag berada diatara a da. Suku-suku deret Taylor biasaya di tuliska tidak berhigga bayakya, maka utuk alasa praktis, deret Taylor dipotog sampai suku orde tertetu.
12 Deret Taylor yag dipotog sampai orde ke- disebut deret taylor terpotog. Deret Taylor yag dipotog sampai suku ke- bisa dituliska : = P + R Cotoh : Misalka = si, hampirilah deret taylor orde 4 disekitar a=. Diketahui : P = a + a a + a2 2! = si, hampirilah deret taylor orde 4 di a=. Peyelesaia : P = si + cos + 2 R 5 = 5 cos C 5! = P + R dega = si + cos ! cos C R 5 = 5 cos C, C 5! 2! 2! "a + + si + 3 3! si + 3 3! a4 4! Deret taylor terpotog di daerah a = disebut deret Maclauri terpotog. Cotoh : e = ! + +! + + +! ec 4 a cos + 4 4! si cos + 4 si + 4! Galat Didalam metode umerik selalu diguaka ilai hampira utuk mecari ilai atau solusi umerik. Nilai hampira iilah yag memuculka galat atau error. Error atau galat terjadi karea beberapa sebab :. dari pegamata 2. dari pegabaia sesuatu 3. dari alat yag diguaka 4. dari metode umeris yag diguaka Galat dideiisika sebagai : ε = a â 2
13 Keteraga: ε : dibaca epsilo : galat/error a : ilai sejatitrue value : ilai hampira approimatio value Galat Relati yaitu ukura galat terhadap ilai sejatiya. ε R = ε a atau ε R = ε a % Keteraga : ε R : galat relati ε : galat a : ilai sejati Cotoh : Dipuyai ilai π = 3, Nilai hampira = 22/7 = 3, Sehigga galatya adalah : ε = 3, ,42857 = -,26 ε = ε a =,26 3, = -,42 Galat relati hampira yaitu : ukura galat terhadap ilai hampiraya. ε RA = ε ᾂ Macam-macam galat dalam peghituga umerik :. Galat Pemotoga Trucatio Error Galat ii megacu pada galat yag ditimbulka akibat pegguaa hampira sebagai peggati solusi eksak. Galat pemotoga bergatug pada metode komputasi yag diguaka, sehigga galat ii juga disebut galat metode. 3
14 cotoh : cos = ! 4! 6! 8!! Nilai hampira 2. Galat Pembulata pemotoga galat pemotoga Galat yag ditimbulka dari keterbatasa komputer dalam meyajika bilaga real. cotoh : 6 =, Komputer tidak dapat meyataka secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer haya mampu mempresetasika sejumlah digit atau bit byte = 8 bit 3. Galat total Atau galat akhir pada solusi umerik. Merupaka jumlah galat pemotoga da galat pembulata. Cotoh : cos,5 -,52 2! +,54 4!, galat pemotoga galat pembulata cotoh :. Hituglah error, relative error, da digit yag sigiika dibawah ii dega perkiraa X A = XT a X t = 28,254, X A = 28,27 ε R = ε a = 7 28,254 = -, Jawab : ε = a-â = 28,354-28,27 = -7 b X t =,28254, X A =,2827 ε R = ε a =,7,28254 = -,66847 Jawab : ε = a-â =, ,2827 4
15 = -,7 c X t = e, X A = 9 7 Jawab : ε = a-â = 2, , =, ε R = ε a =, , =, d X t = 2, X A =,44 ε R = ε a =, , =,5422 Jawab : ε = a-â =, ,44 =, Bilaga Titik Kambag Format bilaga real di komputer berbeda-beda bergatug pada peragkat keras da peerjemah bahasa pemrograma. Bilaga real di dalam komputer umumya disajika dalam ormat bilaga titik kambag a = ±m Bᴾ Keteraga: m = matis rill B = basis sistem bilaga yag di pakai 2, 8,, dst P = pagkat berupa bilaga bulat Cotoh: Bilaga rill 245,7654 diyataka sebagai, atau bisa juga ditulis, e3 Bilaga Titik Kambag Terormalisasi Represesitati bilaga titik kambag bisa beragam sebagai cotoh kita dapat meuliska sebagai a = ± m Bᴾ ¹ 5
16 Misalya 245,7654 dapat dituliska sebagai, atau 2, atau, dst. Agar bilaga titik kambag dapat disajika seragam, maka digit pertama matis tidak boleh. Bilaga titik kambag yag di ormalisasi ditulis sebagai: a = ±m Bᴾ = ± d, d2, d3 d Bᴾ Dimaa d, d2,d3... d adalah digit matriks terhadap syarat d b-, da d k b- utuk k> Pada syarat desimal: d 9 da d 9 Pada sistem bier: d = da d Cotoh:.,563-3 diormalisasi mejadi, , diormalisasika mejadi,
17 BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER Dalam matematika terapa kita serig mecari peyelesaia persamaa utuk =, yaki bilaga-bilaga = sedemikia higga = sehigga r=; adalah ugsi tak liier da r yag memeuhi disebut akar persamaa atau titik ugsi tersebut.. Persamaa Aljabar Cotoh: Persamaa Poliom Berordo > 2 a ⁿ + a ⁿ + + a₂ 2 + a₁ + a₀ = Dega a, > 2 Persamaa Rasioal P = RT v A v v + Dega P, R, T, A, v kostata 2. Persamaa Trasede, adalah persamaa yag megadug ugsi-ugsi trigoometri algoritma atau ekspoe. Cotoh: e - + si = 2 h 2 = 3. Persamaa Campura, megadug baik persamaa poliom maupu persamaa trasede. Cotoh: 2 si + 3 = l = Dari cotoh di atas tetuka bahwa rumus-rumus yag memberika ilai eksak dari peyelesaia secara eksplisit haya aka ada utuk kasus-kasus yag sederhaa. Dalam bayak hal kita harus megguaka metode-metode hampira khususya metode-metode iterasi. Metode iterasi umeris adalah metode dimaa kita memilih sesuatu sebagai tebaka awal da secara berutu meghitug barisa ilai hampira ilai da seterusya secara reprosi dari relasi berbetuk + =g ; =,,3 dega g dideiisika dalam selag yag 7
18 memuat da reta g terletak dalam selag tersebut,jadi secara ebrutu kita meghitug. Dari rutua di atas diigika bahwa hampira tersebut membetuk suatu barisa yag koverge. Metode iterasi secara khas cocok utuk komputer karea metode ii melibatka suatu proses. Ada 4 metode dasar utuk memecahka persamaa o liier yag dikelompoka atas metode terbukaselalu koverge da metode-metode terututuptidak selalu koverge. Keempat metode ii adalah: Metode Bagi Dua Bisectio Method 2 Metode Posisis Palsu Regula Falsi 3 Metode Newto-rhapso 4 Metode secat. Metode Biseksi Metode Bagi Dua Pecaria lokasi akar i Graik Tuggal ii Graik Gada y y akar 2 akar a[ ]b iii Tabulasi F= l,5 -,34 -,5 -,39 2,38 2,5,29 8
19 Utuk mecari akar persamaa liier dega megguaka metode bagi dua yaitu harus dilakuka pertama kali adalah memperkiraka sebuah selag yag didalamya megadug solusi akar. Lagkah Algoritma Misalya: kotiu pada iterval a, b Algoritma:. Deiisika c = a+b 2 2. Jika b c Ɛ, maka c akar persamaa selesai 3. Jika b c maka a = c laiya b = c Cotoh: Carilah akar persamaa dari = e dega Ɛ =, Peyelesaia: = e - Ambil sembarag selag -, - = e + = 3,78 = e - =,632 = 6 = diambil selag, 2 = 6 = - 2 = = 6 a b c b - c c - 2,5,5,65 3,5,75,25 -,2776 4,5,75,75,75 -,897 Utuk meetuka jumlah literasi utuk mecari akar-akar = 6 = l b a Ɛ l 2 9
20 Ɛ =, pada selag, 2, bayak iterasi yag diperluka utuk mecari akar adalah l b a, l r 9,97 iterasi. 2. Metode Regula-Falsi Metode Posisi Palsu Meskipu metode dibagi 2 Bisectio selalu berhasil dalam meemuka akar tetapi kecepata kovergesiya sagat lambat. Kecepata kovergesiya dapat di tigkatka bila ilai a da b juga diperhitu gka. Metode yag memaaatka ilai a da b disebut metode Regulasi-Falsi. Atau metode posisi palsu False Positio Method. Dega metode Regulasi-Falsi dibuat garis lurus yag meghubugka titik a, a da b, b. Perpotoga garis tersebut dega sumbu merupaka taksira akar yag diperbaiki. Garis lurus tersebut seolah-olah berlaku meggatika kurva da memberika posisi palsu dari akar. y b, b Gradie AB = Gradie BC b a b a = b c = b b c b b a b a c, b c = b b b a b a A a c a, a Algoritma Misalka dipuyai sebuah iteral [a, b] yag memeuhi a b < da sebuah tolerasi galat ε maka Regulasi-Falsi dapat dicari dega lagkah-lagkah sebagai berikut :. Deiisika c = b b b a b a 2. Jika b c ε maka c adalah akar da proses selesai. 3. Jika b. a maka a adalah a=c. Utuk kodisi yag lai jika kodisi itu tidak terpeuhi b adalah akar b=c. 2
21 Cotoh Diketahui : = 6 = dega ε =, pada selag,2 Iterasi a B c a b c b-c 2,2-6,89,98 2,2 2,4 -,94 6 -,77,96 3,4 2,6 -,77 6 -,64,94 4,6 2,7 -,64 6 -,56,93 5,7 2,8 -,56 6 -,49,92 6,8 2,9 -,49 6,9 7,9 2 dst e 2 2 2, ,62932 Metode Terbuka Metode Terbuka dibagi mejadi 3 yaitu:. Metode Iterasi Titik Tetap 2. Metode Newto Rhapso 3. Metode Secat. Metode Iterasi Titik Tetap Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhaa, metode lagsug, atau metode substitusi berutu. Jika dipuyai persamaa secara aljabar dapat dibetuk mejadi. Maka prosedur iterasi yag berpadaa adalah. 2
22 Selajutya membuat ilai awal, kemudia meghitug ilai sedemikia higga koverge ke akar sejati agar memeuhi da. Iterasi aka berheti jika : < ℇ atau < δ dega ℇ da δ telah ditetapka sebelumya Cotoh : Carilah akar persamaa guaka metode iteresi titik tetap dega ℇ=, Peyelesaia : Diket : Ditaya : akar persamaa? i. prosedur iterasi yag bersesuaia Utuk mecari = 22
23 =3, : =,68337 r 4-3,36625, , , ,44, ,,38, , 27, , 423, , 4, , 47,94 3,6,3 3,5, 2 3,2,3 3 3,, 4 3,, ii. Hampira akar = 3 koverge mooto prosedur iterasi yag bersesuaia 23
24 Tebaka awal r , ,5 3 -,375 5, ,26358, ,99355, ,27624, ,99876, ,35, ,998984,466 -,339,355 -,999887, ,38,5 3 -,999987,5 4 -,4,7 5 -,999999,6 6 -,,2 7 -,, iii. Hampira akar = -, koverge berosilasi prosedur iterasi yag bersesuaia r 4,
25 dst.. Notasi diverge ilai semaki membesar Teorema Kekovergea Misalka adalah solusi dari da adaika mempuyai turua kotiue dalam selag Maka jika yag memuat dalam selag tersebut, proses iterasi yag dideiisika aka koverge ke Sebalikya jika dalam selag tersebut, maka iterasi aka diverge dari Jika terdapat selag dega sebagai titik tetap, maka berlaku : i. Iterasi koverge mooto. ii. iii. iv. Iterasi koverge berosilasi. Iterasi diverge mooto. Iterasi diverge berosilasi. Cotoh : a. = 25
26 Karea maka iterasi koverge mooto b. Tetuka selag agar koverge? Peyelesaia : Syarat koverge Utuk tidak mugki Utuk Jadi iterasi aka koverge 26
27 2. Metode Newto-Rhapso Y X X Y= X, X X Perhatika graik y di atas! Akar terjadi ketika graik memotog sumbu,estimasi utuk diguaka garis siggug yag meyiggug garik y di. Gradie garis siggug dapat dicari dega turua pertama ugsi. Dari gambar tersebut gradie garis siggugya adalah: Gradie garis siggug, da, m y 2 m ' 2 y o o ' '..* ' Secara umum,betuk rumus * bisa digeeralisasi mejadi: ;,,2,3,4..., '... ** ' Formula atau rumus ** diguaka utuk prosedur iterasi metode Newto-Rhapso. Iterasi Newto-Rhapso aka berheti pada kodisi: dega da adalah tolerasi galat yag diigika. Catata:. Jika ', ulagi kembali hituga iterasi dega yag lai. 2. Jika persamaa memiliki lebih dari satu akar pemiliha yag berbedabeda dapat meemuka akar yag lai. 27
28 3. Dapat terjadi iterasi koverge keakar yag berbeda dari yag diharapka. Cotoh: 6 Carilah akar dari dega megguaka metode Newto-Rhapso. Utuk meyelesaika soal diatas maka terlebih dahulu mecari selag yag megadug akar. Batas atas da batas bawah selag sebaikya meghasilka ilai dega perubaha tada ketika dimasukka kedalam ugsi tersebut. Selajutya,pilih satu ilai didalam selag tersebut. ' 6 ' 6 ; ,5 Jadi akar dari persamaa diatas adalah,34724 Tetuka hampira akar utuk persamaa berikut: 3. 3 Dega tebaka awal, Dega tebaka awal 3 Peyelesaia:. 3 3 ' 3 ' E E E Jadi akar persamaaya adalah=, '
29 ' E E E Jadi akar persamaaya adalah=2,8386 Kriteria Koverge Newto Raphso. Utuk memperoleh iterasi koverge maka harus memeuhi harga mutlak g < Karea metode Newto Raphso adalah metode terbuka maka dapat dirumuska g maka turua pertama gadalah : g =- = g = karea syarat kovergesi g < maka < Dega syarat 3. Metode Secat 29
30 Prosedur iterasi Newto Rhapso memerluka perhituga turua ugsi,sayagya,tidak semua ugsi mudah dicari turuaya terutama ugsi yag betukya rumit.turua ugsi dapat dihilagka dega cara meggatiya dega betuk lai yag ekivale.modiikasi metode Newto Rhapso diamaka metode secat. Diamsumsika terdapat 2 ilai tebaka awal yaitu da. 2 titik, da, pada kurva y = dibuat garis lurus,yag disebut garis secat.ormmula utuk metode secat dapat dicari dega megguaka metode Newto Rapsho dega meyamaka gradiet yag ditetuka oleh : {, ;, } da {,, 2,} FX - = - X X 2 - =- X 2 = * secara umum ormula * dapat digeeralisasi mejadi: + =
31 akar persamaa = 6 - dega =2, = X ,629 -,9537,629 3,9578,657466, ,7656 -,6849 -,729 5, ,2244,4876 3
32 BAB 4 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER a. Metode Iterasi Jacobi Tijau kembali sistem persamaa liier Dega syarat a kk, k =, 2,...,. a + a a a = b a 2 + a a a 2 = b 2... a + a a a = b Misalka diberika tebaka awalya, 2, 3,,. Maka lelalara pertamaya adalah : Lelara kedua = b a 2 2 a 3 3 a a 2 = b 2 a 2 a 23 3 a 2 a 2 = b a a 2 2 a a 2 = b a 2 2 a 3 3 a a 2 2 = b 2 a 2 a 23 3 a 2 a 22 2 = b a a 2 2 a a 32
33 Secara umum : i k+ = b i j =,j i a ii k a ij j dega k =,,2 b. Metode Iterasi Gauss-Seidel Lelara pertama : = b a 2 2 a 3 3 a 2 = b 2 a 2 a 23 3 a 22 3 = b a 3 a 32 2 a Jadi hasil yag telah diperoleh lagsug diguaka pada perhituga berikutya. C. Latiha Tetuka solusi SPL 4 - y + z = 7 4-8y + z = y + 5z = 5 dega ilai awal P =, y, z =, 2, 2 33
34 BAB 5 INTERPOLASI a. Pecocoka Kurva Pecocoka Kurva adalah sebuah metode yag mecocokka titik data dega sebuah kurva curve ittig ugsi. Pecocoka kurva dibedaka mejadi dua metode:. Regresi Data memuat galat yag cukup berarti Kurva cocoka mewakili kecederuga titik data tidak perlu melalui semua titik sehigga selisih atara titik data da titik hampira sekecil mugki 2. Iterpolasi Data dega ketelitia tiggi Kurva cocoka melalui setiap titik data 34
35 Iterpolasi Tujua: Mecari ilai di atara beberapa titik data yag telah diketahui ilaiya Fugsi cocoka berupa poliom: Iterpolasi Poliom Poliom berbetuk: P a a a a b. Iterpolasi dega Poliom Liear da Kuadrat Iterpolasi dega Poliom Liear Diketahui data:,y,,y Poliom yag megiterpolasi: Iterpolasi dega Poliom Kuadrat Diketahui data:,y,,y, 2,y 2 Poliom yag megiterpolasi: P 2 =a + a + a 2 2 * a da a telah diketahui dari poliom liear Meetuka a 2 : Substitusi i,y i ke * 35
36 a + a + a 2 2 = y a + a + a 2 2 = y 2 a + a 2 + a = y 3 Dega cara elimiasi diperoleh: c. Iterpolasi dega poliom Newto a =y,a =[, ], a 2 =[ 2,, ], a =[, -,,, ] Cotoh: Nilai Viskositas air dapat ditetuka dega megguaka tabel berikut ii: TºC -3 Ns/m 2,792,38 3,8 5,549 7,46 9,37,284 Perkiraka harga viskositas air pada temperatur tertetu 36
37 37 Jawab: Nilai utuk T=4 Jika diguaka titik [3,5,7]: P 2 4= Jika diguaka titik [,3,5]: Jika diguaka titik [,,3,5]: P 3 4=.67 Jika diguaka titik [,3,5,7]: P 3 4= Poliom Lagrage Poliom liear: Dapat disusu kembali mejadi: Poliom kuadrat dapat pula disusu mejadi: Atau: Dega memakai ugsi Lagrage Dimaa syarat iterpolasi harus dipeuhi i i i i i i i i i j j j i j i L i i i L y L y L y L y P y P y P y P,...,,
38 d. Iterpolasi Dega Poliom Newto Gregory Poliom Newto Gregory Maju Diketahui titik-titik berjarak sama:, = +h, 2 = +2h, Dideiisika: Sehigga Misal ilai yag aka diiterpolasi: = +sh. Poliom Newto Gregory Maju: 2. Poliom Newto Gregory Mudur Diketahui titik-titik berjarak sama:, - = -h, -2 = -2h, Dideiisika: 38
39 Poliom Newto dapat ditulis: Misal ilai yag aka diiterpolasi: = +sh Diperoleh Poliom Newto Gregory Mudur: C. Latiha. Sejumlah uag didepositoka dega tigkat buga tertetu. Tabel berikut meguraika perkiraaa uag deposito pada masa yag aka datag, berupa ilai uag pada 2 tahu medatag dibadigka dega ilai sekarag. Tigkat suku buga F/P = 2 tahu 5 6, , , ,5 Jika Rp...,- didepositoka sekarag dega suku buga 23,6%, berapa ilai uag tersebut pada 2 tahu yag aka datag. Guaka iterpolasi Newto Lagrage da Newto maju, Kemudia badigka hasil perhituga ketiga metode tersebut. 2. Misal diberika sekumpula titik data. Bila di dalam tabel selisih maju ditemuka berilai hampir kosta maka poliom yag tepat megiterpolasi titik-titik itu adalah poliom derajat k. Berikut ii diberika pasaga ilai da 39 k
40 a. Berapa derajat poliom yag terbaik utuk megiterpolasi ketujuh titik data di atas? b. Dega derajat terbaik dari jawaba a tetuka ilaiu ugsi di =.58 dega poliom iterpolasi Newto Gregory maju 5h 3. You are give some data:,, h,h, 2h,2h ad 3h,3h. Fid P with Lagrage polyomial 4. Jika sejumlah uag didepositoka dega suatu kurs buga tertetu maka tabel di bawah ii dapat diguaka utuk meetuka jumlah uag yag terakumulasi setelah 2 tahu 3 2 Kurs buga % F/P 2,4 2,4445 2,7777 2,222 2,8884 F/P adalah perbadiga dari keutuga ati terhadap ilai sekarag. Misalya jika p =.. didepositoka, maka setelah 2 tahu dega buga 32% jumlah uagya mejadi: F = F/P.P = 2, = a. Tetuka derajat poliom yag terbaik utuk megiterpolasi ke-eam titik di atas b. Dega derajat terbaik pada jawaba a, tetuka jumlah uag setelah 2 tahu dari Rp.3.. yag didepositoka dega buga 32%. Guaka poliom iterpolasi Newto Gregory maju 5. Sebuah daerah dijagkiti oleh epidemi demam berdarah. Misal t meyataka bayakya orag yag terjagkiti demam berdarah setelah t miggu. Seorag petugas mecatat data sebagai berikut t miggu t a. Tetuka ugsi yag meghampiri data di atas dega poliom Lagrage b. Guaka hasil pada a utuk meaksir bayak orag yag terjagkiti demam berdarah setelah 6 miggu c. Tetuka t jika bayakya orag yag terjagkiti demam berdarah mecapai 2 orag 4
41 4 6. Buktika bahwa: [ 4, 3, 2,, ] 4 4!. h 4
42 BAB 6 INTEGRASI NUMERIK Itegral: Jika >, tasira geometrik: luas daerah Jika ugsi primiti F yaitu df d diketahui, maka I b a d F b F a Jika tidak diketahui maka diselesaika dega Pegitegrala Numerik a. Metode Newto-Cotes Ide: Peggatia ugi yag rumit atau data yag ditabulasika ke ugsi aproksimasi yag mudah diitegrasika Jika ugsi aproksimasi adalah poliomial berorde, maka metode ii disebut metode itegrasi Newto-Cotes b b I d d I a a Kaidah Segiempat Disii aproksimasi dega suatu ugsi tagga ugsi 42
43 43 kosta sepotog-potog Kaidah Trapesium Disii aproksimasi dega suatu ugsi liier sepotog-potog a. Satu pias ] [ h I I ] [ 2 h I I 2 I I 3 2 E t
44 44 Kesalaha: b. Bayak pias Kesalaha: Kaidah Simpso /3 Disii aproksimasi dega suatu ugsi kuadratik sepotog-potog a Satu pias Kesalaha: 2 2 i i m I I i t E 3 2 dimaa, I I i E t
45 b Bayak Pias: 2 I I m p 4 i 2 i 3 i,3,5 i2,4,6 2 Kesalaha: E t b. Metode kuadratur Gauss Rumusa yag palig akurat utuk itegrasi umerik Tijaua Gauss dalam perhituga itegral F d berdasarka ilai dalam sub iterval yag tidak berjarak sama, melaika I = simetris terhadap titik tegah iterval b a d = a-b [R U + R2 u2 + + R U] U,U2,,U adalah titik dalam iterval [-/2,/2] U = = [b-au + a b ] 2 a b X = b-au + 2 Tersedia tabel ilai umerik parameter U da R Latiha Tetka luas daerah di bawah kurva = 2, atara = sampai = 4, dega kaidah segiempat da trapesium da simpso /3 Peyelesaia 45
46 a. Dega kaidah segiempat Iterval, 4 dibagi mejadi 4 bagia sama pajag, = 4 h = 4 - /4 = Luas persegi pajag P = * = * = P 2 = * 2 = * 4 = 4 P 3 = * 3 = * 9 = 9 P 4 = * 4 = * 6 = 6 Luas Total = 3 Peyimpagaya = = 8.66 Jika iterval, 4 dibagi mejadi 8 sub-iterval, = 8 h = 4 - /8 =.5 Luas persegi pajag P = *.5 = * =.25 P 2 = *. = * 4 = P 3 = *.5 = * 9 =.25 P 4 = * 2. = * 6 = 2 P 5 = * 2.5 = * 4 = 3.25 P 6 = * 3. = * 9 = 4.5 P 7 = * 3.5 = * 6 = 6.25 P 8 = * 4. = * 6 = 8 Luas Total = 26 Peyimpagaya = = 4.67 Jika bayakya sub-iterval diperbayak lagi, misal = 4, diperoleh L = 22.4, da utuk = diperoleh L = Jika diambil tiggi adalah ilai ugsi pada ujug kiri sub-iterval Luas P =.5 *. =.5 * = P 2 =.5 *.5 =.5 *.25 =.25 P 3 =.5 *. =.5 * = P 4 =.5 *.5 =.5 * 2.25 =.25 P 5 =.5 * 2. =.5 * 4 = 2 P 6 =.5 * 2.5 =.5 * 6.25 = 3.25 P 7 =.5 * 3. =.5 * 9 = 4.5 P 8 =.5 * 3.5 =.5 * 2.25 = 6.25 Luas Total = 8 Jika tiggi sama dega titik tegah iterval, diperoleh: 46
47 Luas P =.5 *.25 =.325 P 2 =.5 *.75 =.2825 P 3 =.5 *.25 =.7825 P 4 =.5 *.75 =.5325 P 5 =.5 * 2.25 = P 6 =.5 * 2.75 = P 7 =.5 * 3.25 = P 8 =.5 * 3.75 = Luas Total = 2.2 Perhatika bahwa hasil terakhir ii adalah yag terbaik. b. Dega kaidah trapesium Iterval, 4 dibagi mejadi 4 sub-iterval, = 4 h = 4 - /4 = k k Luas total D. Lembar kegiata: h k k Soal tes ormati dikerjaka oleh tiap mahasiswa utuk tugas rumah da dikumpulaka pada pertemua berikutya E. Tes Formati. Volume suatu daerah yag dibatasi oleh graik, a b yag diputar terhadap 2 sumbu dapat ditetuka dega rumus v d. Hampiri volume daerah yag dibatasi oleh graik l, yag diputar terhadap sumbu dega metode Kuadratur Gauss 2 titik b a 47
48 2 3 cos si, 3 2. The regio D is bouded by curve,. 2 2 The volume o the solid geerated by revolvig about X-ais the regio D is give by b V d, a, b. Fid the volume V with 2 poit-gauss a 2 2 Legedre method Hituglah cos dt dega atura Gauss Legedre 3 titik.5 4. Tetuka sehigga si d jika diselesaika dega metode Simpso /3 galatya kurag dari
49 DAFTAR PUSTAKA Chapra, S. C. ad Caale, R. P. 99. Metode Numerik utuk Tekik. Peerbit Uiversitas Idoesia, Jakarta. Cote, S. D. ad de Boor, C Dasar-Dasar Aalisis Numerik, Peerbit Erlagga, Jakarta. Haselma, D. ad Littleield, B Matlab Bahasa Komputasi Tekis. Peerbit Adi, Yogyakarta. Atkiso, K.E, 989. A Itroductio to Numerical Aalysis, 2d Editio. Wiley. New York. Muir, R. 23. Metode Numerik. Peerbit Iormatika: Badug. Scheid, F Numerical Aalysis, McGraw-Hill Iteratioal Editios, Sigapore. 49
METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciPersamaan Non-Linear
Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciHimpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciSTUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN
STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau e-mail : spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
Lebih terperincii adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Non Linier
Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciDeret dan Aproksimasi. Deret MacLaurin Deret Taylor
Deret da Aproksimasi Deret MacLauri Deret Taylor Tujua Keapa perlu perkiraa? Perkiraa dibetuk dari ugsi palig sederhaa polyomial. Kita bisa megitegrasika da medieresiasi dega mudah. Kita bisa guaka saat
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciPenerapan Metode Bagi-Dua (Bisection) pada Analisis Pulang-Pokok (Break Even)
Peerapa Metode Bagi-Dua (Bisectio) pada Aalisis Pulag-Pokok (Break Eve) Oleh: Nur Isai Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta Email: urisai001@yahoo.com Abstrak Persoala dalam mecari akar persamaa
Lebih terperinciPENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN
PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,
Lebih terperinciGalat dan Perambatannya
Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciBAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi
Lebih terperinciBAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciBab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial
Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala
Lebih terperinciSolusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP
( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak
Lebih terperinciMETODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Joas Lodewyk H 1, Zulkarai 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMETODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09
METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM09 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pada metode ii, utuk
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...
Lebih terperinciPENYAJIAN ISI DAFTAR MATEMATIKA SEBAGAI NILAI FUNGSI POLINOM
PENYAJIAN ISI DAFTAR MATEMATIKA SEBAGAI NILAI FUNGSI POLINOM PENDAHULUAN Abdul Hamid ) Email: abdulhamid@yahooom FKIP Uiversitas Tadulako Dalam pelajara matematika maupu terapaya, telah dikeal dua ara
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperincitheresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciPOSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan
POSITRON, Vol. II, No. (0), Hal. -5 ISSN : 30-4970 Peetua Eergi Osilator Kuatum Aharmoik Megguaka Teori Gaggua Iklas Saubary ), Yudha Arma ), Azrul Azwar ) )Program Studi Fisika Fakultas Matematika da
Lebih terperinciDERET DAN APROKSIMASI
DERET DAN APROKSIMASI D E R E T M A C L A U R I N D E R E T T A Y L O R COURTESY: IDRIS M. KAMIL DAN ROFIQ IQBAL TUJUAN Keapa perlu perkiraa? Perkiraa dibetuk dari ugsi palig sederhaa polyomial. Kita bisa
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciUkuran Pemusatan. Pertemuan 3. Median. Quartil. 17-Mar-17. Modus
-Mar- Ukura Pemusata Pertemua STATISTIKA DESKRIPTIF Statistik deskripti adalah pegolaha data utuk tujua medeskripsika atau memberika gambara terhadap obyek yag diteliti dega megguaka sampel atau populasi.
Lebih terperinciBAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciMETODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM07
METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM07 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pd metode ii, utuk meetuka
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com
Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m
Lebih terperinciStudi Komparatif Metode Newton dan Metode Tali Busur untuk Menghampiri Akar Persamaan f(x)=0
Lapora Peelitia Studi Komparatif Metode Newto da Metode Tali Busur utuk Meghampiri Akar Persamaa f()= Peeliti: Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pebetahua Alam Uiversitas
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah
Lebih terperinciBAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,
Lebih terperinciBAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH
89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas
Lebih terperinciModul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga
Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciBARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Lebih terperinciOleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal
BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciPENAKSIRAN DAN PERAMALAN BIAYA D. PENAKSIRAN BIAYA JANGKA PANJANG E. PERAMALAN BIAYA
PENAKSIRAN DAN PERAMALAN BIAYA Ari Darmawa, Dr. S.AB, M.AB Email: aridarmawa_fia@ub.ac.id A. PENDAHULUAN B. PENAKSIRAN DAN PRAKIRAAN FUNGSI BIAYA C. PENAKSIRAN JANGKA PENDEK - Ekstrapolasi sederhaa - Aalisis
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciBab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.
3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga
Lebih terperinciPREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27
PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi
Lebih terperinciBAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinciIII. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur
0 III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciAplikasi Interpolasi Bilinier pada Pengolahan Citra Digital
Aplikasi Iterpolasi Biliier pada Pegolaha Citra Digital Veriskt Mega Jaa - 35408 Program Studi Iformatika Sekolah Tekik Elektro da Iformatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 403, Idoesia veriskmj@s.itb.ac.id
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh
Lebih terperinciSTATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP
STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,
Lebih terperinciREGRESI DAN KORELASI
REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas
Lebih terperinciCATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis
CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),
Lebih terperinciBAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER
BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER PENDAHULUAN Dalam bab ii, kita aka membahas tetag beberapa metode umerik yag dapat diguaka utuk meemuka akar-akar persamaa o-liier. Masalah yag aka kita bahas
Lebih terperincih h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n!
Dieresiasi Numerik Sala satu perituga kalkulus yag serig diguaka adala turua/ dieresial. Coto pegguaa dieresial adala utuk meetuka ilai optimum (maksimum atau miimum) suatu ugsi y x mesyaratka ilai turua
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel.
II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel.
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11
SMA IPA Kelas BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- ( ) a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a ) atau S (a ( ) b) Dega S dapat juga
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB ENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Dalam kehidupa yata, hampir seluruh feomea alam megadug ketidak pastia atau bersifat probabilistik, misalya pergeraka lempega bumi yag meyebabka gempa, aik turuya
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)
3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real
Lebih terperinciModel Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika
Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid
Lebih terperinci