Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5

Transkripsi

1 Graf Materi ke-5

2 Graf Isomorfik Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut

3 Jawaban: Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda) isomorfik! 3

4 Graf Isomorfik Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf, G dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisisisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga. Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G, maka sisi e yang berkoresponden di G 2 harus bersisian dengan simpul u dan v yang di G 2. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara. 4

5 3 d c v w 4 2 a b x (a) G (b) G 2 (c) G 3 y Gambar 6.35 G isomorfik dengan G 2, tetapi G tidak isomorfik dengan G 3 5

6 6 (a) G (b) G 2 Gambar 6.36 Graf (a) dan graf (b) isomorfik [DEO74] e d c b a z v w y x A G = e d c b a A G2 = z v w y x z d c a b e x v w y

7 (a) (b) Gambar 6.38 (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik 7

8 Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan. u w x y v 8 (a) (b)

9 Latihan Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik? d h a e f b s w p t u q g v c r 9

10 Latihan Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik? a e f b p t u q d c s r 0

11 Latihan Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul

12 Jawaban: 2

13 Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph) Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar, jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar. K 4 adalah graf planar: 3

14 K 5 adalah graf tidak planar: 4

15 Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph). (a) (b) (c) Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang 5

16 Aplikasi Graf Planar Persoalan utilitas (utility problem) H H 2 H H 3 H 2 H 3 W G E (a) W G E (b) (a) Graf persoalan utilitas (K 3,3 ), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar. 6

17 Aplikasi Graf Planar Perancangan IC (Integrated Circuit) Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan dapat menimbulkan interferensi arus listrik malfunction Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar 7

18 Latihan Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan) 8

19 Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face). Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar): R 2 R 3 R 4 R 6 R 5 R 9

20 Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang: n e + f = 2 (Rumus Euler) R R 2 R 3 R 5 R 4 R 6 Pada Gambar di atas, e = dan n = 7, f = 6, maka = 2. 20

21 Latihan Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk? 2

22 Jawaban: Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 4 = 96. Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2 jumlah sisi, sehingga jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48 Dari rumus Euler, n e + f = 2, sehingga f = 2 n + e = = 26 buah. 22

23 Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku: e 3n 6 Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler, yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi. 23

24 Contoh: Pada K 4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab 6 3(4) 6. Jadi, K 4 adalah graf planar. Pada graf K 5, n = 5 dan e = 0, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab 0 3(5) 6. Jadi, K 5 tidak planar K 4 K 5 K 3,3 24

25 Ketidaksamaan e 3n 6 tidak berlaku untuk K 3,3 karena e = 9, n = 6 9 (3)(6) 6 = 2 (jadi, e 3n 6) padahal graf K 3,3 bukan graf planar! Buat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi, Dari penurunan rumus diperoleh e 2n

26 Contoh Graf K 3,3 pada Gambar di bawah memenuhi ketidaksamaan e 2n 4, karena e = 9, n = 6 9 (2)(6) 4 = 8 (salah) yang berarti K 3,3 bukan graf planar. H H 2 H H 3 H 2 H 3 W G E W G E 26

27 Teorema Kuratoswki Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf. (a) (b) (c) Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K 5 ) (b) Graf Kuratowski kedua (K 3, 3 ) (c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua 27

28 Sifat graf Kuratowski adalah:. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar 3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar. 4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum. 28

29 TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya. v x y G G 2 G 3 Gambar Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain. 29

30 Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan graf planar karena ia mengandung upagraf (G ) yang sama dengan K 3,3. a b c a b c f e d f e d G G Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf yang sama dengan K 3,3. 30

31 Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G ) yang homeomorfik dengan K 5 (dengan membuang simpul-simpul yang berderajat 2 dari G, diperoleh K 5 ). a a a h i b d c h i b d c h c g f e g f e g e G G K 5 3 Gambar Graf G, upagraf G dari G yang homeomorfik dengan K 5.

32 Latihan Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar. 32

33 Jawaban: (a) Graf Petersen, G (b) G (c) G (d) K 3,3 Gambar (a) Graf Petersen (b) G adalah upagraf dari G (c) G2 homeomorfik dengan G (d) G2 isomorfik dengan K3,3 33

34 Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.. Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-euler (semi-eulerian graph). 34

35 Contoh. Lintasan Euler pada graf (a) : 3,, 2, 3, 4, Lintasan Euler pada graf (b) :, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5,, 3 Sirkuit Euler pada graf (c) :, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f, e, c, b, d, e, a, d, f, b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler (a) (b) (c) a (d) d b (e) 2 (f) a b 4 3 e c 4 5 c d e f (a) dan (b) graf semi-euler (c) dan (d) graf Euler (e) dan (f) bukan graf semi-euler atau graf Euler 35

36 TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika (graf semi-euler) dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali. TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap. 36

37 TEOREMA. (a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. (b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar. f a g b c d c d c e d a b a b (a) (b) (c) Gambar (a) Graf berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) (b) Graf berarah semi-euler (d, a, b, d, c, b) (c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-euler 37

38 Latihan Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun? 38

39 Lintasan dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-hamilton. 39

40 (a) (b) (c) (a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2,, 4) (b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (, 2, 3, 4, ) (c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton 40

41 (a) (b) (a) Dodecahedron Hamilton, (b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton 4

42 TEOREMA. Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n ( 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G). (coba nyatakan dalam jika p maka q ) TEOREMA. Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton. TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3), terdapat (n )!/2 buah sirkuit Hamilton. 42

43 TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3 dan n ganjil), terdapat (n )/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n 4, maka di dalam G terdapat (n 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas. Contoh. Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan? Jawaban: Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah (9 )/2 = Gambar Graf yang merepresentasikan persoalan pengaturan tempat duduk. 3 43

44 Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya (a) (b) (a) Graf Hamilton sekaligus graf Euler (b) Graf Hamilton sekaligus graf semi-euler 44

45 Latihan Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja? 45

46 Jawaban: Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagai sisi. Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titik asal) melewati sisi tepat sekali lintasan Euler Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul dan 6), selebihnya genap pasti ada lintasan Euler Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja

47 Beberapa Aplikasi Graf Lintasan terpendek (shortest path) (akan dibahas pada kuliah IF305) Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem) Persoalan tukang pos Cina (chinese postman problem) Pewarnaan graf (graph colouring) 47

48 Persoalan Pedagang Keliling (travelling salesperson problem (TSP) Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan. ==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum. 48

49 49

50 Aplikasi TSP:.Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota. 2.Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan. 3.Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus. 50

51 Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n )!/2. a 2 b d 5 c Graf di atas memiliki (4 )!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu: a 2 b a 2 b a b d 5 c d 5 c d c 5

52 a 2 b a 2 b a b d 5 c d 5 c d c I = (a, b, c, d, a) bobot = = 45 I 2 = (a, c, d, b, a) bobot = = 4 I 3 = (a, c, b, d, a) bobot = = 32 Sirkuit Hamilton terpendek: I 3 = (a, c, b, d, a) dengan bobot = = 32. Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (9!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar penyelesaian. 52

53 Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem) Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 962. Persoalan: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan? menentukan sirkuit Euler di dalam graf 53

54 B 8 C A 3 4 D 6 2 F 5 E Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A. 54

55 Jika graf yang merepresentasikan persoalan adalah graf Euler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan. Jika grafnya bukan graf Euler, maka beberapa sisi di dalam graf harus dilalui lebih dari sekali. Jadi, pak pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungi setiap jalan paling sedikit sekali dan mempunyai jarak terpendek. 55

56 Persoalan tukang pos Cina menjadi: Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamatalamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya yang mempunyai jarak terpendek supaya ia melewati setiap jalan paling sedikit sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan? 56

57 Pewarnaan Graf Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi Hanya dibahas perwarnaan simpul Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda. 57

58 58

59 Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta. Peta terdiri atas sejumlah wilayah. Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara. Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda. 59

60 60

61 Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi. Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang berkoresponden. Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda warna setiap simpul harus berbeda. 6

62 (a) (b) (c) hijau 8 4 merah biru 7 hitam 2 ungu 5 6 kuning 3 putih jingga kuning 8 4 merah biru 7 merah ungu kuning 3 kuning merah (d) (e) Gambar 8.72 (a) Peta (b) Peta dan graf yang merepresentasikannya, (c) Graf yang merepresentasikan peta, (d) Pewarnaan simpul, setiap simpul mempunai warna berbeda, (e) Empat warna sudah cukup untuk mewarnai 8 simpul 62

63 Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta. Simbol: χ(g). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan χ(g) = k. Graf di bawah ini memiliki χ(g) = 3 63

64 Graf kosong N n memiliki χ(g) =, karena semua simpul tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpul cukup dibutuhkan satu warna saja. 64

65 Graf lengkap K n memiliki χ(g) = n sebab semua simpul saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna. 65

66 Graf bipartit K m,n mempunyai χ(g) = 2, satu untuk simpulsimpul di himpunan V dan satu lagi untuk simpul-simpul di V 2. 66

67 Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki χ(g) = 3, sedangkan jika n genap maka χ(g) = 2. Sembarang pohon T memiliki χ(t) = 2. Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secara umum bilangan kromatiknya. 67

68 Perkembangan teorema pewarnaan graf: TEOREMA. Bilangan kromatik graf planar 6. TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar 5. TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar 4. Teorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 9): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja? Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Haken yang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir 2000 graf yang melibatkan jutaan kasus 68

69 Cukup 4 warna saja untuk mewarnai sembarang peta 69

70 Aplikasi lain pewarnaan graf: penjadwalan. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (, 2,, 8) dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka pada elemen (i, j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j. A B C D E

71 Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya? Penyelesaian: simpul mata kuliah sisi ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah (2 simpul) 7

72 A merah A B E biru B E merah D biru C merah D (a) Gambar (a) Graf persoalan penjadwalan ujian 5 mata kuliah untuk 8 orang mahasiswa (b) Hasil pewaranan pada simpul-simpul graf Bilangan kromatik graf pada Gambar 8.74 adalah 2. Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan, sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan bersamaan tetapi pada waktu yang berbeda dengan mata kuliah A, E, dan D. (b) 72

73 Latihan soal. Dapatkah kita menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul? Mengapa? 2. Tentukan jumlah simpul pada graf sederhana bila mempunyai 20 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama. 3. Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6 buah sisi menjadi planar? Ulangi soal yang sama untuk buah sisi. 73

74 4. Diberikan gambar sebuah graf G seperti di bawah ini. A D B E C (a) Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf G tidak planar. (b) Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf G tidak planar. F H G 74

75 5. Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul. 6. Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masingmasing anggotanya adalah: K = {Amir, Budi, Yanti}, K 2 = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K 4 = {Hasan, Tommy, Yanti}, K 5 = {Amir, Budi}, K 6 = {Budi, Tommy, Yanti}. Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (jelaskan sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini. 75

76 7. Apakah K 3 memiliki sirkuit Euler? Sirkuit Hamilton? Ulangi pertanyaan yang sama untuk K 4 8. Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi tersebut? 76