INTERPOLASI PARAMETRIK SEBAGAI PILIHAN LAIN DI ANTARA INTERPOLASI LAGRANGE, SPLAIN-KUBIK DAN NEWBERY-GARRETT. M. Bunjamin *
|
|
- Sri Setiabudi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 INTERPOLASI PARAMETRIK SEBAGAI PILIHAN LAIN DI ANTARA INTERPOLASI LAGRANGE, SPLAIN-KUBIK DAN NEWBERY-GARRETT M. Bunjamin * ABSTRAK INTERPOLASI PARAMETRIK SEBAGAI PILIHAN LAIN DI ANTARA INTERPOLASI LAGRANGE, SPLAIN-KUBIK DAN NEWBERY-GARRETT. Berikut akan dibahas tentang interpolasi parametrik di antara beberapa titik yang diketahui di bidang datar, serta akan ditunjukkan beberapa kebaikan sifatnya dibandingkan dengan interpolasi Lagrange, Splain-Kubik dan Newbery- Garrett. ASBTRACT PARAMETRIC INTERPOLATION AS NOTHER ALTERNATIVE AMONG LAGRANGE, CUBIC-SPLINE, AND NEWBERY-GARRETT INTERPOLATIONS. We will discuss how to obtain parametric interpolation between several given points in a plane, and show some of their advantages as compared to the Lagrange, Cubic-spline, and Newbery-Garrett interpolations. PENDAHULUAN Penulis dalam makalahnya pada tahun 1992 [1] pernah melaporkan tentang kelemahan interpolasi Lagrange jika jumlah titik datanya banyak, misalnya 5, yang menghasilkan polinom interpolasi derajat 5 dengan goncangan vertikal demikian besar hingga hasil interpolasi Lagrange dengan interpolasi splain-kubik, yaitu interpolasi orde-tinggi berupa polinom kubik sepotong-sepotong yang di titik-titik data dapat didiferensialkan dua kali secara kontinu, dengan goncangan vertikal sangat minim, meskipun masih ada, sehingga jauh lebih berguna daripada interpolasi Lagrange. Penulis selanjutnya membandingkan kedua interpolasi ini dengan interpolasi orde tinggi yang diusulkan Newbery & Garrett [2], yaitu interpolasi polinom kuintik sepotong-sepotong dengan kelengkungan minimum, yang ternyata bersifat lebih baik lagi daripada interpolasi splain-kubik, karena tidak ada goncangan sama sekali. Namun untuk berbagai aplikasi yang memerlukan kecepatan tinggi, interpolasi splain-kubik dan Newbery & Garrett dianggap terlalu banyak melibatkan komputasi rumit hingga lambat. Karena itu orang masih mencoba mencari metode * Pensiunan Widyaiswara Utama - BATAN
2 interpolasi lain yang penampilannya cukup baik, namun komputasinya relatif mudah dan cepat. Backstrom [3] mengusulkan interpolasi Lagrange sepotong-sepotong, yaitu polinom kuadratik untuk setiap tiga titik yang bersebelahan. Meskipun tampilan interpolasi ini cukup baik, dan komputasinya juga cepat, namun derivatif di titik-titik sambungan tidak kontinu, suatu cacat yang untuk banyak aplikasi tidak dapat diterima. Untuk mengatasi hal ini, Akyildiz [4] mengusulkan interpolasi parametrik, yaitu interpolasi polinom kubik sepotong-sepotong yang derivatif pertamanya kontinu di titik-titik data dan komputasinya relatif mudah dan cepat. INTERPOLASI PARAMETRIK: PEMAHAMAN DASAR Andaikan diketahui N buah titik data berurutan P i = (x i, u i ), i = 1,2,..., N yang akan diinterpolasikan. Untuk menentukan fungsi interpolasi di antara dua titik data sembarang yang bersebelahan, misalnya P i = (x i, u i ) dan P i+1 = (x i+1, u i+1 ), ditentukan: a) parabola p(t) yang harus lewat P i dan P i+1 dan satu titik sebelumnya, yaitu P i-1 = (x i-1, u i-1 ), b) parabola q(t) yang harus lewat P i dan P i+1 dan satu titik sesudahnya, yaitu P i+2 = (x i+2, u i+2 ), dan c) Kurva interpolasi yang sebenarnya lewat P i dan P i+1 ialah polinom kubik hasil kombinasi konvex dari kedua bagian parabola yang berada di interval (x i, x i+1 ). Persamaan kedua parabola, dan juga persamaan fungsi interpolasi yang sebenarnya, dinyatakan dalam bentuk parametrik dengan parameter t, dan fungsi interpolasi di interval (x i, x i+1 ) dinyatakan sebagai : r(t) = (1-t)p(t) + tq(t), 0 t 1. Dari uraian di atas tampak bahwa fungsi interpolasi parametrik di antara setiap dua titik yang bersebelahan didapat dari empat titik yang bersebelahan, yaitu dua titik tersebut ditambah satu titik sebelumnya dan satu titik sesudahnya. Jika N buah titik yang diinterpolasikan membentuk sebuah kurva tertutup (lihat gambar 5 s/d 8), maka metode ini akan menghubungkan semua titik dan membentuk kurva tertutup. Jika N buah titik ini membentuk sebuah kurva terbuka, maka kita harus menambahkan dua titik fiktif untuk melakukan interpolasi parametrik, yaitu satu di posisi sebelum P 1 dan yang lain di posisi sebuah P N. Kedua titik fiktif ini dipilih demikian hingga hasil akhir kurva interpolasi di titik awal P 1 dan titik akhir P N mempunyai derivatif kedua = 0, seperti yang biasanya disyaratkan pada interpolasi splain-kubik atau Newberry & Garrett. Sebagai contoh, perhatikan lima titik data sebagai berikut: P 1 = (-8,8), P 2 = (-1, -1), P 3 = (10, 6), P 4 = (8, -6), dan P 5 = (20, 10), dan bagaimana cara menemukan persamaan parametrik polinom kubik (r(t) yang menghubungkan P 2 dan P 3 (lihat gambar 1 s/d 3).
3 Pertama, dicari persamaan parametrik dari parabola yang lewat P 1, P 2 dan P 3, dengan syarat bahwa titik P 1 harus sesuai dengan nilai parameter t = -1, titik P 2 sesuai dengan nilai t = 0, dan titik P 3 sesuai dengan nilai t = 1. Persamaan parabola p(t) yang harus lewat tiga titik tersebut dapat diuraikan dalam komponen P x (t) dan P u (t), dengan persamaan P x (t) = t + 2t 2 dan P u (t) = -1 t + 8t 2 Kedua, dicari persamaan parametrik dari parabola yang lewat P 2, P 3 dan P 4, dengan syarat bahwa titik P 2 harus sesuai dengan nilai parameter t = 0, P 3 sesuai dengan t = 1, dan P 4 sesuai dengan t = 2. Persamaan parabola q(t) yang harus lewat tiga titik tersebut diuraikan dalam komponen q x (t) dan q u (t), yaitu q x (t) = t 6.5t 2 dan q u (t) = t 9.5t 2 Jadi intinya ialah, bagi titik P 2 dan P 3 yang dilalui oleh parabola p(t) dan q(t), daerah (range) nilai parameter t bagi kedua parabola di antara kedua titik ini harus sama, yaitu 0 t t 1. Ketiga, dicari persamaan parametrik dari fungsi interpolasi di antara titik P 2 dan P 3, yaitu r(t) = (1 t) p(t) + tq(t), terdiri dari dan r x (t) = (1 t) p x (t) + tq x (t) = t t 2 8.5t 3, r u (t) = (1 t) p u (t) + tq u (t) = -1 t t t 3 INTERPOLASI PARAMETRIK: RUMUSAN SECARA RINCI Untuk menentukan fungsi interpolasi di antara dua titik data sebarang yang bersebelahan, misalnya P i dan P i+1, pertama-tama perlu kita cari persamaan parametrik umum dari parabola yang lewat titik P i-1, P i, dan P i+1, dengan syarat bahwa P i-1 sesuai nilai t = -1, P i sesuai dengan nilai t = 0, dan P i+1, sesuai dengan nilai t = 1. Jika persamaan parabola ini mempunyai komponen p x (t) = a x + b x t + c x t 2 dan p u (t) = a u + b u t + c u t 2, maka kita memiliki enam persamaan berikut untuk menentukan koefisien kedua parabola ini, yaitu: t = -1 p x (-1) = x i 1 = a x + b x + c x dan p u (-1) = u i 1 = a u + b u + c u
4 t = 0 p x (0) = x i = a x dan P u (0) = u i = a u t = 1 p x (1) = x i + 1 = a x + b x + c x dan p u (1) = u i + 1 = a u + b u + c u dari persamaan untuk t = 0 didapat a x = x i dan a u = u i, dan jika hasil ini dimasukkan ke persamaan pertama dan ketiga akan memberikan b x = (x i x i - 1 ) /2, dan b u = (u i u i - 1 ) /2, c x = (x i x i - 1 2x i ) /2, dan c u = (u i u i - 1 2u i ) /2. Rumus-rumus di atas dapat disingkat sebagai berikut: a = P i, b = (P i P i - 1 ) /2, c = (P i P i - 1 2P i ) /2. Selanjutnya kita cari persamaan parametrik parabola yang lewat titik P i, P i + 1, dan P i + 2, dengan syarat bahwa P i sesuai dengan nilai t = 0, P i + 1 sesuai dengan t = 1, dan P i + 2 sesuai dengan t = 2. Jika persamaan parabola ini memiliki komponen q x (t) = A x + B x t + C x t 2 dan q u (t) = A U + B u t + C u t 2, maka ada enam persamaan berikut untuk menentukan koefisien kedua parabola ini, yaitu: t = 0 q x (0) = x i = A x dan q u (0) = u i = A u t = 1 q x (1) = x i + 1 = A x + B x + C x dan q u (1) = u i + 1 = A u + B u + C u, t = 2 q x (2) = x i + 2 = A x + 2B x + 4C x dan q u (2) = u i + 2 = A u + 2B u + 4C u. Dari persamaan untuk t = 0 didapat A x = x i dan A u = u i, Dan jika hasil ini dimasukkan ke persamaan ke-2 dan ke-3 akan memberikan: B x = (-3x i + 4x i+1 x i+2 )/2, B u = (-3u i + 4u i+1 u i+2 )/2, C x = (x i - 2 x i+1 + x i+2 ) / 2, C u = (u i - 2 u i+1 + u i+2 ) / 2, atau disingkat
5 A = P1, B = (-3P i + 4P i+1 P i+2 )/2, C = (P i 2P i+1 + P i+2 ) / 2 Akhirnya kita cari persamaan fungsi interpolasi r(t) di antara titik P 1 = (x i, u i ) dan P i+1 = (x i+1, u i+1 ) dari persamaan r(t) = (1 t) p(t) + tq(t) = (1 t)(a + bt + ct 2 ) + t(a + Bt + Ct 2 ), atau r(t) = a + (b a + A)t + (c b + B)t 2 + (C c)t 3 = P i + 0.5(P i+1 P i-1 )t + 0.5(2P i-1-5p i + 4P i+1 P i+2 )t (-P i-1 + 3P i - 3P i+1 + P i-2 )t 3 Ini berarti bahwa fungsi r(t) mempunyai komponen: r x (t) = a x + (b x a x + A x )t + (c x b x + B x )t 2 + (C x c x )t 3 = x i + 0.5(x i+1 x i-1 )t + 0.5(2x i-1 5x i + 4x i+1 x i+2 )t (-x i-1 + 3u i 3u i+1 + u i-2 )t 3 untuk nilai r dalam interval 0 t 1. MENENTUKAN KOORDINAT TITIK-TITIK FIKTIF Seperti telah disebutkan di atas, jika N buah titik P i = (x i, u i ) membentuk sebuah kurva terbuka, maka kita harus menambahkan dua titik fiktif, yaitu P 0 = (x 0, u 0 ) di posisi sebelum P i, dan yang lain P N+1 = (x N+1, u N+1 ) di posisi sesudah P N. Kedua titik fiktif ini dipilih demikian hingga hasil akhir kurva interpolasi u(t) di titik awal P i dan titik akhir P N mempunyai u" = 0, seperti yang biasanya disyaratkan pada interpolasi splain-kubik atau Newbery & Garrett (lihat gambar 4). Dari persamaan umum kurva interpolasi u(t) = a + (b a + A)t + (c b + B)t 2 + (C c)t 3, didapat u'(t) = (b a + A) + 2(c b + B)t + 3(C c)t 2, dan u''(t) = 2(c b + B) + 6(C c)t
6 Untuk interval (x i,,x 2 ), di titik P i = (x i, u i ) nilai t = 0 sehingga syarat u" = 0 berarti c b + B = 0. Untuk 4 titik pertama (termasuk titik fiktif) P 0 = (x 0, u 0 ), P i = (x i, u i ), P 2 = (x 2, u 2 ) dan P 3 = (x 3, u 3 ), kita mempunyai rumus b = (P 2 P 0 )/ 2, c = (P 2 + P 0 2P 1 )/2, dan B = (-3P 1 + 4P 2 P 3 )/2, sehingga c b + B = 0, berarti atau P 2 + P 0 2P 1 - P 2 + P 0 3P 1 + 4P 2 P 3 = 2P 0-5P 1 + 4P 2 P3 = 0 atau P 0 = 5P 1-4P 2 + P 3 )/2, Ini berarti bahwa koordinat titik fiktif P 0 = (x 0, u 0 ) dapat ditentukan dari koordinat tiga titik sesudahnya seperti berikut: x 0 = (5x 1 4x 2 + x 3 )/ 2, dan u 0 = (5u 1 4u 2 + u 3 )/2, Untuk interval (x N-1, x N ), di titik P N = (x N, u N ) nilai t = 1, sehingga syarat u" = 0 berarti c b + B + 3(C c) = -b 2c + B + 3C = 0 Untuk empat titik terakhir (termasuk titik fiktif) P N-2,= (x N-2, u N-2 ), P N-1,= (x N-1, u N-1 ), P N, = (x N, u N ) dan P N+1,= (x N+1, u N+1 ), kita memiliki b = (P N - P N-2 ) / 2, c = (P N + P N-2-2P N-1 )/2, B = (-3P N-1 +P N-2 )/2 dan C = (P N-1-2P N + P N+1 )/2, sehingga b 2c + B + 3C = 0, berarti -P N /2 + P N-2 /2 - P N - P N-2 + 2P N-1-3P N-1 /2 + 2P N - P N+1 /2 + 3P N-1 /2-3P N + 3P N+1 /2 = 0, atau P N+1 = (5P N - 4P N-1 + P N-2 )/2 Ini berarti bahwa koordinat titik fiktif P N+1 = (x N+1, u N+1 ) dapat ditentukan dari koordinat tiga titik sebelumnya sebagai berikut:
7 x N+1 = (5x N - 4x N-1 + x N-2 )/2 dan u N+1 = (5u N - 4u N-1 + u N-2 )/2 Sebagai contoh, andaikan digunakan lima titik berikut: P 1 = (-8, 8), P 2 = (-1, -1), P 3 = (10, 6), P 4 = (8, -6), dan P 5 = (20, 10), maka titik fiktif awal adalah P 0 = (-13, 25) dan titik fiktif akhir adalah P 6 = (39, 40). KONTINUITAS DI TITIK-TITIK DATA Dari uraian di atas telah diketahui bahwa persamaan fungsi interpolasi di antara titik P i = (x i, u i ), dan P i+1 = (x i+1, u i+1 ) ialah r(t) = P i + 0.5(P i+1 P i-1 )t + 0.5(2P i-1 5P i + 4P i+1 P i-2 )t (-P i-1 + 3P i - 3P i+1 + P i-2 )t 3, sehingga derivatif pertamanya adalah: r (t) = 0.5(P i+1 P i-1 )t + (2P i-1 5P i + 4P i+1 P i-2 )t (-P i-1 + 3P i - 3P i+1 + P i-2 )t 2, yang berarti bahwa r (0) = 0.5(P i+1 P i-1 ). Ini adalah limit kanan. Jika sekarang kita perhatikan interval di antara P i-1 = (x i-1, u i-1 ) dan P i = (x i, u i ), maka r (t) = 0.5(P i P i-2 ) + (2P i-2 5P I-1 + 4P i P i+1 )t + 1.5(-P i-2 + 3P i-1-3p i + P i-1 )t 2, sehingga r (1) = 0.5(P i+1 P i-1 ). Ini adalah limit kiri dari r (t) di titik P i, yang ternyata sama dengan limit kanannya, sehingga interpolasi parametrik mempunyai derivatif pertama yang kontinu di titik-titik data, suatu sifat yang cukup ideal untuk suatu fungsi interpolasi. Nilai derivatif di titik P i = (x i-, u i ) adalah ui+ 1 ui 1 r'( Pi = xi+ 1 xi 1 Hal lain yang dapat disimpulkan dari sifat ini ialah bahwa garis singgung pada fungsi r(t) di titik P i sejajar dengan garis yang menghubungkan P i-1 dengan P i+1. MEMBANDINGKAN INTERPOLASI PARAMETRIK DENGAN INTERPOLASI LAIN Pada gambar 9 s/d 12 ditampilkan empat macam interpolasi yang diterapkan pada tigabelas titik yang sama, yaitu interpolasi Lagrange, splain-kubik, Newbery-
8 Garrett, dan parametrik. Ke-tigabelas titik ini digunakan Newbery-Garrett untuk membandingkan metode interpolasi mereka dengan splain-kubik. Tidak dapat disangkal bahwa hasil interpolasi Lagrange sama sekali tidak dapat diterima, karena goncangan vertikalnya yang demikian besar. Interpolasi splain-kubik menunjukkan ciri jauh lebih baik dari pada lagrange, tetapi masih ada cacat, yaitu adanya goncangan kecil di antara titik-titik 2 dan 3, 3 dan 4, 6 dan 7, 7 dan 8 serta 9 dan 10. Hasil interpolasi Newbery-Garrett jelas paling superior, apalagi jika digunakan algoritma yang baik untuk meminimalkan kelengkungannya. Namun di luar dugaan, hasil interpolasi parametrik yang komputasinya jauh lebih sederhana daripada splain-kubik dan Newbery-Garrett, menunjukkan ciri yang sangat dekat dengan hasil Newbery- Garrett, dan jelas lebih baik dari hasil interpolasi splain-kubik. Hal ini sekali lagi tampak dari gambar 13 s/d 15 yang menunjukkan gambar mobil dari hasil interpolasi Newbery-Garrett, interpolasi splain-kubik, dan interpolasi parametrik yang diterapkan pada kumpulan 18 titik yang sama, dengan hasil yang juga cukup mencengangkan, yaitu hasil interpolasi parametrik yang lebih baik dari hasil interpolasi splain-kubik dan tidak jauh berbeda dari hasil interpolasi Newbery-garrett. Sekedar sebagai contoh tambahan, gambar 16 menunjukkan wajah orang yang penulis buat dengan bantuan interpolasi parametrik, suatu hal yang di masa lalu sulit penulis coba lakukan dengan sistem interpolasi yang lain. KESIMPULAN DAN SARAN Dari pembahasan di atas tampak betapa interpolasi parametrik yang algoritmanya demikian sederhana jika dibandingkan dengan interpolasi splain-kubik, apalagi dibandingkan interpolasi Newbery-Garrett yang algoritmanya demikian kompleks, ternyata mampu memberi hasil tampilan yang mengalahkan hasil splainkubik dan sangat dekat dengan hasil Newbery-Garrett. Dengan kata lain, algoritma interpolasi parametrik adalah sangat efisien dan efektif. Kelebihan lain dari interpolasi parametrik terhadap interpolasi splain-kubik dan Newbery-Garrett ialah sebagai berikut. Jika kedua interpolasi terakhir ini bersifat global, yaitu perubahan satu titik data berakibat berubahnya seluruh komputasi N titik, maka interpolasi parametrik bersifat lokal, yaitu perubahan satu titik data tidak mempengaruhi komputasi data lain, dan hanya titik tetangga terdekatnya yang terpengaruh. Dengan berbagai kelebihan seperti tercantum di atas, penulis menyarankan kepada rekan-rekan peneliti, khususnya di bidang kimia, biologi, kedokteran, pertanian dan sebagainya. Yang biasanya kurang akrab dengan berbagai algoritma komputasi, untuk memanfaatkan interpolasi ini, antara lain untuk membantu proses
9 pengolahan dan pemodelan data dari hasil eksperimen laboratorium atau kebun percobaan atau rumah sakit. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada rekan-rekan dosen di jurusan Fisika FMIPA-UI di Depok, karena telah membantu penulis dengan fasilitas jurnal komputasi, khususnya jurnal Computers in Physics dari American Institute of Physics. DAFTAR PUSTAKA 1. BUNJAMIN, M., Interpolasi dengan Kelengkungan Minimum, Prosiding Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir II, Jakarta, Februari (1992) NEWBERY, A.C.R. & GARRETT, T.S., Comput. Math. Appl., 22, 37 (1997). 3. BACKSTROM, G., Computers in Physics, 7, 213 (1993) 4. AKYILDIZ, Y., Computers in Physics, 8, 722 (1994)
10 DISKUSI HAYET LAGGOUNE Bagaimana perbandingan hasil antara interpolasi parametrik dengan metode lain ditinjau dari segi hasil akhir dan kompleksitas algoritma? M. BUNJAMIN 1. Dari segi efisiensi komputasi/kompleksitas algoritma, interpolasi parametrik unggul karena komputasinya hanya ±10% dari komputasi Spline-cubic interpolation, apalagi terhadap metode Newbery-Garrett. 2. Dari segi hasil akhir/efektivitas, interpolasi parametrik setingkat dengan interpolasi Newbery-Garrett, berarti setingkat dengan interpolasi orde tinggi. M. SYAMSA ARDISASMITA Kalau titik-titik kontrol membentuk suatu kontour (keliling tertutup), dapatkah titiktitik tersebut dihubungkan dengan satu tarikan kurva garis atau harus dilakukan oleh dua kurva garis yang berbeda? M. BUNJAMIN Interpolasi itu sifatnya sepotong-sepotong (piecewise), jadi keliling tertutup tidak dapat dihubungkan dengan satu tarikan kurva garis sehingga harus dilakukan oleh dua (atau lebih) kurva garis yang berbeda.
11 DAFTAR RIWAYAT HIDUP 1. Nama : M. BUNJAMIN 2. Tempat/Tanggal Lahir : Kediri, 13 Mei Instansi : - 4. Pekerjaan / Jabatan : Pensiunan Widyaiswara Utama BATAN 5. Riwayat Pendidikan : (setelah SMA sampai sekarang) FMIPA-UGM, Jurusan Matematika (S1) 6. Pengalaman Kerja : : Kepala PPI - BATAN : Widyaiswara Utama BATAN 7. Organisasi Professional : -
Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline
Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi Metode Newton Metode Spline Pertemuan 9 : Interpolasi 2 Interpolasi Newton Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x 0 untuk
Lebih terperinciCourse Note Numerical Method : Interpolation
Course Note Numerical Method : Interpolation Pengantar Interpolasi. Kalimat y = f(x), xo x xn adalah kalimat yang mengkorespondensikan setiap nilai x di dalam interval x0 x xn dengan satu atau lebih nilai-nilai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan secara numerik. Perhitungan secara analitik dilakukan untuk menyelesaikan integral pada fungsi
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciInterpolasi. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Interpolasi Metode Numerik Zulhaydar Fairozal Akbar zfakbar@pens.ac.id 2017 TOPIK Pengenalan
Lebih terperinciBAB 5 Interpolasi dan Aproksimasi
BAB 5 Interpolasi dan Aproksimasi Interpolasi merupakan proses penentuan dan pengevaluasian suatu fungsi yang grafiknya melalui sejumlah titik tertentu. Sebaliknya, pada aproksimasi grafik fungsi yang
Lebih terperinciBAB 2 DENGAN MENGGUNAKAN INTERPOLASI INTERPOLASI SPLINE LINIER DAN INTERPOLASI SPLINE
8 BAB 2 PENENTUAN SUDUT PANDANG BAB 2 WAJAH TIGA DIMENSI PENENTUAN DENGAN MENGGUNAKAN SUDUT PANDANG INTERPOLASI WAJAH TIGA LINIER DIMENSI DAN DENGAN MENGGUNAKAN INTERPOLASI INTERPOLASI SPLINE LINIER DAN
Lebih terperinciAnalisis Regresi Spline Kuadratik
Analisis Regresi Spline Kuadratik S 2 Oleh: Agustini Tripena Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Univesitas Jenderal Soedirman, Purwokerto tripena1960@yahoo.co.id Abstrak Regresi spline
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva
PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Analisis regresi merupakan metode analisis data yang telah diterapkan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis regresi merupakan metode analisis data yang telah diterapkan secara luas pada berbagai bidang penelitian, sebagai contoh penelitian-penelitian dalam ilmu pengetahuan
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciMODEL MATEMATIK UNTUK MENENTUKAN LAMA JATUH BATANG KENDALI. Elfrida Saragi *, Utaja **
MODEL MATEMATIK UNTUK MENENTUKAN LAMA JATUH BATANG KENDALI Elfrida Saragi *, Utaja ** ABSTRAK MODEL MATEMATIK UNTUK MENENTUKAN LAMA JATUH BATANG KENDALI. Salah satu faktor penting dalam keselamatan operasi
Lebih terperinciDefinisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciPersamaan Parametrik
oki neswan (fmipa-itb) Persamaan Parametrik Kita telah lama terbiasa dengan kurva yang dide nisikan oleh sebuah persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y: Contohnya persamaan eksplisit seperti y x
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I
186 LAMPIRAN V LKS 1 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Persamaan Garis Singgung Kurva : Menggunakan konsep limit fungsi dan
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciInterpolasi dan Ekstrapolasi
Interpolasi dan Ekstrapolasi JURNAL 01 Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan upaya
Lebih terperinciInterpolasi dan Ekstrapolasi
Metode Numerik Bab 1 Interpolasi dan Ekstrapolasi Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan
Lebih terperinciLimit Fungsi. Bab. Limit fungsi Pendekatan (kiri dan kanan) Bentuk tentu dan tak tentu Perkalian sekawan A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Limit Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran it fungsi, siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten
Lebih terperinciTinjauan Mata Kuliah
i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth,
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciTUGAS KOMPUTASI SISTEM FISIS 2015/2016. Pendahuluan. Identitas Tugas. Disusun oleh : Latar Belakang. Tujuan
TUGAS KOMPUTASI SISTEM FISIS 2015/2016 Identitas Tugas Program Mencari Titik Nol/Titik Potong Dari Suatu Sistem 27 Oktober 2015 Disusun oleh : Zulfikar Lazuardi Maulana (10212034) Ridho Muhammad Akbar
Lebih terperinciBAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 4 PENERAPAN TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK
Lebih terperinciKURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN ( PROTA ) Mata Pelajaran : Matematika Program : IPA Satuan Pendidikan : SMA / MA Kelas/Semester : XI / 2 Nama Guru NIP/NIK
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciPEMODELAN KURS RUPIAH TERHADAP MATA UANG EURO DENGAN PENDEKATAN REGRESI SPLINE. Sulton Syafii Katijaya 1, Suparti 2, Sudarno 3.
PEMODELAN KURS RUPIAH TERHADAP MATA UANG EURO DENGAN PENDEKATAN REGRESI SPLINE Sulton Syafii Katijaya 1, Suparti 2, Sudarno 3 1 Mahasiswa Jurusan Statistika FSM UNDIP 2,3 Staff Pengajar Jurusan Statistika
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciTINJAUAN MATA KULIAH... MODUL 1: LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Kegiatan Belajar 1: Latihan Rangkuman Tes Formatif
Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... i MODUL 1: LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Pernyataan, Negasi, DAN, ATAU, dan Hukum De Morgan...... 1.3 Latihan... 1.18 Rangkuman... 1.20 Tes Formatif 1...... 1.20 Jaringan Logika
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. mendapatkan model dan faktor-faktornya, terlebih dahulu akan dibahas. bagaimana mendapatkan sampel dalam penelitian ini.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan hasil dari penelitian yang meliputi model terbaik dari indeks prestasi kumulatif mahasiswa dan faktor-faktor apa saja yang berpengaruh terhadap
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciuntuk i = 0, 1, 2,..., n
RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi
Lebih terperinciSTUDI PERPINDAHAN PANAS DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM KOORDINAT SEGITIGA
STUDI PERPINDAHAN PANAS DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM KOORDINAT SEGITIGA Oleh : Farda Nur Pristiana 1208 100 059 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciMetode Numerik - Interpolasi WILLY KRISWARDHANA
Metode Numerik - Interpolasi WILLY KRISWARDHANA Interpolasi Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data di dalam tabel
Lebih terperinciINTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Salah satu cakupan IPA adalah pelajaran biologi yang membahas tentang mahluk hidup dan lingkungan serta diajarkan untuk menambah informasi, mengembangkan cara
Lebih terperinciPEMAKAIAN VARIABEL INDIKATOR DALAM PEMODELAN. Mike Susmikanti *
PEMAKAIAN VARIABEL INDIKATOR DALAM PEMODELAN Mike Susmikanti * ABSTRAK PEMAKAIAN VARIABEL INDIKATOR DALAM PEMODELAN. Pemodelan dalam penelitian berbagai bidang khususnya bidang industri, merupakan kebutuhan
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciIntegral dan Aplikasinya
Nama : Mutiara Devita Sari NIM : 125100301111020 Kelas : L/TIP Integral dan Aplikasinya Pengertian Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari diferensial. Integral memiliki banyak kegunaan
Lebih terperinciBAB IV HITUNG DIFERENSIAL
BAB IV HITUNG DIFERENSIAL (Pertemuan ke 5 s/d 8) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang derivatif macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Eka Ceria 1, Agusni, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciPENDAHULUAN METODE NUMERIK
PENDAHULUAN METODE NUMERIK TATA TERTIB KULIAH 1. Bobot Kuliah 3 SKS 2. Keterlambatan masuk kuliah maksimal 30 menit dari jam masuk kuliah 3. Selama kuliah tertib dan taat aturan 4. Dilarang makan dan minum
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EKSTREM SUKU BANYAK TERTENTU DENGAN PERTIDAKSAMAAN RATA-RATA
MENENTUKAN NILAI EKSTREM SUKU BANYAK TERTENTU DENGAN PERTIDAKSAMAAN RATA-RATA Kasiyah M. Junus Fakultas Ilmu Komputer, Universitas Indonesia, Depok 16424, Indonesia E-mail: kasiyah@cs.ui.ac.id Abstrak
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciBAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
Lebih terperinciAsimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN
FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini dijelaskan metode Adams Bashforth-Moulton multiplikatif (M) orde empat beserta penerapannya. Metode tersebut memuat metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciKALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B
KALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B 1111140010 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2011 Teorema Nilai
Lebih terperinciPenyajian Data dalam Bentuk Tabel
Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3 disajikan dalam tabel di bawah. Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian data sederhana. Dari
Lebih terperinciPENDEKATAN VALUE BILANGAN TRAPEZOIDAL FUZZY DALAM METODE MAGNITUDE
PENDEKATAN VALUE BILANGAN TRAPEZOIDAL FUZZY DALAM METODE MAGNITUDE Lathifatul Aulia 1, Bambang Irawanto 2, Bayu Surarso 3 1,2,3 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH Tembalang
Lebih terperinciTriyana Muliawati, S.Si., M.Si.
SI 2201 - METODE NUMERIK Triyana Muliawati, S.Si., M.Si. Prodi Matematika Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan 35365 Hp. +6282260066546, Email. triyana.muliawati@ma.itera.ac.id 1. Pengenalan Metode
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciTujuan. Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.
INTERPOLASI Tujuan Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat. Macam Interpolasi Interpolasi Linear
Lebih terperinciJURUSAN TEKNIK ELEKTRO
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS ANDALAS FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK ELEKTRO RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) Mata Kuliah Matematika Teknik
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Dua orang Perancis telah berjasa untuk gagasan tentang sistem koordinat. Pieree Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada tahun 169 dia menulis
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciSTUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES SKRIPSI AZWAR SYARIF
STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES SKRIPSI AZWAR SYARIF 090823006 PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar belakang
xi BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Assignment problem yang biasa dibentuk dengan matriks berbobot merupakan salah satu masalah dalam dunia teknik informatika, di mana masalah ini merupakan masalah
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciBAB II PELENGKUNG TIGA SENDI
BAB II PELENGKUNG TIGA SENDI 2.1 UMUM Struktur balok yang ditumpu oleh dua tumpuan dapat menahan momen yang ditimbulkan oleh beban-beban yang bekerja pada struktur tersebut, ini berarti sebagian dari penempangnya
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciAplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciA. 3 x 3 + 2x + C B. 2x 3 + 2x + C. C. 2 x 3 + 2x + C. D. 3 x 3 + 2x + C. E. 3 x 3 + 2x 2 + C A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 160
7. UN-SMA-- Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 7 m. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut m m m m m 7. UN-SMA-- Pak Musa mempunyai kebun
Lebih terperinciPEMODELAN KASUS KEMISKINAN DI JAWA TENGAH MENGGUNAKAN REGRESI NONPARAMETRIK METODE B-SPLINE
PEMODELAN KASUS KEMISKINAN DI JAWA TENGAH MENGGUNAKAN REGRESI NONPARAMETRIK METODE B-SPLINE SKRIPSI Disusun Oleh : ANISA SEPTI RAHMAWATI 24010212140046 DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1B4 KALKULUS 2 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciModul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat. Lingkaran. Elips
IR Lingkaran Elips 1 Smk n 1 stabat IRISAN KERUCUT Disusun Oleh : Dian Septiana 07144110049 Dalam PPL-T Unimed SMK N 1 Stabat SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT LANGKAT 010 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciINTERPOLASI: METODE LAGRANGE
1 INTERPOLASI: METODE LAGRANGE Pertemuan ke-1: 0 Desember 01 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Apa Interpolasi? Diberikan data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x n,y n ), nilai y diperoleh pada x yang tidak diketahui nilainya.
Lebih terperinciPERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinci= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. USU memiliki visi menjadi University for Industry (UfI), dengan misi:
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sejak awal pendiriannya, Universitas Sumatra Utara (USU) dipersiapkan menjadi pusat pendidikan tinggi di Kawasan Barat Indonesia. Sewaktu didirikan pada tahun 1952,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciCourse Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear.
Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear. Dalam matematika terapan seringkali harus mencari selesaian persamaan yang berbentuk f() = 0 yakni bilangan o sedemikian sehingga f( o ) = 0. Dalam
Lebih terperinci