IMPLEMENTASI MATLAB UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON DAN LAPLACE 2D. La Ode Muhammad Umar RRR 1)

Transkripsi

1 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm IMPLEMENTASI MATLAB UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON DAN LAPLACE D La Ode Mhammad Umar RRR ) ) Jrsan Matematka FMIPA Unverstas Haloleo Kendar 933 ABSTRAK Pada tlsan n metode beda hngga dan metode teras Sccesve Over Relaxaton (SOR) dgnakan ntk menyelesakan persamaan dfferensal Posson dan Laplace D pada doman segempat. Metode n tdak hanya menghaslkan akras nmerk yang sangat bak tetap ga sangat efsen. Lebh lant dberkan program kompter dalam Matlab. Kata Knc: Persamaan Posson dan Laplace metode beda hngga SOR Matlab ABSTRACT In ths paper the fnte dfference methods and sccesve over relaxaton (SOR) are sed to determne the soltons of Posson and Laplace eqaton on a rectanglar doman. These methods not only preserve the accracy bt also provde the effcency. Moreover compter program are presented n Matlab Keywords: Posson and Laplace eqatons fnte dfference SOR Matlab Dterma : 6 Jn 00 Dset ntk dpblkaskan : Agsts 00. Pendahlan Persamaan dfferensal Posson dan Laplace D serng dmpa pada masalah teknk dan fska. Persamaan dfferensal Posson dan Laplace D dmpa pada masalah flda potensal elaststas kondks panas ar tanah dan lan-lan. Sepert persamaan dfferensal lannya kermtan penyelesaan persamaan dfferensal Posson dan Laplace D terletak pada bentk syarat batas yang menyerta persamaan dfferensal tersebt. Pada tlsan n dberkan cara penyelesaan persamaan dfferensal Posson dan Laplace D dengan ketga tpe syarat batasnya yat Drchlet Nemann dan Robbn yang dmplementaskan dalam program kompter menggnakan Matlab.

2 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 5. Skema Nmerk dan Program Kompter a. Parts Doman Dberkan persamaan dfferensal Posson dan Laplace D ( x ( x = f ( x () x y dengan doman Ω = { x 0 x p 0 y q} (. Batas-batas doman dapat bertpe Drchlet Nemann ata Robn. Penyelesaan persamaan () dengan metode beda hngga dmla dengan memparts doman sepert pada Gambar. Gambar. Doman dan partsnya. Program kompter (bagan ): close all; clear all; clc; %Bagan % Menyelesakan PD Posson & laplace % dengan doman seg empat dengan 3 tpe syarat batas dapat dplh % berpe Drchlet Nemman Robbn. % %

3 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm % y Syarat batas % J tngg # %. %. %. %. %.Syarat batas 3 Uxx Uyy = f Sayarat batas 4 %. %. % 3 % % # x % 0 lebar % Syarat batas % 3... I % dsp(' BENTUK UMUM : Uxx Uyy = f '); dsp(' '); dsp(' Jens Persamaan Dfferensal: '); dsp('. Laplace ') dsp('. Posson ') PD=npt(' * plh - :? '); f PD== f=0; else f=npt(' f =? '); %f dsp('ukuran DOMAIN') dsp(' ') lebar= npt(' lebar =? '); tngg= npt(' tngg =? '); I=npt('I:ndeks maks.plahan pd arah sb-x. =.I. I =? '); J=npt('J:ndeks maks.plahan pd arah sb-y. =.J. J =? '); h=lebar/(i-); % lebar ks k=tngg/(j-);% tngg ks dsp(' '); % program bersambng ke bagan berktnya b. Skema Iteras Pada Batas dan Bagan Dalam Doman Persamaan () selantnya dtls menad ( ) ( ) = x y f ()

4 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 54 ka dgnakan rms pendekatan ) ( h x dan ) ( k y maka persamaan () dapat ddekat dengan skema f k h = ata =. k h f k h. (3) Persamaan (3) merpakan skema ntk mencar pada ttk-ttk grd yang terletak pada bagan dalam doman ad berndeks =3...I- =3...J-. Adapn ntk ttkttk grd yang terletak pada batas doman dalam hal n dengan salah sat ata keda ndeksnya adalah = =I = = =J dbthkan modfkas persamaan (3) sesa syarat batas yang dberkan (Robn ata Nemann). Pada batas bertpe Drchlet nla telah dketah sehngga tdak dbthkan skema nmerk ntk mencar nla pada batas tersebt. Pada sdt batas yang dbentk oleh da batas bertpe Drchlet nla dasmskan sama dengan nla rata-ratanya. Jka sdt batas dbentk oleh batas bertpe Drchlet dan batas lannya bertpe Robn ata Nemann maka nla pada sdt batas tersebt dasmskan mengkt nla dar batas Drchlet. Nla-nla pada batas bertpe Robn ata Nemann belm dketah oleh karena t dbthkan skema nmerk ntk mencar nla pada batas-batas tersebt. Dketah bentk mm syarat batas merpakan tpe Robn yat

5 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm P (x Q ( x n = G dengan n adalah vektor arah normal satan (vektor satan yang tegak lrs pada krva batas). Y n n = y n n = x Doman n = n x n n = y X Gambar. Vektor normal satan Jka sat batas tdak bertpe Drchlet ( Q 0) maka bentk syarat batas Robn dapat dnyatakan sebaga ( x = α ( x β n (4) dengan α = P / Q β = G / Q. Jka α = 0 maka persamaan (4) menad syarat batas bertpe Nemann. Skema nmerk ntk mencar nla pada sat batas bertpe Robn ata Nemann pada prnspnya adalah modfkas persamaan (3) sesa syarat batas yang dberkan. Hal n akan dcontohkan pada bagan berkt.

6 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 56 Y q y = α β x = α 3 β 3 x = α 4 β 4 0 p = α β y X Gambar 3. Doman dengan syarat batas Robn ata Nemann Msalkan doman pada Gambar 3.4 dengan batas batas kr bertpe Robn yat dengan α β 3 3 blangan konstan. Persamaan (5) dapat dtls menad Jka dgnakan rms pendekatan ( ) x ( x = α 3 ( x β 3 x = 0 x 0 y q (5) ) = α 3 β = =... J. (6) x ( 3 h maka persamaan (6) dapat ddekat dengan skema 3 h = α β ; =; =...J. (7) 3

7 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm Jka = dgnakan pada skema PD Posson dan Laplace D (3) dan persamaan (7) maka akan dmpa adalah n berart secara langsng. 0 dengan =...J. Sedangkan dketah bahwa ndeks terkecl ntk 0 adalah ttk-ttk fktf. Oleh karena t 0 tdak dapat dgnakan Persamaan (3) ntk = dperoleh Persamaan (7) ntk = dperoleh ata h 0. f = h k. (8) h k 0 = α β 3 0 h 3 h 3 3 = β α. (9) Persamaan (9) dsbstts pada persamaan (8) dperoleh = hβ 3 h h k. k hα 3 h f. (0) Persamaan (0) merpakan skema ntk mencar =3... J-. Sedangkan skema ntk mencar dan J belm dapat dtentkan karena melbatkan syarat batas lan yang membentk sdt-sdt tersebt. Robnyat Msalkan doman pada Gambar 3.4 batas bagan atas doman ga bertpe ( x = α ( x β 0 x p y = q () y

8 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 58 dengan α β blangan konstan. Persamaan () dapat dtls menad ( ) = α β =...I y =J. () Jka dgnakan rms pendekatan ( ) y maka persamaan () dapat ddekat dengan k ata k = α β ; =...I; =J J = J kβ α =...I. (3) Dketah ndeks terbesar ntk adalah J. Jad J =3...I adalah ttk-ttk fktf. Skema PD Posson (3) ntk = J adalah J J.J J f J J = h k (4) h k Persamaan (3) dsbstts ke persamaan (4) dperoleh skema ntk J = J J h h.j kβ f k kα k k J yat dengan =3...I-. Untk J dan I J ( pada sdt batas doman) mash memerlkan nformas tambahan dar syarat batas yang lan yang membentk sdt-sdt tersebt. Karena dketah doman pada Gambar 4 batas kr dan batas kanan doman bertpe Robn J (5)

9 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm maka skema pada sdt kr atas ( ) dperoleh dengan mensbstts persamaan (9) dan (3) ke persamaan (3) dperoleh J J J hβ 3.J kβ f J = h k. (6) hα 3 kα h k h k Khss ntk sdt batas yang dbentk oleh batas-batas Drchlet nla pada sdt dasmskan sama dengan nla rata-ratanya. Jka sdt batas dbentk oleh batas bertpe Drchlet dan batas yang lannya bertpe Robn ata Nemann maka nla pada sdt tersebt dasmskan mengkt nla dar batas bertpe Drchlet. Setelah sema skema ntk terseda maka ntk yang belm dketah nlanya dberkan sebarang nla awal SOR yat ( dengan v nomor teras (v = 3...) (0) selantnya dteras menggnakan skema ω ω (7) v v ) =. ( ).( ) adalah dar skema ttk grd pada bagan dalam doman (persamaan (3)) dan skema batas Robn ata Nemann. Parameter SOR ω dplh 0 < ω <. dberkan yat Proses teras ters dlakkan sampa memenh krtera konvergens yang v v ( ) ( ) < ε (8) dengan nla tolerans kekonvergenan basanya dplh nla 0 < ε <. Setelah ketaksamaan (8) dpenh maka proses teras dhentkan. Program kompter (bagan ): % Bagan (sambngan bagan ) % s : ndeks ss s=34 dsp('syarat BATAS'); dsp(' '); for s=:4

10 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 60 fprntf('\n Syarat batas ss ke');fprntf('%d '(s)); fprntf('\n. Drchlet '); fprntf('\n. Nemann '); fprntf('\n 3. Campran (Robyn)\n'); tpe = npt(' * plh -3 : '); swtch tpe case TpeBC(s)=; % syarat batas ss ke s bertpe Drchlet BC(s)=npt(' = '); case TpeBC(s)=3; % syarat batas bertpe Nemmann danggap alfa(s)=0; % syarat batas bertpe Robyn dgn alfa=0 swtch s case fprntf(' d/dy '); case fprntf(' d/dy '); case 3 fprntf(' d/dx '); case 4 fprntf(' d/dx '); otherwse % tdak ada lag ss end %swtch s BC(s)=npt(' = '); %syarat batas ss ke s bertpe Robyn otherwse TpeBC(s)=3; swtch s case dsp(' du/dy=alfa.betta'); case dsp(' du/dy=alfa.betta'); case 3 dsp(' du/dx=alfa.betta'); case 4 dsp(' du/dx=alfa.betta'); otherwse % tdak ada lag ss Robyn end %swtch s alfa(s)=npt(' BC(s)=npt(' alfa ='); betta = '); end % swtch tpe %for s

11 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm % nsalsas U pada batas for =:I U()=0; U(J)=0; for =:J U()=0; U(I)=0; % set nla U pada syarat batas bertpe Drchlet f TpeBC()== for =:I U()=BC(); A=U(); B=U(I); % f f TpeBC()== for =:I U(J)=BC(); C=U(J); D=U(IJ); % f f TpeBC(3)== for =:J U()=BC(3); A3=U(); C3=U(J); % f f TpeBC(4)== for =:J U(I)=BC(4); B4=U(I); D4=U(IJ); % f %----- nla U pada ttk pook mengkt ss Drchlet----- % pook A f TpeBC()== & TpeBC(3)== U()=(AA3)/; f TpeBC()== & TpeBC(3)==3

12 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 6 U()=A; f TpeBC()==3 & TpeBC(3)== U()=A3; % pook B f TpeBC()== & TpeBC(4)== U(I)=(BB4)/; f TpeBC()== & TpeBC(4)==3 U(I)=B; f TpeBC()==3 & TpeBC(4)== U(I)=B4; % pook C f TpeBC()== & TpeBC(3)== U(J)=(CC3)/; f TpeBC()== & TpeBC(3)==3 U(J)=C; f TpeBC()==3 & TpeBC(3)== U(J)=C3; % pook D f TpeBC()== & TpeBC(4)== U(IJ)=(DD4)/; f TpeBC()== & TpeBC(4)==3 U(IJ)=D; f TpeBC()==3 & TpeBC(4)== U(IJ)=D4; % set tebakan awal U pada ss dgn tpe Nemann ata Robyn % ss ke f TpeBC()==3 & TpeBC()== for =:I- U()=(BC()-tngg*BC()-tngg)/(tngg*alfa()); % f

13 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm % ss ke f TpeBC()== & TpeBC()==3 for =:I- U(J)=BC()tngg*BC()/(-tngg*alfa()); % f % ss ke 3 f TpeBC(3)==3 & TpeBC(4)== for =:J- U()=BC(4)-lebar*BC(3)/(lebar*alfa(3)); % f % ss ke 4 f TpeBC(3)== & TpeBC(4)==3 for =:J- U(I)=BC(3)lebar*BC(4)/(-lebar*alfa(4)); % f % Tebakan awal pook yang dbentk ss Nemann at Robyn % pook A f TpeBC()==3 & TpeBC(3)==3 A=(U()-k*BC())/(k*alfa()); A3=U()-h*BC(3)/(h*alfa(3)); U()=(AA3)/; % tebakan awal pook B f TpeBC()==3 & TpeBC(4)==3 B=U(I)-k*BC()/(k*alfa()); B4=U(I-)-h*BC(4)/(h*alfa(4)); U(I)=(BB4)/; % tebakan awal pook C f TpeBC()==3 & TpeBC(3)==3 C=U(J-)k*BC()/(-k*alfa()); C3=U(J)-h*BC(3)/(h*alfa(3)); U(J)=(CC3)/; % tebakan awal pook D f TpeBC()==3 & TpeBC(4)==3 D=U(IJ-)k*BC()/(-k*alfa()); D4=U(I-J)h*BC(4)/(-h*alfa(4)); U(I)=(DD4)/;

14 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 64 H=lebar/; K=tngg/; r=sqrt(h*hk*k); aver = (U()U(I)U(J)U(IJ)-r*r*f)/4; %tebakan awal ttk nteror for =:I- for =:J- U()=0;%aver end end Ukonv=0; % nsalsas banyaknya ttk konvergen banyaku=i*j; % banyaknya U selrhnya epslon=0.^(-6); % nla tolerans perbedaan nla U M=(cos(p/(I)) cos(p/(j)))/; w=.5;%/(sqrt(-m.^)); dh=/(h*h); dk=/(k*k); dhk= *(dhdk); ter=0; % Bagan teras whle Ukonv<banyakU Ukonv=0; ter=ter; for =:I for =:J temp = U(); f)/dhk; % skema ttk nteror f >&<I & >&<J U()=(dh*(U(-)U())dk*(U(-)U())- %--- skema ss Nemann ata Robyn (tak termask ngnya) % ss ke (ss bawah) elsef >&<I&== & TpeBC()==3 U()=(dh*(U(-)U())dk*(*U()-*k*BC())- f)/(dhkdk**k*alfa()); elsef >&<I & ==J& TpeBC()==3 %skema ss ke (ss atas) U(J)=(dh*(U(-J)U(J))dk*(*U(J- )*k*bc())-f)/(dhk-dk**k*alfa()); elsef ==&>&<J & TpeBC(3)==3 %ss ke 3 (ss kr)

15 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm U()= (dh*(*u() - *h*bc(3))dk*(u(- )U())- f)/(dhkdh**h*alfa(3)); elsef ==I & >&<J & TpeBC(4)==3 %ss ke 4 (ss kanan) U(I)= (dh*(*u(i-) *h*bc(4))dk*(u(i- )U(I))- f)/(dhk-dh**h*alfa(4)); % skema pook yang dbentk ss Robyn----- elsef ==&== & TpeBC()==3 & TpeBC(3)==3 % pook kr bawah (pook A) U()=(dh*(*U()-*h*BC(3))dk*(*U()- *k*bc())- f)/... (dhkdh**h*alfa(3)dk**k*alfa()); elsef ==I&==& TpeBC()==3 & TpeBC(4)==3 % pook kanan bawah (pook B) U(I)=(dh*(*U(I-)*h*BC(4))dk*(*U(I)- *k*bc())- f)/... (dhk-dh**h*alfa(4)dk**k*alfa()); elsef ==&==J & TpeBC()==3 & TpeBC(3)==3 % pook kr atas (pook C) U(J)=(dh*(*U(J)-*h*BC(3))dk*(*U(J- )*k*bc())- f)/... (dhkdh**h*alfa(3)-dk**k*alfa()); elsef ==I&==J & TpeBC()==3 & TpeBC(4)==3 % pook kanan atas (pook D) U(IJ)=(dh*(*U(I-)*h*BC(4))dk*(*U(IJ- )*k*bc())- f)/... (dhk-dh**h*alfa(4)-dk**k*alfa()); else %--ss Drchlet tdak pnya skema teras %--karena nla U nya telah dketah end % f % skema SOR U()=w*U()(-w)*temp; % krtera konvergens beda=abs(u()-temp); f beda < epslon Ukonv=Ukonv ;

16 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 66 end % for end% for fprntf('\niteras ke'); fprntf('%5d 'ter); fprntf('banyak U konvergen');fprntf('%5d 'Ukonv); fprntf(' //');fprntf('%5d'banyaku); f ter==00000 break; end %f end % whle end teras % plot nla U pada doman arsran= U(:I:J); pcolor(arsran) colorbar vert shadng nterp ttle('grafk Kontr Sols Nmerk'); xlabel('x'); ylabel('y'); drawnow; fprntf('\nselesa\n'); 3. Smlas Dberkan PD Laplace D x ( x ( x y = 0 dengan doman Ω = {( x 0 x 0 y } dan syarat batas: (x0)= = = 3 = 4 y x 0 y x y x Hasl program kompter datas : BENTUK UMUM : Uxx Uyy = f Jens Persamaan Dfferensal:. Laplace. Posson * plh - :?

17 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm UKURAN DOMAIN lebar =? tngg =? I:ndeks maks.plahan pd arah sb-x. =.I. I =? 33 J:ndeks maks.plahan pd arah sb-y. =.J. J =? 33 SYARAT BATAS Syarat batas ss ke. Drchlet. Nemann 3. Campran (Robyn) * plh -3 : = Syarat batas ss ke. Drchlet. Nemann 3. Campran (Robyn) * plh -3 : d/dy = Syarat batas ss ke 3. Drchlet. Nemann 3. Campran (Robyn) * plh -3 : 3 du/dx=alfa.betta alfa =3 betta = Syarat batas ss ke 4. Drchlet. Nemann 3. Campran (Robyn) * plh -3 : 3 du/dx=alfa.betta alfa =-4 betta = Iteras ke banyak U konvergen 33 // 089 Iteras ke banyak U konvergen 33 // Iteras ke 89 banyak U konvergen 047 // 089 Iteras ke 893 banyak U konvergen 06 // 089 Iteras ke 894 banyak U konvergen 078 // 089 Iteras ke 895 banyak U konvergen 089 // 089 Selesa

18 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 68» Gambar 4. Sols nmerk Kebenaran sols nmerk dperlhatkan pada Gambar 5 yang mennkan bahwa sols nmerk sesa dengan skema nmerk dan syarat batas yang dberkan. Gambar 5. Kebenaran sols nmerk

19 Paradgma Vol. 4 No. Agsts 00 hlm DAFTAR PUSTAKA [] BaleyW The SOR algorthm & ts Applcaton to Nmercal Solton of Elptc Partal Dfferental Eqaton. Ireland: Dbln Insttte of Technology. [] Bassarddn T Metode Beda Hngga ntk Persamaan Dfferensal. Jakarta: Elex Meda Komptndo. [3] Constantndes A Appled Nmercal Methods wth Personal Compter. New York:Mc Graw Hll Inc. [4] NakamraS. 99. Appled Nmercal Methods wth Software. New York: Prentce Hall Inc. [5] Strler E Iteratve Methods and Mltgrd.

20 Implementas Matlab ntk Menyelesakan Masalah Syarat Batas Persamaan Dfferensal Posson dan Laplace d 70