PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN HOFMANN HERU

Transkripsi

1 PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN HOFMANN HERU DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

2 18 Lampiran 6 Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien A. Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk λλ 1 =

3 19

4 20

5 21

6 22

7 23

8 B. Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk λλ 2 =

9 25

10 26

11 27

12 28

13 29

14 C. Sebaran stasioner dan sebaran transien untuk λλ 3 =

15 31

16 32

17 33

18 34

19 35

20 Lampiran 7 Penghitungan premi sistem bonus malus optimal dengan nilai kk = 0,1,2,3,4 dan tt = 1,2,3,,10 36

21 37

22 38

23 39

24 40

25 41

26 42

27 Lampiran 8 Penghitungan nilai peluang ww(kk, tt, ii) yang digunakan dalam program Lingo 11 untuk mencari premi sistem bonus malus praktis dalam Lampiran 9 43

28 44 kk = 0 kk = 1

29 45

30 46

31 47

32 kk = 2 48

33 49

34 50

35 51

36 52

37 53

38 kk = 3 54

39 55

40 56

41 57

42 58

43 59

44 kk = 4 60

45 61

46 62

47 63

48 64

49 65

50 66 Lampiran 9 Program Lingo 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimum sehingga diperoleh premi setiap kelas untuk λλ 1 = MODEL: sets: banyakklaim/0,1,2,3,4/; tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/; kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:c,etakhingga,enol,e2transien,e4transien; links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w; links2(banyakklaim,tahunklaim):p; endsets DATA: w= ; P= ; etakhingga= , , , , , , , , ; enol= ,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516; e2transien= , , , , , , , , ; e4transien= , , , , , , , , ; ENDDATA MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)- C(5)=100; C(2)>=C(1); C(3)>=C(2); C(4)>=C(3);

51 67 C(5)>=C(4); C(6)>=C(5); C(7)>=C(6); Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 122 Total solver iterations: 2394 Variable Value Reduced Cost C( 1) C( 2) C( 3) C( 4) C( 5) C( 6) C( 7) C( 8) C( 9) untuk λλ 2 = MODEL: sets: banyakklaim/0,1,2,3,4/; tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/; kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:c,etakhingga,enol,e2transien,e4transien; links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w; links2(banyakklaim,tahunklaim):p; endsets DATA: w=

52 ; P= ; etakhingga= , , , , , , , , ; enol= ,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516; e2transien= , , , , , , , , ; e4transien= , , , , , , , , ; ENDDATA C(i))^2))); C(5)=100; C(2)>=C(1); C(3)>=C(2); C(4)>=C(3); C(5)>=C(4); C(6)>=C(5); C(7)>=C(6); Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 10 Total solver iterations: 484 Variable Value Reduced Cost C( 1) C( 2) C( 3) C( 4) C( 5) C( 6) C( 7) C( 8) C( 9) untuk λλ 3 = MODEL: sets: banyakklaim/0,1,2,3,4/; tahunklaim/1,2,3,4,5,6,7,8,9,10/; kelas/1,2,3,4,5,6,7,8,9/:c,etakhingga,enol,e2transien,e4transien; links1(banyakklaim,tahunklaim,kelas):w; links2(banyakklaim,tahunklaim):p; endsets DATA: w=

53 ; P= ; etakhingga= , , , , , , , , ; enol= ,0.0562,0.0661,0.0784,0.0421,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516; e2transien= , , , , , , , , ; e4transien= , , , , , , , , ;ENDDATA MIN=@sum(banyakklaim(k):@sum(kelas(i):@sum(tahunklaim(t):w(k,t,i)*(P(k,t)- C(5)=100; C(2)>=C(1); C(3)>=C(2); C(4)>=C(3); C(5)>=C(4); C(6)>=C(5); C(7)>=C(6); Solution Report dari program Lingo 11 masalah pengoptimuman di atas Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 10 Total solver iterations: 482 Variable Value Reduced Cost C( 1) C( 2) C( 3) C( 4)

54 C( 5) C( 6) C( 7) C( 8) C( 9)

55 71 Lampiran 10 Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan λλ 1 = A. Retensi limit optimal untuk mm = 0

56 72

57 73

58 74

59 75

60 76

61 77

62 78

63 79

64 80

65 81

66 82

67 83

68 84

69 85

70 86

71 87

72 88

73 89

74 90

75 91

76 92

77 B. Retensi limit optimal untuk mm > 0 93

78 94

79 95

80 ABSTRAK HERU. Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU. Sistem bonus malus praktis lebih mudah diaplikasikan dalam dunia nyata karena jumlah kelas yang berhingga. Premi sistem bonus malus praktis dapat dihitung dengan cara meminimumkan jarak antara premi sistem bonus malus praktis dengan premi sistem bonus malus optimal yang bersesuaian. Premi sistem bonus malus optimal dapat dihitung menggunakan sebaran Hofmann. Prinsip nilai harapan merupakan salah satu prinsip yang digunakan untuk menghitung premi sistem bonus malus optimal. Terdapat sistem bonus malus yang hanya mempertimbangkan banyaknya klaim tanpa mempertimbangkan besaran klaim. Fenomena pemegang polis tidak melaporkan klaim yang berukuran kecil karena ingin mendapatkan bonus disebut kelaparan bonus. Retensi limit optimal berfungsi sebagai indikator layak atau tidaknya suatu biaya klaim dilaporkan ke perusahaan. Nilai retensi limit suatu sistem bonus malus praktis dapat dihitung untuk setiap kelasnya. Algoritme Lemaire digunakan untuk menghitung nilai retensi limit optimal tersebut. Kata kunci: sebaran Hofmann, sistem bonus malus optimal, sistem bonus malus praktis, kelaparan bonus, algoritme Lemaire.

81 ABSTRACT HERU. Construction of a Practical Bonus Malus System from an Optimal Bonus Malus System by Using the Hofmann Distribution. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU. A practical bonus malus system is more easily applied in the real world because it has a finite number of classes. Premium of a practical bonus malus system can be calculated by minimizing the distance between the premium of a practical bonus malus system and the premium of its corresponding optimal bonus malus system. Premium of an optimal bonus malus system can be calculated using the Hofmann distribution. The expected value principle is one of the principles to calculate the premium of an optimal bonus malus system. There is a bonus malus system that considers only the number of claims without considering the amount of the claims. The phenomenon that policyholders are not reporting small claims because they want to get a bonus is called bonus hunger. Optimal retention limit serves as an indicator of the viability whether the claims should be reported or not to the company. The value of retention limit of a practical bonus malus system can be calculated for each class. The Lemaire s algorithm was used to calculate the optimal retention limit. Keywords: Hofmann distribution, optimal bonus malus system, practical bonus malus system, hunger for bonus, Lemaire s algorithm.

82 PEMBANGUNAN SISTEM BONUS MALUS PRAKTIS DARI SISTEM BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN SEBARAN HOFMANN HERU Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

83 Judul Skripsi : Pembangunan Sistem Bonus Malus Praktis dari Sistem Bonus Malus Optimal dengan Menggunakan Sebaran Hofmann Nama : Heru NIM : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. NIP Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :

84 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta: Ayah, Ibu, dan adikku yang selalu memberikan doa, motivasi, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya, serta keluarga besar baik dari Ayah maupun dari Ibu terima kasih atas doanya. 2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran, dan motivasinya selama penulisan skripsi ini. 4. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran dan motivasinya. 5. Semua dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, terimakasih atas semua ilmu dan nasihat yang diberikan. 6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni, dan lainnya, terima kasih atas bantuan dan motivasinya. 7. Sahabat Chevron Geothermal Salak: Pak Dali, Pak Gita, Mas Ferdes, Mas Reza, Mas Hasan, Mas Fahri, Irpan, Ka Zaenal, Ka Haikal, Ka Ikhwan, Rhandy, Rizky, Esih, Yani, Nandi, Mella, dan lainnya. 8. Sahabat Beasiswa Perfetti Vanmelle: Pak Anang, Bu Nuning, Pak Ari, Bu Risa, Sarwanto, Didin, Erna, Miftah, Siti, Dina, Arina, Aisyah, dan lainnya. 9. Kakak-kakak Matematika angkatan 42, 43, dan 44: Ka Iput, Ka Kabil, Ka endru, Ka Nyoman, Ka Ruhiyat, Ka Iam, Ka Ririh, Ka Lingga, Ka Abe, Ka Fajar, Ka Wahyu, Ka Wenti dan lainnya, terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya. 10. Teman-teman Matematika angkatan 45: Herlan, Prama, Rian, Bram, Khafidz, Kunedi, Wijay, Haryanto, Ari, Dono, Irwan, Ridwan, Hadi, Fikri, Ali, Irma, Rianiko, Ito, Beni, Izzudin, Risman, Wahidi, Chastro, Arbi, Hendri, Dimas, Nurul, Dini, Nova, Agustina, Putri, Devita, Anisa, Haya, Isna, Vivi, Wulan, Fenny, Aci, Bolo, Gita, Mega, Ana, Yunda, Fitriyah, Anggun, Tiwi, Pipin, Ade, Finata, Fuka, Dewi, Mya, Rini, Meidina, dan lainnya, terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya. 11. Adik-adik Matematika angkatan 46: Yoyok, Dio, Rio, Dayat, Andri, Galih, avendi, Rudi, Syaepul, Dian, Ihsan, Hendra, Fenny, Windi, Irma, Desyi, Tita, Dita, Ivon, Mirna, Melisa, Rahmi, dan lainnya, terimakasih atas dukungan dan doanya. 12. Sahabat kontrakan 178: Umar, Watri, Joni, Adit, Hisar, Wendi dan Enduy, terima kasih atas doa, semangat, dukungan, kebersamaan, dan bantuannya. 13. Sahabat Sainstek BEM FMIPA IPB: Budi, Aya, Erna, Desi, Santia, Dio, Meita, Helen dan Hana, terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya. 14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan terutama ilmu matematika. Bogor, Desember 2012 Heru

85 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 25 Oktober 1989 dari bapak Nana dan ibu Ojah. Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kabandungan dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Kalkulus II (S-1) pada semester ganjil tahun akademik , asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (S-1) pada semester genap tahun akademik , serta asisten dosen mata kuliah Persamaan Diferensial Parsial (S-1) pada semester ganjil tahun akademik Selama kuliah penulis mendapatkan beasiswa dari Chevron Geothermal Salak, Ltd. Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah menjadi Staf Departemen Keilmuan Gumatika (Gugusan Mahasiswa Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor pada periode dan Staf Departemen Sains dan Teknologi Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor pada periode Selain itu, penulis pernah terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan antara lain: Kepala Divisi Logistik dan Transportasi Pekan Ilmiah Mahasiswa FMIPA IPB tahun 2011, Kepala Divisi Publikasi, Dekorasi dan Dokumentasi IPB OPEN (Kompetisi Catur Nasional) tahun 2010, Tim khusus Matematika Ria tahun 2010, serta Staf Divisi Logistik dan Transportasi Pesta Sains IPB tahun 2011.

86 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan... 1 II LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Nilai Harapan, Ragam, dan Momen Fungsi Kemungkinan Proses Stokastik dan Rantai Markov... 4 III HASIL DAN PEMBAHASAN Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem Bonus Malus Praktis Sebaran Hofmann Sistem Bonus Malus Optimal Kelaparan Bonus dan Sebaran Frekuensi Klaim Aktual Sistem Bonus Malus Praktis Tahapan untuk Menemukan Premi Sistem Bonus Malus Praktis Algoritme Lemaire untuk Penentuan Retensi Limit Optimal IV SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

87 DAFTAR TABEL Halaman 1 Premi sistem bonus malus saat ini Sebaran frekuensi klaim teramati Kerangka sistem bonus malus optimal Nilai premi yang pararel dengan nilai premi sistem bonus malus optimal Premi sistem bonus malus optimal Sistem bonus malus praktis untuk λλ 1 = Sistem bonus malus praktis untuk λλ 2 = Sistem bonus malus praktis untuk λλ 3 = Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan λλ 1 = dan mm = Retensi limit optimal untuk pemegang polis dalam sistem bonus malus dengan λλ 1 = dan mm > DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pembuktian hasil integral pada sebaran Hofmann Analisis sebaran Hofmann untuk aa = 0 dan aa = Pembuktian rumus untuk premi posterior Penghitungan nilai parameter sebaran Hofmann dengan pemasangan tiga momen pertama dari sebaran Poisson Campuran Nonparametrik dan sebaran Hofmann Pendugaan Kemungkinan Maksimum untuk mencari sebaran frekuensi klaim yang dilaporkan beserta peluangnya Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien Penghitungan premi sistem bonus malus optimal Penghitungan nilai peluang ww(kk, tt, ii) Program LINGO 11 untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal dari pemegang polis viii

88 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Asuransi merupakan perjanjian antara dua pihak, yaitu pihak tertanggung dan pihak penanggung. Pihak penanggung memiliki kewajiban untuk menanggung segala bentuk kerugian, kecelakaan, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang dialami pihak tertanggung. Sementara itu, pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk membayar sejumlah uang yang merupakan imbalan untuk pihak penanggung karena pihak penanggung telah menjadi tempat pengalihan resiko dari pihak tertanggung. Sejumlah uang yang dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada pihak penanggung secara berkala disebut premi asuransi. Sistem asuransi juga dilengkapi oleh aturanaturan yang mengikat kedua belah pihak. Aturan-aturan ini disebut polis asuransi. Perkembangan ilmu aktuaria semakin memperkaya sistem asuransi yang dianut oleh perusahaan-perusahaan asuransi. Salah satu sistem asuransi yang sudah terkenal adalah sistem bonus malus. Sistem bonus malus merupakan sistem asuransi dimana besarnya premi yang dibayarkan pihak tertanggung kepada pihak penanggung berubah sesuai dengan banyak klaim yang diajukan oleh pihak tertanggung pada periode sebelumnya. Jika periode sekarang pemegang polis tidak mengajukan klaim maka pemegang polis mendapat bonus pada periode berikutnya. Namun, jika periode sekarang pemegang polis mengajukan klaim maka pemegang polis mendapatkan malus pada periode berikutnya. Sistem bonus malus juga dilengkapi oleh pembagian kelas premi. Kelas premi ini berbanding lurus dengan besarnya premi yang harus dibayarkan oleh pihak tertanggung. Dengan kata lain, semakin tinggi kelas premi maka semakin besar premi yang harus dibayarkan oleh pihak tertanggung dan semakin rendah kelas premi maka semakin rendah pula premi yang harus dibayarkan oleh pihak tertanggung. Karya ilmiah ini menjelaskan pembangunan sistem bonus malus praktis. Sistem bonus malus praktis lebih mudah diaplikasikan dalam dunia nyata karena jumlah kelas yang hingga. Sebaran Hofmann yang dipilih sebagai sebaran untuk membangun tabel bonus malus optimal juga dibahas dalam karya ilmiah ini. Perlu diketahui bahwa untuk mendapatkan tabel bonus malus praktis diperlukan tabel bonus malus optimal. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Paris dan Walhin (2001) yang berjudul The Practical Replacement of a Bonus-Malus System. Meskipun demikian, sebagian metode pemecahan masalah dalam karya ilmiah ini tidak sama dengan jurnal rujukan tersebut. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut. 1. Mempelajari penentuan premi pada sistem bonus malus optimal dengan menggunakan sebaran Hofmann. 2. Mempelajari penentuan premi pada sistem bonus malus praktis dari sistem bonus malus optimal. 3. Mempelajari pengaruh sebaran transien dan sebaran stasioner terhadap sistem bonus malus praktis. 4. Mempelajari Algoritme Lemaire untuk menghitung retensi limit optimal.

89 II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. (Hogg et al. 2005) Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian AA adalah himpunan bagian dari Ω. Definisi 3 (Medan-σσ) (Grimmett & Stirzaker 1992) Medan-σσ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut: 1. F, 2. Jika AA F maka AA cc F, 3. Jika AA 1, AA 2, F maka ii=1 AA ii F. Definisi 4 (Ukuran Peluang) (Grimmett & Stirzaker 1992) Misalkan F adalah Medan-σσ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi PP: F [0,1] pada (Ω, F) yang memenuhi: 1. PP( ) = 0, PP(Ω) = 1, 2. Jika AA 1, AA 2, F adalah himpunan yang saling lepas yaitu AA ii AA jj = untuk setiap pasangan ii jj, maka PP( ii=1 AA ii ) = PP(AA ii ) ii=1. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan F adalah Medan-σσ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak XX adalah suatu fungsi XX: Ω R dengan sifat {ωω Ω: X(ωω) x} F untuk setiap xx R. Definisi 6 (Fungsi Sebaran) (Grimmett & Stirzaker 1992) Misalkan XX adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh Ω. Misalkan kejadian AA = (, xx] Ω maka peluang dari kejadian AA adalah PP XX (AA) = PP(XX xx) = FF XX (xx). Fungsi FF XX disebut fungsi sebaran dari peubah acak XX. Definisi 7 (Peubah Acak Diskret) (Hogg et al. 2005) Peubah acak XX dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari R. Catatan: (Grimmett & Stirzaker 1992) Suatu himpunan bilangan CC disebut terhitung jika CC terdiri atas terhingga bilangan atau anggota CC dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak XX dikatakan kontinu jika ada fungsi ff XX (xx) sehingga fungsi sebaran FF XX (xx) = ff XX (uu)dddd, xx xx R dengan ff: R [0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi ff disebut fungsi kepekatan peluang dari XX. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 9 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret XX adalah fungsi pp: R [0,1] yang diberikan oleh pp XX (xx) = PP(XX = xx). (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 10 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua peubah acak XX dan YY merupakan suatu fungsi FF: R 2 [0,1] yang didefinisikan sebagai

90 3 FF XXXX (xx, yy) = PP(XX xx, YY yy). (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang Bersama dan Marjinal) Misalkan XX dan YY peubah acak diskret, maka fungsi massa peluang bersama dari XX dan YY adalah pp XXXX (xx, yy) = 2 FF XXXX (xx, yy), dan fungsi massa peluang marjinal dari peubah acak YY adalah pp YY (yy) = ff XXXX (xx, yy). xx (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 12 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Jika XX dan YY adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang marjinal dari YY adalah ff YY (yy) > 0 maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari XX dengan syarat YY = yy adalah ff XX YY (xx yy) = ff XXXX(xx, yy) ff YY (yy). (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 13 (Sebaran Poisson) Suatu peubah acak XX dikatakan menyebar Poisson dengan parameter λλ, jika memiliki fungsi massa peluang: PP XX (xx, λλ) = ee λλ λλ xx ; xx = 0,1,2,, xx! dengan λλ > 0. (Hogg et al. 2005) Definisi 14 (Sebaran Binomial Negatif) Suatu peubah acak NN dikatakan menyebar Binomial Negatif dengan parameter rr dan pp, dinotasikan BN(rr, pp) jika memiliki fungsi massa peluang rr + nn 1 PP NN (nn) = PP[NN = nn] = pp rr qq nn ; nn nn = 0,1,2,.. dengan rr > 0, 0 < pp < 1 dan qq = 1 pp. (Hogg et al. 2005) 2.3 Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi 15 (Nilai Harapan) 1. Jika XX adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pp XX (xx), maka nilai harapan dari XX, didefinisikan sebagai EE(XX) = xx pp XX (xx), asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika XX adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ff XX (xx), maka nilai harapan dari XX adalah xx EE(XX) = xxxx XX (xx)dddd, asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005) Definisi 16 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan XX dan YY adalah peubah acak kontinu dan ff XX YY (xx yy) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari XX dengan syarat YY = yy, maka nilai harapan dari XX dengan syarat YY = yy adalah EE[XX YY = yy] = xxxx XX YY (xx yy)dddd. Definisi 17 (Ragam) (Hogg et al. 2005) Ragam dari peubah acak XX adalah nilai harapan kuadrat selisih antara XX dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai VVVVVV(XX) = EE[(XX EE[XX]) 2 ] = EE[XX 2 ] (EE[XX]) 2. (Hogg et al. 2005)

91 4 Definisi 18 (Momen) 1. Jika XX adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pp XX (xx), maka momen ke-kk dari XX, didefinisikan sebagai EE(XX kk kk ) = xx ii pp XX (xx ii ), ii=1 jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-kk dari peubah acak XX adalah tidak ada. 2. Jika XX adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ff XX (xx), maka momen ke-kk dari XX didefinisikan sebagai EE(XX kk ) = xx kk ff XX (xx)dddd, jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen ke-kk dari peubah acak XX adalah tidak ada. (Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 19 (Fungsi Pembangkit Momen) Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak XX didefinisikan sebagai MM XX (tt) = EE(ee tttt ) untuk tt R sehingga nilai harapan di atas ada. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.4 Fungsi Kemungkinan Definisi 20 (Fungsi Kemungkinan) Misalkan xx 1,, xx nn adalah nilai contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang ff(xx; θθ), maka fungsi kepekatan peluang bersama dari XX 1,., XX nn yang merupakan fungsi kemungkinannya adalah LL(θθ) = ff(xx 1 ; θθ)ff(xx 2 ; θθ) ff(xx nn ; θθ). (Hogg et al. 2005) Definisi 21 (Penduga Kemungkinan Maksimum) Misalkan xx 1,, xx nn adalah nilai contoh acak berukuran nn dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang ff(xx; θθ). Penduga kemungkinan maksimum bagi θθ dinotasikan dengan θθ adalah nilai θθ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan LL(xx 1,., xx nn ; θθ). (Hogg et al. 2005) 2.5 Proses Stokastik dan Rantai Markov Definisi 22 (Proses Stokastik) Proses stokastik didefinisikan sebagai himpunan peubah acak {XX nn : nn εε II} untuk himpunan indeks II yang terhitung atau berhingga, atau {XX(tt): tt εε TT} untuk himpunan indeks TT yang tak terhitung. Definisi 23 (Rantai Markov) (Ghahramani 2005) Sebuah proses stokastik {XX nn : nn = 0, 1, } dengan ruang state terbatas atau tak terbatas yg terhitung disebut rantai markov, jika untuk semua ii, jj, ii 0,, ii nn 1 SS, dan nn = 0,1,2,, PP(XX nn+1 = jj XX nn = ii, XX nn 1 = ii nn 1,, XX 0 = ii 0 ) = PP(XX nn+1 = jj XX nn = ii). (Ghahramani 2005)

92 III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Sistem Bonus Malus Lama dan Sistem Bonus Malus Praktis Sistem bonus malus praktis terdiri dari sebuah tabel yang berisi kelas premi sebanyak ss. Tingkat premi berhubungan erat dengan setiap kelas dalam tabel tersebut. Premi di kelas rendah tidak lebih besar dibanding premi di kelas tinggi. Pertama kali masuk dalam sistem bonus malus pemegang polis berada di kelas dengan tingkat premi 100%. Kemudian, untuk periode berikutnya kelas yang diduduki pasti berubah. Jika tidak ada klaim maka pada periode berikutnya pemegang polis menempati kelas yang lebih rendah. Hal ini berarti pemegang polis membayar premi 100% ke bawah. Premi di bawah 100% berarti pemegang polis mendapatkan bonus. Sebaliknya, jika ada klaim maka pada periode berikutnya pemegang polis menempati kelas yang lebih tinggi sehingga pemegang polis membayar premi 100% ke atas. Premi di atas 100% berarti pemegang polis mendapatkan malus. Sebuah aturan menentukan pergerakan pemegang polis dalam sistem bonus malus sesuai dengan banyak klaim yang dilaporkan oleh pemegang polis ke perusahaan setiap tahun. Aturan ini disebut aturan transisi. Dalam karya ilmiah ini disusun sebuah metodologi yang bertujuan untuk mengubah suatu sistem bonus malus. Beberapa contoh numerik digunakan untuk menjelaskan metodologi tersebut. Misalkan sistem bonus malus saat ini diasumsikan sebagai berikut. - Banyak kelas ss adalah 9. Kelas minimum adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8. - Pintu masuk sistem bonus malus adalah kelas 4. - Jika pemegang polis tidak mengajukan klaim pada tahun tertentu maka pemegang polis turun sebanyak satu kelas pada tahun berikutnya. - Jika pemegang polis mengajukan klaim maka pemegang polis naik sebanyak tiga kelas tiap satu klaim. Tabel 1. Premi sistem bonus malus saat ini ss CC ss ss CC ss Kemudian, sistem bonus malus baru diasumsikan sebagai berikut. - Banyak kelas ss adalah 9. Kelas minimum adalah 0 dan kelas maksimum adalah 8. - Pintu masuk sistem bonus malus adalah kelas 4. - Jika pemegang polis tidak mengajukan klaim pada tahun tertentu maka pemegang polis turun sebanyak satu kelas pada tahun berikutnya. - Jika pemegang polis mengajukan klaim maka pemegang polis menempati kelas 8 (tanpa melihat banyaknya klaim yang diajukan). Tingkat premi untuk sistem bonus malus baru tersebut (sistem bonus malus praktis) perlu dicari. Tabel 2. Sebaran frekuensi klaim teramati Banyak Banyak Pemegang Kecelakaan Polis

93 6 3.2 Sebaran Hofmann Berdasarkan Paris dan Walhin (1999b), pembangunan sistem bonus malus optimal bersifat tidak halus jika menggunakan sebaran Poisson Campuran Nonparametrik. Oleh karena itu, pembangunan sistem bonus malus optimal dalam karya ilmiah ini menggunakan prinsip nilai harapan dengan fungsi peluang yang menggunakan sebaran Hofmann. Sebaran Hofmann didefinisikan sebagai berikut. Π(0, tt) = ee θθ(tt), (kk + 1)ΠΠ(kk + 1, tt) kk pppp Γ(aa + ii) = (1 + cccc) aa cccc ii Γ(aa)ii! 1 + cccc ΠΠ(kk ii, tt) ii=0 θθ pp (tt) = (1 + cccc) aa, θθ(0) = 0. Pendefinisian sebaran Hofmann di atas menggunakan fungsi rekursif pada algoritme Panjer. Pendefinisian sebaran Hofmann tersebut dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu dengan menggunakan bentuk turunan fungsi. Sebaran Hofmann yang didefinisikan dalam bentuk turunan fungsi adalah sebagai berikut. Π(0, tt) = ee θθ(tt), ttkk kk Π(kk, tt) = ( 1) kk! Π(kk) (0, tt); kk = 1,2,, θθ pp (tt) = (1 + cccc) aa, θθ(0) = 0. Turunan ke- kk dari peluang Π(0, tt) adalah Π (kk) (0, tt). Jika bentuk θθ (tt) diintegralkan maka dihasilkan θθ(tt) sebagai berikut. θθ(tt) pppp ; aa = 0 pp ln(1 + cccc) ; aa = 1 cc = pp cc(1 aa) [(1 + cccc)1 aa 1] ; aa ssssssssssssssssss. Hasil penghitungan integral θθ (tt) dapat dilihat pada Lampiran 1. Jika sebaran Hofmann ini dianalisis untuk aa = 0 maka sebaran ini menjadi sebaran Poisson. Kemudian, untuk aa = 1 sebaran ini menjadi sebaran Binomial Negatif (Paris dan Walhin (1999b)). Analisis sebaran Hofmann untuk aa = 0 dan aa = 1 dapat dilihat pada Lampiran Sistem Bonus Malus Optimal Sistem bonus malus itu hanya tergantung pada banyak kecelakaan yang disebabkan oleh sesuatu yang diasuransikan pada periode sebelumnya (Paris & Walhin (1999b)). Sistem bonus malus optimal dipengaruhi banyak klaim dan banyak tahun yang teramati. Pada umumnya, banyak klaim NN(tt) pada selang (0, tt] dianggap sebagai proses Poisson Campuran dengan fungsi peluang sebagai berikut. (Λtt)kk P[NN(tt) = kk Λ] = Π(kk, tt Λ) = ee Λtt, kk! (λtt)kk P[NN(tt) = kk] = Π(kk, tt) = ee λtt du(λ), 0 kk! dengan Λ adalah peubah acak dengan fungsi sebaran UU(λλ). Informasi yang mengandung banyak kecelakaan selama tt tahun pertama sangat diperlukan untuk menghitung premi pada tahun ke-tt (premi posterior). Premi posterior itu adalah EE[NN(tt + 1) NN(tt) NN(tt) = kk] = EE(Λ NN(tt) = kk) = kk + 1 ΠΠ(kk + 1, tt). tt ΠΠ(kk, tt) Pembuktian dari rumus premi posterior dapat dilihat pada Lampiran 3. Rumus premi posterior ini menggunakan prinsip premi nilai harapan. Selanjutnya, premi prior ditetapkan sebesar 100% sehingga disusun sebuah tabel bonus malus optimal yang terdiri dari dua entri, yaitu entri tt dan entri kk. Entri tt menyatakan banyak tahun yang diamati dan entri kk menyatakan banyak klaim yang diamati. Dalam karya ilmiah ini dipilih nilai tt = 1,2,,10 dan kk = 0,1,,4. Nilai premi dalam tabel bonus malus optimal untuk setiap kk dan tt ditulis dengan rumus sebagai berikut: PP (kk,tt) = 100 EEΛ kk+1 tt ΠΠ(kk+1,tt) ΠΠ(kk,tt). (3.1) Tabel 3. Kerangka sistem bonus malus optimal tt/kk PP (0,1) PP (1,1) PP (2,1) PP (3,1) PP (4,1) 2 PP (0,2) PP (1,2) PP (2,2) PP (3,2) PP (4,2) 10 PP (0,10) PP (1,10) PP (2,10) PP (3,10) PP (4,10) Nilai ΠΠ(kk, tt) untuk menghitung premi sistem bonus malus optimal dihitung berdasarkan sebaran Hofmann. Namun, masalahnya adalah sebaran frekuensi klaim yang dilaporkan menggunakan sebaran Poisson Campuran Nonparametrik sehingga parameter sebaran Hofmann (pp, cc, dan aa) dicari dengan pemasangan tiga momen pertama dari sebaran Poisson Campuran Nonparametrik dan sebaran Hofmann, yaitu: rr pp jj λλ jj = pp, jj =1

94 7 rr pp jj λλ jj λλ jj + 1 = pp + aaaaaa + pp 2, jj =1 rr pp jj λλ jj λλ 2 jj + 3λλ jj + 1 = pp(pp + aaaaaa) jj =1 +pp(1 + pp) 2 + aaaaaa(1 + pp) + (1 + aa)aacc 2 pp. Dengan menggunakan rumus tersebut maka diperoleh nilai pp = , cc = , aa = Uraian untuk memperoleh nilai parameter sebaran Hofmann ini dapat dilihat pada Lampiran 4. Perhatikan bahwa rumus untuk menghitung premi dalam tabel bonus malus optimal di atas berdasarkan prinsip nilai harapan. Prinsip premi lainnya juga dapat digunakan untuk menyusun tabel bonus malus optimal. Dalam Paris dan Walhin (1999b), prinsip utilitas nol dengan sebuah fungsi utilitas eksponensial digunakan untuk menyusun tabel bonus malus optimal. Sedangkan, dalam Paris dan Walhin (1999a), tabel bonus malus optimal diperoleh dengan menggunakan sebaran kerugian ekponensial. Namun, contoh numerik menunjukan bahwa penghitungan premi bonus malus optimal dengan menggunakan berbagai prinsip premi tersebut tidak menghasilkan tabel yang berbeda secara signifikan. 3.4 Kelaparan Bonus dan Sebaran Frekuensi Klaim Aktual Jika perusahaan asuransi menggunakan sistem bonus malus yang bebas dari besaran klaim maka seorang pemegang polis cenderung untuk tidak melaporkan klaim yang berukuran kecil. Hal ini berarti pemegang polis lebih memilih untuk menanggung resiko daripada melaporkannya ke perusahaan asuransi sehingga harus membayar premi yang lebih tinggi pada periode berikutnya karena mendapatkan malus. Lemaire (1977) menyebutkan fakta seperti ini adalah kelaparan bonus. Algoritme Lemaire (1977) memberikan retensi optimal dari pengendara sebagai fungsi tingkat preminya. Algoritme itu memiliki hipotesis-hipotesis sebagai berikut. - Sebuah sistem bonus malus terdiri dari ss kelas ii = 0,., ss 1. - Frekuensi klaim pemegang polis menyebar Poisson dengan nilai harapan λλ. - Sebaran besaran klaim adalah ZZ dengan fungsi sebaran kumulatif adalah FF ZZ (xx). - Ramalan tingkat diskon untuk masa depan dilambangkan dengan ββ. - Waktu tersisa hingga pembayaran premi berikutnya adalah 1 tt dengan 0 tt < 1. Sebagai contoh numerik berkaitan hipotesis algoritme tersebut maka digunakan data, nilai, atau asumsi sebagai berikut. - Sistem bonus malus diberikan pada Tabel 6. - Sebaran besaran klaim ZZ adalah menyebar eksponensial dengan nilai harapan μμ: FF ZZ (xx) = 1 ee xx μμ ; xx 0 0 ; xx < 0. - Sebaran besaran klaim aktual adalah eksponensial dengan parameter μμ = 84.86, ββ = 6%, dan tt = Proporsi pp jj, jj = 1,, rr tetap sama baik frekuensi klaim aktual maupun yang teramati. Misalkan λλ jj adalah parameter Poisson dari pemegang polis ke-jj untuk peubah acak yang merepresentasikan banyak klaim yang dilaporkan dalam sistem bonus malus saat ini. Berdasarkan data sebaran frekuensi klaim yang teramati pada Tabel 2 maka diperoleh λλ 1 = , λλ 2 = , λλ 3 = , pp 1 = , pp 2 = , pp 3 = Uraian ini dapat dilihat pada Lampiran 5. Nilai-nilai tersebut memiliki arti bahwa dalam sistem bonus malus ini terdapat tiga jenis pengendara dengan penjelasan bahwa 56% pengendara menunjukkan frekuensi klaim sebesar , sekitar 41% pengendara menunjukkan frekuensi klaim sebesar dan sekitar 2% menunjukkan frekuensi klaim sebesar Pada umumnya ada rr jenis pengendara. Dalam karya ilmiah ini dibahas tiga jenis pengendara. Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien dalam karya ilmiah ini menggunakan asumsi bahwa dalam satu tahun banyaknya kecelakaan itu menyebar Poisson. Karena terdapat tiga jenis pengendara maka diperoleh tiga jenis sebaran stasioner dan tiga jenis sebaran transien. Adapun rumus-rumus yang dipakai dalam penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien adalah sebagai berikut. ee (λλ) = lim nn (QQ TT ) nn ee 0 (λλ) ; ee 0 diberikan, ee tt (λλ) = (QQ TT ) tt ee 0 (λλ), keterangan: QQ TT : transpos dari matriks transisi, ee (λλ): sebaran stasioner untuk λλ tertentu, ee tt (λλ): sebaran transien ke-tt untuk λλ tertentu, ee 0 (λλ): sebaran awal untuk λλ tertentu. Perlu diketahui bahwa sebaran stasioner ini bebas terhadap sebaran awal dan sebaran awal diasumsikan sama untuk setiap λλ. Hasil yang diperoleh dari perhitungan sebaran adalah sebagai berikut.

95 8 - Sebaran stasioner, sebaran transien, dan sebaran awal untuk λλ 1 = ee (λλ 1 ) = { , , , , , , , , }, ee 2 (λλ 1 ) = { , , , , , , , , }, ee 4 (λλ 1 ) = { , , , , , , , , }, ee 0 (λλ 1 ) = {0.5729,0.0562,0.0661,0.0784, ,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516}. - Sebaran stasioner, sebaran transien, dan sebaran awal untuk λλ 2 = ee (λλ 2 ) = { , , , , , , , , }, ee 2 (λλ 2 ) = { , , , , , , , , }, ee 4 (λλ 2 ) = { , , , , , , , , }, ee 0 (λλ 2 ) = {0.5729,0.0562,0.0661,0.0784, ,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516}. - Sebaran stasioner, sebaran transien, dan sebaran awal untuk λλ 3 = ee (λλ 3 ) = { , , , , , , , , }, ee 2 (λλ 3 ) = { , , , , , , , , }, ee 4 (λλ 3 ) = { , , , , , , , , }, ee 0 (λλ 3 ) = {0.5729,0.0562,0.0661,0.0784, ,0.0441,0.0457,0.0429,0.0516}. Penghitungan sebaran stasioner dan sebaran transien ini dapat dilihat pada Lampiran Sistem Bonus Malus Praktis Sistem bonus malus optimal yang dideskripsikan pada bagian sebelumnya sulit untuk diaplikasikan karena banyak kelas tak terbatas. Sistem bonus malus seperti ini cukup rumit untuk para pemegang polis. Oleh karena itu, sebagian besar negara-negara Eropa menggunakan sistem bonus malus dengan banyak kelas terbatas. Pada dasarnya, sistem bonus malus dengan banyak kelas terbatas mempunyai sifat Markov. Aturan transisi adalah sebuah aturan yang mengatur pergerakan posisi pemegang polis dalam sistem bonus malus yang terdiri kelas-kelas tersebut. Posisi pemegang polis dipengaruhi oleh klaim yang dilaporkan tahunan. Jika banyak kelas telah dipilih dan aturan transisi telah ditentukan maka selanjutnya adalah menghitung tingkat premi untuk setiap kelas. Penghitungan ini sudah dijelaskan oleh Coene dan Doray (1996). Metode Coene dan Doray (1996) adalah meminimumkan jarak tertentu antara tingkat premi sistem bonus malus praktis dengan tingkat premi sistem bonus malus optimal yang bersesuaian. Dalam karya ilmiah ini digunakan metode yang sama dengan Coene dan Doray (1996) tapi dengan beberapa perubahan. Hal yang harus pertama kali dibangun adalah tabel CC (kk,tt) yang paralel dengan tabel PP (kk,tt). Tabel CC (kk,tt) berisi nilai-nilai berbeda dari CC ii sebagai fungsi dari kk dan tt. Tabel 4. Nilai premi yang pararel dengan nilai premi sistem bonus malus optimal tt/kk CC 4 1 CC 3 CC 8 CC 8 2 CC 2 CC 8 /CC 7 CC 8 /CC 7 3 CC 1 CC 8 /CC 7 /CC 6 CC 8 /CC 7 /CC 6 4 CC 0 CC 8 /CC 7 /CC 6 /CC 5 CC 8 /CC 7 /CC 6 /CC 5 5 CC 0 CC 8 /CC 7 /CC 6 /CC 5 /CC 4 CC 8 /CC 7 /CC 6 /CC 5 /CC 4 10 CC 0 CC 8 /CC 7 /../CC 0 CC 8 /CC 7 /../CC 0 Coene dan Doray (1996) memilih kelas maksimum untuk CC (kk,tt) karena kelas maksimum itu kelas yang paling mungkin. Namun, perhatikan bahwa tidaklah sulit untuk mencari peluang dari kejadian NN(tt) = kk, CC (kk,tt) = CC ii ]. Misalkan didefinisikan rumus dari ww yaitu ww(kk, tt, ii) = ΡΡ NN(tt) = kk, CC (kk,tt) = CC ii ]. Rumus untuk ww ini valid untuk proses

96 9 Poisson Campuran sehingga dapat didefinisikan juga bahwa Ρ NN(tt) = kk, CC (kk,tt) = CC ii = PP[NN(tt) NN(tt 1) = kk tt,, NN(1) NN(0) = kk 1 ]. Metode penghitungan nilai premi tiap kelas adalah dengan meminimumkan kesalahan kuadrat bobot alami (kk,tt,ii) ww(kk, tt, ii)[pp (kk,tt) CC ii ] 2. Prosedur minimisasi ini mirip dengan prosedur yang diturunkan oleh Coene dan Doray (1996). 3.6 Tahapan untuk Menemukan Premi Sistem Bonus Malus Praktis Tahap-tahap dalam penentuan sistem bonus malus praktis adalah sebagai berikut. Tahap pertama - Pilih banyak kelas dari sistem bonus malus praktis dan aturan transisi. - Gunakan sebaran frekuensi klaim aktual sebagai taksiran awal untuk sebaran frekuensi klaim yang diamati di masa depan. Tahap kedua - Gunakan sebaran frekuensi klaim yang diamati di masa depan sebagai sebaran Poisson Campuran Nonparametrik untuk menemukan sebaran frekuensi klaim yang diamati dalam bentuk sebaran Hofmann dengan pemasangan tiga momen pertama. - Dari sebaran Hofmann diperoleh tabel bonus malus optimal. - Dari tabel bonus malus optimal diperoleh tingkat premi dari sistem bonus malus praktis. Sampai tahap ini telah ditemukan premi sistem bonus malus praktis. Berikut ini adalah sebuah program minimisasi untuk menentukan premi sistem bonus malus praktis MMMMMM ww(kk, tt, ii)[pp (kk,tt) CC ii ] 2 kk=0 tt=1 ii=0 kendala: CC ii adalah bilangan bulat, CC 4 = 100, CC ii+1 CC ii 0, 8 ee (ii)cc ii 100, ii=0 8 ee 0 (ii)cc ii 100, ii=0 8 ee 2 (ii, ee 0 )CC ii 100, ii=0 8 ee 4 (ii, ee 0 )CC ii 100, ii=0 dimana ee 0 = {0.5729, , , , , 0.044, , , }. Komponen ke-ii dari sebaran stasioner pengendara dalam sistem bonus malus dilambangkan dengan ee (ii), komponen ke-ii dari sebaran transien pengendara pada waktu tt dilambangkan dengan ee tt (ii, ee 0 ) dan sebaran awal ee 0 diberikan dalam sistem bonus malus. Misalkan λλ jj adalah parameter Poisson dari pemegang polis ke-jj untuk peubah acak yang merepresentasikan banyak klaim yang sebenarnya. Sebaran frekuensi klaim aktual yang digunakan adalah λλ 1 = , λλ 2 = , λλ 3 = , pp 1 = , pp 2 = , pp 3 = Nilai parameter sebaran Hofmann yang diperoleh dengan pemasangan tiga momen pertama adalah pp = 0.223, cc = , aa = Sebaran Hormann ini digunakan dalam persamaan (3.1) untuk memperoleh premi pada tabel bonus malus optimal. Tabel 5. Premi sistem bonus malus optimal tt/kk Lampiran 7 menjelaskan penghitungan Tabel 5 tersebut. Karena terdapat tiga jenis pengendara maka tabel bonus malus praktis yang diperoleh dengan memecahkan prosedur minimisasi tersebut ada sebanyak tiga buah. Tabel 6. Sistem bonus malus praktis untuk λλ 1 = ss CC ss ss CC ss