BAB 3. Analisis Jaringan

Transkripsi

1 nalisis Jaringan Jaringan lahir karena berbagai keperluan seperti: transportasi, listrik, komunikasi, perencanaan proyek, aliran air, pembuatan jalan, dan lain-lain. Saat ini jaringan sangat penting, sebab dengan jaringan maka masalah yang besar dan rumit dapat disederhanakan. da beberapa jaringan yang dapat diselesaikan dengan permasalahan program linear. Pada kajian di sini akan dibahas empat masalah jaringan, yaitu: permasalahan lintasan terpendek, masalah diagram pohon terpendek, masalah aliran maksimum, dan penyelesaian proyek dengan Program valuation and Review echnique (PR), dan ritical-path Method (PM). Untuk lebih jelasnya kita bahas sebuah contoh sebagai prototype permasalahan: Gambar. Jarak antar tempat peristirahatan (dalam kilometer) Sebuah lokasi sebut saja aman Sari akan dijadikan sebagai taman wisata yang sejuk, nyaman, dan lingkungan yang terlindungi termasuk satwa di dalamnya. Pada node (bertanda huruf,,,,,, ) dibuat tempat peristirahatan. Jarak antar tempat peristirahatan seperti terlihat pada gambar di atas (dalam kilometer) lihat gambar.. Untuk melindungi satwa dan kesejukan aman Sari tersebut semua mobil pribadi, termasuk angkutan umum dilarang masuk. Sistem transportasi yang akan dibuat adalah kereta listrik, banyaknya kereta yang lewat setiap jalur dibatasi. anyaknya kereta yang lewat maksimum setiap harinya terlihat pada Gambar., Ini diperlukan untuk menjaga ketenangan taman. Pintu masuk adalah node, dan pintu keluarnya node. Kembalinya kereta dari ke melalui jalur luar taman. Selanjutnya untuk kebutuhan air, akan dibuat jaringan pipa air dari ke masingmasing tempat peristirahatan

2 wijanto, Riset perasi halaman Gambar. Maksimum banyaknya kereta yang boleh lewat setiap harinya Permasalahan yang muncul ada tiga yaitu:. Lewat jalur mana dari menuju ke sehingga diperoleh jarak terpendek, berapa jaraknya.. uatlah jaringan air yang menghubungkan semua tempat peristirahatan agar panjang pipa yang digunakan minimum.. uatlah jalur kereta, agar banyaknya lintasan maksimum. Masalah yang pertama disebut sebagai masalah lintasan terpendek, masalah kedua disebut masalah diagram pohon terpendek, dan masalah ke tiga disebut masalah aliran maksimum.. Masalah Lintasan erpendek Masalah lintasan terpendek adalah masalah yang menyangkut node, panjang jalur, arah lintasan. alam lintasan ini perlu diperhatikan khusus yaitu node supply (node awal) dan node demand (node akhir). alam hal masalah di atas, node supply adalah node, dan node demand adalah node. Untuk menyelesaikan masalah lintasan terpendek ada algoritma yang bisa dipakai yaitu: lgoritma masalah lintasan terpendek a. ujuan pada iterasi ke-n: entukan node terdekat dari titik awal (node awal). b. Input pada iterasi ke-n: node terdekat ke n- ke node awal, termasuk di dalamnya lintasan terpendek dan jarak dari node awal. (node-node ini ditambah dengan node awal disebut node terselesaikan, yang lain node belum terselesaikan). c. Kandidat untuk node terdekat ke-n: Setiap node terselesaikan yang langsung berhubungan dengan satu atau lebih node belum terselesaikan sebagai kandidat-node belum terselesaikan yang mempunyai hubungan terpendek. d. Perhitungan node terdekat ke-n: Untuk setiap node terselesaikan dan node kandidat, ditambah dengan jarak diantaranya. Kandidat yang mempunyai total jarak terpendek ke-n. Untuk masalah lintasan terpendek pada aman Sari di atas adalah sebagai berikut: Node awal adalah node dan node akhir adalah node. Perhitungan lintasan dapat dilihat pada abel. berikut:

3 wijanto, Riset perasi halaman abel. Penerapan lgoritma lintasan terpendek pada aman sari n Node terselesaikan ersambung langsung dengan Node belum terselesaikan Sambungan terpendek node belum terselesai-kan otal jarak Node terdekat ke-n Jarak Minimum Sambung-an terakhir, + = + = 9 + = + = 8 + = 9 + = = = + = Jarak minimum dari node ke node adalah kilometer dengan jalur atau Penyelesaian Masalah Lintasan erpendek dengan Solver Lintasan terpendek dapat dipandang sebagai transportasi dimana titik awal hanya keluar satu kali dan titik tujuan hanya masuk satu kali. itik-titik yang hanya mungkin dilalui, jadi jika dilalui maka satu masuk dan satu keluar. Pada kasus diatas, selain titik dan titik merupakan titik asal sekaligus titik tujuan sehingga pada abel transportasi dapat dibuat sebagai berikut: M M M M M M M M M M M M M M M M M M

4 wijanto, Riset perasi halaman ari titik mempunyai jalur yaitu,, dan berturut-tutut dengan jarak,, dan, sedangkan ke titik,, dan tidak ada jalurnya, maka masing-masing kita beri nilai takhingga, dalam hal ini kita beri kode M. ari titik hanya mempunyai jalur ke titik dan dengan jarak berturut-turut dan dan dari ke tidak mempunyaijarak jadi diisi dengan, sedangkan dari titik ke titik yang lain tidak ada jaringannnya, jadi kita isi dengan M. Proses dari itik-titik,, dan identik. ari proses ini diperoleh abel di atas. Untuk mengolah data dengan Solver maka nilai M di atas kita ganti dengan bilangan yang cukup besar maksudnya supaya dalam perhitungan tidak dipilih oleh program misalnya diisi dengan nilai, sehingga diperoleh tabel berikut: Selanjutnya dari tabel ini dilengkapi dengan tabel jalur yang akan dilalui sehingga diperoleh tabel berikut: abel Jarak abel Jalur Jumlah Jumlah otal Jarak =

5 wijanto, Riset perasi halaman Rumusan pada jumlah adalah adalah jumlah mendatar atau jumlah tegak dengan formula SUM, sedangkan otal jarak dengan formula SUMPRU(abel jarak;tabel lintasan). engan menjalankan Solver dan mengisi form solver berikut: Selanjutnya kalau dipilih Solve, maka akan diperoleh hasil berikut: abel Jalur Jumlah Jumlah otal Jarak = ari hasil ini dapat disimpulkan bahwa jarak terpendek adalah dengan lintasan. ara lain yang bisa dilakukan adalah dengan membuat tabel berikut:

6 wijanto, Riset perasi halaman engan rumusan (Formula) di xcel sebagai berikut:

7 wijanto, Riset perasi halaman Setelah solver dijalankan dengan mengisi Form solver Maka diperoleh hasil sebagai berikut: Hasil ini menunjukkan bahwa otal jarak yang ditempuh adalah dengan Lintasan: (Perhatikan kolom n Route dan kolom FRM dan pada tabel di atas).. Masalah iagram Pohon erpendek Masalah kedua pada masalah jaringan di atas yaitu menentukan jaringan pipa air terpendek. Masalah ini termasuk dalam masalah diagram pohon terpendek. Untuk

8 wijanto, Riset perasi halaman 6 menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma untuk masalah diagram pohon terpendek sebagai berikut: a. Pilih sebarang node, dan hubungkan node tersebut dengan node berbeda yang terdekat. b. Kenali node taktersambung yaitu yang disambungkan dengan node terdekat, dan hubungkan kedua node tersebut. Ulangi sampai semua node tersambung. Untuk permasalahan jaringan pipa air tersebut kita perhatikan langkah-langkah berikut: Misalkan kita memulai dengan node, maka node terdekat adalah, hubungkan, maka diperoleh diagram berikut: Node terdekat dengan adalah, kemudian sambungkan titik ke, maka diperoleh diagram berikut:

9 wijanto, Riset perasi halaman Selanjutnya berturut-turut node ke node, node ke node, node ke node, dan node ke node, sehingga diperoleh jaringan lengkap sebagai berikut: Jumlah panjang pipa air bersih yang diperlukan adalah = km.. Masalah liran Maksimum 9 6 iagram kapasitas maksimum dari transportasi kereta dari node awal ke node akhir Untuk membahas aliran maksimum, ada beberapa terminology yang harus kita pahami terlebih dahulu. Perhatikan arah dan sambungan jaringan. rah jaringan dari node awal dan node akhir. iberikan kapasitas lintasan dan kita bertujuan memaksimumkan total lintasan dari node ke node. Kita menggunakan algoritma yang disebut residual network dan augmenting path. ari jaringan asli, residual network menunjukkan kapasitas sisa yaitu setelah adanya aliran. Sebagai contoh, kapasitas jalur dari ke adalah. ilamana ada aliran dari node ke node sebanyak, maka residual network adalah sebagai berikut:

10 wijanto, Riset perasi halaman 8 ugmenting path adalah arah lintasan dari node awal ke node akhir pada residual network sedemikian hingga setiap jalur mempunyai kapasitas sisa positif. lgoritma masalah aliran maksimum adalah sebagai berikut: a. Identifikasi (kenali) augmenting path yang mempunyai kapasitas sisa positif. b. Sebut kapasitas sisa c* dari augmenting path, yaitu minimum dari kapasitas setiap jalur (arc) yang dilalui. c. Kurangkan dengan c* pada setiap awal jalur kapasitas sisa, dan tambahkan c* pada arah yang berlawanan. Selanjutnya kembali ke langkah a. Selanjutnya marilah kita bahas masalah aliran maksimum pada aman Sari dengan algoritma ini: Iterasi. ugmenting path adalah min {,,9} =. engan lintasan ini maka diperoleh residual network 6 6 Iterasi. ugmenting path adalah min {,,6} =. engan lintasan ini maka diperoleh residual network 6 Iterasi. ugmenting path adalah min {,,6} =. engan lintasan ini maka diperoleh residual network

11 wijanto, Riset perasi halaman Iterasi. ugmenting path adalah min {,,,} =. engan lintasan ini maka diperoleh residual network Iterasi. ugmenting path adalah min {,,} =. engan lintasan ini maka diperoleh residual network ari gambar jaringan yang terakhir ini terlihat bahwa, sudah tidak ada augmenting path yang positif lagi, sehingga aliran telah mencapai optimal yaitu sebanyak perjalanan dari node awal ke node akhir dengan lintasan: sebanyak buah; sebanyak buah; sebanyak buah; sebanyak buah; dan sebanyak buah.

12 wijanto, Riset perasi halaman 6 9 Penyelesaian Masalah liran Maksimum dengan Solver Masalah liran Maksimum dapat diselesaikan dengan Solver. Pada kasus seperti di atas, maka rumusan pada xcel adalah sebagai berikut: engan rumusan sebagai berikut:

13 wijanto, Riset perasi halaman Kemudian dengan menjalankan solver dan mengisi Form Solver Maka akan diperoleh hasil pada tabel halaman denga kesimpulan sebagai berikut: otal liran maksimum adalah, dengan aliran sebagai berikut: Masuk melalui sebanyak dengan arah =, =, dan =. Melalui titik sebanyak menuju titik, melalui titik sebanyak menuju titik sebanyak dan menuju titik sebanyak, selanjutnya melalui titik sebanyak menuju titik semua. ari titik sebanyak menuju titik sebanyak dan menuju titik sebanyak 6, dan dari titik sebanyak 8 semua menuju titik.

14 wijanto, Riset perasi halaman

15 wijanto, Riset perasi halaman. Menyelesaikan proyek dengan PR dan PM a. PR dengan Waktu epat Keberhasilan pengelolaan proyek skala besar adalah kehati-hatian dalam perencanaan, penjadwalan, dan koordinasi antar kegiatan (aktivitas) yang terkait. Prosedur yang cukup terkenal adalah prosedur Program valuation and Review echnique (PR) dan ritical- Path Method (PM). Sistem PR dirancang untuk membantu di dalam perencanaan dan kontrol, sehingga tidak dibuat secara langsung untuk mengoptimalkan. Namun demikian dapat digunakan untuk menentukan dead line suatu pekerjaan. Sistem PR menggunakan jaringan proyek (project network) untuk melukiskan secara grafik hubungan antar unsur dalam suatu proyek. erminologi yang digunakan dalam PR ini mirip dengan sistem jaringan sebelumnya, dimana garis/lintasan (arc) menggambarkan aktivitas, node menggambarkan peristiwa (event), dan anak panah menggambarkan arah jalannya aktivitas. abel. ktivitas Pembuatan Rumah No ktivitas Lama (hari) Prasyarat Persiapan / perataan tanah - Fondasi No. inding kasar (pemasangan batu bata/batako) No. Pemasangan atap 6 No. Pemasangan pipa ledeng bagian luar rumah 6 Pemasangan pipa ledeng bagian dalam rumah No. No. Pemasangan Jaringan listrik No. 8 Pemasangan dinding papan 8 No 6, dan No. 9 Pemasangan keramik lantai No 8. Pengecatan bagian dalam rumah No 8. Pemasangan papan bagian luar rumah No. Pengecatan bagian luar rumah 9 No, dan No. Pengaturan Interior rumah 6 No 9, dan No. Pengaturan eksterior rumah No. SLSI ontoh: alam membuat sebuah rumah sederhana, ada beberapa kegiatan / aktivitas yang menyangkut pekerjaan pembuatan rumah. Pekerjaan ini ada yang menuntut secara urut ada pula yang dapat dilaksanakan secara bersamaan. ktivitas-aktivitas itu terlihat pada abel. di atas.

16 wijanto, Riset perasi halaman erapa lama pembuatan rumah tersebut, bilamana lama aktivitas-aktivitas tersebut di atas bersifat tepat (fix). Pada kajian ini perlu diperkenalkan lagi dua istilah yaitu waktu paling cepat dan waktu paling lambat. Waktu paling cepat adalah waktu (dari awal) paling cepat (earliest time) yang dibutuhkan untuk berakhirnya aktivitas dan atau akan dimulainya aktivitas selanjutnya. Waktu paling lambat adalah waktu (dari awal) paling lambat (latest time) yang dibutuhkan untuk berakhirnya aktivitas dan atau akan dimulainya aktivitas selanjutnya. Pada setiap node terdapat pasangan waktu, yaitu pasangan waktu paling cepat, dan waktu paling lambat. Untuk memudahkan dalam pembacaan diagram, Sebuah peristiwa (event) dilambangkan dengan huruf kapital (,,, ), sebuah aktivitas dengan nomor aktivitas (No, No, ), lama aktivitas ditulis dalam tanda kurung sesudah aktivitas dalam bentuk bilangannya saja (,, ). Pembuatan rumah sederhana tersebut diatas dapat digambarkan seperti iagram berikut: (, ) No. () (, ) No. () (6, 6) No. () (6, 6) No. (6) No. () K (, 6) No. () F (, ) No 6. () ummy No. () L (9, ) G (, ) No. (9) H No 8. (8) (, ) M (8, ) No 9. () No. () No. () I (, 8) ummy J (8, 8) No. (6) N (, ) iagram pembuatan rumah sederhana.

17 wijanto, Riset perasi halaman ari diagram diatas, terlihat bahwa lama pembuatan rumah adalah hari. ktivitas kritis terjadi bilamana waktu paling cepat sama dengan waktu paling lambat, artinya adalah apabila sebuah aktivitas telah selesai, maka aktivitas selanjutnya harus segera dilaksanakan dan tidak boleh ditunda, sedangkan apabila waktu paling cepat tidak sama dengan waktu paling lambat, maka bilamana sebuah aktivitas selesai, maka aktivitas selanjutnya bisa ditunda sejauh perbedaan antara kedua waktu tersebut. Perbedaan waktu paling cepat dan waktu paling lambat disebut waktu slack. Sebuah aktivitas digambarkan dengan garis putusputus artinya aktivitas dummy yaitu tidak ada aktivitas, namun perlu digambarkan karena akan menggambarkan prasyarat suatu aktivitas yang lain, sebagai contoh aktivitas No dapat dilakukan setelah aktivitas no 9 dan aktivitas No. emikian pula aktivitas No dapat dilakukan setelah aktivitas No dan aktivitas no selesai. Penyelesaian Penjadwalan Proyek dengan antuan Program Microsoft Project Penjadwalan Proyek dapat dilakukan dengan program komputer. Program yang sering dipakai dalam perencanaan proyek adalah program Microsoft Project. Program ini mudal dipakai dan banyak memberikan gambaran pelaksanaan proyek sekaligus memberikan jadwal pelaksanaan setiap kegiatan. Untuk kasus pembuatan rumah seperti diatas, Misalkan kita mulai mengerjakan pembuatan rumah adalah Fepruari, maka kita memberikan masukan sebagai berikut: engan mengisikan ask Name, uration dan Predecessors, maka Start dan Finish akan secara otomatis terisi. Sedangkan Gantt hart sebagai berikut:

18 wijanto, Riset perasi halaman 6 b. PR dengan pendekatan tiga-waktu Sampai sejauh ini, kita menganggap bahwa perkiraan/perhitungan waktu adalah tepat, namun demikian kenyataan di lapangan tidaklah demikian. da kalanya waktunya lebih panjang dari perkiraan tetapi ada kalanya waktunya lebih cepat selesainya sebuah aktivitas. Untuk keperluan ini ada tiga macam waktu yang sering digunakan untuk memperkirakan penyelesaian sebuah aktivitas, yaitu: perkiraan tercepat (optimistic estimate) dinotasikan dengan a, perkiraan terlambat (pessimistic estimate) dinotasikan dengan b, dan perkiraan yang kebanyakan terjadi (most likely estimate) yang dinotasikan dengan m. Model hubungan antara a, b, dan m biasanya berdistribusi beta dimana a ujung kiri, b di ujung kanan dan m modusnya. Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikut: istribusi beta a m b Model probabilitas suatu aktivitas dapat diselesaikan. Selanjutnya di dalam Program valuation and Review echnique (PR), untuk menyelesaikan proyek ada beberapa asumsi tentang estimasi (perkiraan waktu). sumsi. Penyebaran antara a (optimistic estimate) dan b ( pessimistic estimate) adalah enam simpangan baku, sehingga diperoleh hubungan 6 σ = b a. kibatnya varian dari aktivitas adalah σ = ( b a) 6 sumsi.

19 wijanto, Riset perasi halaman istribusi probabilitas setiap aktivitas adalah (sekurang-kurangnya mendekati) distribusi beta. erdasarkan ke dua asumsi diatas, estimasi waktu ( t e ) dapat didekati dengan t e = m + ( a + b) Perhatikan bahwa ( a + b) adalah titik tengah antara a dan b. Selanjutnya kita memisalkan ketiga waktu untuk proyek pembuatan rumah sederhana diatas seperti abel. berikut: abel. Perkiraan waktu penyelesaian suatu aktivitas ktivitas No ptimistic estimate (a) Most likely estimate (m) Pessimistic estimate (b) xpected estimate t e Variance (,) /9 (,). 8 (,) (,K). 6 (,F). /9 6 (F,G) (,G). 9 8 (G,H) (H,I) (H,J). (K,L) 6. (L,M) 8 9 (J,N). 9 6 /9 (M,N) /9 Perhatikan bahwa dari diagram di atas, lintasan F G H J N adalah lintasan kritis. sumsi Waktu aktivitas adalah bebas secara statistik dan merupakan peubah acak. sumsi Lintasan kritis selalu mempunyai total waktu lebih panjang dari pada lintasan yang lain. ari asumsi, asumsi, dan dari keterangan wantu di atas, maka didapat lintasan kritis seperti tabel berikut: σ

20 wijanto, Riset perasi halaman 8 abel Lintasan Kritis ktivitas pada lintasan kritis xpected value t e Variance σ (,) /9 (,) (,) (,F) /9 6 (F,G) 8 (G,H) 8 (H,J) (J,N) 6 /9 Jumlah 9 ari tabel lintasan kritis diatas, diperoleh: xpected project time = hari Variance of project time = 9. sumsi istribusi probabilitas project time adalah distribusi normal. Jadi Penyelesaian rumah sederhana di atas selama hari dengan simpangan baku =. Latihan uatlah lintasan kritis dari perjalanan pesawat dari Jakarta ke Jayapura. Jakarta Pontianak Surabaya alikpapan 6 Makasar Manado Jayapura