Berkenalan dengan Geometri Fraktal

Transkripsi

1 Berkenalan dengan Geometri Fraktal Marwan Lecture Series, 21 Juli 2020

2 Outline Sekelumit cerita awal.. Konstruksi Ruang Fraktal Titik tetap pemetaan kontraktif Sistem Fungsi Iterasi Dimensi Fraktal

3 Sekelumit cerita awal.. Pandanglah barisan-barisan berikut: 1, 1 2, 1 4, 1 8, , (1 + x 1! ), (1 + x 1! + x2 2! ), (1 + x 1! + x2 2! + x3 3! ),... ex,,,,... Hidup di ruang manakah makhluk-makhluk dalam barisan-barisan itu? Ingatkah kisah tentang Cantor Set di kuliah analisis? Sebuah himpunan yang punya sifat interval (uncountble) tetapi panjangnya nol.

4 Sekelumit cerita awal.. Jarak vs metrik Jarak titik 1 ke titik 1 adalah = 1 2 Jarak titik x ke titik y adalah x y Metrik (abstraksi jarak) di R 2 adalah pemetaan d : R 2 R 2 R, memenuhi M1. d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y M2. d(x, y) = d(y, x) M3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Ruang R 2 bersama jarak d, disimbolkan (R 2, d) adalah contoh ruang metrik. ½ R 0 ½ 1 0 R 2 x r 2 2 ( ) ( ) x - y = x - y + x - y = r mendefinisikan lingkaran y

5 Lingkaran dalam berbagai ruang metrik Sekelumit cerita awal.. Beberapa metrik dan akibatnya L 1 L 2 L 3 L 1 adalah lingkaran di ruang metrik (R 2, d 1 ), d 1 (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 L 2 adalah lingkaran di ruang metrik (R 2, d 2 ), d 2 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 L 3 adalah lingkaran di ruang metrik (R 2, d 3 ), d 3 (x, y) = maks { x 1 y 1, x 2 y 2 }

6 Konstruksi Ruang Fraktal Jarak Hausdorff Misalkan diberikan ruang metriks (X, d), A, B X, A dan B masing2 kompak (compact set) d ( x, B) = min{ d ( x, y) y Î B} d ( A, B) = maks{ d ( x, B) x Î A} (, ) ¹ d ( B, A) d A B x y 1 y2 y 3 x 1 A B x x 2 3 Didefinisikan himpunan Jarak Hausdorff A H(X) = {A A, A X, A kompak} h d (A, B) = maks{d(a, B), d(b, A)} B A B

7 Konstruksi Ruang Fraktal Ruang Fraktal Sifat: h d adalah suatu metrik pada H(X). Diperoleh suatu ruang metrik (H(X), h d ). Teorema: Ruang metrik (H(X), h d ) adalah suatu ruang metrik lengkap. Ruang metrik lengkap (H(X), h d ) dikenal sebagai Ruang Fraktal....lebih jauh, rujuklah misalnya: Barnsley, M.F.(1993), Fractals Everywhere, 2nd. ed., Academic Press.

8 Titik tetap pemetaan kontraktif Agarwal, et al., 2018, Fixed Point Theory in Metric Space, Springer x di dalam teorema di atas dalam ruang fraktal dikenal sebagai atraktor. Cantor Set, Sierpinski Triangle, Julia Set, dll. adalah contoh-contoh atraktor. Atraktor fraktal berdimensi tak bulat.

9 Sistem Fungsi Iterasi Sistem Fungsi Iterasi (SFI) adalah sistem yang terdiri atas suatu Ruang Metrik Lengkap (X, d) dan pemetaan kontraksi w n : X X dengan faktor kontraktivitas s n, n = 1, 2,..., N dinotasikan dengan {X; w n, n = 1, 2,..., N} Faktor kontraktivitas sistem adalah s = maks {s 1, s 2,..., s N }.

10 Sistem Fungsi Iterasi Contoh SFI yang menghasilkan Sierpinski triangle X = H(R 2 ) [ ] [ ] [ x x w 1 = y y [ ] [ ] [ x x w 2 = y y [ ] [ ] [ x x w 3 = y y W = w 1 w2 w3 ] + ] + ] + [ ] 0 0 [ ] [ ] 0 0.5

11 Sistem Fungsi Iterasi SFI juga dapat menghasilkan fungsi interpolasi fraktal

12 Dimensi Fraktal Dimensi Fraktal berkaitan dengan dimensi suatu obyek (himpunan kompak): penggal garis, keping bidang, Cantor set, Sierpinski triangle, sebongkah awan(?) Kita telah mengenal nilai dimensi beberapa himpunan: Dimensi titik = 0 Dimensi garis = 1 Dimensi Topologi Himpunan A berdimensi n, jika untuk membuat A tidak terhubung dibutuhkan himpunan berdimensi n 1.

13 Dimensi Fraktal Dimensi Fraktal Dimensi kesebangunan diri (self similarity) Jika himpunan A dapat dapat dibagi menjadi N bagian sebangun yang masing-masing dapat digandakan dengan k untuk mendapatkan A kembali, maka: dim(a) = ln(n ) ln(k) A N= 3 k = 2 dim(a)= ln(3) ln(2)

14 Dimensi Fraktal Dimensi Hitung-Kotak (box-counting) Misalkan A H(R 2 ). N δ (A) adalah jumlah minimal kotak bersisi δ yang dapat menyelimuti A. Jika D = lim δ 0 ln(n δ (A)) ln(δ) n ln 3 ln 3 dim(a)= lim = n æ 1 ö ln 2 -ln ç 2 n è ø A ( ) d N n 3n maka dim(a) = D. ½ 1/4

15