PEMODELAN BIOHEAT TRANSFER PADA JARINGAN MANUSIA BERBASIS FINITE ELEMENT METHOD FEBRI DWI IRAWATI

Transkripsi

1 PMODA BIOHA RASFR PADA JARIGA MAUSIA BRBASIS FII M MHOD FBRI DWI IRAWAI SKOAH PASCASARJAA ISIU PRAIA BOGOR BOGOR 7

2

3 PRYAAA MGAI SIS DA SUMBR IFORMASI SRA PIMPAHA HAK CIPA Dengan n saya menyatakan ahwa dsertas erudul Pemodelan Boheat ransfer pada Jarngan Manusa Berass Fnte lement Method adalah enar karya saya dengan arahan dar koms pemmng dan elum daukan dalam entuk apa pun kepada perguruan tngg mana pun. Sumer nformas yang erasal atau dkutp dar karya yang dtertkan maupun tdak dtertkan dar penuls lan telah dseutkan dalam teks dan dcantumkan dalam Daftar Pustaka d agan akhr tess n. Dengan n saya melmpahkan hak cpta dar karya tuls saya kepada Insttut Pertanan Bogor. Bogor, Agustus 7 Fer Dw Irawat G7553

4 RIGKASA FBRI DWI IRAWAI. Pemodelan Boheat ransfer pada Jarngan Manusa Berass Fnte lement Method. Dmng oleh AGUS KAROO dan R. OY SUMARYADA W.P. Boheat transfer adalah perstwa perpndahan panas dan massa dalam tuuh manusa yang ergantung pada sstem organ, alran darah dan respon termal arngan tuuh dar stmulus eksternal. Stud pemodelan oheat transfer sangat ermanfaat pada dang pengoatan erass termal untuk mempredkskan dstrus temperatur d arngan tuuh, karena data temperatur secara ekspermen tdak anyak terseda. Peneltan pemodelan matematka tentang nteraks termal antara pemuluh darah dan arngan telah menad topk peneltan yang menark. Dalam eerapa dekade terakhr, persamaan oheat Pennes telah dgunakan untuk model terap kanker magnetc flud hperterma (MFH). uuan peneltan n adalah memuat model dan smulas oheat transfer pada arngan kepala manusa yang terdapat tumor otak serta melhat dstrus temperatur tap lapsan arngan kepala akat respon termal dar MFH. Persamaan oheat transfer duat dengan memodfkas persamaan Pennes dengan menamahkan parameter fsolog d setap lapsan arngan kepala. Solus numerk dar persamaan dan smulas dstrus temperatur tap lapsan arngan kepala menggunakan fnte element method. Model yang duat akan dvaldas dengan data ekspermen Salloum dan dandngkan dengan solus analtk Zhong-Shan Deng. Hasl peneltan menunukkan ahwa pemodelan oheat transfer pada arngan manusa dengan menggunakan fnte elemen telah erhasl dlakukan. Model n dapat dgunakan untuk melhat dstrus temperatur arngan dengan terap tumor magnetc flud hperterma (MFH). Valdas model dengan hasl analtk dan ekspermen telah dlakukan dan dperoleh persentase error yang kecl yatu kurang dar 5%. Hal terseut menunukkan ahwa model yang duat dapat dgunakan untuk menghtung dstrus temperatur pada eraga konds atas yang lan dan eerapa lapsan arngan telah dgunakan dalam model n. Hasl smulas memperoleh nla perfus darah seesar 5. Kuat medan magnet yang dgunakan 6.5 ka dan frekuens 5kHz dalam MFH dapat memanaskan arngan tumor tanpa mempengaruh arngan yang sehat. Pada keadaan transent MFH dapat memanasakan arngan yang erukuran 4 cm selama 3 detk tanpa merusak arngan yang sehat. Perlakuan MFH pada arngan kepala menyeakan kenakan temperatur pada arngan tumor dan tdak mempengaruh arngan yang sehat. Kata kunc: oheat transfer, dstrus temperatur, fnte elemen, arngan kepala, MFH

5 SUMMARY FBRI DWI IRAWAI. Modelng Boheat ransfer n Human ssue Based on Fnte lement Method. Supervsed y AGUS KAROO and R. OY SUMARYADA W.P. Boheat transfer s an event of heat transfer and mass n the human ody that depends on the organ system, lood flow and thermal response of ody tssues from eternal stmulus. he study of oheat transfer modelng s partcularly useful n the feld of thermal-ased treatment to predct the dstruton of temperature n ody tssues, snce epermental temperature data are not wdely avalale. Mathematcal modelng research on thermal nteractons etween lood vessels and tssues has ecome an nterestng research topc. In the last few decades, the Pennne oheat equaton has een used to model the cancer therapy of magnetc flud hypertherma (MFH). he purpose of ths research made the model and smulaton of oheat transfer on human head tssue contaned ran tumor and oserved temperature dstruton of each layer of head tssue due to thermal response from MFH. he oheat transfer equaton s made y modfyng the Pennes equaton y addng physologcal parameters n each layer of the head tssue. he numercal soluton of the equatons and smulaton of the temperature dstruton of each layer head tssue usng the fnte element method. he model created wll e valdated wth Salloum epermental data and compared wth the Zhong-Shan Deng analytcal soluton. he results showed that oheat transfer modelng on human tssue usng fnte element has een successfully performed. hs model can e used to vew the dstruton of tssue temperature wth the treatment of magnetc flud hypertherma (MFH) tumors. Model valdaton wth analytcal and epermental results has een done and otaned a small percentage error that s less than 5%. It shows that the model made can e used to calculate temperature dstruton at dfferent oundary condtons and some layers tssue have een used n ths model. he smulaton result otaned a value of lood perfuson 5 he magntude of the magnetc feld used 6.5 ka and the 5kHz frequency n MFH can heat the tumor tssue wthout affectng healthy tssue. In a transent state MFH can sense a 4 cm network for 3 seconds wthout damagng healthy tssue. MFH treatment of the head tssue causes a rse n temperature n the tumor tssue and does not affect healthy tssue. Keywords: oheat transfer, temperature dstruton, fnte element, head tssue, MFH

6 Hak Cpta Mlk IPB, ahun 7 Hak Cpta Dlndung Undang-Undang Dlarang mengutp seagan atau seluruh karya tuls n tanpa mencantumkan atau menyeutkan sumernya. Pengutpan hanya untuk kepentngan penddkan, peneltan, penulsan karya lmah, penyusunan laporan, penulsan krtk, atau tnauan suatu masalah; dan pengutpan terseut tdak merugkan kepentngan IPB Dlarang mengumumkan dan memperanyak seagan atau seluruh karya tuls n dalam entuk apa pun tanpa zn IPB

7 PMODA BIOHA RASFR PADA JARIGA MAUSIA BRBASIS FII M MHOD FBRI DWI IRAWAI ess seaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magster Sans pada Program Stud Bofska SKOAH PASCASARJAA ISIU PRAIA BOGOR BOGOR 7

8 Pengu luar koms pada Uan ess: Dr Ir Sr urdat, MSc

9

10 PRAKAA Pu dan syukur penuls panatkan kepada Allah suhanahu wa ta ala atas segala karuna-ya sehngga karya lmah n erhasl dselesakan. ema yang dplh dalam peneltan yang dlaksanakan seak ulan Jul 6 alah pemodelan oheat transfer, dengan udul Pemodelan Boheat ransfer pada Jarngan Manusa Berass Fnte lement Method. Ucapkan terma kash dan penghargaan yang tngg penuls sampakan kepada Bapak Dr Agus Kartono dan Bapak Dr ony Sumaryada selaku koms pemmng yang telah anyak memerkan motvas, krtk dan saranya selama penyusunan tess n. erma kash pada Iu Dekan FMIPA Dr Ir Sr urdat, MSc yang erseda mengu penuls pada saat sdang dan memerkan krtk dan saran yang sangat erharga. Ungkapan terma kash dsampakan kepada Iu Dr Mers Kurnat, MS seaga kepala program stud Bofska IPB serta dosen pengaar dan staff d Departemen Fska FMIPA IPB atas pelayanan yang derkan selama masa perkulahan hngga penyelesaan tess. Ungkapan terma kash dan penghargaan yang setngg-tnggnya penuls persemahkan kepada orang tua, kakak, adk, serta teman dan sahaat seperuangan Bofska angkatan 5 dan semua phak yang telah anyak memantu. Doa yang tulus penuls panatkan semoga Allah SW memalas amal ak yang telah derkan dengan penuh keerkahan. Semoga karya lmah tess n sa menad ermanfaat dan erkontrus postf dalam perkemangan lmu pengetahuan dan teknolog. Bogor, Agustus 7 Fer Dw Irawat G7553

11 DAFAR ISI DAFAR AB DAFAR GAMBAR DAFAR AMPIRA PDAHUUA atar Belakang Perumusan Masalah uuan Peneltan Manfaat Peneltan Ruang ngkup Peneltan 3 MOD 3 Waktu dan empat Peneltan 3 Bahan dan Alat 3 Prosedur Peneltan 3 3 HASI DA PMBAHASA 7 Valdas Model 7 MFH dengan Sumer Kalor Polnomal Keadaan Steady State 9 MFH dengan Sumer Kalor Polnomal Keadaan ransent 3 Jarngan Kepala dengan Perlakuan MFH 5 4 SIMPUA DA SARA 6 Smpulan 6 Saran 6 5 DAFAR PUSAKA 6 AMPIRA 8 RIWAYA HIDUP 7 v v v

12 DAFAR AB Parameter persamaan oheat transfer Pennes (Pennes,9) 4 la parameter heat generaton untuk enam kasus 9 DAFAR GAMBAR Dskrtsas elemen hngga atau doman satu dmens untuk masalah model 6 Valdas hasl smulas dengan hasl analtk 8 3 Valdas hasl smulas dengan hasl ekspermen 8 4 Pola heat generaton untuk ke enam kasus 9 5 Pengoptmalan dstrus temperatur dengan memvaraskan nla perfus darah 6 Profl dstrus temperatur satu layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk 7 Profl dstrus temperatur dua layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk 8 Profl dstrus temperatur satu layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk untuk keadaan transen 3 9 Profl dstrus temperatur dua layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk untuk keadaan transen 4 Profl dstrus temperatur pada arngan kepala yang terdapat tumor dengan perlakuan MFH 5 DAFAR AMPIRA Penurunan persamaan oheat transfer menggunakan fnte element 9 Program Fnte lemen untuk satu layer 3 Program Fnte lemen untuk dua layer 4

13 PDAHUUA atar Belakang Boheat transfer adalah perstwa perpndahan panas dan massa dalam tuuh manusa yang ergantung pada sstem organ, alran darah dan respon termal arngan tuuh dar stmulus eksternal (Pennes, 968). Stmulus eksternal yang menmulkan respon termal dalam terap kanker dseut termal terap (Sheu,). Sumer termal pada terap termal erupa gelomang elektromagnetk (Haash, 6). Pengaruh alran darah pada perpndahan panas dalam arngan hdup telah dtelt selama leh dar satu aad, salah satu peneltan secara ekspermen telah dlakukan oleh Bernard (Bernard,876). Stud pemodelan oheat transfer sangat ermanfaat pada dang pengoatan erass termal untuk mempredkskan dstrus temperatur d arngan tuuh, karena data temperatur secara ekspermen tdak anyak terseda. eknk pengukuran suhu tuuh ada dua yatu nvasf dan nonnvasf. eknk pengukuran temperatur nvasf cenderung mahal dan memerkan sedkt ttk pengukuran. eknk pengukuran temperatur non-nvasf, sepert magnetc resonance magng thermal, memungknkan pengukuran suhu volumetrk. amun, MRI mempunya keteratasan, karena aya tngg dan resolus termal rendah (Cracunescua, 9 dan Gallermann, 5). Peneltan pemodelan matematka tentang nteraks termal antara pemuluh darah dan arngan telah menad topk peneltan yang menark. Huungan kuanttatf pertama yang menggamarkan perpndahan panas dalam arngan manusa dan pengaruh alran darah pada suhu arngan secara erkesnamungan dsampakan oleh Harry H. Pennes, seorang penelt d College of Physcans and Surgeons of Columa Unversty. Persamaan yang dturunkannya dseut seaga persamaan oheat Pennes. (Pennes, 968) Ketka Pennes mengemangkan persamaan oheat dengan perpndahan panas dan perfus darah, anyak penelt mencoa menyelesakannya untuk eraga aplkas, ak secara numerk maupun analts. Solus dar persamaan oheat Pennes dperoleh dengan koordnat kartesan, slnder dan ola (Gordano,, n, 9, Okama, 9). Durkee et al menurunkan solus analts persamaan oheat klask menggunakan fungs egen untuk koordnat ola dan kartesan (Durkee, 99) dan koordnat slnder (Durkee, 99). Pada kedua kasus, sumer panas yang dgunakan konstan (Durkee, 99). Durkee dkk menggunakan green functon untuk memecahkan persamaan oheat klask untuk sumer yang ergantung waktu. Bagara dan Johnson (Bagara, 5) menggunakan metode pemsahan varael untuk mendapatkan solus satu dmens untuk memperkrakan temperatur pada dua wlayah ola konsentrs. D ss lan, stlah sumer dgamarkan oleh fungs eksponensal dvaldas secara ekspermental oleh Salloum et al (Salloum, 8). Rodrgues et al (Rodrgues, 3) mendapatkan solus analtk untuk persamaan oheat Pennes satu dmens pada daerah mult-layer yang ergantung sumer panas. Sakrar (Sarkar, 5) menyakan solus analtk untuk persamaan oheat Pennes steady dalam struktur mult-layer. Dstrus temperatur d setap

14 lapsan erasal secara terpsah dan konds suhu antarmuka dan fluks panas kompatltas dgunakan untuk menentukan solus lengkap. Dalam eerapa dekade terakhr, persamaan Pennes n telah dgunakan untuk model terap kanker magnetc flud hperterma (MFH) (Bagara, 4). MFH adalah menyuntkkan nanopartkel magnetk yang drendam dalam caran ke dalam arngan target untuk menyerap energ pada tngkat yang leh tngg darpada arngan sektarnya dar medan elektromagnetk yang dterapkan secara eksternal (Glchrst, 957). Peneltan tentang pemodelan oheat transfer pada arngan kepala manusa telah dlakukan oleh eerapa penelt (Rodrgues, 3) namun elum ada yang memodelkan oheat transfer pada lapsan arngan kepala manusa yang terdapat tumor otak sesua model kepala manusa.peneltan n ertuuan memuat model dan smulas oheat transfer pada arngan kepala manusa yang terdapat tumor otak serta melhat dstrus temperatur tap lapsan arngan kepala akat respon termal dar MFH. Persamaan oheat transfer duat dengan memodfkas persamaan Pennes dengan menamahkan parameter fsolog d setap lapsan arngan kepala. Solus numerk dar persamaan dan smulas dstrus temperatur tap lapsan arngan kepala menggunakan fnte element method. Model yang duat akan dvaldas dengan data ekspermen Salloum dan dandngkan dengan solus analtk Zhong-Shan Deng. Perumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam peneltan n adalah seaga erkut. Bagamana entuk persamaan oheat Pennes yang menggamarkan transfer panas pada arngan kepala manusa?. Bagamana dstrus temperatur pada arngan kepala manusa yang terdapat tumor otak akat respon termal dar stmulus eksternal? uuan Peneltan uuan dar peneltan n adalah memodelkan oheat transfer menggunakan dasar persamaan Pennes yang menggamarkan transfer panas pada arngan kepala manusa. Melakukan smulas dstrus temperatur pada arngan dengan varas satu layer, dua layer, dan mult layer menggunakan fnte element method. Jarngan mult layer menggamarkan arngan kepala manusa yang terdapat tumor otak akat respon termal dar stmulus eksternal. Mengamat dstrus temperatur arngan yang terdapat perlakuan magnetc flud hyperterma. dalam menngkatkan temperatur arngan tumor. Manfaat Peneltan Adapun manfaat dar peneltan n dharapkan pemodelan oheat transfer dapat dgunakan dalam dang termal medcne sehngga dapat mengetahu dstrus temperatur pada arngan akat respon termal dar stmulus eksternal.

15 3 Ruang ngkup Peneltan Pada pemodelan n terdapat dua konds stmulus eksternal, pertama sumer panas erasal dar terap kanker yang erentuk persamaan polnom (Bagar, 5), kedua sumer panas erasal dar terap kanker yang erentuk dstrus Gaussan (Salloum,8). Persamaan hasl pemodelan yang akan dperoleh dalam entuk satu dmens. Smulas dstrus temperatur pada arngan kepala menggunakan fnte element method satu dmens. MOD Waktu dan empat Peneltan Peneltan n dlakukan d aoratorum Fska eor dan Komputas Departemen Fska, FMIPA, IPB mula Jul 6 sampa ulan Aprl 7. Bahan dan Alat Bahan-ahan yang dperlukan dalam peneltan n adalah data ekspermen yang dperoleh dar ekspermen Salloum. Pendukung peneltan n eerapa daftar pustaka, yatu urnal-urnal lmah, tess dan sumer lan yang relevan. Peralatan yang dgunakan dalam peneltan n adalah laptop yang dlengkap dengan software Matla a dan Mcrosoft Offce 3. Prosedur Peneltan Formulas Matematka Model matematka oheat transfer Pennes Huungan kuanttatf pertama yang menggamarkan perpndahan panas d arngan manusa dan memasukkan efek alran darah pada temperatur arngan secara kontnu dsakan oleh Harry H Pennes (Pennes, 9). Dengan menggunakan hasl ekspermennya seaga dasar, Pennes mempresentaskan analss kuanttatf perpndahan panas pada lengan awah manusa. Perpndahan panas dar darah ke arngan sesua dengan hukum Fck. Menurut hukum n, lau perpndahan massa antara darah dan arngan seandng dengan peredaan antara tngkat darah dan arngan suatu zat dkalkan dengan lau alran darah. Pennes menghaslkan stlah sumer panas perfus Pennes seaga erkut Q c - p Sumer panas perfus d Persamaan - pada ntnya mengasumskan ahwa darah memasuk pemuluh terkecl mkrosrkulas pada suhu d mana semua perpndahan panas antara darah dan arngan terad. Darah akan ertndak seaga sumer panas. Saat darah mennggalkan kapler, darah telah mengalam ekulras

16 4 termal lengkap dengan arngan sektarnya dan memasuk srkulas vena pada temperatur n. Kesetmangan termal lengkap dharapkan d kapler karena kecepatan darah d dalam eana erdameter kecl n sangat rendah. amun, temperatur darah vena dasumskan tetap erada pada suhu arngan karena darah mengalr dar kapler kemal ke vena supla utama, erapapun lau alr atau ukuran pemuluh. Dengan mengasumskan smetr sudut dan mengaakan graden aksal pada temperatur arngan sepanang anggota adan, persamaan Pennes seaga erkut k c r c Qm - t r r r Penelasan defns parameter pada persamaan - terdapat pada ael. ngkat generaton generas panas metaolk d lapsan arngan dan konduktvtas termal arngan dasumskan seaga seragam. ael Parameter persamaan oheat transfer Pennes (Pennes,9) Parameter Satuan Keterangan g/cm 3 massa ens arngan c J/g C kapastas panas arngan k W/cm C konduktvtas termal arngan o C temperatur arngan w s - perfus darah c J/g C kapastas panas darah o C temperatur darah Qm W/cm 3 sumer kalor metaolsme Persamaan oheat transfer untuk mult layer Persamaan Pennes secara luas dgunakan untuk analss perpndahan panas d arngan hdup, yang menggamarkan pengaruh alran darah pada dstrus suhu dalam arngan dmana penyerapan atau sumer panas terdstrus temperatur secara volumetrc (Pennes, 9). Peneltan n menggunakan dasar persamaan terseut. Hanya kasus satu dmens dengan nla parameter termal konstan yang dgunakan, yang merupakan pendekatan yang ak ketka terdapat sumer kalor yang meramat. Persamaan oheat transfer dalam koordnat kartesan pada wlayah mult layer derkan seaga erkut c, tk, tc, tqm, t P -3 t dengan n,, n merupakan umlah layer. emperatur arngan yang dgamarkan oleh persamaan datas dkendalkan oleh penympanan panas c, konduks termal t k melalu alran darah c, dan heat generaton, dspas panas P, yang mewakl kontrus dar heat generaton volumetrk, dkonvers dar eerapa entuk energ sepert elektromagnetk, ultrasonk atau mode pemanasan lannya. Heat

17 generaton metaolsme Q m adalah ens lan dar nput panas yang dhaslkan dar konvers energ okma d dalam arngan (Pennes, 9). Konds atas dan awal Konds atas ens pertama, kedua dan ketga dengan temperatur d permukaan dalam dan luar dasumskan pada persamaan -4 dan -5. emperatur dan alran kalor harus memenuh konds atas kontnutas pada antarmuka arngan yang dnyatakan pada persamaan -6 sampa -9. emperatur awal ergantung secara spasal dnyatakan pada persamaan -9. Permukaan dalam lapsan pertama An, t Bn, tc -4 n Permukaan luar lapsan ke-n n n Aout n, t Bout n n, tc -5 out Antarmuka dalam lapsan ke-, t, t -6 k, t k, t -7 Antarmuka luar lapsan ke- n, t, t -8 k, t k, t -9 Konds awal, t - Parameter pada -4 dan -5 dapat dplh untuk mendapatkan konds atas Drchlet, eumann atau Ron. Stmulus ksternal Dstrus temperatur pada oheat transfer dpengaruh oleh stmulus eksternal. Para penderta kanker yang menalan pengoatan akan mendapatkan stmulus eksternal, yang dapat erupa gelomang elektromagnetk, gelomang ultrasonc, atau magnetc flud hypertema (Sheu,). Bagara dan Johnson menggamarkan stmulus eksternal erentuk seuah persamaan polynomal P P P P -9 dmana P, P, dan P adalah seuah konstanta (Bagara, 5). Salloum melalu ekspermen menggamarkan stmulus eksternal erentuk dstrus Gaussan (Salloum, 8) P d mana adalah arak radal dar tempat suntkan, Ae - 5 adalah parameter yang menentukan seerapa auh nanopartkel menyear dar tempat suntkan, dan A merupakan kekuatan maksmum lau penghasl panas volumetrk (W/cm 3 ).

18 6 Persamaan Boheat ransfer Mult ayer Menggunakan Fnte lement Method Fnte element method adalah suatu teknk umum untuk menyusun awaan pendekatan pada persoalan harga atas. Metoda menyangkut memag daerah (doman) awaan ke dalam seumlah erhngga daerah kecl (sudoman) yang sederhana, yang dnamakan elemen hngga, dan dengan mempergunakan konsep varasonal mementuk pendekatan awaan pada sekumpulan elemen hngga (Reddy, 6). Persoalan harga atas dkaraktersas oleh persamaan dferensal, yang harus dpenuh oleh awaan pada nteror Ω daerahnya, dan oleh syarat-syarat atas yatu yang harus dpenuh oleh awaan pada ttk-ttk uung Ω. Untuk memangun solus hampran dar persamaan oheat transfer -3 terleh dahulu dskretsas doman gars Ω menad seumlah elemen hngga, node elemen terletak pada poss untuk,,, dmana dan, sepert yang dtunukkan pada Gamar. Dalam setap elemen ddentfkas ttk tertentu yang dnamakan ttk-ttk smpul atau nodal yang akan memegang peranan pentng dalam pementukan elemen hngga. Kumpulan elemen dan ttk-ttk smpul mementuk doman dseut arngan elemen hngga (mesh) (Pozrkds, 4). Gamar Dskrtsas elemen hngga atau doman satu dmens untuk masalah model Resdual persamaan oheat transfer dalam koordnat kartesan pada wlayah mult layer derkan seaga erkut R k c Qm P - dengan defns solus yang tepat dar persamaan oheat akan memuat resdu sama dengan nol pada semua ttk dar doman masalah. amun, secara umum resdual tdak akan hlang ketka solus aproksmas dsuttus d dalamnya. Dengan metode n nla ntegral dar resdu dkalkan dengan fungs oot pada seluruh doman dadkan nol. Fungs oot dtentukan dengan metode Galerkn, persamaan elemen hngga Galerkn dperoleh seaga erkut w k c Qm P d - a Untuk mempermudah ntegras perlu duah menad entuk lan dengan pangkat dervatf yang leh rendah dengan menggunakan ntegras per agan. w k w c w c wqm w P d wk -3 a a Integras persamaan untuk elemen dengan nteror node dlakukan dengan nterval e e e e e e,,,,,, 3

19 e e w k w m e e Persamaan -4 dapat dnyatakan seaga sstem persamaan lnear seaga erkut k D c M -5 c w c wq w P d wk -4 Penurunan persamaan -5 terdapat pada lampran. Persamaan -5 dselesakan dengan menggunakan prosedur teras. emperatur awal dan konds atas dketahu kemudan temperatur langkah erkutnya dapat dhtung dar solus persamaan -5 menggunakan homas s algorthm. Code FM dkemangkan menggunakan Matla untuk memecahkan solus numerk dar model oheat transfer yang telah duat. 7 3 HASI DA PMBAHASA Valdas Model Valdas model dlakukan dengan cara memandngkan hasl model yang menggamarkan oheat transfer dengan hasl analtk pada Gamar. Hasl analtk ddapatkan dar hasl penurunan oleh Zhong-Shan Deng yang dtunukkan pada persamaan erkut (Deng, ) Qm h A A A Q c c cosh snh k m c h A cosh A snh A k 3- h Qm f snh A k c h A cosh A snh A k dmana A c k. Untuk memandngkan hasl peneltan n dengan yang dperoleh Zhong-Shan Deng, menggunakan nla parameter seaga erkut o o 4 g cm, c 4. J g C, c 7 C, 5 s, Q m. W cm, o o o k 5 W cm C, h W cm C, dan f 5 C. Pada Gamar (a) poss cm merupakan ss agan luar yang eratasan dengan udara sehngga pengaruh konveks udara dperhtungkan. Pengaruh konveks udara dtunukkan dengan nla parameter konds atas temperatur erkut An, Bn, Cn h f. Poss 3cm merupakan nt tuuh, tdak ada perpndahan panas yang erlangsung sehngga A out. emperatur pada poss n akan tetap konstan sehngga B out dan C out 7. Hasl penurunan oleh Zhong- Shan Deng merupakan persamaan oheat transfer untuk satu layer sehngga konds atas antarmuka dalam dan luar lapsan tdak dgunakan untuk model n. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak 5 elemen. Pada Gamar () dtunukkan nla persentase error dar hasl numerk sangat kecl yatu

20 8 kurang dar. % sehngga dapat dsmpulkan ahwa hasl smulas model vald dengan hasl analtk. emperatur ( o C) Analtk (Zhong-Shan Deng) Solus umerk % rror Gamar 3(a) merupakan hasl model dengan hasl ekspermen MFH. Salloum et al mengukur temperatur pada arngan otot anggota tuuh elakang tkus yang dnduks oleh suntkan nanopartkel magnetk selama percoaan n vvo MFH (Salloum, 8). Sumer nternal yang dhaslkan erentuk dstrus Gaussan yang dtunukkan pada Persamaan -. la parameter yang dgunakan untuk memandngkan hasl peneltan n dengan hasl ekspermen seaga erkut o o g cm, c 4.8 J g C, c 5. 5 C, 5 4 s, Q Q W cm radus (cm) Gamar Valdas hasl smulas dengan hasl analtk o m m, k k 5 W cm C,. 698 W cm radus (cm) A dan. 78cm. Radus daerah dalam dan luar yatu. 78cm dan. cm. Pada Gamar 3(a), ttk pusat yang merupakan nt tuuh terletak pada poss cm. Parameter konds atas temperatur pada permukaan dalam dan luar seaga erkut A n, B n, C Cˆ n C ˆ, A out k, Bout h, udara Cout hudara, udara 9,35 o udara C, dan 5 o hudara 3 W cm C. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak 4 elemen. Pada Gamar 3(), nla presentase error yang leh dar 5% pada data pertama dan terakhr karena pada ttk n dasumskan ada pengaruh konveks udara. Berdasarkan Gamar 3, kurva hasl smulas model ermptan dengan data ekspermen dan memlk pola yang sama dengan hasl ekspermen sehngga dapat dsmpulkan ahwa model n vald. 4 kspermen Salloum et al Solus umerk 5 emperatur ( o C) % rror radus (cm) radus (cm) Gamar 3 Valdas hasl smulas dengan hasl ekspermen

21 9 MFH dengan Sumer Kalor Polnomal Keadaan Steady State MFH pertama kal dkenalkan Glchrst et al seaga modaltas untuk pengoatan kanker (Glchrst, 957). Dalam MFH, partkel magnetk dlokalsas pada arngan erpenyakt. Medan magnet olak-alk kemudan dterapkan pada arngan, yang memanaskan partkel magnetk dengan kehlangan hsteress atau relaksas e'el (Hergt, 998). Perlakuan hperterma yang deal yatu sel-sel erpenyakt harus dhancurkan secara selektf tanpa merusak arngan sehat d sektarnya. MFH memlk potens maksmum untuk penargetan selektf sepert tu (Moroz, ). Peneltan n melakukan pemodelan MFH dengan parameter optmas yang dhaslkan oleh Bagara et al. Bagara memodelkan sumer kalor erentuk polnomal. Gamar 4 merupakan pola heat generaton terhadap poss dengan nla parameter terdapat pada ael. Sumer kalor terseut dkenakan pada seuah arngan kanker dengan panang arngan cm. Pada konds n arngan danggap satu layer. ael la parameter heat generaton untuk enam kasus Kasus P P P P const W W W W cm cm cm cm Heat generaton (W/cm 3 ) Kasus Kasus Kasus 3 Heat generaton (W/cm 3 ) Kasus 4 Kasus 5 Kasus radus (cm) radus (cm) Gamar 4 Pola heat generaton untuk ke enam kasus Penngkatan temperatur arngan d atas temperatur fsologs normal dkenal seaga hperterma. Hperterma memlk anyak mplkas meds dan olog. emperatur yang menngkat d tuuh d awah 45 C tdak merusak arngan, namun secara sgnfkan menguah sfat arngan. emperatur untuk terap hperterma erksar antara 4 45 o C (Haash,6). Pada peneltan n untuk mengoptmalkan dstrus temperatur dlakukan dengan memvaraskan nla perfus darah yang dtunukkan oleh Gamar 5. Berdasarkan gamar terseut nla

22 perfus darah 5 yang memlk dstrus temperatur dalam range terap hperterma. la perfus darah n akan dgunakan selama smulas MFH dengan sumer egantung spasal. emperatur deal merupakan atas mnmum temperatur untuk terap MFH. Kasus Kasus 4 5 w=* -3 w=5* -3 Ideal temperature profle 5 w=* -3 w=5* -3 Ideal temperature profle emperatur ( o C) 5 4 emperatur ( o C) radus (cm) Kasus radus (cm) Kasus 5 5 w=* -3 w=5* -3 Ideal temperature profle 5 w=* -3 w=5* -3 Ideal temperature profle emperatur ( o C) 5 4 emperatur ( o C) emperatur ( o C) radus (cm) Kasus 3 w=* -3 w=5* -3 Ideal temperature profle emperatur ( o C) radus (cm) Kasus 6 w=* -3 w=5* -3 Ideal temperature profle radus (cm) Gamar 5 Pengoptmalan dstrus temperatur dengan memvaraskan nla perfus darah Gamar 6 memandngkan sumer kalor yang seragam yang dseut constant heat generaton dengan sumer kalor yang tdak seragam yang dseut quadratc heat generaton. Sumer kalor terseut dasumskan erada pada arngan tumor dengan panang arngan cm. Pada konds n arngan danggap satu layer. Sfat materal yang dgunakan dalam perhtungan n adalah magnett, monodsperse dengan dameter nm. Kuat medan magnet yang dgunakan 6.5 kam - dan frekuens 5kHz. la parameter sumer kalor untuk keempat kasus terseut terdapat pada ael. la parameter yang dgunakan seaga erkut radus (cm)

23 kg m 3, J o c 4 o, kg C c 7 C,. 5 ml s ml, Q W m 3 m, dan k. 55 W o. Parameter konds atas temperatur pada permukaan dalam dan m luar seaga erkut C A W n cmc, B W n cm C, C C W C ˆ n m ˆ, A, B out, C 7 o out C. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak 5 elemen. Berdasarkan Gamar 6, dstrus temperatur quadratc leh tngg darpada konstan untuk semua kasus, dmana hasl n sesua dengan hasl Bagara et al leh tngg darpada konstan untuk semua kasus, dmana hasl n sesua dengan hasl Bagara et al. out Kasus Kasus 4 5 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle 5 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle emperatur ( o C) 5 4 emperatur ( o C) radus (cm) Kasus Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle radus (cm) Kasus 5 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle emperatur ( o C) 4 emperatur ( o C) radus (cm) Kasus 3 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle radus (cm) Kasus 6 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle emperatur ( o C) 4 emperatur ( o C) radus (cm) radus (cm) Gamar 6 Profl dstrus temperatur satu layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk

24 Profl dstrus temperatur dengan constant heat generaton dan quadratc heat generaton pada dua layer arngan dtunukkan pada Gamar 7. Jarngan terseut terdr dar lapsan pertama arngan tumor dan lapsan kedua arngan sehat. Magnetc flud terletak pada arngan pertama. la parameter sumer kalor untuk keempat kasus terseut terdapat pada ael. la parameter yang dgunakan o seaga erkut. g cm, g cm, g cm, c c c 4. J kg C, o m Q W cm, m k 5.5 W cm C, o 3 c 7 C, 5 s, Q o k 5 W cm C. Parameter konds atas temperatur pada permukaan dalam dan luar seaga erkut A n, B n, C Cˆ Cˆ n, A out, B out, C 7 o out C. Konds atas antarmuka lapsan dgunakan pada konds n karena terdapat dua lapsan. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak elemen. Berdasarkan gamar terseut dstrus temperatur quadratc leh tngg darpada konstan untuk semua kasus. Selan tu uga dstrus temperatur untuk sumer kuadratk meleh dar dstrus temperatur deal. Hal terseut sangat dutuhkan untuk terap MFH. Kasus Kasus 4 5 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle 5 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle emperatur ( o C) 5 4 emperatur ( o C) radus (cm) Kasus Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle radus (cm) Kasus 5 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle emperatur ( o C) 4 emperatur ( o C) radus (cm) Kasus 3 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle radus (cm) Kasus 6 Quadratc heat generaton Constant heat generaton Ideal temperature profle emperatur ( o C) 4 emperatur ( o C) radus (cm) radus (cm) Gamar 7 Profl dstrus temperatur dua layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk

25 3 MFH dengan Sumer Kalor Polnomal Keadaan ransent Perandngan antara profl temperatur transen untuk constant heat generaton dan quadratc heat generaton pada satu layer untuk kasus dan 6 dtunukkan pada Gamar 8. la parameter sumer kalor dan oheat sama dengan yang dgunakan pada Gamar 6. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak 5 elemen. la t yang dgunakan untuk t s maupun t 3 s seesar. s setap teras. Pada gamar terseut menunukan dstrus temperatur keadaaan steady state leh tngg dandngkan dengan transent, karena pada keadaan steady state temperatur tdak eruah dengan eralannya waktu atau dengan kata lan konstan. Pada konds transen atau dseut uga konds sementara temperatur akan mengalam peruahan serng ertamahnya waktu. emperatur saat t s datas temperatur mnmum deal hpertema, hal n dapat menunukkan ahwa waktu yang dutuhkan untuk memanaskan arngan tumor yang erukuran cm seesar 3 s. Kasus Kasus 4 emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal radus (cm) Kasus radus (cm) Kasus 5 emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal radus (cm) Kasus radus (cm) Kasus 6 emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal radus (cm) radus (cm) Gamar 8 Profl dstrus temperatur satu layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk untuk keadaan transen

26 4 Gamar 9 menunukkan perandngan profl temperatur transen untuk constant heat generaton dan quadratc heat generaton pada dua layer yatu arngan tumor dan arngan sehat. la parameter sumer kalor dan oheat sama dengan yang dgunakan pada Gamar 6. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak elemen. la t yang dgunakan untuk t s maupun t 3 s seesar. s setap teras. Pada konds dua layer uga menunukan dstrus temperatur keadaaan steady state leh tngg dandngkan dengan transent. emperatur pada dua layer pada arngan tumor nlanya tdak ereda dengan Gamar 8. Pada Gamar terlhat ahwa arngan sehat yang letaknya dekat dengan arngan tumor terad kenakan temperatur tetap dawah temperatur deal hperterma sehngga tdak merusak dan mempengaruh sfat arngan sehat. Saat t 3 s terlhat ahwa temperatur nak dengan terad kenakan temperatur sampa dengan mnmum deal hpertema, hal n dapat menunukkan ahwa waktu yang dutuhkan untuk memanaskan arngan erukuran 4 cm seesar 3 s. Kasus Kasus 4 emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal radus (cm) Kasus radus (cm) Kasus 5 emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal radus (cm) Kasus radus (cm) Kasus 6 emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal emperatur ( o C) steady state s 3 s steady state konstan konstan s konstan 3 Profl emperatur Ideal radus (cm) radus (cm) Gamar 9 Profl dstrus temperatur dua layer dengan sumer kalor konstan dan kuadratk untuk keadaan transen

27 5 Jarngan Kepala dengan Perlakuan MFH Gamar menggamarkan dstrus temperatur pada arngan kepala yang terdapat tumor pada arngan whte ran. Keempat lapsan terseut yatu ran whte matter ( = 6.7 cm), ran gray matter ( = 8.5 cm), tengkorak (3 = 8.9 cm), kult kepala (4 = 9.3 cm). Kta asumskan ahwa pada arngan ran whte terdapat sel tumor dengan ukuran 3 cm. Pada sel tumor terseut derkan partkel magnetc flud dengan partkel monodsperse dengan dameter nm. Kuat medan magnet yang dgunakan 6.5 kam - dan frekuens 5 khz. la parameter yang dgunakan seaga erkut.5 g cm,. 3 g cm,. 3 g cm, o o o.5 g cm, g cm, c c 3.7 J kg C, c.5 J kg C, c J kg C, c k J kg o ml s C, k W cm k g o 4.9 C,, k 5.8 ml s W cm o C W cm g o 3 Q m 4.75 W cm,.67 W cm 4 Q m.683 W cm 4, k C, Q 3.6 m, ml s 4.75 W cm o g W cm 4 Q m, Q m.683 W cm,. Parameter konds atas temperatur pada permukaan dalam seaga erkut An k, Bn hl, Cn hl, 7 o C, dan hl. 83 k rl. Parameter konds atas temperatur pada permukaan luar seaga erkut A out k 4, Bout h udara, Cout hudara udara, 9,35 o udara C, dan h W udara 5 cm C. Konds atas antarmuka lapsan dgunakan pada konds n karena terdr dar anyak lapsan. Jumlah elemen yang dgunakan pada solus numerk seanyak 93 elemen. Pada gamar terseut terlhat ahwa temperatur menngkat hanya pada arngan tumor hal n erart menunukkan ahwa MFH hanya memanaskan daerah tumor saa dan tdak mempengaruh arngan sehat. Hal terseut yang sangat dharapkan dalam terap tumor yatu memunuh sel tumor. 3 C,,, 4 4 emperatur ( o C) radus (cm) Gamar Profl dstrus temperatur pada arngan kepala yang terdapat tumor dengan perlakuan MFH

28 6 4 SIMPUA DA SARA Smpulan Peneltan n erhasl memangun seuah model oheat transfer yang menggunakan dasar persamaan Pennes yang menggamarkan transfer panas pada arngan kepala manusa. Valdas model dengan hasl analtk dan ekspermen telah dlakukan dan dperoleh persentase error yang kecl. Hal terseut menunukkan ahwa model yang duat dapat dgunakan untuk menghtung dstrus temperatur pada eraga konds atas yang lan dan eerapa lapsan arngan telah dgunakan dalam model n. Smulas dstrus temperatur pada arngan dengan varas satu layer, dua layer, dan mult layer menggunakan fnte element method uga telah erhasl dlakukan. Perlakuan MFH pada arngan menyeakan kenakan temperatur pada arngan tumor dan tdak mempengaruh arngan yang sehat. Saran Peneltan selanutnya perlu dlakukan pemodelan dengan menggunakan koordnat ola sehngga hasl perhtungannya sa dandngkan dengan hasl perhtungan yang menggunakan koordnat kartesan. Selan tu, pada model terseut dtamahkan sumer kalor stmulus eksternal menggunakan materal nanogold. 5 DAFAR PUSAKA Bagara H G, D.. Johnson. 5. ransent soluton to the oheat equaton and optmzaton for magnetc flud hypertherma treatment. Int. J. Hyperther. (): do :.8/ Bernard M Claude econs sur la chaleur anmale sur les effets de la chaleur et sur la fevre. Pars : Avec Fgures Intercalees Dans e et. Cracunescua O.I, P.R. Stauffer, B.J. Soher, C.R. Wyatt, O. Arae, P. Maccarn, S.K. Das, K.S. Cheng,.Z. Wong,.. Jones, M.W. Dewhrst, Z. Vuaskovc, J.R.MacFall. 9. Accuracy of real tme nonnvasve temperature measurements usng magnetc resonance thermal magng n patents treated for hgh grade etremty soft tssue sarcomas. Med. Phys. 36 : 58. do :.8/ Deng ZS, u J.. Analytcal study on oheat transfer prolems wth spatal or transent heatng on skn surface or nsde ologcal studes. J Bomech ng. 4: Durkee J.W, P.P. Antch, C.. ee. 99. act-solutons to the multregon tmedependent oheat equaton : soluton development. Phys. Med. Bol. 35(7): do: 3-955/35/7/4. Durkee J.W, P.P. Antch. 99. Characterzaton of oheat transport usng an eact soluton to the cylndrcal geometry, multregon, tme-dependent oheat equaton. Phys. Med. Bol. 36(): 377. do: 3-955/36//6.

29 Durkee J.W, P.P. Antch. 99. act-solutons to the multregon tme-dependent oheat equaton wth transent heat-sources and oundary-condtons. Phys.Med. Bol. 36(3) : do: 3-955/36/3/4. Gallermann J, W. Wlodarczyk, A. Feussner, H. Fahlng, J. adony, B. Hlderandt, R. Fel, P. Wust. 5. Methods and potentals of magnetc resonance magng for montorng radofrequency hypertherma n a hyrd system. Int. J. Hyperther. (6) : do :.8/ Glchrst RK, Medal R, Shorey WD, Hanselman RC, Parrott JC, aylor CB Selectve nductve heatng of lymph. Ann Surg. : Gordano M A, G. Guterrez, C. Rnald.. Fundamental solutons to the oheat equaton and ther applcaton to magnetc flud hypertherma. Int. J.Hyperther. 6 (5): do :.39/ Haash RWY, Bansal R, Krewask D, Alhafd H. 6. hermal therapy part-i: an ntroducton to thermal therapy. Crt Rev Bomed ng. 34(6): Hergt R, Andra W, d Amly CG, Hlger I, Kaser WA, Rchter U, Schmdt H Physcal lmts of hypertherma usng magnette fne partcles. I rans Mag. 34: n C, K.C. u. 9. stmaton for the heatng effect of magnetc nanopartcles n perfused tssues. Int. Commun. Heat Mass ransfer. 36: 4. do :.6/.cheatmasstransfer Moroz P, Jones SK, Gray B.. Magnetcally medated hypertherma: Current status and future drectons. Int J Hypertherma. 8: Okama Junnosuke, S. Maruyama, H. akeda, A. Komya, Dmensonless solutons and general characterstcs of oheat transfer durng thermal therapy, J. herm.bol. 34 (9) do :.6/.thero.9.8. Pennes H H. 9. Analyss of tssue and arteral lood temperatures n the restng human forearm. J. Appl. Physol. () : 93. do : 97 Pozrkds, Constantne. 4. Introducton to Fnte and Spectral lement Methods Usng MAAB. Second dton-crc Press. Reddy J. 6. An Introducton to the Fnte lement Method. ew York : McGraw-Hll. Rodrgues D B, P.J.S. Perera, P. mão-vera, P.R. Stauffer, P.F. Maccarn. 3. Study of the one dmensonal and transent oheat transfer equaton: Mult-layer soluton development and applcatons. Int J Heat Mass ransfer. 6:53 6. do:.6/.heatmasstransfer...8. Sarkar Dapayan, A. Ha-Shekh, Ankur Jan. 5. emperature dstruton n mult-layer skn tssue n presence of a tumor. Int J Heat Mass ransfer. 9 : 6 6. do :.6/.heatmasstransfer Salloum M, R.H. Ma,. Zhu. 8. An n-vvo epermental study of temperature elevatons n anmal tssue durng magnetc nanopartcle hypertherma. Int J Hyperther. 4(7): do :.8/ Sheu ony W.H, Mam A. Solovchuk, Ale W.J. Chen, Marc hret.. On an acoustcs thermal flud couplng model for the predcton of temperature elevaton n lver tumor. Int J Heat Mass ransfer. : 47. do:.6/.heatmasstransfer

30 8 AMPIRA

31 ampran Penurunan persamaan oheat transfer steady state satu layer menggunakan fnte element Solus numerk Weak form dar model yang duat Persamaan - -7 eserta oundary condtons (BS) dkenal seaga strong form dar peneltan n. FM adalah ens metode numerk weghted resdual sehngga menggunakan weak form dar prolem. Untuk mendapatkan weak form menggunakan Method of Weghted Resduals (MWR). Resdual dar persamaan Pennes derkan dalam persamaan - yatu R k c Qm P () dengan defns solus yang tepat dar persamaan Pennes akan memuat resdu sama dengan nol pada semua ttk dar doman masalah. amun, secara umum resdual tdak akan hlang ketka solus aproksmas dsuttus d dalamnya. Prnsp dasar dalam MWR yatu memnmalkan resdual dalam art weghted ntegral seaga erkut Rd w () Suttus persamaan() ke dalam persamaan(7) sehngga dperoleh persamaa(8) wk w c wqm w P d (3) yatu dseut seaga weghted resdual dar model yang duat. w adalah fungs percoaan (atau weght) yatu pada paper n mengunakan fungs lner. Untuk memudahkan ntegras perlu duah menad entuk lan dengan pangkat dervatf yang leh rendah. Dengan menggunakan ntegras y part sepert yang dtunukkan d awah n w wk k d w k Suttus persamaan(9) ke persamaan(8) sehngga dperoleh (4) w k w c d w c wqm wpd wk (5) Ruas kr dar persamaan(5) sekarang hanya mencakup turunan orde pertama yang tdak dketahu nlanya. In dseut weak form dar model yang duat. Solus Aproksmas menggunakan Fungs Shape Weak form yang terseda dapat menggantkan solus aproksmas yang dngnkan ke dalamnya. Solus aproksmas kontnyu dapat dnyatakan seaga 9 S (6)

32 ampran (lanutan...) dmana adalah solus aproksmas, nla nodal yang elum dketahu dmana kta akan menghtung pada akhr dar solus F, S adalah fungs shape (ass) yang dgunakan untuk memangun solus aproksmas, dan adalah umlah elemen. Fungs shape memlk sfat pentng Kronecker-delta. ka ka S (7) yang menyatakan ahwa fungs shape memlk nla pada node ke- pada mesh dan sama dengan nol pada semua node lannya. Kam asumskan ahwa sumer panas kontnu dan sesua ekspans P S P (8) dmana P P adalah nla dar sumer panas pada node ke-. Sekarang kta dapat menggantkan solus aproksmas yang derkan menad weak form yang derkan dalam persamaan (9). m w k d P S w d wq d c w d S c w S w k (9) Galerkn FM dan Gloal System Varas yang palng umum dgunakan dar FM dkenal seaga weght functon Galerkn FM (GFM) dar persamaan (9) dplh untuk menad sama dengan fungs shape. S w () Persamaan(9) dapat dnyatakan seaga persamaan ke- dar hmpunan persamaan m k k d P S S d Q S d c S d S c S S S k,..,,,, () Hal n dmungknkan untuk memndahkan tanda summaton d luar ntegral sehngga dperoleh seaga erkut P d S S d c S k k d S S c S S k,,..,,, ()

33 ampran (lanutan...) dan dperoleh sstem persamaan lnear seaga erkut M c D k (3) dmana adalah vektor dar temperatur yang elum dketahu pada tap node,,,, (4) dan D dan M adalah matrk erukuran, h D (5) h M (6) dengan h. Ss seelah kanan dar persamaan (3) derkan oleh P M c c ~ (7) dmana vektor c merangkum semua konds atas, k k c (8) adalah matrk erukuran, h (9) M ~ adalah matrk erukuran, ~ h M () P adalah vektor erdmens yang mengandung nla-nla nodal dar sumer, P P P P P,,,, ()

34 ampran Program Fnte lemen untuk satu layer functon [at,t,ct,] = sdl_sys5(ne,e,,c,s,) % % element sze % for l=:ne h(l) = e(l+)-e(l); end = e; % % ntalze the trdagonal matr % at = zeros(ne,); t = zeros(ne,); ct = zeros(ne,); % % ntalze the rght-hand sde % = zeros(ne,); % % loop over the frst ne- elements % for l=:ne- A = /h(l); A =-A; A = A; A = A; B = h(l)/3.; B =.5*B; B = B; B = B; D = (h(l)/) ; D = D; at(l) = at(l) + C()*A + C()*B; t(l) = t(l) + C()*A + C()*B; ct(l+) = ct(l+) + C()*A + C()*B; at(l+) = at(l+) + C()*A + C()*B; (l) = (l) + (B*s(l) + B*s(l+)) + C(3)*D; (l+) = (l+) + (B*s(l) + B*s(l+)) + C(3)*D; end

35 3 ampran (lanutan...) % % the last element s specal % A = /h(ne); A =-A; A = A; A = A; B = h(ne)/3.; B =.5*B; B = B; B = B; D = (h(ne)/) ; at(ne) = at(ne) + C()*A + C()*B; (ne) = (ne) + (B*s(ne)+B*s(ne+)) + (C()*A - C()*B)* + C(3)*D; %----- % done %----- return;

36 4 ampran 3 Program Fnte lemen untuk dua layer functon [at,t,ct,] = sdl_sys9(ne,ne,e,,c,c,s,k,) % % element sze % for l=:ne h(l) = e(l+)-e(l); end k = k(); k = k(); % % ntalze the trdagonal matr % at = zeros(ne,); t = zeros(ne,); ct = zeros(ne,); % % ntalze the rght-hand sde % = zeros(ne,); % % loop over the frst ne- elements % for =:ne- A = /h(); A =-A; A = A; A = A; B = h()/3.; B =.5*B; B = B; B = B; D = (h()/) ; D = D; at() = at() + k*a + C*B; t() = t() + k*a + C*B; ct(+) = ct(+) + k*a + C*B; at(+) = at(+) + k*a + C*B; () = () + (B*s() + B*s(+)) + C*D*; (+) = (+) + (B*s() + B*s(+)) + C*D*; end % % the last element n layer s specal %

37 5 ampran 3 (lanutan...) A = /h(ne); A =-A; A = A; A = A; B = h(ne)/3.; B =.5*B; B = B; B = B; D = (h(ne)/); at(ne) = at(ne) + k*a + C*B; t(ne) = t(ne) + k*a + C*B; ct(ne+) = ct(ne+) + k*a + C*B; (ne) = (ne) + (B*s(ne) + B*s(ne+)) + C*D*; % % ntalze the trdagonal matr for nd layers % at(ne+) = at(ne+) + k*a + C*B; (ne+) = (ne+) + (B*s(ne) + B*s(ne+)) + C*D*; % % loop over the frst ne- elements % for =ne+:ne- A = /h(); A =-A; A = A; A = A; B = h()/3.; B =.5*B; B = B; B = B; D = (h()/) ; D = D; at() = at() + k*a + C*B; t() = t() + k*a + C*B; ct(+) = ct(+) + k*a + C*B; at(+) = at(+) + k*a + C*B; () = ()+ C**D; (+) = (+) + C**D; end % % the last element n nd layer % A = /h(ne); A =-A; A = A; A = A; B = h(ne)/3.; B =.5*B; B = B; B = B;

38 6 ampran 3 (lanutan...) D = (h(ne)/) ; D = D; at(ne) = at(ne) + k*a + C*B; (ne) = (ne)+ C**D + (k*a - C*B)*; %----- % done %----- return;

39 7 RIWAYA HIDUP Penuls dlahrkan d Jomang pada tanggal Feruar 99 dar ayah Rdwan dan u Sr Muat. Penuls adalah putr kedua dar tga ersaudara. ahun penuls lulus dar SMA eger Jomang, Jawa mur, dan pada tahun yang sama penuls lulus seleks masuk Insttut Pertanan Bogor (IPB) melalu alur Undangan Seleks Masuk IPB dan dterma d Departemen Fska, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam. ahun 5 penuls melantkan stud S d departemen Fska IPB dengan mayor Bofska. Selama masa stud, penuls menad assten praktkum S Smulas Sstem Fss dan Fska Komputas pada tahun aaran 6.