PEMBAHASAN DAN KUNCI JAWABAN MATEMATIKA IPA

Transkripsi

1 PEMHSN N KUNI JWN MTEMTIK IP

2 Pemhsn dn Kunci Jwn Ltihn Sol MTEMTIK IP Logik Mtemtik. erdsrkn modus tollens, Hri hujn iu memki pyung ~ (iu memki pyung) ~ (hri hujn) Jdi, kesimpuln yng sh dlh hri tidk hujn.. erdsrkn silogisme dn modus tollens, du rjin ekerj i disyngi iu du disyngi iu i disyngi nenek du rjin ekerj i disyngi nenek ~ (du disyngi nenek) ~ (du rjin ekerj) Jdi, kesimpuln yng sh dlh du tidk rjin ekerj.. Pernytn, Jik hri hujn, mk sungi melup. p q ~q ~p ~p q Sehingg pernytn di ts ekuivlen dengn, Jik sungi tidk melup, mk hri tidk hujn tu Hri tidk hujn tu sungi melup.. Pernytn, Semu orng mkn nsi. ~ (Semu p) d/eerp ~p Sehingg ingkrn pernytn di ts dlh eerp orng tidk mkn nsi.. ~ (p q) p ~q sehingg. ~ [(p q) r] (p q) ~r tu p q ~r Pngkt, kr, dn Logritm 8c c 8 ( ) c c 8 8c ( ) 7 ( ) ( 7 ) ( )( ).. 7. ( ) ( ) 8 8 log dn log log log( ) log log log log log( ) log log log log Mtemtik Ip untuk SM/M

3 8. 9. log log9 log log log 8 log log9 log log ( ) log log9 log log log9 log log l og9 log log7 log8 log8 log log log Persmn dn Fungsi Kudrt. 8 c kr-krny dn, dengn. ri persmn kudrt ini diperoleh: 8 8 dn c c Sustitusikn ke 8, diperoleh: 8 8 Sustitusikn ke, diperoleh: () Jdi, c.. ( ) 8 kr-krny p dn q, dengn p q. ri persmn kudrt ini diperoleh: p q ( ) dn p q 8 8 Sustitusikn p q ke p q 8, diperoleh q q 8 q 8 q 9 ± q 9 ± kren p >, q > yng dipilih q. Sustitusikn q ke p q, diperoleh: p () Sustitusikn p dn q ke p q, diperoleh: 9 9 Jdi,.. kr-kr dri persmn kudrt dlh dn, dengn: Persmn kudrt ru yng kr-krny y dn y, mk: y y ( ) ( ) 8 y y ( )( ) Sehingg, ( ) ( ) ( ) 8 (y y ) (y y ) ( 8) ( ) 8. Persmn kudrt ( ) gr krkrny nyt, mk c ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Pemut nolny dn, sehingg nili yng memenuhi tu.. Grfik y f () menyinggung gris y, mk y y ( ) Syrt ersinggungn dlh, sehingg ² c ( )² ( ). ri fungsi kudrt f() (p ) p p diperoleh: p, p, dn c p Mtemtik IP untuk SM/M

4 Syrt defnit positif:. <. < c < (p) (p )(p ) < p (p p ) < p p p < p < p < p > p < p > Jdi, supy definit positif, mk p >. 7. ri fungsi kudrt f() (m ) m (m ) diperoleh: (m ), m, dn c m Syrt definit negtif:. < c < m ( m ) ( m )< m ( m m )<. < m m 8m < 8m < m < m < m < m < Jdi, supy definit negtif, mk m <. Sistem Persmn Liner. prili :.... () Juli : () Jnur :? Sustitusikn 7 ke., diperoleh: (7) engn demikin, hrg rng yng dieli Jnur dlh Rp.,.. Mislkn uku, pulpen y, dn pensil z dil : y z.... () im : y z.... () itr : z.... () Persmn () dn () y z. z. y 9. y. Sustitusikn nili y. ke persmn () dn (), diperoleh: () y. (.) z.. z. z.. z.... () () y z. (.) z. 9. z. z. 9. z.... () Eliminsi () dn (), diperoleh: z. z. z. 9 z disustitusikn ke persmn z., diperoleh (.) z.. z. z.. z. in memeli pulpen dn pensil, sehingg y z (.) (.) 7... Jdi, in hrus memyr Rp.,. Mislkn hrg kg kso spi dn hrg kg kso ikn y. Iu y : y. () Iu et : y. () Mtemtik Ip untuk SM/M

5 Iu it : y? erdsrkn persmn () dn (), diperoleh: y. y.. y. y Sustitusikn 7. ke persmn (), diperoleh: y. (7.) y. 8. y. y. y. Hrg kg kso ikn dn kg kso spi: y (7.) (.).. 9. Jdi, ung yng hrus diyrkn oleh Iu it dlh Rp9.,. Persmn Lingkrn Persmn gris singgung lingkrn y y di titik (7, ) dlh 7 y ( 7 ) ( y ) 7 y ( 7) ( y ) 7 y y y. y y, m Sejjr, mk m m y y 9 y y 9 ( ) (y ) 8 Gris singgung lingkrn: y m( )± r m y ( )± 8 y ± 8( ) y ± Suku nyk. Pust (, ) dn menyinggung sumu-y, mk r Persmn lingkrn: ( ) (y ) r ( ) (y ) 9 y y 9 y y. y y, m Tegk lurus m m m m y y ( ) (y ) 9 ( ) (y ) 9 Gris singgung lingkrn: y m ( ) ± r m y ( ) ± 9 y ( ) ±. Persmn gris singgung lingkrn y y di titik (, y ) dlh y y ( ) ( y y). P() P() () () () () 7... () P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 7 () Sustitusikn ke 7, diperoleh: 7 Jdi, nili () 8. f() h()( ), mk f() f() h()( ), mk f( ) f() h()( ) f() h()( )( ) f()... () f( ), sehingg Jdi, sisny dlh Mtemtik IP untuk SM/M

6 . f() h()( ) h()( )( ) f() f( ) () () erdsrkn persmn () dn () diperoleh: Susitusikn ke persmn (), diperoleh: () Sehingg, s(). Fktor dri p dlh, sehingg ( ) p( ) ( ) 8 p p Fktor yng linny diperoleh dri ( )( ). f() h()( ) h()( )( ) f() () 8 f() () Kit pilih f(), llu sustitusikn ke dlm pilihn jwn. Pilihn jwn yng memenuhi dlh jwn, kren f() 7() 7 Komposisi Fungsi dn Invers Fungsi. ( f g)( ) f g( ) ( ) 7 8,. ( g f)( ) gf ( ( )) g( ) Mislkn y, sehingg y g( y) y y y y y 8 y y Sehingg g().. ( g f)( ) g( f( )) f( ) f( ) f( ). Invers dri f( ) dlh f ( ) d c d c Sehingg f( ) f ( ),. ( f g)( ) f( g( )) f( ) 7 ( f g) ( ) 7,. ( f g)( ) f( g( ) ) f( ) ( ) ( ) 9 8, 8 8 Invers dri f( ) dlh f ( ) d c d c Sehingg, f g 8 ( f g 8 8 Progrm Liner. Lngkh : Tel Hrg eli ( 8 ) 8 8 8, ) Mutn Keuntungn Jeruk ().... Mngg (y). y 8... Jumlh...y Mtemtik Ip untuk SM/M

7 Lngkh : Model Mtemtik Mks: f(, y)..y..y. y y,, y Lngkh : Penyelesin Gmr dengn gris pd digrm Krtesius Y y (, ) y y, mk Titik Pojok f (, y)..y (, ) (, ) (, ) (, ) X. 9.. Jdi, l mksimum yng diperoleh penjul dlh Rp.,.. Lngkh : Tel Jenis rng Mesin Mesin Keuntungn Model I () jm jm. Model II (y) jm jm. Lngkh : Model Mtemtik jm jm..y Mks: f(, y)..y, y y, y, Lngkh : Penyelesin Gmr dengn gris pd digrm Krtesius Y (, ) y y X 9y 8 y, mk Titik Pojok f (, y)..y (, ) (, ) (, ) (, )... Jdi, keuntungn mksimum yng diperoleh perushn dlh Rp.,.. Mislkn ju model I dn ju model II y. Pkin Kin Polos (m) Kin ergris (m) Model I Model II Persedin Model mtemtik: y y y Fungsi ojektif:..y Y Titik potong y y y y y y y y 8 Sehingg, (, 8) Uji titik pojok:, f.... (, 8) f.().(8).. (, ) f.().().. Jdi, penghsiln mksimum yng dpt diperoleh penjhit terseut dlh Rp..,. X Mtemtik IP untuk SM/M 7

8 .,. Fungsi uph Heni f().., > Fungsi uph Hni g()., Grfik kedu fungsi terseut dlh Heni Hni Uph per hri 9 Mtriks. nykny korn ri kesmn mtriks diperoleh dn.. y 8 y y y y ri kesmn mtriks diperoleh y y y Jdi, perndingn dn y dlh :. c. T c 7 iperoleh kesmn:... () ( )... () c ( 7)... () ri () diperoleh, sustitusikn ke () diperoleh ( ), sustitusikn ke () diperoleh c ( 7) c 8 Nili c 8.. X X X 9 X 8 det( X ) ( )( ). ( ) ( ). ( ) Vektor p p p p Jdi, ( ) ( c ) ( )( ) ( 8) ( )( 9) 7 7. dn Mislkn α dlh sudut ntr dn, mk 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

9 .. cosα ( ) ( ) ( ) i j k dn i j k Proyeksi vektor pd ( ) ( ) 8 8 ( ) 8 i j k i pj k p i j pk p Pnjng proyeksi orthogonl vektor pd, sehingg p p ( ) p p p p 7 p 7 p p 7 p 7 p 8p p p 8p p p ( p )( p ) 8 p tu p (tidk memenuhi) Trnsformsi. Mtriks yng ersesuin dengn refleksi terhdp gris. y, yitu T Mtriks yng ersesuin dengn refleksi terhdp gris y, yitu T Mtriks refleksi terhdp gris y dilnjut y, ersesuin dengn T T ' Sehingg y' y ' y' y engn demikin ' ' y' y y y' T T y ( y' ) ( ' ) y ' y' y y y ' y y' ' y' y' ' y' yngn y 7 dlh y' ( ' y' ) 7 y y 7 y 7 Mtemtik IP untuk SM/M 9

10 ... ' y' y ' y' y ' y y' ' y' y ' y' iperoleh: ʹ yʹ y ʹ yʹ Sehingg, persmn yngnny: (ʹ yʹ) ( ʹ yʹ) y y y Eksponen dn Logritm log( 8) < Syrt () 8 < ( ) log log 8 > 8 > 9 > ( )( ) > < tu >... () Syrt () ( )( ) > 8> < tu >...( ) tnd eruh, ilngn sisny di ntr dn Jdi, () () diperoleh < tu >. log ( ) log( ) Syrt () log ( ) log( ) log( ) ( ) log log( ) log 8 ( ) () Syrt () > > Syrt () > > () () ( () () diperoleh <. 9 7 ( ) Pemut nol ( )( ), { } Himpunn penyelesin tu > ( ) > 7 > > > > > < Penyelesin <.. Perhtikn gmr erikut., Y (,) (,) Kurv mellui titik (, ). Jwn yng memenuhi titik (, ) dlh hny pilihn. Jdi, jwn yng enr dlh. X Mtemtik Ip untuk SM/M

11 risn dn eret. U 7 U 9 7 9, mk Jdi, U U () 9 7. S n n n r koefisien n S' n { } { } { } { }. S ( ) ( 9 ) 9.. nyk kursi pd ris terdepn, U dengn S { ( ) } { ( ) } { } { 9} 8 7 Jdi, kpsits gedung pertunjukn dlh 7 tempt duduk.. risn geometri, dengn r > U U r r r 8 U 7 U r 8. S n n U S 8 U U S U, mk U 8 U Jdi, r 8 U 7. Potongn tli terpendek, U Potongn tli terpnjng, U 7 r 8 r 8 r 8 r r S ( 7) 7 Jdi, pnjng keseluruhn tli dlh 7 cm. imensi Tig. Kuus dengn rusuk cm, jrk titik F ke gris. F F Kren F F, mk F' Jrk titik F ke gris dlh FF' F ( F' ) ( ) ( ). Kuus dengn rusuk 8 cm. E H 8 O d(e, ) d(e, O) EO 8 O ( 8 ) EO E O ( 8) ( ) F G 9 E H F' F G. Pd kuus.efgh, jrk titik dengn idng G dlh digonl rung. igonl rung kuus dengn rusuk cm cm, sehingg igonl rung cm Jdi, jrk titik dengn idng G dlh cm. Mtemtik IP untuk SM/M

12 . Sudut gris T dn idng. T T' Proyeksi T pd idng dlh T ' Sehingg ( T, ) ( T, T' ) α T' Perhtikn ΔT 'T cosα T' α T. Perhtikn kuus.efgh di wh ini. E H (H, HF) (H, H) H H dn H F Perhtikn segitig H. erdsrkn turn kosinus diperoleh: H H H H cos H 78 cos H cos H. 8. sin H cos H sin H ( ) sin H sin H sinh G cos H. Gris potong idng F dn idng dlh. Gris pd idng F dn yng tegk lurus dlh FT dn T. ( F, ) ( FT, T ) α Perhtikn segitig siku-siku TF. T FT ( ) cosα T FT Trigonometri. c c cos cos c 7 8 c E cm H F α T G 8 cm 7 cm. Kpl erlyr dri ke sejuh km dengn rh. Kemudin dri ke sejuh 8 km dengn rh 7. km 7 8 km cos 8 ( )( 8) cos Jdi, jrk peluhn dri peluhn dlh km.. cos sin sin sin sin sin sin ( sin ) Mtemtik Ip untuk SM/M

13 sin, mk, π, π sin,, mk π π { } Jdi, HP, π, π, π, π. cos sin sin sin sin sin sin sin ( sin ) ( sin ) sin, mk, sin, mk 9 HP {9,, }. Sudut tumpul dengn sin y diperoleh y r dn r. Sehingg, r y cos r Sudut lncip dengn cos dn r. Sehingg, y r sin y r cos( ) cos cos sin sin 8 r, diperoleh. Sudut di kudrn II dn sin y r, diperoleh y dn r. Sehingg r y cos r sin sin cos 7. ( ) π dn sin sin cos ( ) cos cos sin sin cos π cos cos sin sin cos cos cos cos cos ( ) cos cos sin sin 8. sin sin sin ( )cos ( ) cos cos cos ( )cos ( ) 9. sincos coscos sin tn cos sin cos sin sin cos cos9 9 9 cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos 8. y sin cos cos Fungsi y sin memiliki periode π dn memiliki π mplitudo, yitu minimum dn mksimum. Sehingg grfik fungsi y sin dlh Y π π y sin π π π X. Jik diperhtikn grfik pd sol dlh grfik fungsi kosinus, entuk umum fungsi kosinus dlh f() y cos k( ) mplitudo, ( () ) Periode grfik, p π k π π p π Persmn fungsiny dlh y cos ( ) Grfik fungsi mellui titik, Mtemtik IP untuk SM/M

14 cos cos cos cos Sehingg persmn fungsiny menjdi: y cos ( ) cos ( ) Limit Fungsi. Gunkn turn L'Hopitl lim L lim. Gunkn turn L'Hopitl. lim lim lim ( ) ( ) ( L lim ) lim( ) lim( ). lim sin 7 7. lim cos lim sin tn tn lim( ) sin sin tn 7 Turunn Fungsi. y y ( ) N y ( ) N' Sehingg, y ( ) ( ) ( ) ( ) N y ()(). L kotk y y y Sehingg, V y 8 V 8 Volume kotk mksimum, mk V' Sehingg, 8 Jdi, pnjng rusuk persegi dlh cm.. f() y sin ( ) Mislkn u du d y sin u Mislkn v sin u dv cosu du y v dy v dv Sehingg, dy d dy dv du v cosu ( ) dv du d v cosu ( sinu) cosu sinusinu sin( ) sin( ) sin sin 8 ( ). sis, rtiny y ( ) ( ) 8 7 Titik yng dillui gris singgung dlh (, 7) y yʹ m yʹ( ) ( ) () Mtemtik Ip untuk SM/M

15 Persmn gris singgung: y y m( ) y 7 ( ) y 8 7 y 8 Integrl. ( )( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( 7 ) ( 9) ( ) 8. Mislkn u u π ( ) d u u du u u du 7 u u 7 u u ( 7 ) u ( u ) 7 ( ) ( ( ) 7 ) ( ) ( ) 7 ( 7 )( ). sin cos d sin sin π sin π π π () ( ). sin cos d Mislkn u sin d cos du Sehingg, sin cos d udu ( u ) u sin π. d ( )( ) ( ) ( ). Mislkn u du d d du Sehingg, 9 ( ) d du u u du u u 7. Titik potong gris y dengn kurv y 8, yitu 8 8 ( )( ), Titik potongny dlh (, ) dn (, ). L (( 8 ) ) d ( 8 ) d 8 8 ( ) ( ) 8 ( ) Jdi, lus derh rsirn dlh 9 stun lus. 8. Titik potong y dengn dlh y () () Titik potongny dlh (, ) L d ( )( ) ( ) 8 8 Mtemtik IP untuk SM/M

16 9. Titik potong pd sumu-x, rtiny y ( )( ), Titik potongny dlh (, ) dn (, ) V π ( ) d π ( ) d π π ( ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) )) π ( ( ) ( )( )) π π π 9 Sttistik. Nili Frekuensi (f i ) Nili Tengh ( i ) f i i Jumlh. fi i. 7, f i. erdsrkn histogrm pd sol diperoleh: Kels modus 8 T, s s I. n f i Medin Me Kels Me erd pd dt ke- n (kels ke-) Sehingg, s Mo T I s s, ( ),,, T,, I n F k Me T I f Me,,, 7, 97,. Kurtil wh Q terletk pd dt ke (), yitu kels ke-. Q 9, ( ) 9, 7,,. n f i Kurtil ts Q Kels Q erd pd dt ke- n (kels ke-) T,, I Q n F k T I f Q, ( ),,, 78, Pelung. kn diut nomor pegwi yng terdiri ts tig ngk. I II III Kotk I tidk oleh diisi ngk, sehingg d 9 cr. Kotk II dpt diisi dengn ngk, sehingg d cr. Kotk III dpt diisi dengn ngk gnjil yitu,,, 7, tu 9, sehingg d cr. Jdi, nykny cr dlh 9 Mtemtik Ip untuk SM/M

17 . Susunn pengurus yng mungkin terjdi merupkn permutsi dri 7 orng clon, sehingg P( 7, ) 7! 7! ( 7 )!!. sol pertm wji dikerjkn, errti d sol yng hrus dipilih dri sol sis. Susunn sol terseut merupkn kominsi dri. (, )!! ( )!!!. Mislkn {kejdin munculny mt ddu erjumlh 7} n() {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} {kejdin munculny mt ddu erjumlh } n() {(, ), (, ), (, )} S {rung smpel du uh ddu}, n(s) Kejdin munculny mt ddu erjumlh 7 tidk terjdi secr ersmn dengn kejdin munculny mt ddu erjumlh. engn demikin dn merupkn kejdin sling leps. P( tu ) P( ) P( ) 9. (, )!! ( )!!! (, )!!. ( )!!! Pelung termil krtu King (, ) (, ).. Pelung memut gol, P( G) Pelung tidk gol, P( G' ) Pelung memut gol dri tendngn: 8 Jdi, pelung li untuk memut gol dlh 8. Mtemtik IP untuk SM/M 7

18 PEMHSN N KUNI JWN PEMHMN PKET MTEMTIK IP ( 7 ) ( 7) ( ) ( ) c c log logc logc log( ) log c log log c c log c log log 7. ( ) ( ) > ( ) ( ) > Mislkn y, mk pertidksmnny menjdi: y y > ( y) ( y )> Pemut nol fungsi: y dn y y < tu y > < > < > < > Jdi, nili yng memenuhi dlh < tu >.. ( f g)() f ( g()) 7 f () f(g()) g() 7 g() 7 g() g() g(). f( ), dn g() g f g f g ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 7, Jik f( ), c d d, mk f ( ) d. c c Kren g f ( ) 7,, mk ( g f ) ( ) 7 7, 7. PK: kr-kr: p dn q p q pq (p q) () p q pq 8 (p q) pq pq 8 (p q) pq 8 ( ) ( ) 8 8 ( ) 8., kr-krny dn. 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

19 Persmn kudrt ru yng kr-krny dn. Misl: c d c d ( ) ( ) ( ) ( ) cd ( )( ) 9 9() ( ) 9() ( ) 8 PK ru: (c d) cd ( ) Semu wrg negr yng erumur di ts 7 thun memiliki hk pilih. Semu mhsisw S- erumur di ts 7 thun. Jdi, semu mhsisw S- memiliki hk pilih.. Fungsi y c d engn,, c, dn c d Titik punck:,,, sehingg c c () Grfik fungsiny y d Sustitusikn (, ) ke fungsi. () () d d d d Jdi, c d. Mislkn umur Pk ndi, umur u ndi, dn umur mir Kit uh dn dlm entuk untuk memperoleh nili. 9 ( ) ( 8) Jdi, jumlh umur mir dn u ndi dlh 8 thun.. Mislkn hrg pulpen, uku tulis, dn pensil c ni c. eri c 8. indi c. () () () ri persmn () dn () diperoleh: c. c 8. 9 c. c 8. 7 c 8. ( ) ri persmn () dn () diperoleh: c 8. c. c. 9c. 7c. ( ) ri persmn () dn () diperoleh: 7 c 8. 7 c 8. 7c c7. c 8. c. Sustitusikn c. ke persmn () diperoleh 7(.) Sustitusikn. dn c. ke persmn () diperoleh (.) (.).... eni c..... (.)... Jdi, eni hrus memyr seesr Rp.,. Mtemtik IP untuk SM/M 9

20 . y 8 y y y y iperoleh Jdi, : y : y y. ikethui mtriks,, dn. ( ) ( ) ( ) 8 8 det( ( )) ( 8) ( ) ( ). U U (7) Sehingg, S ( ( 8) ( 7 ) ) 7 ( ) 8 ( 8 ) ( 9). 8. U r r r U r ( ) ( ) 9 7. Mislkn pengmiln uln pertm U U.. U.9. U.8. U U Kren.. dn 7., sehingg ( ) ( ) (.. (. )) S (.. ) ( ) 7... ( ) 7. 8 ( 7.. ) 9.. Jdi, jumlh seluruh ung yng telh dimil selm uln pertm dlh Rp9..,. 8. f () P() H() S f () ( ) ( h) ( ) f () ( ) ( k) ( ) Fktor dri : ( ) ( )( ), S f () () S f ( ) ( ) f () ( ) ( k) ( ) f () ( ) ( k) ( ) ( k) k k k f () ( ) ( ) ( ) f () f () 9. lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 9 ( ) ( lim )( ) lim 9 Mtemtik Ip untuk SM/M

21 . lim {( ) } lim{ } lim{ } ( ) 7. Grdien persmn gris singgungny diperoleh: m yʹ m () Persmn gris singgungny: y ( ) y Sustitusikn y Jdi, gris singgung kn memotong gris di titik (, ).. Mislkn u du d ( ) d du ( ) Sehingg, d u du ( ) u du ( ) ( u ) u ( ). d ( ) () () () Fungsi y yʹ Stsioner yʹ yʹ ( )( ) iperoleh dn Jik yʹʹ <, mk fungsi nik Jik yʹʹ >, mk fungsi turun yʹʹ Untuk, yʹʹ ( ) <, mk fungsi nik dn terjdi titik lik mksimum pd Sustitusikn ke fungsi y, diperoleh: y ( ) ( ) y y Jdi, koordint titik likny dlh (, ).. Segitig lncip dengn cm dn cm. cos s mi de mi s 9 Sehingg, sin de mi turn sinus c sin sin sin sin de mi Mtemtik IP untuk SM/M

22 . s mi de 9 7 cos s 7 mi 7 cos cos cos cos cos cos ( ) ( ) cos cos cos9 cos cos 7. cos sin sin sin sin sin sin sin ( sin) ( sin ) sin tu sin Untuk sin sin sin sin k k tu (8 ) k k k Untuk sin sin sin sin 9 9 k k 9 9 tu (8 9 ) k 9 k k 9 9 HP {, 9, } 8. Kpl erlyr dri ke sejuh mil dengn rh. Kemudin dri ke sejuh 9 mil dengn rh. 9 cos Jdi, jrk terdekt dri peluhn ke dlh 7 mil. 9. Kuus.EFGH dengn rusuk 8 cm, M titik tengh EH. E M G digonl rung 8 Perhtikn GHM GM GH HM 8 8 Perhtikn EM M E EM 8 8 Perhtikn ΔGM H M N F N MN ( ) ( ) 8 8 Jdi, jrk titik M ke G dlh G G cm. Mtemtik Ip untuk SM/M

23 . Perhtikn kuus.efgh erikut ini. E H F G Gris G merupkn digonl rung, sehingg G. Sudut ntr digonl G dengn idng ls sm dengn sudut ntr gris G dengn gris, yitu α, dengn. Sehingg, sinα G G. Perhtikn kuus.efgh erikut ini.. E H O (G, G) (G, GO) α Sehingg, G O F G G tnα O G i j k dn i j k Proyeksi orthogonl vektor pd i j k ( ) 9 i j k i j k ( ) 9. y y y y y y Sehingg, ( ) (y ) P(, ) (, ) () ( ). Lingkrn yg erpust di (, ) dn menyinggung gris y. Jrk titik (, ) ke gris y dlh d () ( ) 9 Sehingg persmn lingkrnny dlh ( ) (y ) y y y y 7. Pencerminn terhdp gris y (, y) (ʹ, yʹ) (y, ) engn: ʹ y y ʹ yʹ yʹ () () Sustitusikn () dn () ke persmn gris diperoleh: y ' y' ' y' y' ' y' ' y Mtemtik IP untuk SM/M

24 . t dengn frekuensi ternyk terdpt di kels dengn intervl,,. T, I,, s 8 s s Mo T I s s,, 8,, 7, 7. n f i Kurtil ts Q Kels Q erd pd dt ke- n (kels ke-) T 7, 9, Pnjng kels, I Q n F k T I f Q 9, ( 8 ) 9, 7 8 9, 8, 7 78, 8. ngk-ngk,,,,,, kn disusun menjdi sutu ilngn leih dri yng terdiri ts ngk. Ksus I: rtusn > Rtusn:,, cr Puluhn: cr Stun: cr Sehingg, 9 cr Ksus II: rtusn, puluhn > Rtusn: cr Puluhn:,, cr Stun: cr Sehingg, cr Ksus III: rtusn, puluhn, stun > Rtusn: cr Puluhn: cr Stun:,,, cr Sehingg, cr Totl 9 9 Jdi, nyk ilngn yng dpt disusun leih dri dlh 9 cr. 9. Terdpt sol, sol wji dikerjkn, tersis sol lgi. kn dipilih sol dri 7 sol tersedi sehingg 7! 7! ( 7 )!!!! 7! 7! 7 Jdi, seorng pesert ujin memilih sol yng dikerjkn dlh cr.. Mislkn S semu jenis ikn di kolm, n(s) 7 M kejdin terpncingny stu ikn ms n(m) n( M) n( S) P M Jdi, pelung Pk mir mendptkn ikn ms untuk stu kli memncing dlh. Mtemtik Ip untuk SM/M

25 PEMHSN N KUNI JWN PEMHMN PKET MTEMTIK IP... 7 y z 8 y z 7 7 y z 8 ( 7) ( ) ( ) y z y z ( ) ( ) 9 log log( ) log log9 log log log p ( p ). log log ( ) < Syrt pertidksmn log ( ) < log 7 < 7 7 < ( 9)( ) < < < 9 Syrt numerus > () > > () ri (), (), dn () diperoleh irisn. f () dn g(), ( f g)( ) f( g( ) ) f ( ) ( ) 7 8, () { }. < < 9. f, dn g() ( f g)( ) f( g( ) ) f( ), 7 7 Jik f, 7, mk f d 7 c f g 7 f g 7, 7. Persmn kudrt kr-krny p dn q dengn p pq q 8. p q p q p pq q ( p q ) pq 8 (( p q) pq) pq 8 ( p q) pq 8 ( ) 8 8 ( ) 8. dn dlh kr-kr persmn kudrt, mk dn ( ) ( ) ( ) 8 J ( ) ( ) 8 H ( )( ) PK ru (J) H ( ) ( ) 8 Mtemtik IP untuk SM/M

26 9. Jik gris k tegk lurus idng, mk semu gris di idng tegk lurus gris k. Pernytn terseut merupkn sutu impliksi yng mengndung pernytn erkuntor (mengndung kt semu ). Ingt: ~ (p q) p ~q dn ~ (semu q) d ~q engn demikin, negsi pernytn di ts dlh: Gris k tegk lurus idng, tetpi d gris di idng yng tidk tegk lurus gris k.. Grfik fungsi y (m ) m m seluruhny erd di ts sumu-x definit positif, dengn syrt > dn <. > m > m >... () < c < ( m) (m )(m ) < m m m 8 < () () m > m 8 < m < 8 m > 8 m >... () Jdi, hruslh dipenuhi m >.. Mislkn nyk orng dews, nyk peljr, dn nyk nk-nk c. Sehingg, c (). 7..c.. 7 c. () () ri persmn () dn () diperoleh: c 7 c. c 7 c ( ) ri persmn () dn () diperoleh: Sustitusikn ke persmn () () 8 8 Jdi, nykny tiket yng terjul untuk dews dn peljr erturut-turut dlh 8 dn.. Mislny: seped gunung seped lp y Jenis Seped Hrg Jumlh Keuntungn Seped gunung... Seped lp.. y... Model mtemtik: y,....y.. y 8,, y Fungsi tujun: mks f (, y) (..y) Titik potong y dn y 8 Y y 7 y 8 y 9 (,9) y 9 8 X 9 Titik potongny (, 9) Titik Potong f (, y)..y (, ).. (, 9) (mks) (, ).. Keuntungn mksimumny dlh Rp.., det ( ) 7 ( ) 7( ) Mtemtik Ip untuk SM/M

27 7. P P 8 9 P P P 8 P. risn ritmetik dengn U dn U 9. U U U 9 ( 8) U 9 (8) 8 8. lm deret ritmetik, S n ( n ( n ) ) S { (. ) ( 8. ) } ( ). 7. Jdi, jumlh keuntungn smpi uln ke- dlh Rp.7.,. 7. U r r r 8 r lm deret geometri, S n r n ( ) ; r > r Sehingg: S 8 8 ( ) (. ) (.). 8. P() digi ( ) ersis, rtiny P( ) P( ) ( ) ( ) 9( ) ( ) lim P( ) ( ) ( ) 9( ) ( ) lim 9 ( entuk tk tentu ) lim lim( ). lim{ ( ) 9 } ( ) ( ) 9 lim{ ( c) p q} c p. f( ) fʹ() fʹʹ() Nili stsioner fʹ() ( )( ) tu erdsrkn gris ilngn di ts dpt diperoleh fungsi f mencpi nili mksimum reltif untuk nili.. d Misl: u du d du d d u du u du u u u ( ) Mtemtik IP untuk SM/M 7

28 . d turunkn integrlkn ( ) 7 7 ( ) 8 ( ) ( ) d ( 7 ) () 8 ( ) 7 ( ) [ ] 7 8. Keuntungn hrg jul iy produksi K() ( 8 ) 8 8 Keuntungn mksiml K() K'() ( )( ) tu Keuntungn () 8() () (8) 8() Jdi, keuntungn mksimum yng diperoleh perushn dlh Rp.,.. α β π dn sinαsin β ( α, β sudut lncip) cos( α β) cos π cosαcos β sinαsinβ cosαcos β cosαcos β cos ( α β) cosαcosβ sinαsinβ. sin sin sin sin cos cos cos cos 7. cos cos ; 8 ( cos ) cos Ingt: cos cos cos cos ( cos )(cos ) cos tu cos tu 8 Jdi, himpunn penyelesinny {, 8 }. 8. Lingkrn erjri-jri cm diut segi-8 erturn. 9. engn menggunkn turn kosinus ( )cos Jdi, pnjng sisi segi-8 erturn terseut dlh cm. digonl sisi ls O ( ) TO T O T O ' cm ( ) ( ) 7 8 Perhtikn segitig T yng merupkn segitig sm sisi. T O ' Lus TO T ' ' ' Jdi, jrk ke gris T dlh. 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

29 . Perhtikn gmr erikut. T G' GO ' titik ert G cos ( G, G G' ) G E Perhtikn T. T 8 H TQG kongruen dengn T, sehingg GQ GT GQ GQ T 8 Kren T sm dn sengun dengn T, mk PG GQ. Selnjutny perhtikn hw PQG siku-siku di G. PQ PG QG ri lus PQG, GQ PG QP GR GR GR tnα GR GT. Kuus.EFGH dengn rusuk cm Perhtikn GO H O digonl idng ( ) GO G O O ' P R F P G G Q G R Q. cos 9 Mtemtik IP untuk SM/M ( ) ( ). Ingt: Jik lingkrn erpust (, y ) menyinggung gris Sehingg: y, mk R y ( )( ) R ( ) Persmn lingkrn dengn pust (, ) dn jri-jri dlh: ( ) (y ( )) ( ) (y ). y 7 y 7, grdienny grdien gris singgung y y ( ) 9 (y ) ( ) (y ) Gris singgung lingkrn ( ) (y ) R dengn grdien m dlh: y m( ) ± R m engn demikin diperoleh: y ( ) ± y ± y ± y y y y. ' ' y' y y' y ' ' y y' y y' y ' y' 9

30 iperoleh ' dn y y' Kit sustitusikn ke persmn kurv, y' sin ' y sin () ( sin cos ) y sin cos. Ukurn f 7 8 Kels modus Frekuensi ternyk dlh, sehingg kels modus terletk di. T, s s Pnjng kels, Mo T Mo, s s s, 7 7. ert dn (kg) f F kum Kels Q () terletk pd intervl 7 T, ; f s 7 ; f(q ) 7 ; Q T n fs f Q s, 7, engn menggunkn turn pengisin tempt. Riun Rtusn Puluhn Stun nyk susunn ilngnny dlh. 9. nykny tim yng mungkin dientuk 9!! 9! 9, 9 8 7!! 9 7. Kotk I, n(s) (, )!!!( )!! termil ol merh n() (, )!!!( )!! P() n ns 8! Kotk II, n(s) (8, ) 8 7! 8!( 8 )!! termil ol iru n() (, )!!!( )!! P() n ( ) n( S ) 8 P( ) P() P() 8 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

31 PEMHSN N KUNI JWN PEMHMN PKET MTEMTIK IP.. ( ) y y : y y Kit rsionlkn menjdi y y ( y). y y y y y y y y y y y ( y) y y log log log log } log log log log log ( ) log log. >, R ( ) > ( ) ( ) > ( )( ) > Pemut nol fungsi, < tu >. f () dn g() ( g f)( ) g( f( ) ) g( ) ( ) ( 9 ) 8 8. f, Jik f c d, mk f d c f, f, ( ) f ( ) ( ) f f, 7. Persmn m dengn kr-kr positif α dn β, dengn α β Ingt: Jumlh dn hsil kli kr-kr persmn kudrt c dn ri persmn di ts, α β m β β m β m α. β β. β 8 β... () β (kren dikethui β positif) diperoleh β m m m 8. Persmn (m ) m mempunyi krkr rel, errti. c (m ) ()(m ) m m 8m m m (m )(m ) Mtemtik IP untuk SM/M

32 Pemut nol fungsi: m dn m Jdi, ts yng memenuhi dlh m tu m. 9. Premis : Jik hri ini hujn ders, mk on tidk kelur rumh Premis : on kelur rumh Kedu premis di ts dpt dimislkn segi erikut. P : p q P : ~ q ~ p (Modus Tollens) Jdi, kesimpuln yng sh dlh hri ini hujn tidk ders.. Grfik teruk ke wh < Memotong sumu-x di du titik > Kedu kr positif > dn c > Pernytn yng enr dlh (), (), dn ().. Mislkn: Umur eks Umur Elis E Umur Fird F Kit uh dn F dlm entuk E. E E F F E E F 8 (E ) E (E ) 8 E 8 E 7 E 9 F 8 E Jdi, jumlh umur eks dn Fird dlh 9 thun.. Mislkn: nykny permen nykny permen y Jenis Permen y Tmpung Hrg eli Keuntungn. y.. Model mtemtik: y,.. y. y,, y Fungsi tujun: mksimum f(, y) y. Skets gmr: Y Titik potong y dn y y y y Titik potongny (, ) Titik Pojok (, ) (, ) (, ) y y X f (, y) y..... (mksimum) Jdi, gr keuntungn mksimum i hrus memeli ung kus permen sj iperoleh: (). 8 8 d Ingt: Jik,mk c d d c c ( ) Mtemtik Ip untuk SM/M

33 . eret ritmetik dengn S n n n. U n S n S n U 9 S 9 S 8 ((9) (9)) ((8) (8)) Penjuln uln Jnuri, U kg Penjuln uln Feruri, U kg Mret dn seterusny selm uln ertmh kg Sol di ts merupkn sol deret ritmetik dengn kg dn kg ( ) S n n n S 9 ( ) ( 9) (). Jdi, jumlh dging yng terjul selm uln dlh. kg. 7. Thun jut Thun jut jut Thun 99 jut jut Thun 98 jut 8 jut Thun 97 8 jut jut 8. f () P() H() S f () ( ) ( h) f () ( ) ( k) Fktor dri : ( ) ( )( ), S f ( ) ( ) S f () () f () ( ) ( k) f ( ) ( ) ( k) ( k) k k f () ( ) ( ) f () f () 9. lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ). lim( ) lim( ). f(). f ʹ() fʹʹ() Nili stsioner jik fʹ() ( ) tu 9 erdsrkn gris ilngn di ts dpt diperoleh fungsi f mencpi nili minimum reltif untuk. d 7 ( 7) Misl: u 7 mk du d du ( ) d 7 d du u du u u u 7 Mtemtik IP untuk SM/M

34 . 8 d 8 ( ) 8 ( 8 ( )) 8 8. Keuntungn hrg jul iy produksi K() ( ) Keuntungn mksimum, K'() ( )( ) tu Untuk, K() () () () Jdi, keuntungn mksimumny dlh Rp.,.. Pd segitig erlku. 8. Siku-siku di errti 9, sehingg 9 cos ( ) cos 9 cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos Selnjutny, cos ( ) cos cos sin sin sin ( ) sehingg cos ( ± ) cos cos sin sin sin sin cos cos ( ) ( ) sin sin cos ( ) ( ) sin sin cos sin cos 7. cos cos ; π (cos ) cos cos cos cos (cos ) cos tu cos π, π, π Himpunn penyelesinny dlh {, π, π, π. } 8. Lingkrn erjri-jri 8 cm diut segi-8 erturn. 8 engn menggunkn turn kosinus: cos Jdi, pnjng sisi segi-8 erturn terseut dlh 8 cm. 9. Kuus EFGH dengn rusuk cm P titik tengh G. H E P' O H digonl rung Perhtikn P F G P P 8 Perhtikn HGP HP HG GP s 8 P cm 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

35 Perhtikn HP P H P' HP' H cm cm PP' HP HP' Jdi, jrk P ke gris H dlh cm.. Lims erturn T. dengn rusuk ls cm dn rusuk tegk cm. tn (T, ) TT ' T ' Perhtikn TT ' T ' digonl sisi ls: T T ' TT' T ( T ' ) ( ) tn (T, ) TT ' TT' T ' T ' ( ) ( )( ). Pust (, ) dn menyinggung gris, mk r. Persmn lingkrnny: ( ) (y ) y y y y. Mislkn persmn gris singgungny: y m () Mellui titik (, ) m m () Sustitusikn () ke persmn lingkrn: (m ) (m ) (m ) (m m) () Sustitusikn () ke () diperoleh (m ) (m m) m m () Syrt menyinggung: (m m) (m )(m m ) 9m m 9 (kedu rus digi 8) m 7m (m )(m ). H G E F T α T' K m tu m Untuk m Jdi, PGS-ny y Nili m sustitusikn ke () diperoleh () T G cm; digonl sisi cm T ' ( ) cm TT ' T ' T 8 sinα T ' TT '. Jik vektor dn sling tegk lurus, mk ikethui: dn 7 (Kedu rus dikli 8 ) 9 ( ) Sustitusikn ke () diperoleh y ( ) Titik singgungny (, ). Jrk titik (, ) ke (, ) dlh ( ) ( ). Pencerminn terhdp sumu X Trnsformsi oleh dilnjut pencerminn terhdp sumu-x ditulis: Mtemtik IP untuk SM/M

36 Sehingg ' y' y ' y ' y' y' ' y' diperoleh: ' y' dn y ' y' yngn y dlh ( ' y' )( ' y' ) ' y' ' y' ' y' tu y. Kels Frekuensi Kels modus dlh intervl 9, kren frekuensiny teresr, yitu. engn demikin, T 9,, S 8, S 9, dn p M o T S S S p 9, 9, 7 7. ert dn (kg) f Kels Q n ( ) terletk pd intervl ke-. T, ; F s ; f ( Q ) ; I n F s Q T I f, ( Q ),, 8. WIYT terdiri ts huruf dengn huruf yng sm, yitu. nyk susunn kt!! kt!! 8 9. nykny cr!! ( 8 )!! ( )!! 8 7!!!!!! 8 8 7!!!!. lm kntong terdpt 8 kelereng merh dn kelereng putih, kn dimil kelereng sekligus. n( S) 8! 8 7! 8,! 8!! : termil kelereng putih dri kelereng n( )! 9 8! (, )!! 8! P n ( ) n( S) Mtemtik Ip untuk SM/M

37 PEMHSN N KUNI JWN PEMHMN PKET MTEMTIK IP.. c c c c c ( ) ( ) 8 ( ) 9 8 ( ) ( ). log 88 log ( ) log log log log( ) log log( ) log log log log q p q p. ( q p) q p q p log( ) log log log log log log ( ) q p q p tu () Syrt numerus: > dn > () Jdi, nili yng memenuhi sj.. ( f g)( ) f( g( )) { g( )} ( Kudrtkn kedu rus) { g( )} ( ) { g( ) } ( ) { g( )} ( ) ( ) ( ) { g( )} ( ) ( ) ( ) { g( )} ( ) { g( )} g( ) ( ) g( ), ( ) (. (f g)() f(g()) f( ) ) 7 ( ), 7 Ingt Jik f( ), mk f ( ) d c d c f g f g 7, 7 7. Persmn (m ) memiliki kr-kr dn, 8m. Kit tentukn dhulu jumlh dn hsil kli krkrny. ( m ) m c ( ) ( m ) ( ) m m m m Mtemtik IP untuk SM/M 7

38 8m (m m ) ( ) 8m m m 8m m m (m )(m 7) m tu m 7 8., kr-krny dn c Persmn kudrt yng kr-krny dn. Misl: c c ( ) ( ) 8 ( ) c 9 ( ) ( ) Persmn kudrt ru: c c 8 9 ( ) ( ) Premis (): Jik hri hujn, mk iu memki pyung. Premis (): Iu tidk memki pyung. Kedu premis di ts dpt dimislkn segi erikut. P : p q P : ~q ~p (Modus Tollens) Jdi, kesimpuln yng sh dlh hri tidk hujn.. Grfik y p (p ) p memotong sumu-x di du titik. Grfik memotong sumu-x di du titik, mk > > c > (p ) p( p ) > p p p p > p p > (p )(p ) > Pemut nol fungsi, p dn p p < tu p > Jdi, ts-ts nili p yng memenuhi dlh p < tu p >. Jwn: (.) Ung kemlin... Jdi, Nov kn menerim ung kemlin seesr Rp.,.. Mislkn nyk moil dn nyk us y Jenis Lus (m ) y Mut iy Prkir Moil us y 7 Model mtemtik: y, y 7 y,, y Fungsi tujun: mksimumkn f (, y) y Skets gmr: Titik potong y dn y y y y y Y X 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

39 . Titik potongny (, ) Titik Pojok f (, y) y (, ). (, )... mksimum (, ).7 Jdi, penghsiln mksimumny Rp.,. 9 y y 8 y 9 iperoleh 9 9 y 9 y 9y y y 7 Sehingg, y 9 ( 7) T 8 T det ( )( ) ( )( ) eret ritmetik dengn S n n n. lm deret ritmetik erlku: U n S n S n Sehingg, U S S 9 ( ()) (9 (9)) ( ) ( 7) 8. Mislkn ung yng diterim si ungsu, mk: nk ke- memperoleh. nk ke- memperoleh. nk ke-/si sulung memperoleh. (.) (.) (.) Jdi, ung yng diterim si ungsu dlh Rp7.,. 7. U r r 8 r 8 r S ( n r n ) r S ( ) Jdi, pnjng tli semul dlh cm. 8. P() P() digi ( ) sis, rtiny P() P() () () () () P() digi ( ) sis, rtiny P( ) 7... () P( ) ( ) ( ) ( ) ( )... () 7 Untuk, mk 7 7 Jdi, nili () lim lim ( 9 ) 9 lim lim 9 ( 9 ) 9 ( ) 9 lim lim ( 9 ) ( 9 ) ( ) Mtemtik IP untuk SM/M 9

40 . Jik lim{ ( c) p q} L, mk erlku L Sehingg, lim c p. { } ( ) 9 ( ) ( )( ) 9. f( ) fʹ(). fʹʹ() Nili stsioner jik fʹ() ( 8)( ) 8 tu 8 erdsrkn gris ilngn di ts dpt diperoleh fungsi f mencpi nili mksimum reltif untuk 8. Sehingg, f ( 8 ) ( 8) ( 8) ( 8) ( ) ( )( 8) 9 7 d 9 Mislkn u 9 du 9 d du ( ) d d du 9 u u du u du u 9. π sin cos d ( cos) sin cos( π) si n π cos sin () [ ] π. Lus kotk tnp tutup yng lsny persegi cm Misl rusuk persegi cm dn rusuk yng lin tinggi kotk t. L t t r t r mksimum pil r'. π ; sin sin. cos ( ) cos π cos cos sin sin cos cos cos cos cos ( ) cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin ( ) ( ) sin sin sin8 sin sin sin sin sin sin 7. cos sin, 8 ( sin ) sin (sin ) (sin ) (sin ) sin ( sin )(sin ) Mtemtik Ip untuk SM/M

41 8. sin tu sin (tidk memenuhi) sin sin sin sin Jdi, himpunn penyelesin {, } 7 turn kosinus cos 7 cos 9 ( 8)( ) 8 (tidk memenuhi) tu Jdi, keliling 9. Perhtikn gmr erikut. E Perhtikn PH. H P' 7 cm cm cm cm H P PH P PH cos P ( ) ( ) cos P cos P cos P H P F P G PH GH PG P PH P P ( ) Perhtikn segitig erikut. P ( ) Sehingg, sinp Lus PH P PHsinP Lus PH H PP' PP' PP' cm. Lims P.QRST dengn rusuk ls cm dn rusuk tegk. cm. Q T P O R Perhtikn ΔPTO S TO TR digonl ( ) cm Perhtikn POS PO PS OS ( ) cm tn ( PT, QRST PO ) TO E α Mtemtik IP untuk SM/M

42 . Perhtikn. sin sin tn tn Kren segitig smsisi, mk. E Perhtikn E siku-siku di E. E E Perhtikn E siku-siku di. E E tnα E, mk p p p p p ( ) ( c ) p 8 8 ( p 8) 9 9 ( 8) 7. Pust (, ) dn menyinggung gris y, mk r Persmn lingkrn: ( ) (y ) y y 9 y y. Lingkrn L ( ) (y ) 9 me mo tong gris y. Gris singgung yng mellui titik potong L dn gris. Titik potong lingkrn dengn gris y ( ) ( ) 9 ( ) 9 tu Y y Gris singgungny dlh dn. Rotsi dengn pust O(, ) sejuh 9. R (, 9 ) X iltsi dengn pust O(, ) dn k R (, 9 ) dilnjutkn diltsi [O, ] dlh ' y Sehingg y' y iperoleh: ' y y ' y' y' y 9 T T y 9 y y y y y. t dengn frekuensi ternyk terdpt di kels ke- ( ) T, 9, I s s 7 7 s Mo T I s s 9, 7 9, 9 9,,, Mtemtik Ip untuk SM/M

43 7. ert dn (kg) f Kels Q n ( ) terletk pd intervl ke-. T,; F s ; f ( Q ) ; I n F s Q T I f, ( Q ),, 8. Sisw wji mengerjkn 8 dri sol, tetpi smpi wji dikerjkn. Kren sol wji dikerjkn, mk d sol lgi yng hrus dipilih dri sol sis, yng errti kominsi dri. n! ( n, r) r!( n r)!!! (, )!!! Jdi, d cr untuk memilih sol. 9. cr cr cr < nykny cr ngk, 7, 9 ngk,, 7, 9 Hny ngk. Pelemprn uh ddu ersm-sm stu kli. n(s) muncul mt ddu erjumlh {(, ), (, ), (, ), (, )}, n() muncul mt ddu erjumlh 7 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, n() P P P n n n( S) n S 8 PEMHSN N KUNI JWN PEMHMN PKET MTEMTIK IP. ( ) c c 8 Misl: y 9, mk persmnny menjdi: y y 9 > (y )(y 9) > Pemut nol fungsi y dn y 9.. ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 log( 8 ) log 8 log( ) log 9 log log9 log log log log log log >, R (9 ) 9 9 > 9 y < tu y > 9 9 < 9 > 9 9 < 9 9 > 9 < > Jdi, nili yng memenuhi dlh < tu >. f () dn g() (g f)() g(f()) g( ) ( ) ( ) 9 8 Mtemtik IP untuk SM/M

44 . f, dn h() ( f h)( ) f( h( ) ) f( ) ( ) ( ), Jik f c d, mk f d c f h, f h, 7. ( 8) ingt rumus jumlh dn 8 hsil kli kr-kr c c c () c c Mtemtik Ip untuk SM/M 8. Persmn (p ) p mempunyi du kr rel ered, errti > c > ( p 8) ()(p) > p p 8p > p p > p p > (p )(p 8) > Pemut nol fungsi dlh p, p 8 8 p < tu p > 8 9. "Jik semu nggot kelurg pergi, mk semu pintu rumh dikunci rpt" Pernytn di ts merupkn sutu impliksi yng me ngndung pernytn erkuntor (mengndung kt semu) Ingt: ~ (p q) p ~q dn ~(semu q) d ~q engn demikin, negsi pernytn terseut dlh: Semu nggot kelurg pergi dn d pintu rumh yng tidk dikunci rpt.. Grfik fungsi y menyinggung gris y. y y ( ) 7 engn, ( ), dn c 7 Kren menyinggung, mk c ( ( )) ()(7 ) ( 9)( ) 9 tu. Mislkn hrg meter sutr dn hrg meter ktun y mk: y y 8. (y) y 8. y y 8. 9y 8. y. iperoleh (.). Jdi, hrg meter sutr dlh Rp.,.. Mislkn: tlet I, tlet II y Tlet Vit. Vit. Hrg I. II 8. Fungsi tujun: minimumkn f(, y). 8.y Model mtemtikny: ; y ; y ; y Titik potong pd kedu gris y y y y y untuk, mk y Y (, ) X Titik potongny (, )

45 Titik Pojok f (, y) (. 8.y) (, ).(). (, ).() 8.(). (, ) 8.(). Jdi, pengelurn minimumny dlh Rp.,. y. y 9 8 y y 9 8 y y iperoleh: 8 y y y y y ()().,, dn dlh invers dri mtriks, mk ( ) ( ). risn geometri, U dn U. U r U r U U r r r 7 r U r U r 8. lm deret ritmetik, S n n ( (n )) Sehingg: S ((..) 9(.)) (...8.) (..).. Jdi, totl seluruh gji yng diterim dlh Rp..,. 7. risn geometri dengn n 7, U dn U 7 8. U 7 r r 8 r r ( n ) Jumlh deret geometri dirumuskn: S n r r 7 ( ) ( 8 ) S 7 7 Jdi, pnjng keseluruhn tli terseut dlh 7 cm. 8. Mislkn: h() digi ( ) ersis h() k()( )( ) h() () f () g() h( ) ( ) f ( ) g( ) 8 ( 9) 7 7 Sehingg, 7 9 Jdi, sis pemginny lim lim ( 8 ) ( ) lim pil menggunkn dlil L Hospitl, mk: 8 L lim lim pemilng dn penyeut, msing-msing diturunkn. lim( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim( ) ( ), Mtemtik IP untuk SM/M

46 . f, u u v v u f( ) ' ' f' ( ) v( ) v { } Mislkn u(), mk uʹ() v(), mk vʹ() Sehingg, ( ) f'( ) ( ) 88 ( ),. d Misl: u du d du d Untuk u Untuk u d u du u du u u 8 7 ( ) ( ) cosudu sinu. Mislkn u, mk du d tu d du cos ( ) cos d u du ( ) Kit gnti ( kemli fungsi u, sehingg cos ) d sin. L hrg jul iy produksi L(). (9.. ) L(). 9.. L(). 9. L'().. L ().() 9. (.) Jdi, l mksimum yng dpt diperoleh perushn terseut dlh Rp9.,.. sudut lncip di kudrn I (semu ()). tn de s mi de s 9 Sehingg, sin dn cos. Kren di kudrn I, mk nili sinus dn kosinus tetp positif. sudut lncip di kudrn I (semu ()) sin de mi s mi de 9 Sehingg, cos s. Kren di kudrn I, mk mi nili kosinus tetp positif. cos( ) cos cos sin sin 8 cos 7 sin 7 sin7 sin cos7 cos cos 7 ( ) cos 7 ( ) cos sin ( ) ( ) sin cos cos cos ( ) ( ) tn Mtemtik Ip untuk SM/M

47 7. cos sin, π ( sin ) sin sin sin sin sin ( sin )( sin ) sin (tidk memenuhi) tu sin 7 π, π Jdi, HP 7 { π, π }. 8. ikethui m, m, dn. erdsrkn turn kosinus cos Jdi, jrk tonggk dn dlh m. 9. Kuus.EFGH dengn pnjng rusuk 8 cm. H G E F Perhtikn EGE', EG digonl sisi 8 EE' EG ( GE' ) 8 8. Perhtikn gmr erikut. E P H Perhtikn PG PG PH HG 8 8 F P PG P P P O G G EG digonl sisi 8 E' O K cm Perhtikn GO, O digonl sisi GO G O ( 8 ) 8 ( ) 9 GE' GO (E' titik ert G) 8 PO PO P O PG OG ( 8 ) 8 PO PG OG 8 ( ) ( ) 8 Mtemtik IP untuk SM/M 7

48 . Perhtikn gmr di wh ini. E H P Perhtikn PE P PF F E θ Q F O PO P PO EP EO P O G θ PO EP EO ( ) 8 8 O tnθ PO O. Vektor i j k Vektor i j k Proyeksi vektor orthogonl vektor pd vektor dlh:.. ( )( ) i j k ( ) 8 i ( j k ) ( i j k ) i j k. y y 9 y y 7 y ( ) ( ) 7 iperoleh titik pust lingkrn, r 7. dn jri-jri Kren lingkrn menyinggung sumu-y, mk r, sehingg: ± 8 Jdi, nili yng memenuhi persmn lingkrn dlh 8.. Mislkn persmn lingkrnny y y dengn pust,. Persmn lingkrn erpust di (, ): y y mellui (, ) () ( ) () ( ) Jdi, persmnny y y. 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

49 . Pencerminn terhdp sumu-x, T iltsi dengn pust O dn fktor skl, T Pencerminn terhdp sumu-x dilnjutkn diltsi [O, ] dlh: T T ' Sehingg y' y 9 ' y y' ' ' y' y' iperoleh ' dn y y' yngn y dlh y 9 8 ' ' ' ( dikli ) y y 9 8 y ( ) y 9 8. igrm pd sol dpt diuh ke dlm entuk tel eri kut. t i f f i i fi i f i., Jdi, nili rtnny dlh,. 7. n f i Kurtil ts Q Kels Q erd pd dt ke- n 8 (kels ke-) T,, Pnjng kels, I Q n F k T I f Q, 8 ( 7 ), 7, 7,, 7, 8. sol hrus dikerjkn, sol sisny hrus dipilih dri sol yng msih tersedi.!! (, ) ( )!!! nykny pilihn cr 9. nyk sol ernomor genp d, sehingg sol hrus dikerjkn, sol sisny hrus dipilih dri sol yng msih tersedi.!!!!! Jdi, nyk cr pesert ujin memilih sol ujin yng hrus dikerjkn dlh.. Semu keduny stu stu tidk Yng tidk mengikuti kulih sstr mupun sejrh d. Pelung terpilihny, Mtemtik IP untuk SM/M 9

50 PEMHSN N KUNI JWN PEMNTPN PKET MTEMTIK IP. 7 c c c c c.. y (( ) ( ) )(( ) ( ) )( ) { ( ) ( ) }( ) {( 7 ) ( 7 ) }( ) ( )( ) ( )( ) ( ) log log( y) y 8 log8 log( y) log( y) log( y) log( y) log( y ) log( y)( y) { log( y) log( y) } { } { }. log log ( ) log Syrt pertidksmn log log ( ) ( )( ) () Syrt numerus > > () > () ri (), (), dn () diperoleh irisn { < }.. ikethui g(). r I (f g)() f(g()) f( ) Mislkn y y f(y) (y ) (y ) f(y) y y y f(y) y y Sehingg f() r II Pilih nili semrng, mislny (untuk memudh kn) (f g)() f(g()) f(g()) () f(g()) Kren g(), mk diperoleh f(). Kit cek setip jwn, mn yng memenuhi f(). (). (memenuhi). () 8. () 8 E. (). g f g f g ( ) ( ) ( ), Ingt rumus invers: Jik f(), mkf ( ) d c d c (g f)() (g f) (), 7. dn kr-kr dri ( ), sehingg () () Persmn ( ) kr-krny dn, sehingg () ( ) Sustitusikn () ke (), diperoleh Mtemtik Ip untuk SM/M

51 Sustitusikn ke (), diperoleh () Nili () 9 8. Mislkn kr-kr dri m m dlh dn, sehingg, Kedu kr rel ered > Kedu kr positif > c > (m) ()(m ) > m m 8 > m 8m > (m )(m ) > m < tu m > () > m > m > () ri () dn () diperoleh irisn < m < tu m > 9. () (p q) p q (pernytn enr) () (p q) ( p q) p q (pernytn enr) () (p q) p q (pernytn enr) () p (q r) (p q) (p r) hukum distriutif (pernytn enr). ikethui prol y p dn gris y. Sustitusikn persmn gris ke prol, diperoleh p ( p ) Syrt memotong di du titik > > (p ) ()() > p p > (p )(p ) > p < tu p >. Persoln terseut dpt ditulis dlm entuk sistem pers m n liner K L 7. K L 7. K L. K L. K. K 9. K 9. (9.) L. L... L. engn demikin, K L (9.) (.).. 7. Jdi, uph yng diperoleh Pk odo dlh Rp7.,. Perhtikn gmr erikut. O Y Kit peroleh titik-titik pojok (, ), (, ), (, ), dn (, ). F y (, ) F () () 9 (, ) F () () (minimum) (, ) F () (). (mksimum) (,) F () (). F mks : F min. : :. 7 7 ( ) 7 ( ) ( ) 7 iperoleh: () X. P P PX P X P P 7 c d 7 9 Nili c d Mtemtik IP untuk SM/M

52 . U U 9 U U S n n n ( ) S ( 9) () Jwn:., 8, c, d merupkn risn ritmetik, sehingg (8) c c () c d 8 c d 8 (), 8, d merupkn risn geometri, sehingg 8 d d () () c c () c d 8 c d 8 d d () Sustitusikn () ke (), diperoleh ( ) Kedu rus digi, diperoleh ( 8)( ) 8 tu Untuk 8 d (8) 8, sehingg nili c d 8 Untuk d (), sehingg nili c d 7. U r 8 S r 8 r 8 r r ( ) ( ) ( ) 78 r 8. P() digi ( ) sis P() () () () () 7 () P() digi ( ) sis P() () () () () () ri () dn () diperoleh dn Nili () 8 9. lim Kren entukny, kit gunkn turn L Hopitl lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) L lim lim( ) lim 7. ikethui kurv f() c turun pd intervl < <. fʹ() Titik stsioner fʹ()...( ) f() turun pd intervl < <, rtiny titik stsionerny dlh dn. Sehingg, ( )( ) () ri persmn () dn (), diperoleh: f() c f() mellui (, ), sehingg () () () c 8 9 c 7 c c 7 7 Mtemtik Ip untuk SM/M

53 . Mislkn: u 8 du d du 9 d 9 d du u du u 8 u u 8. ( ) d ( ) 8 ( ) 8 ( ). iy per jm 8 iy jm 8 rtus riu rupih rtus riu rupih () ( 8 ) rtus riu rupih gr () minimum, '() 8 8 Jdi, gr iy minimum, produk terseut hrus diselesikn dlm wktu jm.. siku-siku di 9, sehingg tn sin sin sin (9 ) cos sin cos cos sin cos sin sin sin sin sin ± ()( ) ± () sin tu sin cos 78 sin 78 sin78 sin cos8 cos sin 8 sin 8 cos sin sin sin cos sin 7. cos cos ( cos )(cos ) cos tu cos cos cos cos cos cos ± ± tu cos cos, tidk d yng memenuhi 8. Kpl erlyr dri ke sejuh km dengn rh 8. Kemudin dri ke sejuh km dengn rh cos Jdi, jrk ntr peluhn dn dlh km. 9. Perhtikn gmr erikut. Perhtikn siku-siku di. p p p Gunkn rumus lus segitig. p p E p E p E p p p p E p E Mtemtik IP untuk SM/M

54 . Perhtikn E. Kren E, mk E E. E E p p ( ) E p p p p H α 9 p P F G p Mislkn pnjng rusuk kuus. H P H Sehingg, α P E p PH P H ( ) cosα P PH. Perhtikn gmr erikut ini. E Mislkn rusuk kuus. P H F θ Q G Q F FQ ( ) G ( digonl sisi) GQ cosθ Q G GQ. Q. G tnθ ( )( ). ( ) ( u v u v) u u v v u u u v v v u u v v u v u v Jdi, u tegk lurus v. Sehingg segitig dlh segitig siku-siku. Pd segitig siku-siku, sudut teresr ny dlh 9.. Pust (, ) dn menyinggung gris y, mk r Persmn lingkrn: ( ) (y ) y 8y y 8y. Persmn gris singgung lingkrn. y y di titik (, y ) dlh y y ( ) (y y ) Sehingg persmn gris singgungny dlh y ( )( ) (8)(y ) y y y ' y' y ' y' y ' y y' ' y' ' y' dn y ' y' Sustitusikn ke persmn y, diperoleh ' y' ' y' ' y' ' y' θ Mtemtik Ip untuk SM/M

55 Kedu rus dikli, diperoleh ' y' ' y' 9 7' y' 9 Jdi, persmn gris yngnny dlh 7 y 9.. ri digrm pd sol dpt diliht kels modus dlh intervl (,,) kren frekuensiny pling nyk. engn demikin, T,, s 7, s 7, s Mo T s s, 7,,, 7 7. Letk kurtil ts n ( ) (kels ke-) T, f 9 f Q c n f Q T c f, 9 ( ), Q 8. L P P P L Perhtikn tel di ts. Untuk mengisi posisi kestu, kren d orng lki-lki, mk d cr untuk mengisiny. Untuk posisi kedu, kren d perempun, mk d cr untuk mengisiny. Posisi ke- dpt diisi oleh perempun kren orng perempun telh mengisi posisi. Untuk posisi ke-, hny sis stu perempun yng dpt mengisiny. Posisi ke- dpt diisi oleh lki-lki kren lki-lki yng lin telh mengisi posisi pertm. Jdi, nyk formsi yng dpt dientuk 9. d sol, nomor smpi dengn nomor hrus dikerjkn errti tersis sol yng is dipilih. Hrus mengerjkn 9 sol, errti hrus memilih sol dri sol yng is dipilih. nykny cr. Titik-titik, O, dn kn mementuk sudut lncip jik erd di kudrn I dn IV. Kudrn I: Y O (, y) X Kudrn IV: Y O (, y) i kudrn I dn IV, titik mementuk lingkrn. Keliling lingkrn π r π π Pelung O lncip π π πr π() PEMHSN N KUNI JWN SOL PEMNTPN PKET MTEMTIK IP X. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). ( ) ( ) 9 Mtemtik IP untuk SM/M

56 . log log log log log log log log log log log log. log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) Syrt pertidksmn ( ) ( )( ) () Syrt numerus > > () > > () ri (), (), dn () diperoleh irisn <.. f() dn (g f)() 9 (g f)() 9 g(f()) 9 g( ) ( ) g() g() (). (g f)() g(f()) g( ) Mislkn (g f)() y, sehingg y y y Jdi, (g f) (), (f g )() (g f) () Sehingg (f g )() 7. α β Rumus jumlh dn α β hsil kli kr-kr α β α β β β β β β α β ( ) α β ( )( ) 7 8. Persmn mempunyi kr-kr rel c (m )(m) 8m 8m m m ( m )(m ) Pemut nol fungsi: m dn m m 9. () p q q r p r r p (pernytn enr) () p q q s p s s t p t p t (pernytn enr) () p q p r p r q p p p s () p q q s r r s p s s (pernytn enr) tidk dpt disimpulkn (pernytn slh). f() (k ) k (k ), dengn k, k, c k Syrt definit positif < dn > c < (k) (k )(k ) < k < k > k > k > ri () dn () diperoleh irisn k > () () Mtemtik Ip untuk SM/M

57 . y z k () y z k () y z k () Persmn () () (), diperoleh y z k y z k () Persmn () () z k Persmn () () y k Persmn () () k y z k k k k ( ) ( ) ( ). Gmr derh dengn kendl y, y,, dn y. O Y (, 8) Titik (, 8) dlh titik potong gris y dn y. Fungsi ojektif f(, y) y. Gunkn metode titik pojok. (, ) f (, 8) f 8 (, ) f gr titik (, 8) merupkn nili minimum, mk 8 < dn 8 < 8 < > () 8 < < () ri () dn () diperoleh < <. Sehingg X iperoleh kesmn Nili c. T c d d d d c c c T d d d c c Sehingg d d c d c d d d c d c d () (), sehingg () () (d c)(d c) d d (d c) d c ±. U r 8 r 8 r 8 r S r ( ) ( ) ( ) 78 r. y log ( ), y log ( ), y log ( ) merupkn deret ritmetik, sehingg y log ( ) y log ( ) y log ( ) y log ( ) y log ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (TM) tu Selnjutny y log ( ) y log ( ) y log ( ) y log ( )( )( ) y log y ( )( )( ) y Sustitusikn, diperoleh ( )( )( ) y 8 y y y Jdi, y Mtemtik IP untuk SM/M 7

58 7. Mislkn y t nykny kteri hri ke-t. Sehingg y t t, dengn sutu konstnt. Hri ke- y () Hri ke- y 8 () Persmn () : (), diperoleh 8 9 Sustitusikn nili ini ke (), diperoleh Sehingg y t t. Jumlh kteri wl t, yitu y ( ). 8. * * * * Sis Kren his digi, mk Nili 9. lim lim. lim lim ( ) ( ) ( 9 ( ) ) lim( 9 ) lim 9 9. f() 8 9 fʹ() fʹʹ() Nili stsioner fʹ() erdsrkn gris ilngn di ts dpt diperoleh fungsi f mencpi nili minimum untuk nili. Sehingg, f( ) ( ) ( ) Mislkn u, mk u dn du d ( )( ) d ( u ) u du ( u ) u du ( u u ) du 7 u u 7 Kit gnti kemli fungsi u, menjdi ( )( ) d 7 ( ) ( ) 7 dy. y d dy d d d d Mislkn u, mk du d tu d du Untuk u () Untuk u () 9 d 9 u du 9 9 u u u u. Perhtikn gmr erikut ini. p h h h p h 8 Mtemtik Ip untuk SM/M

59 Perhtikn hw p h > h < p Volume kotk: V (p h)(p h)(h) V ph h p h Volume kn mksimum jik V (turunn V terhdp h) V h 8ph p (h p)(h p) h p tu h p Kren h < p, mk yng memenuhi h p. sin π cos cos π 8. Kpl erlyr dri peluhn ke peluhn sejuh km dengn rh 8. Kemudin dri peluhn ke peluhn sejuh km dengn. 8. α β π cos( α β) cos π cosαcos β sinαsinβ sinαsinβ sinαsinβ cos( α β) cosαcosβ sinαsinβ. sin sin sin sin Kedu rus dikli, diperoleh ( ) Rsionlkn penyeutny, diperoleh ( ) ( ) 7. sin 7 sin ( sin )(sin ) sin c tu sin (Tidk memenuhi) 9. 8 cos Jdi, jrk terdekt ntr peluhn dn dlh 9 km. T P Tinggi idng empt T. jrk T ke idng. Perhtikn. ( ) Mtemtik IP untuk SM/M 9

60 Kren dlh segitig smsisi, mk titik P dlh titik ertny. P ( ) Jrk T ke idng dlh TP T P ( ). Perhtikn gmr erikut ini. T α Perhtikn. sin sin tn tn Kren segitig smsisi, mk. E Perhtikn E siku-siku di E. E E. Perhtikn smkki. 7 Perhtikn T smsisi. T Perhtikn T. cosα T T T T E α T T 7 T α 7 Perhtikn E siku-siku di. E E tnα E. p p p p p ( ) p p. Mislkn persmn lingkrnny y y c. Persmn gris singgungny di titik (, ) dlh yy y y c y y c ( ) ( )y ( c) Persmn gris singgung ini hrus ekuivlen dengn y, sehingg c () c c Mtemtik Ip untuk SM/M

61 Jdi, persmn lingkrnny dlh y y Titik pustny (, ).. Persmn lingkrn dengn pust (, ) dn jri-jri dlh ( ) (y ) () Persmn gris y y () Sustitusikn () ke () diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Syrt menyinggung ( ) ( )(9). ikethui T dn T. 9 m 7 n m m n n 7 m n 9 m 78 7 n Nili m n. Letk medin pd dt ke- n (), yitu di kels ke- T 9, Σf 7 f Me 9 c n f Me T c fme Me 9, 7 ( ) 9, n f i Kurtil wh Q Kels Q erd pd dt ke- n (kels ke-) T,, Pnjng kels, I n F k Q T I f,, Q 9,,,, 9 8. Kemungkinn susunn P W P W P W cr cr cr nykny cr Nomor smpi hrus dikerjkn, errti sol hrus dikerjkn. Sisw memilih sol dri sol yng tersis, rtiny kominsi dri.!! (, )!( )!!( ) Jdi, nyk pilihn sol yng dpt dikerjkn sisw dlh cr.. n(voli) P(Voli) n(sket) P(sket) n(voli sket) P(Voli sket) P( Voli sket) P( Voli) P( sket) P( Voli sket) Mtemtik IP untuk SM/M

62 PEMHSN N KUNI JWN PEMNTPN PKET MTEMTIK IP... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 log log log log log log ( log) log9 ( log ) log 9 9. < 7 ( ) 7 < Mislkn m, sehingg m m 7 < Menentukn tsny m m 7 (m 9)(m ) m 9 tu m Untuk m 9 9 Untuk m tidk d nili yng memenuhi Pilih titik uji, msukkn ke pertidksmn, diperoleh < 7 < 7 (enr) Sehingg pertidksmn dipenuhi oleh <.. ( f g)( ) f( g( )) 7 7 { g( )} 7 { g( )} 7 Kudrtkn kedu rus diperoleh {g()} 7 {g()} 9 {g()} ( ) g() g( ) ( ). f dn g ( f g) ( ) ( g f )( ) g f g ( ) ( ) 8 ( f g) ( ) kr-kr persmn dlh dn, sehingg dn 8 8 ( ) 8 ( ) 8 () ( ) 8 8 ( ) 8. dn dlh kr-kr persmn kudrt, sehingg, dn Selnjutny ( ) () 8 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ()() () () Persmn kudrt yng ru dlh Premis : Jik kmu sering erltih sol, mk kmu is mengerjkn sol. Premis : Jik kmu tidk lulus ujin, mk kmu tidk is mengerjkn sol. Kedu premis di ts dpt dimislkn segi erikut. Mtemtik Ip untuk SM/M

63 P : p q P : ~ r ~ q q r p r negsiny dlh ~ ( p r) p ~r ( p ~ r): Kmu sering erltih sol dn kmu tidk lulus ujin.. y p (p ), dengn p, (p ), dn c Ordint titik lik, dengn c c p p p p p p 9 8p p p p p p 9 p p 9 p 9 ( p ) iperoleh: p 9 tu p. Persmn () : z Persmn () : y Persmn () dikli : y z y z 8. Mislkn: septu lki-lki dn septu wnit y Model mtemtikny:, y, y Fungsi tujun: Mksimumkn f (, y). y Skets gmr: Titik Pojok Y f (, y). y (, ) (, ). 7.. (, ).. 7. (, )... X mksiml Jdi, keuntungn teresr dlh Rp7.,... c c c c 7 c c iperoleh: c c c 7 () 7 9 ( ) d c c d c c iperoleh persmn c () c () () d () ri () diperoleh c. Sustitusikn c ke (), diperoleh () Sustitusikn ke (), diperoleh Sustitusikn ke (), diperoleh d d Mtriks c d. eterminn ()() ()(). Mislkn risnny dlh,,,,. S (*) Selnjutny, (U U )(U U )(U U )(U U ) { ( )}{( ) ( )}{( ) ( )} {( ) ( )} ()()()() 8 Mtemtik IP untuk SM/M

64 tu Untuk persmn (*) menjdi () Sehingg S 8 8 ( 7) ( () 7 ) 8 Untuk persmn (*) menjdi () Sehingg S 8 8 ( 7) ( 7()) Jdi, nili S 8 tu 8.. U. 7. S n 88. S n ( ( n n ) ) 88. n. n 7. ( ). 7. n n n 7. n 9n n n 9n n ( n ) iperoleh n tu n Jdi, lm eni hrus menung dlh uln. 7. Mislkn mss wl 8 grm Setelh menit mssny menjdi grm, dn seterusny Mslh terseut dpt diselesikn menggunkn konsep deret geometri. U grm r jm menit n 9 menit menit menit Sehingg, n U r U U U n ( ), Mss yng meluruh 8, 78,7 Jdi, mss unsur yng meluruh selm jm menit dlh 78,7 grm. 8. p() digi ( ) ersis, errti p( ) p( ) ( ) ( ) 9( ) ( ) sis 9. lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( lim ) ( ). lim ( ) lim 8. y cos ( ) lim( ) lim( ) Mislkn u, mk du d v cos u, mk dv sin u du y v, mk dy v dv Sehingg, dy dy y' dv du d dv du d v ( sinu) ( ) cos u sinu cos sin ( ) ( ) sin( ) cos. cosd Mislkn u, mk du d dv cos d, mk v sin Mtemtik Ip untuk SM/M

65 Sehingg, cosd sin sin d sin cos si n cos. Mislkn u, mk u dn du d Untuk u Untuk u d u du 8 u 8 u du u 8 du u u 8 ( ) u u du u u 8 ( ) ( ) 8 ( ) 7 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 ( )( 7 9 ). p q q p Sustitusikn q p ke p q diperoleh p q p ( p) p p p p p Turunnny p Nili q p Sehingg p q () 8. α β π Kren sin α sin β, sehingg dengn mudh kit dpt hw α 9 dn β. tn (α β) tn (9 ) tn. cos cos8 cos cos cos cos cos cos( ) cos cos cos cos cos cos ( 8 )cos ( ) cos9 cos7 cos7 7. cos sin 8. dn p tn α α π tu π dipilih α π kren titik (, ) erd di kudrn I. Sehingg, cos sin cos π cos( π) cos π π π k π tu π π k π π k π tu π k π k π tu π ikethui:,, Perhtikn. cos 8 cos 8 cos () Perhtikn. cos cos 8 8 cos () () (), diperoleh 8 cos 8 8 cos 8 cos 8 cos cos 9 cos 7 () Kren 8 usur lingkrn) 8 cos sin c p cos ( α) c dengn p dn tn α α hrus sm kudrnny dengn titik (, ) (sift segiempt tli cos cos (8 ) cos Mtemtik IP untuk SM/M