ANALISIS KEMAMPUAN DASAR MAHASISWA MATEMATIKA FKIP UNDANA DALAM ANALISIS VARIABEL REAL

Transkripsi

1 ANALISIS KEMAMPUAN DASAR MAHASISWA MATEMATIKA FKIP UNDANA DALAM ANALISIS VARIABEL REAL Siprianus Suban Garak Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Nusa Cendana Abstrak: Salah satu masalah utama dalam memahami materi matematika adalah kemampuan dasar dan keterampilan matematika. Banyak mahasiswa mengalami hambatan dalam belajar suatu topic diakibatkan oleh masalah ini. Penelitian dilakukan di Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Undana dengan tujuan untuk menganalisis kemampuan dasar mahasiswa terkait dengan mata kuliah Analisis Variabel Real. Data diperoleh melalui test dan wawancara dan dianalisis secara kualitatif menggunakan metode induktif. Terdapat 38 mahasiswa yang mengikuti test dan dipilih 8 subyek untuk diwawancarai. Hasil penelitian menunjukkan bahwa secara umum mahasiswa memiliki kemampuan yang baik dalam melakukan perhitungan teknis matematika khususnya berkaitan dengan it. Namun mahasiswa mengalami kesulitan dalam pemahaman terhadap konsep dasar seperti bagaimana memaknai f ( x) L.Demikian juga mahasiswa mengalami kesulitan dalam memahami konsep it takhingga. Dengan pemahaman seperti ini, maka sesungguhnya kemampuan dasar Analisis Variabel Real belum terlalu baik. Kata Kunci: AVR, Kemampuan Dasar, Analisis variabel Real Salah satu mata kuliah yang dipelajari di Program Studi Pendidikan Matematika adalah Analisis Variabel Real (AVR). Mata kuliah ini merupakan mata kuliah yang bersif at abstrak dan terbagi menjadi dua bagian yaitu AVR dan AVR. Topik materi utama yang dipelajari pada AVR II adalah Barisan dan Limit. Sesungguhnya topic-topik tersebut bukanlah topic yang baru pertama kali dipelajari dalam AVR karena sebelumnya sudah dipelajari pada mata kuliah lain seperti Kalkulus I dan Kalkulus lanjut bahkan sudah dipelajari di Sekolah Menengah Atas. Perbedaan mendasar dari AVR dan Kalkulus adalah bahwa pada AVR lebih ditekankan pada proses pembuktian secara matematis yang lebih bersifat abstrak sedangkan pada kalkulus lebih ditekankan pada penguasaan konsep dasar dan teknis perhitungan. Oleh karena itu, penguasaan terhadap materi tersebut serta materi lain terkait dengan AVR sangat dibutuhkan agar dapat mempelajari dan memahami AVR dengan baik. Penguasaan terhadap materi sebelumnya atau materi prasyarat tidak lain adalah kemampuan awal yang merupakan salah satu faktor penting yang mempengaruhi hasil belajar mahasiswa. Menurut Herbart (995): proses belajar atau memahami sesuatu bergantung pada pengenalan individu terhadap hubungan-hubungan antara ide-ide baru dengan pengetahuan yang telah ia miliki. Dengan dmikian, semakin sempurna pemahaman terhadap materi prasyarat, semakin mudah memahami materi pada proses belajar selanjutnya. Garak (004) menunjukan bahwa salah satu faktor yang menyebabkan ketidaktuntasan siswa dalam menyelesaikan soal-soal koordinat kutub adalah keterampilanketerampilan matematika yang kurang sempurna. Dalam kaitan dengan AVR dengan topic yang dipelajari adalah Barisan dan it, maka materi prasyarat yang perlu dikuasai oleh mahasiswa adalah Konsep dasar dan teknis perhitungan Barisan, Konsep dasar dan teknis perhitungan berbagai bentuk it, dan Selang interval. Secara lebih rinci, inti materi yang dibahas dalam topik it pada Kalkulus adalah pengertian geometri sebuah it fungsi, menghitung nilai sebuah it fungsi, dan teorema-teorema it. Dalam kaitan dengan isi materi dari topic Barisan adalah menentukan suku ke n, menentukan rumus umum sebuah barisan, dan perhitungan it barisan. Demikian juga perhitungan yang berkaitan dengan nilai mutlak adalah persamaan nilai mutlak dan pertidaksaman nilai mutlak. 60

2 Berdasarkan pengalaman yang diperoleh selama ini, para mahasiswa selalu mengalami kesulitan dalam mempelajari AVR. Sebagian mahasiswa tidak mampu menyelesaikan masalah AVR khususnya berkaitan dengan pembuktian-pembuktian matematis. Hal ini diduga sangat erat kaitannya dengan kemampuan awal yang dimiliki. Oleh karena itu, penelitian ini menlakukan analisis terhadap kemampuan dasar mahasiswa terkait dengan materi AVR. MATERI DAN METODE Kemampuan awal dan keterampilan dalam matematika Kemampuan awal atau kemampuan dasar merupakan penguasaan terhadap materi prasyarat pada proses belajar sebelumnya. Materi prasyarat adalah materi yang merupakan dasar yang berkaitan dengan materi baru yang akan dipelajari. Menurut Natawidjaja (003 ): kemampuan dasarnya atau perkembangannya, yaitu kemampuan yang telah ada padanya sebelumnya sangat mempengaruhi belajar anak. Dalam kaitan dengan AVR, kemampuan awal didefinisikan sebagai penguasaan terhadap beberapa konsep dasar seperti konsep it, barisan dan juga tentang kelas interval. Sehubungan dengan kemampuan awal, Thorndike(00) mengatakan bahwa Belajar itu harus ada proses pengaitan, maksudnya pengaitan antara pelajaran yang akan dipelajari anak didik dengan pelajaran yang telah diketahui atau dipelajari. Khusus tentang matematika, Hudoyo(999) mengatakan matematika adalah ilmu tentang ide-ide, struktur-struktur dan hubungannya diatur menurut urutan yang logis. Karena ide-ide matematika disusun secara terstruktur berdasarkan hubungan-hubungan yang logis, maka untuk memperoleh pemahaman yang benar dalam mempelajari ide-ide matematika, pemahaman yang baik terhadap ide-ide sebelumnya merupakan syarat yang sangat diperlukan. Dalam kaitan dengan kemampuan awal khususnya it, maka beberapa teori it yang dikemukakan disini diambil dari beberapa sumber antara lain: Edwin Purcell(03), Martono(00..), dan Ayres(000): Pada umumnya memberikan definisi it sebagai berikut: f ( x) L didefinisikan sebagai: Jika x mendekati c, maka f(x) mendekati L. Pengertian dekat mengandung arti bahwa x mendekati c dari dua sisi yaitu dari sebelah kiri dan sebelah kanan. Untuk x mendekati c dari sebelah kiri disebut it kiri dan ditulis f ( x), sedangkan untuk x mendekati c dari sebelah kanan disebut it kanan dan ditulis: f ( x). Selanjutnya dalam kaitan dengan teorema it dinyatakan bahwa: Limit di suatu titik dikatakan ada atau mempunyai nilai jika nilai it kiri it kanan. Jika it kiri it kanan, maka it di titik tersebut tidak ada. Contoh berikut memperlihatkan bahwa it kiri it kanan: Lebih jauh beberapa teorema it diberikan sebagai berikut:. [ f ( x) g( x)] f ( x) + g( x). [ bf ( x)] 3. Teorema it komposit: Jika g( x) L dan jika f kontinu di L, maka f ( g( x)) f( g( x) ) f(l) b f ( x) x khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g (c), maka fungsi komposit fog kontinu di c. Demikian juga konsep tentang barisan, juga diambil dari Purcell (03) dan Bartle (0) adalah: Pengumpulan Data Tes Penelitian ini hanya memberikan sebuah test yaitu test tentang Kemampuan Dasar Analisis variable Real. Soal tes berbentuk subyektif (uraian) karena pemahaman yang diukur merupakan sebuah proses berpikir. x 4, 6

3 Penentuan Subyek Penelitian Subyek penelitian ditentukan setelah dilakukan tes kemampuan dasar kepada mahasiswa. Berdasarkan nilai tes, dilakukan kategori kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan soal-soal kemudian dipilih bebertapa mahasiswa sebagai subyek penelitian untuk diwawancarai. Materi test lebih ditekankan pada topic it. Wawancara Wawancara dilakukan kepada subyek penelitian. Pertanyaan-pertanyaan yang diajukan kepada subyek penelitian berdasarkan data-data yang sudah diperoleh sebelumnya yaitu hasil tes. Pemeriksahan Keabsahan Data Ada dua teknik pemeriksahan keabsahan data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu perpanjangan keikutsertaan dan triangulasi dengan sumber. Triangulasi dilakukan dengan jalan membandingkan data hasil test dan data wawancara. Analisis Data Analisis data dilakukan secara deskriptif kualitatif dengan metode induktif. HASIL DAN BAHASAN Distribusi hasil pekerjaan siswa untuk 5 nomor soal diberikan pada tabel: No soal Mahasiswa yg dapat mengerjakannya Jumlah % 8, 8, 3, , ,5 Pemahaman terhadap it dengan substitusi langsung Kemampuan mahasiswa yang diukur dalam masalah ini adalah sejauhmana pemahaman siswa terhadap bentuk it fungsi aljabar serta dapat memilih metode yag tepat untuk menyelesaikannya. Dari hasil pekerjaan mahasiswa diketahui bahwa terdapat 8 dari 38 mahasiswa atau,% mahasiswa dapat memberikan hasil akhir yang benar. Namun proses pengerjaan yang dilakukan adalah dengan terlebih dahulu melakukan pembagian terhadap pembilang dan penyebut sebagai berikut: x 3x 5 (x 5)( x ) (x 5) 9 x x x x x Tidak ada satu mahasiswapun yang menyelesaikan soal tersebut dengan melakukan substitusi secara langsung. Dari hasil pekerjaan para siswa juga diketahui bahwa siswa memiliki kemampuan dasar dan keterampilan matematika yang baik khususnya berkaitan dengan pembagian Horner serta pemfaktoran sebuah persamaan kuadrat. Saat wawancara, peneliti memberikan lagi soal untuk dikerjakan sebagai berikut: x x 3x 5 x 6

4 Hasilnya memperlihatkan bahwa tidak ada satu subyek pun yang dapat menyelesaikannya. Dalam menyelesaikan soal tersebut, mahasiswa selalu berupaya unuk membagi pembilang dan penyebut dengan cara Horner atau berusaha untuk memfaktorkannya terlebih dahulu. Interpretasi: Kondisi pemahaman mahasiswa sebagaimana digambarkan di atas memperlihatkan bahwa para mahasiswa memiliki kemampuan dasar dan keterampilan matematika yang baik terutama tentang pembagian Horner dan pemfaktoran sebuah persamaan kuadrat. Para mahasiswa juga mampu menggunakan kemampuan teknis dasar tersebut dalam menghitung it. Namun ada beberapa kelemahan mendasar dari para mahasiswa adalah belum memahami tentang konsep it khususnya berkaitan dengan penyebut pecahan. Mahasiswa tidak dapat membedakan kapan melakukan substitusi langsung dengan menyelidiki bentuk penyebut dengan nilai pendekatan it. Hal ini disebabkan oleh suatu dasar pemahaman mahasiswa yang keliru yaitu harus melakukan pembagian terlebih dahulu untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan pembilang dan penyebut. Pemahaman seperti ini harus segera diatasi karena akan berdampak pada pemahaman it yang lebih tinggi. Pemahaman Terhadap Konsep Dasar (Definisi) Limit Pemahaman mahasiswa tentang konsep dasar atau definisi it tidak diberikan dalam soal-soal test tertulis, namun hanya diberikan pada saat wawancara. Pertanyaan lain yang diajukan pada saat wawancara antara lain:. Apa arti x 9 x 3. apa bedanya dengan: f(x) x 3 dan f() 8? Berbagai macam jawaban dari para siswa sebagai berikut: x 9 artinya: x 3 - jika it x3, maka it x 9 - Jika x3, maka x 9 - x3 sehingga x 9 - Limit x menuju 3 dan it x menuju 9. - Limit x menuju 3 dan it x 9. - Interpretasi: Dari variasi jawaban mahasiswa di atas, dilihat bahwa sebagian besar mahasiswa belum memahami konsep dasar it. Mahasiswa tidak memahami makna tulisan f ( x) L. Mereka kesulitan dalam membedakan pengertian sebuah fungsi dan it. Kemampuan Siswa Dalam Menghitung Limit Fungsi Takhingga Terdapat dari 38 mahasiswa atau,05 % mahasiswa dapat memberikan hasil akhir yang benar, namun masih banyak siswa yang melakukan kesalahan. Beberapa tipe pekerjaan siswa yang ditampilkan sebagai berikut : 9 x 4x a. 9 x x 0 x 4x b. 5x 4x 4 x 8x 6 c. 5x 4x x9 x 9 x x 4 63

5 Beberapa pertanyaan diberikan pada saat wawancara adalah ; a.? x b. Mengapa hasilnya ¼ dan bilangan lainnya adalah 0? c. Mengapa hanya diambil x 4x dari bilangan dengan suku yang lain? Jawaban yang diperoleh adalah : - Karena pangkat tertinggi adalah jadi yang lain tidak diperhatikan lagi - Tidak ada yang memahami arti dari x Interpretasi Para mahasiswa dapat memperoleh hasil akhir namun proses pekerjaannya masih salah. Pemahaman yang keliru adalah tidak memahai arti Limit untuk x a terutama bentuk n x Pemahaman para mahasiswa mengarah pada hal-hal teknis untuk memperoleh hasil akhir. Hal ini memperlihatkan bahwa pemahaman konsep it takhingga bagi para mahasiswa masih sangat rendah. PEMBAHASAN Gambaran hasil test, wawancara dan interpretasi secara umum memperlihatkan sebenarnya para mahasiswa tidak mengalami kesulitan dalam hal-hal teknis perhitungan it. Para mahasiswa dapat meperoleh hasil akhir dengan benar pada soal yang diberikan. Hal ini terlihat dari hasil akhir yang diperoleh bahwa rata-rata % mahasiswa dapat memperoleh hasil akhir dengan benar. Namun hal ini tidak menjamin suatu pemahaman konsep yang baik. Beberapa kesalahan konsep utama yang menonjol adalah: pemahaman terhadap makna dari f ( x) L serta fungsi f(x) dan f(c). Mahasiswa masih kesulitan dalam membedakannya. Pemahaman seperti ini akan sangat menyulitkan siswa dalam merumuskan model tmatematika dari sebuah permasalahan real. Konsep lain yang juga belum dipakai secara baik adalah teknik substitusi langsung dan teknik pembagian. Rata-rata para mahasiswa menyelesaikan soal tipe ini dengan pembagian atau pemfaktoran. Selain itu pemahaman tentang konsep dasar it takhingga juga masih sangat kurang. Mulanya para mahasiswa sudah memperoleh hasil akhir dengan benar. Kelemahan yang paling menonjol dalam bagian a ini adalah tidak dapat memahami makna takhingga dan makna 0. n x Dengan pemahaman seperti ini, maka mahasiswa selalu melakukan kesalahan dalam proses pengerjaan. Mahasiswa selalu menghilangkan suku-suku lain dengan hanya mempertimbangkan pangkat tertinggi. Pertimbangan mahasiswa ini adalah benar untuk hasil akhir, namun mereka tidak memahami secara konsep dan prosedur. Secara keseluruhan kemampuan teknis perhitungan serta kemampuan dasar dan keterampilan matematika para siswa cukup baik. Para siswa mampu menerapkan kemampuan dasar dan keterampilan untuk menyelesaikan soal-soal it. SIMPULAN ) Pada umumnya kemampuan dan keterampilan dasar matematika dari mahasiswa yang menunjang analisis Variabel Real sudah cukup baik. ) Kemampuan mahasiswa khususnya tentang tekhnis perhitungan it sudah cukup baik. 64

6 3) Sebagian besar mahasiswa tidak memahami pengertian dasar atau definisi f ( x) L 4) Mahasiswa tidak memahami makna it takhingga. Mereka hanya berupaya lebih memperoleh hasil akhir dari pada sebuah soal yang diberikan. DAFTAR PUSTAKA Ayres, F.J.R Diferensial dan Integral Kalkulus. seri buku schaum, Ed.. Erlangga, Jakarta Karso Dasar-dasar Pendidikan MIPA. Universitas Terbuka. Jakarta. Martono, K. 00. Teori soal, jawab dan pembahasan Kalkulus. Ed.. ITB, Bandung Moloeng, L Metodologi Penelitian Kualitatif. Remaja Karya. Bandung Nurkancana W Evaluasi Pendidikan. Cetakan ke-4, Usaha Nasional, Surabaya. Purcell, E. J Kalkulus dan Geometri analitis. jilid, Ed. 5. Erlangga, Jakarta. Sukino Matematika II Program Inti untuk SMA. Intan Pariwara, Jakarta. Thorndike R. 00. Belajar Bermakna. Usaha Nasional Surabaya. 65