NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN-H PADA GRAF C n x P 3

Transkripsi

1 Vol.16, No. 1, 10-18, July 2019 do: /jmsk.v%v%.5788 NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN-H PADA GRAF C n x P 3 Wnda Artonang 1*, Nurdn Hndng 2*, Amr Kamal Amr 3* Abstract To determne of H-rregularty total strength n all graphs was not complete on graph classes. The research ams to determne alghorthm the H-rregularty total strength of graph C n x P 3 for n 3 wth use H-coverng, where H s somorphc to C 4. The determne of H-rregularty total strength of graph C n x P 3 was conducted by determnng lower bound and smallest upper bound. The lower bound was analyzed based on graph characterstcs and other supportng theorem, whle the upper bound was analyzed by edge labelng and vertex labelng of graph C n x P 3.The result show that the H- rregularty total strength of graph thsc n x P 3, C 4 = for n 3. Keywords : H-coverng, H-rregularty total strength Abstrak Penentuan nla total H- ketdakteraturan dar semua graf belum dapat dlakukan secara lengkap. Peneltan n bertujuan untuk menentukan nla total ketdakteraturan-h pada graf C n x P 3 untuk n 3. Penentuan nla total ketdakteraturan-h pada graf C n x P 3 dengan menentukan batas bawah terbesar dan batas atas terkecl. Batas bawah danalss berdasarkan sfat-sat graf dan teorema pendukung lannya. Sedangkan batas atas danalsa dengan pemberan label pada ttk dan ss pada graf C n x P 3.Berdasarkan hasl peneltan n dperoleh nla total ketdakteraturan-h pada graf C n x P 3, C 4 = dengan n 3. Kata kunc : Selmut-H, Nla total ketdakteraturan-h 1. Pendahuluan Graf adalah pasangan dua buah hmpunan yatu hmpunan ttk dan hmpunan ss, dnotaskan dengan d mana V menyatakan hmpunan ttk yang tak kosong dan E adalah hmpunan ss yang merupakan pasangan tak terurut dar ttk-ttk V. Pelabelan graf merupakan suatu topk dalam teor graf. Objek kajannya berupa graf yang secara umum drepresentaskan dengan ttk dan ss, dan hmpunan bagan blangan yang dsebut label. Pelabelan graf adalah suatu fungs dengan doman hmpunan ttk dan hmpunan ss atau keduanya dengan rangenya blangan rl. Salah satu jens pelabelan tdak teratur lannya adalah pelabelan total tdak teratur - Irreguler total labellng. Pelabelan jens n melbatkan konsep selmut graf. Pelabelan n d perkenalkan oleh Baca dkk. Secara umum pelabelan total tdak teratur- dar suatu graf d defnskan sebaga berkut. Msal adalah suatu graf, selmut ss dar edge coverng adalah koleks subgraf dar graf sedemkan sehngga setap ss dar termuat dalam palng sedkt satu subgraf dmana Dalam hal n, maka dsebut memlk selmut ss- *Program Stud Pascasarjana S2 Matematka, FMIPA-UNHAS Emal address: 1 wnda.artonang94@gmal.com, nurdn1701@unhas.ac.d, 3 amrkamalamr@yahoo.com

2 11 -edgecoverng. Jka setap subgraf somorfk dengan suatu graf H, maka dkatakan memlk suatu selmut- -. Terdapat beberapa hasl peneltan terkat dengan pelabelan total tdak teratur antara lan [3]telah menentukan nla total ss dan nla total ttk pada graf kpas, lntasan dan ladder. [3] telah menentukan nla total dan tdak teratur pada graf planar, menentukan nla total tdak teratur pada graf dan nla total tdak teratur pada graf dan merupakan graf lngkaran dengan ttk dmana merupakan graf Kpas dengan ttk dan graf Lngkaran dengan ttk. [1] telah menentukan dmana merupakan banyaknya graf yang d amalgamas, dan. 2. Tnjauan Pustaka Graf merupakan suatu pasangan hmpunan dnotaskan dengan dengan adalah hmpunan tdak kosong dar objek-objek yang dsebut ttk dan adalah hmpunan pasangan tdak terurut dar ttk-ttk berbeda d dsebut ss, -. b c a g d f e Gambar 1 Graf G Hmpunan ttk pada Gambar 1 adalah * + dan hmpunan ssnya adalah * + Selanjutnya dperoleh order dar adalah 8 dan ukuran dar adalah 9. Msalkan dan adalah dua buah graf. Graf H dsebut subgraf dar G, jka dan dan dnotaskan dengan. Jka tetap maka dsebut subgraf sejat, dnotaskan dengan, - Perhatkan Gambar 2 v1 e 1 v2 v 1 e 4 e 5 e 2 e 4 e 5 v4 e 3 v3 Gambar 2. a Graf, b Graf subgraf dar graf v4 e 3 v3

3 12 Pada Gambar 2, dketahu bahwa *,, + dan * +. Sedangkan *, + dan * +. Karena dan, maka merupakan subgraf dar graf. Graf lntasan dengan n ttk adalah graf terhubung yang terdr atas tepat 2 ttk berderajat 1 dan ttk berderajat dua [2]. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Gambar 3. Graf Lntasan P Graf lngkaran adalah graf terhubung dengan n buah ttk yang setap ttknya berderajat dua. Graf lngkaran dnotaskan dengan dmana [7]. v 2 v 1 v 6 v 3 v 4 v 5 Gambar 4 Graf Lngkaran Msalkan dan adalah graf dengan * + dan * + maka adalah graf dengan hmpunan ttk dan e= adalah ss dar jka dan hanya jka memenuh satu dar dua tem berkut dan atau dan [6]. u 2, v 3 u 2 v 3 v 1 v 2 u 1 u 2, v 1 u 1, v 1 a b c Gambar 5 a Graf b Graf C Graf u 2 v 2 u 1, v 3, u 1, v 2 Msal merupakan suatu graf dengan, untuk suatu blangan bulat postf, merupakan subgraf-subgraf dar. Koleks, dtuls dsebut selmut ss edge coverng dar, jka setap ss dar termuat dalam palng sedkt satu subgraf dmana, dan dkatakan mempunya suatu selmut ss- -edge coverng. Msalkan mempunya suatu selmut ss-, jka setap subgraf somorfk dengan graf, maka dkatakan mempunya selmut- -coverng [3].

4 13 Gambar 6 Graf C n P Pada tahun 2017 [3] telah menentukan batas bawah nla total ketdakteraturangraf, sepert yang dtuls pada Teorema 1. untuk sebarang Teorema 1: Msalkan adalah graf yang mempunya selmut- dengan banyaknya subgraf yang somorfk dengan, maka Dmana dan masng-masng merupakan banyaknya ttk dan banyaknya ss pada subgraf. Msalkan suatu graf yang memuat -selmut dengan banyaknya subgraf yang somorfk dengan. dnyatakan sebaga pelabelan- total tdak teratur dar graf dengan. Bobot subgraf terkecl dar pelabelan- total adalah. 3. Nla Total Ketdakteraturan-H pada Graf Hmpunan ttk dan hmpunan ss graf, untuk blangan bulat postf adalah sebaga berkut : * + * + * + Dengan menggunakan hmpunan ttk dan hmpunan ss tersebut, maka ddefnskan hmpunan ttk dan hmpunan ss dar subgraf d sebaga berkut: Untuk VH *x y x y + EH *x y x x x y y y +

5 14 VH n *x y x n y n + EH n *x x n y y n x n y n x y + Untuk dengan VH *y z y z + EH *y z y y y z z z + VH n *y z y n z n + EH n *y z y y n y n z n y z + Teorema Msalkan adalah graf dengan maka, Bukt : Untuk membuktkan bahwa ths maka akan dbuktkan ths. Untuk membuktkan ths, maka dgunakan Teorema yatu ths dengan t adalah banyaknya subgraf H. Perhatkan bahwa banyaknya subgraf C 4 dar adalah 2n dan dan. Jad ths ths Selanjutnya akan dtentukan bahwa. Untuk membuktkan bahwa, maka akan dkonstruks suatu fungs pelabelan ketdakteraturan C 4 total pada sebaga berkut: n n n n n n

6 15 n n Untuk ganjl n n n n n n n n genap n ganjl n n Untuk genap n n genap n ganjl n n n n n

7 16 n n genap n ganjl n n selanjutnya akan dtunjukkan bahwa bobot setap subgraf berbeda untuk pada : sebaga berkut 1. Untuk genap W W t H n n n n n n n n n n n n n n n n n < n n n n n n n n n n n n n n n n W t H n W W t H n n n n n n n n n n n n n n n n n < w t H W W t H < =W t H n W W t H n < n 2 n 2 n 2 n 2 n 2. n / n 2 n 2 W t H n

8 17 2. Untuk ganjl W W t H n n n n n n n n n n n n n n n n n < n n n n n n n n n n n n n n n n W t H n W W t H n n n n n n n n n n n n n n n n n < w t H W W t H < =W t H n W W t H n < n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 =W t H n Berdasarkan maka dperoleh bahwa bobot setap subgraf berbeda. Karena tu graf dmana memlk suatu pelabelan-k total tdak teratur ss, dmana. Dengan demkan, dperoleh. Karena dan, maka Daftar Pustaka [1] Agustn, I.H., On H-Irregulerty Strengh of Graph: A New Noton. Journal of Physc: Confrens Seres 855. [2] Ahmad, A., Irregular Total Labelng of Dsjont Unon of Prsms and Cycles. Australasan Journal of Combnatorcs. 59 :

9 18 [3] Bača, M., dkk., On H-Irregulerty Strengh of Graph. Dscucsones Mathematcs. Graph Theory [4] Baca, M., Jendrol., Mller, M. dan Ryan, J., On Irregular total Labelngs. Dscrere Mathematcs. 307 : [5] Indrat D, Wdodo, Indah IE dan Sugeng KA., On Total Irregularty Strength of Double- Star and Related Graphs. Proceda Computer Scence 74 Hal Elsever: Indonesa. [6] Ramdan R dan Salman ANM., On The Total Irregularty Strength of Some Cartesans Product Graphs. Int.J.Graphs Comb.,10 No.2.Page AKCE. Bandung : Indonesa. [7] Tarawneh I, Hasn R. dan Ahmad A., On the Edge Irregularty Strength of Corona Product of Cyccle wth Isolated Vertces. AKCE Internatonal Journal of Graphs and Combnatorcs 13.Page Elsever. Mathematcs Scence.