MATEMATIKA DASAR 1A. Modul 3 : Limit dan Kekontinuan. Tim Matematika

Transkripsi

1 MATEMATIKA DASAR A Modul : Tim Matematika TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN 8

2 PENDAHULUAN Modul ini berisikan konsep dasar dalam mempelajari Matematika Dasar Kalkulus. Pada modul ini akan dijelaskan mengenai it yang menjadi dasar untuk mempelajari materi Matematika Dasar selanjutnya, seperti turunan, integral dan sebagainya. Oleh karena itu, Mahasiswa diharapkan benar-benar memahami setiap konsep yang diberikan dalam modul ini. Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Mahasiswa dapat:. Memahami definisi it. Menentukan nilai it suatu fungsi. Menentukan asimtot suatu grafik fungsi 4. Menentukan fungsi kontinu dengan konsep it TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

3 Pendahuluan Limit LIMIT DAN KEKONTINUAN Limit sebuah fungsi f untuk mendekati c, dinotasikan sebagai gambaran, misalkan diberikan 9 f. Nilai f untuk = adalah tak terdefinisi, sehingga f tidak ada. Tetapi nilai f di sekitar = seperti diberikan pada Tabel., ketika nilai membesar dari.5 sampai mendekati nilai f berubah menuju nilai 6. Begitu juga untuk nilai yang mengecil dari.75 sampai mendekati nilai f akan berubah menuju nilai 6. Dari Gambar. juga terlihat bahwa nilai f untuk mendekati dari kanan + maupun mendekati dari kiri nilainya mendekati 6. Dari gambaran di atas dapat diperoleh 9 6 Secara aljabar, untuk, 9, sehingga 9 6 Tabel. f untuk 9 f ? y 6 Gambar. Grafik 9 f 9 f TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

4 Definisi Limit secara Intuitif L mempunyai arti bahwa ketika mendekati c tetapi tidak sama dengan c, maka nilai f mendekati L. Karena nilai it dihitung berdasarkan nilai di sekitar c, maka dapat didefinisikan pula it kanan dan it kiri. Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri L mempunyai arti bahwa ketika mendekati c dari kanan hanya untuk c, maka nilai f mendekati L. L mempunyai arti bahwa ketika mendekati c dari kiri hanya untuk c, maka nilai f mendekati L. Dari Gambar.,dapat dilihat bahwa nilai f untuk mendekati dari kanan + dan mendekati dari kiri bernilai sama, yaitu f mendekati 6. Sifat Limit L jika dan hanya jika L dan L. Berdasarkan sifat it di atas, ada jika nilai dan ada dan bernilai sama. Jika nilai dan ada tetapi nilai, maka tidak ada. Contoh. Dengan memperhatikan Gambar., hitunglah: a c d f Gambar. Grafik f Contoh. a Karena dan, maka tidak ada c Karena dan, maka d f TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

5 Berikut diberikan definisi it yang sering digunakan dalam Matematika. Tetapi definisi ini hanya diperkenalkan saja, dan tidak akan dipelajari secara khusus pada Mata Kuliah ini. Definisi Limit L, artinya untuk setiap ε >, terdapat δ > sehingga c f L Bentuk f L mengartikan nilai Kemudian bentuk dan f berada dalam interval buka L L,. c menyatakan bahwa berada dalam interval buka c, c, c menyatakan c seperti pada Gambar.. Misalkan akan dicari nilai. Dengan pemeriksaan, kita akan menduga nilai itnya adalah 9. Pertama-tama bilangan riil harus diberikan dan bilangan harus dihasilkan. Kita memiilih, sebagai contoh dan akan dicari nilai yang bersesuaian. Sedikit proses aljabar memperlihatkan 9,,, Dari hasil tersebut, dapat dipilih, atau yang lebih kecil sehingga hal ini akan menjamin 9, ketika,. Dengan perkataan lain, kita dapat membuat nilai + berada dalam interval 9, sampai 9 +, asalkan nilai berada dalam interval,/ sampai +,/. Misalkan dipilih kembali, dan akan dicari nilai yang bersesuaian. Dengan proses aljabar 9,,, Dari hasil tersebut, dapat dipilih, atau yang lebih kecil sehingga hal ini akan menjamin 9, jika,. Penalaran semacam ini, walaupun boleh jadi meyakinkan beberapa orang, bukanlah bukti bahwa itnya adalah 9. Definisi mengatakan bahwa kita mampu mencari untuk setiap, sehingga kita harus mampu mencari untuk setiap betapapun kecilnya. Selanjutnya kita akan memilih sebarang bilang positif sehingga TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 4

6 9 Kita dapat memilih dan mengimplikasikan bahwa 9 ketika. artinya, kita dapat membuat nilai + berada dalam interval 9 sampai 9 asalkan nilai berada dalam interval / sampai /. Dengan definisi telah dapat dibuktikan bahwa it adalah 9. interval L sampai L. Gambar. Gambaran L TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 5

7 Aturan Limit Berikut diberikan aturan dasar dari it yang akan mempermudah perhitungan it secara aljabar. Aturan Limit Diberikan a adalah konstan, serta f dan g merupakan fungsi yang mempunyai it pada c, atau dan g ada, maka : a a c af a 4 f g g 5 f g g f 6 ; dengan g g g n 7 n n 8 n ; jika n genap, haruslah Contoh. Hitunglah it-it berikut. a c 5 5 a Penyelesaiain per suku, TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 6

8 TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 7 Sehingga Karena it penyebut tidak menuju, maka 9 dan sehingga 9 9 c Nilai maupun tak terdefinisi, sehingga perlu dilakukan modifikasi bentuk. Misalnya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan, maka Untuk sebuah fungsi polinom dapat digunakan aturan berikut. Contoh. Hitung. Karena f adalah polinom, maka 7 Jika f adalah sebuah fungsi polinom, maka c f f c, Jika f adalah fungsi rasional q p f dengan p dan q adalah polinom, jika nilai qc, maka c f c q c p q p f c c

9 Contoh.4 Hitung. Karena nilai penyebut tidak sama dengan untuk =, maka 4 Contoh.5 Hitung. 4 Bentuk 4 sehingga bentuk f perlu disederhanakan, 4 f merupakan fungsi rasional, 4 dan 4, Dalil Apit dan Limit Trigonometri Dalil apit ini dapat dipergunakan ketika terdapat sebuah fungsi yang sulit ditentukan nilai itnya dengan cara mencari it fungsi-fungsi yang mengapitnya. Misalkan terdapat sebuah fungsi g yang nilainya berada di antara fungsi f dan h untuk mendekati c, maka nilai it g dapat ditentukan dengan menghitung it f dan h. Dalil Apit Misalkan f, g, dan h memenuhi f g h untuk semua nilai di sekitar c kecuali di c, maka jika h L, maka g L. Dengan Dalil Apit, it sebuah fungsi misal g dapat ditentukan dengan menghitung it fungsi-fungsi yang mengapitnya. Jika it fungsi-fungsi yang mengapit g menuju nilai yang sama, maka nilai it g akan berupa sebuah nilai. Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Contoh.6 Jika 4 u. u, carilah Karena 4 dan maka berdasarkan Dalil Apit, u. Gambar.4 Grafik fungsi Contoh.6 TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 8

10 Nilai sinθ θ Perhatikan Gambar.5, dengan asumsi maka: Luas OAP Luas Juring OAP Luas OAT Dari gambar, dapat diperoleh: Luas OAP sin sin Luas juring OAP r Luas OAT tan tan Pertaksamaan di atas menjadi : atau atau sin tan sin sin cos sin cos sin cos sin cos Kemudian dengan Dalil Apit, diperoleh sin cos sin sin Dari hasil terakhir di atas, diperoleh nilai. Untuk menghitung nilai it dari bentuk trigonometri yang lain, dapat digunakan hasil it trigonometri di atas. sin Gambar.5 Diagram Segitiga untuk Kasus TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 9

11 Contoh.7 Hitunglah it-it berikut. a a sin 4 sin 4 4 sin cos 4 cos cos cos cos cos cos sin cos sin 4 sin sin cos sin sin cos 4 Limit Tak hingga, Limit di Tak hingga dan Asimtot Limit di Tak hingga Perhatikan grafik f pada Gambar.6. Bila membesar terus tanpa batas, ditulis, nilai f akan menuju, dapat dituliskan: Dan begitu juga untuk, Limit Tak hingga Perhatikan grafik f pada Gambar.6. Bila menuju +, +, nilai f menuju, Dan begitu juga untuk, Gambar.6 Grafik y TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

12 Kasus sebelumnya mendasari it di tak hingga dan tak hingga. Secara umum dapat dituliskan : k dan k ; k N Contoh.8 Hitunglah it-it berikut. a,., c 5 5 a Dalam menyelesaikan it di tak hingga, dapat dilakukan dengan membagi bagian pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat terbesarnya dan pada kasus ini, sehingga Kemudian masing-masing bagian dapat diitkan Dengan menerapkan langkah yang sama pada bagian a, maka c Untuk mempermudah perhitungan, dapat digunakan grafik y pada 5 5 Gambar.6. Grafik y dapat diperoleh dengan menggeser grafik y ke 5 kanan sebanyak a satuan dan garis tegak yang didekati grafik y adalah = 5 5, sehingga diperoleh 5 5 TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

13 Asimtot Limit tak hingga dan it di tak hingga berkaitan dengan asimtot, yaitu karakteristik kurva yang mendekati garis tetapi tidak pernah dicapai. Pada kasus Gambar.6 terdapat dua garis yang didekati grafik y, yaitu garis tegak = dan garis mendatar y =. Garis tegak yang didekati grafik sebuah fungsi disebut asimtot tegak dan garis mendatar yang didekati grafik disebut asimtot datar. Pengertian Asimtot Tegak Garis = c disebut asimtot tegak dari grafik fungsi f jika memenuhi salah satu dari : a c atau d atau Pengertian Asimtot Datar Garis y = L disebut asimtot datar dari grafik fungsi f jika memenuhi salah satu dari L atau L. Contoh.9 Tentukan asimtot dari grafik f. Grafik f memiliki asimot datar y =, karena. Dan karena atau, maka garis = merupakan asimtot tegak dari grafik f. Gambar.7 Grafik f TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

14 Kekontinuan Diberikan tiga buah grafik yang berbeda. Manakah grafik di atas yang kontinu? Dengan memperhatikan kata kontinu, tentunya dengan mudah dapat disimpulkan bahwa grafik paling kanan adalah grafik kontinu. Tidak ada bagian yang terputus pada grafik paling kanan. Ibaratnya kita menggambar dengan pena, pena kita tidak terangkat sampai grafik selesai dibuat. Namun, dalam Matematika, kekontinuan sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut. Kekontinuan di satu titik Misalkan f terdefinisi pada f c a, bdan c a, b. Fungsi f f c kontinu di titik c, jika f. Kekontinuan interval y f dikatakan kontinu pada a, jika fungsi tersebut kontinu pada setiap a,. y f dikatakan kontinu pada a, b a, dan y a a, dan y f a f jika fungsi tersebut kontinu pada setiap kontinu kanan. f dikatakan kontinu pada a, b jika b f dikatakan kontinu pada a, b kontinu kiri. a, serta f a dan f. a b fungsi tersebut kontinu pada setiap jika fungsi tersebut kontinu pada setiap TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9

15 Contoh. Diberikan f Periksa kekontinuan f. ; ; ; Fungsi, dan adalah polinom yang kontinu pada daerah asalnya. Selanjutnya akan diperiksa kekontinuan pada batas-batas = dan =. Untuk = : Limit kanan, Limit kiri, Nilai f, f f f Karena f, maka f kontinu di =. Untuk = : Limit kanan, Limit kiri, Nilai f, f Karena f, maka f kontinu di =. Contoh. Diberikan f a Tentukan a agar f kontinu di R. ; ; Dengan langkah yang sama, pemeriksaan dilakukan pada batas-batas fungsi, yaitu pada =. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 4

16 Batas =, Limit kanan : f a 6a Limit kiri : 8 Nilai f : f a 6a Syarat kontinu, f f f 8 6a 6a 8 4 diperoleh a. 6 TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 5

17 LATIHAN. Diberikan grafik g pada gambar di samping. Tentukan: a g g c g d g g g e g f g h g i g. Hitunglah it berikut. a 4 c d e f. Buatlah grafik dari fungsi dan tentukan nilai g 5 ; ; ; a g g c g d g 4. Carilah nilai it berikut. a 4 sin cos Petunjuk : Gunakan Dalil Apit c 4 sin 5. Jika diberikan dan g 4, tentukan : a f 4g 6. Hitung it berikut. f c f g a cos tan5 sin c sin cos e cos d sin tan cos f TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 6

18 7. Hitunglah it berikut. a c d 4 e f 5 g 8. Carilah asimtot yang ada pada grafik fungsi berikut. a f f Diberikan Periksa kekontinuan h. h ;. ;. Diberikan f ;. a ; Tentukan nilai a agar f kontinu di.. Diberikan Periksa kekontinuan g. ; g 6 ;. 8 ;. Tentukan a dan b agar kontinu di R. f a b ; ; ; TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 7

19 REFERENSI. Claudia Neuhauser, Calculus for Biology and Medicine th Ed, United States of America : Pearson Education.. Dale Verberg, Edwin Purcel and Steve Rigdon 7, Calculus 9th Ed., Prentice Hall.. Thomas 5, Calculus th Ed., Pearson Education. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 8/9 8