Suatu Ukuran Bernilai C[a, b]

Transkripsi

1 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 2017, Hal p-issn: ; e-issn: X Halama 476 Suatu Ukura Berilai C[a, b] Firdaus Ubaidillah Jurusa Matematika Fakultas MIPA Uiversitas Jember Ifo Artikel Riwayat Artikel: Diterima: 15 Mei 2017 Direvisi: 1 Jui 2017 Diterbitka: 31 Juli 2017 Keyword: Ukura luar Ukura Himpua terukur Ruag ukura ABSTRACT Dalam paper ii dikostruksi suatu ukura berilai C[a, b], dimaa C[a, b] adalah koleksi semua fugsi kotiu berilai real yag terdefiisi pada selag tertutup da terbatas [a, b]. Dalam megkostruksi ukura berilai C[a, b] tersebut, terlebih dahulu dikostruksi ukura luar berilai C[a, b]. Kemudia membagkitka ukura melalui ukura luar tersebut. Beberapa sifat sederhaa yag berkaita dega ukura berilai C[a, b] juga aka dibahas dalam paper ii. Copyright 2017 SI MaNIs. All rights reserved. Correspodig Author: Firdaus Ubaidillah, Jurusa Matematika Fakultas MIPA, Uiversitas Jember, Jl. Kalimata 37 Jember, Jawa Timur, Idoesia firdaus_u@yahoo.com 1. PENDAHULUAN Salah satu bagia dalam bidag matematika yag terus berkembag adalah matematika aalisis. Terkadag dalam pegembaga tersebut, diperluka perluasa defiisi, seperti defiisi ukura yag sudah dikeal selama ii berilai real, utuk keperlua tertetu. Sebagai cotoh, Boccuto, Rieca, da Vrabelova [2] dalam medefiisika jumlah Riema (Riema sum) fugsi f: T R, dega R ruag Riesz, adalah S(f, D) = f(t i )μ(e i ) dega D = {(E i, t i ), i = 1, 2,, } partisi δ-fie atas T da μ ukura berilai Riesz R, yaki μ: Σ R dega Σ merupaka aljabar-σ atas semua himpua bagia Borel dari T. Dalam defiisiya, mereka berasumsi bahwa R ruag Riesz legkap Dedekid. Sekarag, jika diambil R = C[a, b] ruag atas semua fugsi kotiu berilai real yag terdefiisi pada selag tertutup da terbatas [a, b] yag merupaka ruag Riesz yag tidak legkap Dedekid, ii mearik utuk membahasya karea μ mejadi ukura berilai C[a, b]. Sebelumya, Ghoussoub [3] telah membahas ukura berilai ruag Riesz, bahka lebih awal lagi, Wright [7] juga telah membahas ukura berilai ruag terurut parsial. Tahu 2014, Ubaidillah dkk [5] telah membahas suatu ukura berilai C[a, b], amu defiisi ukura tersebut masih pada koleksi tertetu saja da belum pada himpua kuasaya. Hasil ukura tersebut kemudia diguaka Ubaidillah dkk [6] utuk megkostruksi itegral Hestock-Kurzweil di dalam ruag C[a, b]. Tujua dari tulisa ii adalah megkostruksi suatu ukura berilai C[a, b] yag terdefiisi pada himpua kuasa 2 C[a,b] dega melalui ukura luar. Dalam tulisa ii, terlebih dahulu dikostruksika suatu ukura luar pada C[a, b] kemudia membagkitka ukura melalui ukura luar tersebut dega membatasi pada aljabar- Lama Prosidig:

2 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Halama 477 σya saja. Beberapa sifat ukura berilai C[a, b] juga aka dibahas dalam tulisa ii. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam seksi ii aka dikostruksi suatu ukura berilai C[a, b] dega terlebih dahulu megkostruksi ukura luar. Utuk keperlua hal-hal tersebut, diperluka perluasa sistem C[a, b] da pegertia aljabar-σ himpua pada C[a, b]. Perluasa sistem C[a, b] sebagai berikut C [a, b] = C[a, b] {, } yag disebut dega sistem C[a, b] yag diperluas. Eleme r, s C [a, b] dega r = da s = mempuyai arti berturut-turut r(x) = da s(x) = utuk setiap x [a, b]. Operasi-operasi aljabar atara simbol ± da eleme f C[a, b] sebagai berikut (i). < f < utuk setiap f C[a, b] (ii). f + = da f = utuk setiap C[a, b] (iii). f = da f ( ) = utuk setiap f C[a, b] dega f > θ (iv). f = da f ( ) = utuk setiap f C[a, b] dega f < θ (v). + = da + ( ) =, da (vi). θ = 0 ( ) = θ Selajutya, diberika pegertia aljabar-σ himpua yag diambilka dari [1]. Defiisi 1. Diberika himpua X. Koleksi A 2 X yag mempuyai sifat-sifat (i). A (ii). A A A C A (iii). {A } A =1 A A disebut aljabar-σ himpua pada X. Pasaga X da A aljabar-σ himpua padaya, (X, A), disebut ruag terukur da setiap aggota dari ruag terukur disebut himpua terukur. Beberapa sifat aljabar-σ himpua diberika dalam dua teorema berikut yag buktiya dapat dilihat di [4]. Teorema 2. Jika A aljabar-σ himpua pada X, maka (i). A, B A A B A (ii). A, B A A B A (iii). A, B A (A B) (B A) A. Teorema 3. Jika (X, A) ruag terukur da {A } A maka terdapat {B } A sehigga B i B j = utuk i j da =1 B = =1 A 2.1. Ukura Luar Dalam subseksi ii aka dikostruksi ukura luar da aljabar-σ himpua pada C[a, b] yag dibagkitka melalui ukura luar pada C[a, b]. Utuk megawali hal itu, diberika pegertia ukura luar pada C[a, b]. Defiisi 4. Fugsi himpua μ : 2 C[a,b] C [a, b] yag memeuhi sifat-sifat (i). μ (A) θ, utuk setiap A C[a, b] μ ( ) = θ (ii). A, B C[a, b] da A B μ (A) μ (B) (iii). {A } C[a, b] μ ( =1 A ) =1 μ (A ) disebut ukura luar pada C[a, b]. Utuk f, g C[a, b], selag-selag terbuka di dalam C[a, b] diyataka dega (f, ), (, f), (f, g) asalka f < g, atau C[a, b] sediri, da koleksi semua selag terbuka di dalam C[a, b] da himpua kosog diyataka oleh J. Jika I, J J, mudah dipahami bahwa I J J da jika I J maka I J J. Selajutya, jika f, g C[a, b] dega f < g, didefiisika fugsi l: J C [a, b] dega θ, jika I = l(i) = { g f, jika I = (f, g), jika I = (f, ), I = (, f)atau I = C[a, b] Suatu Ukura Berilai C[a,b]

3 Halama 478 p-issn: ; e-issn: X Diperhatika bahwa l(i) seatiasa ada di dalam C [a, b] da l(i) θ utuk setiap I J. Utuk selajutya, koleksi semua {I } J sehigga A =1 I diyataka dega P(A). Diperhatika bahwa, utuk setiap E A berlaku P(A) P(E). Lemma 5. Jika I, J J da I J, maka l(i J) + l(i J) = l(i) + l(j). Bukti: Aggap I = (f 1, g 1 ) da J = (f 2, g 2 ) dega f 1 < g 1, f 2 < g 2, da f 1 < f 2. Karea I J, maka diperoleh I J = (f 2, g 1 ) da I J = (f 1, g 2 ). Oleh karea itu, diperoleh l(i J) + l(i J) = (g 2 f 1 ) + (g 1 f 2 ) = (g 1 f 1 ) + (g 2 f 2 ) = l(i) + l(j). Selajutya didefiiska pemetaa μ : 2 C[a,b] C[a, b] dega μ (A) = if { l(i ): {I } P(A) }, utuk setiap A C[a, b] =1 asalka ifimum tersebut ada. Koleksi semua A C[a, b] sehigga μ (A) ada diyataka dega M[a, b]. Lemma 6. Diberika A, B C[a, b] dega A B. Jika A, B M[a, b], maka μ (A) μ (B). Bukti: Diberika A, B M[a, b]. Karea A B, diperoleh P(B) P(A). Oleh karea itu diperoleh { l(i ): {I } P(B) } { l(i ): {I } P(A) } (1) =1 =1 Karea A, B M[a, b], maka kedua himpua pada ruas kiri da kaa (1) mempuyai ifimum da diperoleh μ (A) = if { l(i ): {I } P(A) } if { l(i ): {I } P(B) } = μ (B). =1 Jika A M[a, b], maka utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat {I } P(A) sehigga berlaku da berlaku sebalikya. =1 μ (A) l(i ) μ (B) + εe, Teorema 7. Diberika A, B C[a, b]. Jika A, B M[a, b], maka A B M[a, b]. =1 Bukti: Utuk setiap ε > 0, terdapat {I } P(A) sehigga berlaku da terdapat {J } P(B) sehigga berlaku μ (A) l(i ) μ (A) + εe 2 =1 μ (B) l(j ) μ (B) + εe 2. =1 Jika {I J } diyataka sebagai {D m } J, maka {D m } P(A B) da berdasarka Lemma 5, diperoleh atau Dega demikia, diperoleh μ (A) + μ (B) l(i ) + l(j ) < μ (A) + μ (B) + εe =1 =1 μ (A) + μ (B) l(d m ) + l(i J ) < μ (A) + μ (B) + εe. m=1 =1 μ (A) + μ (B) μ (A B) l(d m ) < μ (A) + μ (B) μ (A B) + εe. m=1 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 2017:

4 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Halama 479 Sebagai akibat dari Teorema 7, diperoleh hasil berikut. Akibat 8. Diberika A i C[a, b] utuk setiap i = 1,2,,. Jika A i M[a, b] utuk setiap i = 1,2,,, maka M[a, b]. A i Lemma 9. Jika {A } M[a, b] dega μ (A ) = θ utuk setiap N, maka μ ( ) = θ. =1 A Bukti: Utuk setiap ε > 0 da setiap N, diambil {I k } P(A ) sehigga berlaku l(i k ) < εe 2. =1 A Jika {I k } diyataka dega sebagai {D m } J, maka {D m } P( ) da diperoleh θ l(d m ) = l(i k ) εe = εe. m=1 Jadi, =1 A M[a, b] da μ ( =1 A ) = θ. Lemma 10. Diberika {A } M[a, b]. Jika =1 =1 A 2 =1 M[a, b], maka μ ( A ) μ (A ) =1 =1 Bukti: Diambil A M[a, b] da {A } M[a, b] sehigga A N, diambil {B k } J sehigga berlaku l(b k ) < εe 2 + μ (A ). =1 A Jika {B k } diyataka dega sebagai {D m } J, maka A m=1 D m da diperoleh μ (A) l(d m ) = l(b k ) ( εe 2 + μ (A )) = εe + μ (A ). m=1 =1 =1 =1 A M[a, b] da. Utuk setiap ε > 0 da setiap Selajutya, dibetuk koleksi-koleksi himpua M 1 [a, b] = {X C[a, b]: X M[a, b], terdapat Y M[a, b] dega X Y da μ (Y) = θ} M 2 [a, b] = {X C[a, b]: X M[a, b] terdapat Y 1, Y 2 M[a, b] dega Y 1 X Y 2 da θ < μ (Y i ) <, i = 1,2} M 3 [a, b] = {X C[a, b]: X M[a, b], X M 1 [a, b], X M 2 [a, b]} da didefiisika fugsi μ : 2 C[a,b] C [a, b] dega θ, A M 1 [a, b] μ (A) μ (A), A M[a, b] = { μ (B), A M 2 [a, b] dega A B M[a, b] da μ (2) (B A) = θ, A M 3 [a, b] Aka ditujukka C[a, b] well-defied. Diperhatika bahwa M i [a, b] M j [a, b] = utuk setiap i, j = 1,2,3 da i j da M i [a, b] M[a, b] = utuk setiap i, j = 1,2,3. Dari koleksi M 3 [a, b], diperoleh M 3 [a, b] = (M[a, b]) C (M 1 [a, b]) C (M 2 [a, b]) C = (M[a, b] M 1 [a, b] M 2 [a, b]) C (M 3 [a, b]) C = M[a, b] M 1 [a, b] M 2 [a, b] Teorema 11. Diberika A, B C[a, b]. Jika A B, maka μ (A) μ (B). Bukti: Aka dibuktika per kasus. Kasus μ (B) =. Cukup jelas berlaku μ (A) μ (B). Kasus μ (B) = θ. Ii berakibat A M[a, b] atau A M 1 [a, b] da μ (A) = θ. Dega megguaka Lemma 6, diperoleh μ (A) μ (B). Kasus θ < μ (B) <. Ii berakibat B M[a, b] atau B M 2 [a, b]. Dega megguaka Lemma 6, diperoleh μ (A) μ (B). Bukti telah legkap. =1 Suatu Ukura Berilai C[a,b]

5 Halama 480 p-issn: ; e-issn: X Lemma 12. Diberika A, B C[a, b]. Jika A M[a, b] da μ (B) = θ, maka μ (A B) = μ (A) Teorema 13. Jika {A } C[a, b], maka μ ( A ) μ (A ) =1 Bukti: Ambil sebarag {A } C[a, b]. Jika terdapat A sehigga μ (A ) =, bukti selesai. Selajutya, diaggap μ (A ) < utuk setiap N. Dibetuk himpua-himpua I = { N: A M[a, b]} I 1 = { N: A M 1 [a, b]} I 2 = { N: A M 2 [a, b]} Utuk setiap I 1, terdapat X M[a, b] dega A X da μ (X ) = θ. Utuk setiap I 2, terdapat Y M[a, b] dega A Y da μ (Y A ) = θ. Oleh karea itu, diperoleh hubuga =1 A = A A A =1 I I 1 I 2 A X Y I I 1 I 2. Jika =1 μ (A ) = θ, maka μ (A ) = θ utuk setiap N. Akibatya I 2 =. Karea μ (A ) = θ = μ (X ) utuk setiap I I 1, berdasar Lemma 9, diperoleh da Berdasarka Teorema 11, diperoleh A X M[a, b] I μ ( A I I 1 X I 1 ) = θ. θ μ ( A ) μ ( A X ) = μ ( A =1 I I 1 I X I 1 ) = θ. Jika θ < =1 μ (A ) <, maka utuk setiap ε > 0 terdapat K N sehigga =K+1 μ (A ) karea itu, berdasar Teorema 11, Lemma 12 da Akibat 8, diperoleh μ ( A ) μ ( A =1 K =1 =K+1 A K ) = μ ( A ) =1 μ ( A Y ) = μ ( A Y I I 2 μ (A ) + μ (Y ) I I 2 I I 2 ) < εe. Oleh Bukti telah legkap. = μ (A ) + μ (A ) I I 2 K = μ (A ) μ (A ). =1 =1 Teorema 14. Fugsi μ yag didefiisika pada (2) merupaka ukura luar pada C[a, b]. Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 2017:

6 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Halama 481 Bukti : Aka dibuktika μ memeuhi sifat-sifat di dalam Defiisi 4. Pertama, aka dibuktika μ (A) θ utuk setiap A 2 C[a,b] da μ ( ) = θ. Karea μ (A) θ utuk setiap A M[a, b] da berdasarka defiisi μ pada (2), diperoleh μ (A) θ utuk setiap A 2 C[a,b]. P( ) da l( ) = θ, karea itu disimpulka M[a, b] da μ ( ) = μ ( ) = l( ) = θ. Selajutya, berdasarka Teorema 11, diperoleh sifat setiap A B C[a, b] berlaku μ (A) μ (B). Utuk membuktika sifat (iii) di dalam Defiisi 4, berdasarka Teorema 13, diperoleh utuk setiap {A } C[a, b] berlaku μ ( =1 A ) =1 μ (A ). Jadi, μ merupaka ukura luar pada C[a, b]. Defiisi 15. Himpua E C[a, b] dikataka terukur-μ, jika setiap A C[a, b] bear bahwa μ (A) = μ (A E) + μ (A E C ). Utuk setiap A C[a, b], bear bahwa A = (A E) (A E C ), sehigga meurut sifat (iii) di dalam Defiisi 4, diperoleh μ (A) μ (A E) + μ (A E C ). Oleh karea itu diperoleh defiisi baru sebagai berikut: himpua A C[a, b] dikataka terukur-μ, jika setiap A C[a, b] berlaku Teorema 16. Jika μ (E) = θ, maka E terukur-μ. μ (A) μ (A E) + μ (A E C ). Bukti: Utuk setiap A C[a, b], berlaku A E E da berdasarka sifat (ii) Defiisi 4, diperoleh θ μ (A E) μ (E) = θ. Dega kata lai μ (A E) = θ. Di sisi lai, A A E C sehigga diperoleh μ (A) μ (A E C ) = θ + μ (A E C ) = μ (A E) + μ (A E C ). Teorema 17. Peryataa-peryataa berikut berilai bear (i). θ da C[a, b] terukur-μ. (ii). Jika E C[a, b] terukur-μ, maka E C terukur-μ. (iii). Jika E 1, E 2 C[a, b] terukur-μ, maka E 1 E 2 da E 1 E 2 keduaya terukur-μ. Berdasarka Teorema 17, diperoleh akibat berikut Akibat 18. Jika E 1, E 2,, E masig-masig himpua terukur-μ, maka himpua keduaya terukur-μ. E i da E i Teorema 19. Jika E 1, E 2,, E salig asig da terukur-μ, maka utuk setiap A C[a, b] berlaku μ (A E i ) = μ (A E i ). Bukti: Aka dibuktika dega iduksi matematika. Jelas teorema bear utuk = 1. Selajutya, aggap teorema bear utuk himpua-himpua E 1, E 2,, E 1, yaki bear bahwa 1 μ (A E k ) = μ (A E k ), 1 utuk setiap A C[a, b]. Karea E 1, E 2,, E 1 salig asig, dipuyai da A ( E k ) E = A E Suatu Ukura Berilai C[a,b]

7 Halama 482 p-issn: ; e-issn: X Karea E terukur-μ, maka diperoleh A ( E k ) E C = A ( E k ). μ (A E k ) = μ (A ( E k ) E ) + μ (A ( E k ) E C ) 1 1 = μ (A E ) + μ (A ( E k )) 1 = μ (A E ) + μ (A E k ) = μ (A E k ). Teorema 20. Jika {E } barisa himpua terukur-μ, maka himpua keduaya terukur-μ. E i da E i Teorema 21. Utuk setiap f C[a, b], selag-selag (f, ), [f, ), (, f) da (, f] terukur-μ. Akibat dari Teorema 21, maka setiap selag di dalam C[a, b] terukur-μ. Teorema berikut memperlihatka bahwa koleksi semua himpua terukur-μ pada C[a, b] merupaka aljabar- σ pada C[a, b]. Teorema 22. Jika A meyataka koleksi semua himpua terukur-μ, maka A merupaka aljabar-σ pada C[a, b]. Bukti: Karea A, maka A. Berdasarka Defiisi 1, jika E A diperoleh E C A, da berdasarka Teorema 20, jika E i A utuk setiap i N maka E i A Ukura Dalam subseksi ii, aka dibagu suatu ukura μ yag dibagkitka oleh ukura luar μ da ruag ukura pada C[a, b]. Sebelum itu, diberika pegertia ukura da ukura legkap pada C[a, b]. Defiisi 23. Diberika A aljabar-σ pada C[a, b]. Fugsi μ: A C [a, b] yag memeuhi sifat-sifat (i). μ(a) θ utuk setiap A A, μ( ) = θ, (ii). {A } A da A i A j =, i j maka μ( A ) = =1 =1 μ(a ), disebut ukura pada C[a, b]. Ruag terukur C[a, b] yag dilegkapi dega ukura C[a, b] padaya disebut ruag ukura da dituliska dega (C[a, b], A, μ). Ruag ukura (C[a, b], A, μ)dikataka legkap jika utuk setiap A A dega μ(a) = θ maka utuk setiap E A berakkibat E A. Suatu ruag ukura dapat dibagkitka melalui apa yag diamaka dega ukura luar μ yag pegertiaya telah diberika dalam Defiisi 4. Teorema berikut meujukka terdapat suatu ruag ukura legkap pada C[a, b]. Teorema 24. Diberika (C[a, b], A) ruag terukur. Fugsi μ: A C [a, b] dega rumus μ(e) = μ (E), utuk setiap E A adalah ukura pada (C[a, b], A). Lebih jauh, ruag ukura (C[a, b], A, μ) legkap. Bukti: μ(e) = μ (E) θ utuk setiap E A da μ( ) = μ ( ) = θ. Jika {E k } A da salig-asig, berdasarka Teorema 19 dega megambil A = C[a, b], diperoleh μ ( E k ) = μ ( E k ) = μ (E k ) = μ(e k ). Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 2017:

8 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami) Halama 483 Selajutya, ambil sebarag A A dega μ(a) = θ. Jadi μ (A) = θ. Akibatya utuk setiap E A, dega sifat kemootoa, diperoleh μ (E) = θ. Akibatya, berdasarka Teorema 16, E terukur-μ. Dega Teorema 22, diperoleh E A. Jika diperhatika, ukura μ adalah suatu fugsi himpua yag diperoleh dega cara membatasi ukura luar μ pada aljabar-σ himpua A. Sebagai akhir dari subseksi ii, diberika beberapa sifat ukura dalam satu teorema berikut. Teorema 25. Diberika {E } barisa himpua terukur. (i). Jika E E +1 utuk setiap N, maka jika limitya ada. (ii). Jika E +1 E utuk setiap N, maka jika limitya ada. μ ( E =1 μ ( E =1 ) = lim μ(e ) ) = lim μ(e ) Bukti: Aka dibuktika utuk bagia (i) saja, bagia (ii) serupa. Jika μ(e ) = utuk suatu, peyelesaia trivial. Jika μ(e ) < utuk setiap, dibetuk himpua E = E. =1 Karea E E +1 utuk setiap, himpua-himpua E i+1 \E i da E j+1 \E j salig-asig utuk i j. Oleh karea itu, berdasarka bukti Teorema 24, diperoleh μ(e) = lim μ(e i+1 \E i ) = lim (μ(e i+1 ) μ(e i )) = lim μ(e ). 3. KESIMPULAN Berdasarka hasil da pembahasa diperoleh suatu kesimpula bahwa terdapat suatu ukura berilai C[a, b]. Ukura berilai C[a, b] yag dikostruksi di atas diperoleh dega cara membagkitka ukura luar pada C[a, b]da membatasiya pada aljabar-σ himpuaya. DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle, R.G., The Elemets of Itegratio ad Lebesgue Measure. Joh Wiley & Sos, New York; [2] Boccuto, A., Rieca, B. ad Vrabelova, M., Kurzweil-Hestock Itegral i Riesz Spaces. Betham Books; [3] Ghoussoub, N., Riesz Spaces Valued Measures ad Processes, Bull. Soc. Math. Frace, (110), hal [4] Royde, H.L. ad Fitzpatrick, P.M., Real Aalysis, Fourth Editio, Pearso Educatio Asia Limited ad Chia Machie Press; [5] Ubaidillah, F., Darmawijaya, S., da Rii, Ch. I., C[a,b]-Valued Measure ad Some of Its Properties Proc. It. Cof. o Research, Imp. ad Edu. of Math. ad Sci., Yogyakarta State Uiversity; hal. M21-M26 [6] Ubaidillah, F., Darmawijaya, S., da Rii, Ch. I., O the Hestock-Kurzweil Itegral of C[a; b] Space-valued Fuctios, It. J. Math. A (37) hal [7] Wright, J.D.M., Measures with Values i a Partially Ordered Vector Space, Proc. Lodo Math. Soc; hal Suatu Ukura Berilai C[a,b]