MATEMATIKA DASAR 1A. Modul 2: Fungsi & Kurvanya, dan Operasi pada Fungsi. Tim Matematika
|
|
- Irwan Indradjaja
- 4 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATEMATIKA DASAR 1A Modul 2: Fungsi & Kurvana, dan Operasi pada Fungsi Tim Matematika TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN 2018
2 PENDAHULUAN 1 Modul ini merupakan review materi ang telah dipelajari di tingkat SMA. Tujuanna adalah untuk memperdalam teori-teori ang menjadi dasar sebelum mempelajari Matematika Dasar (ilmu kalkulus). Pada modul ini akan dijelaskan mengenai Fungsi & Kurvana, dan Operasi pada Fungsi. Fungsi merupakan objek utama ang kita pelajari dalam Matematika Dasar. Fungsi ang dibahas dalam modul ini adalah fungsi bernilai riil. Fungsi inilah ang nantina akan kita observasi, mulai dari bagaimana nilai limitna disuatu titik, turunanna, serta integralna. Fungsi merupakan bentuk abstraksi matematika ang dapat kita representasikan dalam suatu kurva pada bidang (fungsi satu variabel), atau sebagai permukaan pada ruang (fungsi dua variabel). Alat ang kita gunakan untuk merepresentasikan fungsi tersebut merupakan sistem koordinat, dalam hal ini sistem koordinat kartesius (persegi panjang). Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Mahasiswa dapat: 1. Menentukan nilai suatu fungsi. 2. Menggambarkan kurva suatu fungsi. 3. Menentukan Domain dan Range suatu fungsi. 4. Menentukan hasil operasi fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, serta komposisi fungsi) besarta Domain dan Rangena.
3 MATERI PERKULIAHAN 2 Fungsi & Grafikna Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan padanan ang menghubungkan tiap pada himpunan A, ang disebut daerah asal (Domain), tepat satu dengan pada himpunan B, ang disebut daerah lawan (Kodomain). Kumpulan anggota-anggota pada himpunan B ang mendapat pasangan dengan anggota pada himpunan A disebut daerah hasil (Range). Fungsi ang kita bahas dalam perkuliahan ini adalah fungsi f dari himpunan bilangan Riil ke himpunan bilangan Riil (f: R R). Sehingga pada kuliah ini, pengertian fungsi dapat juga diartikan untuk menatakan ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lainna. Misal, volume suatu kubus bergantung pada panjang rusukna r, dengan persamaan V = r 3, sehingga dikatakan V fungsi dari r. Kecepatan v dari benda ang jatuh bebas pada medan gravitasi bumi bertambah seiring bertambahna waktu t sampai benda menentuh bumi, dikatakan v fungsi dari t. Secara umum, jika besaran bergantung pada besaran sehingga setiap nilai menentukan tepat satu nilai, maka dikatakan adalah fungsi dari. Sebagai contoh, persamaan = mendefinisikan sebagai fungsi dari, sebab setiap nilai ang diberikan pada menentukan tepat satu nilai. Contoh lain, persamaan 2 2 = 3 tidak dapat mendefinisikan sebagai fungsi dari, sebab tidak setiap nilai ang diberikan pada menentukan tepat satu nilai. Misal = 0 kita dapat menentukan nilai ang berpadanan dengan mensubtitusikan = 0 ke dalam persamaan 2 2 = 3, sehingga didapatkan 2 2 (0) = = 0 ( 3)( + 1) = 0 Dua bilangan ( 3) dan ( + 1) dikalikan sama dengan nol, maka salah satu haruslah sama dengan nol. Jadi 3 = 0 atau + 1 = 0 = 3 atau = 1 Kita dapatkan dua nilai, artina satu nilai aitu = 0, mempunai dua pasangan nilai, aitu = 3 dan = 1, perhatikan Gambar 2.1.
4 2 2 = 3 3 Gambar 2.1 Gambar 2.1 merupakan kurva dari persamaan 2 2 = 3. Dapat dilihat bahwa satu nilai tidak selalu mempunai pasangan tepat satu nilai ang berpadanan. Misal = 0 mempunai dua pasangan nilai ang berpadan aitu = 1 dan = 3, dan seterusna. Sehingga persamaan tersebut tidak mendefinisikan sebagai fungsi dari. Untuk mengetahui dengan mudah suatu persamaan dengan dua variabel dan bukan merupakan fungsi dari berdasarkan grafikna aitu dengan melakukan uji garis tegak. Buatlah suatu garis-garis tegak pada kurva, jika ada garis tegak ang memotong kurva lebih dari satu titik (mengartikan bahwa satu nilai mempunai pasangan tidak tepat satu nilai ), maka dapat kita simpulkan persamaan tersebut bukan fungsi dari = Gambar 2.2 Pada Gambar 2.2 terlihat bahwa, dari empat garis tegak ang dibentuk, ada garis ang memotong kurva di tiga titik (lebih dari satu titik), artina persamaan dari grafik tersebut bukan merupakan fungsi dari. Untuk menuliskan suatu fungsi dari kita dapat menggunakan notasi f(), kita gunakan huruf tunggal seperti f, g, F, dan seterusna untuk memberikan nama fungsina. Misal = f() dibaca adalah fungsi dari, dengan sebagai variabel bebas, dan sebagai variabel tak bebas, serta f adalah nama fungsina. Atau
5 misal V = g(r) dibaca V adalah fungsi dari r, dengan r sebagai variabel bebas, dan V sebagai variabel tak bebas, serta g adalah nama fungsina. Notasi f(a) dapat diartikan sebagai nilai fungsi f di = a. 4 Diberikan f() = , tentukan nilai dari f( 1), f(2), f( + 1). f( 1) = 2( 1) 3 + 3( 1) 1 = = 6 f(2) = 2(2) 3 + 3(2) 1 = = 21 f( + 1) = 2( + 1) 3 + 3( + 1) 1 Bahan Renungan: Apa perbedaan antara persamaan dengan fungsi? Daerah Asal (Domain) Suatu fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalna (Domain) diberikan. Jika terdapat fungsi = f(), maka Domain f dinotasikan sebagai D f, aitu himpunan nilai-nilai ang diperkenankan untuk variabel bebas, perhatikan Gambar 2.3. = f() R f f() Gambar 2.3 Dalam aplikasi, Domain suatu fungsi sering ditentukan oleh pertimbangkan fisis dan geometrik. Selain itu Domain fungsi dapat juga berupa Domain alami (natural), dan Domain ang ditentukan dengan pembatasan langsung. (Domain karena adana pertimbangan fisis dan geometrik) D f Perhatikan Gambar 2.4, bangun ang diperoleh dari bangun persegi dengan sisi 8 cm dipotong pada masing-masing sudut berbentuk persegi dengan sisi cm, dan
6 misalkan adalah luas lembaran karton ang tersisa (dalam cm 2 ), natakan luas lembaran karton ang tersisa sebagai fungsi dari. 5 8 cm Gambar 2.4 Luas lembaran karton ang tersisa merupakan luas karton sebelum dipotong dikurangi dengan luas keempat persegi dengan sisi cm, aitu = f() = Ini merupakan fungsi dari ang didapatkan. Pada fungsi ini, karena menatakan panjang, maka tidak boleh negatif (pertimbangan fisis). Selain itu tidak boleh melibihi 4 (persaingan dengan potongan ang lainna). Jadi, haruslah diantara 0 dan 4, atau dapat kita tuliskan sebagai 0 4. Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, arti fisis dari menunjukkan bahwa, Domain fungsi = adalah { 0 4}. Biasana fungsi dan Domainna dapat dituliskan secara berdampingan sebagai berikut f() = , 0 4 atau f() = , { 0 4, bilangan riil} Selain Domain karena alasan fisis, terdapat Domain ang muncul secara murni karena persamaanna bukan karena persoalan fisis dan geometrik, biasa disebut sebagai Domain natural (Domain alami). (Domain Alami/Natural) Diberikan suatu fungsi f() = 1, tentukan Domain naturalna (+2)( 1) Fungsi f tidak terdefinisi atau tidak memberikan nilai riil jika = 2 atau = 1, karena nilai = 2 atau = 1 menebabkan penebut menjadi nol, sehingga f() tak terdefinisi. Dengan demikian, untuk semua nilai ang lainna, fungsi f terdefinisi dan mempunai nilai riil. Jadi Domain D f (Domain f) terdiri dari semua bilangan riil kecuali = 2 atau = 1.
7 Walaupun secara eksplisit dapat dinatakan rumus fungsi f beserta Domainna f() = 1, { 2 dan 1, bilangan riil} (+2)( 1) 6 dapat juga menuliskan rumus fungsi f saja. f() = 1 ( + 2)( 1) dengan asumsi bahwa pembatasan 2 dan 1 sudah jelas dari rumus fungsi tersebut. Secara umum dibuat kesepakatan, jika suatu fungsi ang daerah asalna tidak dirinci (disebutkan) secara eksplisit, kita selalu menganggap bahwa daerah asalna adalah himpunan bilangan riil terbesar sehinga aturan fungsi ada maknana atau memberikan nilai bilangan riil. Ini disebut daerah asal alami (Domain natural). Tentukan Domain natural dari f() = 2 Fungsi f tidak terdefinisi atau tidak memberikan nilai riil jika 2 < 0 atau < 2. Nilai < 2 menebabkan nilai dalam akar negatif, sehingga f() bernilai kompleks. Dengan demikian, untuk semua nilai 2, fungsi f terdefinisi dan mempunai nilai riil. Jadi Domain D f (Domain f) terdiri dari semua bilangan riil ang lebih besar atau sama dengan 0, dapat ditulis sebagai D f = { 2, bilangan riil} Daerah Hasil (Range) Jika adalah suatu bilangan pada Domain fungsi f, maka bilangan f() disebut sebagai nilai f di. Himpunan semua nilai f() disebut sebagai Range dari f, dapat dinotasikan sebagai R f. Jika = f(), maka Range f dapat dipandang sebagai himpunan semua nilai ang mungkin dari variabel tak bebas, perhatikan Gambar 2.3. Tentukan Range dari f() = 2 dengan 0 3 Untuk mendapatkan Range f, diperkenalkan variabel bebas = f(), sehingga = 2 Untuk nilai ang berubah-ubah pada Domain f, nilai ang bersesuaian dengan berubah-ubah pada interval [0, 9]. Interval ini merupakan Range dari f.
8 Contoh berikut mengilustrasikan suatu cara ang dapat digunakan sebagai bantuan dalam mendapatkan Range dari suatu fungsi. 7 Tentukan Range dari fungsi berikut f() = Seperti pada contoh sebelumna, diperkenalkan variabel = f(), sehingga = Himpunan ang mungkin dapat diperoleh dengan menatakan kedalam, aitu sebagai berikut = ( + 2) = = 1 = 2 1 ( 1) = 2 1 = Dari persamaan terakhir dapat disimpulkan bahwa tidak boleh sama dengan 1. Sehingga Range dari f adalah semua bilangan riil kecuali 1, atau dapat ditulis sebagai R f = { 1, bilangan riil}. Kurva Fungsi Kita dapat membaangkan suatu fungsi dengan menggambarkan kurvana pada suatu bidang koordinat, dan kurva fungsi tersebut merupakan kurva persamaan = f(). Dalam hal ini, sebagai variabel bebas, dan sebagai variabel tak bebas. Pada bidang koordinat kartesius, variabel bebas digambarkan sebagai koordinat pada sumbu horisontal/mendatar, sedangkan variabel tak bebas digambarkan sebagai koordinat pada sumbu vertikal. Gambarkan kurva fungsi dari f() = Kurva fungsi dari f() = tidak lain merupakan kurva dari persamaan = f(), aitu = Seperti ang sudah dijelaskan pada Sub Bab Grafik Persamaan, untuk menggambarkan kurva dari suatu persamaan, kita dapat menggunakan tiga
9 langkah berikut, pertama menentukan beberapa titik koordinat ang memenuhi persamaan, kemudian menggambarkan titik-titik koordinat tersebut pada bidang kartesius, dan terakhir menghubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. 8 = f() = Titik Koordinat (, ) 2 5 ( 2, 5) ( 1.5, 3.25) 1 2 ( 1, 2) ( 0.5, 1.25) 0 1 (0, 1) (0.5, 1.25) 1 2 (1, 2) (1.5, 3.25) 2 5 (2, 5) f() = Gambar 2.5 Grafik Fungsi f() = Transformasi Fungsi Dasar Selain menggunakan cara diatas, kita juga dapat menggambarkan kurva suatu fungsi dengan menggunakan transformasi (pergeseran dan pencerminan) dari fungsi-fungsi dasar ang sudah diketahui. Berikut contoh beberapa kurva fungsi dasar.
10 f() = 2 f() = 3 f() = 9 Gambar 2.6 Pergeseran Vertikal Kurva dari = f() + a merupakan pergeseran vertikal dari kurva f(). Jika a lebih besar dari 0, maka kurva dari = f() + a merupakan kurva f() ang digeser ke atas sejauh a satuan. Jika a kurang dari 0, maka kurva dari = f() + a merupakan kurva f() ang digeser ke bawah sejauh a satuan. Gambarkan kurva dari g() = dan h() = 2 1 Kurva dasar dari dari kedua fungsi tersebut adalah f() = 2, jadi g() = f() + 1, ang berarti bahwa kurva g() merupakan kurva dari f() ang digeser ke atas sejauh 1 satuan. Sedangkan h() = f() 1, ang berarti bahwa kurva dari h() merupakan kurva dari f() ang digeser ke bawah sejauh 1 satuan. Perhatikan Gambar 2.7. g() = f() = 2 h() = 2 1 Gambar 2.7
11 Pergeseran Horisontal Kurva dari = f( c) merupakan pergeseran horisontal dari kurva f(). Jika c lebih besar dari 0, maka kurva dari = f( c) merupakan kurva f() ang digeser ke kanan sejauh c satuan. Jika c kurang dari 0, maka kurva dari = f( c) merupakan kurva f() ang digeser ke kiri sejauh c satuan. 10 Gambarkan kurva dari g() = ( 2) 2 dan h() = ( + 2) 2 Kurva dasar dari kedua fungsi tersebut adalah f() = 2, jadi g() = f( 2), ang berarti bahwa kurva g() merupakan kurva dari f() ang digeser ke kanan sejauh 2 satuan. Sedangkan h() = f( + 2) atau dapat ditulis sebagai h() = f( ( 2)), ang berarti bahwa kurva dari h() merupakan kurva dari f() ang digeser ke kiri sejauh 2 satuan. Perhatikan Gambar 2.8. g() = ( 2) 2 f() = 2 h() = ( + 2) 2 Pencerminan Gambar 2.8 Kurva dari = f() merupakan pencerminan dari kurva f() terhadap sumbu-.. Gambarkan kurva dari g() = dan Kurva dasar dari kedua fungsi tersebut adalah f() =, jadi g() = f(), ang berarti bahwa kurva g() merupakan pencerminan dari kurva f() terhadap sumbu-. Perhatikan Gambar 2.9.
12 11 g() = f() = Gambar 2.9 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Suatu fungsi f() dikatakan fungsi genap jika f( ) = f(), ini kaitanna dengan kesimetrian grafik fungsi tersebut. Jika suatu fungsi f() merupakan fungsi genap, maka grafik fungsi tersebut simetri terhadap sumbu-. Sedangkan suatu fungsi f() dikatakan fungsi ganjil jika f( ) = f(), ini kaitanna dengan kesimetrian grafik fungsi tersebut. Jika suatu fungsi f() merupakan fungsi ganjil, maka grafik fungsi tersebut simetri terhadap titik asal. 1. Tentukan apakah f() = 3 2 merupakan fungsi ganjil, genap, atau bukan keduana? f() = 3 2 f( ) = 3( ) 2 f( ) = 3 2 f( ) = f() Karena ternata f( ) = f() maka fungsi tersebut merupakan fungsi genap. Perhatian Gambar 2.10, dapat dilihat bahwa kurva dari f() = 3 2 simetri terhadap sumbu-. f() = 3 2 Gambar 2.10
13 2. Tentukan apakah f() = 3 merupakan fungsi ganjil, genap, atau bukan keduana? 12 f() = 3 f( ) = ( ) 3 f( ) = 3 f( ) = f() Karena ternata f( ) = f() maka fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil. Perhatian Gambar 2.11, dapat dilihat bahwa kurva dari f() = 3 simetri terhadap titik asal. f() = 3 Gambar Tentukan apakah f() = merupakan fungsi ganjil, genap, atau bukan keduana? f() = f( ) = ( ) 2 + 2( ) 1 f( ) = Karena ternata f( ) tidak dapat kita upaakan menjadi f() ataupun f(), maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil. Perhatikan Gambar 2.12, dapat dilihat bahwa kurva dari f() = tidak simetri terhadap titik asal maupun terhadap sumbu-. f() = Gambar 2.12
14 Pengetahuan mengenai fungsi ganjil dan fungsi genap ini akan membantu menambah informasi buat kita dalam menggambarkan kurva dari suatu fungsi, dan juga akan ada kaitanna dengan pembahasan pada modul berikutna (integral). 13 Operasi pada Fungsi Selain fungsi-fungsi ang sudah mempunai nama tersendiri, misal fungsi polinom, konstan, fungsi trigonometri, dan lain sebagaina, kita dapat membentuk fungsi baru dengan cara menjumlahkan, mengurangkan, mambagi ataupun mengalikan fungsi-fungsi ang sudah ada, ini ang disebut sebagai fungsi aljabar. Sebagai contoh, misal f() = dan g() = 2. Maka f() + g() = + 2, f() g() = 2, f() g() = 3, f() g() = 2 Dalam penulisanna f() + g() = (f + g)(), f() g() = (f g)(), f() g() = (f g)(), dan f() g() = (f/g)(). Dalam melakukan operasi suatu fungsi, kita harus berhati-hati mengenai Domain. Domain dari suatu fungsi baru hasil dari operasi, haruslah berlaku pada fungsi-fungsi pembentukna (fungsi-fungsi ang dioperasikan). Khusus pada operasi pembagian, kita harus mengecualikan nilai fungsi nol pada penebutna. Dalam hal ini Domain fungsi-fungsi f() + g(), f() g(), f() g() merupakan irisan dari Domain- Domain f dan g. Atau dapat dituliskan sebagai D f+g = D f g = D f g = D f D g. Sedangkan Domain dari f() adalah irisan Domain f dan g serta dengan g() mengecualikan titik-titik ang menebabkan g() = 0 (menghindarkan penebut sama dengan nol), atau dapat ditulis sebagai Df = D f D g { g() = 0}. g Misal f() = 1 + dan g() = 2 Tentukan (f + g)(), (f g)(), (f g)(), (f/g)(), dan tentukan Domain-na Rumus fungsi masing-masing operasi adalah sebagai berikut (f + g)() = f() + g() = (1 + ) + ( 2) = + 1 (f g)() = f() g() = (1 + ) ( 2) = + 3
15 (f g)() = f() g() = (1 + ) ( 2) = 2 + ( 2) (f/g)() = f() g() = Domain f adalah interval [0, ) (Domain Natural) dan Domain g adalah interval (, ). Jadi Domain dari (f + g)(), (f g)(), dan (f g)() adalah irisan dari dua interval tersebut aitu [0, ). Sedangkan Domain ( f ) () selain irisan kedua Domain g penusunna, kita perlu memperhatikan juga pada fungsi penebut, dalam hal ini g(), kita kecualikan = 2 dalam Domaina, karena = 2 mengakibatkan g() = 0. Sehingga kita dapatkan Domain ( f ) () adalah semua dalam interval [0, ) kecuali g = 2, atau dapat kita tulis D f ( = [0,2) (2, ). ) g Komposisi Fungsi Secara informal dinatakan bahwa operasi komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan suatu fungsi pada variabel bebas dari fungsi lainna, sebagai contoh, misalkan f() = + 1 dan g() = Jika f() disubstitusikan pada dalam fungsi g, maka akan didapatkan fungsi baru, aitu g(f()) = (f()) = ( + 1) ang kemudian dituliskan sebagai (g f)(). jadi Cotoh: (g f)() = g(f()) = (f()) = ( + 1) Tentukan (f g)() dan (g f)(), jika f() = 1 dan g() = 2 (f g)() = f(g()) = g() 1 = 2 1 (g f)() = g(f()) = (f()) 2 = ( 1) 2 = 1 Operasi (f g)() dapat diartikan juga sebagai komposisi dari g dilanjutkan oleh f, aitu pemetaan dari sebagian D g langsung ke sebagian R f. Perhatikan Gambar 2.13.
16 g f 15 D g R g D f R f Gambar 2.13 Pada Gambar 2.13 terlihat bahwa tidak semua R g dapat dilanjutkan ke R f, sehingga dapat dikatakan hana sebagian D g ang dipetakan oleh (f g)() ke R f. Selain itu, tidak semua R f hasil pemetaan oleh f dari D f ang merupakan hasil pemetaan sebelumna oleh g, sehingga dapat dikatakan hana sebagian R g hasil pemetaan oleh (f g)() dari sebagian D g. Dari penjelasan diatas maka dapat disimpulkan bahwa, (f g)() akan terdefinisi/mempunai arti jika R g D f (irisan dari D f dan R g tidak kosong), dan domain dari (f g)() ditulis sebagai D f g adalah prapeta g dari R g D f, atau semua pada D g ang mempunai pasangan di R g D f, aitu D f g = { g() R g D f } Periksa apakah (f g)() terdefinisi? Jika ia, tentukan rumus pemetaan (f g)() dan D f g dari f() = 1 2 dan g() = + 1. D f = [ 1,1] D g = [ 1, ) R g = [0, ) Sehingga didapatkan R g D f = [0, ) [ 1,1] = [0,1]. Karena R g D f tidak kosong maka (f g)() terdefinisi. Rumus pemetaan dari (f g)() adalah sebagai berikut (f g)() = f(g()) = f( + 1) = 1 ( + 1) 2 = 1 ( + 1) = 1 1 = Sedangkan domain dari (f g)(), adalah sebagai berikut D f g = { g() R g D f } = { g() [0,1]} = { } = { } = { 1 0}
17 SOAL LATIHAN Tentukan nilai fungsi dari f() = di ang diberikan a. = 1 b. = 2 c. = (a 2) d. = ( a 1) e. = (a 2 1) 2. Gambarkan kurva dari fungsi-fungsi berikut a. g() = 2 3 b. h() = ( 2) c. f() = d. f() = Tentukan Domain natural dan Range dari fungsi-fungsi ang diberikan a. f() = b. f() = c. f() = +1 ( 3)(+1) 4. Misal f() = 2 dan g() = 3 2. Tentukan masing-masing rumus fungsi dan Domainna dari a. (f + g)() b. (f g)() c. (f g)() d. (f/g)() e. (f g)() f. (g f)()
18 DAFTAR PUSTAKA 17 [1] C. Neuhauser, Calculus for Biolog and Medicine Thrid Edition, United States of America: Pearson Education, [2] E. J. Purcell dan D. Varberg, Calculus with Analtic Geometr 5th Edition, Prentice-Hall, [3] T. M. F. ITS, Kalkulus 1 Edisi Ke-4, Surabaa: Institut Teknologi Sepuluh Nopember, [4] I. N. Susila, B. Kartasasmita dan R., Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Ke-5 Jilid 1, Bandung: Institut Teknologi Bandung-Erlangga.
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciBAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
. Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperincimatematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s
K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
Lebih terperinciPengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciPenggunaan Turunan, Integral, dan Penggunaan Integral.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar yang diberikan pada semester I. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinciKALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
Lebih terperinciFungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Lebih terperinciPengertian Fungsi. Kalkulus Dasar 2
Funsi Penertian Funsi Relasi : aturan an menawankan himpunan Funsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu unsi jika setiap elemen di dalam A dihubunkan denan tepat satu elemen
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciModul Matrikulasi, SMA Labschool Kebayoran 2017 Page 1
Modul : Grafik Fungsi Kuadrat Teori: Bagian bagian grafik fungsi kuadrat = a + b + c, a 0 Grafik fungsi kuadrat Titik ekstrim fungsi kuadrat = f () = a + b + c D = 0 Memiliki dua akar kembar Grafik fungsi
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP
SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP Mata kuliah : Kalkulus 1 Kode Mata Kuliah : TIS1213 SKS : 3 Waktu Pertemuan : 16 kali Pertemuan Deskripsi : Tujuan utama dari mata kuliah ini adalah
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Lebih terperinciFUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinci2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciFungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan
Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG
Lebih terperinciA. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a ) (3a ) 3a 0 adalah, maka akar lainna adalah. Nilai m ang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m ) (m ) ( m ) 0 mempunai dua
Lebih terperinciTRANSFORMASI. Kegiatan Belajar Mengajar 6
Kegiatan elajar Mengajar 6 TRNSFORMSI Drs. Zainuddin, M.Pd Tranformasi (perpindahan) ang dipelajari dalam matematika, antara lain translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan
Lebih terperinciBAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1
BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciLogaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciPENGGUNAAN INTEGRAL. 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar.
PENGGUNAAN INTEGRA 1. Menghitung luas suatu daerah ang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.. Menghitung volume benda putar. 9 uas daerah di bawah kurva Volume benda putar ang diputar mengelilingi
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciMelukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa
Lebih terperinciBAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI. f(x) f(a)
BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Sebagai contoh, harga barang tergantung pada banyaknya
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciModul ke: MATEMATIKA 1 DERIVATIF PARSIAL. Fakultas TEKNIK IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T.,M.T. Program Studi TEKNIK ELEKTRO
Modul ke: MATEMATIKA 1 DERIVATIF PARSIAL Fakultas TEKNIK IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T.,M.T. Program Studi TEKNIK ELEKTRO Derivatif Parsial 1. Derivatif fungsi dua perubah. Derivatif parsial tingkat
Lebih terperinciMODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
MODUL BAB KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi:. Menentukan komposisi dua ungsi dan invers suatu ungsi Kompetensi Dasar. Menentukan komposisi ungsi dari dua ungsi. Menentukan invers suatu
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciUnit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan
Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta
Lebih terperinciHendra Gunawan. 21 Maret 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciFungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinci*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat
*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/ Alokasi Waktu: jam Pelajaran (3 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit ungsi dan turunan
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Dua orang Perancis telah berjasa untuk gagasan tentang sistem koordinat. Pieree Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada tahun 169 dia menulis
Lebih terperincimatematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s
K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:
BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu
Lebih terperinciRchmd: rls&fngs-smk2004 1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinci3. Gabungan Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran
Lebih terperinciBAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Lebih terperinciLAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I
177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat
Lebih terperinciF u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN
Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan
Lebih terperinciSilabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Lebih terperinciFungsi Grafik Fungsi. Kalkulus 1. Fungsi dan Grafik Fungsi. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Fungsi dan Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu
Lebih terperinciSKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak
SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis
Lebih terperinciBab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar
Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR 1. Fungsi Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang
Lebih terperinciMODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciDIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN
I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Relasi dan Fungsi Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciOperasi Geometri (2) Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Teknik Pengolahan Citra
Operasi Geometri () Kartika Firdaus UAD tpcitra@ee.uad.ac.id blog.uad.ac.id/kartikaf Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan mampu: menerapkan aplikasi pada operasi geometri aitu: pencerminan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
Lebih terperinciBab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK
Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinci3 4y = a. 3x + 5y 1 5 x + 5y 5. c. 5x 6y 30 x + 2y 2. e. 4x + 3y 16 2x 3y 10 y = x x + 9y x + y 100
Kunci Jawaban Bab I Program Linear Kuis 40 Daerah penelesaian 20 3 4 = 8 6 0 2 8 3 + 4 = 24 1. berbentuk segiempat Tes Pemahaman 1.1 1. a. 20 40 e. 7 + 5 = 35 7 5 4 3 d. f. 2 0 6 6 + 3 = 6 5 3. a. 3 +
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem
Lebih terperinciHendra Gunawan. 19 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 19 Maret 014 Kuliah ang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinci1 Sistem Koordinat Polar
1 Sistem Koordinat olar ada kuliah sebelumna, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesius untuk menggambarkan lintasan partikel ang bergerak. Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan
Lebih terperinci2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):
Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat
Lebih terperinci