Disusun Oleh: Nego Linuhung Ira Vahlia. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Transkripsi

1 Disusun Oleh: Nego Linuhung Ira Vahlia Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi i

2 LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI Pendidikan Matematika UM Metro Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi ii

3 LEMBAR PENGESAHAN MODUL/ BAHAN PEMBELAJARAN Judul Modul : Logika Himpunan dan Relasi dan FungsiTerintegrasi Nilai-nilai Islam Mata Kuliah : Logika dan Himpunan Semester/Prodi : 1 (satu)/pendidikan Matematika Tahun Akademik : 2017/2018 Tim Penyusum : 1. Nego Linuhung, M.Pd. 2. Ira vahlia, M. Pd. Jumlah Halaman : 122 Halaman Keterangan : Tidak Diterbitkan, digunakan untuk kalangan Sendiri Dengan ini menyatakan bahwa Modul Pembelajaran tersebut di atas telah disahkan untuk dapat digunakan dalam proses Perkuliahan Logika dan Himpunan Tahun Akademik 2017/2018 Disahkan Oleh: Dekan FKIP UM Metro Metro, September 2017 Ketua TPJM Drs. Partono, M.Pd. NIP Agil Lepiyanto, M.pd NIDN Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi iii

4 LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI Edisi 2 (2017) Nego Linuhung Ira Vahlia Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi iv

5 Pendidikan Matematika UM Metro LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI Penyusun : Nego Linuhung Ira Vahlia Dosen Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Metro Penerbit : Pendidikan Matematika UM Metro Pendidikan Matematika UM Metro Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi v

6 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan nikmat serta hidayah-nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan, sehingga penulis dapat menyelesaikan modul ini. Kemudian shalawat beserta salam senantiasa kita sanjung agungkan kepada Nabi besar Muhammad SAW. yang telah memberikan pedoman hidup yakni Al-qur an dan Sunnah untuk keselamatan umat di dunia. Modul ini merupakan salah satu modul yang harus dipelajari oleh mahasiswa khususnya program studi pendidikan matematika. Pada modul ini membahas substansi logika, himpunan, relasi dan fungsi matematika. Logika selalu digunakan dalam rangka melakukan pembuktian. Logika tidak dapat dihindarkan dalam kehidupan manusia sehari-hari dalam mencari kebenaran. Himpunan merupakan cara mengelompokkan objek secara bersama-sama dan sangat fundamental dalam ilmu matematika, sedangkan relasi dan fungsi merupakan bentuk yang digunakan untuk mengetahui hubungan antar himpunan. Sebagaimana kita juga ketahui logika, himpunan, relasi dan fungsi memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari dan terkait erat dengan berbagai ilmu lain yang berhubungan dengan komputer, misalnya matematika diskrit, aljabar linier, dan komputasi numerik. Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar- Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi vi

7 besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Meskipun penulis berharap isi dari modul ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar modul ini dapat lebih baik lagi. Nego Linuhung Ira Vahlia Pendidikan Matematika UM Metro Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi vii

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i KATA PENGANTAR... iii Halaman Pengesahan... v DAFTAR ISI... vi BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Deskripsi... 1 B. Materi Prasyarat... 1 C. Capaian Pembelajaran... 1 BAB II LOGIKA... 3 A. Proposisi/Pernyataan... 3 B. Kalimat terbuka... 5 C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi... 6 D. Pernyataan Majemuk... 8 E. Ingkaran Pernyataan Majemuk F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi G. Pernyataan Berkuantor H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi J. Ekuivalen Logis K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens... BAB III HIMPUNAN A. Pengertian dan Anggota Himpunan B. Penulisan Himpunan C. Macam-macam Himpunan D. Hubungan antar Himpunan BAB III RELASI DAN FUNGSI Pengertian Relasi Cara menyajikan relasi Jenis-jenis Relasi Pengertian Fungsi Notasi dan Nilai Fungsi Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi viii

9 8. Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui Grafik Fungsi/Pemetaan Macam-macam Fungsi Sifat-sifat Fungsi Aljabar Fungsi Fungsi Komposisi Fungsi Invers DAFTAR PUSTAKA Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi ix

10 BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Materi Logika, Himpunan, Relasai dan Fungsi ini merupakan materi wajib bagi mahasiswa Pendidikan Matematika. Hasil yang diharapkan dari perkuliahan ini adalah memahami konsep-konsep dasar matematika dan mengimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari. Pokok bahasan pada modul ini adalah logika, himpunan, dan relasi dan fungsi. Materi logika, diantaranya dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk, tautologi, ekuivalensi logis; materi himpunan diantaranya istilah dan simbol himpunan, diagram Venn, relasi himpunan, operasi himpunan: dan relasi dan fungsi diantaranya notasi dan nilai fungsi, grafik fungsi/pemetaan, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers. B. Materi Prasyarat Materi ini tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di pendidikan dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok modul ini. C. Capaian Pembelajaran Setelah mengikuti mata kuliah ini, diharapkan mahasiswa dapat: 1. Memahami proposisi, dan nilai kebenaran kalimat terbuka 2. Menjelaskan proposisi majemuk yang diwujudkan dalam ekspresi logika dan pengoperasiannya 3. Menjelaskan validitas argumen yang berupa tautologi dan bukan tautologi. 4. Menjelaskan hukum-hukum dalam logika yang diperoleh dari ekuivalen berbagai ekspresi logika. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 1

11 5. Menjelaskan proses pembuktian benar atau salahnya suatu kesimpulan secara logika 6. Menjelaskan penggunaan teori inferensi yang melibatkan kuantor 7. Memahami pengertian himpunan, cara menyatakan himpunan, dan diagram venn 8. Menjelaskan pengertian operasi dua himpunan atau lebih 9. Menjelaskan operasi himpunan, komplemen dan selisih himpunan 10. Menjelaskan pengertian relasi, cara menyajikan relasi, pengertian fungsi, notasi dan nilai fungsi 11. Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan 12. Menjelaskan pengoperasian aljabar fungsi 13. Memahami konsep fungsi komposisi dan fungsi Invers Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 2

12 BAB I LOGIKA Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidangbidang lain di luar matematika. Logika matematika mempelajari tentang bagaimana kita berfikir logis dengan menggunakan simbol-simbol matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Pada modul ini juga akan membahasa materi logika dan dikaitkan dengan Al-Qur an yang merupakan kitab suci bagi kita umat Islam dan juga sebagai pedoman untuk kehidupan sehari-hari. Modul ini selain akan membahas tentang logika matematika, diharapkan dapat meningkatkan pengetahuan tentang Al-Qur an dan berimplikasi pada peningkatan keimanan dan ketaqwaan kepada Allah SWT. Sebagai pengantar mari kita telaah logika matematika dalam Al-Qur an, yaitu Allah SWT. Berfirman dalam Al-Qur an Al-Ashr ayat 1-3 sebagai berikut: Artinya: 1. Demi masa, 2. Sesungguhnya manusia itu benar-benar dalam kerugian, 3. kecuali orang-orang yang beriman dan mengerjakan amal saleh dan nasehat menasehati supaya mentaati kebenaran dan nasehat menasehati supaya menetapi kesabaran. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 3

13 p: orang yang beriman q: orang yang mengerjakan kebajikan Pernyataan ini akan bernilai benar jika nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut benar. 1. Manusia yang beriman dan mengerjakan kebajikan, manusia tersebut tidak berada dalam kerugian, 2. Manusia yang beriman dan tidak mengerjakan kebajikan, manusia tersebut berada dalam kerugian, 3. Manusia yang tidak beriman dan mengerjakan kebajikan, manusia tersebut berada dalam kerugian, 4. Manusia yang tidak beriman dan tidak mengerjakan kebajikan, manusia tersebut berada dalam kerugian. A. Proposisi/Pernyataan Definisi 1.1 Proposisi/Pernyataan merupakan kalimat yang mengandung nilai benar (B) atau salah (S) tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Perhatikan kalimat pada di bawah ini! Contoh 1.1 1) Bandung adalah Ibu Kota Jawa Barat 2) Al-Qur an adalah pedoman hidup manusia 3) Umat Islam pada bulan Ramadhan diwajibkan untuk berpuasa 4) 7 adalah faktor dari 10 5) Semoga selamat sampai tujuan 6) Muhammad adalah Rosul Allah 7) 2 adalah bilangan prima 8) x - 8 < 7 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 4

14 9) Dilarang merokok 10) = 11 11) x faktor dari 7 12) > 7 13) Dilarang membuang sampah disini 14) y + 4 = 6 Kalimat pada Contoh 1.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 2, 4, 6, dan 8 karena kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu benar (B) atau salah (S). Proposisi dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dst. Contoh 1.2: 1) p: Budi anak yang rajin 2) q: Semua manusia akan mati 3) r: Reno memakai topi 4) m: = 11 Untuk menentukan nilai kebenaran suatu proposisi dapat memakai dasar empiris dan dasar tak-empiris. a. Dasar empiris: jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu. Contoh 1.3: 1) Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Bandung (B) 2) Batu adalah benda cair (S) b. Dasar tidak empiris: jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu atau perhitungan-perhitungan dalam matematika. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat. Contoh 1.4: 1) Jumlah sudut dalam segitiga adalah ) akar persamaan x + 2 = 3 adalah 1 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 5

15 Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator) proposisi yang digunakan di dalam pengoperasiannya. Berikut adalah lambang-lambang tersebut. Tabel 1.1 Lambang-lambang (operator) Proposisi No Nama Lambang Arti dalam Bahasa Sehari-hari 1. Negasi ~ tidak, bukan 2. Konjungsi dan, tetapi, meskipun, walaupun 3. Disjungi Atau 4. Implikasi jika maka 5. Biimplikasi jika dan hanya jika maka B. Kalimat terbuka Definisi 1.2 Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel. Contoh 1.5: 1) 4x + 2 = 18 x adalah variabel, jika x diganti dengan 4, maka proposisi itu bernilai Benar (B), namun jika x diganti dengan 5 atau bilangan bulat lain maka proposisi itu bernilai Salah (S) 2) 7 + n adalah bilangan prima n adalah variabel, jika n diganti dengan 4, maka proposisi tersebut bernilai Benar (B). pada kasus ini, himpunan Penyelesaiannya bergantung pada semestanya. Jika semestanya bilangan asli kurang dari 7 dan n diganti dengan 1, 2, 3, 5, maka proposisi itu bernilai salah (S). Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 6

16 3) Kota... adalah ibukota provinsi Jawa Timur... adalah variabel, jika... diganti dengan Surabaya maka proposisi bernilai benar (B). C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi Ingkaran atau negasi dari suatu proposisi adalah proposisi yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari proposisi p dinotasikan ~p. Apabila proposisi bernilai benar, maka proposisi ~p bernilai salah. Sebaliknya jika proposisi p bernilai salah maka proposisi ~ p bernilai benar. ~ p dibaca: tidak p atau tidak benar p atau bukan p Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran berikut: p B ~ p S Contoh 1.6: 1. p : = 9 ~ p : ~ p : = 7 ~ (~ p) = p = p : Neneng memakai baju putih ~ p : Neneng tidak memakai baju putih 4. p : > 9 ~ p : S B Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 7

17 D. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk menggunakan 4 kata hubung yaitu,,, dan Tabel 1.2 Kata Hubung Pernyataan Majemuk Pernyataan Dibaca disebut p q p dan q Konjungsi p q q atau q Disjungsi p q Jika p maka q Implikasi p q p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p Biimplikasi 1. Konjungsi Konjungsi Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung dan. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca p dan q. Tabel kebenarannya : Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q B B B B S S S B S S S S Contoh 1.7: a. p : Arman lahir di Tulang Bawang (B) q : Arman Kuliah di Metro (S) Maka p q : Arman lahir di Tulang Bawang dan Kuliah di Metro (S) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 8

18 b. p : Pedoman hidup umat Islam adalah Al-Qur an (B) q : Pedoman hidup umat Islam adalah As-Sunnah (B) Maka p q : Pedoman hidup umat Islam adalah Al-Qur an dan As- Sunnah c. p : 4 2 = 15 (S) q : = 13 (B) Maka p q : 4 2 = 15 dan = 13 (S) (B) Salah satu firman Allah Pada surat Al-An am ayat 101 menjelaskan tentang konjungsi yang di baca p dan q. Artinya: Dia Pencipta langit dan bumi. bagaimana Dia mempunyai anak Padahal Dia tidak mempunyai isteri. Dia menciptakan segala sesuatu; dan Dia mengetahui segala sesuatu. Dijelaskan dalam surat Al An am ayat : 101 Bahwa Allah pencipta langit dan bumi. Sehingga dapat ditulis dalam bentuk logika p dan q. p : Allah pencipta langit q : Allah pencipta bumi p q : Allah pencipta langit dan bumi 2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p q dan dibaca p atau q. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 9

19 Apa yang dimaksud dari kata atau di atas maka muncul dua macam jenis disjungsi yaitu: a. Disjungsi Inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar. Disjungsi inklusif dua pernyataan p dan q ditulis p q. b. Disjungsi Eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar. Disjungsi eksklusif dua pernyataan p dan q ditulis p q.tabel kebenarannya : Tabel 1.4 Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif dan Eksklusif p q p q p q B B B S B S B B S B B B S S S S Contoh 1.8: Diketahui: 1. P : = 8 q : Metro terletak di Palembang Tentukan nilai kebenaran dari Penyelesaian: p q! P : = 8... (B) q : Metro terletak di Palembang... (S) Jadi: p q : = 8 atau Metro terletak di Lampung... (B) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 10

20 Diketahui: 2. P : = 8... (B) q : Metro terletak di Lampung Tentukan nilai kebenaran dari p q!... (B) Penyelesaian: p q : = 8 atau Metro terletak di Lampung... (S) 3. Implikasi Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut: Anto berjanji pada Rina, Jika malam nanti tidak hujan, maka saya akan datang kerumahmu. Janji Anto ini berlaku hanya untuk kondisi malam nanti tidak hujan. Akibatnya, jika malam nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Anto untuk datang kerumah Rina. Misalkan malam ini tidak hujan dan Anto datang kerumah Rina, Rina tidak akan kecewa karena Anto memenuhi janjinya. Tapi, jika malam ini hujan dan Anto tetap kerumah Rina, Rina tentu merasa senang sekali. Jika malam ini hujan dan Anto tidak datang kerumah Rina, tentunya Rina akan memakluminya. Bagaimana jika malam ini tidak hujan dan Anto tidak kerumah Rina? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Rina akan kecewa dan menganggap Anto sebagai pembohong karena tidak menepati janjinya. Misalkan, p : malam tidak hujan. q : Anto datang kerumah Rina. Pernyataan jika malam nanti tidak hujan, maka Anto akan datang kerumah Rina. Dapat dinyatakan sebagai jika p maka q atau dilambangkan dengan p q. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 11

21 Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk jika p, maka q disebut implikasi. Terdapat perbedaan antara implikasi dalam kegiatan sehari-hari dan implikasi dalam logika matematika. a. Sehari-hari, pernyataan hipotesis p haruslah memiliki hubungan dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada Contoh implikasi sebelumnya, Jika malam nanti tidak hujan maka saya akan datang kerumahmu. Artinya ada hubungan sebab-akibat. b. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung jika... maka... Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca - jika p maka q - p jika hanya jika q - syarat perlu bagi q - q syarat cukup bagi p Dari implikasi p q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. Tabel 1.5 Tabel Kebenaran Implikasi P q p q B B B B S S S B B S S B Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 12

22 Salah satu firman Allah Pada Qur an Surat Al-Waqi ah ayat 4-6 yaitu: Artinya: Apabila bumi digoncangkan sedahsyat-dahsyatnya, dan gunung-gunung dihancur luluhkan seluluh-luluhnya, maka jadilah ia debu yang beterbangan, Dari surat Al-Waqi ah ayat 4-6 dapat dikaitkan dengan implikasi pada logika matematika, misalkan: bawah ini: p : Apabila bumi diguncangkan sedahsyat-dahsyatnya. q : Gunung-gunung dihancur leburkan sehancur-hancurnya. r : Jadilah debu yang beterbangan. Dari premis-premis diatas dapat kita buat tabel kebenaran seperti di P q r p q (p q) r B B B B B B S B S B S B B S B S S B S B B B S B S B S S S B S B S S B S S S S B Berdasarkan tabel kebenaran, dapat disimpulkan bahwa (p q) r adalah bernilai benar, sesuai dengan surat Al-Waqi ah ayat 4-6, Apabila bumi diguncangkan sedahsyat-dahsyatnya dan gunung-gunung dihancur leburkan sehancur-hancurnya, maka jadilah debu yang berterbangan. Merupakan contoh implikasi sekaligus peringatan kepada umat manusia. Contoh 1.9: a) Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut: Jika = 12, maka Batu adalah benda padat. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 13

23 Penyelesaian: = (S) Batu adalah benda padat... (B) Sehingga, Jika = 12, maka Batu adalah benda padat... (B) b) Diketahui P : = (S) q : Lampung adalah ibukota negara Indonesia... (S) Tentukan nilai kebenaran p q! Penyelesaian: Sehingga, p q : Jika = 10 maka lampung adalah ibukota negara Indonesia.... (B) 4. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung...jika dan hanya jika... dan dilambangkan. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p. Tabel kebenarannya: Tabel 1.6 Tabel kebenaran Biimplikasi p q p q B B B B S S S B S S S B Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 14

24 Contoh 1.10: Diketahui: p : =16 q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga Tentukan nilai kebenaran p q! Penyelesaian: p : =16... (S) q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga... (S) Sehingga: p q : = 16 jika dan hanya jika persegi memiliki jumlah sudut tiga... (B) Berdasarkan uraian kalimat majemuk di atas mengenai Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi, maka Tabel Kebenaran dapat digambarkan pada Tabel berikut: Tabel 1.7 Tabel kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi p q ~ p Tidak p p q p dan q p q p atau q inklusif p q p atau q eksklusif p q Jika p maka q p q p jika dan hanya jika q B B S B B S B B B S S S B B S S S B B S B B B S S S B S S S B B Salah satu firman Allah Pada QS. Ibrahim ayat 7 yaitu: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 15

25 Artinya: dan (ingatlah juga), tatkala Tuhanmu memaklumkan; "Sesungguhnya jika kamu bersyukur, pasti Kami akan menambah (nikmat) kepadamu, dan jika kamu mengingkari (nikmat-ku), Maka Sesungguhnya azab-ku sangat pedih". Pernyataan yang telah di Firmankan oleh Allah SWT mengandung kunjungsi dan implikasi, selanjutnya perhatikan penjelasan berikut:. p = Manusia bersyukur q = Manusia ditambah nikmat r = Manusia kufur nikmat s = Manusia mendapat adzab Tabel 1.8 Nilai kebenaran dari konjungsi dan implikasi p q r s p q r s p q r s B B B B B B B B B B S B S S B B S B B B B B B S S B B B B S B B S B S B S B S S S S B S S B S B S B S S S S B S S B B B B B B S B B S B S S S B S B B B B S B S S B B B S S B B S B B S S B S S S S S S S B S B B S S S S S B B Perhatikan penjabaran logika dalam QS. Ibrahim ayat 7 sebagai berikut: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 16

26 p = Manusia bersyukur q = Manusia ditambah nikmat r = Manusia kufur nikmat s = Manusia mendapat adzab p q r s Jika manusia bersyukur maka, manusia akan ditambah nikmatnya dan jika manusia kufur, maka manusia akan mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai benar. p q r ~ s Jika manusia bersyukur, maka manusia akan ditambah nikmatnya dan jika manusia kufur, maka manusia tidak akan mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai salah. p ~ q r s Jika manusia bersyukur, maka manusia tidak akan ditambah nikmatnya dan jika manusia kufur, maka manusia akan mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai salah p q ~ r ~ s Jika manusia bersyukur, maka manusia akan ditambah nikmatnya dan jika manusia tidak kufur, maka manusia tidak akan mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai benar. E. Ingkaran Pernyataan Majemuk Ingkaran dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari ingkaran pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi, Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 17

27 yaitu jika ingkaran pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk ingkaran dari komponen-komponennya. Berikut adalah ekuivalensi yang dimaksud: 1. Ingkaran dari suatu Konjungsi Seperti yang telah dibahas pada konjungsi sebelumnya, Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu Konjungsi dari pernyataan tersebut akan bernilai benar jika pertanyaan tunggalnya bernilai benar. Sedangkan ingkaran adalah pernyataan yang jika pernyataan awalnya bernilai benar maka pernyataan negasinya bernilai salah, begitupun sebaliknya. Oleh karena itu: Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu Negasinya adalah: tidak benar Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu. Dari pernyataan negasinya tersebut, bisa saja kenyataannya Rudi tidak sedang makan tapi sedang mendengarkan lagu, atau bisa juga Rudi sedang makan tapi tidak mendengarkan musik, atau juga dengan kalimat lain Rudi tidak sedang makan atau tidak sedang mendengarkan lagu. Perhatikan Tabel Kebenaran Berikut ini: Tabel 1.9 Tabel kebenaran Ingkaran dari suatu Konjungsi p q ~ p ~ q p q ~ ( p q) ( ~ p ~ q) B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B * * Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 18

28 Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom ~ (p q) dan ~ p ~ q memiliki pernyataan tunggal yang sama, sehingga dapat disimpulkan bahwa ~ (p q) ~ p ~ q. 2. Ingkaran dari suatu Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung atau. Perhatikan pernyataan majemuk berikut: Mahasiswa diwajibkan membawa Pulpen atau Pensil Pernyataan disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai salah. Sehingga negasinya yaitu salah satu pernyataan tunggalnya adalah negasi dari komponen pernyataan awalnya. Tabel 1.10 Tabel Kebenaran Ingkaran dari suatu Disjungsi p q ~ p ~ q p q ~ ( p q) ( ~ p ~ q) B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B * * Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom ~ (p q) dan ~p ~q memiliki pernyataan tunggal yang sama sehingga dapat disimpulkan bahwa ~ (p q) ~p ~q. Sebagai latihan, silahkan buktikan sebagai latihan anda negasi dari Implikasi dan Negasi dari Biimplikasi berikut: a. ~ (p q) p ~q b. ~ (p q) (p ~q) (q ~p) Untuk membuktikan dapat dilakukan dengan tabel kebenaran. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 19

29 F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi. Dari pernyataan yang berupa implikasi p q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut: Pernyataan q p disebut Konvers dari p q Pernyataan ~p ~q disebut Invers dari p q Pernyataan ~q ~p disebut Kontraposisi dari p q. Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut: Tabel 1.11 Hubungan antara Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi p q ~p ~q Implikasi p q Konvers q p Invers ~p ~q Kontraposisi ~q ~p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B (1) (2) (3) (4) Berdasarkan Tabel 1.11 di atas dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Implikasi kolom (1) ekuivalen dengan kontraposisinya kolom (4): p q ~q ~p 2. Konvers suatu implikasi kolom (2) ekuivalen dengan inversnya (3) q p ~p ~q. Contoh 1.11: 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan implikasi berikut : a. Jika harga BBM naik, maka harga beras naik b. Jika Arman siswa yang pandai, maka ia lulus tes Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 20

30 c. Jika harga turun, maka permintaan naik d. Jika x = 7, maka x 2 = 49 Penyelesaian: a. Konvers : Jika harga beras naik, maka harga BBM naik Invers : Jika harga BBM tidak naik, maka harga beras tidak naik Kontraposisi : Jika harga beras tidak naik, maka harga BBM tidak naik. b. Konvers : Jika Arman lulus tes, maka ia siswa yang pandai Invers : Jika Arman siswa yang tidak pandai, maka ia tidak lulus tes Kontraposisi : Jika Arman tidak lulus tes, maka ia siswa yang tidak pandai c. Konvers : Jika permintaan naik, maka harga turun Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan tidak naik Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik, maka harga tidak turun e. Konvers : Jika x 2 = 49, maka x = 7 Invers : Jika x 7, maka x 2 49 Kontraposisi : Jika x 2 49, maka x 7 G. Pernyataan Berkuantor Kuantor merupakan suatu lambang yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan. 1. Kuantor Universal Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap/semua obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 21

31 notasi:, dibaca semua atau setiap jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka: ( x) p(x) dibaca untuk semua/setiap x berlaku p(x) bernilai benar jika dan hanya jika p(x) benar untuk semua x dalam semestanya. Contoh 1.12 a. ( x R) x 2 0 Dapat dibaca sebagai: Kuadrat semua bilangan real tidak ada yang negatif Semua bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif Setiap bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau salahkah pernyataan berkuantor berikut: ( x Bulat) x 2 + x 2 = 0 Penyelesaian: Meskipun ada nilai x yang memenuhi persamaan x 2 + x 2 = 0, tetapi tidak semua bilangan bulat x yang memenuhi persamaan tersebut, misalkan kita ambil nilai x = 2, maka persamaannya = 4 0, maka ini jelas merupakan pernyataan yang salah (S). 2. Kuantor Eksistensial Kuantor eksistensial berarti ada/beberapa obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. notasi:, dibaca ada/beberapa/terdapat/paling sedikit satu jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka: ( x) p(x), dibaca ada suatu x sehingga berlaku p(x) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 22

32 bernilai benar jika dan hanya jika paling sedikit ada satu nilai x dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar, dan akan bernilai salah jika untuk semua x dalam semestanya. Contoh 1.12 a. ( x Bulat) x 2 = x Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri Beberapa bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri Terdapat paling sedikit satu bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri b. Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau salahkah pernyataan berkuantor berikut: ( x Bulat) x 2 + x 2 = 0 Penyelesaian: x 2 + x 2 = 0 dapat difaktorkan: (x+2)(x-1) = 0 Jadi persamaan itu dapat dipenuhi untuk x 1 =-2 dan x 2 = 1. Sehingga memang benar ada x yang memenuhi persamaan x 2 + x 2 = 0 yaitu -2 atau 1 sehingga pernyataan bernilai benar (B) H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor 1. Ingkaran Kuantor Universal Ingkaran dari untuk semua/setiap x berlaku p(x): adalah ada(paling sedikit satu) x yang tidak berlaku p(x) ~( x) p(x) ( x) ~p(x), Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 23

33 Misalkan ada pernyataan p: Semua siswa telah pulang dari sekolah jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 siswa yang belum pulang, maka pernyataan dari p bernilai salah (S). Contoh: a. ( x Bulat) x 2 + x 2 = 0 b. Semua ikan hiu telah musnah c. ( x Cacah) x > 0 Penyelesaian: a. ( x Bulat) x 2 + x 2 0 b. Kalimat mula-mula : ( x Ikan Hiu ) (x telah musnah) Ingkaran : ( x Ikan Hiu ) (x belum musnah) Dalam bahasa sehari-hari: Ada Ikan Hiu yang belum musnah c. ( x Cacah) x Ingkaran Kuantor eksistensial Ingkaran dari ada suatu x sehingga berlaku p(x): adalah untuk semua/setiap x tidak berlaku p(x) Ingkaran kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial, sedangkan ingkaran kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat kalimat kuantor universal ( x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial ( x) p(x), ingkaran dari keduanya dapat ditulis sebagai berikut: ~( x) p(x) ( x) ~p(x), Tentukan Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor berikut: a. ( x Bulat) x 2 + x 1 > 0 b. Terdapat bilangan bulat x sedemikian hingga x 2 = 9 c. Ada Hewan yang berkaki empat Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 24

34 Penyelesaian: a. ( x ϵ Bulat) x 2 + x 1 0 b. Kalimat awal : ( x ϵ Bulat) x 2 = 9 Ingkaran : ( x ϵ Bulat) x 2 9 Dalam bahasa sehari-hari: Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 25 c. Semua Hewan tidak berkaki empat I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi 1. Pernyataan majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus. p ~(p q) adalah sebuah tautologi Tabel 1.12 Tabel Kebenaran p ~(p q) p q p q ~(p q) p ~ (p q) B B B S B B S S B B S B S B B S S S B B Tabel di atas terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan p ~(p q) bernilai benar (B), maka p ~(p q) adalah sebuah tautologi. 2. Pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. ( p q) ~(p q) adalah sebuah Kontradiksi. Tabel 1.13 Tabel Kebenaran ( p q) ~(p q) p q p q p q ~(p q) ( p q ) ~(p q) B B B B S S B S S B S S S B S B S S S S S S B S Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 25

35 Tabel 1.13 terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan ( p q) ~(p q) bernilai salah (S), maka ( p q) ~(p q) adalah sebuah kontradiksi. 3. Pernyataan majemuk disebut Kontingensi jika pernyataan majemuk yang bukan Tautologi atau Kontradiksi q ( p q ) p adalah sebuah Kontingensi Tabel 1.14 Tabel Kebenaran q ( p q ) p p q p q q ( p q ) q ( p q ) p B B B B B B S S S B S B B B S S S B S B Tabel 1.14 terlihat bahwa untuk nilai kebenaran dari pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan q ( p q ) p pada baris ketiga bernilai salah (S), dan baris yang lain bernilai benar (B), maka q ( p q ) p adalah sebuah kontingensi. J. Ekuivalen Logis Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen maka dinotasikan p q, jika p q maka q p. Berikut adalah hukum-hukum aljabar pernyataan yang merupakan ekuivalen logis: 1. Hukum identitas: p S p p B p Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 26

36 2. Hukum null/dominasi: p S S p B B 3. Hukum negasi: p ~p B p ~p S 4. Hukum idempoten: p p p p p p 5. Hukum involusi (negasi ganda): ~(~p) p 6. Hukum penyerapan (absorpsi): p (p q) p - p (p q) p 7. Hukum komutatif: p q q p p q q p 8. Hukum asosiatif: p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 9. Hukum distributif: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 10. Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 27

37 Contoh 1.13: 1. Perlihatkan bahwa ~(~p ~q) p q dengan tabel kebenaran! Penyelesaian: p q ~p ~q ~p ~q ~(~p ~q) p q B B S S S B B B S S B B S S S B B S B S S S S B B B S S 2. Tunjukkan bahwa p ~(p q) dan p ~q keduanya ekivalen secara logika. Penyelesaian: p ~(p q ) p (~p ~q) (Hukum De Morgan) (p ~p) (p ~q) B (p ~q) p ~q (Hukum distributif) (Hukum negasi) (Hukum identitas) 3. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) p p (p q) (p S) (p q) (Hukum Identitas) p (S q) p S p (Hukum distributif) (Hukum Null) (Hukum Identitas) 4. Buktikan hukum penyerapan : Hukum de morgan Hukum Distributif Hukum Idempoten Hukum identitas Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 28

38 K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens) Argumen merupakan rangkaian kalimat-kalimat. Kalimat terakhir disebut kesimpulan/konklusi. Sedangkan kalimat selain itu sebelumnya disebut hipotesa/premis/asumsi. Gambaran umum mengenai skema hipotesa/premis dan kesimpulan/konklusi digambarkan seperti gambar di bawah ini: p 1 p 2... hipotesa/premis/asumsi p n q kesimpulan/konklusi (tanda q dibaca jadi q ) Suatu argumen dikatakan valid apabila pernyataan implikasi p 1 p 2... p n q merupakan tautologi. 1. Silogisme Hipotesis Silogisme merupakan suatu bentuk pemikiran kesimpulan secara deduktif dan tidak langsung yang mana kesimpulannya ditarik dari dua premis yang tersedia sekaligus. Dua premis yang dimaksud adalah premis mayor dan premis minor. Kesimpulan tersebut sering disebut argumentasi. Premis mayor: Premis minor: Konklusi/kesimpulan: Penarikan kesimpulan dengan kaidah silogisma diperoleh dari premispremis p q dan q r dapat ditarik konklusi p r. Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma. Jika p q benar dan q r benar maka p r benar. Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut : Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 29

39 p q..... premis 1 q r..... premis 2 p r... kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai p q q r p r valid atau tidak suatu silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut : Tabel 1.15 Tabel nilai kebenaran p q q r p r p q r p q q r. p r p q q r p q q r p r B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B B B B B Dari tabel kebenaran di atas dapat terlihat bahwa p q q r p r merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang valid. Salah satu firman Allah Pada surat Qs. Ibrahim ayat 1 yaitu : Artinya: Alif, laam raa. (ini adalah) kitab yang Kami turunkan kepadamu supaya kamu mengeluarkan manusia dari gelap gulita kepada Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 30

40 cahaya terang benderang dengan izin Tuhan mereka, (yaitu) menuju jalan Tuhan yang Maha Perkasa lagi Maha Terpuji. Pendekatan silogisme dalam QS Ibrahim ayat 1 Kami turunkan kepadamu supaya kamu mengeluarkan manusia dari gelap gulita kepada cahaya terang benderang Pernyataan tersebut dapat di telaah sebagai berikut: p = Kitab Al-Qur an di Turunkan q = Manusia keluar dari Zaman Kegelapan r = Manusia menuju zaman yang terang benderang p q Jika Kitab Al-Qur an di turunkan, maka manusia keluar dari zaman Kegelapan q r Manusia keluar dari Zaman Kegelapan, maka manusia menuju zaman yang terang benderang p r Jika Kitab Al-Qur an di turunkan, maka manusia menuju zaman yang terang benderang Contoh 1.14: 1) Misalkan Implikasi Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan nilai bagus dan implikasi Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya mendapat hadiah dari Ibu adalah benar. Maka menurut kaidah silogisma diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut: Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan nilai bagus Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya mendapat hadiah dari Ibu Jika saya Rajin Belajar, maka saya akan mendapat hadiah dari Ibu. 2) Perhatikan Contoh selanjutnya: Jika 2 adalah bilangan genap, maka 3 adalah bilangan ganjil Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 31

41 Jika 3 adalah bilangan ganjil, maka 5 adalah bilangan prima Jika 2 adalah bilangan genap, maka 5 adalah bilangan prima Penarikan kesimpulannya adalah Jika 2 adalah bilangan genap, maka 5 adalah bilangan prima. 2. Modus Ponens Jika p q benar dan p benar maka q benar. Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut : p q premis 1 p premis 2 q..... kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai p q p q. Argumentasi ini dikatakan valid jika q pernyataan implikasi p q p merupakan tautologi. Tabel 1.16 Tabel nilai kebenaran dari p q p q q p q p p q p p q B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa p q p q merupakan tautologi, jadi argumen tersebut valid. p p Contoh ) Misalkan implikasi Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah bilangan ganjil dan 10 habis dibagi 5 keduanya benar. Maka menurut kaidah modus ponens diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut: Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah bilangan ganjil Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 32

42 10 habis dibagi 5 3 adalah bilangan ganjil. 2) Perhatikan Contoh selanjutnya: Jika saya makan maka saya kenyang Saya makan Saya kenyang 3. Modus Tollens Jika p q benar dan ~ q benar maka p benar Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut: p q..... premis 1 ~q..... premis 2 ~p kesimpulan / konlusi Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai p q ~ q ~ p, valid atau tidak suatu modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut! p Tabel 1.17 Tabel nilai kebenaran p q ~ q ~ p q ~p ~q q p p q ~ q p q ~ ~ p B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa p q ~ q ~ q p merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang valid. Contoh ) Misalkan implikasi 5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah bilangan prima dan implikasi 3 adalah bilangan komposit Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 33

43 keduanya benar maka menurut kaidah modus tollens diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut: 5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah bilangan prima 3 adalah bilangan komposit 5 adalah bilangan genap 2) Perhatikan Contoh selanjutnya: Jika saya makan maka saya kenyang Saya tidak makan Saya tidak kenyang 4. Simplifikasi Kaidah simplikasi diperoleh dari tautologi (p q) q. Pada kasus ini p dan q adalah hipotesis, sedangkan q adalah kesimpulan. Jika p benar dan q benar maka q benar Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut: p q q Contoh ) Rudi memiliki mobil dan memiliki motor. Kesimpulannya Rudi punya motor. Menggunakan kaidah simplifikasi diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut: Rudi memiliki mobil dan memiliki motor Rudi memiliki motor Menggunakan kaidah simplifikasi juga diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut: Rudi memiliki mobil dan memiliki motor Rudi memiliki mobil Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 34

44 Urutan pernyataan dalam konjungsi tidak berpengaruh, p q q p L. Ragam Soal dan Penyelesaian 1. Perhatikan kalimat di bawah ini (I) saya berharap selamat sampai tujuan saja (II) Bunda sedang apa? (III) Jangan merokok di kampus! (IV) Silahkan tutup pintu! (V) Betapa indahnya pemandangan di pantai pasir putih! (VI) 4-3=0 (VII) Sapi adalah hewan berkaki empat Manakah diantara pernyataan di atas yang bukan proposisi? Pembahasan : Pada poin (VI) dan )(VII) adalah kalimat proposisi karena mengandung nilai benar atau salah saja. Sedangkan poin (I), (II), (III), (IV), (V), dan (VIII) yang merupakan kalimat harapan, kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat keheranan. 2. Sebutkan jenis kalimat berikut ini: (i) Jawa Barat terletak di Pulau Sumatra (ii) (iii) Semoga lekas sembuh dan kembali beraktivitas (iv) x > 10 Pembahasan: (i) kalimat proposisi bernilai salah, karena Jawa Barat terletak di Pulau Jawa (ii) kalimat proposisi bernilai salah, karena 10 > 9 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 35

45 (iii) kalimat harapan, dan tidak tergolong dalam ciri kalimat proposisi (iv) Kalimat terbuka karena nilai kebenaran bergantung pada nilai x. 3. Pada kalimat terbuka, 2x + 3 = 11, x himpunan bilangan cacah. Jelaskan alasan mengapa itu merupakan kalimat terbuka! Pembahasan: pada 2x + 3 = 11, jika x disubstitusi dengan bilangan cacah = 4, maka bernilai benar. Tetapi jika x disubstitusi selain 4, maka bernilai salah. 4. Tentukan ingkaran kalimat berikut 10 adalah bilangan bulat positif Pembahasan: p = 10 adalah bilangan bulat positif ~p = 10 bukan bilangan positif 5. Tentukan ingkaran kalimat berikut Pembahasan: p = ~p = > Tentukan ingkaran kalimat berikut: Semua guru memakai baju putih saat di kelas Pembahasan: kalimat yang memuat (semua atau setiap) maka negasinya (beberapa atau ada) maka jawabannya adalah: ada guru yang tidak memakai baju putih saat di kelas Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 36

46 7. Tentukan ingkaran kalimat berikut: Ada jenis burung yang tidak bisa terbang Pembahasan: kalimat yang memuat (beberapa atau ada) maka negasinya (semua atau setiap) maka jawabannya adalah: semua jenis burung bisa terbang 8. (p q) : Jika 7 bilangan prima maka 7 habis di bagi 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut! Pembahasan : p : 7 bilangan prima (bernilai benar ) q : 7 habis di bagi 2 (bernilai salah) Maka, (p q) = bernilai salah.karena implikasi bernilai salah jika p (benar) dan q (salah). 9. (p q) : 10 bilangan genap Jika dan hanya jika 10 habis di bagi 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut! Pembahasan : p : 10 bilangan genap (bernilai benar) q : 10 habis di bagi 2 (bernilai benar) Maka, (p q) = bernilai benar. Karena biimplikasi bernilai benar jika p dan q bernilai benar. 10. (p q) : = 32 dan Tentukan negasinya! Pembahasan : ~(p q) = ~(p q). Jadi, 32 atau > 10. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 37

47 11. (p q) : Semua mahasiswa tidak terlambat atau dosen tidak marah. Tentukan negasinya! Pembahasan : Maka, ada siswa terlambat dan dosen marah. Karena, ~(p q) = ~(p q). 12. (p q) : 2 bilangan prima dan bilangan genap Jika dan hanya jika 2 bukan bilangan komposit. Tentukan negasinya! Pembahasan: ~(p q) = (p ~q) (q ~p). Maka 2 bilangan prima dan bilangan genap dan 2 bilangan komposit atau 2 bukan bilangan komposit dan 2 bukan bilangan prima dan bilangan genap. 13. Tentukan pernyataan berkuantor universal dari q(x): ( x R)(x 2 +3 > 0) dan tentukan nilai kebenarannya jika himpunan semestanya adalah semua bilangan real! Pembahasan: Pernyataan berkuantor universal adalah ( x R)(x 2 +3 > 0). Pernyataan berkuantor universalnya mempunyai arti untuk semua x berlaku (x 2 +3 >0), jelas ini merupakan pernyataan yang benar, karena dapat menemukan x yang memenuhi pertidksamaan (x 2 +3 > 0), misalnya x = 1 maka diperoleh > 0 merupakan pernyataan benar. 14. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan jika Doni laki-laki, maka Dina adalah perempuan! Pembahasan : Konvers (q p) : Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 38

48 Jika Dina adalah perempuan,maka Doni laki-laki Invers (~p ~q) : Jika Doni bukan laki-laki, maka Dina bukan perempuan Kontraposisi (~q ~p): Jika Dina bukan perempuan, maka Doni bukan laki-laki 15. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut : a. Semua siswa yang lulus ujian pasti pandai b. Beberapa penyanyi dangdut tidak pandai berjoget c. ( x Real ) x + 5 > 0 Pembahasan : a. Negasi/ingkaran dari (x) P(x) adalah (x)~p(x) (x) P(x) :Semua siswa yang lulus ujian pasti pandai Jadi (x)~p(x): Beberapa siswa yang lulus ujian belum pasti pandai b. Negasi/ingkaran dari (x)p(x)adalah (x)~p(x) (x)p(x) :Beberapa penyanyi dangdut tidak pandai berjoget Jadi, (x)~p(x): Semua penyanyi dangdut pandai berjoget c. Negasi/ingkaran dari (x) adalah (~x) jadi~ (( x Real ) x + 5 > 0) adalah ( x Real)x Perhatikan proposi berikut: Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh tuliskan pernyatan berkuantor universal tersebut kedalam simbol! Pembahasan: jika P(x) adalah tanaman hijau maka Q(x) membutuhkan air untuk tumbuh, maka simbolnya : (x) P(x) Q(x) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 39

49 17. Tunjukkan bahwa adalah sebuah tautologi! Pembahasan: B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B 18. Dengan menggunakan tabel Kebenaran tunjukkan bahwa Pernyataan adalah sebuah kontradiksi. Pembahasan: B B S S S B S S S S S B B B S S S B S S 19. Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa Pernyataan Pembahasan: B B S S adalah sebuah Kontingensi. 20. Kebenaran pernyatan ekivalen Pembahasan: p B B B S S S S B S B S S B S S B B S B S S S S S B B B B Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 40

50 21. Tabel kebenaran Pembahasan: B S B S S S B B S S B B B S S S S S B S Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk selalu SALAH (Kontradiksi ). 22. Tabel kebenaran Pembahasan: S S B S B B B S S B S S S B B B S S B B S B S S Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Kontingensi dengan alasan yaitu semua pernyataan bukan Tautologi atau Kontradiksi. 23. Tabel kebenaran Pembahasan: B B S B B S B B S B B S B S B S S B S S Dari tabel kebenaran diatas dapat di simpulkan bahwa adalah Kontingensi karena semua pernyataan bukan tautologi atau kontradiksi. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 41

51 24. Tabel kebenaran Pembahasan: S S B B B B S S B B S B B S B B B S B B Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan bahwa adalah tautologi karena pernyataan majemuk selalu BENAR. 25. Perhatikan bahwa Pembahasan: B B S S S B B S B B S S B B B S S B S B B S S B B B S S 26. Tunjukkan bahwa dan keduanya ekivalen secara logika. Pembahasan: (hukum De Morgan) ( (hukum distributif) S (hukum negasi) (hukum identitas) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 42

52 LATIHAN 1 1. Manakah yang merupakan proposisi, kalimat terbuka atau bukan pernyataan dari kalimat-kalimat berikut ini: a. Gunung bromo terletak di Jawa Tengah b. Nabi Muhammad adalah Utusan Allah SWT. c. Pergi saja kamu dari sini d. Jakarta adalah ibukota Singapura e. x adalah bilangan prima kurang dari 15 f. 3 adalah faktor dari 15 g. Rukum Iman ada enam h. Rukun Islam lima i. 2+5=9 j. 6 + x > 9 k. Mari kita belajar l. 35 habis dibagi 2 2. Tentukan himpunan Penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini: a. 4p 1 = 41 b. x 2 8x + 15 = 0 c. 4x 2 12x - 7 = 0 2x 7 d. 1 x 1 3. Tentukan Ingkaran dari pernyataan-pernyataan dari p berikut: a. 13 adalah bilangan prima (B) b (S) c. Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari (B) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 43

53 d. Besi tidak memuai bila dipanaskan (S) e. 4 adalah bilangan Positif (B) 4. Tentukan nilai x agar kalimat: 3x + 1 =10 5 adalah bilangan prima Bernilai: a. Benar, b. Salah 5. Tentukan nilai x agar kalimat: x = (-1) = 2, bernilai salah 6. Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a. p q b. p ~q c. ~p q d. ~p ~q 7. Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: b. p q c. p ~q d. ~p q 8. Tuliskan Ingkaran pernyataan majemuk berikut: "Pada hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan atribut lengkap" Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 44

54 9. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi berikut ini: a. Jika saya lapar, maka saya makan roti b. Jika saya berwajah tampan, maka saya terkenal 10. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi berikut ini: a. ~p ~q b. ~q ~p c. (p q) r d. p (q r) e. ~q p f. ~p q g. ~p (q ~r) h. (p ~q) (q r) 11. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi berikut ini: 1 a. Jika α = 30 o, maka cos α = 3 2 b. Jika x adalah sudut pada segitiga samasisi, maka x =60 o 12. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk a. (p q) (~q r) p p q r b. 13. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk: p q p q 14. Tunjukanlah bahwa p ~(p q) adalah sebuah tautologi 15. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) p 16. Tunjukkan bahwa: a. ~ p q ~ p ~ q b. ~ p q ~ p ~ q (hukum De Morgan) (hukum De Morgan) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 45

55 c. p q ~ p q p q p q d. ( q p) 17. P1 : jika saya belajar, maka saya tahu banyak hal P2 : jika saya tahu banyak hal, maka saya menjadi siswa teladan Konklusi: P1 : jika ABC sama sisi, maka A = B P2 : A B Konklusi: P1 : jika x suatu integer, maka 2x adalah bilangan genap P2 : 2x bukan bilangan genap Konklusi: P1 : Jika n adalah bilangan asli, maka 2n adalah bilangan asli genap P2 : Jika 2n adalah bilangan asli genap, maka (2n+1) adalah bilangan asli ganjil Konklusi: Gunakan tabel kebenaran untuk mengetahui manakah yang sah dari tiap argumen berikut ini: a. p q ~ p ~ q b. ~ p q ~ q p c. p q q ~ r p ~ r Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 46

56 BAB II HIMPUNAN A. HIMPUNAN DAN ANGGOTA HIMPUNAN Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan obyek-obyek yang berbeda. Himpunan dinotasikan dengan huruf besar A, B, C,... Obyek dalam himpunan disebut elemen/anggota, yang disimbolkan dengan huruf kecil a, b, c..., Salah satu firman Allah dalam QS. An am ayat 128 yaitu: Artinya: Dan (ingatlah) hari diwaktu Allah menghimpunkan mereka semuanya (dan Allah berfirman): "Hai golongan jin, sesungguhnya kamu telah banyak menyesatkan manusia", lalu berkatalah kawan-kawan meraka dari golongan manusia: "Ya Tuhan kami, sesungguhnya sebahagian daripada kami telah dapat kesenangan dari sebahagian (yang lain) dan kami telah sampai kepada waktu yang telah Engkau tentukan bagi kami". Allah berfirman: "Neraka itulah tempat diam kamu, sedang kamu kekal di dalamnya, kecuali kalau Allah menghendaki (yang lain)". Sesungguhnya Tuhanmu Maha Bijaksana lagi Maha Mengetahui. Nilai akidah pada ayat di atas adalah menunjukkan bahwa Allah mempunyai sifat Maha Adil, karena Allah membalas apa yang telah dilakukan manusia selama di dunia. Sekecil apapun amal perbuatan manusia akan diminta pertanggungjawabannya, baik amal baik maupun buruk. Nilai syari ah pada ayat di atas adalah rasa tanggungjawab yang harus dimiliki oleh setiap manusia. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 47

57 Himpunan biasanya diberi simbol huruf kapital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal { } Contoh 1 : G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk dalam kategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan. Contoh 2: M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk gadis manis atau tidak. Contoh A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi anggota suatu himpunan digunakan lambang dan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan symbol. 2. A = {b,c,d} dan B = {e,f} maka b A dan b B c A dan c B d A dan d B Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 48

58 B. PENULISAN HIMPUNAN Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu; a. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan dianta dua kurung kurawal Contoh : 1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 huruf pertama. 2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil. 3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima. b. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal. Contoh : 1. A = { x x = lima huruf pertama abjad }. 2. B = { x x = enam bilangan ganjil pertama }. c. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan-himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran. Gambar 2.1 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 49

59 Contoh : 1. Tuliskan dalam bentuk enumerasi himpunan berikut serta kardinalitasnya: a. A = { x x himpunan bilangan bulat, 2 < x < 10 } b. B = { x x himpunan bilangan bulat, x } c. C = { x x himpunan bilangan bulat, x bilangan ganjil, 5 < x < 5 } Penyelesaian: a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7 b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x = 10, sehingga B = { 2, 3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5 b. C = { 3, 1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4 C. MACAM-MACAM HIMPUNAN Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan dibagi menjadi beberapa macam: a. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan atau { }, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Himpunan kosong disajikan dalam bentuk diagram Venn sebagai berikut: Gambar 2.2 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 50

60 Contoh: 1. Jika P adalah himpunan nama-nama bulan yang dimulai dengan huruf K, nyatakan dalam notasi himpunan P Penyelesaian : P = atau P = { } karena tidak ada nama bulan yang dimulai dengan huruf K 2. R = {x x adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2} nyatakan dalam notasi himpunan R Penyelesaian : R = atau R = { } karena bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi Apakah {0}=? Jelaskan mengapa demikian? Penyelesaian: Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, misalkan ada himpunan Q = {x x < 1, x C}, maka Q = {0} atau n(q) = 1. Anggota himpunan Q adalah 0. Jadi, himpunan Q bukan merupakan himpunan kosong. 4. Apakah = { }? Jelaskan mengapa demikian? Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, sedangkan { } adalah himpunan yang anggotanya himpunan kosong, sehingga himpunan ini memiliki satu anggota, yaitu, jadi dengan demikian jelas bahwa { } b. Himpunan Semesta Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S atau U. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 51

61 Berikut telah dijelaskan dalam QS. Taha Ayat 6 tentang alam semesta: Artinya: Kepunyaan-Nya-lah semua yang ada di langit, semua yang di bumi, semua yang di antara keduanya dan semua yang di bawah tanah. Nilai akidah pada ayat diatas adalah menguatkan bukti Tauhid Rububiyah (meyakini bahwa Allah adalah satu-satu Dzat yang mencipta, mengatur alam semesta). Allah yang telah menciptakan alam semesta dan seisinya secara sempurna. Penciptaan Allah merupakan salah satu bukti keberadaan Allah sebagai satu-satunya Dzat yang bersifat wujud (ada) dan Maha Kuasa. Benda-benda langit, benda-benda bumi, benda-benda yang berada diantara langit dan bumi serta bendabenda dalam perut bumi, semua itu tidak mungkin ada kalau tidak ada yang menciptakan Contoh: Diketahui: A = {1,3,5,7,} Maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan S = {Bilangan Prima}. Artinya, S adalah himpunan semesta dari A. Himpunan S memuat semua anggota himpunan A. Jika kita membicarakan himpunan bilangan asli kurang dari 8, yaitu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ={1, 3, 5, 7} B = {2, 4, 6} C = {7, 8, 9} Maka S adalah semesta dari himpunan A dan B, tetapi bukan semesta dari himpunan C. Jika digambarkan dengan diagram Venn: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 52

62 Gambar 2.3 c. Himpunan Berhingga (Finite Set) Himpunan yang memiliki banyak anggotanya berhingga disebut himpunan berhingga. Contoh: 1. A = {a, b, c, d, e, f} dengan n(a) = 6 2. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} dengan n(b) = 7 3. P adalah himpunan bilangan Asli yang kurang dari 20 Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut: P = {1, 2, 3,..., 19} dengan n(p) = Q adalah himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf M Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut: Q = {Maret, Mei} dengan n(q) = 2 5. Himpunan mahasiswa program studi matematika UM Metro (apakah himpunan ini berhingga atau tidak?) d. Himpunan Tak Berhingga (Infinite Set) Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga. 1. A = {x x bilangan Asli} Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 53

63 A = {1, 2, 3, 4,...} 2. A = {x x bilangan Bulat} Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut: B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 3. P adalah himpunan kelipatan 5 dari bilangan asli Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut: P = {5, 10, 15, 20, 25,...} 4. Q adalah himpunan bilangan cacah Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut: Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} D. RAGAM SOAL DAN PENYELESAIAN Soal: 1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan. b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan. 2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar, kemudian berikan alasannya. a. p ϵ B b.{q} ϵ B c. r ϵ B d. s ϵ B 3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi. a. A = {x 2 = 25} b. B = {x x + 3 = 3} Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 54

64 c. A = {x x > 3, x bilangan asli ganjil} 4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya. a. E = {a,i,u,e,o} b. F = {2,3,5,7,11} c. G = {3,6,9,12, } d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. 5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang: a. kurang dari 5, b. lebih dari atau sama dengan 3, c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan d. prima. 6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar a. J= {x x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat} b. K = {x x < 20, x bilangan asli genap} c. L = {x x > 4, x bilangan cacah} Pembahasan: 1. a. Kumpulan yang bukan merupakan Himpunan Kumpulan mahasiswa yang badannya gemuk. Kumpulan mata kuliah yang sulit. Kumpulan masakan yang enak rasanya b. Kumpulan yang merupakan Himpunan Kumpulan bintang dilangit. Kumpulan huruf yang membentuk kata Matematika Anggota Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 55

65 himpunan ini adalah m, a, t, e, i, dan k. Kumpulan orang Solo yang sudah menikah 2. a. p ϵ B jawab : benar, karena p merupakan anggota himpunan B b. {q} ϵ B jawab : salah,??? c. r ϵ B jawab : benar, karena r merupakan anggota himpunan B d. s ϵ B jawab : salah, karena s bukan merupakan anggota himpunan B 3. a. A = {x 2 = 25} Jawab : A = {5} b. B = {x x + 3 = 3} Jawab : B = {0} c. A = {x x > 3, x bilangan asli ganjil} Jawab : A = {5, 7, 9, 11, 13, } 4. a. E = {a,i,u,e,o} Jawab : E himpunan huruf vocal b. F = {2,3,5,7,11} Jawab : F himpunan bilangan prima c. G = {3,6,9,12, } Jawab : G himpunan bilangan perkalian 3 d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. Jawab : H himpunan bilangan??? Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 56

66 5. a. kurang dari 5, Jawab : A = {x x < 5, x bilangan asli} b. Iebih dari atau sama dengan 3, Jawab : B ={x x 3, x bilangan asli} c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan Jawab : C = { x x kelipatan 5 kurang dari 50} d. prima. Jawab : D = { x x bilangan prima } 6. a. J= {x x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat} Jawab : Salah b. K = {x x < 20, x bilangan asli genap} Jawab : Benar c. L = {x x > 4, x bilangan cacah} Jawab : Benar Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 57

67 LATIHAN 2.a 1. Nyatakan himpunan berikut ini dengan menuliskan semua anggotanya dan dengan menuliskan sifat-sifatnya: A = Himpunan bilangan asli antara 4 dan 9 B = Himpunan yang anggotanya adalah meja, kulkas, kucing, tanah k 2. Misalkan S n Z n ( 1) untuk suatu bilangan bulat positif k (dengan Z = himpunan bilangan prima). Nyatakan himpunan S dengan cara mendaftarkan anggotanya. 3. Misalkan A = 3,4,5,6, B = 5,10 dan C=,6 4. Tentukan apakah relasirelasi berikut ini yang benar? Berikan alasannya. a. B A b. C C c. C A 4. Buktikan bahwa: a. Himpunan kosong adalah himpunan bagian semua himpunan. Jadi A untuk semua himpunan A. b. Himpunan kosong adalah tunggal Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 58

68 E. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN a. Himpunan Bagian Semesta pembicaraan (simbol S) adlah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, diberi simbol atau. Perhatikan Surat Al- Waqi ah ayat 7-10 berikuti ini: Artinya: dan kamu menjadi tiga golongan. Yaitu golongan kanan. Alangkah mulianya golongan kanan itu. Dan golongan kiri. Alangkah sengsaranya golongan kiri itu. Dan orang-orang yang beriman paling dahulu. Mereka itulah yang didekatkan kepada Allah. Berada dalam jannah kenikmatan. Segolongan besar dari orang-orang yang terdahulu. dan segolongan kecil dari orang-orang yang kemudian. Nilai akidah yang terdapat dalam ayat di atas adalah adanya Tauhid Uluhiyah. Tauhid Uluhiyah merupakan inti dakwah para rasul, yaitu mengesakan Allah dengan memurnikan perbuatan para hamba sematamata dengan niat taqarrub (mendekatkan diri) kepada Allah, seperti shalat, zakat, puasa, haji, shodaqoh, membaca Al-Qur an, berdzikir, tawakkal, bertaubat, dan lainlain. Ibadah- ibadah tersebut menjadi halhal yang dapat menjadikan manusia menjadi golongan kanan. Contoh 1 : S = Manusia A = Golongan Nabi dan umatnya yang beriman B = Golongan kanan A B / golongan kiri Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 59

69 A B A B Gambar 2.4 Jika A dan B adalah himpunan-himpunan maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan anggota B. A B (( x A x B) Perhatikan gambar 2.4. Jika A adalah himpunan bagian B, dikatakan juga bahwa B memuat A (simbol B A). Jika ada anggota A yang bukan anggota B, berarti A bukan himpunan bagian B (ditulis A B). Secara matematika, A B (( x) x A x B) Perhatikan perbedaan antara (simbol keanggotaan himpunan) dan (simbol himpunan bagian). x A berarti bahwa elemen x adalah salah satu di antara elemen-elemen A. Sedangkan A B berarti bahwa setiap anggota A merupakan anggota B. Dari uraian di atas himpunan bagian didefinisikan: Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, Ditulis A B, jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B, Ditulis A B, jika ada anggota A yang bukan merupakan anggota B. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 60

70 Contoh 2: Jika A =,2, 1, 1,2 1. Perhatikan bahwa A memiliki 4 anggota, masingmasing 1,2 1 dan,2 1 sehingga 1 A, 1 A, 1 A, 1 A, adalah himpunan yang anggotanya 1, sedangkan himpunan yang anggotanya 1 2 A, 2 A, 2 A, 2 A dan juga 2 A 1,2 Adan juga 1,2 A 1 adalah b. Himpunan Sama Dua himpunan dikatakan sama, apabila Dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya. A = B jika dan hanya jika x, x A x B Bukti: Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku: x, x A x B x,(x A x B) (x A x B) (A B) (B A) Sebaliknya jika (A B) (B A) berlaku: x,(x A x B) (x A x B) x, x A x B A = B Contoh: Perhatikan himpunan A = {m, e, t, r, o} dan B = {m, e, r, o, t}. Terlihat bahwa setiap anggota A termuat dalam B, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis A = B. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 61

71 c. Himpinan Setara/ekuivalen Dua himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika memiliki banyaknya anggota yang sama atau n(p) = n(q) Notasi: P ~ Q A B #(A) = #(B) Contoh: Perhatikan himpunan R = {m, e, t, r, o} dan S = {1, 2, 3, 4, 5} Karena jumlah anggota himpunan R sama banyaknya dengan jumlah anggota himpunan S, maka dikatakan himpunan R setara dengan himpunan S, ditulis: R ~ S d. Himpunan Kuasa/Power Set Himpunan kuasa dari himpunan A ditulis dengan P(A) Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan. Perhatikan tabel berikut: Tabel 2.1 Himpunan Kuasa Himpunan Banyaknya Anggota (i) {a} 1 { } {a} Himpunan Bagian (ii) Banyaknya Himpunan Bagian 2 = 2 1 {a, b} 2 { } {a}, {b} {a, b} {a, b, c} 3 { } {a}, {b}, {c} {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, b, c} {a, b, c, d} 4 { } {a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d} {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, 4 = = = 2 4 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 62

72 c, d} {a, b, c, d} {a, b, c, d,...} n { } {a}, {b},... 2 n Terlihat bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknya himpunan bagian himpunan tersebut. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2 n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut. F. RAGAM SOAL DAN PENYELESAIAN 1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya adalah: a. himpunan bilangan prima b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 c. himpunan bilangan bulat yang habis 4 Jawab: a. P ={2} b.t = {6} c. E = {4, 8} 2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut a. H = {h, i, a, t} b. A = {1, 2, 3, 4, 5,} Jawab: a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..} Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 63

73 b.himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, { }. 1. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan dua himpunan yang sama. A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal} B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p} C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o} Jawab: C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B 4. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen. a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10} b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap} c. T = {huruf pembentuk kata HISAP }, K = {huruf pembentuk kata PINTAR } Jawab: a. A tidak ekuivalen dengan B b. C tidak ekuivalen dengan D c. T tidak ekuivalen dengan K Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 64

74 LATIHAN 2.b Dengan melihat Jumlah himpunan bagian pada tabel sebelumnya, Lengkapi tabel berikut: Himpunan (i) Jumlah Anggota (ii) Jumlah himpunan bagian yang anggotanya (iii) Segitiga Pascal (iv) { } {a} {a, b} {a, b, c} {a, b, c, d} {a, b, c, d, e} Jumlah anggota himpunan bagian ) Apa keistimewaan kolom (iii) dan kolom (iv)? 2) Cek apakah banyak semua himpunan bagian P = {a, b, c, d, e} adalah 2 n? e. Himpunan saling lepas (disjoint) Definisi: Himpunan A dikatakan saling lepas atau saling asing dengan himpunan B jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan. A B jika dan hanya jika x,(x A x 6 B) (x B x 6 A) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 65

75 Contoh: Diketahui: A = {1,3,5,7,9} B = {2,4,6,8,10} bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut: Gambar 2.5 Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. f. Himpunan tidak saling lepas (berpotongan) Definisi: Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A. Contoh: Diketahui: P = {2, 4, 6, 8, 10} Q = {2, 3, 5, 7} bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 66

76 Gambar 2.6 Perhatikan ada anggota himpunan P yang juga menjadi anggota himpunan Q, yaitu {2}. Dalam hal ini dikatakan bahwa {2} adalah anggota persekutuan dari himpunan P dan Q. Perhatikan juga ada anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q, demikian pula sebaliknya. Artinya: himpunan tidak saling lepas (berpotongan) 6. Operasi Pada Himpunan a. Irisan (intersection) Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat semua anggota A yang juga menjadi anggota B. Perhatikan QS. Al-Fatihah Ayat 7 yang berbunyi: Artinya: (yaitu) Jalan orang-orang yang telah Engkau beri nikmat kepada mereka; bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat. Nilai akidah dalam ayat tersebut menunjukkan bahwa Allah Maha Pengasih dan Maha Penyayang, diantaranya adalah banyaknya nikmat yang telah diberikan kepada manusia. Manusia yang mampu mensyukuri apa yang sudah diberikan oleh Allah adalah orang-orang yang beriman kepada Allah. Bagi orang-orang yang tidak mau dan tidak mampu Notasi : mensyukuri A B = { x x nikmat-nikmat A dan x B }, Allah merupakan orang-orang kafir. Bagi manusia yang berada dalam keduanya menunjukkan bahwa orang tersebut adalah orang munafik. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 67

77 bila disajikan dalam diagram Venn irisan himpunan A dan B sebagai berikut: Contoh: A = Orang-orang yang beriman kepada Allah B = Orang-orang yang kafir A B = Orang-orang munafik Gambar 2.7 A B adalah daerah yang diarsir Jika dua buah himpunan salaing lepas(disjoint) maka A B = b. Gabungan (union) Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota A dan/atau menjadi anggota himpunan B Notasi : A B = { x x A atau x B } bila disajikan dalam diagram Venn gabungan himpunan A dan himpunan B sebagai berikut: Gambar 2.8 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 68

78 c. Komplemen (complement) Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A Notasi : A c = { x x S, x A } bila disajikan dalam diagram Venn komplemen dari suatu himpunan sebagai berikut: Gambar 2.9 d. Selisih (difference) Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Notasi: A B = { x x A dan x B } = A B c bila disajikan dalam diagram Venn selisih himpunan A dan B sebagai berikut: Gambar 2.10 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 69

79 e. Selisih Simetri (Symmetric Difference) Selisih simetri dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) bila disajikan dalam diagram Venn selisih simetri dari himpunan A dan B sebagai berikut: Gambar 2.11 Contoh Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Teorema: Selisih Simetri memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum komutatif) (hukum asosiatif) f. Perkalian Kartesian (cartesian product) Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan pasangan berurutan (a,b) yang dibentuk dari komponen himpunan A dan komponen himpunan B. Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Yang perlu diperhatikan dalam perkalian kartesian adalah: o Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n (A B)= n(a). (B) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 70

80 o Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), jadi (a, b) (b, a). o tidak berlaku komutatif, yaitu A B B A, dengan syarat A atau B tidak kosong Contoh (Misalkan A = { p, q, r }, dan B = { 1, 2 }, tentukan perkalian kartesian dari kedua himpunan tersebut? Penyelesaian: A B = { (p, 1), (p, 2), (q, 1), (q, 2), (r, 1), (r, 2) } g. Hukum-hukum Himpunan 1. Hukum idempoten: o A A = A o A A = A 2. Hukum identitas: o A = A o A S = A 3. Hukum null/dominasi: o A = o A S = S 4. Hukum komplemen: o A A C = S o A A C = 5. Hukum involusi: o (A C ) C = A 6. Hukum penyerapan (absorpsi): o A (A B) = A o A (A B) = A 7. Hukum komutatif: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 71

81 o A B = B A o A B = B A 8. Hukum asosiatif: o A (B C) = (A B) C o A (B C) = (A B) C 9. Hukum distributif: o A (B C) = (A B) (A C) o A (B C) = (A B) (A C) 10. Hukum De Morgan: o (A B) C = A C B C o (A B) C = A C B C Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada A = B jika dan hanya jika A B dan B A. Berikut diambil salah satu sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya A B = B A. Bukti: Ambil sembarang unsur x (A B) (x A) (x B) definisi A B (x B) (x A) komutatif konjungsi x (B A) definisi B A (A B) (B A) definisi A B Sebaliknya, ambil sembarang unsur y B A (y B) (y A) definisi B A (y A) (y B) komutatif konjungsi y (A B) definisi A B (B A) (A B) definisi B A Karena (A B) (B A) dan (B A) (A B), maka (B A) = (A B) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 72

82 h. Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a B) = n(a) + n(b) 2. n(a B) Contoh Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3 dan 5, yaitu 15), Ditanya: n(a B)? n(a)= 100/3 = 33, n(b) = 100/5 = 20, n(a B) = 100/15 = 6 n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5. Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) - n(a C) - n(b C) + n (A B C) Untuk himpunan A 1, A 2,, A r, berlaku: 1 n (A 1 A 2 A r ) = A + + (-1) r-1 n(a 1 A 2 A r ) i. Partisi n n A i A j + n Ai Aj Ak 1 i j r 1 i j k r Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A 1, A 2, dari A sedemikian sehingga: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 73

83 (a) (b) A 1 A 2 = A, dan A i A j = untuk i j Contoh Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka { {1}, {2}, (3, 4, 5, 6}, {7, 8}, {9, 10} } adalah partisi A. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 74

84 1. Misalkan A = 1,3 dan B =,4 a. P (A) b. P (A B ) c. P ( A B) 2. Diketahui A = 1,3 dan B=,3 a. P (A) P (B) b. P (A) P (B) c. P (A B) 3. Carilah himpunan berikut ini 1. Carilah: 3. Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil R. x R 0 x 2 ; x R 1 x 4 A B Tentukan a. A B b. A C c. B C d. A C B C e. A C B C 4. Dua buah himpunan dikatakan terpisah (disjoint) jika irisan kedua himpunan tersebut = himpunan di bawah ini terpisah? d. A-B dan B-A e. A ( B C) dan B (A ) f. A (B C) dan B - (A C) LATIHAN 2.c. Pada sembarang himpunan, apakah kedua Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 75

85 7. Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan Konsep himpunan bagian ( ) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini. Relasi adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi non simetrik yaitu: A, A A (A, B, C) (A B) (B C) (A C) (A, B) (A B) (B A) (A = B) Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka 1. A A 2. A 3. A U Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2. dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian. Bukti 3.: Andaikan A 6 U berarti x A, 3 x 6 U. Tetapi berdasarkan definisi U tidak ada x / U. Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A, maka A U A B A B = B Bukti: Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya: 1. (A B) A B = B 2. A B (A B = B) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 76

86 3. (A B) B) 4. B (A B) Jika A B maka x A x B. Ambil sembarang y (A B) (y A) (y B) (y B) (y B) (y B) (A B) B) definisi A B A B idempoten definisi B A Ambil sembarang z B (z A) (z B) (y (A B) (y B) (A B) B) sifat additif A B idempoten definisi B A Berarti kita telah membuktikan bahwa A B A B = B Untuk hal sebaliknya, misalkan A B = B, berarti A B B, karenanya x x (A B), x B 6 x 3 x (A B), x 6 B 6 x 3 (x A x B) x 6 B (6 x A) (6 x B) 3 x 6 B (6 x A) 3 x 6 B x, x A x B A B Untuk himpunan semesta U dan himpunan A U A A = U Untuk sembarang himpunan A dan B, A A B dan B A B Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 77

87 (A B) A dan (A B) B (A/B) A dan (B/A) B Untuk A, B, C U (A C) (B C) (A B) (A B) C (A C) (B C) (A B) C (6.13) (A B) (B C) A C Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi supersetnya dan dihubungkan dengan garis. Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubungan antara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam hal hubungan subset dari maka ada dua hal yang selalu benar yaitu: 1. setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan 2. himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, ( ) adalah subset dari setiap himpunan. Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong. 8. Himpunan Bilangan Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bilangan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 78

88 Hindu-Arab yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatan dan urutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v...). Berikut ini telah dijelaskan dalam QS Muddatstsir Ayat 31 yakni: Artinya: Dan tiada Kami jadikan penjaga neraka itu melainkan dari malaikat: dan tidaklah Kami menjadikan bilangan mereka itu melainkan untuk jadi cobaan bagi orang-orang kafir, supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab menjadi yakin dan supaya orang yang beriman bertambah imannya dan supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab dan orang-orang Mukmin itu tidak raguragu dan supaya orang-orang yang di dalam hatinya ada penyakit dan orang-orang kafir (mengatakan):apakah yang dikehendaki Allah dengan bilangan ini sebagai suatu perumpamaan? Demikianlah Allah membiarkan sesat orangorang yang dikehendaki-nya dan memberi petunjuk kepada siapa yang dikehendaki-nya. Dan tidak ada yang mengetahui tentara Tuhanmu melainkan Dia sendiri. Dan Saqar itu tiada lain hanyalah peringatan bagi manusia.(qs Muddatstsir: 31). 4. Ayat ini menjelaskan mengenai keberadaan angka-angka (bilangan). Tujuannya agar manusia itu menggunakan akalnya untuk berpikir dan meyakini apa yang telah diturunkan, yakni Alquran. Allah menciptakan alam semesta ini dengan perhitungan yang matang dan teliti. Ketelitian Allah itu pasti benar. Dan, Dia tidak menciptakan alam ini dengan main-main. Semuanya dibuat secara terencana dan perhitungan. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 79

89 5. Himpunan Bilangan Asli Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita. Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, } Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut: Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian x, y N, x + y N x, y N, (x.y N) Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjumlahan dan perkalian, yaitu: x, y N x + y = y + x x.y = y.x x, y, z N x + (y + z) = (x + y) + z x.(y.z) = (x.y).z Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan. x, y, z N (x + y)z = xz + yz Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas penjumlahan. 1, 3 x N x.1 = 1.x = x tetapi 6 e N, 3 x N x + e = e + x = x Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut: 1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun perkalian. x(6= 1) N, 6 x 0 N, 3 x.x0 = 1 2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian. x, y N 3 (x y) 6 N dan Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 80

90 x, y N 3 (x/y) 6 N Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima. Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi 1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 } 2. Himpunan bilangan Komposit = N/P Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k adalah bilangan asli berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k = k + 1. Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S N, berlaku h (1 N) ( k S k S) i (S = N) Persamaan diatas pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N, berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S maka pengurutnya (k ) juga pada S, maka S adalah himpunan seluruh bilangan asli. h (n1 N) ( (k > n1) S k S) i (S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, }) Persamaan diatas pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N, berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada S maka pengurutnya (k ) juga pada S, maka S adalah himpunan bilangan asli mulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, }. Cari Halaman Kembali Layar Penuh Tutup Keluar Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat dirumuskan sebagai berikut: Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 81

91 h P(1) k, P(k) P(k ) i P(n), n N Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak terhitung. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit, jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunan dikatakan himpunan tak terhitung yang merupakan himpunan kontinu. Contoh : H = 1, 3, 5,..., Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H x1 x 2, x himpunan bilangan Rasional, himpunan bilangan Riil adalah himpunan tak terhitung. B. Himpunan Bilangan Cacah Perhatikan firman Allah dalam Surah Al-Fajr Ayat 2-3 : Artinya: dan malam yang sepuluh. dan yang genap dan yang ganjil. Ayat ini menjelaskan mengenai adanya bilangan yang ganjil dan ada yang genap. Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyai identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 82

92 menentukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan ; adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0. Himpunan bilangan Cacah(C) = ( N 0 0,1, 2,... Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlaku pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada himpunan bilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers penjumlahan maupun invers perkalian. Sifat 5 Identitas Penjumlahan 0 C, c C, 0 c c 0 c Tetapi c ( 0) C, c ' C c c ' 0 C. Himpunan Bilangan Bulat Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse penjumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z. Z C 1, 2,......, 2, 1,0,1,2,... Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan, tetapi bukan invers perkalian. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 83

93 Artinya: Dan Kami jadikan malam dan siang sebagai dua tanda, lalu Kami hapuskan tanda malam dan Kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamu mencari kurnia dari Tuhanmu, dan supaya kamu mengetahui bilangan tahun-tahun dan perhitungan. Dan segala sesuatu telah Kami terangkan dengan jelas (QS Al-Isra: 12) Kami jadikan malam dan siang dengan segala bentuk dan perputaran silih berganti yang ada padanya sebagai tanda yang menunjukkan keesaan dan kekuasaan Kami. Kami hilangkan sinar pada malam hari, sehingga tidak tampak sesuatu apa pun. Sebagai tandanya adalah kegelapan yang tidak disinari oleh matahari. Itu merupakan tanda yang paling besar. Kami jadikan siang terang benderang. Dan matahari yang merupakan tanda yang paling besar tampak kelihatan. Dengan adanya sinar pada siang hari kalian dapat mencari penghidupan. Dan dengan pergantian siang dan malam kalian dapat mengetahui bilangan tahun, perhitungan bulan, hari dan segala sesuatu yang mendatangkan maslahat bagi kalian. Semua itu telah Kami terangkan dengan jelas sehingga dapat menjadi bukti bagi kalian setelah sempurnanya kenikmatan. Sifat 6 Invers Penjumlahan. Tetapi c C, c c ( 0) C, c D. Himpuan Bilangan Rasional ' C c c ' C c. c ' 0 ' 1 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 84

94 Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara umum bilangan rasional didefinisikan seperti pada definisi berikut ini. Contoh : 1/5 = 0; 20 dan 1/3 = 0; 33333::: = 0; 33 adalah bilangan- bilangan rasional Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers penjumlahan, maupun invers perkalian. Definisi Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a=b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal takhingga tapi berulang. Sifat 7 Invers Perkalian x x Q ' ', x Q x x ' ' ( 0) C, x Q c. c ' 1 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 85

95 BAB III RELASI DAN FUNGSI A. Pengertian Relasi Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar atau menyebut istilah relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi memiliki pengertian yang lebih khusus. Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B ( Simbol A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a A dan b B A x B = ( a, b a A, b B) Hasil kali Kartesian tidak bersifat komutatif karena secara umum (a,b) (b,a). Hasil kali Kartesian beberapa himpunan A 1, A 2,..., A n didefinisikan sebagai: A 1 x A 2 x... x A n = a, a,..., a ( 1 2 n ) a a A1, a2 A2,..., a n A n Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi (Biner) R dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B. Jika (a,b) A x B dan a berelasi dengan b, dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi dengan b dituliskan a R b. Contoh Misalkan A =,2 1 dan B = 1,2,3 A x B = ( 1,1),(1,2),(!,3),2,1),(2,2),(2,3) Jika didefinisikan relasi R dari A ke B dengan aturan x A berelasi dengan y B (x-y) genap, maka R = 1,1),(1,3),(2,2).(1,2) bukan bilangan genap ( R karena (1-2)= -1 A x B dinyatakan dalam gambar 3.1. tampak bahwa R A x B. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 86

96 Gambar 3.1 Dapat disimpulkan bahwa: Definisi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan/kaitan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggotaanggota himpunan B. o o o Relasi R antara himpunan A dan B adalah suatu himpunan bagian dari A B, atau dinotasikan: R (A B), dimana A B = {(a, b) a A dan b B} a R b merupakan notasi dari (a, b) R, yang berarti a dihubungkan dengan b oleh R a R b merupakan notasi dari (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. B. Cara menyajikan relasi a. Diagram Panah Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah. Marilah kita lihat Contoh lain penggambaran relasi dengan diagram panah. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 87

97 Contoh 2 Diberikan dua himpunan: A = {Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno} B = {matematika, IPA, IPS, Kesenian, B. Inggris, Penjaskes, B. Indo} Gambar di bawah menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari himpunan A ke himpunan B Gambar 3.2 Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah, sehingga diagram tersebut dinamakan diagram panah. b. Diagram Cartesius Dalam menyatakan relasi antara anggota-anggota dua himpunan, selain dengan menggunakan diagram panah dapat juga dinyatakan dalam koordinat Cartesius. Pada diagram cartesius diperlukan dua garis perpotongan tegak lurus yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal). y (x, Gambar 3.3 x Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 88

98 x A diletakkan pada sumbu mendatar y B diletakkan pada sumbu tegak Pemasangan x y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x, y) Contoh, pada diagram panah Gambar 2, akan dibuat diagram cartesiusnya dapat disajikan sebagai berikut: B. Indonesia Penjaskes B. Inggris Kesenian IPS IPA Matematika Aldo Dudung Nipon Ninung Aling Bruno Gambar 3.4 Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah mata pelajaran yang disukai. Noktah yang menghubungkan Aldo dan IPA, artinya Aldo menyukai mata pelajaran IPA, dan seterusnya. c. Himpunan Pasangan Berurutan Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat dinyatakan dalam pasangan terurut: R = {(Aldo, IPA), (Dudung, Matematika), (Dudung, Kesenian), (Ninung, B.Inggris), (Nipon, B.Indonesia), (Aling, Kesenian), (Bruno, Penjaskes)} Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 89

99 d. Dalam Bentuk Tabel Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat juga dinyatakan dalam bentuk tabel sebagai berikut: Tabel 3.1 A Aldo Dudung Dudung Ninung Nipon Aling Bruno B IPA Matematika Kesenian B.Inggris B.Indonesia Kesenian Penjaskes C. Jenis-Jenis Relasi Misalkan R adalah suatu relasi pada himpunan A. R disebut relasi yang: a. Refleksif ( x A) x R x b. Simetris ( x, y A) x R x y R x c. Transitif ( x, y, z A) ( x R y dan y R z) x R z d. Irrefleksif ( x A) x R x e. Asimetris ( x, y A) x R x y R x f. Antisimetris ( x, y A) ( x R y dan y R x) x y 4. Operasi-Operasi pada Relasi Pada hakikatnya suatu relasi merupakan suatu himpunan, maka beberapa relasi juga dapat dioperasikan dengan operasi-operasi himpunan. Misalkan R dan S adalah 2 buah relasi dari himpunan A ke himpunan B. R S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y ) A x B sedemikian hingga (x,y) R atau (x,y) S. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 90

100 R S ( x, y) ( x, y) Ratau ( x, y) S R S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y ) A x B sedemikian hingga (x,y) R dan (x,y) S. R S ( x, y) ( x, y) Ratau ( x, y) S Operasi himpunan lain seperti selisih, komplemen, dan lain-lain didefinisikan menurut definisi operasi himpunan. Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan Komposisi R. R ( x, y) ( x, y) R dan ( y, z R ) 2 R 1 AxB dan R 2 B xc Jika R 1 = R 2 = R, maka R 1. R 2 = R. R = R 2. Secara umum, simbol R k dipakai untuk menyatakan bahwa relasi R dikomposisikan dengan dirinya sendiri sebanyak k kali. R 1 =R dan R k = R k-1 R, untuk k 1 Tutupan transitif (simbol R + ) relasi R adalah gabungan dari semua R k, (k 1). R + = R R 2 R 3...= R k 1 k Tutupan transitif relasi R didapat dengan cara menambahkan semua relasi yang bersifat transitif pada relasi R mula-mula. Tutupan transitif suatu relasi R merupakan relasi transitif terkecil yang memuat R. Tutupan Transitif Refleksif (simbol R*) adalah tutupan transitif yang bersifat refleksif. Tutupan transitif refleksif didapat dengan menggabungkan tutupan transitif dengan semua elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri. R* = R + ( a, a) a A Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 91

101 D. Pengertian Fungsi Relasi fungsional atau fungsi sering disebut dengan istilah pemetaan (mapping). Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan tabel dan diagram panah di bawah ini: Tabel 3.2 Nama Siswa Tinggi Badan Aldo 156 Dudung 158 Ninung 150 Nipon 152 Aling 152 Bruno 160 Gambar 3.5 Gambar 3.5 merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi tinggi badan dari data pada Tabel 3.2. Dari diagram panah pada Gambar 3.5 terlihat bahwa: a. Setiap siswa Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno, memiliki tinggi badan masing-masing 156, 158, 150, 152, 152, 160, hal ini berarti setiap anggota A yaitu mempunyai kawan atau pasangan dengan anggota B. b. Setiap siswa memiliki tepat satu tinggi badan, berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B. Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. maka relasi dari himpunan A dan B disebut fungsi atau pemetaan. Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 92

102 Definisi: Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B; b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Contoh 3: Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini Relasi (i) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 5 yang tidak dipasangkan dengan anggota himpunan B (i) Relasi (ii) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 1 yang dipasangkan lebih dari satu dengan anggota himpunan B, yaitu 1 a dan b 2 (ii) Relasi (iii) disebut fungsi. Mengapa? Karena setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B (iii) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 93

103 Relasi (iv) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 3 yang tidak dipasangkan dengan anggota himpunan B dan ada anggota himpunan A yaitu 2 yang dipasangkan lebih dari satu dengan anggota himpunan B, yaitu 2 b dan 2 c (iv) Gambar 3.6 E. Notasi dan Nilai Fungsi Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A B dibaca: fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B o o o f adalah fungsi yang memetakan suatu elemen x A ke suatu y B y adalah peta dari x oleh fungsi f dinotasikan f(x) x disebut prapeta dari y, dengan demikian dapat ditulis menjadi: f : x y atau f : x f(x) dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B untuk lebih jelasnya, Perhatikan gambar berikut: Gambar 3.7 a. Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain Himpunan B disebut Daerah kawan/lawan atau Kodomain Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 94

104 b. Himpunan bagian dari himpunan B yaitu himpunan C yang anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut Daerah hasil atau Range. o y = f(x) disebut bayangan x oleh fungsi f. o Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan A o variabel y anggota himpunan B yang merupakan bayangan x oleh fungsi f ditentukan oleh aturan yang didefinisikan. Artinya y bergantung pada nilai x. o Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti (mensubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b. Contoh 4: 1. Perhatikan diagram panah pada Gambar 5 Tentukan (i) domain; (ii) kodomain; (iii) range. Penyelesaian: (i) Domain = { Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno } (ii) Kodomain = {150, 152, 154, 156, 158, 160, 164} Gambar 3.8 (iii) Range = {150, 152, 156, 158, 160} 2. Perhatikan diagram panah pada di bawah ini: Tentukan (i) domain; (ii) kodomain; (iii) range. Gambar 3.9 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 95

105 Penyelesaian: (i) domain = {1, 2, 3, 4, 5} (ii) kodomain = {a, b, c, d} (iii) range = { a, b, c, d} 3. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 2 Tentukan nilai fungsi f(x) untuk a. x = -1 b. x = 0 c. x =1 d. x =2 Penyelesaian: Substitusi nilai x = -1 ke fungsi f(x) = 2x + 2, sehingga f(-1) = 2(-1) + 2 = = 0 Substitusi nilai x = 0 ke fungsi f(x) = 2x + 2 sehingga f(0) = 2(0) + 2 = = 2 Substitusi nilai x = 1 ke fungsi f(x) = 2x + 2 sehingga f(1) = 2 (1) + 2 = = 4 Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x + 2 sehingga f(2) = 2 (2) + 2 = = 6 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 96

106 F. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mempelajari bahwa relasi dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan, pun demikian dengan fungsi, sebab fungsi adalah relasi dalam bentuk khusus. Contoh 5: Diketahui f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: A B atau f: x (2x + 1), A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan: a. Diagram panah y = f(x) = (2x + 1) maka: f(1) = 2(1) + 1 = 3 f(2) = 2(2) + 1 = 5 f(3) = 2(3) + 1 = 7 f(4) = 2(4) + 1 = 9 f(5) = 2(5) + 1 = 11 f Gambar 3.10 Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 97

107 b. Diagram Cartesius Gambar 3.11 c. Himpunan Pasangan Berurutan Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan P maka: P = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)} G. Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan Contoh 6 Diketahui f: Q R adalah fungsi dari Q ke dalam R, jika Q = {a, b, c} dan R = {1, 2}. Tentukanlah semua fungsi f yang mungkin! Penyelesaian: Q = {a, b, c} dan R= {1, 2} maka n(q) = 3 dan n(r) = 2 Banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke R seperti tampak pada diagram panah pada Gambar berikut: (i) (ii) (iii) Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 98

108 (vi). (v) (vi) (vii) (viii) Gambar 3.12 Dari gambar fungsi-fungsi tersebut bila dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan (i) = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} (ii) = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)} (iii) = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)} (iv) = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)} (v) = {(a, 2), (b, 2), (c, 1)} (vi) = {(a, 2), (b, 1), (c, 2)} (vii) = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)} (viii) = {(a, 1), (b, 2), (c, 1)} Dapat diketahui bahwa untuk n(q) = 3, n(r) = 2 maka banyaknya fungsi f dari Q ke dalam R = 2 3 = 8. Berdasarkan pengamatan di atas, dapat disimpulkan bahwa: Jika f : adalah fungsi dari Q ke dalam R den gan n(q) = q dan n(r) = r, maka banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke dalam R adalah r q banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke dalam Q adalah q r Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi 99