Bab 12. Turunan Fungsi Dua Peubah
|
|
|
- Sudirman Dharmawijaya
- 4 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 12 Turunan Fungsi Dua Peubah
2 12.1 Fungsi Dua Peubah
3 Beberapa Jenis Fungsi Berdasarkan range: Fungsi bernilai skalar Fungsi bernilai vektor Berdasarkan peubah bebas: Fungsi satu peubah Fungsi dua peubah Akan dipelajari fungsi bernilai skalar dengan dua peubah
4 Fungsi Dua Peubah Fungsi bernilai skalar dengan dua peubah, z = f x, y, adalah fungsi yang memadankan setiap pasangan terurut (x, y) D di bidang dengan tepat satu bilangan z R. x dan y disebut peubah bebas, sedangkan z peubah tak bebas. Himpunan D disebut domain dari fungsi f. Jika domain tidak diberikan, diambil domain asli, D f, yaitu semua himpunan semua (x, y) di mana f terdefinisi dan memberikan nilai real. Range dari fungsi f adalah himpunan nilai fungsi f di domainnya. Contoh: 1. f x, y = x 2 + 3y 2 2. g x, y = 2x y 3. h x, y = tan 1 y x 4. l x, y = y x 2 x 2 +(y 1) 2
5 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafik fungsi dua peubah merupakan permukaan di ruang. Contoh: Sketsa grafik fungsi z = x 2 4y 2
6 Kurva Ketinggian dan Peta Kontur Bidang horisontal z = c akan memotong grafik fungsi z = f x, y dalam sebuah kurva. Proyeksi kurva ini ke bidang xy disebut kurva ketinggian. Koleksi dari kurva-kurva ketinggian disebut peta kontur. Contoh: Gambarkan peta kontur dari fungsi z = x 2 4y 2.
7 Perpotongan Kurva Ketinggian Suatu kurva ketinggian adalah proyeksi dari perpotongan bidang z = c dengan grafik permukaan fungsi z = f x, y. 1. Mungkinkah dua kurva ketinggian yang berbeda berpotongan? 2. Mungkinkah dua kurva ketinggian yang tidak berpotongan memiliki konstanta c yang sama?
8 Fungsi Tiga Peubah Fungsi tiga peubah, u = f x, y, z, adalah fungsi yang memadankan setiap pasangan terurut (x, y, z) D di ruang dengan tepat satu bilangan u R. Contoh: 1. f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 2. g x, y, z = x + y 2 3. T x, y, z = z x 2 y 2 Kurva ketinggian dari fungsi tiga peubah f x, y, z merupakan permukaan f x, y, z = k.
9 12.2 Turunan Parsial
10 Turunan Parsial Misalkan f adalah fungsi dua peubah. Jika kita memilih y = y 0 (konstan), maka f menjadi fungsi satu peubah dengan peubah bebas x. Fungsi ini dapat diturunkan terhadap x dan dinamakan turunan parsial dari f terhadap peubah x, f x. f x + Δx, y 0 f x, y 0 f x x, y 0 = lim Δx 0 Δx Dengan cara yang serupa, diperoleh turunan parsial dari f terhadap peubah y, f y. f x x 0, y = lim Δy 0 Contoh: Tentukan semua turunan parsial dari: 1. f x, y = ln x 2 + y 2 2. g x, y = x 2 y 3 + e x2 y f x 0, y + Δy f x 0, y Δy
11 Notasi dan Interpretasi Geometri Misalkan z = f x, y. Maka f x x, y = z = f(x,y) x x dan f y x, y = z = f(x,y) y y z z f x x 0, y 0 = ቚ dan f x y x 0, y 0 = ฬ x0,y 0 y x0,y 0 Contoh: Misalkan C adalah kurva yang merupakan perpotongan bidang y = 3 dan permukaan z = x 3 + y 3 9xy Tentukan persamaan garis singgung pada C di titik (0, 3,0).
12 Turunan Parsial Kedua Misalkan z = f x, y. Maka f xx = x f x = 2 f x 2 f xy = y f x = 2 f y x f yx = x f y = 2 f x y f yy = y f y = 2 f y 2 Contoh: Tentukan semua turunan parsial kedua dari: 1. f x, y = ln x 2 + y 2 2. g x, y = x 2 y 3 + e x2 y
13 12.3 Limit dan Kekontinuan
14 Limit Fungsi Dua Peubah Apakah arti lim (x,y) (a,b) f x, y = L? Secara intuitif: nilai f x, y akan semakin mendekati L pada saat (x, y) mendekati (a, b).
15 Definisi Limit Fungsi Dua Peubah lim (x,y) (a,b) f x, y = L bermakna untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 < x, y (a, b) < δ f x, y L < ε.
16 Definisi Limit Fungsi Dua Peubah lim (x,y) (a,b) f x, y = L bermakna untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 < x, y (a, b) < δ f x, y L < ε.
17 Definisi Limit Fungsi Dua Peubah lim (x,y) (a,b) f x, y = L bermakna untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 < x, y (a, b) < δ f x, y L < ε.
18 Limit Polinom dan Fungsi Rasional 1. Jika f(x, y) adalah polinom, maka lim f x, y = f a, b. (x,y) (a,b) 2. Jika f x, y = p x,y q x,y adalah fungsi rasional, maka: lim a. lim f x, y = f a, b untuk (x,y) (a,b) b. lim q x, y tidak ada untuk (x,y) (a,b) lim (x,y) (a,b) q x, y = 0. Contoh: Tentukan limit berikut. 1. lim (x,y) ( 1,2) (x+y+1) 2 x 3 3x 2 y+3xy 2 y 3 2. lim (x,y) (1,2) xy y 3 y x 2 (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) q x, y 0 p x, y 0 dan
19 Menunjukkan Limit Tidak Ada Bagaimana dengan lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 +y 2?
20 Contoh Tentukan limit berikut. 1. lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 x 4 y 4 2. lim (x,y) (0,0) xy (x 2 +y 2 ) 2 3. lim (x,y) (0,0) x 2 y x 4 +y 2
21 Kekontinuan f x, y dikatakan kontinu di (a, b) jika lim f x, y = f(a, b). (x,y) (a,b) f x, y dikatakan kontinu pada himpunan S jika f x, y kontinu di semua titik anggota S. 1 Contoh. Berikan himpunan S terbesar sehingga f x, y = kontinu di 1+x+y S. Kekontinuan fungsi komposisi Misalkan g x, y kontinu di (a, b) dan f x kontinu di g(a, b). Maka f(g x, y ) juga kontinu di (a, b). Contoh. Jelaskan kekontinuan fungsi f x, y = cos(x 3 3x 2 y + 3xy 2 ).
22 12.4 Diferensial
23 Turunan Fungsi Satu Peubah f f a + h f(a) a = lim h 0 h f memiliki turunan di a jika f memiliki garis singgung yang tidak vertikal di a. Garis singgung ini mengaproksimasi nilai fungsi f di sekitar a. f hampir linear di a.
24 Linear Lokal Fungsi satu peubah f dikatakan linear lokal di a jika terdapat konstanta m sehingga f a + h = f a + hm + hε(h) dengan ε(h) fungsi yang memenuhi lim h 0 ε(h) = 0. Apakah m? f a + h = f a + f a h + hε(h) Apa makna lim h 0 ε(h) = 0? f linear lokal di a jika dan hanya jika f memiliki turunan di a Analog untuk fungsi dua peubah adalah Fungsi dua peubah f dikatakan linear lokal di p 0 = a, b jika f p 0 + h = f p 0 + f x p 0, f y p 0 h + ε(h) h dengan h = h 1, h 2, ε h = ε 1 h 1, h 2, ε 2 h 1, h 2 dan lim ε(h) = 0. h 0
25 Turunan Fungsi Dua Peubah f memiliki turunan di Ԧp jika f linear lokal di Ԧp. f x Ԧp, f y f( Ԧp). Ԧp disebut gradien dari f di titik Ԧp dan dinotasikan dengan f memiliki turunan di Ԧp jika dan hanya jika f Ԧp + h = f Ԧp + f( Ԧp) h + ε(h) h dengan lim ε(h) = 0. h 0
26 Kekontinuan, Keterdiferensialan, dan Bidang Singgung Jika f(x, y) memiliki turunan parsial f x x, y dan f y x, y yang kontinu pada daerah di sekitar (a, b) maka f(x, y) terdiferensialkan di (a, b). Jika f terdiferensialkan di p 0 maka f p 0 + h = f p 0 + f(p 0 ) h + ε(h) h dengan lim f p 0 + h f p 0 + f(p 0 ) h h 0 ε(h) = 0. Misalkan Ԧp = p 0 + h, maka fungsi T Ԧp = f p 0 + f(p 0 ) ( Ԧp p 0 ) merupakan hampiran yang baik untuk fungsi f Ԧp pada saat Ԧp dekat dengan p 0. Karena T Ԧp merupakan suatu bidang, maka dinamakan bidang singgung.
27 Contoh 1. Misalkan f x, y = xe y + x 2 y. 1. Tunjukkan f terdiferensialkan di mana-mana. 2. Hitung gradien fungsi f. 3. Tentukan persamaan bidang singgung dari permukaan z = f x, y di titik (0,0). 2. Tentukan semua titik (x, y) di mana bidang singgung terhadap permukaan z = x 3 horisontal.
28 Aturan Turunan Operator gradien memiliki sifat: 1. f Ԧp + g( Ԧp) = f Ԧp + g( Ԧp) 2. αf Ԧp = α f Ԧp 3. f Ԧp g( Ԧp) = f Ԧp g( Ԧp) + f Ԧp g( Ԧp)
29 12.5 Turunan Berarah dan Gradien
30 Turunan Parsial dan Arah f x + h, y f x, y f x ( Ԧp) = f x x, y = lim h 0 h f x, y + h f x, y f y ( Ԧp) = f y x, y = lim h 0 h f Ԧp + hԧi f Ԧp = lim h 0 h f Ԧp + hԧj f Ԧp = lim h 0 h Jika vektor Ԧi dan Ԧj diperumum menjadi vektor satuan u sebarang, maka diperoleh f Ԧp + hu f Ԧp D u f( Ԧp) = f u ( Ԧp) = lim h 0 h yang disebut turunan berarah dari f di Ԧp pada arah u (jika limitnya ada).
31 Makna Geometris
32 Aplikasi
33 Menghitung Turunan Berarah Misalkan f memiliki turunan di Ԧp. f Ԧp + hu = f Ԧp + f( Ԧp) hu + ε(hu) hu dengan lim h 0 ε(hu) = 0. f Ԧp+hu f Ԧp lim h 0 = f( Ԧp) u + ε(hu) u h f Ԧp + hu f Ԧp = lim f( Ԧp) u h h 0 D u f( Ԧp) = f( Ԧp) u Contoh. Misalkan f x, y = 4x 2 xy + 3y 2. Tentukan D u f(2,1) (a) pada arah Ԧa =< 4,3 > (b) pada arah menuju titik (5,3)
34 Contoh Lain Adi sedang mendaki lereng Gunung Bromo. Bila Adi mendaki ke arah Utara, laju perubahan ketinggian adalah 0,7 m/detik; sedangkan bila ia mendaki ke arah Barat, lajunya adalah 0,5 m/detik. Tentukan laju perubahan ketinggian jika Adi bergerak ke arah Timur Laut.
35 Turunan Berarah Maksimum dan Minimum D u f( Ԧp) = f Ԧp u = f Ԧp u cos θ Kapan D u f( Ԧp) maksimum? Kapan D u f( Ԧp) minimum? Suatu fungsi akan bertambah paling cepat di suatu titik pada arah yang searah gradien di titik tersebut dan berkurang paling cepat pada arah yang berlawanan dengan gradien di titik tersebut. Contoh. Suhu pada titik (x,y) di suatu lempengan diberikan oleh T x, y = 4x 2 xy + 3y 2. Seekor serangga berada pada titik (1,2). Pada arah manakah serangga tersebut harus bergerak agar penurunan suhunya terbesar?
36 Turunan Berarah dan Kurva Ketinggian Misalkan L adalah kurva ketinggian dari fungsi z = f(x, y) yang melewati titik P(x 0, y 0 ). Misalkan pula u adalah vektor singgung pada L di titik P. Jika objek bergerak pada permukaan z = f(x, y) di arah u, maka objek tidak mengalami perubahan di arah z. Akibatnya 0 = D u f x 0, y 0 = f x 0, y 0 u atau f tegak lurus dengan u. Contoh. Diberikan fungsi z = x2 + 4 y2. Tentukan gradien di titik (2,1), kemudian sketsa kurva ketinggian yang melewati titik (2,1) beserta gradien pada titik tersebut.
37 Contoh
38 12.6 Aturan Rantai
39 Aturan Rantai Jika y = f(x) dan x = x(t), maka dy dt = dy dx Untuk fungsi dua peubah z = f(x, y), terdapat 2 jenis Aturan Rantai. 1. Jika x = x(t) dan y = y(t), maka dz dt = z dx x dt + z dy y dt 2. Jika x = x(s, t) dan y = y(s, t), maka z = z s x x + z s y y s dan dx dt z = z t x x + z t y y t
40 Contoh 1. Misalkan z = x 3 y dengan x = 2t dan y = t 2. Tentukan dz dt. 2. Jari-jari alas suatu silinder adalah 10 cm dan tinggi 100 cm. Silinder tersebut dipanaskan sehingga memuai dengan laju pertambahan jari-jari alas 0,2 cm/jam dan laju pertambahan tinggi 0,5 cm/jam. Tentukan laju pertambahan volume silinder tersebut. 3. Misalkan z = x 3 y dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan z dan z t. s
41 Penurunan Fungsi Implisit dengan Aturan Rantai Misalkan F(x, y) = 0 adalah fungsi satu peubah yang diekspresikan secara implisit. Berarti, x = x dan y = f(x). Dengan menggunakan Aturan Rantai 1, turunkan F(x, y) = 0 terhadap peubah x. dy F dx = x F y
42 Penurunan Fungsi Implisit dengan Aturan Rantai (2) Misalkan F(x, y, z) = 0 adalah fungsi dua peubah yang diekspresikan secara implisit. Berarti, x = x, y = y, dan z = f(x, y). Dengan menggunakan Aturan Rantai 2, turunkan secara parsial F(x, y, z) = 0 terhadap peubah x dan y. z x = F x F dan z = z y F y F z
43 Contoh 1. Tentukan dy dx dari x3 + x 2 y 10y 4 = Tentukan z x dan z y dari x3 e y+z y sin(x z) = 0.
44 12.7 Bidang Singgung dan Aproksimasi
45 Bidang Singgung pada Permukaan z = f(x, y) Misalkan z = f(x, y) terdiferensialkan di p 0 = (a, b). Maka z = f p 0 + f(p 0 ) ( Ԧp p 0 ) merupakan bidang singgung pada z = f(x, y) di titik p 0 = (a, b).
46 Bidang Singgung pada Permukaan F x, y, z = k Pandang permukaan F x, y, z = k. Misalkan C adalah kurva pada permukaan yang melewati titik x 0, y 0, z 0. Jika persamaan parameter untuk kurva C adalah Ԧr t = x t Ԧi + y t Ԧi + z(t)k, maka F x(t), y(t), z(t) = k. Dengan Aturan Rantai, df = F dx dt x + F dy + F dt y dt z f d Ԧr dt = 0 dz dt = 0. Jadi, bidang singgung pada permukaan F x, y, z = k di titik x 0, y 0, z 0 adalah bidang yang melalui titik x 0, y 0, z 0 dengan vektor normal f x 0, y 0, z 0, yaitu F x x 0, y 0, z 0 x x 0 + F y x 0, y 0, z 0 y y 0 + F z x 0, y 0, z 0 z z 0 = 0
47 Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan x 2 + y 2 + 2z 2 = 23 di titik (1,2,3). 2. Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan z = x 2 + y 2 di titik (1,1,2). 3. Tentukan persamaan bidang singgung yang sejajar dengan bidang- xy pada z = x 2 2xy y 2 8x + 4y
48 Diferensial dan Aproksimasi Bidang singgung pada permukaan F x, y, z = k di titik x 0, y 0, z 0 adalah F x x 0, y 0, z 0 x x 0 + F y x 0, y 0, z 0 y y 0 + F z x 0, y 0, z 0 z z 0 = 0 Jika z = f(x, y) maka z z 0 = f x x 0, y 0 x x 0 + f y x 0, y 0 y y 0 atau dz = f x x 0, y 0 dx + f y x 0, y 0 dy.
49 Contoh 1. Misalkan z = 2x 3 + xy y 3. Tentukan z dan dz pada saat (x,y) berubah dari (2,1) ke (2.03,0.98). 2. Gunakan diferensial untuk menghampiri (3.9)(9.1)
50 12.8 Maksimum dan Minimum
51 Ekstrim Global Misalkan f fungsi dengan domain S dan Ԧp 0 titik di S. 1) f( Ԧp 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada S jika f( Ԧp 0 ) f( Ԧp) untuk setiap Ԧp di S. 2) f( Ԧp 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada S jika f( Ԧp 0 ) f( Ԧp) untuk setiap Ԧp di S. 3) f( Ԧp 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada S jika f( Ԧp 0 ) merupakan nilai maksimum atau minimum global. Jika ketidaksamaan berlaku pada N S dengan N merupakan daerah di sekitar Ԧp 0, diperoleh definisi ektrim lokal.
52 Eksistensi Titik Ekstrim Nilai ektrim (baik global maupun lokal) tidak selalu ada. Jika f fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas S, maka f memiliki nilai maksimum dan minimum. Misalkan f fungsi dengan domain S dan Ԧp 0 titik di S. Jika f( Ԧp 0 ) adalah nilai ektrim, maka Ԧp 0 adalah titik kritis, yaitu salah satu dari: 1) titik batas dari S, atau 2) titik stasioner dari f, atau 3) titik singular dari f. Contoh. Carilah nilai maksimum dan minimum lokal dari f x, y = x 2 2x + y2 4.
53 Uji Turunan Parsial Kedua Misalkan Ԧp 0 adalah titik stasioner dari fungsi f dan f memiliki turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar Ԧp 0. Jika D Ԧp 0 = f xx Ԧp 0 f yy Ԧp 0 f 2 xy ( Ԧp 0 ) maka: 1) jika D > 0 dan f xx lokal, Ԧp 0 < 0, maka f Ԧp 0 adalah nilai maksimum 2) jika D > 0 dan f xx lokal, Ԧp 0 > 0, maka f Ԧp 0 adalah nilai minimum 3) jika D < 0 maka Ԧp 0 adalah titik pelana, 4) jika D = 0 maka tidak ada kesimpulan.
54 Contoh 1. Tentukan titik ekstrim dari z = x2 a 2 + y2 b Tentukan titik pada z 2 = x 2 y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal. 3. Tentukan titik esktrim dari f x, y = 2 + x 2 + y 2 pada daerah S = x, y x 2 + y2 4 1.
55 12.9 Metoda Pelipat Lagrange
56 Masalah Ekstrim dengan Kendala Dua jenis masalah ekstrim: 1. Masalah ektrim bebas 2. Masalah ekstrim dengan kendala
57 Metoda Pelipat Lagrange Akan dicari nilai ekstrim dari fungsi f(x, y) dengan kendala g x, y = 0. Pandang kurva ketinggian f x, y = k dan kurva g x, y = 0. Apa arti memaksimumkan f dengan kendala g x, y = 0? Apa arti meminimumkan f dengan kendala g x, y = 0? Di titik ektrim, kurva g x, y = 0 menyinggung kurva ketinggian dari f. Artinya, g sejajar dengan f. f x, y = λ g x, y, dengan λ konstanta yang disebut pelipat Lagrange. Titik yang memenuhi f = λ g merupakan titik kritis.
58 Contoh 1. Tentukan titik esktrim dari f x, y = 2 + x 2 + y 2 pada kurva x 2 + y2 4 = Tentukan titik pada z 2 = x 2 y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal. 3. Harga bahan alas sebuah kotak Rp. 6,000/m 2 yang adalah tiga kali lipat harga bahan sisi-sisi lainnya. Jika dana yang tersedia untuk membuat kotak adalah Rp. 120,000, tentukan volume maksimum kotak yang dapat dibuat.
Open Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Kalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Hendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Kalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
DERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial
Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Drs. Johannes P. Mataniari FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Suatu peubah
Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
KALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Linear Lokal = Mempunyai Turunan
oki neswan FMIPA-ITB Linear Lokal = Mempunyai Turunan De nisi turunan fungsi untuk dua peubah tampak sangat berbeda dari turunan untuk fungsi satu peubah De nition 1 Fungsi f : A! R; A R; dikatakan mempunyai
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65
DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan
TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semeser II, 016/017 9 Mare 017 Kuliah yang Lalu 11 Fungsi dua (aau lebih) peubah 1 Turunan Parsial 13 Limi dan Kekoninuan 14 Turunan ungsi dua peubah 15 Turunan berarah
4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Fungsi Dua Peubah Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga harga dua peubah bebas
BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Analisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
TAHUN PELAJARAN 2003/2004 UJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 2 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul
DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 00/004 SMA/MA Matematika (D0) PROGRAM STUDI IPA PAKET (UTAMA) SELASA, MEI 004 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Hak Cipta pada
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6
MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKIPSI MATA KULIAH EL-... Matematika Lanjut: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
Department of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)
Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin
TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5
TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a
fungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0)
160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...)
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
BAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara
BAB I PENGERTIAN DASAR
BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)