Discrete Time Dynamical Systems Sheet 4 and Solution

Transkripsi

1 Discrete Time Dynamical Systems Sheet 4 and Solution. Setiap fungsi berikut dilakukan bifurkasi terhadap nilai parameter yang diberikan. Gunakan cara analisis dan grafik untuk mengidentifikasi tipe bifurkasi (saddle node atau period doubling atau tidak keduanya). (a) S (x) = μ sin x di μ = Untuk < μ <, grafik S(x) menunjukkan bahwa terdapat titik tetap di x =. Diketahui S (x) = μ cos x. Untuk μ =, x = merupakan titik tetap netral (neutral), karena S () =. Untuk < μ <, x = merupakan titik tetap penarik (attracting), karena S () <. Sedangkan untuk μ > merupakan titik tetap peno-lak (repelling), karena S () >. Untuk μ >, terdapat dua titik tetap baru. This is a saddle-node bifurcation μ = < μ < (μ = ) μ >, μ = (b) S (x) = μ sin x di μ = Diketahui S (x) = μ cos x. Untuk μ =, x = merupakan titik tetap netral (neutral), karena S () = =. This suggests a period doubling bifurcation. Jika μ <, grafik S (x) menunjukkan terdapat -cycle ( titik periodik). Titik tersebut merupakan attracting periodic point. μ = S (x), µ =. μ =. (c) F (x) = x + c di c = / Perhatikan bahwa jika nilai c semakin besar, maka F hanya mempunyai satu titik tetap negatif (di x < ). Sedang-kan jika c semakin kecil, F mempunyai tiga titik tetap, dengan dua titik tetap

2 baru bernilai positif (berada di x > ). This suggests a saddle-node bifurcation. Untuk c = /, F mempunyai dua titik tetap. x x + = x + x. Dapat ditunjukkan F = =, sehingga x = neutral fixed point. merupakan c = / c = 4/ c = / (d) E (x) = (e ) di = Dapat ditunjukkan bahwa terdapat satu titik tetap di x =, dengan E () =. Sehingga untuk =, E () = =, yaitu x = merupakan neutral fixed point. Kita menduga bahwa terdapat a period doubling bifurcation. Jika μ <, grafik E (x) menunjukkan terdapat -cycle ( titik periodik). Titik tersebut merupakan attracting periodic point. E (x),= E (x),=. E (x),=.8 = =. =.8

3 (e) E (x) = (e ) di = Karena E () =, sehingga untuk =, E () = =, yaitu x = merupakan neutral fixed point. Untuk <, terdapat titik tetap kedua yang bernilai positif di x >. Untuk >, terdapat titik tetap kedua di x <. This is a saddle-node bifurcation = =. =. Diberikan F (x) = x x. Tunjukkan bahwa -cycle yang diberikan oleh ± + merupakan repelling periodic point jika > Untuk menunjukkan q ± repelling, maka harus memenuhi (F ) (q ± ) = F (q )F (q ) >. Karena F (x) = x, sehingga diperoleh F (q )F (q ) = ( q )( q ) = ( ( +)) = ( + ). Karena F (q )F (q ) merupakan kuadrat suatu bilangan, maka nilainya tidak pernah negatif. F (q )F (q ) bernilai satu jika ( + ) = = ( +4)( +) =, yaitu untuk =,. Dan F (q )F (q ) lebih besar dari untuk << atau <<. Jadi, -cycle ± + repelling jika >.. Learn this, because it s important. Diberikan F (x) = x x. Diskusikan bifurkasi -cycle yang terjadi jika =. Catatan bahwa F merupakan fungsi ganjil untuk setiap, sehingga titik periodik dengan periode dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan F (x) = x -cycle ditentukan melalui persamaan F (x) = x x x + x = x(x x + ) =. Diperoleh solusi: x = atau x = ( ± 4). Karena x = merupakan titik tetap, sehingga empat titik lainnya merupakan -cycle, yaitu p ± = ± ( + 4), q ± = ± ( 4). (karena F(±x) = x). Perhatikan bahwa -cycle tersebut tidak ada jika <. Kita mungkin berpikir terdapat period doubling bifurcation, karena terdapat -cycle. Sekarang diambil = dan perhatikan lokasi titik tetap dan -cycle:

4 F(x) x = x x x = x(x x ) =. Diperoleh titik tetap x =, ± +, ±i +. Selanjutnya dengan mensubstitusikan = pada -cycle, diperoleh p ± = ± q ± = ±. Perhatikan bahwa -cycle tidak menyatu dengan titik tetap. Jadi, ini merupakan contoh saddle-node bifurcation dari -cycle. 4. Gambar phase portrait dan bifurcation diagram dari F (x) = x( x) di dekat =. Ditentukan titik tetap dari F: F(x) x = x( x) x = x( x) =, yaitu diperoleh titik tetap x = dan x =. Turunan pertama F adalah F (x) = ( x), sehingga x = merupakan attracting fixed point jika <. Untuk titik tetap x = diperoleh f =. Jadi titik x = merupakan attracting fixed point jika <<. Untuk terdapat dua titik tetap. Untuk <, titik tetap x = bersifat attracting, dan menjadi neutral jika bersatu dengan titik tetap lain, yaitu jika =. Titik tetap tak nol kemudian menjadi attracting jika >.. Gambar phase portrait dan bifurcation diagram dari F (x) = x( x) di dekat =. Titik tetap attracting x = menjadi neutral jika =, karena F () =. This suggests a saddle-node bifurcation. Dapat ditunjukkan bahwa jika <, maka terbentuk -cycle, yaitu: q ± = + ± ( +)( ). Kestabilan titik-titik peridik tersebut ditentukan melalui (F ) (q ± ) = F (q )F (q ) = 4 + <. Untuk <, -cycle tersebut stabil (attracting periodic point) untuk 6 <<. 4

5